算法设计与分析第6章

第六章 变治法
插入：除非是空树，否则总是把一个新的键K 插入：除非是空树，否则总是把一个新的键K插入 到一个叶子里。如果叶子是一个2节点，根据K 到一个叶子里。如果叶子是一个2节点，根据K是小 于还是大于叶子节点中原来的键， 于还是大于叶子节点中原来的键，把k作为第一个 键或第二键进行插入。如果叶子是一个3节点， 键或第二键进行插入。如果叶子是一个3节点，把 叶子分裂成两个节点： 叶子分裂成两个节点：三个键中最小的放到第一个 叶子上，最大的键放到第二个叶子中， 叶子上，最大的键放到第二个叶子中，同时中间的 键提升到原来叶子的父母中去。 键提升到原来叶子的父母中去。 举例：构造2 为列表9 3）举例：构造2-3树，为列表9，5，8，3，2，4， 构造一棵2 7构造一棵2-3树。
第六章 变治法
通过举3个例子说明预排序的思想： 通过举3个例子说明预排序的思想： 例1：检验数组中元素的唯一性 方法：先对数组排序， 1）方法：先对数组排序，然后只检查它的连续元 如果该数组有相等的元素， 素；如果该数组有相等的元素，则一定有一对元 素是相互紧挨的，反之亦然。 素是相互紧挨的，反之亦然。 算法： Elementuniqueness(A[0..n2）算法：Presort Elementuniqueness(A[0..n-1]) { 对数组排序 nfor i=0 to n-2 do if A[i]==A[i+1] return false return true }
第六章 变治法
四种旋转的简单形式： 四种旋转的简单形式： 1）向右单向旋转： 向右单向旋转： 向左单向旋转： 2）向左单向旋转：
3 2 2 1 1 3
第六章 变治法
1 2 3 1 2 3
第六章 变治法
3）双向左右旋转：对根r的左子树进行左旋，再 双向左右旋转：对根r的左子树进行左旋， 对这棵以r为根的新树进行右旋。 对这棵以r为根的新树进行右旋。
算法设计与分析
第六章 变治法
主要内容
1、预排序和堆排序 2、高斯消去法 3、平衡查找树 4、霍纳法则和二进制幂 5、问题化简
第六章 变治法
重点难点
1、重点：变治法的理解 重点： 难点： 2、难点：变治法的应用
第六章 变治法
变治法是著名的通用算法设计技术。 变治法是著名的通用算法设计技术。分为两个 阶段的工作:(1) :(1)在 的阶段, 阶段的工作:(1)在”变”的阶段,出于这样或 者那样的原因,把问题的实例变得更容易求解; 者那样的原因,把问题的实例变得更容易求解; (2)在 的阶段,对实例进行求解. (2)在”治”的阶段,对实例进行求解.
第六章 变治法
2-3树的最后一个要求：树中的所有叶子必须位于同 树的最后一个要求： 一层，一棵2 树总是高度平衡的； 一层，一棵2-3树总是高度平衡的；对于每个叶子来 说，从树的根到叶子的路径长度都是相同的。 从树的根到叶子的路径长度都是相同的。 2）操作： 操作： 查找：如果是一个2节点， 查找：如果是一个2节点，就把它当作是一个二叉查 找树来操作， 是等于根的键值，算法停止；k<或 找树来操作，k是等于根的键值，算法停止；k<或> 根的键值的话， 根的键值的话，分别在左子树或右子树中继续进行 查找。如果是一个3节点，在不超过两次比较之后， 查找。如果是一个3节点，在不超过两次比较之后， 使停止查找，还是应该在根的3 使停止查找，还是应该在根的3棵子树的哪一棵中继 续查找。 续查找。
第六章 变治法
6.3.2 2-3树 2定义： 树是一种可以包含两种类型节点的树： 1）定义：2-3树是一种可以包含两种类型节点的树：2 节点和3节点。 节点和3节点。 一个2节点只包含一个键和两个子女： 一个2节点只包含一个键和两个子女：左子女作为一 棵所有键都小于K的子树的根， 棵所有键都小于K的子树的根，而右子女作为一棵所 有键都大于K的子树的根。 有键都大于K的子树的根。 一个3节点包含两个有序的键K 并且有3 一个3节点包含两个有序的键K1和K2 (K1<K2)并且有3个 子女，最左边的子女作为键值小于K 的子树的根， 子女，最左边的子女作为键值小于K1的子树的根，中 间的子女作为键值位于K 之间的子树的根， 间的子女作为键值位于K1和K2 之间的子树的根，最右 边的子女作为键值大于K 的子树的根。 边的子女作为键值大于K2的子树的根。
第六章 变治法
6.3 平衡查找树 AVL树 6.3.1 AVL树 定义：一棵AVL树是一棵二叉查找树， AVL树是一棵二叉查找树 1）定义：一棵AVL树是一棵二叉查找树，其中每 个节点的平衡因子定义为该节点左子树和右子 树的高度差，这个平衡因子要么为0 要么为1 树的高度差，这个平衡因子要么为0，要么为1 或-1。
10 5 4 2 7 8 12 2 20 4 5 7 8 10 20
第六章 变治法
2)一棵不平衡的二叉树旋转为一棵平衡的 2)一棵不平衡的二叉树旋转为一棵平衡的 二叉树： 二叉树： AVL树的旋转 树的旋转， AVL树的旋转，是以某节点为根的子树的 一个本地变换，该节点的平衡要么变成+2 +2， 一个本地变换，该节点的平衡要么变成+2， 要么变成-2；如果有若干个这样的节点， 要么变成如果有若干个这样的节点， 先找出最靠近新插入的叶子的不平衡节点， 先找出最靠近新插入的叶子的不平衡节点， 然后旋转以该节点为根的子树。 然后旋转以该节点为根的子树。
第六章 变治法
例2：模式计算 方法：先对输入排序， 1）方法：先对输入排序，然后所有相等的数 值都会邻接在一起。为了求出模式， 值都会邻接在一起。为了求出模式，需要做 出的全部工作就是求出在该有序数组中邻接 次数最多的等值元素。 次数最多的等值元素。
第六章 变治法
算法：PresortMode(A[0..n2）算法：PresortMode(A[0..n-1]) { 对数组排序 i=0; modefreqency=0; i<=nwhile i<=n-1 do runlength=1;runvalue=A[i]; i+runlength<=nwhile i+runlength<=n-1 and A[i+runlength]=runvalue runlength=runlength+1; if runlength>modefrequency modefrency=runlength;modevalue=runvalue; i=i+runlength; return modevalue; }
第六章 变治法
3)算法分析：该算法的运行时间受制于排序时间， 3)算法分析：该算法的运行时间受制于排序时间， 算法分析 因为该算法的剩余部分只需要线性时间， 因为该算法的剩余部分只需要线性时间，如果 使用一个nlogn排序的话， nlogn排序的话 使用一个nlogn排序的话，最差效率就会好于 蛮力算法的最差效率。 蛮力算法的最差效率。
第六章 变治法
10 5 7 5
10 7 5
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4
2
1
2
1
6
Leabharlann Baidu
2
1
第六章 变治法
堆的特性: 堆的特性: 1)只存在一种 个节点的完全二叉树. 只存在一种n 1)只存在一种n个节点的完全二叉树. 2)堆的根总是包含了堆的最大元素 堆的根总是包含了堆的最大元素. 2)堆的根总是包含了堆的最大元素. 3)堆的一个节点以及该节点的子孙也是一个堆 堆的一个节点以及该节点的子孙也是一个堆. 3)堆的一个节点以及该节点的子孙也是一个堆. 4)可以用数组来实现堆 方法是用从上到下、 可以用数组来实现堆, 4)可以用数组来实现堆,方法是用从上到下、从 左到右的方式来记录堆的元素。数组从1 左到右的方式来记录堆的元素。数组从1到n的 位置上存放堆元素。 位置上存放堆元素。 父母节点的键将会位于数组的前n/2个位置中， n/2个位置中 ①父母节点的键将会位于数组的前n/2个位置中， 而叶子节点的键将会占据后n/2个位置； n/2个位置 而叶子节点的键将会占据后n/2个位置； 在数组中，对于一个位于父母位置i的键来说， ②在数组中，对于一个位于父母位置i的键来说， 它的子女将会位于2i 2i+1，相应的， 2i和 它的子女将会位于2i和2i+1，相应的，对于一 个位于i的键来说，它的父母将会位于i/2. 个位于i的键来说，它的父母将会位于i/2.
第六章 变治法
6.1 预排序 预排序是一种很古老的思想。 预排序是一种很古老的思想。 讨论3种基本的排序算法---选择排序、 讨论3种基本的排序算法---选择排序、冒泡排 ---选择排序 插入排序， 序、插入排序，它们的效率在最坏情况下和平 均情况下的都是平方级的； 均情况下的都是平方级的；还讨论了两种高级 算法---合并排序和快速排序， ---合并排序和快速排序 算法---合并排序和快速排序，它们的效率在 最坏情况下和平均情况下的都是nlogn nlogn。 最坏情况下和平均情况下的都是nlogn。
第六章 变治法
例3 查找问题 问题： 1）问题：在n个可能排序项构成的一个给定 数组中查找某个给定值V的问题。 数组中查找某个给定值V的问题。 方法及分析：对数组先进行排序， 2）方法及分析：对数组先进行排序，排好 序后就可以应用折半查找， 序后就可以应用折半查找，它在最坏情 况下只需进行log n+1次 况下只需进行log2n+1次。比顺序查找 还差。 还差。
3 1 2 1 2 1 3 2 3
第六章 变治法
4）双向右左旋转： 双向右左旋转：
1 3 2
1 2 1 3 2 3
第六章 变治法
举例：给出一个数字列表： ， ， ， ， ， ， 举例：给出一个数字列表：5，6，8，3，2，4， 7，构造一棵 平衡树。 ，构造一棵AVL平衡树。 平衡树 3）算法效率的分析：最差情况下，查找和插入 ）算法效率的分析：最差情况下， 操作的效率属于logn。但对于频繁的旋转，需 操作的效率属于 。但对于频繁的旋转， 要维护树的节点的平衡以及总体上的复杂性。 要维护树的节点的平衡以及总体上的复杂性。
第六章 变治法
变治策略: 变治策略
问 题 的 实 例
更简单的实例、 更简单的实例、另一 种表现或者另一个问 题的实例
解
变治思想有3种主要的类型 变治思想有 种主要的类型: 种主要的类型 （1）实例化简：变换为同样问题的一个更简单或更方便 ）实例化简： 的实例； 的实例； （2）改变表现：变换为同样实例的不同表现； ）改变表现：变换为同样实例的不同表现； （3）问题化简：变换为另一个问题的实例，这种问题的 ）问题化简：变换为另一个问题的实例， 算法是已知的。 算法是已知的。
第六章 变治法
4）效率分析：主要依赖于树的高度。 效率分析：主要依赖于树的高度。 无论在最差情况下还是平均情况下，查找、 无论在最差情况下还是平均情况下，查找、插 入和删除的时间效率都属于logn logn。 入和删除的时间效率都属于logn。
第六章 变治法
6.4 堆排序 6.4.1 堆的概念 堆可以定义为一棵二叉树,树的节点中包含键 树的节点中包含键, 堆可以定义为一棵二叉树 树的节点中包含键 并且满足下面两个条件: 并且满足下面两个条件 (1)树的形状要求 这棵二叉树是基本完备的 或 树的形状要求---这棵二叉树是基本完备的 树的形状要求 这棵二叉树是基本完备的(或 者简称为完全二叉树),这意味着 这意味着,树的每一层都是 者简称为完全二叉树 这意味着 树的每一层都是 满的,除了最后一层最右边的元素有可能缺位 除了最后一层最右边的元素有可能缺位. 满的 除了最后一层最右边的元素有可能缺位 (2)父母优势要求 每个节点的键都要大于或等 父母优势要求----每个节点的键都要大于或等 父母优势要求 于它子女的键
第六章 变治法
3）算法分析：用于排序的时间加上用于检验连 算法分析： 续元素的时间就是该算法的总运行时间。 续元素的时间就是该算法的总运行时间。 排序部分决定了算法的总效率。 排序部分决定了算法的总效率。使用一个好的 排序算法，比如合并排序， 排序算法，比如合并排序，它的最差效率属于 对数函数， 对数函数，那么整个预排序算法的最差效率就 属于对数函数。 属于对数函数。