工程力学第十一章弯曲应力课件

y
点为拉压最大正应力点。
s Lmax s D1
s ymax s D2
例 1、结构如图，P 过形心且与z轴成角，求此梁的最大应力。
解：危险点分析如图
中性轴
a
z Pz
D1
D2
Py
最大正应力
s Lmax
s D1
Mz Wz
My Wy
s D2
y
§11-8 弯拉（压）组合
横向力与轴向力共同作用
q
F
F
M
s
Q
t
s t
2、正应力和切应力强度条件：
s max
M max Wz
s
t max
Qmax
S
z max
b Iz
t
3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
、校校核核强强度度：： s max [s ]; t max [t ]
设计截面尺寸：
Wz
M max
[s ]
设计载荷： M max Wz[s ]; [P] f (M max)
A
Iz
图a
同理 :
N2
(M
dM
)S
z
Iz
y M(x)
Q(x)+d Q(x)
t1
N2 N1 b(dx)
dM dx
S
z
bI z
QS
z
bI z
Q(x) dx
图b
M(x)+d M(x) z
由切应力互等
t
t (y)
t1
QS z bI z
t1
x
s1
t y s2 图c
横力弯曲时,横截面上切应力 的计算公式.
（二） 正应力公式推导：
) ) ) 1、几何方面：
) a
b
x
A1B1 AB AB
A1B1 OO1 OO1
A
B
c
d
( y)d d y
d
d
O A1
O1 y
B1
z
y
x
y
...... (1)
横截面上任一点的纵向线应变与该点到 中性层距离成正比（中性轴上应变 为零，一侧拉应变，一侧压应变）
2、物理关系：
t max
Q
t max
Af
; Af —腹板的面积。
结论： 翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。
铅垂切应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈ tmin
Q
故工字钢最大切应力
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t max
Af
;
②圆截面：
t max
4 3
Q A
4t
3
③ 薄壁圆环：
t max
2
Q A
2t
• 作业：11-10
S
z
A ydA yc A
y
z yc*
h 2
y b(h
y)
b (h2
y2)
22
24
y
A*
Sz*为面积A*对横截面中性轴的静矩.
式中: Q--所求切应力面上的剪力.
IZ--整个截面对中性轴的惯性矩. Sz*--过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩. b--所求应力点处截面宽度. 注意 :t QS z 公式中,如截面确定 ,则Q、Iz定，b一般也不变 ,
图b
Q(x) dx M(x)+d M(x)
z
t1
x
s1
t y s2 图c
1、两点假设： 切应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，切应力
相等。
2、研究方法：分离体平衡。
在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡
X N2 N1 t1b(dx) 0
N1
A s1dA
M Iz
ydA MSz
y1
4 52 763108
27.2MPa
A1
A3
y1 G
s A4 y
M B y2 Iz
4 88 763108
46.2MPa
校核强度
y2
A2
A4
A3
s Lmax 28.2 s L
s ymax 46.2 s y
y2 G
T字头在上面合理。
y1 A4
§11--6 提高弯曲强度的措施
控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以
截面的曲率半径。
+
M1 Mmax
解：画M图求截面弯矩
M1
( qLx 2
qx2 2
)
x 1
60 kNm
1 Q=60kN/m
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
A
B 求应力
1m 1
qL2
M
8
+
2m
12 z
120 y x
180 30
Iz
bh3 12
120 180 3 12
左
bh2 6
WZ
右
hb2 6
目录
三、等强度梁
hx
b
目录
目录
§11 概 述
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种 简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量基时，不能忽 略之，这类构件的变形称为组合变形。
P
R
Ｍ
P
P hg
P
q
gh
水坝
一、组合变形的研究方法 —— 叠加原理 ①、外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解 ②、内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确 定危险面。
s max
M max WZ
[s ]
作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可能地小，使WZ尽 可能地大。
• 11-13（a）
一. 合理安排梁的受力情况，降低 Mmax
合理布置支座
F
F
F
目录
合理布置支座
目录
合理布置载荷
F
目录
二. 增大 WZ
合理设计截面
目录
合理设计截面
目录
合理放置截面
WZ
d 4 / 64 d 3
ymax d / 2 32
d
a d
D
D
圆环
Wz
Iz D3 (1a 4)
ymax 32
1 Q=60kN/m
例1 受均布载荷作用的简支梁如 图所示，试求：
A
B （1）1——1截面上1、2两点的
1m 1
qL2
M
8
2m
12 z
120 y x
180 30
正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求1—1
10 12
5.832
10 5 m4
Wz I z / 0.09 6.48 104 m3
s1
s2
M1y Iz
60 60 105 61.7MPa 5.832
M1 Mmax
1 Q=60kN/m
A
B
180 30
1m 1
2m 12
120 qL2
M
8
x
+
M1 Mmax
s1max
M1 Wz
601000 104 6.48
解：画弯矩图并求危面内力 RA 2.5kN ; RB 10.5kN M C 2.5kNm (下拉、上压 ) M B 4kNm（上拉、下压）
画危面应力分布图，找危险点
2.5kNm M
s A2L
M C y2 Iz
2.5 88 763 10 8
28.2MPa
x -4kNm
s A3L
MB Iz
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。
由胡克定律知：
sx
sx
sx
E x
Ey
...... (2)
3、静力学关系：
①
Nx
AsdA
A
Ey
dA
E
A
ydA
ES z
0
Sz 0 中性轴过截面形心
②
Mz
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y 2dA EI z M
A
中性层曲率：
第十一章 弯曲应力
§11–1 引言 §11–2 对称弯曲的正应力 §11-4 弯曲切应力 §11-5 梁的强度条件 §11-6 梁的合理强度设计
§5－１ 纯弯曲
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力Q 弯矩M
弯曲切应力t 弯曲正应力s
2、对称弯曲
外力作用于纵向对称面，梁变形对称于纵向对称面。这种变形 称为对称弯曲。
例如：
P1
P2
纵向对称面
aP A
Q
Pa
纯弯曲(Pure Bending):
B 某段梁的内力只有弯
矩没有剪力时，该段梁的 变形称为纯弯曲。如AB段。
x
M
x
§11－2 纯弯曲时的正应力
纵向对称面
a
c
b
d
M
a
c
b
d
（一）梁的纯弯曲实验 1.纯弯曲实验
①横向线(a b、c d）变形
后仍为直线，但有转动； ②纵向线变为曲线，且上 缩下伸； M ③横向线与纵向线变形后 仍正交。 ④横截面高度不变。
bI z
则t只随Sz变化,即随高度变化 .
Q
t 矩
Q 2Iz
h2 (
4
y2)
(为二次抛物线)
t max
3 2
Q A
1.5t
t方向：与横截面上剪力方向相同 (不考虑正负号)；
t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
中性轴上有最大切应力. 为平均切应力的1.5倍。
二、其它截面梁横截面上的切应力
4、需要校核切应力的几种特殊情况：
梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核切应力。 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相
应比值时，要校核切应力。 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。
q=3.6kN/m
A
Q
qL
2+
L=3m
M
qL2/8
+
例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截
92.6MPa
s max
M max Wz
67.51000 104 6.48
104.2MPa
求曲率半径
1
EIz M1
200109 5.832105 60103
194.4m
• 作业：11-6
§11－4 对称弯曲切应力
一、 矩形截面梁横截面上的切应力
x
dx
图a y
M(x)
Q(x)+d Q(x)
求最大应力并校核强度
s max
M max Wz
6M max bh2
6 4050 0.12 0.182
6.25MPa 7MPa [s ]
–
x
t max
1.5 Qmax A
1.5 5400 0.12 0.18
qL
2
0.375MPa 0.9MPa [t ]
x 应力之比
s max M max 2 A L 16.7 t max Wz 3Q h
Iz
Iz
合应力：s s s M( z cos y sin )
Iy
Iz
③、中性轴方程 s M( z0 cos y0 sin ) 0
中性轴
Iy
Iz
a
tga y0 Iz ctg
z0 I y
Z Pz
D1
可见：只有当I y = I z时，中性轴与外 D2
力才垂直。
P
Py
④、最大正应力 在中性轴两侧，距中性轴最远的
1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：
t QSz
其中Q为截面剪力；Sz为y点1 以下b部Iz分面积对中性轴之静矩；
Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。 2、几种常见截面的最大弯曲切应力
①工字钢截面： 腹板最大弯曲切应力:
d
t max
Q
d(Iz
/
S z max
)
t m in
Pz Py
Z Pz
P
Py
y
解：1、将外载沿横截面的形心主轴分解
m
Py P sin
Pz P cos
2、研究两个平面弯曲
xm
L
② 应
My引起的应力：
s M yz M z cos
Iy
Iy
① M z Py ( L x) 内 P(L x)sin
M sin 力
M y M cos
力 M z引起的应力： s M z y M y sin
B 面木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0. 9
M Pa，试求最大正应力和最大切
应力之比,并校核梁的强度。
–x
qL 2
x
解：画内力图求危面内力
Qm a x
qL 2
3600 3 2
5400N
qL2 3600 32 M max 8 8 4050 Nm
q=3.6kN/m
Q
qL
2+
M
qL2/8
+
1 Mz
EIz
… …(3)
sx
E x
E
y
Mzy Iz
EIz 杆的抗弯刚度。
sx
M y Iz
...... (4)
Iz
截面对z轴惯性矩。
（三）最大弯曲正应力：
s max
M Wz
… …(5)
Wz
I z ymax
抗弯截面模量。
bh3
矩形
Wz
Iz ymax
12 h
bh2
6
b
2
d
圆形
Wz
Iz
A
B
l
z
Mz FN
+
=
sN
FN A
sM
M max y IZ
s max
min
FN A
Mzy IZ
设图示简易吊车在当小车运行到距离梁端D还有0.4m
处时，吊车横梁处于最不利位置。已知小车和重物的总
重量F＝20kN，钢材的许用应力［σ］＝160MPa，暂不
2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
3.推论 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。
纵向对称面 中性层
纵向纤维间无挤压、 只受轴向拉伸和压缩。
中性轴（横截面上只有正应力）
③、应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。
§11-7 非对称弯曲 一、非对称弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，轴线与（横向
力）不共面 二、斜弯曲的研究方法 ： 1、分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正
交的平面弯曲。 2、叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
§11-5 梁的正应力和切应力强度条件 1、危险面与危险点分析：
一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上 下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中 性轴处。
M
ss
Q
s
t
t
带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上 述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面 的腹、翼相交处。（以后讲）
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m 1m 1m
2.5kNm M
x -4kNm
A1
A3
y1 G
y2
A2
A4
4
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，
铸铁的[sL]=30MPa，[sy]=60 MPa，
其截面形心位于G点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？