第4章 Lyapunov稳定性分析
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第4章 稳定性与Lyapunov方法
x − xe =
∑ (x
i =1
n
i
− x ei ) 2
xe 的 ε 邻域（球域） s (ε ) 定义为点集
98
第 4 章 稳定性与 Lyapunov 方法
s (ε ) = {x x − xe ≤ ε }
若系统（4-1-1）的初始状态 x0 ∈ s (δ ) ，即 x 0 − x e ≤ δ ，如果其解 x = Φ (t ; x 0 , t 0 ) 位于球 域 s (ε ) ，即满足 x(t ) − x e ≤ ε , ∀t ≥ t 0 ，那么就说系统的自由响应是有界的。 根据自由响应是否有界，可以定义如下 4 种稳定性。 1. Lyapunov 意义下的稳定 【定义 4.1.2 】一个系统被称为在其平衡点是 Lyapunov 稳定的，如果对于任意 ε > 0 ，存在
δ (ε , t 0 ) > 0 ，使得 x0 − x e ≤ δ (ε , t 0 ) ，有 x(t ) − x e ≤ ε , ∀t ≥ t 0 。
如果 δ 只与 ε 相关，而与 t 0 无关，则称系统是一致稳定的。时不变系统是一致稳定的，时变 系统则一般不是一致稳定的。 Lyapunov 稳定的意义是：对于某个有界的初始状态，从初始状态出发的轨迹也是有界的。但 轨迹最终不一定落到平衡点。
图 4-1-1 系统(4-1-2)的相平面图，原点是唯一平衡点
【例 4.1.2】非线性系统
&1 ⎤ ⎡ x 2 ⎤ ⎡x ⎢x ⎥=⎢ ⎥ ⎣ & 2 ⎦ ⎣sin( x1 )⎦
其平衡点为 xe = ⎢
（4-1-3）
⎡± nπ ⎤ ⎥ ，也就是有无穷多个平衡点。其相平面图如图 4-1-2 所示。 ⎣ 0 ⎦
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
S ( ) x0
xe
xe
xe
x1
x1
x1
(a) 李雅普诺夫意义下的稳定性
(b) 渐近稳定性
(c) 不稳定性
4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)
间 接 法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。 适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。
定理4-9 对于线性定常系统
f ( x, t ) x
(4 382)
式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；f(x，t)为线性或非线性、定常或 时变的n维函数，其展开式为
i x
f
i
( x1 , x2 ,...,xn , t ); i 1,2,...,n
(4 383)
假定方程的解为x(t；x0，t0)，式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻， 则初始条件x0必满足 x(t0 ；x0，t0) = x0 。 1 平衡状态 李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有t，满足
t e
i
Hale Waihona Puke i t j i tˆ ) A , i ji i ( A i
(4 394)
2）结论2）证明
由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖ 对一切 t≥0为有界，且当t→0时 ‖eAt‖ →0，零平衡状态 xe= 0 为渐近稳定。如上所证，当且仅当 A 的所有特征 值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知 当且 t j t 0 t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具 仅当t→∞时 t e ，可保证 有负实部。结论2）证毕。
线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
线性定常系统的Lyapunov稳定性分析线性定常系统的Lyapunov稳定性分析发布时间：2007-02-084.4.2 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析考虑如下线性定常自治系统(4.3)式中，。
假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态，其平衡状态的稳定性很容易通Lyapunov第二法进行研究。
对于式(4.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov函数，即式中P为正定Hermite矩阵（如果是实向量，且A是实矩阵，则P可取为正定的实对称矩阵）。
沿任一轨迹的时间导数为由于取为正定，对于渐近稳定性，要求为负定的，因此必须有式中为正定矩阵。
因此，对于式(4.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q正定。
为了判断n′n维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。
在判别时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P，然后检查Q 是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q，然后检查由确定的P是否也是正定的。
这可归纳为如下定理。
定理4.8 线性定常系统在平衡点处渐近稳定的充要条件是：对于，，满足如下Lyapunov方程这里P、Q均为Hermite矩阵或实对称矩阵。
此时，Lyapunov函数为，特别地，当时，可取(正半定)。
现对该定理作以下几点说明：(1) 如果系统只包含实状态向量和实系统矩阵A，则Lyapunov函数为，且Lyapunov方程为(2) 如果沿任一条轨迹不恒等于零，则Q可取正半定矩阵。
(3) 如果取任意的正定矩阵Q，或者如果沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定矩阵Q，并求解矩阵方程以确定P，则对于在平衡点处的渐近稳定性，P为正定是充要条件。
注意，如果正半定矩阵Q满足下列秩的条件则沿任意轨迹不恒等于零（见例4.18）。
(4) 只要选择的矩阵Q为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判定结果将与矩阵Q的不同选择无关。
(5) 为了确定矩阵P的各元素，可使矩阵和矩阵-Q的各元素对应相等。
第4章 稳定性分析
分析举例，判断下列函数是否为正定的？ 正定的 半正定的 负定的 半负定的 不定的
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2. 二次型标量函数 设 x =[ x1, x2, ···, xn]T，则实二次型标量函数记为：
V(x)=V(x1, x2, ···, xn)=xTPx
其中，P称为二次型的矩阵(实对称矩阵)
p11
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⑴李亚普诺夫意义下一致稳定
通常时变系统的d与t0有关，时不变系 统的d与t0无关。只要d与t0无关，这种平
衡状态称为一致稳定的。
⑵时不变系统的稳定属性
时不变系统李亚普诺夫意义下的稳定和一致稳定必为等价。
⑶李亚普诺夫意义下稳定的实质上是工程意义下的临界稳定。
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2、渐近稳定性
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x&1 f1(x1, x2 ) x1 - x1x2
在xe1=[0, 0]T 处将其线性化有
x&2 f2 (x1, x2 ) -x2 x1x2
x&1
x&2
A
x1 x2
其中雅可比矩阵A为
f1
A
x1 f2
x1
f1
x2 f2
1
- x2 x2
x2
D1 p11,
D2
p11 p21
p12 , p22
,
Dn P
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矩阵P定号的充要条件是：
(1)若Di> 0 (i=1,2,…,n)，则P为正定的。
(2)若Di
>0 <0
i为偶数 i为奇数
，则P为负定的。
(3)若Di
0 i= (1,2,…,n-1) ，则P为半正定的。 = 0 i=n
第4章 系统稳定性
第4章 系统稳定性及其李雅普诺夫稳定 章 Chapter 4 System Stability & Lyapunov Stability
4.1 稳定性一般概念 4.1 Concept of the System Stability
对于一个实际的控制系统， 对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其 重要的问题， 重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地 发挥作用的。从直观上看， 发挥作用的。从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系 在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置， 统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内， 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定， 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会 回到原来的平衡位置。 回到原来的平衡位置。
(4 − 2)
式中X(t)为n维状态向量，f(X,t)是状态向量 和显式时间 的n 为 维状态向量 维状态向量， 是状态向量X和显式时间 式中 是状态向量 和显式时间t的 维向量函数。 不一定是线性定常的。 维向量函数。 f(X,t)不一定是线性定常的。如果对于 ，状态 e总 不一定是线性定常的 如果对于t，状态X 满足： 满足：
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 李雅普诺夫第一法（间接法） 4.3 First Method of the Lyapunov (Indirect Method)
李雅普诺夫第一法通过分析系统微分方程的显式解来分析系 统的稳定性，对线性定常系统， 统的稳定性，对线性定常系统，它可以直接通过系统的特征根情 况来分析。 况来分析。李雅普诺夫第一法的基本思路与经典控制论中的稳定 性判别思路基本一致。 性判别思路基本一致。 设线性定常系统的动态方程为： 设线性定常系统的动态方程为：
4.1 稳定性一般概念 4.1 Concept of the System Stability
对于一个实际的控制系统， 对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其 重要的问题， 重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地 发挥作用的。从直观上看， 发挥作用的。从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系 在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置， 统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内， 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定， 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会 回到原来的平衡位置。 回到原来的平衡位置。
(4 − 2)
式中X(t)为n维状态向量，f(X,t)是状态向量 和显式时间 的n 为 维状态向量 维状态向量， 是状态向量X和显式时间 式中 是状态向量 和显式时间t的 维向量函数。 不一定是线性定常的。 维向量函数。 f(X,t)不一定是线性定常的。如果对于 ，状态 e总 不一定是线性定常的 如果对于t，状态X 满足： 满足：
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 李雅普诺夫第一法（间接法） 4.3 First Method of the Lyapunov (Indirect Method)
李雅普诺夫第一法通过分析系统微分方程的显式解来分析系 统的稳定性，对线性定常系统， 统的稳定性，对线性定常系统，它可以直接通过系统的特征根情 况来分析。 况来分析。李雅普诺夫第一法的基本思路与经典控制论中的稳定 性判别思路基本一致。 性判别思路基本一致。 设线性定常系统的动态方程为： 设线性定常系统的动态方程为：
第4章 Lyapunov稳定性分析
1/ 2 1 1 1 det ( 1) 4 2 2 1/ 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 , 1 2 2 0, 2 2 2 0
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x2 k 2 x2 g x2 半负定。 k m l sin x1 m x2
二、 Lyapunov 稳定性判别
1 x2 x 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 2 x1 x2 x 方法判断其稳定性.
2
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二、 Lyapunov 稳定性判别
3、Lyapunov 稳定性判别定理
f ( x)，设xe 0为一平衡点. 考虑系统 x 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 1）V ( x)是正定的； V ( x) 2） V ( x) f ( x)是半负定的； x x 则系统的平衡点xe 0是Lyapunov稳定的。
线性系统理论基础 第四章
Lyapunov稳定性分析
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内容与要点
内容 要点
一．Lyapunov稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性,
全局渐近稳定性 二．Lyapunov稳定性判据 稳定性判据,渐近稳定性判 据,全局渐近稳定性判据 三．连续时间线性系统的 间接法判据，直接法判据
1
V
V ( x(t ))
x2
x(t )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
例: 研究单摆在(0,0)点的稳定性
解 : (1) 选择李亚普诺夫函数
2 g x2 V ( x) (1 cos x1 ) l 2 (2) 稳定性判断
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x2 k 2 x2 g x2 半负定。 k m l sin x1 m x2
二、 Lyapunov 稳定性判别
1 x2 x 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 2 x1 x2 x 方法判断其稳定性.
2
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二、 Lyapunov 稳定性判别
3、Lyapunov 稳定性判别定理
f ( x)，设xe 0为一平衡点. 考虑系统 x 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 1）V ( x)是正定的； V ( x) 2） V ( x) f ( x)是半负定的； x x 则系统的平衡点xe 0是Lyapunov稳定的。
线性系统理论基础 第四章
Lyapunov稳定性分析
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内容与要点
内容 要点
一．Lyapunov稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性,
全局渐近稳定性 二．Lyapunov稳定性判据 稳定性判据,渐近稳定性判 据,全局渐近稳定性判据 三．连续时间线性系统的 间接法判据，直接法判据
1
V
V ( x(t ))
x2
x(t )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
例: 研究单摆在(0,0)点的稳定性
解 : (1) 选择李亚普诺夫函数
2 g x2 V ( x) (1 cos x1 ) l 2 (2) 稳定性判断
第4章 稳定性与Lyapunov方法
x − xe =
∑ (x
i ) 2
xe 的 ε 邻域（球域） s (ε ) 定义为点集
98
第 4 章 稳定性与 Lyapunov 方法
s (ε ) = {x x − xe ≤ ε }
若系统（4-1-1）的初始状态 x0 ∈ s (δ ) ，即 x 0 − x e ≤ δ ，如果其解 x = Φ (t ; x 0 , t 0 ) 位于球 域 s (ε ) ，即满足 x(t ) − x e ≤ ε , ∀t ≥ t 0 ，那么就说系统的自由响应是有界的。 根据自由响应是否有界，可以定义如下 4 种稳定性。 1. Lyapunov 意义下的稳定 【定义 4.1.2 】一个系统被称为在其平衡点是 Lyapunov 稳定的，如果对于任意 ε > 0 ，存在
δ (ε , t 0 ) > 0 ，使得 x0 − x e ≤ δ (ε , t 0 ) ，有 x(t ) − x e ≤ ε , ∀t ≥ t 0 。
如果 δ 只与 ε 相关，而与 t 0 无关，则称系统是一致稳定的。时不变系统是一致稳定的，时变 系统则一般不是一致稳定的。 Lyapunov 稳定的意义是：对于某个有界的初始状态，从初始状态出发的轨迹也是有界的。但 轨迹最终不一定落到平衡点。
也是一个自治系统。因而，系统的内部稳定性只考虑自治系统（4-1-1） 。
4.1.1 系统的平衡点
系统（4-1-1）的解记为 x = Φ (t ; x0 , t 0 ) ，构成 R 线性空间中的一个运动轨迹。
n
【定义 4.1.1】称 xe 是系统（4-1-1）的一个平衡点，如果 f ( xe , t ) = 0, ∀t ≥ t 0 。 一个系统可以没有平衡点，一个平衡点或多个平衡点。非线性系统的平衡点一般比较复杂，
现代控制理论-07(第4章Lyapunov稳定性理论)
−1 ⎤ 1 + ( s + 1) ( s + 2) ⎥ ⎥ −1 2 ⎥ + ( s + 1) ( s + 2) ⎥ ⎦
q ⎤ ⎡ 2e −t − e−2t ⎡ ⎢Ψ ⎥ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ −2e−t + 2e−2t ⎣
e−t − e−2t ⎤ ⎡ q0 ⎤ ⎥⋅⎢ ⎥ −e−t + 2e−2t ⎥ ⎣Ψ 0 ⎦ ⎦
dΨ = −VC = −Cq. dt
dq Ψ = iL = , dt L
电路无外界的能量输入, 同时电路中没有耗能元件, 所以电路总能量W恒定不变.
W = WL + WC = ∫ 0
Ψ
Cq 2 iL (τ1 )dτ1 + ∫ VC (τ 2 )dτ 2 = + ≡ W0 . 0 2L 2
q
Ψ2
从上述式子的最后一个等号看出系统的轨迹是 一个椭圆, 见图4.2.
Ψ2
= 0.
16
Ψ
q
图4.3 例4.2.2状态方程相图
图4.3表明, 从原点很小的领域出发的轨迹能保持在 原点附近, 并能逐渐趋向于原点, 或者说是渐近稳 定的. 17
例4.2.3 图4.1所示的电路中, 设电感是线性的, 电 vC = q3 − q , 阻 R = 0 , 而电容具有非线性的库伏特性 则状态方程是 dq Ψ
dq Ψ = iL = , dt L
此电路中电阻是耗能元件, 所以电路总能量是不断 减少的.为简单起见, 设C=2, R=3, L=1, 再令初始状 态为 (Ψ 0 , q0 ) . dq =Ψ ,
dt
dΨ = −2q − 3 . Ψ dt
14
利用拉普拉斯反变换求解上述方程, 先求预解矩阵
现代控制理论习题之李雅普诺夫稳定判据
⎡ 8 4.5 7 ⎤ = ⎢⎢4.5 6 1.5⎥⎥
⎢⎣ 7 1.5 8 ⎥⎦
8 4.5 7 因为 8>0， 8 4.5 = 27.75 > 0 ， 4.5 6 1.5 = 4.5 > 0 ，所以 P 正定。
4.5 6 7 1.5 8
∆v(k) 为正定，所以系统在原点不稳定。
⎢⎡0 1 0⎥⎤
4-5 设离散系统状态方程为 x(k +1) = ⎢0 0 1⎥ x(k)
x2 = −x2
v(x2 ) = 0.5x2 2
⇒
v(x2 )
=
x2 x2
=
−
x
2
2
⎧≤ ⎩⎨=
0 0
(x ≠ 0) (x = 0)
所以系统不稳定。
4-4 试确定下列系统平衡状态的稳定性。
⎡1 3 0⎤ x(k + 1) = ⎢⎢− 3 − 2 − 3⎥⎥ x(k)
⎢⎣ 1 0 0 ⎥⎦
【解】： 方法一： 采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。
(2) v(x) = −x12 −10x2 2 − 4x32 + 6x1 x2 + 2x3 x2
(3) v(x) = 10x12 + 4x2 2 + x32 + 2x1x2 − 2x3 x2 − 4x1 x3
【解】： （1）
⎡ 1 1 −1⎤
1 1 −1
P
=
⎢ ⎢
1
⎢⎣− 1
4 −3
− 3⎥⎥, 1 ⎥⎦
P12 ⎤⎡ 0
P22
⎥ ⎦
⎢⎣−
2
1⎤ − 1.5⎥⎦
=
⎡− 1
⎢ ⎣
现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法
【解】（1） 平衡状态为： xe 0 0 T
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22 V (x) (2x12 6x22 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 x ,V (x) ,是
大范围渐近稳定。
（2） 平衡状态为： xe 0 0 T
主要知识点: 1、 BIBO (有界输入有界输出)稳定的定义、定理。
§4-3 李雅普诺夫稳定性的概念
主要知识点:
1、系统状态的运动和平衡状态
2、李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、全局渐近稳 定和不稳定的定义
§4-4 李雅普诺夫间接法（第一法）/线性化局部稳定 主要知识点: 1、线性系统的稳定性判别定理 2、内部稳定和外部稳定的关系 3、非线性系统线性化方法和稳定性判别定理（李雅普诺夫间 接法/第一法）
1 2
x1 x2
x14
x12
2
x22
2
x1
x2
0
V(x) 4x13x1 2x1 x1 4x2 x2 2x1 x2 2x1 x2 2(x14 x22) 0
因此系统在坐标原点是渐近稳定的，并且 x ,V (x) ,
1 0 0
19/ 78 10/ 39 1/ 2
由方程 GT PG P I 解出 P 10 / 39 49 / 78
19
/13 26
不定号，因此系统不渐近稳定。
实际上，该系统的特征值为0.1173+2.6974i, 0.1173-2.6974i, -1.2346都在单位圆外，系统是不稳定的。
试确定其平衡状态的稳定性。
【解】 系统平衡状态为： xe 0 0 T
第4章 李亚普诺夫稳定性分析PPT课件
11
李亚普诺夫稳定性理论
4.2 李亚普诺夫稳定性的基本概念
稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自
由运动的性质，与外部输入无关。
对于系统自由运动，令输入u=0，系统的齐次状
态方程为
x f(x,t)
x为n维状态向量， 且显含时间变量t
求解
f (x,t) 为线性或非线性，定常或
时变的n维向量函数，其展开式为
9
李亚普诺夫稳定性理论
李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种 方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。
李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是 通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断 系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理 论一致。对线性定常系统,只需解出全部特征根即可 判断稳定性;对非线性系统,则采用微偏线性化的方法 处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方 程来判断稳定性,故只能判断在平衡状态附近很小范 围的稳定性。
李亚普诺夫稳定性理论
1
整体概况
李亚普诺夫稳定性理论
概况一
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概况二
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概况三
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03
李亚普诺夫稳定性理论
第4 章 李亚普诺夫稳定性分析
3
李亚普诺夫稳定性理论
主要内容
4.1 引言 4.2 李亚普诺夫稳定性的基本概念 4.3 李亚普诺夫稳定性定理 4.4 线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析 4.5 线性时变系统李亚普诺夫函数的求法 4.6 非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 4.7 李亚普诺夫直接法应用举例
基于输入-输出描述法描述的是系统Байду номын сангаас外部特性, 因此,经典控制理论中的稳定性一般指输出(外部)稳 定性; 状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性, 且全面揭示了系统的内部特性,因此, 借助平衡状态 稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态(内部)稳 定性。
李亚普诺夫稳定性理论
4.2 李亚普诺夫稳定性的基本概念
稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自
由运动的性质，与外部输入无关。
对于系统自由运动，令输入u=0，系统的齐次状
态方程为
x f(x,t)
x为n维状态向量， 且显含时间变量t
求解
f (x,t) 为线性或非线性，定常或
时变的n维向量函数，其展开式为
9
李亚普诺夫稳定性理论
李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种 方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。
李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是 通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断 系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理 论一致。对线性定常系统,只需解出全部特征根即可 判断稳定性;对非线性系统,则采用微偏线性化的方法 处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方 程来判断稳定性,故只能判断在平衡状态附近很小范 围的稳定性。
李亚普诺夫稳定性理论
1
整体概况
李亚普诺夫稳定性理论
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李亚普诺夫稳定性理论
第4 章 李亚普诺夫稳定性分析
3
李亚普诺夫稳定性理论
主要内容
4.1 引言 4.2 李亚普诺夫稳定性的基本概念 4.3 李亚普诺夫稳定性定理 4.4 线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析 4.5 线性时变系统李亚普诺夫函数的求法 4.6 非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 4.7 李亚普诺夫直接法应用举例
基于输入-输出描述法描述的是系统Байду номын сангаас外部特性, 因此,经典控制理论中的稳定性一般指输出(外部)稳 定性; 状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性, 且全面揭示了系统的内部特性,因此, 借助平衡状态 稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态(内部)稳 定性。
控制系统的李雅普诺夫稳定性分析
2)、但对于非线性系统：只能在小范围一致 稳定，由状态空间出发的轨迹都收敛xe 或 其附近。
3)、稳定含义之间的区别
经典控制理论(线 不稳定
性系统）
(Re(s)>0)
临界情况
(Re(s)=0)
Lyapunov意义下 不稳定
稳定
稳定
(Re(s)<0)
渐近稳定
25
4)、不同的稳定性概念 1）外部稳定性：
当趋于平衡状态时，其能量达到最小值。
反之，若系统的平衡状态是不稳定的，则系统 将不断从外界吸收能量，其存储的能量将越来越大。
❖1907（15年后）出版了法文版 ❖1992（100年后）出版了英文版 ❖当今任何一本控制期刊都有李雅
普诺夫的名字。
6
引言
李雅普诺夫 通过求解特征方程的特征值，利
第一法
用其性质判断系统的稳定性（间
Lyapunov稳
接法）
定性方法
其基本思路和分析方法与经典理论一致
主要内容：李第雅二普法诺夫巧构不造求能 Nhomakorabea量微函分数方-程---，李而雅利普用诺经夫验函和数技来
❖研究的目的和意义：
❖稳定性是一个自动控制系统正常工作的首要、必 要条件，是一个重要特征。
❖要求：
❖在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破， 但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态， 或者趋于另一平衡状态继续工作。
4
引言
❖俄国学者李雅普诺夫 Lyapunov （1857－1918）
❖1892年在博士论文中提出稳定性 理论 ----不仅适用于单变量线性系统， 还适用于多变量、非线性、时变 系统，是确定系统稳定性的更一 般性理论。
设系统 x f (x,t) xe f (xe ,t) 0
第四章 李雅普诺夫稳定性PPT课件
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 几个稳定性概念 5.2李雅普诺夫稳定性定理 5.3线性系统中李雅普诺夫稳定性分析 5.4非线性系统中李雅普诺夫稳定性分析
1
稳定性定义
稳定性与能控性，能测性一样，均是系统的结构性 质。一个动态系统的稳定性，通常指系统的平衡状 态是否稳定。简单的说，稳定性是指系统在扰动消 失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能， 其是系统的一个自身动态属性。
系统的平衡状态是一致渐近稳定的。
10
李雅普诺夫稳定性定理
定理5-1（李雅普诺夫稳定性的基本定理） 并称 V ( x , t ) 是系统的一个李雅普诺夫函数。 进一步，若 V ( x , t ) 还满足： (3) limV(x,t) ,则系统的平衡状态是大
x
范围一致渐近稳定的。
11
李雅普诺夫稳定性定理
2
平衡状态
对于系统自由运动，令输入 u 0 ，系统的齐次状态方程
•
为 xf(x,t) (5-1)式(5-1)的解为 x(t) (t;x0,t0) (5-2)
式(5-2)描述了系统（5-1）在n维状态空间的运动轨线。
在式（5-1）所描述的系统中，存在状态点 x e ，当系统运动
到该点时，系统状态各分量维持平衡，不在随时间变化，即
发的状态轨迹都收敛于x e 。
8
李雅普诺夫稳定性定理
李雅普稳定性理论提出了判断系统稳定性的两 种方法。
1.第一方法：利用状态方程解的性质来判断系 统的稳定性。
2.第二方法：无须求解状态方程而是借助于象 征广义能量的李雅普诺夫函数 V ( x , t ) 及其对 时间的偏导数V• ( x , t ) 的符号特征直接判定平 衡状态的稳定性。
存在(,t0) 0，使得当 x0xe (,t0)时，系统(5-1) 从任意初始状态 x(t0) x0出发的解满足
5.1 几个稳定性概念 5.2李雅普诺夫稳定性定理 5.3线性系统中李雅普诺夫稳定性分析 5.4非线性系统中李雅普诺夫稳定性分析
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稳定性定义
稳定性与能控性，能测性一样，均是系统的结构性 质。一个动态系统的稳定性，通常指系统的平衡状 态是否稳定。简单的说，稳定性是指系统在扰动消 失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能， 其是系统的一个自身动态属性。
系统的平衡状态是一致渐近稳定的。
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李雅普诺夫稳定性定理
定理5-1（李雅普诺夫稳定性的基本定理） 并称 V ( x , t ) 是系统的一个李雅普诺夫函数。 进一步，若 V ( x , t ) 还满足： (3) limV(x,t) ,则系统的平衡状态是大
x
范围一致渐近稳定的。
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李雅普诺夫稳定性定理
2
平衡状态
对于系统自由运动，令输入 u 0 ，系统的齐次状态方程
•
为 xf(x,t) (5-1)式(5-1)的解为 x(t) (t;x0,t0) (5-2)
式(5-2)描述了系统（5-1）在n维状态空间的运动轨线。
在式（5-1）所描述的系统中，存在状态点 x e ，当系统运动
到该点时，系统状态各分量维持平衡，不在随时间变化，即
发的状态轨迹都收敛于x e 。
8
李雅普诺夫稳定性定理
李雅普稳定性理论提出了判断系统稳定性的两 种方法。
1.第一方法：利用状态方程解的性质来判断系 统的稳定性。
2.第二方法：无须求解状态方程而是借助于象 征广义能量的李雅普诺夫函数 V ( x , t ) 及其对 时间的偏导数V• ( x , t ) 的符号特征直接判定平 衡状态的稳定性。
存在(,t0) 0，使得当 x0xe (,t0)时，系统(5-1) 从任意初始状态 x(t0) x0出发的解满足
Lyapunor稳定性1
1第四章 Lyapunov 稳定性在系统理论和工程中，稳定性理论起着主导作用。
在动力系统的研究中会出现各种不同的稳定性问题。
本章讨论平衡点的稳定性。
平衡点的稳定性特征一般由Lyapunov 理论确定，Lyapunov （李雅普诺夫）是俄国的数学家和工程师，他1892年在其博士论文中建立了稳定性的基础理论。
如果所有始于平衡点附近的解不仅保持在平衡点附近，而且随时间趋于无穷而趋于平衡点，则该平衡点是渐近稳定的。
4.1节对这些概念进行了精确的阐述，并给出了自治系统Lyapunov 的基本理论。
4.2节给出了LaSalle 对Lyapunov 法基本理论的扩展。
对于线性时不变系统()xAx t = ，平衡点0x =的稳定性特征可完全由A 的特征值所处的位置确定，4.3节将讨论这一内容。
同时这一节还讨论平衡点的线性化问题，以及如何确定线性化κ类后该点的稳定性。
4.4节将介绍广泛用于本章以及本书其余部分的κ类函数和L函数。
4.5节和4.6节把Lyapunov法扩展到了非自治系统。
在4.5节定义了非自治系统的一致稳定性、一致渐近稳定性和指数稳定性等概念，并用Lyapunov法验证了这些定义。
4.6节将研究线性时变系统及其线性化。
Lyapunov稳定性理论给出了稳定性和渐近稳定性等的充分条件，但没有指出这些充分条件是否也是必要条件。
有些定理至少从概念上确定了许多Lyapunov稳定性定理中的给定条件实际上也是必要条件，这样的定理一般称为逆定理，逆定理将在4.7节中提出。
此外，还将用指数稳定性的逆定理证明，对于非线性系统的一个平衡点，当且仅当在该点线性化后的系统在原点处有一个指数稳定的平衡点时，2612212sin x x xa x bx ==−− 该方程有两个平衡点12(,0)x x π==。
忽略摩擦力，并设0b =，在第2章（见图2.2）中可以看到，第一个平衡点邻域内的轨线是闭轨道，于是可以保证始于与该平衡点足够接近的轨线始终在以该平衡点为中心的特定球域内，因此稳定性满足εδ−语言的要求。
Lyapunov稳定性分析
第四章 Lyapunov 稳定性分析4.1 概述线性定常系统的稳定性分析方法很多。
然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至不可能。
Lyapunov 稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
一百多年以前(1892年)，伟大的俄国数学力学家亚历山大〃 米哈依诺维奇〃李亚普诺夫(A.M.Lyapunov) (1857-1918)，以其天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文“运动稳定性的一般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。
在这一历史性著作中，Lyapunov 研究了平衡状态及其稳定性、运动及其稳定性、扰动方程的稳定性，得到了系统),(t x f x= 的给定运动)(t x φ=(包括平衡状态e x x =)的稳定性，等价于给定运动)(t x φ=(包括平衡状态ex x =)的扰动方程),~(~~t x f x = 之原点(或零解)的稳定性。
在上述基础上，Lyapunov 提出了两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov 第一法和Lyapunov 第二法。
第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；第二法则是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，而转而构造一个Lyapunov 函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。
这一方法在学术界广泛应用，影响极其深远。
一般我们所说的Lyapunov 方法就是指Lyapunov 第二法。
虽然在非线性系统的稳定性分析中，Lyapunov 稳定性理论具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。
技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。
在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
本章4.1节为概述。
ch4李亚普诺夫稳定性分析
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稳定性判据：（定理2）
1 线性定常连续系统的传递函数是 G ，当且仅 ( s ) C ( sI A ) B 当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否 则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周 期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。
Im
图解表示：
征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的
根全部位于s平面的左半部。
[例1] 设系统方程为：x 06 2 x u , 1 1 1
y 01 x
试确定其内部稳定性。 [解 ] 6 det( I A ) ( 2 )( 3 ) 0 求系统的特征方程： 1 1
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6
1）二次型 V(x) xTPx为正定，或实对称矩阵P为正定的充要 条件是P的所有主子行列式均为正，即：
p11 p P 21 pn1 p12 p22 pn 2 p1n p2 n pnn
p 11 p 12 p 0 , 0 , , P 0 如果 1 11 2 n p 21 p 22
围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范
围渐近稳定的。
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4、不稳定：（系统的自由响应是无界的） 如果对于某一实数 0 ，不论 取得多么小，由 S( ) 内
出发的轨迹，只要有一个轨迹超出 S ( ) ，则称平衡状态xe是
lim x (t)
t
x(t )为系统被调量偏离其平衡位置的大小，
为 任意小的规定量。
稳定性判据：（定理2）
1 线性定常连续系统的传递函数是 G ，当且仅 ( s ) C ( sI A ) B 当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否 则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周 期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。
Im
图解表示：
征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的
根全部位于s平面的左半部。
[例1] 设系统方程为：x 06 2 x u , 1 1 1
y 01 x
试确定其内部稳定性。 [解 ] 6 det( I A ) ( 2 )( 3 ) 0 求系统的特征方程： 1 1
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1）二次型 V(x) xTPx为正定，或实对称矩阵P为正定的充要 条件是P的所有主子行列式均为正，即：
p11 p P 21 pn1 p12 p22 pn 2 p1n p2 n pnn
p 11 p 12 p 0 , 0 , , P 0 如果 1 11 2 n p 21 p 22
围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范
围渐近稳定的。
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4、不稳定：（系统的自由响应是无界的） 如果对于某一实数 0 ，不论 取得多么小，由 S( ) 内
出发的轨迹，只要有一个轨迹超出 S ( ) ，则称平衡状态xe是
lim x (t)
t
x(t )为系统被调量偏离其平衡位置的大小，
为 任意小的规定量。
4.系统的稳定性分析
Chapter4动态系统的稳定性分析稳定性描述当系统遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，在扰动消失后系统自身能否恢复到原来平衡状态的一种性能。
例如在倒立摆装置中，当摆杆受扰动而偏离垂直位置后，系统仍能使摆杆回到垂直位置，并能始终保持在垂直位置附近，这是系统稳定的基本含义。
一个不稳定系统是不能正常工作的，如何判别系统的稳定性以及如何改善系统的稳定性是系统分析与设计的首要问题。
系统的稳定性 是系统本身所固有的特性，与外部控制)(t u 无关。
所以讨论稳定性时一般只考虑0)(=t u 的自由系统。
4.1 平衡点与Lyapunov 稳定性考虑n 阶自由系统： )),(()(t t x f t x= 状态向量：T n t x t x t x ))(...)(()(1=，向量：T n t t x f t t x f t t x f ))),((...)),((()),((1=对)),(()(t t x f t x= ，若存在某一状态点e x ，使得对所有的t ，)(t x 都不随时间变化，定义e x 为系统的平衡状态（平衡点） 0),(≡=t x f xe （4-1） 一个系统不一定存在平衡点，但有时又可以有多个平衡点。
平衡点大多数在状态空间的原点0=e x 。
若平衡点不在原点，而是状态空间的孤立点，则可以通过坐标变换将平衡点移到原点。
经典控制理论：用传递函数描述线性定常系统，主要用特征函数0)(=s D 的极点分布、Routh （劳斯）判据、Hurwitz （胡尔维茨）判据、Nyquist （奈奎斯特）判据等来判别系统的稳定性。
现代控制理论：用状态空间描述MIMO 线性时变系统或非线性时变系统。
1) 根据系数矩阵A 的特征值即0)()()()()det(==-s f s f s f s f A sI O C O C O C CO 系统极点的分布来判别系统的稳定性。
0)(=s f CO 求出的是“既能控又能观”的极点，它也可以由传递函数求出；0)(=s f O C 求出的是“能控不能观”、0)(=s f O C 求出的是“不能控能观”、0)(=s f O C 求出的是“既不能控又不能观”部分的极点，他们由于“零极点相消”不能反映在传递函数中，因而也不能由传递函数求出；对线性定常系统，根据平衡点定义0)()(==t Ax t x，当0det ≠A ，则只有0=e x 一个平衡点。
chap4+高级Lyapunov稳定性理论
它的解为
1 t0 x(t ) x(t0 ) 1 t
注4.1： 一致渐近稳定蕴含渐 近稳定；指数稳定蕴含 渐近稳定，而渐近稳定 不保证指数稳定。
系统的解渐近收敛于零，但不是一致收敛。
School of Electrical Engineering, Zhengzhou University
第 4章 高级稳定性理论
例4.4 下面时变函数是否正定，是否具有无穷大上界。
2 V ( x, t ) (1 sin 2 t )( x12 x2 )
该函数是正定的，控制函数
2 V0 ( x) x12 x2
也具有无穷大上界，控制函数
2 V0 ( x) 2( x12 x2 )
二、非自治系统的Lyapunov定理
4.2 非自治系统的Lyapunov稳定性分析
例4.5 考察下面时变系统
x1 x1 e 2 t x2 x2 x1 x2
选择标量函数
2 V ( x, t ) x12 (1 e2t ) x2
该函数正定，且具有无穷大上界。同时
2 V 2 x12 x1 x2 x2 1 2e 2t
lim x
x
则原点全局一致渐近稳定。
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4.2 非自治系统的Lyapunov稳定性分析
几点说明： 1、对自治系统，如果V正定且其沿系统轨线的导数负定， 则原点渐近稳定。对非自治系统，还必须加上无穷大上界的 条件。 2、V的正定性及其导数的半负定性能够保证原点的稳定性。 如果V的导数负定，则可以找到一个无穷序列ti，使得x(ti)0， i。 3、对非时变质量-弹簧-阻尼系统，如果阻尼为正，则系统 渐近稳定。对带有时变阻尼的质量-弹簧-阻尼系统，阻尼c(t) 严格大于零不能保证原点的渐近稳定性。如
1 t0 x(t ) x(t0 ) 1 t
注4.1： 一致渐近稳定蕴含渐 近稳定；指数稳定蕴含 渐近稳定，而渐近稳定 不保证指数稳定。
系统的解渐近收敛于零，但不是一致收敛。
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第 4章 高级稳定性理论
例4.4 下面时变函数是否正定，是否具有无穷大上界。
2 V ( x, t ) (1 sin 2 t )( x12 x2 )
该函数是正定的，控制函数
2 V0 ( x) x12 x2
也具有无穷大上界，控制函数
2 V0 ( x) 2( x12 x2 )
二、非自治系统的Lyapunov定理
4.2 非自治系统的Lyapunov稳定性分析
例4.5 考察下面时变系统
x1 x1 e 2 t x2 x2 x1 x2
选择标量函数
2 V ( x, t ) x12 (1 e2t ) x2
该函数正定，且具有无穷大上界。同时
2 V 2 x12 x1 x2 x2 1 2e 2t
lim x
x
则原点全局一致渐近稳定。
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4.2 非自治系统的Lyapunov稳定性分析
几点说明： 1、对自治系统，如果V正定且其沿系统轨线的导数负定， 则原点渐近稳定。对非自治系统，还必须加上无穷大上界的 条件。 2、V的正定性及其导数的半负定性能够保证原点的稳定性。 如果V的导数负定，则可以找到一个无穷序列ti，使得x(ti)0， i。 3、对非时变质量-弹簧-阻尼系统，如果阻尼为正，则系统 渐近稳定。对带有时变阻尼的质量-弹簧-阻尼系统，阻尼c(t) 严格大于零不能保证原点的渐近稳定性。如
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
1 2
(4-6)
而向量 ( x − xe ) 的长度(即x到 xe 的距离)称为 ( x − xe ) 的范数,并用 x − xe 表示，即
x − xe = (x1 − xe1 )2 + (x2 − xe2 )2 +⋯+ (xn − xen )2
(4-7)
在n维状态空间中,若用点集 S(ε)表示以 xe 为 中心、ε 为半径的超球域,那么, x ∈ S(ε) ,则表示
二次型函数 V(x) = xT Px 的定号性与其对应的权 矩阵P的定号性一致,判别 V(x) = xT Px 的符号只要判别 实对称矩阵P的符号即可。 3．塞尔维斯特 ．塞尔维斯特(Sylvester)准则 准则 (1)实对称矩阵P为正定的充要条件是矩阵P的各 P P 阶主子行列式均大于零,即在式(4-16)中,有
在二维状态空间中, 李亚普诺夫意义下稳定的 几何解释如图4-1所示。 图4-1李亚普诺夫意义下稳定
ε
2．渐近稳定（经典控制理论稳定性定义） ．渐近稳定（经典控制理论稳定性定义） 设 x e 为动力学系统式(4-1)的平衡状态,若对任意 实数ε > 0 ,对应存在另一实数 δ ( ε , t 0 ) > 0 ，使当 x 0 − x e ≤ δ (ε, t 0 ) 时，从任意初始状态 x (t 0 ) = x 0 出发 的解都满足
李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种 方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法 即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。 方法 即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。 李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是 通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断 系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理 论一致。对线性定常系统,只需解出全部特征根即可 判断稳定性;对非线性系统,则采用微偏线性化的方法 处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方 程来判断稳定性,故只能判断在平衡状态附近很小范 围的稳定性。
(4-6)
而向量 ( x − xe ) 的长度(即x到 xe 的距离)称为 ( x − xe ) 的范数,并用 x − xe 表示，即
x − xe = (x1 − xe1 )2 + (x2 − xe2 )2 +⋯+ (xn − xen )2
(4-7)
在n维状态空间中,若用点集 S(ε)表示以 xe 为 中心、ε 为半径的超球域,那么, x ∈ S(ε) ,则表示
二次型函数 V(x) = xT Px 的定号性与其对应的权 矩阵P的定号性一致,判别 V(x) = xT Px 的符号只要判别 实对称矩阵P的符号即可。 3．塞尔维斯特 ．塞尔维斯特(Sylvester)准则 准则 (1)实对称矩阵P为正定的充要条件是矩阵P的各 P P 阶主子行列式均大于零,即在式(4-16)中,有
在二维状态空间中, 李亚普诺夫意义下稳定的 几何解释如图4-1所示。 图4-1李亚普诺夫意义下稳定
ε
2．渐近稳定（经典控制理论稳定性定义） ．渐近稳定（经典控制理论稳定性定义） 设 x e 为动力学系统式(4-1)的平衡状态,若对任意 实数ε > 0 ,对应存在另一实数 δ ( ε , t 0 ) > 0 ，使当 x 0 − x e ≤ δ (ε, t 0 ) 时，从任意初始状态 x (t 0 ) = x 0 出发 的解都满足
李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种 方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法 即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。 方法 即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。 李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是 通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断 系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理 论一致。对线性定常系统,只需解出全部特征根即可 判断稳定性;对非线性系统,则采用微偏线性化的方法 处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方 程来判断稳定性,故只能判断在平衡状态附近很小范 围的稳定性。
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二、 Lyapunov 稳定性判别
推论
& 考虑系统 x = f ( x)，设xe = 0为一平衡点. 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 1 V ( x)是正定的； ） & ( x) = ∂V ( x) f ( x)是负定的； 2) V x ∂x 则系统的平衡点xe = 0是Lyapunov渐近稳定的。
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一、Lyapunov 稳定性概念
S(ε)
xe x0
Rn中的距离 || x − y ||= ( x1 − y1 )2 + ( x2 − y2 )2 + L+ ( xn − yn )2
2 2 Rn中的范数：x ||= x12 + x2 + L + xn ||
S(δ)
x(t )
解 : (1)寻找平衡点 x2 = 0 x1 = 0 ⇒ − x1 − x2 = 0 x2 = 0 2 (2)选择李亚普诺夫函数V ( x) = x12 + x2 (3)稳定性判断 2 & & & V ( x)正定,V ( x) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2 x2 半负定.
状态向量 xe是平衡状态当且仅当它满足 f ( xe ,t ) = 0
& • 线性系统 x = Ax 的平衡状态：方程Axe = 0 的解xe 的平衡状态：
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
例: 单摆
两个平衡点
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
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二、 Lyapunov 稳定性判别
• 二次型 二次型Lyapunov函数
V ( x) = V ( x1 ,L , xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 xn
2 + a21 x2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 xn + L 2 + an1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
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二、 Lyapunov 稳定性判别
4、 Lyapunov渐近稳定性判别定理 、 渐近稳定性判别定理 渐近
& 考虑系统 x = f ( x)，设xe = 0为一平衡点. 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 ） 1 V ( x)是正定的； & ( x) = ∂V ( x) f ( x)是半负定的； 2）V ∂x & 3）集合{x ∈ R n | V ( x) = 0}不包含系统的除平衡点以外的状态轨迹。 则系统的平衡点xe = 0是Lyapunov渐近稳定的。 进一步，若V ( x)是半径无穷大的，则平衡点xe = 0 是Lyapunov全局渐近稳定的
一个标量函数V : R n → R称为Lyapunov函数，如果满足 1）V ( x)是正定的； ∂V ( x) ∂V ( x) ∂V ( x) 2）V ( x)具有连续的偏导数 = L . ∂x ∂xn ∂x1 一个Lyapunov函数称为半径无穷大的，如果
它进一步满足 3）当|| x ||→ ∞时， ( x) → ∞. V
例如：匀速直线运动 的物体的动能为 1 mv 2 , 2 匀速旋转运动物体的 动能为 1 mω 2。 2
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= [ x1
x2
a11 a L xn ] 21 M an1
a12 L a1n x1 a22 L a2 n x2 M O M M an 2 L ann xn
1
V
V(x(t))
x2
x(t )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
研究单摆在(0,0)点的稳定性 例: 研究单摆在 点的稳定性
解 : (1) 选择李亚普诺夫函数
2 g x2 V ( x) = (1 − cos x1 ) + l 2 (2) 稳定性判断
V ( x)正定 & ( x) = g sin x V 1 l
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一、Lyapunov 稳定性概念
5、Lyapunov 不稳定 、
& x = f ( x)的平衡点xe为Lyapunov不稳定的，如果存在
ε > 0,对任意δ > 0,都有初始状态满足 || x(t0 ) − xe ||< δ的 运动轨迹x(t )，在某个时刻t1使得 || x(t1 ) − xe ||≥ ε .
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二、 Lyapunov 稳定性判别
– 特征值判据
1) A 正定 ⇔ A 的特征值均为正数 ２ A 负定 ⇔ A 的特征值均为负数 ) ３ A 半正定 ⇔ A 的特征值均为非负数 ) ４ A 半负定 ⇔ A 的特征值均为非正数 )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
稳定性判据 四．离散时间线性系统的 稳定性判据
间接法判据， 间接法判据，直接法判据
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
1、平衡状态（平衡点） 、平衡状态（平衡点）
• 在没有外界干扰的情况下，系统保持静止不动的状态称 在没有= f ( x, t ) 的平衡状态的计算
x(t ) = xe
S(ε)
x2
S(δ)
xe
t
x1
t
0
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一、Lyapunov 稳定性概念
4、Lyapunov大范围（全局）渐近稳定性定义 、 大范围（ 大范围 全局）渐近稳定性定义
平衡点称为渐近稳定的，如果满足： 平衡点称为渐近稳定的，如果满足：
1） Lyapunov 稳定性； ） 稳定性； 2）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态； ）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态； 3）条件 ）对于任意初始状态成立。 ）条件2）对于任意初始状态成立。
x2 = 0 x3 = 0 x4 = 0
& x4 = {∆ ( M + m)mgl}x3
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−1
一、Lyapunov 稳定性概念
2、 Lyapunov 稳定性定义 、
& xe称为系统 x = f ( x)的Lyapunov稳定平衡点，如果对任意 运动轨迹x(t )，只要初始状态离xe很近，整个轨迹就不会 远离平衡点xe .
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二、 Lyapunov 稳定性判别
• 二次型函数的定号的判断
– Sylvester判据 判据
设∆ ik 为矩阵A的各阶顺序主子式，即 a11 ∆1 = a11 , ∆ 2 = a21 a11 L a1n a12 ,L, ∆ n = M O M a22 an1 L ann
1) A 正定 ⇔ ∆ k > 0, k = 1, 2,L , n ２ A 负定 ⇔ (−1) k ∆ k > 0, k = 1, 2,L , n ) 3) A 半正定 ⇔ ∆ k ≥ 0, k = 1, 2,L , n ４ A 半负定 ⇔ (−1) k ∆ k ≥ 0, k = 1, 2,L , n )
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x2 k 2 x2 g = − x2 半负定。 k m − l sin x1 − m x2
二、 Lyapunov 稳定性判别
& x1 = x2 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 & x2 = − x1 − x2 方法判断其稳定性.
1
V
V(x(t))
x2
x(t )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
2 & x1 = x2 − x1 ( x12 + x2 ) 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 2 2 & x2 = − x1 − x2 ( x1 + x2 ) 方法判断其稳定性.
对称矩阵
= xT Ax
二、 Lyapunov 稳定性判别
• 标量函数的定号性
1) V ( x)正定： V ( x) > 0 若x ≠ 0; V ( x) = 0 若x = 0 2) V ( x)半正定： V ( x) ≥ 0 若x ≠ 0; V ( x) = 0 若x = 0 3）V ( x)负定： 若 −V ( x)正定 4）V ( x)半负定：若 −V ( x)半正定
线性系统理论基础 第四章
Lyapunov稳定性分析 Lyapunov稳定性分析
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内容与要点
内容 要点
一．Lyapunov稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性, 稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性,
全局渐近稳定性 二．Lyapunov稳定性判据 稳定性判据,渐近稳定性判 稳定性判据 稳定性判据, 据,全局渐近稳定性判据 间接法判据， 三．连续时间线性系统的 间接法判据，直接法判据
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一、Lyapunov 稳定性概念
3、 Lyapunov 渐近稳定性定义 、 渐近稳定性定义
平衡点称为渐近稳定的，如果满足： 平衡点称为渐近稳定的，如果满足：
1） Lyapunov 稳定性； ） 稳定性； 2）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态： limt →∞ ）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态：
通过构造一种广义能量函数（称为 函数） 通过构造一种广义能量函数（称为Lyapunov 函数）并利 用系统向量场f(x)来判断。 来判断。 用系统向量场 来判断
二、 Lyapunov 稳定性判别
推论
& 考虑系统 x = f ( x)，设xe = 0为一平衡点. 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 1 V ( x)是正定的； ） & ( x) = ∂V ( x) f ( x)是负定的； 2) V x ∂x 则系统的平衡点xe = 0是Lyapunov渐近稳定的。
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一、Lyapunov 稳定性概念
S(ε)
xe x0
Rn中的距离 || x − y ||= ( x1 − y1 )2 + ( x2 − y2 )2 + L+ ( xn − yn )2
2 2 Rn中的范数：x ||= x12 + x2 + L + xn ||
S(δ)
x(t )
解 : (1)寻找平衡点 x2 = 0 x1 = 0 ⇒ − x1 − x2 = 0 x2 = 0 2 (2)选择李亚普诺夫函数V ( x) = x12 + x2 (3)稳定性判断 2 & & & V ( x)正定,V ( x) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2 x2 半负定.
状态向量 xe是平衡状态当且仅当它满足 f ( xe ,t ) = 0
& • 线性系统 x = Ax 的平衡状态：方程Axe = 0 的解xe 的平衡状态：
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
例: 单摆
两个平衡点
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
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二、 Lyapunov 稳定性判别
• 二次型 二次型Lyapunov函数
V ( x) = V ( x1 ,L , xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 xn
2 + a21 x2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 xn + L 2 + an1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
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二、 Lyapunov 稳定性判别
4、 Lyapunov渐近稳定性判别定理 、 渐近稳定性判别定理 渐近
& 考虑系统 x = f ( x)，设xe = 0为一平衡点. 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 ） 1 V ( x)是正定的； & ( x) = ∂V ( x) f ( x)是半负定的； 2）V ∂x & 3）集合{x ∈ R n | V ( x) = 0}不包含系统的除平衡点以外的状态轨迹。 则系统的平衡点xe = 0是Lyapunov渐近稳定的。 进一步，若V ( x)是半径无穷大的，则平衡点xe = 0 是Lyapunov全局渐近稳定的
一个标量函数V : R n → R称为Lyapunov函数，如果满足 1）V ( x)是正定的； ∂V ( x) ∂V ( x) ∂V ( x) 2）V ( x)具有连续的偏导数 = L . ∂x ∂xn ∂x1 一个Lyapunov函数称为半径无穷大的，如果
它进一步满足 3）当|| x ||→ ∞时， ( x) → ∞. V
例如：匀速直线运动 的物体的动能为 1 mv 2 , 2 匀速旋转运动物体的 动能为 1 mω 2。 2
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= [ x1
x2
a11 a L xn ] 21 M an1
a12 L a1n x1 a22 L a2 n x2 M O M M an 2 L ann xn
1
V
V(x(t))
x2
x(t )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
研究单摆在(0,0)点的稳定性 例: 研究单摆在 点的稳定性
解 : (1) 选择李亚普诺夫函数
2 g x2 V ( x) = (1 − cos x1 ) + l 2 (2) 稳定性判断
V ( x)正定 & ( x) = g sin x V 1 l
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一、Lyapunov 稳定性概念
5、Lyapunov 不稳定 、
& x = f ( x)的平衡点xe为Lyapunov不稳定的，如果存在
ε > 0,对任意δ > 0,都有初始状态满足 || x(t0 ) − xe ||< δ的 运动轨迹x(t )，在某个时刻t1使得 || x(t1 ) − xe ||≥ ε .
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二、 Lyapunov 稳定性判别
– 特征值判据
1) A 正定 ⇔ A 的特征值均为正数 ２ A 负定 ⇔ A 的特征值均为负数 ) ３ A 半正定 ⇔ A 的特征值均为非负数 ) ４ A 半负定 ⇔ A 的特征值均为非正数 )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
稳定性判据 四．离散时间线性系统的 稳定性判据
间接法判据， 间接法判据，直接法判据
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一、 Lyapunov稳定性概念 稳定性概念
1、平衡状态（平衡点） 、平衡状态（平衡点）
• 在没有外界干扰的情况下，系统保持静止不动的状态称 在没有= f ( x, t ) 的平衡状态的计算
x(t ) = xe
S(ε)
x2
S(δ)
xe
t
x1
t
0
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一、Lyapunov 稳定性概念
4、Lyapunov大范围（全局）渐近稳定性定义 、 大范围（ 大范围 全局）渐近稳定性定义
平衡点称为渐近稳定的，如果满足： 平衡点称为渐近稳定的，如果满足：
1） Lyapunov 稳定性； ） 稳定性； 2）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态； ）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态； 3）条件 ）对于任意初始状态成立。 ）条件2）对于任意初始状态成立。
x2 = 0 x3 = 0 x4 = 0
& x4 = {∆ ( M + m)mgl}x3
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−1
一、Lyapunov 稳定性概念
2、 Lyapunov 稳定性定义 、
& xe称为系统 x = f ( x)的Lyapunov稳定平衡点，如果对任意 运动轨迹x(t )，只要初始状态离xe很近，整个轨迹就不会 远离平衡点xe .
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二、 Lyapunov 稳定性判别
• 二次型函数的定号的判断
– Sylvester判据 判据
设∆ ik 为矩阵A的各阶顺序主子式，即 a11 ∆1 = a11 , ∆ 2 = a21 a11 L a1n a12 ,L, ∆ n = M O M a22 an1 L ann
1) A 正定 ⇔ ∆ k > 0, k = 1, 2,L , n ２ A 负定 ⇔ (−1) k ∆ k > 0, k = 1, 2,L , n ) 3) A 半正定 ⇔ ∆ k ≥ 0, k = 1, 2,L , n ４ A 半负定 ⇔ (−1) k ∆ k ≥ 0, k = 1, 2,L , n )
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x2 k 2 x2 g = − x2 半负定。 k m − l sin x1 − m x2
二、 Lyapunov 稳定性判别
& x1 = x2 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 & x2 = − x1 − x2 方法判断其稳定性.
1
V
V(x(t))
x2
x(t )
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二、 Lyapunov 稳定性判别
2 & x1 = x2 − x1 ( x12 + x2 ) 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 2 2 & x2 = − x1 − x2 ( x1 + x2 ) 方法判断其稳定性.
对称矩阵
= xT Ax
二、 Lyapunov 稳定性判别
• 标量函数的定号性
1) V ( x)正定： V ( x) > 0 若x ≠ 0; V ( x) = 0 若x = 0 2) V ( x)半正定： V ( x) ≥ 0 若x ≠ 0; V ( x) = 0 若x = 0 3）V ( x)负定： 若 −V ( x)正定 4）V ( x)半负定：若 −V ( x)半正定
线性系统理论基础 第四章
Lyapunov稳定性分析 Lyapunov稳定性分析
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内容与要点
内容 要点
一．Lyapunov稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性, 稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性,
全局渐近稳定性 二．Lyapunov稳定性判据 稳定性判据,渐近稳定性判 稳定性判据 稳定性判据, 据,全局渐近稳定性判据 间接法判据， 三．连续时间线性系统的 间接法判据，直接法判据
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一、Lyapunov 稳定性概念
3、 Lyapunov 渐近稳定性定义 、 渐近稳定性定义
平衡点称为渐近稳定的，如果满足： 平衡点称为渐近稳定的，如果满足：
1） Lyapunov 稳定性； ） 稳定性； 2）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态： limt →∞ ）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态：
通过构造一种广义能量函数（称为 函数） 通过构造一种广义能量函数（称为Lyapunov 函数）并利 用系统向量场f(x)来判断。 来判断。 用系统向量场 来判断