合肥一中2019冲刺高考最后一卷数学试题
2019年中考考前冲刺最后一卷数学试题——安徽A卷
数学试题 第1页（共6页） 数学试题 第2页（共6页）绝密★启用前|2019年中考考前最后一卷【安徽A 卷】数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．2019的相反数是 A ．12019B ．12019-C ．2019D ．2019-2．国家开发银行2018年有力有序落实“一带一路”2500亿元专项贷款，落实“十三五”规划，全面提升国际发展质量。
其中2500亿用科学记数法表示为 A ．102510⨯B ．102.510⨯C ．112.510⨯D ．120.2510⨯3．如图所示的几何体的左视图是A ．B ．C ．D ．4．下列计算正确的是 A ．236·a a a =B ．236(2)6a a =C ．22a a ⋅=D ．236()a a =5．不等式1122x +>的解集是 A ．1x >B ．2x >C ．12x >D ．12x >-6．学校新建教学大楼拟用不锈钢制造一个上部是一个长方形、下部是一个正方形的窗户，相关数据(单位：米)如图所示，那么制造这个窗户所需不锈钢的总长是A ．(4a +2b )米B ．(a 2+ab )米C ．(6a +2b )米D ．(5a +2b )米7．一元二次方程2x 2–x +1=0的根的情况是 A ．两个不相等的实数根B ．两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断8．某校教师对该校学生的学习兴趣进行了一次抽样调查，把学生的学习兴趣分为三个层次，A 层次：很感兴趣，B 层次：较感兴趣，C 层次：不感兴趣，并将调查结果绘制成了图1和图2的统计图(不完整)，根据图中所给的信息估计该校1200名学生中，C 层次的学生约有A ．360人B ．180人C ．30人D ．1020人9．如图，在ABCD 中，AB =6，BC =10，AB ⊥AC ，点P 从点B 出发沿着B →A →C 的路径运动，同时点Q从点A 出发沿着A →C →D 的路径以相同的速度运动，当点P 到达点C 时，点Q 随之停止运动，设点P 运动的路程为x ，y =PQ 2，下列图象中大致反映y 与x 之间的函数关系的是数学试题 第3页（共6页） 数学试题 第4页（共6页）A ．B ．C ．D ．10．如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O的动点，则△PMN 周长的最小值是A ．3BC ．6D 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．把多项式2232mx m x m ++分解因式的结果是__________． 12．已知11(,)A x y ，22(,)B x y 是反比例函数()0ky k x=≠图象上的两个点，当120x x <<时，12yy >，那么一次函数y kx k =-的图象不经过__________象限．13．如图，菱形OABC 的边长为2，且点A 、B 、C 在⊙O 上，则劣弧BC 的长度为__________．14．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，8BC =，CD 是斜边AB 上的中线，将ACD △沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE ．若DE AC ∥，四边形ACED 的面积等于__________．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：0113(2019)2sin30()3--+π--︒+．16．列方程组解应用题：某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．该店有客房多少间？房客多少人？四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．我国北斗导航装备的不断更新，极大方便了人们的出行．光明中学组织学生利用导航到“金牛山”进行研学活动，到达A 地时，发现C 地恰好在A 地正北方向，且距离A 地11.46千米．导航显示路线应沿北偏东60°方向走到B 地，再沿北偏西37°方向走一段距离才能到达C 地，求B ，C 两地的距离(精确到1千米)．(参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.6018．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知ABC △三个顶点分别为(1,2)A -、(2,1)B 、(4,5)C ．（1）画出ABC △关于x 轴对称的111A B C △；（2）以原点O 为位似中心，在x 轴的上方画出222A B C △，使222A B C △与ABC △位似，且位似比为2，并求出222A B C △的面积．数学试题 第5页（共6页） 数学试题 第6页（共6页）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．观察下列等式： 111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯， 将以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯． （1）猜想并写出：1(1)n n =+__________． （2）根据以上规律直接写出下列式子的计算结果：1111122334(1)n n ++++=⨯⨯⨯+…__________． （3）探究并计算：111124466820202022++++⨯⨯⨯⨯…． 20．某校初三（1）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：（1）甲队成绩的中位数是_________分，乙队成绩的众数是_________分；（2）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是_________队；（3）测试结果中，乙队获满分的四名同学相当优秀，他们是三名男生、一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人参加学校组织的经典诵读比赛，用树状图或列表法求恰好抽中一男生一女生的概率．六、（本题满分12分）21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =与函数(0)my x x=>的图象交于点A （1，2）． （1）求m 的值；（2）过点A 作x 轴的平行线l ，直线2y x b =+与直线l 交于点B ，与函数(0)my x x=>的图象交于点C ，与x 轴交于点D ．①当点C 是线段BD 的中点时，求b 的值；②当BC CD >时，直接写出b 的取值范围．七、（本题满分12分）22．某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y （万元）与年产量x （万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图1所示）；该产品的销售单价z （元/件）与年销售量x （万件）之间的函数图象是如图2所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w 万元．（毛利润=销售额–生产费用）（1）请直接写出y 与x 以及z 与x 之间的函数关系式；（2）求w 与x 之间的函数关系式，并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？ （3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？八、（本题满分14分）23．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，点P 是△ABC 内一点，且∠PAC +∠PCA =2α，连接PB ，试探究PA 、PB 、PC 满足的等量关系．（1）当α=60°时，将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACP ′，连接PP ′，如图1所示．由△ABP ≌△ACP ′可以证得△APP ′是等边三角形，再由∠PAC +∠PCA =30°可得∠APC 的大小为__________度，进而得到△CPP ′是直角三角形，这样可以得到PA 、PB 、PC 满足的等量关系为__________；（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA 、PB 、PC 满足的等量关系，并说出理由； （3）PA 、PB 、PC 满足的等量关系为__________．。
安徽省合肥市2019届高三数学下学期四月临考冲刺卷理(含解析)
安徽省合肥市2019届高三数学下学期四月临考冲刺卷理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求解一元二次不等式化简集合A，求值域化简集合B，然后直接利用交集运算得答案．【详解】∵，＝，∴．故选：D．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法及函数的值域问题，是基础题．2.已知，则在中最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可以比较四个数的大小，进而得到在，，，的最大值．【详解】∵，∴y＝和y＝均为减函数，∴＞，＜，又∵y＝在（0，+∞）为增函数，∴＞，即在，，，中最大值是，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是指数函数的单调性和幂函数的单调性的应用，属于基础题．3.设复数，则的二项展开式的第项是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，复数化简为2i，然后求出z代入，利用二项式定理求出展开式的第7项．【详解】∵，所以（1+z）9＝（1+i）9展开式的第7项是：C9613i6＝﹣84故选A.【点睛】本题考查复数的基本概念，二项式定理，考查计算能力，是基础题．4.设为区间内的均匀随机函数，则计算机执行下列程序后，输出的值落在区间内的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意知函数y是分段函数，写出函数解析式，计算y∈[，3]时x的取值范围，利用几何概型求对应的概率．【详解】根据题意知，当x∈[﹣2，0]时，y＝2x∈[，1]；当x∈（0，2]时，y＝2x+1∈（1，5]；所以当y∈[，3]时，x∈[﹣1，1]，其区间长度为2，所求的概率为P．故选：C．【点睛】本题考查了程序语言应用问题，也考查了函数与几何概型的概率计算问题，是中档题．5.在正项等比数列中，若成等差数列，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵成等差数列，∴a3=2a2+3a1，化为，即q2﹣2q﹣3=0，解得q=3．则==q=3，故选：C．6. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A. 4种B. 10种C. 18种D. 20种【答案】B【解析】分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．7.过点且不垂直于轴的直线与圆交于两点，点在圆上，若是正三角形，则直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程，由等边三角形的性质分析可得圆心到直线l的距离d，则有，解可得k的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆即（x﹣1）2+y2＝4，圆心为（1，0），半径r＝2，设正的高为h，由题意知为正的中心，∴M到直线l的距离d h，又, 即,∴由垂径定理可得：，可得，∴由题意知设直线l的斜率存在且不为0，设为k，则直线l的方程为y+1＝k（x+1），即kx﹣y+k-1＝0，则有，解可得：k＝或0（舍）故选：D．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，考查了一定的逻辑推理能力，属于中档题．8.已知等边三角形中，是线段的中点，，垂足为是线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先由中线向量定理得到=，=，再将，，都用基底表示，利用向量相等，求得关系.【详解】∵是线段的中点，∴==；∵是线段的中点，∴=；又=；令，则-=（，∴，，解得，，∴，故选C.【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了中线向量定理、向量相等的概念及应用，属于中档题.9.设函数满足，当，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为函数满足，当时，，所以，故选A．考点：抽象函数的性质；三角函数的求值．【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质、三角函数的求值、三角函数的诱导公式等知识点的综合应用，本题的解答中函数满足，当时，，利用三角函数的诱导公式，即可求解的值，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．10.已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对称求出点P的坐标，结合∠OPF2＝∠POF2可知，利用两点间距离公式可求得离心率.【详解】设是关于渐近线的对称点，则有；解得；因为∠OPF2＝∠POF2，所以，；化简可得，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求之间的关系式.11.三棱锥的各顶点均在球上，为该球的直径，，三棱锥的体积为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由体积公式求出三棱锥的高，可得到平面，由正弦定理可得三角形的外接圆的半径，由勾股定理可得球半径，从而可得结果.【详解】如图，，三棱锥的体积为，所以，解得三棱锥的高为，设为三角形的外接圆的圆心，连接，则平面，因为为该球的直径，所以，连接，由正弦定理可知三角形的外接圆的直径为，由勾股定理可得球半径球的表面积为，故选D.【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.12.锐角中，为角所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如图，连接，延长交于，由于为重心，故为中点，∵，，∴，由重心的性质得，，即，由余弦定理得，，，∵，，∴，则又因为为锐角三角形，则应该满足将代入可得则，由对勾函数性质可得的取值范围为，故选B.二、填空题：（本大题共4小题）13.边长为的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于，将这个结论推广到空间是：棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和等于________．【答案】【解析】【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比，根据已知“正三角形内任意一点到三边距离之和是个定值且为等边三角形的高”，直接推断出空间几何中关于面的性质：棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和等于正四面体的高．【详解】解：边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和是由该三角形的面积相等得到的，由此可以推测棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和可由体积相等得到．方法如下，如图，在棱长为a的正四面体内任取一点P，P到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4．四面体A﹣BCD的四个面的面积相等，均为，高为．由体积相等得：．所以．故答案为．【点睛】本题是基础题，考查类比推理及正四面体的结构特征，考查空间想象能力，计算能力．14.的值等于________．【答案】【解析】试题分析：,其中表示半径为的圆的面积的,,,因此原式等于,故填.考点：定积分的计算.15.已知，满足，且目标函数的最大值为，最小值为，则________．【答案】【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．【详解】画出可行域如图：由题意得：目标函数z＝2x+y在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，∴A（1，﹣1），B（3，1），∴直线AB的方程是：x﹣y﹣2＝0，∴则2．故答案为：﹣2．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题．16.已知抛物线的焦点且垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，动直线与抛物线相交于两点，若，则直线与圆相交所得最短弦的长度为________．【答案】4【解析】【分析】求出A，B坐标，计算，即y1y2＝﹣4．联立直线与抛物线，根据根与系数的关系可得直线过定点，再根据平面几何知识可得PE时弦最短．利用垂径定理求解即可. 【详解】由题意可知，＝2，＝﹣2，∴•＝﹣4，设，则，∴y1y2＝﹣4．又直线，联立方程组消去x得：y2﹣4ty﹣4n＝0，则y1y2＝﹣4n，y1+y2＝4t，∵y1y2＝﹣4，∴n＝1．即直线过点E（1，0）．又圆的圆心P（2，-2），半径r=3，∴当弦最短时，PE,弦长=2=4,故答案为:4.【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了直线过定点问题的判断，考查了圆中弦长问题，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题。
【名师押题】2019年中考考前最后一卷【安徽卷】数学(参考答案)
＋PC2=PB2．（14分）
2
如图，与（2）的方法类似，
作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=α，P′C=PB，∴∠APP′=90°－，
2
∵∠PAC＋∠PCA=
，∴∠APC=180°－，
2
∴∠P′PC=（180°－
11
-)
2
11010
=×
2
505
=
2022
．（10分）
20．【参考答案】（1）9.5；10．
【全解全析】（1）9.5；10．（4分）
把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是(9+10)÷2=9.5(分)，则中位数是9.5分；
乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，则乙队成绩的众数是10分； 故答案为：9.5；10．
∴PP′2＋PC2=P′C2，∴PA2＋PC2=PB2，
故答案为：150，PA2＋PC2=PB2；
（2）3PA2＋PC2PB2；
理由如下：如图，作PAP120°，使APAP，连接PP，CP．过点A作AD⊥PP于D点．
∵BACPAP120°，即BAP＋PACPAC＋CAP，∴BAPCAP．
∵AB=AC，APAP，∴△BAP≌△CAP．（6分）
100kb20
k1
设z=kx+b，则b30
，解得10，
1
故z与x之间的关系式为z=–
10
b30
x+30；
1
（2）w=zx–y=–
10
1
x2+30x–x2
安徽省合肥市第一中学20182019学年高三冲刺高考最后1卷数学文试题Word版含答案
一、选择题
1-5:ADCCB6-10:BDADC 11
、12：BA
二、填空题
13.
166
14.
16m
15.
(2
7
2)a
16.
1(2n 1
n 2)
n
3
三、解答题
17.解：（1）已知2cos B( acos B
b cos A)
3c
，由正弦定理得
2cos B(sin AcosB
sin B cos A)
不合格品
合计
附：K2
n(ad
bc)2
（此中n a
b c
d为样本容量）
(a b)(c d )(a c)(b
d)
P(K
2
k)
k
20.以以下图，在平面直角坐标系
xOy中，已知椭圆
x2
y2
C :a2
b21(a b
0)的离心率为
2，短轴长为4 2.
2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A为椭圆C的左极点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，
.）
17.
ABC的内角A, B, C的对边分别为
a,b, c，已知2cos B(a cosB b cos A)
3c.
（1）求B；
（2）若a,b,c成等差数列，且
ABC的周长为3 5，求ABC的面积.
18.
在以以下图的几何体
ACBFE中，AB BC, AE EC , D为AC的中点，EF / / DB.
水线分别生产出不合格品约多少件？
（2）在甲流水线抽取的样本的不合格品中随机抽取两件，求两件不合格品的质量指标值均偏大的概率；
【水印已去除】2019年安徽省a10联盟高考数学最后一卷(理科)(5月份)
2019年安徽省A10联盟高考数学最后一卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知函数的定义域为A，则∁R A＝（）A．{x|x≤0或x≥1}B．{x|x＜0或x＞1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）已知复数z＝（1+ai）（1﹣2i）（a∈R）为纯虚数，则实数a＝（）A．2B．﹣2C．D．3．（5分）函数的图象为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||＝2||＝1，⊥（﹣），则|2+|＝（）A．3B．C．D．65．（5分）将点P（1，1）绕原点0逆时针方向旋转到点Q的位置，则Q的横坐标为（）A．B．C．D．6．（5分）已知（x+1）（2x+a）5的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含x3项的系数是（）A．﹣40B．﹣20C．20D．407．（5分）已知点（1，2）是双曲线（a＞b＞0）上一点，则其离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，）C．D．8．（5分）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角二角形的较短的直角边为勾、另一直角边为股、斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1﹣15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，矩形ABCD满足BC＝2AB，E为BC的中点，其中曲线为过A，D，E三点的抛物线，随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝|ln（x﹣1）|，满足f（a）＞f（4﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（1，3）D．（2，4）11．（5分）如图，是一块木料的三视图，将它经过切削、打磨成半径最大的球，则该木料最多加工出球的个数为（）A．1B．2C．3D．412．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象过两点、，f（x）在内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上．13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为．14．（5分）已知直线l是抛物线y2＝2px（p＞0）的准线，半径为3的圆过抛物顶点0和焦点F与l相切，则抛物线的方程为．15．（5分）在△ABC中，∠ABC＝，已知BC边上的中线AD＝3，则△ABC面积的最大值为．16．（5分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝1，D和E分别是边BC和AC上一点，DE⊥AC，将△CDE沿DE折起使点C到点P的位置，则该四棱锥P﹣ABOE 体积的最大值为．三.解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答应写在答题卡上的指定区域内．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝na n+n（n﹣1），且a5是a2和a6的等比中项．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列并求其通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）在三棱柱ABC﹣A'B'C'中平面ABC⊥平面ACC'A'，AB＝BC＝CA＝AA'，D是棱BB'的中点．（Ⅰ）求证：DA'C平面⊥平面ACC'A'；（Ⅱ）若∠AA'C═60°，求二面角A'﹣CD﹣B'的余弦值．19．（12分）已知P是圆F1：（x+1）2+y2＝16上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H（4，0）．20．（12分）某销售公司在当地A、B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收．现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A，B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X表示这两家超市毎日共销售食品件数，n表示销售公司每日共需购进食品的件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）以销售食品利润的期望为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax﹣1（a ∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）图象过点（1，0），求证：e﹣x+xf（x）≥0．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为；为参数），以0为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知A，B是曲线C上任意两点，且，求△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|﹣|x+1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）设集合M满足：当且仅当x∈M时，f（x）＝|3x﹣2|，若a，b∈M，求证：．2019年安徽省A10联盟高考数学最后一卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣x≥0得x≥1或x≤0，即A＝{x|x≥1或x≤0}，则∁R A＝{x|0＜x＜1}，故选：D．2．【解答】解：∵z＝（1+ai）（1﹣2i）＝（1+2a）+（a﹣2）i为纯虚数，∴，解得a＝﹣．故选：D．3．【解答】解：由，则f（x）是奇函数，则f（x）的图象关于原点对称；排除C，D当x＞0时，f（x）＞0．排除B，故选：A．4．【解答】解：因为向量，满足||＝2||＝1，⊥（﹣），所以2﹣＝0，所以＝，所以|2|＝＝，故选：B．5．【解答】解：由三角函数的定义可知，Q的横坐标为cos（+）＝．故选：A．6．【解答】解：令x＝1，可得（x+1）（2x+a）5的展开式中各项系数和为2•（2+a）5＝2，∴a＝﹣1．二项式（x+1）（2x+a）5 ＝（x+1）（2x﹣1）5＝（x+1）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），故展开式中含x3项的系数是﹣40+80＝40，故选：D．7．【解答】解：把（1，2）代入双曲线方程得：﹣＝1，∴＝b2+4，∴e＝＝＞，故选：C．8．【解答】解：从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数n＝，其中，勾股数为：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（5，12，13），共4个，∴这三个数为勾股数的概率为：p＝＝．故选：D．9．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AB＝1，BC＝2，则B（﹣1，0），C（1，0），则抛物线方程为y＝x2，阴影部分的面积为：S阴＝1﹣＝1﹣，又矩形面积为2，则该点落在阴影部分的概率为：＝，故选：A．10．【解答】解：根据题意，f（x）＝|ln（x﹣1）|＝，则f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，由题意知，即1＜a＜3；再分3种情况讨论：①，当1＜a＜2时，a﹣4＞2，若f（a）＞f（4﹣a），则﹣ln（a﹣1）＞ln（3﹣a），变形可得：（a﹣1）（a﹣3）＞1，解可得：a＜2﹣或a＞2+，又由1＜a＜2，此时无解；②，当a＝2时，4﹣a＝2，f（a）＝f（4﹣a），不符合题意；③，当2＜a＜3时，0＜4﹣a＜2，若f（a）＞f（4﹣a），则ln（a﹣1）＞﹣ln（3﹣a），变形可得：（a﹣1）（a﹣3）＜1，解得2﹣＜a＜2+，∴a的取值范围是（2，3）．故选：B．11．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为侧视图直角三角形内切圆的半径r，则4﹣r+3﹣r＝5，∴r＝1．取得直径为2，两个球的直径和为4，棱柱的高为5，所以则该木料最多加工出球的个数为2．故选：B．12．【解答】解：由已知可得：sinφ＝，0＜φ＜π，所以φ＝或φ＝，①当φ＝时，sin（）＝0，所以ω＝﹣1+4k，k∈N+，若ω＝3时，f（x）＝sin（3x+）在（0，）有一个极大值点，不符合题意，若ω＝7时，f（x）＝sin（7x+）在（0，）极大值点为小于极小值点，符合题意，②φ＝时，sin（）＝0，所以ω＝﹣3+4k，k∈N+，若ω＝5时，f（x）＝sin（5x+）在（0，）有一个极小值点，不符合题意，若ω＝9时，f（x）＝sin（9x+）在（0，）极小值点为和极大值点，不符合题意，综合①②得：故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上．13．【解答】解：作出x，y满足约束条件，所表示的平面区域，B（2，2）作出直线2x+y＝0，对该直线进行平移，可以发现经过点A（1，3）时，z取得最小值，Z取得最小值：5；故答案为：5．14．【解答】解：∵圆过点O和F（，0），∴圆心横坐标为，∵圆与准线x＝﹣相切，故圆的半径r＝＝3，∴p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x．故答案为：y2＝8x．15．【解答】解：设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则S△ABC＝bc sin＝bc，在△ABC中，由余弦定理可得：a2＝b2+c2+bc，在△ABD中，c2＝a2+9﹣3a cos∠ADB，在△ACD中，b2＝a2+9﹣3a cos∠ADC，所以b2+c2＝a2+18，即：b2+c2＝36+bc，由b2+c2≥2bc，可得：bc≤36，当且仅当b＝c时成立，故△ABC面积的最大值为9．故答案为：9．16．【解答】解：在△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝1，∴AC＝2，BC＝，故B到AC的距离d＝＝，设DE＝x，则0＜x≤，CE＝x，∴四边形ABDE的面积S＝﹣＝（1﹣x2），显然当平面PDE⊥平面ABDE时，棱锥的体积最大，此时，PE⊥平面ABDE，∴棱锥的体积V（x）＝S•PE＝（x﹣x3），V′（x）＝（1﹣3x2），故当0＜x＜时，V′（x）＞0，当＜x＜时，V′（x）＜0，∴当x＝时，V（x）取得最大值（﹣）＝．故答案为：．三.解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答应写在答题卡上的指定区域内．17．【解答】解：（Ⅰ）证明：S n＝na n+n（n﹣1），可得S n+1＝（n+1）a n+1+n（n+1），相减可得S n+1﹣S n＝（n+1）a n+1﹣na n+n（n+1）﹣n（n﹣1），化简a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+2n，即为na n+1﹣na n＝﹣2n，即有a n+1﹣a n＝﹣2，则数列{a n}是公差d为﹣2的等差数列，a5是a2和a6的等比中项，可得a52＝a2a6，即（a1﹣8）2＝（a1﹣2）（a1﹣10），解得a1＝11，则a n＝11﹣2（n﹣1）＝13﹣2n；（Ⅱ）＝＝（﹣），则数列{b n}的前n项和为（﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．18．【解答】证明：（Ⅰ）取AC，A′C′的中点O，F，连结OF与A′C′交于点E，连结DE、OB、B′F，则E为OF的中点，OF∥AA’∥BB′，且OF＝AA′＝BB′，∴BB′FO是平行四边形，又D是棱BB’的中点，∴DE∥OB，侧面AA′C′C⊥底面ABC，且OB⊥AC，∴OB⊥平面ACC′A′，∴DE⊥平面ACC′A′，又DE⊂平面DA′C，∴平面DA′C⊥平面ACC′A′．解：（Ⅱ）连结A′O，∵∠A′AC＝60°，∴△A′AC是等边三角形，设AB＝BC＝CA＝AA′＝2，∴AO′⊥底面ABC，由已知得A′O＝OB＝，以OB，OC，OA′分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（），C（0，1，0），A′（0，0，），＝（﹣），＝＝（0，1，），设平面BCC′B′的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，），设平面ABC的法向量＝（x，y，z），，＝（），则，取z＝1，得＝（0，），设二面角A'﹣CD﹣B'的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角A'﹣CD﹣B'的余弦值为．19．【解答】（Ⅰ）由已知|QF1|+|QF2|＝|QF1|+|QP|＝|PF1|＝4，所以点Q的轨迹为以为F1，F2焦点，长轴长为4的椭圆，故2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3所以曲线C的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A（﹣2，0），B（2，0），设点M的坐标为（1，m）直线MA的方程为：将与联立消去y整理得：（4m2+27）x2+16m2x+16m2﹣108＝0，设点D的坐标为（x D，y D），则，故，则直线MB的方程为：y＝﹣m（x﹣2）将y＝﹣m（x﹣2）与联立消去y整理得：（4m2+3）x2﹣16m2x+16m2﹣12＝0设点E的坐标为（x E，y E），则，故，则HD的斜率为HE的斜率为因为k1＝k2，所以直线DE经过定点H．20．【解答】解：（Ⅰ）由已知一家超市销售食品件数8，9，10，11的概率分别为，X取值为16，17，18，19，20，21，P（X＝16）＝，P（X＝17）＝，P（X＝18）＝×2＝，P（X＝19）＝＝，P（X＝20）＝＝，P（X＝21）＝，P（X＝22）＝，∴X的分布列为：（Ⅱ）当n＝19时，记Y1为A，B销售该食品利润，则Y1的分布列为：E（Y1）＝+1900×＝1822，当n＝20时，记Y2为A，B销售该食品利润，则Y2的分布列为：E（Y2）＝×＝1804，∵E（Y1）＞E（Y2），故应选n＝19．21．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，由f'（x）＝0，得．若，f'（x）＞0，f（x）单调递增；若，f'（x）＜0，f（x）单调递减综合上述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在单调递增，在上单调递减．（Ⅱ）证明：函数f（x）图象过点（1，0），∴ln1+a﹣1＝0，解得a＝1．e﹣x+xf（x）≥0．即+lnx+x﹣1≥0．（x＞0）．令g（x）＝+lnx+x﹣1≥0．（x＞0）．g′（x）＝﹣e﹣x+＝．令h（x）＝xe x﹣1，h′（x）＝（x+1）e x，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0∈（0，+∞），使得x0＝1，可得＝，x0＝﹣lnx0．∴g（x）≥g（x0）＝1﹣x0+x0﹣1＝0．∴e﹣x+xf（x）≥0成立．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解（Ⅰ）消去参数α，得到曲线C的普通方程为：（x﹣2）2+y2＝4……（2分）故曲线C的极坐标方程为：ρ＝4cosθ…………………………………………（5分）（Ⅱ）极坐标系Ox中，不妨设A（ρ1，θ0），，其中由（Ⅰ）知：ρ1＝4cosθ0，．△OAB面积………………………（8分）当时，即，有最大值1．此时故△OAB面积的最大值为……………………………………………………（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】（Ⅰ）解：，当x＜﹣1时，﹣x+4≤6，得x≥﹣2，故﹣2≤x＜﹣1；当时，﹣3x+2≤6，得，故；当时，x﹣4≤6，得x≤10，故；综上，不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤10}．（Ⅱ）证明：由绝对值不等式的性质可知f（x）＝|2x﹣3|﹣|x+1|≤|（2x﹣3）+（x+1）|＝|3x﹣2|，等价于|2x﹣3|≤|﹣（x+1）|+|3x﹣2|，当且仅当（2x﹣3）（x+1）≤0，即时等号成立，故，所以，所以0≤（a+1）2≤，≤（b﹣1）2≤4，所以（a+1）2﹣（b﹣1）2≤﹣＝．即．。
安徽省合肥高考数学模拟最后一卷试题 理 新人教版【会员独享】
1 / 5开始S=1i=1输出S结束i=i+1S=S+i是否合肥高考模拟考试最后一卷 理科数学试题考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果A 与B 是两个任意事件，()0P A ≠，那么如果事件A 与B 相互，那么 ()()()|P AB P A P B A =()()()P AB P A P B =本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷满分150分钟，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，复数()(34)z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．43 B ．43- C ．34- D ．342．若集合{}21,A m=，集合{}2,4B =，则“2m =”是“{}4AB =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．阅读如图的程序框图，若输出的S 的值等于16，那么在程序框图中 的判断框内应填写的条件是（ ）A ．i>4B 。
安徽省A10联盟2019届高三最后一卷(高考考前模拟)-数学(文)(附答案解析)
分别为 D,E，求证 : 直线 DE过定点 H(4,0). 21.( 本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ln x ax 1( a R) .
(I) 讨论函数 f (x) 的单调性；
9 10 11 12
答 案
B
D
A
C
A
C
B
D
B
C
C
A
1. 【 解析 】 由已知 A x x 0 x x 1 ，故 eR A x 0 x 1 ，故选 B.
2. 【 解析 】 z 1 2a
a 2 i ，由已知得 1 2a 0 ，解得 a
1 ，故选 D. 2
3. 【 解析 】 抛物线的标准方程为 x2
1 y ，焦点坐标为
6. 【 解析 】 抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正
反反，反正反，反反正，反反反
8 中，其中出现两正一反的共有
3 种，故概率为
3 .
8
7. 【 解析 】由已知 a1a2
a9
1 ，又 a1a 9
a2a8
a3a7
a4a6
a5
2
，所以
a
9 5
1 ，即 a5
1，
所以 a1
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后 . 再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时，必须使用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图
题可用铅笔在答题卡规定位置绘出， 确认后再用 0.5 的黑色墨水签宇笔描清楚。 必须在题号所指示的
2019年安徽省高考数学考前最后一卷(解析版)(文科)
2019年安徽省高考数学考前最后一卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x |log 2x ＜1}，B={x ||x |≤2，x ∈Z }，则A ∩B=（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1} D ．{1}2．已知i 为虚数单位，复数z=，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．2iB ．﹣2iC ．2D ．﹣2 3．已知平面向量与的夹角为，||=2，||=1，则|﹣|=（ ）A ．B ．C ．D ．14．已知直线l 1：ax +2y ﹣1=0，直线l 2：x +（2a ﹣3）y +a +1=0，则“a=2”是“l 1∥l 2”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知cos （π+α）=，α是第二象限角，则tan2α=（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．6．已知数列{a n }是正项等比数列，若a 2a 9a 16=64，则log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 17=（ ） A ．34 B ．32 C ．30 D ．287．已知函数f （x ）=+，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +2y ﹣3=0，则a +b=（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．08．执行如图所示的程序框图，若输出的n的值为5，则输入的T的最大值为（）A．108 B．76 C．61 D．499．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图与侧视图如图所示，若三棱锥S﹣ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．84πB．72πC．60πD．48π10．函数y=f（x）的图象沿x轴向左平移个单位得到函数g（x）=sin2x+cos2x的图象，则函数y=f（x）的一条对称轴为（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=11．已知点A（2，1），P是焦点为F的抛物线y2=4x上的任一点，当△PAF的周长最小时，△PAF的面积为（）A．2 B．C．D．12．设f（x）与g（x）都是定义在区间[x1，x2]上的函数，若对任意x∈[x1，x2]，都有（f（x）+g（x））2≤2，则称f（x）和g（x）为“2度相关函数”．若函数f（x）与函数g（x）=x+2在[1，2]上为“2度相关函数”，则函数f（x）的解析式可以为（）A．f（x）=x2+2x+1 B．f（x）=﹣3x+2 C．f（x）=﹣x2+2x﹣4 D．f（x）=x+lnx﹣4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．已知函数f（x）=，若f（f（7））=，则实数b的值为．14．若实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为．15．双曲线4x2﹣2y2=1的右焦点为F，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P，则|PF|=．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，AD是BC边=，上的中线，且G点为△ABC的重心，若Ssin2B+sin2C+sinBsinC=sin2A，求|AG|的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•安徽模拟）已知数列{a n }满足na n +1﹣（n +1）a n =n（n +1），n ∈N *，且a 1=2．（Ⅰ）求证：{}为等差数列； （Ⅱ）求数列{}的前n 项和S n ．18．（12分）（2016•安徽模拟）随着人们生活水平的不断提高，私家车已经越来越多的进入寻常百姓家，但随之而来的祭车祭路行为也悄然成风，影响交通秩序，存在安全隐患，污染城乡环境，影响城市形象．为净化社会环境，推进移风易俗，提高社会文明程度，确保道路交通秩序和人民生命财产安全，某市决定在全市开展祭车祭路整治活动，为此针对该市市民组织了一次随机调查，下面是某次调查的结果．现用分层抽样的方法从上述问卷中抽取50份问卷，其中属“支持”的问卷有24份． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）现决定从所调查的支持的720名市民中，仍用分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，再从6人中随机抽取2人颁发幸运礼品，试求这2人至少有1人是女性的概率．19．（12分）（2016•安徽模拟）如图，已知四边形ABCD，ADEF 均为平行四边形，DE=BC=2，BD⊥CD，DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面FAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥F﹣ABCD的体积的最大值．20．（12分）（2016•安徽模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）．（Ⅰ）若点A（1，），B（，1）均在椭圆C上，求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知过点（0，1），斜率为k（k＜0）的直线l与圆O：x2+y2=相切，且与椭圆C交于M，N两点，若以MN为直径的圆恒过原点O，则当a∈[，]时，求椭圆C的离心率e的取值范围．21．（12分）（2016•安徽模拟）若对任意x1，x2∈（0，1]，且x1≠x2，都有||≤4，则称y=f（x）为“以4为界的类斜率函数”．（Ⅰ）试判断y=是否为“以4为界的类斜率函数”；（Ⅱ）若a＜0，且函数f（x）=x﹣1﹣alnx（a∈R）为“以4为界的类斜率函数”，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•安徽模拟）如图，已知四边形ACBF内接于圆O，FA，BC的延长线交于点D，且FB=FC，AB是△ABC的外接圆的直径．（1）求证：AD平分∠EAC；（2）若AD=4，∠EAC=120°，求BC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C1和C2公共弦的长度．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•安徽模拟）已知a＞0，b＞0且a+b=1．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）若+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x||x|≤2，x∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1} C．{0，1}D．{1}【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：log2x＜1=log22，即0＜x＜2，∴A=（0，2），由B中不等式解得：﹣2≤x≤2，x∈Z，即B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B={1}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数的虚部为（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，进一步求得，则答案可求．【解答】解：∵z==，∴，则z的共轭复数的虚部为2．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3．已知平面向量与的夹角为，||=2，||=1，则|﹣|=（）A． B． C． D．1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先计算，再计算（）2，开方即可．【解答】解：=2×1×cos=﹣1．（）2=﹣2+=7．∴||=．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．4．已知直线l1：ax+2y﹣1=0，直线l2：x+（2a﹣3）y+a+1=0，则“a=2”是“l1∥l2”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线平行的条件以及充要条件的定义即可判断．【解答】解：l1：ax+2y﹣1=0，直线l2：x+（2a﹣3）y+a+1=0，若“l1∥l2”，则a（2a﹣3）﹣2=0，解得a=﹣或a=2，当a=﹣时，l1与l2重合，故“l1∥l2”则a=2，故“a=2”是“l1∥l2”的充要条件，故选：A【点评】本题考查了两条平行的充要条件、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题．5．已知cos（π+α）=，α是第二象限角，则tan2α=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】二倍角的正切．【分析】根据同角的三角函数的关系以及二倍角公式即可求出．【解答】解：∵cos（π+α）=，α是第二象限角，∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣2，∴tan2α===，故选：D．【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二倍角公式，属于基础题．6．已知数列{a n}是正项等比数列，若a2a9a16=64，则log2a1+log2a2+…+log2a17=（）A．34 B．32 C．30 D．28【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合等比数列的性质求得a9=4．再由对数的运算性质可得log2a1+log2a2+…+log2a17=，代入a9得答案．【解答】解：在正项等比数列{a n}中，由a2a9a16=64，得，即a9=4．∴log2a1+log2a2+…+log2a17==．故选：A．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，考查对数的运算性质，是基础题．7．已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0，则a+b=（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线的方程，可得a，b的方程组，解得a=b=1，即可得到答案．【解答】解：函数f（x）=+的导数为f′（x）=﹣，可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=﹣b=a﹣b，切线方程为x+2y﹣3=0，可得a﹣b=﹣，且f（1）=b=1，解得a=b=1，则a+b=2．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，注意切点在切线上，也在曲线上，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，若输出的n的值为5，则输入的T的最大值为（）A．108 B．76 C．61 D．49【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，T，n的值，由题意当S=15时满足条件S＜T，执行循环体，当S=31时，应该不满足条件S＜T，退出循环，输出n的值为5，从而可得退出循环时T 的范围为15＜T≤31，进而可求输入的T的范围．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，n=1，满足条件S＜T，执行循环体，S=3，T=T﹣3，n=2满足条件S＜T，执行循环体，S=7，T=T﹣6，n=3满足条件S＜T，执行循环体，S=15，T=T﹣9，n=4满足条件S＜T，执行循环体，S=31，T=T﹣12，n=5此时，应该不满足条件S＜T，退出循环，输出n的值为5．所以此时T的范围为：15＜T≤31．所以输入的T的范围为：15+12+9+6+3＜T≤31+12+9+6+3，即：45＜T≤61，可得输入的T的最大值61．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，根据S，n的值得到T的取值范围是解题的关键，属于基础题．9．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图与侧视图如图所示，若三棱锥S﹣ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．84πB．72πC．60πD．48π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=6，△ABC中AC=6，取AC中点F，连BF，求出BS=6，可得三棱锥外接球的半径，即可得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC 为等腰三角形如图，取AC中点F，连BF，则在Rt△BCF中，BF=3，CF=3，BC=6．在Rt△BCS中，CS=6，所以BS=6．设球心到平面ABC的距离为d，则因为△ABC的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得R2=d2+（2）2=（6﹣d）2+（2）2，所以d=3，该三棱锥外接球的半径R=所以三棱锥外接球的表面积是4πR2=84π，故选：D．【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状是解答的关键．10．函数y=f（x）的图象沿x轴向左平移个单位得到函数g（x）=sin2x+cos2x的图象，则函数y=f（x）的一条对称轴为（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数y=f（x）的一条对称轴．【解答】解：由题意可得，把函数g（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）的图象沿x轴向右平移个单位，得到f（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin （2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ+，求得x=+，k∈Z，令k=0，可得函数y=f（x）的一条对称轴为x=，故选：D．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．已知点A（2，1），P是焦点为F的抛物线y2=4x上的任一点，当△PAF的周长最小时，△PAF的面积为（）A．2 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，求出P的坐标，可得△PAF的面积．【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴△APF的周长最小，|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，设P（x，1），则1=4x，∴x=，∴P（，1）．∴△PAF的面积为=，故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题，正确转化是关键．12．设f（x）与g（x）都是定义在区间[x1，x2]上的函数，若对任意x∈[x1，x2]，都有（f（x）+g（x））2≤2，则称f（x）和g（x）为“2度相关函数”．若函数f（x）与函数g（x）=x+2在[1，2]上为“2度相关函数”，则函数f（x）的解析式可以为（）A．f（x）=x2+2x+1 B．f（x）=﹣3x+2 C．f（x）=﹣x2+2x﹣4 D．f（x）=x+lnx﹣4【考点】函数的值．【分析】根据“2度相关函数”的定义对各个选项分别构造函数，求出对应的导数判断出函数的单调性、求出函数的最大值判断是否符合条件．【解答】解：对于A、设h（x）=（f（x）+g（x））2=（x2+3x+3）2，则h′（x）=2（x2+3x+3）（2x+3）＞0，则h（x）在[1，2]上递增，∴h（x）的最大值是h（2）=169＞2，故A错误；对于B、设h（x）=（f（x）+g（x））2=（﹣2x+4）2，则h′（x）=2（﹣2x+4）（﹣2）=8（x﹣2）＜0，则h（x）在[1，2]上递减，∴h（x）的最大值是h（1）=4＞2，故B错误；对于C、设h（x）=（f（x）+g（x））2=（﹣x2+3x﹣2）2，则h′（x）=2（﹣x2+3x﹣2）（﹣2x+3）=2（x﹣1）（x﹣2）（2x﹣3），则h（x）在[1，]上递增，在（，2]上递增，∴h（x）的最大值是h（）=＜2，故C正确；对于D、设h（x）=（f（x）+g（x））2=（2x+lnx﹣2）2，则h′（x）=2（2x+lnx﹣2）（2+）＞0，则h（x）在[1，2]上递增，∴h（x）的最大值是h（2）=（2+ln2）＞2，故D错误，故选：C．【点评】本题是与函数有关的新定义题目，考查构造函数法，导数与函数单调性、最值问题，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．已知函数f（x）=，若f（f（7））=，则实数b的值为．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式建立方程进行求解即可．【解答】解：f（7）==，则由f（f（7））=得f（）=，即|﹣b|=，即|﹣b|=，则b=0或b=2，故答案为：0或2．【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据条件建立方程是解决本题的关键．比较基础．14．若实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×4+1=9．即目标函数z=2x+y的最大值为9．故答案为：9．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．双曲线4x2﹣2y2=1的右焦点为F，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P，则|PF|=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，利用方程组法求出交点坐标进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为，则a2=，b2=，c2=+ =，即c=，b=，则F（，0），则以OF为直径的圆的方程为（x﹣）2+y2=，双曲线的一条渐近线为y=x，代入（x﹣）2+y2=，得x=，y=，即P（，），则|PF|===，故答案为：．【点评】本题主要考查双曲线性质的应用，利用方程思想求出双曲线的标准方程以及交点坐标是解决本题的关键．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，AD是BC边=，上的中线，且G点为△ABC的重心，若Ssin2B+sin2C+sinBsinC=sin2A，求|AG|的最小值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2A，利用正弦定理可得：b2+c2+bc=a2，再利用余弦定理可得A=．由S=，可得：=，可得bc=4．设|AD|=m．由中线长定理可得：b2+c2=2m2+，代入利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：在△ABC中，由sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2A，利用正弦定理可得：b2+c2+bc=a2，利用余弦定理可得：cosA==﹣，∵A∈（0，π），∴A=．=，可得：=，由S可得bc=4．设|AD|=m．由中线长定理可得：b2+c2=2m2+=2m2+（b2+c2+bc），化为：2m2=≥bc=2．∴m≥1，∴|AG|=m≥，其最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、中线长定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•安徽模拟）已知数列{a n}满足na n+1﹣（n+1）a n=n（n+1），n∈N*，且a1=2．（Ⅰ）求证：{}为等差数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（Ⅰ）由na n+1﹣（n+1）a n=n（n+1），两边同时除以n（n+1）即可证明，（Ⅱ）根据裂项求和即可得到数列{}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）∵na n+1﹣（n+1）a n=n（n+1），∴﹣=1，∵a1=2，∴=2，∴{}以2为首项，以1为公差的等差数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=2+（n﹣1）=n+1，∴a n=n（n+1），∴==﹣，∴S n=1+…+﹣=1﹣=．【点评】本题考查了数列的通项公式和裂项法求前n项和，属于中档题．18．（12分）（2016•安徽模拟）随着人们生活水平的不断提高，私家车已经越来越多的进入寻常百姓家，但随之而来的祭车祭路行为也悄然成风，影响交通秩序，存在安全隐患，污染城乡环境，影响城市形象．为净化社会环境，推进移风易俗，提高社会文明程度，确保道路交通秩序和人民生命财产安全，某市决定在全市开展祭车祭路整治活动，为此针对该市市民组织了一次随机调查，下面是某次调查的结果．现用分层抽样的方法从上述问卷中抽取50份问卷，其中属“支持”的问卷有24份． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）现决定从所调查的支持的720名市民中，仍用分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，再从6人中随机抽取2人颁发幸运礼品，试求这2人至少有1人是女性的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法． 【分析】（Ⅰ）．由题意可得=，解方程可得，（Ⅱ）由分层抽样可知随机抽取的6人种4男2女，从6人中随机抽取2人共15种方法，至少有1人是女性的有9种，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得=，解方程可得m=360；（Ⅱ）由分层抽样可知随机抽取的6人种4男2女，设4名男生用A，B，C，D表示，女生用a，b表示，从6人中随机抽取2人的基本事件为AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15种，其中这2人至少有1人是女性的有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab共9种，故这2人至少有1人是女性的概P==【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．19．（12分）（2016•安徽模拟）如图，已知四边形ABCD，ADEF 均为平行四边形，DE=BC=2，BD⊥CD，DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面FAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥F﹣ABCD的体积的最大值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）根据平行四边形的性质得出BD⊥AB，AF⊥平面ABCD，故而BD⊥AF，得出BD⊥平面FAB，于是平面FAB⊥平面ABCD；（II）利用基本不等式得出CD•BD的最大值，即平行四边形ABCD 的最大值，代入棱锥的体积公式得出体积的最大值．【解答】证明：（I）∵四边形ABCD，ADEF是平行四边形，∴CD∥AB，DE∥AF．∵BD⊥CD，DE⊥平面ABCD，∴BD⊥AB，AF⊥平面ABCD．∴BD⊥AF，又AB⊂平面FAB，AF⊂平面FAB，AB∩AF=A，∴BD⊥平面FAB，又BD⊂平面ABCD，∴平面FAB⊥平面ABCD．解：（II）∵CD⊥BD，BC=2，∴CD2+BD2=4，∴CD•BD≤=2．∴S平行四边形ABCD=CD•BD≤2．∴V F﹣ABCD==．即四棱锥F﹣ABCD的体积的最大值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，基本不等式的应用，属于中档题．20．（12分）（2016•安徽模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）．（Ⅰ）若点A（1，），B（，1）均在椭圆C上，求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知过点（0，1），斜率为k（k＜0）的直线l与圆O：x2+y2=相切，且与椭圆C交于M，N两点，若以MN为直径的圆恒过原点O，则当a∈[，]时，求椭圆C的离心率e的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将点A，B的坐标代入椭圆方程，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）求得直线l的方程，代入椭圆方程，运用判别式大于0，韦达定理，由直径所对的圆周角为直角，运用向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合离心率公式可得所求范围．【解答】解：（Ⅰ）点A（1，），B（，1）均在椭圆C上，可得+=1， +=1，解得a2=3，b2=2，即有椭圆方程为+=1；（Ⅱ）过点（0，1），斜率为k（k＜0）的直线l为y=kx+1，直线l与圆O：x2+y2=相切，可得d==，解k=﹣1，则直线l：y=1﹣x，代入椭圆方程+=1，可得（b2+a2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，由△=4a4﹣4（b2+a2）（a2﹣a2b2）＞0，化为b2+a2＞1，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2）=1+x1x2﹣（x1+x2），以MN 为直径的圆恒过原点O ，可得OM ⊥ON ，即有x 1x 2+y 1y 2=1+2x 1x 2﹣（x 1+x 2）=1+2•﹣=0，化简可得a 2+b 2=2a 2b 2，即+=2，由a ∈[，]，可得∈[，]，即有b 2∈[，]，椭圆C 的离心率e 2===1﹣b 2（2﹣）=2﹣2b 2∈（，），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（，）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用待定系数法，考查椭圆离心率的范围，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直径所对的圆周角为直角，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）（2016•安徽模拟）若对任意x 1，x 2∈（0，1]，且x 1≠x 2，都有||≤4，则称y=f （x ）为“以4为界的类斜率函数”．（Ⅰ）试判断y=是否为“以4为界的类斜率函数”；（Ⅱ）若a ＜0，且函数f （x ）=x ﹣1﹣alnx （a ∈R ）为“以4为界的类斜率函数”，求实数a 的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）利用“以4为界的类斜率函数”的定义，判断给出的区间内||≤4是否成立即可．（II）根据f（x）的单调性得出去绝对值号化为：x2+alnx2+≤x1+alnx1+．g（x）=x+alnx+为减函数，令h′（x）≤0恒成立，分离参数得a≤﹣x，令h（x）=﹣x，可得：函数h（x）在区间（0，1]上为减函数．求出h（x）的最小值即可得出a的范围．【解答】解：（I）对任意x1，x2∈（0，1]，且x1≠x2，都有||==＜4，∴y=是“以4为界的类斜率函数”．（II）f′（x）=1﹣，∵1≥x＞0，a＜0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在区间（0，1]上为增函数．设0＜x1＜x2≤1，∵函数f（x）是为“以4为界的类斜率函数”，∴a＜0时，||==≤4，化为：x2+alnx2+≤x1+alnx1+．令g（x）=x+alnx+，则g（x）在区间（0，1]上为减函数．∴g′（x）=1+﹣≤0在区间（0，1]上恒成立，∴a≤﹣x，令h（x）=﹣x，可得：函数h（x）在区间（0，1]上为减函数．∴x=1时，h（x）取得最小值h（1）=3．∴a≤3．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造函数方法、不等式的性质、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•安徽模拟）如图，已知四边形ACBF内接于圆O，FA，BC的延长线交于点D，且FB=FC，AB是△ABC的外接圆的直径．（1）求证：AD平分∠EAC；（2）若AD=4，∠EAC=120°，求BC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）推导出∠FBC=∠FCB，∠DAC=∠FBC，由此能证明AD平分∠EAC．（2）求出∠ACD=∠ACB=90°，∠DAC=，AC=2，由此能求出BC的值．【解答】证明：（1）∵FB=FC，∴∠FBC=∠FCB，∵四边形AFBC内接于圆O，∴∠DAC=∠FBC，又∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，∴∠EAD=∠CAD，∴AD平分∠EAC．解：（2）∵AB是△ABC外接圆直径，∴∠ACD=∠ACB=90°，∵∠EAC=120°，∴∠DAC=，∴AC=2，在Rt△ACB中，∵∠BAC=60°，∴BC=2=6．【点评】本题考查角平分线的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C1和C2公共弦的长度．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1消去参数α可得普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．（II）两圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程：2x﹣4y+3=0．求出圆心C1到公共弦所在的直线的距离d．利用公共弦长=2即可得出．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数α可得普通方程：（x﹣1）2+y2=4，即x2+y2﹣2x=3．曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4y，配方为x2+（y﹣2）2=4．（II）x2+y2﹣2x=3与x2+y2=4y相减可得公共弦所在的直线方程：2x ﹣4y+3=0．圆心C1（1，0）到公共弦所在的直线的距离d==．∴公共弦长=2=．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、两相交圆的公共弦长、点到直线的距离公式公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•安徽模拟）已知a＞0，b＞0且a+b=1．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）若+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据基本不等式的性质，利用1的代换求出+的最小值为9；（Ⅱ）根据不等式恒成立，结合分类讨论进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0 且a+b=1，∴+=（a+b）（+）=5++≥9，故+的最小值为9，（5分）（Ⅱ）∵对于a，b∈（0，+∞），使+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，∴|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，（7分）若x≥，则不等式等价为2x﹣1﹣x﹣1≤9，解得：x≤11，∴≤x≤11；若﹣1＜x＜，则不等式等价为﹣2x+1﹣x﹣1≤9，解得：x≤3，∴﹣1＜x＜，若x≤﹣1，则不等式等价为﹣2x+1+x+1≤9，解得：x≥﹣7，∴﹣7≤x≤﹣。
安徽省合肥市2019届高三第一次原创冲刺试卷数学(文)试题
安徽省合肥市2019届高三第一次原创冲刺试卷数学试题(文科)★祝考试顺利★ 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题纸上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}{12A x x =-≤≤，{}10B x x =-<，则A B =( ). A.}{1x x < B.}{11x x -≤< C.{}2x x ≤ D.{}21x x -≤< 2.设i 是虚数单位，复数()()i 12i a ++为纯虚数，则实数a 为( ). A.-2 B.2 C.12- D.123.设双曲线2222:1x yC a b -=(00a b >>，)的虚轴长为4，一条渐近线为12y x =，则双曲线C 的方程为( ).A.221164x y -=B.221416x y -= C.2216416x y -= D.2214y x -=4.执行右图所示的程序框图，则输出n 的值为( ). A.63 B.47 C.23 D.75.设向量()3 4a =-，，向量b 与向量a 方向相反，且10b =，则向量b 的坐标为( ).A.6855⎛⎫- ⎪⎝⎭，B.()6 8-，C.6855⎛⎫- ⎪⎝⎭， D.()6 8-， 6.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则( ).A.a b c >>B.a c b >>C.b a c >>D.c a b >> 7.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多8.已知1cos sin 5αα-=，则cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ).A.2425-B.45-C.2425D.459.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为( ).A.6πB.24πC.48πD.96π 10.已知函数()()x x f x x e e -=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.已知过抛物线2y =焦点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，3AF FB =，抛物线的准线l 与x轴交于点C ，AM l ⊥于点M ，则四边形AM CF的面积为( ).A.12 C.12.若关于x 的方程0x e ax a +-=没有实数根，则实数a 的取值范围是( ).A.(2 0e ⎤-⎦，B.)20 e ⎡⎣，C.(] 0e -，D.[)0e ，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.13.设x y ，满足约束条件001030x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎪-+≥⎨⎪+-≤⎪⎪⎩，则2z x y =-的取值范围为 .14.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为 . 15.设等差数列{}n a 满足25a =，6830a a +=，则数列211n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项的和等于 .16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)将函数()sin 2f x x =的图像向左平移6π个单位后得到函数()g x 的图像，设函数()()()h x f x g x =-.(Ⅰ)求函数()h x 的单调递增区间；(Ⅱ)若163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()h α的值.18.本小题满分12分)已知：如图，在四棱锥P ABCD -中，BCD ∆为等边三角形，BD =PA ，AB AD PB PD ===，120BAD ∠=.(Ⅰ)若点E 为PC 的中点，求证：BE ∥平面PAD ； (Ⅱ)求四棱锥P ABCD -的体积.B DPC EA19.(本小题满分12分)某学校九年级三个班共有学生140人.为了了解学生的睡眠情况，现通过分层抽样的方法获得这三个班部分学生周一至周五睡眠时间的数据(单位：小时)甲班 30 31 32 32.5 34 35 36； 乙班 30 32 33 35.5 37 39 39.5； 丙班 30 30 31 33.5 39 40. (Ⅰ)试估算每一个班的学生数；(Ⅱ)设抽取的这20位学生睡眠时间的平均数为x .若在丙班抽取的6名学生中，再随机选取3人作进一步地调查，求选取的这3名学生睡眠时间既有多于x 、又有少于x 的概率.20.(本小题满分12分)设椭圆:E 22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若椭圆E2ABF ∆的周长为(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点C ，D ，设弦AB ，CD 的中点分别为M N ，，证明：O M N ，，三点共线.21.(本小题满分12分)已知函数()()11ln x f x e a x x -=--+(a R e ∈，是自然对数的底数).(Ⅰ)设()()g x f x '=(其中()f x '是()f x 的导数)，求()g x 的极小值； (Ⅱ)若对[)1x ∈+∞，，都有()1f x ≥成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2cos ρθ.(Ⅰ)求1C 、2C 交点的直角坐标；(Ⅱ)设点A 的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭4，，点B 是曲线2C 上的点，求AO B ∆面积的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x =+.(Ⅰ)若()22f x x +>，求实数x 的取值范围；(Ⅱ)设()()()g x f x f ax =+(1a >)，若()g x 的最小值为12，求a 的值.数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.[-1，6] 14.91615.()41n n +三、解答题：17.(本小题满分12分)(Ⅰ)由已知可得()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()sin 2sin 2sin 233h x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，，解得51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，.∴函数()h x 的单调递增区间为()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分(Ⅱ)由163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21sin 2sin 26333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴1sin 233πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()13h α=-. (12)分18.(本小题满分12分)(Ⅰ)取CD 的中点为M ，连结EM ，BM . ∵BCD ∆为等边三角形，∴BM CD ⊥.∵120BAD ∠=，AD AB =， ∴30ADB ∠=，∴AD CD ⊥，∴//BM AD .又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD .∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM ∥PD . 又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EM ∥平面PAD .∵EM BM M =，∴平面BEM ∥平面PAD .又∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD . …………………………5分 (Ⅱ)连结AC 交BD 于O ，连结PO . ∵CB CD AB AD ==，，∴AD BD ⊥.O 为BD 的中点.又∵120BAD ∠=，BD =PBD ABD ∆∆≌，∴1AO PO ==.又∵PA 222PA PO OA =+，∴PO OA ⊥.又∵PO BD ⊥，∴PO ⊥平面ABD ，即四棱锥P ABCD -的高为=1PO ，∴四棱锥P ABCD -的体积(2111132V ⎫=⨯+⨯⨯=⎪⎪⎝⎭ (12)分19.(本小题满分12分) (Ⅰ)甲班：71404920⨯=(人)，乙班71404920⨯=(人)，丙班61404220⨯=(人). ……………5分 (Ⅱ)34x =.设事件A =“3名学生睡眠时间既有多于x 、又有少于x 的学生”.丙班睡眠时间少于x 的有4人，设为1234A A A A ，，，，多于x 的有2人，设为12B B ，.从这6名学生中随机选取3人的基本事件共有20种，而不满足条件的基本事件(3人睡眠时间都低于x )有123124134234,,,A A A A A A A A A A A A 共4种情况，所以满足条件的基本事件数为16种，164()205P A ==，即在丙班被抽取的6名学生中，再随机地选取3人作进一步地调查，选取的3人睡眠时间既有多于x 、又有少于x 学生的概率为45.……………………12分20.(本小题满分12分)(Ⅰ)由题意知，4a a =又∵e =，∴c =，b ∴椭圆E的方程为22163x y +=. …………………………5分 (Ⅱ)易知，当直线AB CD 、的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M N ，在x 轴上，O M N ，，三点共线；当直线AB CD ，的斜率存在时，设其斜率为k ，且设()()()112200A x y B x y M x y ，，，，，.联立方程得22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减得2222112206363x y x y ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭， ∴()()()()22221212121212126363x x x x y y y y x x y y -+-+--=-=-， ，∴1212121236y y y y x x x x -+⋅=--+，01212036y y y x x x -⋅=--，即12OM k k ⋅=-， ∴12OM k k=-. 同理可得12ON k k=-，∴OM ON k k =，所以O M N ，，三点共线. ………………………12分21.(本小题满分12分)(Ⅰ)()()()110x g x f x e a x x -'==+->，()121x g x e x -'=-.令()()()1210ϕ-'==->x x g x e x x ，∴()1320ϕ-'=+>x x e x，∴()g x '在()0+∞，上为增函数，()10g '=. ∵当()0 1x ∈，时，()0g x '<；当()1x ∈+∞，时，()0g x '>， ∴()g x 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为()1+∞，， ∴()()12g x g a ==-极小. …………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减， ∴()()12f x f a ''≥=-.当2a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[)1+∞，上单调递增，()()11f x f ≥=，满足条件； 当2a >时，()120f a '=-<.又∵()ln 11ln 10ln 1ln 1a f a e a a a '+=-+=>++，∴()01ln 1x a ∃∈+，，使得()00f x '=， 此时，()01x x ∈，，()0f x '<；()0 ln 1x x a ∈+，，()0f x '>， ∴()f x 在()01x ，上单调递减，()01x x ∈，，都有()()11f x f <=，不符合题意. 综上所述，实数a 的取值范围为(] 2-∞，. ………………………12分22.(本小题满分10分)(Ⅰ)221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，∴2=2cos ρρθ，∴222x y x +=.联立方程组得222212x y x y x⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得111 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，221 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1 2⎛ ⎝⎭，.………………………5分 (Ⅱ)设()B ρθ，，则=2cos ρθ，∴AO B ∆的面积11sin 4sin 4cos sin 2233S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴当2312πθ=时，max 2S =. ………………………10分23.(本小题满分10分)(Ⅰ)()22f x x +>，即1>22x x +-⇔1>22x x +-或122x x +<-13x ⇔>或3x >，∴实数x 的取值范围是1 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. ………………………5分(Ⅱ)∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，， ，，，， 易知函数()g x 在1x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时单调递减，在1x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时单调递增，∴()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.∴1112a -=，解得2a =. ………………………10分。
2019届安徽省最后一次模拟数学(文)试题(解析版)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间 和 处函数的特征即可确定函数图像.
【详解】 函数 在 上可导，其导函数为 ，且函数 在 处取得极大值，
当 时， ；当 时， ；当 时， .
C.向右平移 个单位长度D.向右平移 个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数图象和最值点可求得 ，从而得到 ，根据三角函数平移变换原则可得到结果.
【详解】由图象可知： ， ， ，解得： ，
又 ， ，解得： ，
， ， ， ，
将 向左平移 个单位得到：
.
故选： .
【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式、三角函数的平移变换问题；关键是熟练应用整体对应的方式，结合五点作图法和余弦函数图象求得函数解析式.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图可还原几何体为一个正方体去掉一个四棱锥，由此可求得几何体体积.
【详解】由三视图可知：几何体为一个正方体去掉一个四棱锥，
正方体体积 ，四棱锥体积 ，
几何体体积 .
故选： .
【点睛】本题考查根据三视图求解几何体体积，涉及到柱体和椎体体积公式的应用，关键是能够根据三视图准确还原几何体，属于基础题.
【点睛】本题考查余弦定理，属于基础题.
12.已知 ，若 恰有两个根 ，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
结合 值域可将方程变为 ，根据 与 交点情况可确定 ，从而将所求问题变为 的值域的求解问题，利用导数可求得值域，进而得到所求结果.
2019届安徽省合肥市第一中学高三下学期冲刺高考最后一次模拟数学(理)试题(解析版)
2019届安徽省合肥市第一中学高三下学期冲刺高考最后一次模拟数学（理）试题一、单选题1．设集合{|lg(3)}A x y x ==-，{}|2,xB y y x ==∈R ，则A B 等于（ ）A ．∅B ．RC ．{|3}x x >D ．{|0}x x >【答案】C【解析】分别解得集合,A B 根据交集定义即可得出结果. 【详解】{|lg(3)}{|30}{|3}A x y x x x x x ==-=->=>，{}|2,{|0}x B y y x y y ==∈=>R . ={|3}A B x x ∴>故选:C ． 【点睛】本题考查集合的交集运算,难度容易.2．已知命题2:(2)2(2)20()p a x a x a R -+--<∈的解集为R ，命题:02q a <<，则p 是q 的（ ） A ．充分条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．充分不必要条件【答案】B【解析】由命题p 的解集为R ,求得参数的取值范围,根据充分必要条件的判断方法即可得出结果. 【详解】2a =，x ∈R ;20a -<时,()()()=4222a a ∆2--4-⨯-<0,解得02a <<时,x ∈R ,综上命题2:0p a <≤. 因为命题:02q a <<所以命题p 是命题q 必要不充分条件.故选:B ． 【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定同时也考查了不等式恒成立时求解参数问题.属于基础题3．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是；设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和()*,,,da b c d c∈N ，则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<．若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ） A ．4715B ．6320C ．227D ．7825【答案】B【解析】按照“调日法”计算,每次计算出结果后要比较大小,得更加小的范围. 【详解】第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<， 第二次用“调日法”后得到4715是π的更为精确的不足近似值，即4716155π<<， 第三次用“调日法”后得到6320是π的更为精确的过剩近似值，即47631520π<<. 故选:B ． 【点睛】本题考查合情推理和类比推理.解题时按照给定的程序计算即可.4．()722121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】求出7211x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中的常数项和2x -的系数,再由多项式乘法可得结论. 【详解】7214127711rr r r r r T C C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,由2140r -=得=7r ,常数项为1, 由2142r -=-得=6r ,2x -的系数为67=7C ,所以展开式中常数项为：21175-⨯+⨯=.故选:A ． 【点睛】本题考查二项式定理,考查求二项展开式中某一项系数,掌握二项展开式通项公式是解题关键.5．已知函数()f x 的图像为[-1,1]上连续不断的曲线，且()()120192019f x f x -=，()f x 在[0,1]上单调递减．若1124log log (2)f m f m ⎛⎫⎡⎤<+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(-1,2) B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(0,2)【答案】C 【解析】由()()120192019f x f x -=得出函数()f x 为奇函数,进而得出函数()f x 在R 上为增函数,于是要解的不等式化为关于m 的不等式组. 【详解】 由()()120192019f x f x -=得,()()201929101f x f x -=⋅,即()()20191f x f x -+=,即()()=0f x f x +-故函数()f x 为奇函数,则可知()f x 在[1,1]-上为单调递减的奇函数.所以11241214log log (2)1log 11log (2)1020m m m m m m >+⎧⎪⎪-≤≤⎪⎪⎨-≤+≤⎪⎪>⎪⎪+>⎩，解得122m ≤<．故选:C ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性,单调性,利用性质把不等式转化为关于m 的不等式组是解决问题的关键,难度较易.6．如图所示，秒针尖的位置为(,)M x y ，若初始位置为01,2M ⎛- ⎝⎭，当秒针从0M（此时0t =）正常开始走时，那么点M 的横坐标与时间t 的函数关系为（ ）A ．sin 306x t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 303x t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos 303x t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2cos 303x t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据条件先确定周期从而求解出ω的值,设出x 与时间t 的函数关系式cos()x t ωϕ=+（注意秒针是顺时针方向转动），根据初始位置0M ,计算出ϕ的值从而求解出关系式. 【详解】 初始角为23π-，周期260T πω==，所以，30πω=, 设x 与时间t 的函数关系式cos )0(3x t πϕ=-+(因为秒针是顺时针走动)所以,当秒针运动到M 点时,221cos cos 330303x t t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选:C ． 【点睛】本题考查利用三角函数的实际模型求解函数解析式,难度一般.钟表问题的三角函数实际模型中,由于分针、时针、秒针都是顺时针转动,因此在确定ω的时候要注意取负值,这里依据的是角的正负的定义.7．设数列{}n a ，11a =，且,n a 1n a +为方程()2*0n x nx c n -+=∈N 的两个实数根.数列{}n b 的通项211n n b c +=，前n 项和为n T ，则2019T =（ ）A ．20182019B ．20192020C ．20202021D ．20182020【答案】B【解析】由韦达定理可求1n n a a n ++=,则11n n a a n -+=-,即111n n a a +--=,因为11a =可求得n a ,进而求和111(1)1n b n n nn ,由裂项求和即可求得结果.【详解】由题意可得1n n a a n ++=,1n n n a a c +⋅=由111n n n n a a n a a n +-+=⎧⎨+=-⎩可得: 111n n a a +--=,因为11a =,易解得1(=21,*)22(=2,*)2n n n k k N a n n k k N +⎧-∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩，所以212122(1)n n n c a a n n +++==+，故111(1)1nb n n nn ，11111122311n n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋯+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 201920192020T ∴=故选:B ． 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式,考查裂项求数列的和,考查学生分析问题的能力,难度一般.8．已知圆22(6)(8)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)(0)B m m >，若圆C 上至少存在一点P ，使得90APB ∠>︒，则m 的取值范围是（ ） A ．(9,11) B ．(9,)+∞ C ．[9,)+∞ D ．(11,)+∞【答案】B【解析】22:(6)(8)1C x y -+-=与222:(1)O x y m m +=>位置关系为相交,内切或内含,即可满足题意,进而求得参数m 值. 【详解】22:(6)(8)1C x y -+-=的圆心()6,8C ，半径1r =,圆C 上至少存在一点P ，使得90APB ∠>︒,∴22:(6)(8)1C x y -+-=与222:(1)O x y m m +=>位置关系为相交,内切或内含,如图所示,则OC r R<+,∴110m+>∴9m>．故选:B．【点睛】本题考查参数取值范围问题,通过数形结合转化为圆与圆的位置关系,考查学生分析问题的能力,属于中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质的合理运用.9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1653B．253C．323D．163【答案】C【解析】借助正方体通过三视图还原几何体为三棱锥P ABC-,根据已知即可求得体积. 【详解】利用“三线交汇得顶点”的方法,可知该几何体是三棱锥P ABC-,如图所示,其中正方体的边长为4,点P是正方体其中一条棱的中点,所以1132444323 P ABCV-=⨯⨯⨯⨯=.故选:C ． 【点睛】本题考查三棱锥的体积,通过三视图还原几何体是本题的难点,考查学生的空间想象能力,难度一般.10．如图，矩形LMNK ，6LM =，2sin 3MLN ∠=，E 半径为1，且E 为线段NK 的中点，P 为圆E 上动点，设MP ML MN λμ→→→=+，则λμ+的最小值是（ ）A ．1B ．54C ．74D ．5【答案】B【解析】以点E 为坐标原点建系, 设(cos ,sin )P θθ,由已知求得1255MN =,将MP ML MNλμ→→→=+用坐标表示,解得3cos =65+1θλμθ-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,利用三角函数的最值解得λμ+的最小值.【详解】由已知建系如图,由6LM =，2sin 3MLN ∠=,解得55MN =,则()1251253,,3,0,3,55M N L ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设(cos ,sin )P θθ, 因为MP ML MN λμ→→→=+,125(cos 3,sin )5MP θθ→=-+,()=-6,0ML →,55=0MN →⎛ ⎝⎭，. 所以()125125(cos 3,sin -6,0+0MP θθλμ→⎛= -⎝+ ⎭，,即cos 3=-6125125sin =55θλθμ-⎧⎪⎨+⎪⎩,解得:3cos =65=sin +112θλμθ-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩. 所以()511sin cos =sin +12633=++242θϕλθμθ-+,当()sin +=-1θϕ时, λμ+的最小值是54. 故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理,向量的坐标运算,考查利用三角函数求最值问题,建立适当的坐标系是解题的关键,属于中档题.11．已知椭圆22:13x C y +=，过x 轴上一定点N 作直线l ，交椭圆C 于A ，B 两点，当直线l 绕点N 任意旋转时，有2211||||t AN BN +=（其中t 为定值），则（ ）A ．9t =B ．4t =C ．3t =D ．2t =【答案】B【解析】设点()()1122(,0),(0),,,,N m m A x y B x y >,当直线l 与x 轴不重合时,设l 的方程为x ty m =+,代入椭圆方程,化简得 ()2223230t y tmy m +++-=,利用韦达定理化简得()2222222231112||133t mt BM t m m AM⎡⎤+⎛⎫⎢⎥+=⋅- ⎪+--⎝⎭⎢⎥⎣⎦,因为t 为定值,特殊值代入即可求得m ,进而求得定值t . 【详解】设点()()1122(,0),(0),,,,N m m A x y B x y >当直线l 与x 轴不重合时,设l 的方程为x ty m =+,代入椭圆方程,得:22()33ty m y ++=,即()2222121222233230,33mtm t y tmy m y y y y t t -+++-=∴+=-=++. ()()2222221121111||BM AM x m y x m y ∴+=+-+-+()()2222222121211111111t y y t y t y ⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭()()22212121222222121221111y y y y y y t y y t y y +-+=⋅=⋅++ 21221212121y y t y y y y ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥=⋅- ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦()222222312133t mt t m m ⎡⎤+⎛⎫⎢⎥=⋅- ⎪+--⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 当直线l 绕点N 任意旋转时，有2211||||t AN BN +=（其中t 为定值）, 当0t =时,222116||||3AN BN m +=--当1t =时, 2222211128||||233m AN BN m m ⎡⎤⎛⎫+=⋅-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ∴222261283233m m m m ⎡⎤⎛⎫-=⋅-⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 解得: 23=2m 代入当0t =时, 222116=4||||3AN BN m +=--. 故选:B. 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系,考查恒过定点的定值问题,考查韦达定理在直线和椭圆联立中的应用,难度较难.12．已知关于x 的不等式21e ln 10x ax x x ---≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,1] B ．(,0]-∞C ．(,1]-∞D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】原不等式11eln (0)xax x x x-⇔≤+>,可求得1ln 1x x +≥,则0a ≤成立, 当0a >时,构造函数11()e ln xf x ax x x-=--,通过导数判断函数单调性,求得max ()(1)0f x f =≤,代入即可解得实数a 的取值范围.【详解】 原不等式11eln (0)xax x x x-⇔≤+>，当0a ≤时，令()()221111ln ,,g x g x x x x x x x'==-+-= ()g x 在(0,1)上单调递减；(1,)+∞上单调递增,()1=1g ,所以1ln 1x x +≥,显然有11ln x axe x x-≤+； 当0a >时，令11()eln xf x ax x x-=--，则1121e ()e x x x f x a x --⎛⎫-'=+ ⎪⎝⎭，()f x 在(0,1)上单调递增；(1,)+∞上单调递减，所以max ()(1)0f x f =≤即可，因为(1)1f a =-,所以01a <≤； 综上：1a ≤． 故选:C ． 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值问题,考查不等式恒成立求解参数取值范围问题,难度较难.二、填空题13．复数2(2)1i z i-=+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于第________象限．【答案】三【解析】利用复数的四则运算化简复数z a bi =+形式由复数的几何意义z a bi =+与复平面内点(),a b 一一对应即可求解. 【详解】()()2341(2)341717=112222i i i i i z i i i ------====--++,对应的点为1722⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限. 故答案为:三. 【点睛】本题考查复数的四则运算及其几何意义,属于基础题. 14．已知矩形ABCD ，2AB =，2AD =，E 为AD 的中点，现分别沿BE ，CE 将ABE △，DCE 翻折，使点A ，D 重合，记为点P ，则几何体P-BCE 的外接球的表面积为________．【答案】5π【解析】首先利用数量关系得到三线垂直,而后联想到长方体,外接球直径为长方体体对角线长,即可得解. 【详解】已知矩形ABCD ，2AB =，2AD =,E 为AD 的中点,可得1PE =,2PB PC ==,得9090EPB EPC CPB ∠=∠=︒∠=︒，，所以P BCE -为长方体的一角,如下图： 其外接球直径为其体对角线长，所以22225R PE PC PB =++=得52R =所以外接球表面积为:245S R ππ==. 故答案为:5π.【点睛】本题考查多面体与球的位置关系,球的表面积计算,考查空间想象能力和运算求解能力,难度较易.15．已知直线30l y t ++=与双曲线22:1L mx ny -=（0,m >0n >）右支交于A ，B 两点，点B 在第四象限，若原点O 是线段1A A 的中点，且115A BA ∠=︒，则双曲线L 的离心率e =________．【解析】由题意可得1A A ,关于原点对称,由作差法可得122AB A Bm b k k n a⋅==,结合已知条件可得1tan15A B k =-︒,代入即可解得22b a 的值,根据离心率公式计算即可得出结果. 【详解】由题意作图可知：设,A B 中点为P ,由已知可得1//OP A B ，所以15APO ∠=因为AB k =，所以30AQO ∠=,所以15QOP ∠=()1tan15tan 60152A B PO k k ︒=-︒=-=-=，又设()11,,A x y ()22,B x y ， 则()111,A x y --，12221212122212121AB A By y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-， 而2211222211mx ny mx ny ⎧-=⎨-=⎩，则22122212y y mx x n -=-，222212)1m b a na b -===（其中，,a b 为双曲线实半轴长、虚半轴长），2233b a ∴=，223ca ==，e ∴=故答案为:【点睛】本题主要考查了双曲线的方程和性质,考查离心率的求法,考查方程思想和直线的斜率公式，运算化简能力,属于中档题.16．角A 为60︒的锐角ABC 32b c +的取值范围为________．【答案】(43,221]【解析】由正弦定理及辅助角公式化简可得()022sin 4sin 221sin b c R B R C B θ+=+=+,其中03tan θ=由角,B θ的范围确定()0sin B θ+的范围即可得解. 【详解】sin 2aA R=，23603a ∴=︒=． 22sin 4sin 2(sin 2sin )b c R B R C R B C ∴+=+=+ 22sin 2sin 3R B B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2(2sin 3)R B B =()0221sin B θ=+．其中锐角0θ满足：03tan θ= 又ABC 为锐角三角形，62B ππ∴<<，00062B ππθθθ∴+<+<+，由064ππθ<<，知：000262πππθθ<-<+<，000sin sin sin 226πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-<+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()00sin sin 12B πθθ⎛⎫∴+<+≤ ⎪⎝⎭，又00sin cos 2πθθ⎛⎫+==⎪⎝⎭． ()0sin 1B θ<+≤，2b c ∴<+≤．故答案为: . 【点睛】本题考查正弦定理,辅助角公式在求解范围中的应用,对角范围的确定是本题的难点,考查学生分析问题的能力,难度较难.三、解答题17．已知数列{}n a 满足123123(21)314n n a a a na n ⎡⎤+++⋯+=-⋅+⎣⎦． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若121n n b a =-，证明：1232n b b b +++<…． 【答案】（I ）()1*3n n a n -=∈N ．（Ⅱ）见解析 【解析】(Ⅰ)由已知递推公式可得11231123(1)(23)314n n a a a n a n --⎡⎤+++⋯+-=-⋅+⎣⎦,作差化简即可解得; (Ⅱ)由（Ⅰ）可知，11231n n b -=⨯-,通过放缩法可得()*11112313n n n b n --=≤∈⨯-N ,利用等比数列的求和公式即可证得结论. 【详解】（I ）当1n =时，11a =；当2n ≥时，123123(21)314nn a a a na n ⎡⎤+++⋯+=-⋅+⎣⎦11231123(1)(23)314n n a a a n a n --⎡⎤+++⋯+-=-⋅+⎣⎦． 两式相减，得13-=n n a ， 综上可得：()1*3n n a n -=∈N ．（Ⅱ）由（1）可知，()*11112313n n n b n --=≤∈⨯-N ， 故120121111131313333232n n nb b b -⎛⎫++⋯+<+++⋯+=-< ⎪⎝⎭， 即1232n b b b +++<…． 【点睛】本题考查递推公式在求数列通项公式中的应用,考查放缩法在证明数列不等式中的运用,难度一般.18．四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，2SB SD ==，二面角S-BD-C 的余弦值为33-．（I ）证明：平面SAB ⊥平面SBD ； （Ⅱ）求二面角A-SD-C 的余弦值． 【答案】（I ）见解析（Ⅱ）22-【解析】(I) 连接AC ，交BD 于点O ．连接SO 易证得BD SO ⊥,BD AO ⊥即BD ⊥平面SAO,得到SA BD ⊥,利用余弦定理解得2SA =由222OS SA OA +=可证得SA SO ⊥,即可得到SA ⊥平面SBD,即可证得结论;(Ⅱ)建系,设()1111,,n x y z =和()2222,,n x y z =分别为平面SAD 、平面SCD 的法向量，求出法向量,利用公式计算即可得出结果. 【详解】（Ⅰ）连接AC ，交BD 于点O ．连接SO 菱形ABCD 中，AC BD ⊥，且O 是AC 和BD 的中点． 因为2SB SD ==，所以BD SO ⊥，SOC ∠是二面角S-BD-C 的平面角，即3cos 3SOC ∠=-，3cos 3SOA ∠=． 又SO OA O ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ，SA BD ⊥．SOA 中，由余弦定理知：2222232cos 1(3)21323SA OA OS OA OS SOA =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=． 所以2SA =，即222OS SA OA +=，SA SO ⊥，又SO BD O ⋂=，所以SA ⊥平面SBD ， 又SA ⊂平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面SBD ．（Ⅱ）如图，分别以OA →，OB →为x ，y 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．则点(0,0,0)O ，3,0,0),A (0,1,0),D -(3,0,0),C 36S ⎝⎭， (3,1,0)AD →=--，236AS →⎛= ⎝⎭，(3,1,0)CD →=-，43633CS →⎛= ⎝⎭． 设()1111,,n x y z =和()2222,,n x y z =分别为平面SAD 、平面SCD 的法向量，则由1100AD n AS n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11113036033x y x z +=⎨-=⎪⎩， 取1(1,3,2)n =-，由2200CD n CS n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222230436033x y x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩． 取2(1,3,22)n =-．12121211(3)32(22)2cos ,2612n n n n n n ⋅⨯+-⨯+⨯-===-⋅⨯．故二面角A-SD-C 的余弦值为22-． 【点睛】本题考查面面垂直的判定定理,考查空间向量法求二面角的余弦值,考查学生的逻辑推理能力,难度一般.19．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．（Ⅰ）（i ）请根据图示，将2×2列联表补充完整； 优分 非优分 总计 男生 女生 总计50（ii ）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．附：()2P K k0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828．【答案】（I）（i）列联表见解析；（ii）在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关；（II）0.352．【解析】试题分析：（I）列出列联表，根据公式计算卡方的值，比较可得到结论；（II）根据题意，得到随机变量X服从二项分布(3,0.4)B，即可求解其概率．试题解析：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：优分非优分总计男生9 21 30女生11 9 20总计20 30 50假设0H：该学科成绩与性别无关，2K的观测值22()50(991121)3.125()()()()20302030n ad bcka b c d a c b d-⨯-⨯=== ++++⨯⨯⨯，因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率． 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ， 则X 服从二项分布(3,0.4)B ，所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=．【考点】频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验．20．已知直线1 : =-1l x 与直线2l 互相垂直，且交点为Q ，点(1,0)F ，线段QF 的垂直平分线与直线2l 交于点P ．（I ）若动点P 的轨迹为曲线E ，求曲线E 的方程；（Ⅱ）已知点(2,0),M (4,0)N ，经过点M 的两条直线分别与曲线E 交于A ，B 和C ，D ，且(0)AN NC λλ→→=>，设直线AC ，BD 的斜率分别为1,k 2k ，是否存在常数μ，使得当λ变动时，12k k μ=？说明理由．【答案】（I ）24y x =（Ⅱ）存在，12μ=【解析】（I ）结合题意可知||||PQ PF =,根据抛物线定义,可知点P 轨迹是以1l 为准线,F 为焦点的抛物线,由焦点坐标即可得出结果.（Ⅱ）设直线AB 的方程为2x my =+,由(0)AN NC λλ→→=>可知A ，N ，C 共线,设直线AC 的方程为4x ny =+,设点()11,,A x y ()22,B x y ,()33,,C x y ()44,D x y ,由直线AB 和曲线E 联立,借助韦达定理可得128y y =-,348y y =-,代入计算求得的关系式,1134k y y =+,422131344888k y y y y y y ===--+++,即可得出结论 【详解】（Ⅰ）由题意，||||PQ PF =，结合抛物线定义， 可知点P 轨迹是以1l 为准线，F 为焦点的抛物线， 故曲线E 的方程为24y x =．（Ⅱ）设直线AB 的方程为2x my =+，由224x my y x=+⎧⎨=⎩，得2480y my --=． 设点()11,,A x y ()22,B x y ，则128y y =-． 同理，设点()33,,C x y ()44,D x y ．则348y y =-． 由(0)AN NC λλ→→=>可知A ，N ，C 共线， 设直线AC 的方程为4x ny =+，由244x ny y x=+⎧⎨=⎩，得24160y ny --=，1316y y =-． 又1313122311313444y y y y k y y x x y y --===-+-，242422224424213134488844y y y y k y y x x y y y y y y --=====---+++-，故1212k k =，所以存在常数12μ=，使1212k k =．【点睛】本题考查定义法求抛物线方程,考查直线和抛物线的关系中的定值问题,考查韦达定理在解决直线和抛物线问题中的应用,难度较难. 21．已知函数()e ax f x x =-，其中a R ∈．（I ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x R 上有两个不同的零点1,x 2x ，且12x x <，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）见解析（Ⅱ）10ea <<． 【解析】（I ）求导得()e 1ax f x a '=-,讨论0a ≤和0a >即可解得单调区间;（Ⅱ）要使得()f x R 上有两个不同的零点1,x 2x ，且12x x <，由（I ）可知0a >取得极小值，极小值小于0,可解得10e a <<.借助引理1：0,x 2e 2xx x >+;引理2：10,,e x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭22211ln 0x x x x -->证明10e a <<存在1110,ln x a a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()10f x =．2011ln ,x x a a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()20f x =．即证得10e a <<符合题意. 【详解】（I ）()e 1ax f x a '=-．当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，由()0f x '=解得11ln x a a=， 当11,ln x a a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当11ln ,x a a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 所以()f x 在11,ln a a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11ln ,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上，0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；0a >时()f x 在11,ln a a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11ln ,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （Ⅱ）引理1：0,x 2e 2xx x >+． 证明：令2()e (0)2x x g x x x =-->， 则()e 1x g x x '=--，()e 10(0)xg x x ''=->>，()g x '∴在(0,)+∞上单调递增，又(0)0g '=，()0(0)g x x '∴>>．()g x ∴在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g =，()()00g x x ∴>>．引理2：10,,e x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭22211ln 0x x x x -->． 证明：2221112212ln ln ln 2x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令2()ln 2,h x x x =+-10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ， 则22122()0x h x x x x -'=-=<，()h x ∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． 1()12e 22e 30e h x h ⎛⎫∴>=-+-=-> ⎪⎝⎭，故得证． 下求实数a 的取值范围．由（1）知要使()f x 有两个零点，0a >， 此时，min 1111()ln 1ln f x f a a a a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令min ()0f x <，解得10e a <<． 又(0)1f =，1110,ln x a a ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使()10f x =． 由引理1和引理2知： 10,e a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，022(1)11ln a x a a a -⎛⎫∃>> ⎪⎝⎭． 使()()0200000e 2ax ax f x x ax x =->+-2200(1)2a x a x =-- 2000(1)[(1)(1)]02a x x a x a a ⎡⎤=-->---=⎢⎥⎣⎦． 2011ln ,x x a a ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使()20f x =． 综上：10ea <<． 【点睛】本题主要考查了导数的综合应用,其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值,考查零点存在性定理在证明零点中的应用,借助引入定理是解答本题的关键,着重考查了函数的构造思想、等价转化思想,难度困难.22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），直线l的参数方程为212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点(,)P ρθ（0,ρ>002π≤<）是曲线C 上任意一点． （I ）求证：cos 4ρθ=；（Ⅱ）若(0,1)A ，直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ，求11||||AM AN +的值． 【答案】（I ）见解析（Ⅱ）11||||AM AN +=【解析】（I ）将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程,再转化问极坐标方程,即可得出结果.（Ⅱ）联立直线参数方程与曲线C 的直角坐标方程,根据直线参数方程中的几何意义可知121211||||t t AM AN t t ++=由韦达定理即可得出结果. 【详解】（I ）依题意，曲线22:(2)4C x y -+=，故2240x y x +-=， 即24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=，cos 4ρθ=．（Ⅱ）将直线l的参数方程212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入2240x y x +-=中，化简可得210t ++=，设M ，N 所对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=-，121t t =，故121211||||||||||||t t AM AN AM AN AM AN t t +++===⋅ 【点睛】本题考查直线的参数方程和直角坐标方程及极坐标方程之间的转化,考查了根据直线参数方程中t 的几何意义求值,难度一般.23．设函数()|24||21|f x x a x =++-．（I ）当12a =时，解不等式()4f x <； （Ⅱ）若41a -<<-，()f x 的图像与坐标轴的三个交点构成的三角形的面积为103，求实数a 的值．【答案】（I ）51|22x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭．（Ⅱ）2a =-． 【解析】（I ）分类讨论去绝对值,得到每段的解集,然后取并集得到答案.（Ⅱ）根据题意求出与坐标轴交点的坐标,因为三角形的面积为103,列出方程,根据41a -<<-,化简即可求得结果.【详解】（I ）当12a =时，73,22191()24,2222713,22x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩， 当2x <-时，原不等式可化为7342x --<， 解得52x >-，故522x -<<-； 当122x -≤≤时，原不等式可化为942x +<， 解得21x <-，故122x -≤<-； 当12x >时，原不等式可化为7342x +<，解得16x <，此时不等式无解． 综上所述，不等式()4f x <的解集为51|22x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭． （Ⅱ）()|24||21|f x x a x =++-，令0x =，得(0)4f a =+．令()0f x =，得422a x a +=-或422a x a -=+， 所以()f x 的图像与坐标轴的三个交点构成的三角形面积为21445(4)10(4)22222213a a a a S a a a a -++⎛⎫=-+== ⎪+--⎝⎭． 41a -<<-，()25(4)10321a a S a +==-∴， 化简得271240a a +-=，解得2a =-或27a =（舍去），故2a =-． 【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式,考查了已知三角形面积求解参数问题,根据绝对值的定义正确去掉绝对值符号是解答本题的关键,难度一般.。
2019届安徽省高三最后一卷理科数学试卷【含答案及解析】
2019届安徽省高三最后一卷理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若复数满足，则的共轭复数的虚部是（________ ）A．___________ B．______________ C．___________ D．2. 命题“ 或”的否定形式是（________ ）A．或________ B．或C．且________ D．且3. 已知，则（________ ）A．________ B．________ C．_________ D．4. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（________ ）A．_________ B．________ C． D．5. 已知随机变量，随机变量，则（）A．________ B．C． D．6. 若在双曲线上，为左焦点，，则（________ ）A．1 B．1或17________ C．41________ D．177. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中的近似取为（________ ）A．________ B．________ C．________ D．8. 淮北一中有5名优秀毕业生到市内一所初中的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名同学的不同分派方法种数为（________ ）A．150_________ B．180________ C．200_________ D．2809. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为（________ ）A． B．_________ C．________ D．110. 现定义，其中为虚数单位，为自然对数的底数，，且实数指数幂的运算性质对都适用，若，，那么复数等于（________ ） A．_________ B．C．_________ D．11. 如图，网格上纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（________ ）A．_________ B．_________ C．________ D．12. 已知实数，设方程的两个实根分别为，则下列关系中恒成立的是（________ ）A． B．C． D．二、填空题13. 若变量满足约束条件，且的最小值为-6，则_______________．14. 如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________ ．15. 数列中，，则此数列的通项公式___________．16. 为椭圆上的任意一点，为圆的任一条直径，则的取值范围是____________．三、解答题17. 如图，在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，且，将角的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆于点，过作轴于点；（1）若点的纵坐标为，求点的横坐标；（2）求的面积的最大值；18. 如图所示，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形，．（1）求证：；（2）若，点在平面上的射影恰为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19. 由于全力备战高考，造成高三学生视力普遍下降，现从我市所有高三学生中随机抽取16名学生，经医生用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如下：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”，求医生从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计全市的总体数据，若从我市考生中（人数很多）任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望．20. 已知抛物线的标准方程为，为抛物线上一动点，为其对称轴上一点，直线与抛物线的另一个交点为．当为抛物线的焦点且直线与其对称轴垂直时，的面积为18．（1）求抛物线的标准方程；（2）记，若值与点位置无关，则称此时的点为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．21. 已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，求证：．22. 选修4-1：几何证明选讲如图，是圆上的两点，为圆外一点，连结分别交圆于点，且，连结并延长至，使．（1）求证：；（2）若，且，求．23. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长．24. 选修4-5：不等式选讲已知函数，若关于的不等式的整数解有且仅有一个值为-3．（1）求整数的值；（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
2019年安徽省合肥市高考数学冲刺试卷(理科)(4月份)(有答案解析)
2019年安徽省合肥市高考数学冲刺试卷（理科）（4月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x+1＞0}，，则A∩B=（）A. B. （1，+∞）C. D.2.若0＜b＜a＜1，则在a b，b a，a a，b b中最大值是（）A. b aB. a aC. a bD. b b3.设复数，则（1+z）9的二项展开式的第7项是（）A. -84B. -84iC. 36D. -36i4.设x为区间[-2，2]内的均匀随机函数，则计算机执行下列程序后，输出的y值落在区间内的概率为（）A.B.C.D.5.在正项等比数列{a n}中，若成等差数列，则的值为（）A. 3或-1B. 9或 1C. 3D. 96.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A. 4种B. 10种C. 18种D. 20种7.过点且不垂直于轴的直线与圆交于两点，点在圆上，若是正三角形，则直线的斜率是（）A. B. C. D.8.已知等边三角形ABC中，D是线段AC的中点，DE⊥AB，垂足为E，F是线段BD的中点，则=（）A. B.C. D.9.设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sin x．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（）A. B. C. 0 D. -10.已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若点F1关于双曲线渐近线的对称点P满足∠OPF2=∠POF2（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.11.三棱锥S-ABC的各顶点均在球O上，SC为该球的直径，AC=BC=1，∠ACB=120°，三棱锥S-ABC的体积为，则球的表面积为（）A. 4πB. 6πC. 8πD. 16π12.锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，点G为△ABC的重心，若AG⊥BG，则cos C的取值范围为（）A. [，]B. [，）C. [，+∞]D. [，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.边长为a的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于______；将这个结论推广到空间是：棱长为a的正四面体内任一点到各面距离之和等于______．14.=______．15.已知x，y满足，且目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为4，则=______．16.已知抛物线C：y2=4x的焦点F且垂直于x轴的直线与抛物线C相交于A，B两点，动直线l：x=ty+n（n≠0）与抛物线C相交于M，N两点，若，则直线l与圆（x-2）2+（y+2）2=9相交所得最短弦的长度为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足，，a n≠0．（1）证明数列为等比数列，求出{a n}的通项公式；（2）数列{a n}的前n项和为T n，求证：对任意n∈N*，．18.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB=2，AC=4，∠BAC=120°，D为BC的中点．（1）求证：AD⊥PB；（2）若二面角A-PB-C的大小为45°，求三棱锥P-ABC的体积．19.某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，①已知学生甲和学生乙的成绩均在第3组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；②根据直方图试估计这100名学生成绩的平均分．（同一组中的数据用改组区间的中间值代表）20.已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2，点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点；（1）求△ABF2的周长；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：；（3）问直线l是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+k OD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，说明理由．21.已知函数f（x）=ln x+ax2+（a+2）x+1（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a∈Z，若对任意的x＞0，f（x）≤0恒成立，求整数a的最大值；（Ⅲ）求证：当x＞0时，e x-x lnx+2x3-x2+x-1＞0．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的方程为y=kx，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C与直线l交于A，B两点，若|OA|+|OB|=2，求k的值．23.已知函数f（x）=|x+2|-|x-2|+m（m∈R）．（Ⅰ）若m=1，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-x有三个零点，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．求解一元二次不等式化简集合A，求值域化简集合B，然后直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={x|x2-2x+1＞0}，，∴A={x|x>1},∴A∩B=[，1）∪（1，+∞）．故选：D．2.答案：C解析：解：∵0＜b＜a＜1，∴y=a x和y=b x均为减函数，∴a b＞a a，b a＜b b，又∵y=x b在（0，+∞）为增函数，∴a b＞b b，即在a b，b a，a a，b b中最大值是a b，故选：C．利用指数函数和幂函数的单调性，可以比较四个数的大小，进而得到在a b，b a，a a，b b的最大值．本题考查的知识点是指数函数的单调性和幂函数的单调性，熟练掌握指数函数的单调性和幂函数的单调性与参数的关系是解答的关键．3.答案：A解析：解：，所以z=i，则（1+i）9的二项展开式通项为T6+1==-84，故选：A．由复数的运算及二项式定理得：，所以z=i，则（1+i）9的二项展开式通项为T6+1==-84，得解本题考查了复数的运算及二项式定理，属中档题4.答案：C解析：解：根据题意知，当x∈[-2，0]时，y=2x∈[，1]；当x∈（0，2]时，y=2x+1∈（1，5]；所以当y∈[，3]时，x∈[-1，1]，其区间长度为2，所求的概率为P==．故选：C．根据题意知函数y是分段函数，写出函数解析式，计算y∈[，3]时x的取值范围，利用几何概型求对应的概率．本题考查了程序语言应用问题，也考查了函数与几何概型的概率计算问题，是中档题．5.答案：C解析：【分析】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题．设正项等比数列{a n}的公比为q，由已知列式求得q，则答案可求．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，由成等差数列，得a3=3a1+2a2，即，解得q=3（q＞0）．∴=．故选：C．6.答案：B解析：解：由题意知本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种，根据分类计数原理知共10种，故选：B．本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果．本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中．7.答案：D解析：解：∵△ABC为正三角形，∴圆心M为△ABC的中心，圆心到直线l的距离为圆的半径的一半，即为×2=1，设直线l：y+1=k（x+1），即kx-y+k-1=0，∴d==1，解得k=0（舍）或k=故选：D．∵△ABC为正三角形，∴圆心M为△ABC的中心，圆心到直线l的距离为圆的半径的一半，即为×2=1再根据点到直线的距离公式可得．本题考查了直线与圆的为位置关系，属中档题．8.答案：C解析：解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设|AC|=4．作EG⊥AD，垂足为G．D（0，0），C（2，0），F（0，），B（0，2）．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．|EO|=2sin60°=．∴x E=-cos30°=-．y E=sin30°=．∴E（-，）．=（-，）.=（0，-2），=（2，-）．设=x+y，∴-=2y，=-2x-y．解得y=-，x=．∴=-．故选：C．如图所示，建立直角坐标系．不妨设|AC|=4．作EG⊥AD，垂足为G．由DE⊥AB，可得∠AED=90°．利用直角三角形的边角关系可得E坐标．设=x+y，利用向量坐标于是性质、平面向量基本定理即可得出．本题考查了直角三角形的边角关系、向量坐标于是性质、平面向量基本定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：A解析：【分析】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sin x．当0≤x＜π时，f（x）=0，∴f（）=f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==．故选A．10.答案：B解析：解：连接OP，可得|OP|=|OF1|=|OF2|=|PF2|=c，F1到渐近线bx+ay=0的距离为d==b，在等腰三角形OPF1中，O到PF1的距离为a，即sin∠OPF1=sin30°==，可得e==2．故选：B．连接OP，运用等边三角形的定义和垂直平分线的性质，以及点到直线的距离公式，可得|OP|=c，O 到PF1的距离为a，再由锐角三角函数的定义可得所求离心率的值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查垂直平分线的性质以及化简运算能力，属于基础题．11.答案：D解析：【分析】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出线面垂直关系，计算出锥体的高，考查推理能力与计算能力，属于中等题．作出示意图，并作出△ABC的外接圆圆E，得出SD⊥平面ABC，计算出△ABC的面积，并计算出三棱锥S-ABC的高SD，利用正弦定理计算出圆E的直径CD，然后利用勾股定理求出SC，即球O的直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．解析：解：如下图所示，因为AC=BC=1，∠ACB=120°，则△ABC的面积为，设△ABC的外接圆为圆E，连接OE，则OE⊥平面ABC，做圆E的直径CD，连接SD，∵O、E分别为SC、CD的中点，则SD∥OE，∴SD⊥平面ABC，∴三棱锥S-ABC的体积，∴，因∠ACB=120°，则∠ABC=30°，由正弦定理得，∴，设球O的半径为R，则2R=SC=4，∴R=2，因此，球O的表面积为4πR2=16π．故选：D．12.答案：B解析：解：设A，B是单位圆的直径的端点，G（m，n）在圆x2+y2=1上，设G（x，y），∵点G为△ABC的重心，∴．∴点C在圆x2+y2=9上．∵△ABC是锐角△，∴点C（x，y）在圆x2+y2=9上，且-1＜x＜1，，设直线AC，BC的倾斜角分别为α，β．则C=β-α，tanα=，tantan C=tan（β-α）==∈（，]．∴cos C．故选：B．求得点C（x，y）在圆x2+y2=9上，且-1＜x＜1，．设直线AC，BC的倾斜角分别为α，β．则C=β-α，tanα=，tan，tan C=tan（β-α）==∈（，]．即可本题考查了动点的轨迹，考查三角形的重心以转化思想，是一道中档题．13.答案：a a解析：解：在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=a-OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故答案为：a，a．由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．14.答案：π+2解析：解：=，令y=，得x2+y2=4（y≥0），则圆x2+y2=4的面积为4π，由定积分的几何意义可得，，又，∴=π+2．由和的积分等于积分的和展开，然后由定积分的几何意义求得，再求得，作和得答案．本题考查定积分，考查定积分的几何意义，考查微积分基本定理的应用，是基础题．15.答案：-2解析：解：由题意画出图形，得：目标函数z=2x+y在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为4，由，解得A（1，2），由，解得B（3，1），所以，所以b+c=-3a，且a≠0；所以=-2．故答案为：-2．由题意画出图形，得出目标函数z=2x+y在点B取得最大值，在点A处取得最小值，由此求出A、B的坐标，再计算的值．本题主要考查了简单的线性规划应用问题，也考查了利用数形结合求最值问题，是中档题．16.答案：4解析：解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），令x=1，可得y=±2，即A（1，2），B（1，-2），k OA•k OB=-4，即有k OM•k ON=-4，设M（x1，y1），N（x2，y2），即有y1y2=-4x1x2，由x=ty+n代入抛物线方程可得y2-4ty-4n=0，可得y1y2=-4n，即有x1x2=n，即==n，解得n=1（0舍去），可得直线l：x=ty+1恒过定点P（1，0），圆（x-2）2+（y+2）2=9的圆心C为（2，-2），半径r=3，当直线l与直线PC垂直时，截得的弦长最短，可得此时弦长为2=2=4．求得抛物线的焦点，以及A，B的坐标，可得OM，ON的斜率之积，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l和抛物线方程，运用韦达定理，可得n=1，求得直线l恒过定点（1，0），求得圆心C和半径，由直线l与直线PC垂直时，截得的弦长最短，计算可得所求值．本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和圆的位置关系，以及直线恒过定点的求法，以及化简运算能力，属于中档题．17.答案：解：（1）由2a n-a n-1-a n•a n-1=0，可得-=1，∴-1=2（-1），∴数列是首项为，公比为2的等比数列．∴．（2），∴==．因此对任意n∈N*，．解析：（1）由2a n-a n-1-a n•a n-1=0，可得-=1，变形-1=2（-1），即可得出．（2），通过放缩，利用求和公式即可证明结论．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：（1）证明：在△ABC中，由余弦定理得BC2=4+16-2×2×4×cos120°=28，则BC=2．因为D为BC的中点，则BD=CD=．因为=（+），则2=（+）2=（2+2+2•）=（4+16+2×2×4×cos120°）=3，所以AD=．因为AB2+AD2=4+3=7=BD2，则AB⊥AD．因为PA⊥底面ABC，AD底面ABC，则PA⊥AD，又，，所以AD⊥平面PAB，因为PB平面PAB，从而AD⊥PB．（2）因为AD⊥平面PAB，过点A作AE⊥PB，垂足为E，连结DE．则有AE⊥PB，PB⊥AD，，AE、AD平面ADE，则DE⊥PB，所以∠AED为二面角A-PB-C的平面角．在Rt△DAE中，由已知，∠AED=45°，则AE=AD=．在Rt△PAB中，设PA=a，则PB==．因为AB×AP=PB×AE，则2a=×，即4a2=3（4+a2），解得a2=12，所以PA=a=2．所以V P-ABC=×S△ABC×PA=××2×4×sin120°×2=4．解析：本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．（1）由余弦定理求出BC，BD=CD，求出AD，利用勾股定理证明AB⊥AD，结合PA⊥AD，证明AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB．（2）过点A作AE⊥PB，垂足为E，连结DE．说明∠AED为二面角A-PB-C的平面角，设PA=a，求出PB，求出a，然后求解V P-ABC=×S△ABC×PA．19.答案：解：（1）第3组的频率为0.06×5=0.3，第4组的频率为0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1．-----------（4分）（2）按分层抽样的方法在第3、4、5组中分别抽取3人、2人、1人．①第3组共有0.3×100=30，设“学生甲和学生乙同时进入第二轮面试”为事件A，则，∴学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率为----（8分）②根据直方图试估计这100名学生成绩的平均分：77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.3+92.5×0.2+97.5×0.1=87.25．---------（12分）解析：（1）由频率分布直方图能求出第3，4，5组的频率．（2）①按分层抽样的方法在第3、4、5组中分别抽取3人、2人、1人．第3组共有0.3×100=30，设“学生甲和学生乙同时进入第二轮面试”为事件A，利用古典概型能求出学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率．②根据直方图能估计这100名学生成绩的平均分．本题考查频率、概率、平均数的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.答案：解：（1）∵椭圆左、右焦点分别为F1、F2，直线PF1与椭圆的交点为A、B，∴△ABF2的周长为：|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．（2）证明：由于F1（-1，0）、F2（1，0），PF1，PF2的斜率分别是k1，k2，且点P不在x轴上，∴k1≠k2，k1≠0，k2≠0．又直线PF1、PF2的方程分别为y=k1（x+1），y=k2（x-1），联立方程组，解得，∴P（，），∵点P在直线x+y=2上，∴+=2，即2k1k2+3k1-k2=0，故=2．解：（3）设A（x A，y A），B（x B，y B），C（x C，y C），D（x D，y D），联立直线PF1和椭圆的方程得，得（2k12+1）x2+4k12x+2k-2=0，∴x A+x B=-，x A x B=，∴k OA+k OB==+==2k1+=，同理可得：k OC+k OD=，∵直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+k OD=0，∴+==0，∴k1+k2=0或k1k2=1，当k1+k2=0时，由（2）得k2=-2，解得P点的坐标为（0，2）当k1k2=1时，由（2）得k2=3或k2=-1（舍去），此时直线CD的方程为y=3（x-1）与x+y=2联立得x=，y=，∴P（，），综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（0，2）或．解析：（1）△ABF2的周长为：|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a．（2）由于F1（-1，0）、F2（1，0），PF1，PF2的斜率分别是k1，k2，且点P不在x轴上，得到k1≠k2，k1≠0，k2≠0．直线PF1、PF2的方程分别为y=k1（x+1），y=k2（x-1），联立方程组，得P（，），由点P在直线x+y=2上，能证明=2．（3）设A（x A，y A），B（x B，y B），C（x C，y C），D（x D，y D），联立直线PF1和椭圆的方程得，得（2k12+1）x2+4k12x+2k-2=0，由此利用韦达定理得k OA+k OB==，同理可得：k OC+k OD=，由此利用k OA+k OB+k OC+k OD=0，能求出满足条件的点P的坐标．本题考查三角形周长的求法，考查代数式的证明，考查满足条件的点的坐标的求法，涉及到椭圆、直线方程、直线斜率、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21.答案：（Ⅰ）解：f（x）=ln x+ax2+（a+2）x+1，=2ax+a+2=（x＞0），①若a≥0，则＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，②若a＜0，由＞0，得0＜x＜-，由＜0，得x＞-；函数f（x）在（0，-）上单调递增，在（-，+∞）上单调递减；综上所述，a≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，a＜0，函数f（x）在（0，-）上单调递增，在（-，+∞）上单调递减；（Ⅱ）解：若a≥0，则f（1）=2a+3＞0，∴不满足f（x）≤0恒成立．若a＜0，由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（0，-）上单调递增，在（-，+∞）上单调递减，∴，又f（x）≤0恒成立，∴≤0，设g（x）=ln x+x（x＞0），则g（-）≤0，恒成立，∵函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）=1＞0，g（）＜0，∴存在唯一的x0∈（），使得g（x0）=0，当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，∴0＜-≤x0，解得a∈（-2，-1），又a∈Z，∴a≤-2，则综上a的最大值为-2；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a=-2时，f（x）=ln x-2x2+1＜0，∴ln x＜2x2-1，则-x lnx＞-2x3+x，∴e x-x lnx+2x3-x2+x-1＞e x-2x3+x+2x3-x2+x-1=e x-x2+2x-1，记u（x）=e x-x2+2x-1（x＞0），则=e x-2x+2，记h（x）=e x-2x+2，则=e x-2，由=0，得x=ln2，当x∈（0，ln2）时，＜0，当x∈（ln2，+∞）时，＞0，∴函数h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，∴=4-2ln2＞0，∴h（x）＞0，即＞0，故函数u（x）在（0，+∞）上单调递增，∴u（x）＞u（0）=e0-1=0，即e x-x2+2x-1＞0，∴e x-x lnx+2x3-x2+x-1＞0．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，属难题．（Ⅰ）求出原函数的导函数=（x＞0），得若a≥0，则＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a＜0，求出导函数的零点，对函数定义域分段，由导函数的符号可得原函数的单调性；（Ⅱ）若a≥0，则f（1）=2a+3＞0，不满足f（x）≤0恒成立．若a＜0，由（Ⅰ）求得函数的最大值，又f（x）≤0恒成立，可得ln（）-≤0，设g（x）=ln x+x，则g（-）≤0．由函数零点判定定理可得存在唯一的x0∈（），使得g（x0）=0．得到a∈（-2，-1），结合a∈Z，可知a的最大值为-2；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a=-2时，f（x）=ln x-2x2+1＜0，则-x lnx＞-2x3+x，得到e x-x lnx+2x3-x2+x-1＞e x-x2+2x-1．记u（x）=e x-x2+2x-1（x＞0），利用两次求导证明e x-x lnx+2x3-x2+x-1＞0．22.答案：解：（Ⅰ）∵，∴x2-4x+y2+1=0∴曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+1=0．（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为θ=θ1（ρ∈，θ1∈[0，）(π）），其中θ1为直线l的倾斜角，代入曲线C得ρ2-4ρcosθ1+1=0，设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2．ρ1+ρ2=4cosθ1，ρ1ρ2=1＞0，=16cos2θ1-4＞0,∴|OA|+|OB|=|ρ1|+|ρ2|=|ρ1+ρ2|=2，∴cosθ1=±满足＞0,∴θ1=或,∴l的倾斜角为或，则k=tanθ1=或-．解析：本题考查了参数方程化成普通方程，属于中档题．（Ⅰ）先消去α得C的普通方程，再化成极坐标方程；（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为θ=θ1（ρ∈，θ1∈[0，）(π）），其中θ1为直线l的倾斜角，代入C的极坐标方程，利用韦达定理可求得．23.答案：解：（Ⅰ）m=1时，f（x）=，∵f（x）≥0，∴由2x+1≥0，解得：x≥-，故不等式的解集是[-，+∞）；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-x有三个零点，只需f（x）=与y=x有3个交点即可，只需y=f（x）的2个分段点位于y=x的两侧即可，故，解得：-2＜m＜2．解析：（Ⅰ）代入m的值，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；（Ⅱ）求出y=f（x）的2个分段点位于y=x的两侧，得到关于m的不等式组，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
安徽合肥一中2019年冲刺高考最后1卷
安徽合肥一中2019年冲刺高考最后1卷数 学 试 题（文）注意事项：1．选择题用答题卡的考生，答第I 卷前，考生务必将自己的姓、准考证号、试题证号、试题科目用2B铅笔涂写在答题卡上。
2．选择题用答题卡的考生，答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷和答题卷的选择题栏中；不用答题卡的学生，在答第I 卷时，每小题选出答案后，填涂在答题卷相应的选择题栏上。
3．答第II 卷时，考生务必将自己的学校、姓名、考点、准考证号填在答题卷相应的位置上；答题时，请用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卷上，不要在试题卷上答题。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 343V R π=次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案按要求涂写在答题卡或答题卷上。
1．已知集合{4,3,2,1,0,1,4}M =----，{3,2,1,0,1,2,3}N =---， 且M ，N 都是全集I 的子集，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{-1，-2，-3} B ．{0，1，2，3}C ．{2，3}D ．{0，-1，-2，-3}2．i 是虚数单位，)i i 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量m ，n 的夹角为6π，且|||2,||m n m n ==-则= （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π5．函数()y f x =的图像如图所示，则函数12log ()y f x =的图像大致是（ ）6．已知圆22:2440C x y x y +-+-=，直线:34140l x y -+=，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．77．阅读如图所示的程序框图，若输入5,6p q ==，则输出,a i 的值分别为（ ）A ．5,1a i ==B ．5,2a i ==C ．15,3a i ==D ．30,6a i ==8．各项均为正数的等比数列{}n a 的公比2311,,,2q a a a 1≠成等 差数列，则34262645a a a a a a a a ++=（ ）ABCD9．已知直线:230m x y +-=，函数3cos y x x =+的图象与直线l 相切于P 点，若l m ⊥，则P点的坐标可能是 （ ）A ．3(,)22ππ--B ．3(,)22ππC ．3(,)22ππD ．3(,)22ππ--10．定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且对任意的a R ∈，都有()()0f a f a -+=，若,x y 满足不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-≤，则当14,2x x y ≤≤-时的最大值为 （ ）A ．1B ．10C ．5D ．8第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
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18(本小题满分 12 分)
(Ⅰ)已知 0 x 1 ,求证: ln x 1 x ; 2 1 x
(Ⅱ)已知 k 为正常数,且 a 0 ,曲线 C : y ekx 上有两点 P (a, eka ), Q (a, eka ) ,分别过点 P
和 Q 作曲线 C 的切线,求证:两切线的交点的横坐标大于零.
14.在极坐标系中,曲线 C1 的方程为
c o s (
4
)
2 ,曲线 C 2 的方程为 2 cos( ) ,
若点 P 在曲线 C1 上运动,过点 P 作直线 l 与曲线 C 2 相切于点 M ,则| P M | 的最小值为
15.已知平面上定点 O , A, B ,向量 a O A, b O B ,且 | a | 2, | b | 1, | a b | 7 ,点 C 是平
x
令 g ( x ) 1 f (t )dt , x ( 1, 3] ,则 g ( x ) 的图象是
9.合肥一中第二十二届校园文化艺术节在 2014 年 12 月开幕,在其中一个场馆中,由吉他社,口
琴社各表演两个节目,国学社表演一个节目,要求同社团的节目不相邻,节目单排法的种数是
A.72
B.60
面上的动点,记 c O C ,若 (a 2c ) (b c ) 0 ,给出以下命题:
①| a b | 3 ; ②点 C 的轨迹是一个圆;
③ | A C | 的最大值为
7 1 ,最小值为
7 1 ;
2
2
④ | B C | 的最大值为
3 1 ,最小值为
3 1 .
2
2
其中正确的有
(填上你认为正确的所有命题的序号)
A.2
B. 3
C. 2
D.1
7.对于任意实数 x, [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,那么“ [ x ] [ y ] ”是“ | x y | 1 ”的
( )条件
A.充分而不必要
B.必要而不充分
C.充要
D.既不充分又不必要
8.已知函数 y f ( x ), x [1, 3] 的图象如图所示,
19(本小题满分 13 分)
已知数列{an } 的前 n 项和为 S n ,且对任意 n N * ,都有 S n an 2n 成立.
(Ⅰ)求数列{an } 的通项公式;
(
Ⅱ
)
设
bn
an1 an , xn
1 1 bn
1
1 bn1, 若 记 数 列 {xn来自 的 前 n 项 和 为 Tn
,求
12.某社区有 500 户家庭,其中高收入家庭 125 户,中等收入家庭 280 户,低收入家庭 95 户,为了
调查社会购买力的某项指标,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为若干户的样本,若高收
入家庭抽取了 25 户,则低收入家庭被抽取的户数为
13.数列{an } 中,若 an an 1 7 n 5, n N * ,则 a1 a100
13 D. i
22
5 A.
2
B. 5
3 C.
2
D. 5 或 5 2
3.已知随机变量 X N (5, 9) ,随机变量 X 3 ,且 N ( , 2 ) ,则 2
A. 1, 1
1 B. 1,
3
7 C. 1,
3
4 D. 3,
9
4.已知
x,
y
满足不等式组
y
ex
,则 2 y x 的取值范围是
(Ⅱ)活动结束,剩余若干纪念卡,从中任意抽取 1 张纪念卡,得到 A 卡的概率是 3 ,任意抽取 2 7
张卡,没有 B 卡的概率是 1 ,求证:任意抽取 2 张卡,至少得到 1 张 A 卡的概率不大于 5 ,并指出
4
7
余下的卡中那种卡最少.
21(本小题满分 13 分) 在一张画有直角坐标系的纸片中,作以点 M (1, 0) 为圆心,半径为 2 2 的圆,折叠纸片使圆周 上的某一个点 P 恰好与定点 N (1, 0) 重合,连接 PM 与折痕交于点 Q ,反复这样折叠得到动点 Q 的集合. (Ⅰ)求动点 Q 的轨迹 E 的方程;
合肥一中 2019 冲刺高考最后一卷 理科数学试题
命题人：郭建德
一、选择题：本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知复数 1 3 i(i 为虚数单位),则 4 等于 22
13
13
A.1
B. i
C. i
22
22
2.已知双曲线的渐近线方程为 x 2 y 0 ,则该双曲线的离心率为
4x y 0
x
A.[1,4]
B.[2e 1, 9]
C.[3, 2e 1]
D.[1, e ]
5.执行如图所示的程序框图,输出的 c 值为
A.5
B.8
C.13
D.21
6.将一个边长为 2 的正方形 A B C D 沿其对角线 A C 折起,其俯视图如图所示,
此时连接顶点 B , D 形成三棱锥 B A C D ,则其正(主)视图的面积为
证: Tn
2n
1 2
.
20(本小题满分 13 分) 合肥一中每年五月举行校园微型博览会,在会馆入口处准备了 A, B , C 三种形式的校长签名
纪念卡片供参观同学抽取. (Ⅰ)若有大量纪念卡,其中 20%的 A 卡,现抽取了 5 张,求其中 A 卡的张数 X 的分布列及其数 学期望 E ( X ) ;(注:在总体数量特别大时,无放回抽样可以近似看作有放回抽样)
17(本小题满分 12 分) 如图,已知直角梯形 A C D E 所在的平面垂直于平面 ABC , BAC AC D 90 ,
EAC 60 , AB AC AE. , (Ⅰ)在直线 B C 上是否存在一点 P ,使得 D P // 平面 E A B ? 若存在,求出这个点,若不存在,请 说明理由; (Ⅱ)求平面 EBD 与平面 A B C 所成的锐二面角的余弦值.
C.48
D.24
10.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 的最小正周期为 10,在区间(0,5)内仅 f (1) 0,那么函数
f ( x 3) 在区间[100, 200] 的零点个数是 5
A.24
B.25
C.26
D.28
二、本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡的相应位置.
(Ⅱ)过直线 x 2 上的点 T 向圆 O : x 2 y 2 2 作两条切线,切点分别为 A, B ,若直线 A B 与
(Ⅰ)中的轨迹 E 相交于 C , D 两点,求 | A B | 的取值范围. |CD |
三、本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16(本小题满分 12 分)
在 A B C 中,角 A, B , C 所对的边分别是 a , b , c 且 sin B cos B 1 sin B . 2
(Ⅰ)求 co s B 的值
(Ⅱ)若 a c 4 ,求 A B C 的面积的最大值.