工程力学第十一章弯曲应力课件
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工程力学第十一章 组合变形
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。
工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)
第 11 章 弯曲应力
本章主要研究：
单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y
(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
本章主要研究：
单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y
(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
工程力学(静力学与材料力学)第二篇第11章弯曲应力精品PPT课件
2. 应力计算
M M e 2.0 0 km N s
max
M Wz
10.18MPa
3. 变形计算
1 M
EI z 16m 6
EI z
M
单辉祖,材料力学教程
13
§2 惯性矩与平行轴定理
静矩与惯性矩 简单截面惯性矩 平行轴定理 例题
单辉祖,材料力学教程
14
静矩与惯性矩
静矩
Sz
ydA
Iz Ay2dA IzAy0a2dA
Iz A y 0 2 d A 2 a A y 0 d A A 2a
Iz0 Ay02dA Ay0dA0
Iz Iz0 Aa2
同理得： IyIy0Ab2
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系
二者平行
单辉祖,材料力学教程
17
例题
例 2-1 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力st,max与压应力sc,max
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数
弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力
抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度 的影响
单辉祖,材料力学教程
11
例题
例 1-1 梁用№18 工字钢制成，Me=20 kN•m, E=200 GPa。
单辉祖,材料力学教程
2
§1 对称弯曲正应力
引言 弯曲试验与假设 对称弯曲正应力公式 例题
单辉祖,材料力学教程
3
引言
弯曲应力 弯曲正应力
梁弯曲时横截面上的s
弯曲切应力
(精品)材料力学课件：弯曲应力
危险点： a 点处: 纯剪切
c , d 点处: 单向应力
b 点处: , 联合作用
18
二、梁的强度条件
• 弯曲正应力强度条件：
max
M Wz
max
[ ]
max：最大弯曲正应力
[] ：材料单向应力许用应力
•弯曲切应力强度条件：
max
F SS z ,max I z
max
[ ]
max ： 最大弯曲切应力 [] ： 材料纯剪切许用应力
FS
(y)
横截面两侧边缘的各点： //侧边； 一般梁横截面窄而高；
yz
假设 (y)的
分布形式
横截面上各点： //侧边， 沿截面宽度方向均匀分布
y
4
利用分离体平衡来求横截面上的切应力( q 0 的情况)
M
M+dM
(y)
FS
FS
F1
z dA F2
dx
b
y
dx
F1
dA
x方向平衡： F1 ( y) b dx F2
Fs
x
t
z
dx y
dx
(s)
F1
'(s)
F2
S
10
工字形与盒形等薄壁梁的弯曲切应力：
工字形梁的弯曲切应力 腹板： //腹板侧边，均匀分布。
b/2
b/2
翼缘： //翼缘侧边，均匀分布。
翼缘 分析方法：分离体平衡
h0/2 h/2 h/2
h0/2
FS 腹板
C
z
( y) FS Sz ( )
Iz b 翼缘：
h2 ) (h2
4 y2 )]
盖板与腹板的交接处：
应力分布较复杂，有应力集中现象
工程力学-弯曲应力
6 弯曲应力1、平面弯曲梁横截面上的正应力计算。
正应力公式是在梁纯弯曲情况下导出的，并被 推广到横力弯曲的场合。
横截面上正应力公式为j zM y I σ=横截面上最大正应力公式为 max zM W σ=2、横力弯曲梁横截面上的切应力计算，计算公式为*2z QS I bτ= 该公式是从矩形截面梁导出的，原则上也适用于槽形、圆形、工字形、圆环形截面梁横截面切应力的计算。
3、非对称截面梁的平面弯曲问题，开口薄壁杆的弯曲中心。
4、梁的正应力强度条件和切应力强度条件为[]max σσ≤[]max ττ≤根据上述条件，可以对梁进行强度校核、截面设计和容许荷载的计算，与此相关的还要考虑梁的合理截面问题。
5、梁的极限弯矩6.1图6-6所示简支梁用其56a 号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板部分在与翼板交界处的切应力。
图 6.1[解] 作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC 段，其值为max 7575000Q kN N ==利用型钢表查得，56a 号工字钢*247.7310z z S I m -=⨯,最大切应力在中性轴上。
由此得以下求该横截面上腹板与翼板交界处C 的切应力。
此时*z S 是翼板面积对中性轴的面积矩，由横截面尺寸可计算得*3435602116621()9395009.401022z S mm m -=⨯⨯-==⨯ 由型钢表查得465866z I cm =,腹板与翼板交界处的切应力为*max max max max23*max7500012600000126.47.731012.510z a z z z Q S Q MP I I dd S τ--=====⨯⨯⨯⨯a MP 6.12解题范例483750009.40108.6658661012.510fc a MP τ---⨯⨯==⨯⨯⨯6.2长为L 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F ，已知b ＝120mm ，h ＝180mm 、L ＝2m ，F ＝1.6kN ，试求B 截面上a 、b 、c 各点的正应力。
工程力学弯曲强度剪力图与弯矩图(ppt)
弯曲变形的内力
剪力符 号左和规右定指：什么，
上和下又Q 指
Q
什么？
左右、上下的 两种解释
Q
左上右下为正
或使该段梁顺时针 转动为正
Q
弯矩符号规定： 下侧受拉(上凹下凸、左顺右逆)为正
左和右指什么，
M顺和逆又M指
什么？ 左右、顺逆的
两种解释
MM
支座的分类
根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，一般可 以简化为三种基本形式：
RA
求得截面Q上3 的内力.
M4
5qa2 4
★ 可以直接通过截面一侧杆段上的横向力的代数和直 接求得截面上的剪力，通过一侧杆段上横向力对截面 的力矩以及力偶之代数和求得截面上的弯矩
★ 必须注意求代数和时各项的正负号
求剪力时的横向力为“左上右下为正，左下 右上为负”
求弯矩时的横向力对截面形心的力矩以及一侧 杆段上的力偶为“左顺右逆为正，左逆右顺为负”
Pb
１
刚体平衡概念的扩展和延 RA l
A
１
x
伸：B 总体平衡，R则A其l 任P 何b
局部也必然是平衡的。
RB
Pa l
R A 弯曲l变形有R两B 个内2、力1-1参面上数的内：力
x RA
剪力Q和弯矩M M M
Q Q’
P
★ 自左向右计算
RB
Q RA
M RA
Pb x lPb
l
x
★ 自右向左计算又如何？
P=8KN
1
A
1
2m
RA 1.5m 1.5m
q=12KN/m
2
2
B
1.5m
3m
RB
RA =15kN RB =29kN
第11章(弯曲应力)
I yC I yC 1 I yC 2
[ 1 0.86 1.43 0.192 0.86 1.4] 12 1 [( 0.828 1.3343 0.2072 0.828 1.334)] 12 0.029m4
§11-3
一、纯弯曲时的正应力
1.变形几何关系
同一横截面上距离中性轴最远处正应力最大
max
抗弯截面系数
M ymax Iz
Iz Wz ymax
max
M Wz
· 矩形截面 · 实心圆截 面 · 空心圆截 面
bh2 Wz 6 d3 Wz 32 D3 Wz (1 4 ) 32
例：图所示悬臂梁，承受的集中力偶M = 20kN· m作用。梁 采用No.18工字钢，钢的弹性模量E = 200GPa。计算梁内的最 大弯曲正应力与梁轴的曲率半径。 解：截面的弯矩 M 20kN m 查型钢表 I z 1.660 105 m4
x
0:
ydA E
A
A
dA 0
E
ydA
Sz 0
Sz 0
中性轴z必过截面形心，同时中性轴z与截面 纵向对称轴y垂直，故中性轴位置可确定。y、z轴 之交点为形心，x轴即为轴线
(2)
M (F ) 0 :
y
A
A
dA z 0
E
E
A
ydA z
ql 2 M max 2 Mmax ql 2 / 2 3ql 2 max 2 Wz bh / 6 bh2
max
3FSmax 3ql 2A 2bh
工程力学课第11章 弯曲变形
图11.2 梁的平面弯曲
11.1.2 梁的计算简图
这里研究的梁是等截面的直梁，梁所受的外力是作用在纵向对称面 内的平面力系。 为了便于分析计算，需将实际的梁结构、荷载形式及支座进行简化， 作出计算简图。 1. 荷载 作用在梁上的荷载有多种情况，但常见的有以下三种形式。 (1) 集中荷载：即作用在梁的微小局部上的横向力，常用F表示。 (2) 集中力偶：即作用在纵向对称面内的力偶，常用 M e 表示。 (3) 分布荷载：即沿梁长连续分布的横向力，荷载的大小用荷载集 度q表示。q为常值时，称为均布荷载，如梁的自重；q是线性分布 时，称为三角形荷载，如水压力。
FS FA
2. 梁内力的符号 为了使左、右两段梁上算得同一截面m—m上的内力，不仅可以数 值上相等，正负号也相同，先对剪力、弯矩的符号做如下规定：截 面上的剪力相对所取的脱离体上任一点均产生顺时针转动趋势，这 样的剪力为正的剪力(如图11.5(a)所示)，反之为负的剪力(如图 11.5(b)所示)；截面上的弯矩使得所取脱离体下部受拉为正(如 图11.5(c)所示)，反之为负(如图11.5(d)所示)。
【例题11.1】 如图11.6所示为一在整个长度上受线性分布荷载 作用的悬臂梁。已知最大荷载集度 q 0 ，几何尺寸如图所示。试求C、 B两点处横截面上的剪力和弯矩。
图11.6
解：当求悬臂梁横截面上的内力时，若取包含自由端的截面一侧的 梁段来计算，则不必求出支反力。用求内力的简便方法，可直接写 出横截面C上的剪力 FSC 和弯矩 M C 。 n qC 1 qC 2 qC ， M a a a FSC Fi a C
第二篇 材料力学
第11章 弯曲变形
第11章 弯 曲 变 形
《工程力学》教学课件第十一章弯曲内力
引发裂缝扩展
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
工程力学10弯曲内力PPT课件
P
Y 0
A 4Pa
B
C
FsC YA 0
YA
a
a
2a YB
Fs C
P 2
4Pa
MC
mo 0
A
M C YA a 4Pa 0
• C Fs
MC
7 Pa 2
YA
P 2
（3）计算 B 截面内力
Y 0
A
Fs B YB 0
YA
Fs B
3 2
P
mo 0
M B YB 0 0
MB 0
P 4Pa
b
任意载
1. 分布载荷q(x) ――连续作用在一段长度的载荷。 例如：自重、惯性力、液压等， 单位：kg/cm，
N/m。
q(x)
a dx
b
因为每个小微段（dx）可以看成一个小的集中力 [q (x)dx]，根据平行力系求合力：
合力 b q(x) dx （载荷图面积） a
合力着力点：――在载荷图的面积形心上
Fb/l
+
x a Fbx / l Fab/ l x a Fa(l x) / l Fa(l a) / l Fab/ l
－
Fab/l
+
Fa/l
F
C处存在集中力F
剪力图上发生突变
突变的大小为
F Fb / l (Fa / l) Fl / l F
若梁上某点作用一向下（上） 的集中力，则在剪力图上该点的极
FA FB q 6 0 FB 3.5kN
[2]取CA段中任意截面的左侧部分加以
分析:
FS (x) qx 3x (0 x 2) C A
M (x) 1 qx2 3 qx2 (0 x 2) 2m
工程力学第十一章弯曲应力
Q
+
– x
qL 2
Qmax 1.5 5400 t max 1.5 A 0.12 0.18 0.375MPa 0.9MPa [t ]
应力之比
+ M
qL2 8
s max M max 2 A L 16.7 46 t max Wz 3Q h
例题5
F
l
悬臂梁由三块木板粘接 50 而成。跨度为1m。胶合面 z50 的许可剪应力为0.34MPa， 50 木材的〔σ〕= 10 MPa， 100 [τ]=1MPa，求许可载荷。
P1=9kN A C 1m 1m
P2=4kN B D 1m
Ｃ
y1
z
y2
例2 T 字形截面的铸铁梁受力如
图，其截面形心位于C点， y1=52mm， y2=88mm， 截面对形心轴的惯性矩 Iz=763cm4 ，试计算梁内的最大
解：画弯矩图并求危面内力
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
L=3m
qL 2
Q
+
–
Qmax
M max
+ M
qL 3600 3 5400 N 2 2
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
45
qL 8
2
q=3.6kN/m
A
求最大应力并校核强度
L=3m
qL 2
M max 6M max 6 4050 B s max 2 Wz bh 0.12 0.182 6.25MPa 7MPa [s ]
15
(2)两个概念
①中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤 维不受拉应力和压应力，此层称中性层。 ②中性轴：中性层与横截面的交线。
材料力学——梁的弯曲应力PPT课件
M x 90KN
M C 90 1 60 1 0.5 60kNm
12
可得挠曲线的曲率方程：
M EI z
1
为常数，挠曲线 是一条圆弧线
EIz ——抗弯刚度。
正应力的计算公式为 横截面上最大正应力为
My s Iz
s max
Mymax M M Iz I z / ymax Wz
Iz ——截面的抗弯截面模量，反映了截面 Wz ymax 的几何形状、尺寸对强度的影响。 13
平放：
1 1 2 3 hb , Wz hb Iz 12 6
若h>b, 则
Wz Wz 。
15
d z
Iz
64
d 4,
Wz
32
d 3,
D
d z
Iz
64
(D d )
4 4
64
D4 (1 4 )
Wz
32
d ( ) D
D3 (1 4 )
﹡简单截面的惯性矩
矩形截面
y I z y dA h y bdy b 2 3 A
2 h 2 2
h 3 2 h 2
bh 12
3
园形截面
14
矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：
竖放：
z h
b
b h z´
1 3 1 2 I z bh , Wz bh 12 6
19
385 106 Pa 385MPa
例 题
y q=60KN/m
120
求: 1.C 截面上K点正应力
180
第11章-弯曲应力
7
梁横截面上的静力平衡方程
My
N dA 0
A
M y z dA 0
A
z
Mz dA
M z y dA M
A
正应力分布不清楚 —— 正应力无穷个未知数 3个方程解不出来
y
静力不足变形补 —— 下面研究 梁变形几何关系
8
变形几何关系的建立
研究对象：等截面直梁
dv F m dt
推广到刚体，何种形式？
—— 质点Newton定律
d M I dt
2
—— I 是什么？
转动惯量（Rotational inertia）：
对于平面图形，当密度取单位值时，dm
此时转动惯量就等于极惯性矩
I dm
= dA，
32
温故知新，我们进行类比
动力学
材料力学
dv F m dt
S z ydA
o
S y zdA
z
23
[思考]
1、为什么用z-y坐标而不是x-y坐标？
2、为什么
A
ydA 对应于 S z 而不是 S y
形心：使平面图形各微元静矩和为零的坐标原点
c
,
, dA c dA dA c A 0
c dA / A
I yz 0 y
C
I yz 0
z
C C
y
I yz 0 ??
z
CC
y z
（2）若图形有一对称轴，其惯性积为零 I yz 0
（3）任一点为原点的所有正交坐标系中，两个惯性矩之
和等于 不变的极惯性矩 Ip 值
Iz Iy I p
梁横截面上的静力平衡方程
My
N dA 0
A
M y z dA 0
A
z
Mz dA
M z y dA M
A
正应力分布不清楚 —— 正应力无穷个未知数 3个方程解不出来
y
静力不足变形补 —— 下面研究 梁变形几何关系
8
变形几何关系的建立
研究对象：等截面直梁
dv F m dt
推广到刚体，何种形式？
—— 质点Newton定律
d M I dt
2
—— I 是什么？
转动惯量（Rotational inertia）：
对于平面图形，当密度取单位值时，dm
此时转动惯量就等于极惯性矩
I dm
= dA，
32
温故知新，我们进行类比
动力学
材料力学
dv F m dt
S z ydA
o
S y zdA
z
23
[思考]
1、为什么用z-y坐标而不是x-y坐标？
2、为什么
A
ydA 对应于 S z 而不是 S y
形心：使平面图形各微元静矩和为零的坐标原点
c
,
, dA c dA dA c A 0
c dA / A
I yz 0 y
C
I yz 0
z
C C
y
I yz 0 ??
z
CC
y z
（2）若图形有一对称轴，其惯性积为零 I yz 0
（3）任一点为原点的所有正交坐标系中，两个惯性矩之
和等于 不变的极惯性矩 Ip 值
Iz Iy I p
工程力学材料力学弯曲应力截面计算与校核
4. 工字形截面 查型钢表，A=bh=140cm2，选用50c号（A=139cm2）
Wz = 2080cm
3
s max
M max = = 14.42MPa 11 Wz
HOHAI UNIVERSITY
例 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。求最大拉应 力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。
HOHAI UNIVERSITY
q=20kN/m
A D 4m 40 +
220 C 2m 60
B
c yc=180 x
60
z
280
1.5m
22.5 M/kN· m
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· M D ytD D max s = = 21.7MPa t max D截面 上部受压、下部受拉 Iz D yt max = 180mm D M y I z = 186.6 106 m 4 D B c max 14 s = = 12.1MPa D c max yc max = 100mm Iz B、D截面为危险截面
My s = Iz
Iz
抗弯截面系数
smax =
M Wz
8
HOHAI UNIVERSITY
对于剪切弯曲梁，这时两个基本假设并不成立。但实验和理 论分析表明，当l/h（跨高比）较大（>5）时，采用该正应 力公式计算的误差很小，满足工程的精度要求。 这时
s
=
M(x)y Iz Mmax Wz
M(x) 1 = ρ( x ) E Iz
* 3 3 Sz = 70 60 220 = 924 10 mm 1
1 =
* FQ S z 1
I zd
材料力学课件 弯曲应力(孙)
mm，钢的密度为： 7.8g/cm³ ，液体的密度为：1g/cm³,液面 高0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。 解： q — 均布力
L g A2L 2 g A g A g mg Vg A q 1 1 1 1 2 2 L L L
1 D 1g [R2 R2( sin )] 2 g 2
[例4-3] 计算1-1,2-2截面的剪力和弯矩。
20kN
1
20 kN m
2
10 kN m
解：
A
C
RA 50kN RB 10kN
B
0 .5 m
RA
1m
1
0 .5 m
D 2
11:
Q1 20 RA 10 0.5 25kN
1m
1m
RB
RB 101.5 25kN
M1 201.5 RA 0.5 10 0.5 0.25 6.25kN m
RB 1.5 101.5 0.75 20 6.25kN m
2 2 :自己算2 - 2截面的Q2和M 2 Q2 20 50 101.5 RB 10 0.5 15kN
M M ( x)
剪力方程 (equation of shearing force) 弯矩方程 (equation of bending moment)
Q Q( x) 的图线表示 M M ( x) 的图线表示
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
弯矩图
[例4-4] 求下列各图示梁的内力方程并画力图。 P L 解：①求支反力 MO YO Q(x) x Q(x) M ( x) P
剪力图上某点处的切线斜率 等于该点处荷载集度的大小。
L g A2L 2 g A g A g mg Vg A q 1 1 1 1 2 2 L L L
1 D 1g [R2 R2( sin )] 2 g 2
[例4-3] 计算1-1,2-2截面的剪力和弯矩。
20kN
1
20 kN m
2
10 kN m
解：
A
C
RA 50kN RB 10kN
B
0 .5 m
RA
1m
1
0 .5 m
D 2
11:
Q1 20 RA 10 0.5 25kN
1m
1m
RB
RB 101.5 25kN
M1 201.5 RA 0.5 10 0.5 0.25 6.25kN m
RB 1.5 101.5 0.75 20 6.25kN m
2 2 :自己算2 - 2截面的Q2和M 2 Q2 20 50 101.5 RB 10 0.5 15kN
M M ( x)
剪力方程 (equation of shearing force) 弯矩方程 (equation of bending moment)
Q Q( x) 的图线表示 M M ( x) 的图线表示
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
弯矩图
[例4-4] 求下列各图示梁的内力方程并画力图。 P L 解：①求支反力 MO YO Q(x) x Q(x) M ( x) P
剪力图上某点处的切线斜率 等于该点处荷载集度的大小。
工程力学11弯曲变形共67页
f ( P 1 P 2 P n ) f 1 ( P 1 ) f 2 ( P 2 ) f n ( P n )
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
14
14
P
q 例3 按叠加原理求A点转角和C点挠
A
B 度。
C
a
a
解、载荷分解如图
P
由梁的简单载荷变形表，
=
A
B
查简单载荷引起的变形。
(0xa) (axL)
最大挠度及最大转角
max(a)
Pa2 2EI
a
P
L
x
fmax f(L)6PE2aI3La
f
13
按叠加原理求梁的挠度与转角
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
( P 1 P 2 P n ) 1 ( P 1 ) 2 ( P 2 ) n ( P n )
(axL)
L
x
f 写出微分方程的积分并积分
EfI 0 P(ax)
(0xa) (axL)
EIf
1 2
P(a
x)2
C1
D1
11
EIf16P(ax)3 C1xC2 D1xD2
11
梁的挠曲线近似微分方程及其积分
应用位移边界条件求积分常数
EI(f0)1 6P3 aC20
EI(0)1 2P2aC10
a
P
L f
其方程为：
w =f (x)
三、转角与挠曲线的关系：tg d d fx= d d w x小 变形 f
5
(1 )
5
梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程
x M>0 f(x)0 f
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
14
14
P
q 例3 按叠加原理求A点转角和C点挠
A
B 度。
C
a
a
解、载荷分解如图
P
由梁的简单载荷变形表，
=
A
B
查简单载荷引起的变形。
(0xa) (axL)
最大挠度及最大转角
max(a)
Pa2 2EI
a
P
L
x
fmax f(L)6PE2aI3La
f
13
按叠加原理求梁的挠度与转角
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
( P 1 P 2 P n ) 1 ( P 1 ) 2 ( P 2 ) n ( P n )
(axL)
L
x
f 写出微分方程的积分并积分
EfI 0 P(ax)
(0xa) (axL)
EIf
1 2
P(a
x)2
C1
D1
11
EIf16P(ax)3 C1xC2 D1xD2
11
梁的挠曲线近似微分方程及其积分
应用位移边界条件求积分常数
EI(f0)1 6P3 aC20
EI(0)1 2P2aC10
a
P
L f
其方程为：
w =f (x)
三、转角与挠曲线的关系：tg d d fx= d d w x小 变形 f
5
(1 )
5
梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程
x M>0 f(x)0 f
弯曲应力课件
解：（1）求1-1截面上的弯矩
M B (F ) 0 FA (1200 1000) 8 1000 0 FA 3.64 KN
y
F
0
FA FB 8 0 FB 4.36 KN
（2）求1-1截面上的弯矩
M 11 FA 1000 3.64 1000kN mm 3.64 106 N mm
n
例: 求如图所示T形截面的形心坐标。
解：确定T形截面的形心位置
AI 60 20 1200mm 20 yI 10mm 2 2 AII 20 60 1200mm
60 y II 20 50mm 2
2
所以T形截面的形心坐标纵坐标为
AI y I AII y II 1200 10 1200 50 yC AI AII 1200 1200 30mm
c、d四点处的正应力。
截面上各点处的正应力分别为
M 20 10 a 8.89MPa(拉应力） 3 WZ 2.25 10
3
My 20 103 0.075 b 4 IZ 3.375 10 4.44MPa(拉应力）
C 0
d a
8.89MPa(压应力）
正交，只是绕截面内某一轴旋转了一个角度。这个假设称为平 面假设。
2)把梁看成是由许多纵向纤 维组成。变形后，由于纵向 直线与横向直线保持正交， 即直角没有改变，可以认为
纵向纤维没有受到横向剪切
和挤压，只受到单向的拉伸 或压缩，即靠近凹面纤维受
压缩，靠近凸面纤维受拉伸。
得到变形几何关系
e' f 'ef e' f 'dx y d d y ef dx d
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2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
3.推论 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。
纵向对称面 中性层
纵向纤维间无挤压、 只受轴向拉伸和压缩。
中性轴（横截面上只有正应力）
4、需要校核切应力的几种特殊情况：
梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核切应力。 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相
应比值时，要校核切应力。 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。
q=3.6kN/m
A
Q
qL
2+
L=3m
M
qL2/8
+
例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m 1m 1m
2.5kNm M
x -4kNm
A1
A3
y1 G
y2
A2
A4
4
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，
铸铁的[sL]=30MPa，[sy]=60 MPa，
其截面形心位于G点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。
由胡克定律知：
sx
sx
sx
E x
Ey
...... (2)
3、静力学关系：
①
Nx
AsdA
A
Ey
dA
E
A
ydA
ES z
0
Sz 0 中性轴过截面形心
②
Mz
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y 2dA EI z M
A
中性层曲率：
92.6MPa
s max
M max Wz
67.51000 104 6.48
104.2MPa
求曲率半径
1
EIz M1
200109 5.832105 60103
194.4m
• 作业：11-6
§11－4 对称弯曲切应力
一、 矩形截面梁横截面上的切应力
x
dx
图a y
M(x)
Q(x)+d Q(x)
A
Iz
图a
同理 :
N2
(M
dM
)S
z
Iz
y M(x)
Q(x)+d Q(x)
t1
N2 N1 b(dx)
dM dx
S
z
bI z
QS
z
bI z
Q(x) dx
图b
M(x)+d M(x) z
Байду номын сангаас
由切应力互等
t
t (y)
t1
QS z bI z
t1
x
s1
t y s2 图c
横力弯曲时,横截面上切应力 的计算公式.
（二） 正应力公式推导：
) ) ) 1、几何方面：
) a
b
x
A1B1 AB AB
A1B1 OO1 OO1
A
B
c
d
( y)d d y
d
d
O A1
O1 y
B1
z
y
x
y
...... (1)
横截面上任一点的纵向线应变与该点到 中性层距离成正比（中性轴上应变 为零，一侧拉应变，一侧压应变）
2、物理关系：
§11-5 梁的正应力和切应力强度条件 1、危险面与危险点分析：
一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上 下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中 性轴处。
M
ss
Q
s
t
t
带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上 述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面 的腹、翼相交处。（以后讲）
s max
M max WZ
[s ]
作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可能地小，使WZ尽 可能地大。
• 11-13（a）
一. 合理安排梁的受力情况，降低 Mmax
合理布置支座
F
F
F
目录
合理布置支座
目录
合理布置载荷
F
目录
二. 增大 WZ
合理设计截面
目录
合理设计截面
目录
合理放置截面
WZ
y1
4 52 763108
27.2MPa
A1
A3
y1 G
s A4 y
M B y2 Iz
4 88 763108
46.2MPa
校核强度
y2
A2
A4
A3
s Lmax 28.2 s L
s ymax 46.2 s y
y2 G
T字头在上面合理。
y1 A4
§11--6 提高弯曲强度的措施
控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以
图b
Q(x) dx M(x)+d M(x)
z
t1
x
s1
t y s2 图c
1、两点假设： 切应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，切应力
相等。
2、研究方法：分离体平衡。
在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡
X N2 N1 t1b(dx) 0
N1
A s1dA
M Iz
ydA MSz
左
bh2 6
WZ
右
hb2 6
目录
三、等强度梁
hx
b
目录
目录
§11 概 述
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种 简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量基时，不能忽 略之，这类构件的变形称为组合变形。
P
R
Ｍ
P
P hg
P
q
gh
水坝
一、组合变形的研究方法 —— 叠加原理 ①、外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解 ②、内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确 定危险面。
B 面木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0. 9
M Pa，试求最大正应力和最大切
应力之比,并校核梁的强度。
–x
qL 2
x
解：画内力图求危面内力
Qm a x
qL 2
3600 3 2
5400N
qL2 3600 32 M max 8 8 4050 Nm
q=3.6kN/m
Q
qL
2+
M
qL2/8
+
bI z
则t只随Sz变化,即随高度变化 .
Q
t 矩
Q 2Iz
h2 (
4
y2)
(为二次抛物线)
t max
3 2
Q A
1.5t
t方向：与横截面上剪力方向相同 (不考虑正负号)；
t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
中性轴上有最大切应力. 为平均切应力的1.5倍。
二、其它截面梁横截面上的切应力
③、应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。
§11-7 非对称弯曲 一、非对称弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，轴线与（横向
力）不共面 二、斜弯曲的研究方法 ： 1、分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正
交的平面弯曲。 2、叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
S
z
A ydA yc A
y
z yc*
h 2
y b(h
y)
b (h2
y2)
22
24
y
A*
Sz*为面积A*对横截面中性轴的静矩.
式中: Q--所求切应力面上的剪力.
IZ--整个截面对中性轴的惯性矩. Sz*--过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩. b--所求应力点处截面宽度. 注意 :t QS z 公式中,如截面确定 ,则Q、Iz定，b一般也不变 ,
Pz Py
Z Pz
P
Py
y
解：1、将外载沿横截面的形心主轴分解
m
Py P sin
Pz P cos
2、研究两个平面弯曲
xm
L
② 应
My引起的应力：
s M yz M z cos
Iy
Iy
① M z Py ( L x) 内 P(L x)sin
M sin 力
M y M cos
力 M z引起的应力： s M z y M y sin
例如：
P1
P2
纵向对称面
aP A
Q
Pa
纯弯曲(Pure Bending):
B 某段梁的内力只有弯
矩没有剪力时，该段梁的 变形称为纯弯曲。如AB段。
x
M
x
§11－2 纯弯曲时的正应力
纵向对称面
a
c
b
d
M
a
c
b
d
（一）梁的纯弯曲实验 1.纯弯曲实验
①横向线(a b、c d）变形
后仍为直线，但有转动； ②纵向线变为曲线，且上 缩下伸； M ③横向线与纵向线变形后 仍正交。 ④横截面高度不变。
t max
Q
t max
Af
; Af —腹板的面积。
结论： 翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。
铅垂切应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈ tmin