高三总复习教学案 概率

高三总复习概率
一. 本周教学内容：概率
二. 重点、难点：
1. 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件的概率的意义，了解等可能性事件的概率的意义，会用排列、组合的公式计算一些等可能事件的概率。

2. 了解互斥事件与独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。

三. 教学过程：
（一）随机事件的概率
1. 基本概念
（1）随机现象：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件。

（2）随机试验：在一定条件下，对随机现象的一次观察，叫做一次随机试验（简称试验）。

（3）随机事件：在一定条件下，对随机现象进行试验的每一种可能的结果叫做随机事件（分为基本事件和复合事件）。

基本事件：在随机试验中，不能分解的事件。

例如，掷一个骰子，其结果可能出现1点，2点，3点，……，6点，可用e1，e2，e3，……e6表示。

每个结果是一个基本事件。

而出现“点数小于4”的事件B，则B＝｛e1，e2，e3｝。

e1，e2，e3中有一个发生，则事件B发生，反之事件B发生，则B中基本事件一定有一个发生，因此B是可分解的事件，是复合事件。

（4）必然事件与不可能事件
必然事件：在一定条件下必然发生的事件，记作Ω，P（Ω）＝1。

不可能事件：在一定条件下必然不发生的事件，记作E，P（E）＝0。

2. 随机事件之间的关系
（1）事件的包含关系：若事件A的发生必导致事件B的发生，则称事件B包含事件
（2）事件的和（并）：在试验中，事件A与B至少有一个发生的事件，叫做A与B的和或并，记作A＋B或A∪B。

（3）事件的积（交）：在试验中，事件A与事件B同时发生的事件叫做事件A与B的积或交，记作A·B或A∩B。

（4）互斥事件（又称互不相容事件）：在同一试验中，事件A与B不可能同时发生，则称事件A与事件B为互斥事件（或互不相容事件），记作A·B＝ 。

（5）对立事件（或称互逆事件）：在试验中，事件A不发生，叫做事件“A发生”
3. 概率的概念
（1）概率的定义
稳定在一个确定的常数附近，我们就用这个常数表示事件A发生可能的大小，并把这个常数叫做事件A发生的概率，记作P（A）。

②概率的古典定义（等可能性事件的概率）：若试验的全集由n个（有限个）基本事件组成，并且每次试验中，每个基本事件的发生是等可能的，其中A发生的基本事件个数
用古典概率解题首先判断是否属于古典概型，即有限性和等可能性。

（2）概率的性质
①0≤P（A）≤1
②P（Ω）＝1，P（E）＝0
（二）互斥事件与相互独立事件的概率
1. 互斥事件的概率
设A、B互斥，即A、B互不相容A·B＝E，则
P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
一般地，若A1，A2，……，A n两两互不相容，则
2. 相互独立事件的概率
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫
互独立的。

相互独立事件A、B同时发生（即A、B乘积）的概率乘法公式。

P（A·B）＝P（A）·P（B）
一般地，如果事件A1，A2，……，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即：
3. 独立重复试验事件：每次试验都是相互独立的，而且每次试验只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生。

如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为：
【典型例题】
（一）事件与古典概率
例1. 甲、乙、丙三人同时进行射击，设A、B、C三个事件为A＝｛甲中靶｝，B＝｛乙中靶｝，C＝｛丙中靶｝，试用A、B、C的关系表示下列事件：
（1）三人都中靶；
（2）甲中靶而乙、丙不中靶；
（3）三人中恰有一人中靶；
（4）三人中至少两人中靶；
（5）三人中最多两人中靶。

解：（1）｛三人都中靶｝＝A·B·C（即三个事件同时发生）
（至少有两人包括恰有两人或三人）
（5）｛最多两人中靶｝＝｛两个人中靶或一个人中靶或三人都不中靶｝
例2. 从3个男生和4个女生中选出3人参加座谈会，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A. 至少有一个男生和全是男生
B. 至少有一个男生和至少有一个女生
C. 恰有一个男生和恰有一个女生
D. 至少有一个男生和全是女生
解析：互斥即A·B＝E，不对立A＋B≠Ω，在（A）中｛至少有一男生｝∩｛全是男生｝≠E，故（A）不对。

在（B）中，｛至少有一个男生｝∩｛至少有一个女生｝＝｛“有一男，二女”或“二男一女”｝≠E，（B）不对。

在（C）中，｛恰有一男生｝∩｛恰有一女生｝＝E。

（“恰有一男生”是“有一男二女”，“恰有一女生”是“有一女二男”，它们不可能同时发生）
但是，｛恰有一男生｝∪｛恰有一女生｝≠Ω，故（C）对。

在（D）中，｛至少一男生｝∩｛全是女生｝＝E，而｛至少一男生｝∪｛全女｝＝Ω，是对立的。

综上，（C）对。

例3. 有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1，2，3，现任取3面，它们的颜色和号码均不相同的概率是___________。

解析：这是等可能性事件（因为每面旗帜被抽到的可能性是相同的）的概率问题（记所
求事件为A）。

例4. 设10件产品中有4件次品，6件正品，试求下列事件的概率：
（1）从中任取2件都是次品；
（2）从中任取5件恰有2件次品；
（3）从中有放回地任取3件都是正品；
（4）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
（5）从中依次取2件都是正品；
（6）从中依次取5件恰有2件次品。

解：依次记题中（1）～（6）各事件分别为A1，A2，……，A6，则：
有放回地抽取3次（每次抽1件）至少有2件次品包括“恰有两件次品”和“三件都是次品”。

“恰有两件次品”包括“第一次抽到正品，第二、三次抽到次品”或“第二次抽到正品，而第一、三次抽到次品”或“第三次抽到正品，而第一、二次抽到次品”。

的种数）
小结：用排列、组合公式计算n，m时，必须对同一个事件组考虑，即m，n必须是一致的。

另外要理解“任取”、“有放回地抽取”、“依次取”、“恰有”、“至少”、“至多”、“都不是”等术语的确切含义。

（二）互斥事件与对立事件的概率
例5. 袋中有5个白球，3个黑球，求从中任取三个球，至少有一个白球的概率。

解法一：设A i＝｛恰有i个白球｝（i＝1，2，3）
设A＝｛任取三个球中至少有一个白球｝
解法二：（利用对立事件的关系求解）
解法三（直接利用古典概率）
例6. 今有标号为1，2，3，4，5的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意
地装入五个信封，每个信封装一封信，试求至少有两封信配对的概率。

解：设恰有i封信配对为事件A i，（i＝2，3，4），i＝4与i＝5相同
（三）相互独立事件的概率
例7. 设甲、乙两射手独立地射击同一目标，各击一发，他们击中目标的概率分别为0.9，0.8，求：
（1）在一次射击中目标被击中的概率；
（2）目标恰好被甲击中的概率。

（1）解法一：设甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，那么目标被击中的事
∵A、B是相互独立事件
解法二：设C＝｛甲、乙中至少有一人击中目标｝
例8. 加工某一零件要经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为0.02，0.03，0.05，假定各道工序互不影响，试求加工出来的零件为次品的概率。

A＝｛加工出来的零件为次品｝
（四）n次独立重复试验中的概率计算
例9. 一射手平均每射击10次中靶4次，求在5次射击中：（1）恰击中1次的概率；
（2）第二次击中的概率；
（3）恰击中2次的概率；
（4）第二、三两次击中的概率；
（5）至少击中1次的概率。

解：由题意，此射手击中一次，中靶的概率为P＝0.4，射击5次，是一独立重复试验。

（2）因为各次击中的概率相同，故第二次击中的概率也为P＝0.4。

而用直接法则较麻烦。

例10. 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网概率都是0.5（相互独立）。

（1）求至少3人同时上网的概率；
（2）至少几个人同时上网的概率小于0.3？
解：（1）至少3人同时上网的概率为1减去至多2人同时上网的概率。

（2）至少4人同时上网的概率为：
至少5人同时上网的概率为：
因此至少5人同时上网的概率小于0.3。

【模拟试题】
一. 选择题。

1. 十个人站成一排，其中甲、乙、丙三个恰巧站在一起的概率为（）
A. B. C. D.
2. 在100件产品中，有95件合格品，5件次品，任取2件，则两件都是次品的概率为（）
A. B. C. D.
3. 今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（）
A. B.
C. D.
4. 两个事件互斥是这两个事件对立的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 不充分不必要条件
5. 把一枚硬币掷5次，正面向上至少出现一次的概率为（）
A. B. C. D.
6. 设一门炮击中敌机的概率为0.8，如果要以99%的把握击中敌机，则至少需要几门炮同时射击（）
A. 2门
B. 3门
C. 4门
D. 5门
7. 某气象站预报天气的准确率是0.8，那么在两次预报中恰有一次准确的概率是（）
A. 0.96
B. 0.32
C. 0.64
D. 0.16
二. 填空题。

8. 5名男生和3名女生排成列，则第一名和最后一名都是男生的概率是____________（用分数表示结果）
9. 若以连续两次掷骰子，分别得到的点数为P点的坐标，对P
的概率为______________。

10. 五条线段，长度分别为1，3，5，7，9，从中任取三条，所得的三条线段不得拼成三角形的概率是______________。

11. 在大小相同的6个球中，2个红球，4个白球，若从中任取3个球，所选取的3个球中至少有1个红球的概率为______________。

12. 某单位的36人中有A型血12人，B型血10人，AB型血8人，O型血6人，如果从中随机地找出2人，那么这两人具有不同血型的概率为______________。

三. 解答题。

13. 用数字1，2，3，4，5组成五位数，求其中恰有4个相同数字的概率。

14. 有6个房间安排4个旅游者位，每人可以进住任一房间，且进住各房间是等可能的，试求下列各事件的概率。

（1）事件A：指定的4个房间中各有一人；
（2）事件B：恰有4个房间中各有一人；
（3）事件C：指定的某个房间中有两人；
（4）事件D：第一号房间有1人，第二号房间有三人。

15. 有三个人，每个人都以相同的概率被分到四个房间中的一间，求：
（1）三个人都被分配到同一个房间的概率；
（2）至多有两人分配到同一房间的概率。

16. 甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人各投3次，两人恰好都投中二次的概率为多少？
【试题答案】
一. 选择题。

1. A
2. A
3. C
提示：考虑其对立事件
4. B
5. A
提示：考虑其对立事件
6. B
7. B
提示：是n次独立重复试验问题
二. 填空题。

8.
提示：
9.
提示：共有6×6＝361，1），（1，2），（1，
3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）共8
10.
提示：能拼成三角形的三条线段仅有3，5，7；5，7，9；3，7，9这三种情况，故所求
11.
12.
三. 解答题。

13. 5个数中恰有4个相同的结果数；4个相
故恰有4个相同数字的五位数的结果
14. 4个人进住6
（1）指定的房间中各有1
（2
（3）从4个人中选22人可去5个房
（4
15. （1
（2）“至多有两人分配到同一个房间”包含“没有2人分配到一个房间”，即“一人一房间”和“恰有2人分配到一个房间”
或A＝｛至多有两个分配到同一房间｝
16. 设甲投中二次为事件A，则
乙投中2次为事件B，则
两人恰好都投中2次为事件A·B
【励志故事】
继续前进
在《圣经·出埃及记》里，说到摩西带领以色列人出埃及，过红海，来到旷野，走了三天都找不到水喝，好不容易到了玛拉，却发现那儿的水是苦的。

百姓不由得大发怨言，诉苦不已。

他们不知道，只要再走一段路程，紧接着就到了以琳，那里有泉水和棕树，可以让他们安安稳稳、舒舒服服地扎营休息。

“行百里，半九十”，最后一段路往往是最艰苦难行的。

因为，开始的时候，人凭着一股冲劲，雄心万丈，希望无穷，然而，经过长途跋涉，精疲力竭，信心开始动摇，意志渐渐松懈，不免对自己怀疑，对前途绝望，许多人因此不能坚持到底，以致前功尽弃。

哥伦布在他每天的航海日志上最后一句总是写着：“我们继续前进！”这句话看似平凡，实则包含无比的信心和毅力。

就凭着这一股大无畏的精神，他们向着茫茫不可知的前途挺进，横跨惊涛骇浪，历经蛮荒野地，克服了无限的艰难险阻，终于发现了新大陆，完成了历史上的惊人壮举。