《电路基础》第22讲 正弦稳态电路的计算
电路理论课本讲解----正弦稳态电路分析
k
I
km
0
0
例1. 图示正弦交流电路中，电压表V1、V2读数均为
100V，电压u1、 u2的初相位分别为 0 及 90
求电压表V的读数，并画电压相量图。 解：由相量形式的KVL，得
U U1 U2
1000 100(90 )
u1
V V1 V2
（振幅相量）
o
Im
x
Um
y
o
Im
x
y
I
o
I m cos(t )
Im 有效值相量 I 2
相量图
I
x
例1. 写出下列三个正弦量的相量并绘相量图 。
i1 (t ) 5cos(314t 60 ) A
i2 (t ) 10sin(314t 60 ) A
例4. 已知正弦交流电路中电流表读数分别为A1：5A；A2：20A；
A3：25A。求： （1）图中电流表A的读数； （2）如果维持A1的读数不变，而把电源频率提高一倍，再求 电流表 A的读数。
A1
I1
I
A
A2
I2
A3
+
U
I3
-
7.5 阻抗和导纳
一、阻抗
I
I
+ U 线性 Z 阻抗（Ω） U 无源 I 若 U U u , I I i U +j 则 Z u i | Z | Z R jX I U 其中 | Z | 阻抗模（Ω） I Z Z u i 阻抗角 [180 ,180 ]
U j LI
U LI
U
u
i
电路设计--正弦稳态电路的功率讲解
2I cos( t i )
UI cos( u i ) UI cos(2t u i )
u i
为电压和电流之间的相位差
p UI cos UI cos(2t u i )
瞬时功率有两个分量： 第一个为恒定分量，第二个为正弦分量。
§9.4 正弦稳态电路的功率
一、瞬时功率
一端口内部不含独立电 源，仅含电阻、电感和 电容等无源元件。
+ u i N0
它吸收的瞬时功率 p 等于电压 u 和电流 i 的乘积 p =u i 在正弦稳态情况下，设
u
2U cos( t u )
i
2I cos( t i )
瞬时功率 p= 令
另一种解法
而 R = 30 Ω I R 30 Z R 2 (L) 2
2
故可求得： L 502 302 = 40Ω 40 L = 127 mH
解：
u 10
i 50 2 sin(314t 45 )=50 2 cos(314t 45 )
i 45
故：P UI cos(u i )=300 50cos55 8610(W )
例9－17：测量电感线圈R、L的实验电路，已知电压 表的读数为50V，电流表的读数为1A，功率表读数为 30W，电源的频率f =50Hz。试求R、L之值。
PC=UIcos =UIcos(-90)=0
电容不消耗有功 且QC<0
1 2 QC UI I wCU 2 wC
* 电感、电容的无功功率具有互相补偿的作用
例9-16： 求平均功率P。 已知u, i关联取向，且： u 300 2 cos(314t 10 )(V) i 50 2 sin(314t 45 )(A)
正弦稳态电路
u L I LmL sin(t U L I LL i
2
i )
2
jLI L i
U L jL I L jX L I L
相量图如图
. U
. I
3.电感元件的功率
iL I Lm sin t u L U Lm sin(t ) 2
相量图如图（b）所示 3.电阻元件的功率 瞬时功率p ：元件上电压的瞬时值与电流的瞬时值的乘 积叫做该元件的瞬时功率。 有功功率P：计算瞬时功率的平均值, 即平均功率， 又叫有功功率。
功率的单位为瓦(W）, 工程上也常用千瓦（kW）
瞬时功率
p ui pR uRiR U Rm sin t I Rm sin t U Rm I Rm U Rm I Rm sin t (1 cos2t ) 2 U R I R (1 cos2t )
I Ie
.
j (t i )
I i
注：正弦量与相量一一对应。
２、相量图
相量图就是把正弦量的相量画在复平面上。
例： 已知正弦电压u1(t)=141 sin(ωt+π/3) V， u2(t)=70.5 sin(ωt-π/6) V， 写出u1和u2的相量， 并画出相 . 141 量图。 解：
相位差
φ12 =(ωt+ φ 1 )―(ωt+ φ2 )= φ1 ― φ2
由此得： 相位差＝初相之差 同频率正弦量的几种相位关系： （１）超前关系
φ12= φ 1 -φ 2>0且|φ12|≤π弧度，称第一量超前第二量
（２）滞后关系 φ12= φ 1 -φ 2 <0且|φ12|≤π弧度，称第一量滞后第二量， 即，称第二量超前第一量。
正弦电流电路的稳态分析基础知识讲解
T 1T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
i(t ) Im sin(wt Ψ ) 2I sin(wt Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U 2 Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U=380V，
二、正弦量的相量表示
两个正弦量 i1 2 I1 sin(wt y1 )
u, i
角频率： 有效值：
i1
w
i1
i2
wi2
I1
I2
初相位：
1 O 2
i2 2 I2 sin(wt y2 )
i1+i3i2 i3
w
I3
wt3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。于是想到复数， 复数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正 弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算， 使计算变得较简单。
解：
•
I
10030o
A
•
U 220 60o V
试用相量表示i, u .
例2.
•
已知I
5015
A,
f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解：i 50 2sin(314t 15 ) A
相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：
•
U
•
I
i(t) 2Isin(ω t ) I I u(t) 2Usin(ωt θ ) U Uθ
电路正弦稳态电路课件
电路参数与电路性质的关系：
由于:
U U U u Z Z u i I I i I
其中,
Z Z R j X L XC ＝Ｒ＋ｊＸ
呈感性
当 XL >XC 时， > 0 ，u 超前 i
当 XL < XC 时 ， < 0 ， u 滞后 i
R jX 1 1 Y G jB Z R jX R 2 X 2 X G 2R 2 , B 2 R X R X 2 1 | Y | , y z |Z |
一般情况 G1/R B1/X。若Z为感性，X>0，则B<0， 即仍为感性。
同样，若由Y求Z，则有：
令
. I I i I Y . i u G jB | Y | y U U u U
Y— 复导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)； |Y|—复导纳的模； y—导纳角。 |Y| 关系： G=|Y|cosy B | Y | G 2 B 2 y 或 B B=|Y|siny y arctg G G 导纳三角形 反映i ,u 幅度关系。 |Y|=I/U y = i- u 反映i ,u 相位关系。 好好理 解喽! 1 | Y | , y z |Z|
G
L
C
LL
BC= ω C BL=1/ ω L
当 C > 1/ L ，B>0， y >0，电路为容性，i 领先u；
当 C<1/ L ，B<0， y <0，电路为感性，i 落后u；
当C=1/ L ，B=0， y =0，电路为电阻性，i 与u同相。
阻抗与导纳
画相量图：选电压为参考向量(设C < 1/ L， y <0 )
正弦稳态电路的功率公式
正弦稳态电路的功率公式在电路中，功率是电能转换的重要指标之一。
而对于正弦稳态电路，我们可以通过一条简单而有效的公式来计算其功率。
本文将详细介绍正弦稳态电路的功率公式，并解释其背后的原理和应用。
一、正弦稳态电路的功率公式正弦稳态电路是指电路中的电流和电压都是正弦波形式，并且其频率保持不变。
在这种情况下，我们可以使用以下功率公式来计算电路中的功率：P = Vrms * Irms * cos(θ)其中，P表示电路的功率，Vrms表示电压的有效值，Irms表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
二、功率公式的原理解释为了更好地理解功率公式的原理，我们可以从电能转换的角度来解释。
在正弦稳态电路中，电流和电压都是周期性变化的，而功率则是电能转化的速率。
根据能量守恒定律，电路中产生的功率等于电能的消耗速率。
在公式中，Vrms和Irms分别表示电压和电流的有效值。
有效值是指在一个周期内，电压和电流的平方值的平均值的平方根。
有效值可以反映电压和电流的实际大小，而不受正弦波形式的影响。
而c os(θ)则表示电压和电流之间的相位差。
相位差是指电压和电流的波形之间的时间差，它可以是正值、负值或零值。
当相位差为零时，电压和电流完全同相，功率取得最大值。
当相位差为正值或负值时，电压和电流存在一定的错位，功率将减小。
因此，正弦稳态电路的功率公式可以通过电压和电流的有效值以及它们之间的相位差来计算电路的功率。
三、功率公式的应用功率公式在电路分析和设计中有着广泛的应用。
它可以帮助我们计算电路中的功率消耗，并进一步优化电路的设计。
功率公式可以用于计算电路中不同元件的功率消耗。
例如，我们可以通过测量电压和电流的有效值，并计算它们之间的相位差，来确定电阻、电容或电感元件的功率消耗。
功率公式可以用于分析电路中的功率传递和传输效率。
通过计算电路中不同节点的功率，我们可以了解能量在电路中的分布情况，找出能量损失的原因，并进一步改进电路的效率。
正弦稳态电路分析和功率计算
仍为感性。
(5) 导纳三角形
Y G B
2 2
|Y|
|Y|
|B| G
(6) 导纳是频率的函数
Y(j) = G() + jB()
例 已知 R = 15 , L = 10mH , C = 100µ F , 求 uS(t)分别 2 cos 500 t V 2 cos 3000 t V 为 120 与 120 时的稳态电 流 i(t)，并画出相量图。
1 I 记为 Y。 即 Y 。单位：西门子（S）. Z U
元件
I
Y
U
I Y U
—— 欧姆定律的相量形式
U Z I
1 I Y Z U
一端口
+ U
I
N0
—— 输入阻抗 (导纳)
N 只含阻抗与受控源
3. 分析
I Y U
(1) 元件与不含独立源的一端口的 VCR 统一表达为： ，不再表现为微积分的关系； I Y U I (2) Y 为一复数，记为 Y = G + jB . U 其中： G — 电导分量 (S)； B — 电纳分量 (S) 1 BL — 感纳 BC = C — 容纳； L I I I 2 2 (3) Y Y i u Y G B U U U
正弦稳态电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
Z Im Im2 Z Im m U 11 1 Z 12 1 m S 11 I Z I Z I U Z 21 m 1 22 m 2 2m m m S22 Z I Z I Z I U 1 m 1 m 2 m 2 m mm m Sm m m
电路原理 正弦稳态电路的计算
j10Ω I
A
A
I1
I2 C1
B
5Ω j5Ω V
分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数
求总电流和电压 解题方法有两种： (1) 用相量(复数)计算
(2) 利用相量图分析求解
15
j10Ω I
A
I1
A I2 C1
B
5Ω j5Ω V
已知：I1= 10A、 UAB =100V，
求：A、V 的读数
解法1: 用相量计算
•
US 1
+
•
U s1 -
j
X
L
I2
I3
R
•
US
2
- I1 I2 I3 0
- j2I1 5I3 100
j5I2 5I3 j100
R
•
I3
②
3.6.2图(b)
•
I2 +
•
U s2 -
8
(2)回路电流法
•
I
1
jX C
jX L
+
•
•
U s1
Ia
-
•
Ib
R
•
I3
R - j X C
Ia
RIb
IC2 UC1
IR2 UR1 1
U2C 2 I1 C 1
U2 R2
I1 R1
•
I1
R1
C1
•
IC2
U + +
•
U1
•
-
3
R2
C2
•
+ •
U2
-
I R2
-
3.6.4例5图(a)
•
正弦稳态电路的功率公式
正弦稳态电路的功率公式1.有功功率：有功功率表示电路中能转化为其他形式的功率，通常是用于实现有用功能的功率。
在正弦稳态电路中，有功功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，有功功率的公式如下：P = V × I × cos(θ)其中，P表示有功功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
在三相电路中，有功功率的公式如下：P = √3 × V × I × cos(θ)其中，P表示有功功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
2.无功功率：无功功率表示电路中产生的电能不能被转化为其他形式的功率，它主要是用来提供电路元件的无效功率。
在正弦稳态电路中，无功功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，无功功率的公式如下：Q = V × I × sin(θ)其中，Q表示无功功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
在三相电路中，无功功率的公式如下：Q = √3 × V × I × sin(θ)其中，Q表示无功功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
3.视在功率：视在功率表示电路中的总功率，它等于有功功率和无功功率的向量和。
在正弦稳态电路中，视在功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，视在功率的公式如下：S=V×I其中，S表示视在功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值。
在三相电路中，视在功率的公式如下：S=√3×V×I其中，S表示视在功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值。
4.功率因数：功率因数表示有功功率和视在功率之间的比率，它反映了电路中有效功率的利用率。
功率因数通常用cos(θ)表示，在正弦稳态电路中，功率因数可以通过有功功率和视在功率的比值来计算。
第22讲 正弦稳态功率 三相电路(1)
1
第九章
9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6 9-7
正弦稳态功率 三相电路
基本概念 电阻的功率 电感、电容的功率 单口网络的功率 复功率 复功率守恒 正弦稳态最大功率传递定理 三相电路
2
本章教学要求
1、进一步理解功率与能量的概念； 2、熟练掌握正弦稳态电路中电阻的功率； 3、理解正弦稳态电路中电容、电感的储能； 4、掌握正弦稳态单口网络平均功率和无功功率的计 算方法 ；
2
计算方法： 用公式计算：Q=UIsin
用无功功率守恒计算： Q I X i 或
i 1 2 i
n
U i2 Q i 1 X i
n
用贮能公式计算：
Q 2 (WL WC )
16
4、视在功率 功率三角形 功率因数
视在功率：
S
Z
S U I 表示设备的容量。单位：伏安（VA）
1885 j1423 VA
两种解法，都验证了复功率的平衡关系，且计算出的电流源 25 发出的总复功率也是一致的。
例9-12 已知电路如图，求 两负载的复功率、 总电流及总功率因 数λ 。
解：
10000 负载1的视在功率 S1 12500(VA ) 0.8 阻抗角 1 cos 1 0.8 36.9o 无功功率 Q1 S1 sin( 36.9o ) 7500( var )
~ ~ ~ 总复功率 S S1 S 2 25000 j12500（VA）
o 2795126.56（ VA）
27
例9-12 （续）
，则
I I i
的模即为视在功率S，幅角即电路的阻抗角。 18 S
正弦稳态电路分析法概述
1k var 103 var
电感元件储存磁场能量，其储能公式为
WL
1 2
L.iL2
1.3.3 电容元件
1．电压和电流
相量形式的伏安特性。图5-13给出了电阻元件的相量模型及相量图。
2.功率和能量 （1）电阻元件上的瞬时功率
p uRiR URm sin t.IRm sin t U Rm IRm sin2 t
其电压、电流、功率的波形图如图5-14所示。
由图可知：只要有电流流过电阻，电阻R上的瞬时功率恒≥0，即 总是吸收功率（消耗功率），说明电阻元件为耗能元件，始终消耗电 能，产生热量。
相位或相位角，它描述了正弦信号变化的进程或状态。φ为t=0时刻
的相位，称为初相位（初相角），简称初相，习惯上取
-180°≤φ≤180°。 正弦信号的初相位φ的大小与所选的计时时间起点有关，计时起
点选择不同，初相位就不同。
1.1.2 正弦信号的相位差
两个同频率的正弦信号的相位之差称为相位差。例如任意两
给定了正弦量，可以得出表示它的相量；反之，由已知的相 量，可以写出所代表它的正弦量。
正弦量：u Um sin(t u )，i Im sin(t i )
对应的相量分别为
•
U
Um 2
u
，
•
I
Im 2
i
1.2.2 相量图及其应用
相量和复数一样，可以在复平面上用矢量表示，这种表示相 量的图，称为相量图。 下面通过例题加以说明：
另外，可以把复数在复平面内表示，即复数对应的复相量，如图
5-6所示，复数A的模r为有向线段OA的长度，辐角φ为有向线段OA与实
轴的夹角。
（2）复数的加减运算 复数相加（或相减），采用复数的代数形式进行，即实部和
电路理论正弦稳态电路
（2）L<1/C，
X<0， Z<0，电路为容性， 电压滞后电流。 Z 0 2
R
等效电路
j
1 Ceq
返 回
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（3）L=1/C ，X=0，
Z=0，电路
为电阻性，电压与电流同相。
等效电路
R
思考:
若R、L、C已定，电路性质能否确 定？（阻性？感性？容性？）
Y G jB
+
I
1 G B 则: Z G jB G 2 B 2 j G 2 B 2
其中： R
G G 2 B2
B X 2 G B2
U
-
G
jB
注意
①一端口N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、结 构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下， 其每一部分都是频率的函数，随频率而变； ②一端口N0中如不含受控源，则有 或 | | 90 | | 90 y
n
n
分压公式
U k
Zk Z
U
返 回
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②导纳的并联
I
I
Yn
+
+
U
_
Y1
Y2
U _
Y
I 1 I 2 I n U (Y1 Y2 Yn ) U Y I
Y Yk (Gk jBk )
k 1 k 1 n n
U
-
R
L
C
1 Y G j ( C ) G j ( BC BL ) G jB L
称为导纳，其实部为电导G，虚部为容纳与感纳之差， 1 称为电纳。即 B BC BL C L
正弦稳态电路习题及答案
正弦稳态电路习题及答案正弦稳态电路习题及答案电路是电子学中的基础概念，而正弦稳态电路是电路中常见的一种类型。
正弦稳态电路是指在电路中通过正弦波电压或电流时，电路中各元件的电压和电流都是正弦波，并且频率和振幅保持不变。
在学习正弦稳态电路时，我们经常会遇到一些习题。
下面，我将为大家提供一些常见的正弦稳态电路习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
习题一：已知电路中有一个电阻R、电感L和电容C，电源提供的电压为V=V0sin(ωt)，求电路中电流的表达式。
答案：根据欧姆定律和电感电压、电容电压的关系，可以得到电流的表达式为：I = V0sin(ωt) / √(R^2 + (ωL - 1/ωC)^2)习题二：已知电路中有一个电阻R、电感L和电容C，电源提供的电压为V=V0sin(ωt)，求电路中电压的表达式。
答案：根据欧姆定律和电感电压、电容电压的关系，可以得到电压的表达式为：V = V0sin(ωt) - I(ωL - 1/ωC)习题三：已知电路中有一个电阻R、电感L和电容C，电源提供的电压为V=V0sin(ωt)，求电路中电压和电流的相位差。
答案：根据电压和电流的表达式，可以得到相位差的表达式为：φ = arctan((ωL - 1/ωC) / R)习题四：已知电路中有一个电阻R、电感L和电容C，电源提供的电压为V=V0sin(ωt)，求电路中电压的幅值。
答案：根据电压和电流的表达式，可以得到电压的幅值的表达式为：Vmax = V0√(1 + (ωL - 1/ωC)^2 / R^2)习题五：已知电路中有一个电阻R、电感L和电容C，电源提供的电压为V=V0sin(ωt)，求电路中电流的幅值。
答案：根据电压和电流的表达式，可以得到电流的幅值的表达式为：Imax = V0 / √(R^2 + (ωL - 1/ωC)^2)通过以上习题及答案，我们可以更好地理解正弦稳态电路的特性和计算方法。
在解题过程中，我们需要熟练掌握欧姆定律、电感电压、电容电压的计算公式，并且要注意频率、电阻、电感和电容之间的关系。
电路分析基础正弦稳态电路功率
功率因数 cos 1 和总电压U。 I + I 解： 令 U U 0 V U 1 Z cos 0.9 25.84 u i I 16 25.84 A 2 cos1 0.8 36.9 2u 2i I 2 10 36.9 A 根据KCL: I1 I I2 16 25.84 10 36.9
P PRk
k
根据功率守恒法则：网络的总瞬时功率守恒，网络的 总平均功率守恒，网络的总无功功率守恒。
p pk 0 P Pk 0
k k
Q Qk 0
k
Sk 0 视在功率不满足功率守恒法则，即：
k
X
例题1 两个阻抗并联的单口网络如下图所示，已知
cos 0.9 I 16 A ， Z1 吸收的功率 P1 500W， （感性）， I2 10A ，cos 2 0.8 （感性）。试求通过 Z1 的电流 I1 、
视在功率(apparent power):单口网络端口电压和电流 有效值的乘积。用S表示. S UI 单位:伏安（VA），千伏安（kVA） 视在功率表示了设备的容量，即可能发出的最大有 功功率。 S S、P、Q之间满足直角三角关系。 Q 2 2
S P Q
P
功率三角形 返回
X
5.特殊性质电路中的功率和能量
X
例题2 已知 i (t ) 5 2 sin(104 t 20 ) A, s 试求电路的P、S和。 i 解： 画出电路的相量模型 s u(t ) 4 is (t ) 5 2 cos(10 t 110 ) A
1 4 3 Z串 j10 6 10 j 4 6 10 2.5 10 j60 j40 j20 20 j20 总阻抗： Z 10 245 20 j20
正弦稳态电路正式
相位差是两个正弦量 在时间上的相对位移。
频率范围广泛，常见 的有50Hz、60Hz等。
电路中的阻抗与导纳
阻抗
表示元件对交流电的阻碍作用，由电阻、感抗和容抗组成。
导纳
表示元件对交流电的导通作用，由电导、感纳和容纳组成。
正弦稳态电路的电压与电流
01
电压和电流均为正弦波，且相位 差保持不变。
02
电压和电流的有效值与最大值之间
含有非线性元件的正弦稳态电路分析
总结词
含有非线性元件的正弦稳态电路是更为复杂 的电路类型，其中非线性元件如开关电源、 LED灯等在电路中起到关键作用。
详细描述
含有非线性元件的正弦稳态电路中，非线性 元件的特性会导致电流和电压波形失真，产 生谐波分量。在分析这类电路时，需要采用 频域分析法或时域分析法，并考虑非线性元 件的动态特性和控制策略。此外，还需关注 非线性元件对电能质量的影响以及如何减小
VS
详细描述
电容元件在正弦稳态电路中表现出储存电 荷的能力，即容抗。容抗的大小与电容量 成反比，与频率成反比。在低频时，容抗 较大；而在高频时，容抗较小。
电阻元件
总结词
电阻元件在正弦稳态电路中具有消耗电能的作用，其阻抗与频率无关，具有实部为电阻值的复阻抗。
详细描述
电阻元件在正弦稳态电路中表现出消耗电能的作用，即电阻。电阻的大小与电阻值成正比，与频率无 关。在任何频率下，电阻都具有相同的阻抗值。
功率分析
01
功率分析是正弦稳态电路分析的重要内容之一，主 要目的是计算电路的功率和能量传输情况。
02
通过功率分析，可以确定电路的效率、功率因数等 参数，并分析电路的能耗和节能情况。
03
功率分析的优点是能够为电路设计和优化提供重要 的参考依据，有助于提高电路的性能和能效。
正弦稳态电路
设 电流 i(t)=Imcos(w t + i )
I T 10TIm 2co2(swti)dt
w w 0 T c2 ( o t s i) d t 0 T 1 c2 2 ( o t s i) d t 1 2 tT 0 1 2 T
I
T1Im 2 T2
Im 2
0.70I7m
注意:只适用正弦量
R 2 I e j ie j w [ t] R 2 I e e j w t][ (5-4)
结论：
iI2co (wtsi)Re2I[ejwt] (5-4)
式（5-4）表示一个实数范围内的正弦量与一个复数范围 内的复指数量具有一一对应关系。用有效值上加点的方式表示 正弦量的方法称为正弦量的相量形式，既可以与有效值 I 区分， 又可以与一般复数区分。
e j( ) co )s j( si n ) ( 1
0
+1
I jI
ej ,+j , –j , -1 都可以看成旋转因子。
例5-1 设两个复数A=4+3j 和B=3-4j ，计算 A+B ，AB 和A/B。
解 加、减计算用代数形式，即
A B (4 j3 ) ( 3 j4 ) 7 j
乘、除运算时，可以先将A和B化为极坐标形式，即
A53.6 9
B5 5.1 3 A 5 B 5 ( 3 .9 6 5 .1 ) 3 2 5 1 .2 6
A5 (3.9 65.1 3)1 90 B5
5.2.2 正弦量的相量表示法
1．正弦量的相量表示
规定： 一个正弦电流量 i 2Icowst (i)A
R
化成相量形式：
RIjwLIU s
令：
U s Uu
＋
电路基础-正弦稳态电路
电路基础-正弦稳态电路第五章正弦稳态电路第一节正弦量的基本概念学习目标：1. 掌握正弦量的三要素。
2 ．掌握正弦量的相位关系。
３. 掌握有效值的定义。
４．掌握正弦量的有效值与最大值的关系。
重点：正弦量的三要素、相位关系、有效值与最大值的关系难点：初相一．正弦交流电的特点大小和方向随时间按正弦规律变化的电流称为正弦交变电流，简称交流（ac 或AC ）。
我们日常生活、生产中，大量使用的电能都是正弦交流电。
正弦交流电具有以下特点： 1 ．交流电压易于改变。
在电力系统中，应用变压器可以方便地改变电压，高压输电可以减少线路上的损耗；降低电压以满足不同用电设备的电压等级。
2 ．交流发电机比直流发电机结构简单。
二．正弦量的三要素区别不同的正弦量需要从它们变化的快慢、变化的先后和变化的幅度三方面考虑。
1 ．变化的快慢---- 用周期、频率或角频率描述。
(1) 周期：T ，秒。
(2) 频率：，Hz 。
(3) 角频率：* 周期越短、频率（角频率）越高，交流电变化越快。
* 工频，，2 ．变化的先后---- 用初相角描述(1) 相位角：(2) 初相角* ：t=0 时正弦量的相位角称作初相角。
的大小和正负与计时起点有关。
角为正；初始值为负时，角为负。
角为负。
* 规定* 当正弦量的初始值为正时，* 如果正弦量零点在纵轴的左侧时，角为正；在纵轴右侧时，3 ．变化的幅度---- 用最大值来描述（1 ）瞬时值：用小写字母表示，如e 、u 、i 。
（2 ）最大值：也称振幅或峰值，通常用大写字母加下标m 表示，如。
一个正弦量与时间的函数关系可用它的频率、初相位和振幅三个量表示，这三个量就叫正弦量的三要素。
对一个正弦交流电量来说，可以由这三个要素来唯一确定：三、相位差与相位关系1 ．相位差——两个正弦交流电在任何瞬时相位角之差称相位差。
* 两个同频正弦量的相位差等于它们的初相之差。
规定。
2 ．相位关系图5-1 相位关系①超前、滞后关系；②同相关系（；③反相关系；④正交关系四、正弦量的有效值一、有效值的引入正弦量的瞬时值是随时间变化的，这对正弦量大小的计量带来一定的困难。
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已知：U=115V , U1=55.4V ,
U2=80V , R1=32 , f=50Hz 求： 线圈的电阻R2和电感L2 。
解一： I U1 / R1 55.4 / 32
U
I
(R1 R2 )2 (L)2
U2
I
R22 (L)2
115
55.4
(32 R2 )2 (314L)2 32
80
55.4
i2 0.182 2 cos(314t 20) A
i3 0.57 2 cos(314 t 70) A
14
例4. 已知：IS 490o A , Z1 Z 2 j30Ω
Z3 30Ω , Z 45Ω 求：I.
Z2 I
解： 法一：电源变换
IS
Z1 Z3 Z
Z1
//
Z3
30( j30) 30 j30
∑i (t) = 0 ∀t ∑I= 0
∑u (t) = 0 ∀t ∑U= 0
3. 基本元件VCR（VAR）的相量形式
UR RIR
UR RIR
UL jL IL
U L LIL
UC
1
jC
IC
j
1
C
IC
UC
1
C
IC
∑Im = 0 ∑Um = 0
u i
u
i
2
u
i
2
7
3. 感抗、容抗、电抗、复阻抗、感纳、容纳、电纳、复导纳
i2 R1 i1
i3 C
+
R2
_u
L
I1 I2 R1
I3
j 1 C
+
R2
U _
Z1
Z2
jL
解：画出电路的相量模型
Z1
R1 ( R1
j
1
C
)
j
1
C
1000 ( j318.5) 1000 j318.5
318.5 103 90 1049 17.67
303.6 72.32 92.20 j289.3
jF Im
b
F
|F|
0
a Re
-F
-jF
旋转因子: j，-j，-1
设 F F e j
则 jF e j90 F F e j( 90)
jF e F j(90) F e j( 90)
F e F j(180) F e j( 180)
3
复数运算
(a)加减运算——直角坐标
F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) (b) 乘除运算——极坐标
③ 求解
10
例1. 列写电路的回路电流方程 _ US +
I1 jL
R1
R2
I3
I4
1
IS
I2
R4
R3
jc
解：
(R1 R2 jL)I1 (R1 jL)I2 R2 I3 US
( R1 R3 R4 jL)I2 (R1 jL)I1 R3 I3 0
(R2
I4
R3
IS
1
jC
)I3
F1 F2 F1 e j1 F2 e j2
F1
F e j(1 2 ) 2
F1 F2 1 2
a F cos , b F sin
F a2 b2 , arctan b
a
F1 F2
F1 e j1 F2 e j2
F e 1 j(1 2 ) F2
F1 F2
1 2
4
u(t) Um cos(t u )
R2 I1
R3 I2
1
jC
I4
0
11
例2. 列写电路的节点电压方程
1 Y3 2
Y1
IS1
Y4
Y5
Y2
+
•
U _ S4
•+ U _S5
解：
(Y2 Y3 )U1 Y3U2 IS1 Y3U1 (Y3 Y4 Y5 )U2 Y4US4 Y5US5
12
例 3: 已知: R1 1000 , R2 10 , L 500mH , C 10F , U 100V , 314rad / s , 求:各支路电流。
Z2
Z1 Z3= Z2 Zx
Zx
Z3
R1(R3+j L3)=R2(Rx+j Lx)
∴ Rx=R1R3 /R2 Lx=L3 R1/R2
17
例6.
•
I
+
•
U_S
已知：Z=10+j50 , Z1=400+j1000。
Z
问：β 等于多少时，I1和US相位差90o ?
•
I1
Z1
•
β I1
分析：找出I1和US关系：US Z转 I1， Z转实部为零, 相位差为90o.
第22讲 正弦稳态电路的计算
学习重点： 掌握正弦稳态电路的分析步骤和方法。
1
回顾：
1. 正弦量与相量
u(t) Um cos(t u )
2U cos(t u )
三 要
i(t) Im cos(t i ) 2I cos(t i ) 素
复数及运算 虚数单位 j 1
欧拉公式: e j cos j sin
线性电阻电路
i 0 u0
u Ri i G u
网孔法
节点法
等效电源定理
正弦稳态电路(相量模型)
I 0 U 0
U Z I I Y U
网孔法
节点法
等效电源定理
9
相量法分析正弦稳态电路的步骤:
① 画出电路的相量模型
R
i , u U , I
L
C
② 列相量代数方程
I 0 , U 0
R
jL
1
jC
U Z I, I Y U
22
第22讲 正弦稳态电路的计算
结束
作业: P268 4-14 P269 4-17 、4-18
预习: 正弦稳态电路的功率
23
15
j15
I
IS(Z1 // Z3 ) Z1 // Z3 Z2 Z
j4(15 j15) 15 j15 j3045
5.65745o 5 - 36.9o
1.1381.9o A
Z2
Z1Z3
I
+
Z
( Z1 // Z 3 )IS
-
15
法二：戴维南等效变换
•
I
Z0
•+
Z
IS
U0
-
Z2 Z1 Z3 U0
求开路电压： U0 IS (Z1 // Z3 )
根据振幅相量可写出正弦量的瞬时值表达式。
5
U m 2U Um 2U 有效值相量
相量运算
（1）同频率正弦量相加减
u(t) u1 (t) u2 (t) U U1 U2
（2） 正弦量的微分、积分运算
i(t) I
di j I
dt
idt
1
j
I
6
2. KCL和KVL的相量形式
时域形式 ⇔ 有效值相量形式⇔ 振幅相量形式
U R2 U2 cos 2 80 cos 64.9 33.94V
•
I U1 / R1 55.4 / 32 1.731A
R2 UR2 I 33.94 1.731 19.6
I R1
+
+
_ U1 R2
+
L2 UL2 I 72.45 1.731 41.85
U _
U2 L2 _
L2 41.85 314 0.133 H
Z2 R2 jL 10 j157Ω
13
I1 I2 R1
I3
j 1 C
+
U _
Z1
R2
jL
Z Z1 Z2
167.2 52.31
Z2
I1
I2
U 0.59852.3 A Z
j
1
C
1
I1 0.182
20.0
A
R1 j C
I3
R1
R1 j 1
C
I1 0.57070.0 A
i1 0.598 2 cos(314 t 52.3) A
R22 (314L)2 32
R2 19.6 L2 0.133H
19
解二： U U1 U2 U1 UR2 UL2
U
U2
U
2 1
U
2 2
2U1U 2
cos
U1
U2 UL
2 UR2 I
cos 0.4237 115.1 2 180 64.9
U L2 U2 sin 2 80 sin64.9 72.45V
F (t ) U m cos(t u ) jU m sin(t u )
U m e j(tu )
u(t) Re F(t) Re Ume j(tu )
Re Ume ju e jt
令：Um Ume ju Umu 称为振幅相量
振幅相量包含振幅和初相，在已知角频率的情况下，
84.8645o V
求等效阻抗： Z0 Z1 // Z3 Z2
15 j45Ω
I U0 84.8645 1.1381.9o A
Z0 Z 15 j45 45
16
例5. 已知平衡电桥Z1=R1 , Z2=R2 , Z3=R3+j L3 。 求：Zx=Rx+jLx。
解： 由平衡条件：
Z1
感抗 X L L
容抗
XC
1
C
电抗X
感纳
BL
1
L
容纳 BC C
电纳B