东北大学 高等数学习题5解析
北大版高等数学第五章 向量代数与空间解析几何答案 习题5.1
习题5.11.,,,,,().11,,().22ABCDAB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=-=-+ 设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b()2.,1().211221().2M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明证3.,,1().3221()3321(),31(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+⨯+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1().313,().3CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++4.,1,().41(),211(),(),221().24ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++ 设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1,().4OM OA OB OC OD =+++2222225.?(1)()();(2)();(3)()().(1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==⨯=⨯======0 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,112211().22DE DA AE BA ACBA AC BC =+=+=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证2227.:(1),;(2).(1)()()()()||||0.()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB ADAB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2,||()cos cos .|||||||||||,.a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB ADAB AC AB AC a AC βααβαβ+++===== 与都是锐角故 22222(2)||()()||||2||||.ACAC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+2222222222222222228.()()||||.()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα⨯+=⨯+=+=+=∆=⨯证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11的面积=的面积22证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b222222222210.,,,()()2().()()()()()()222().=++-=+++-=+++--=-+ 给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b2222222222211.,,:().:()||(||sin )||sin ||.,αα⨯≤⨯=⨯==≤=对于任意向量证明问等号成立的充分必要条件是什么?等号成立的充分必要条件是正交证22a b a b a b a b a b a ||b a ||b a ||b a b a b .。
东北大学历年期末高等数学试题
八、高等数学试题 2005/1/10一、填空题（本题20分，每小题4分）1．已知==⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→a a x a x xx ，则9lim2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1112)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。
3．方程017=-+x x 共有 个正根。
4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2的曲率最大。
5．⎰=20sin πxdx x 。
二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ）（A ）若a x n n =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，则a x n n =∞→lim ；（B ）发散数列必然无界；（C ）若a x n n =-∞→13lim ，a x n n =+∞→13lim ，则a x n n =∞→lim ；（D ）有界数列必然收敛。
2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（ ）。
（A ）0)(0='x f ； （B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在； （D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。
3．函数⎰=xa dt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ）（A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。
4．设⎰-+=2242cos 1sin ππxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin ππdx x x N ，⎰--=22432)cos sin (ππdx x x x P ，则必有关系式（ ）（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。
新教材北师大版高中数学必修第一册 第五章 函数应用 课后练习 含解析
第五章函数应用课后练习1、利用函数性质判定方程解的存在性........................................................................ - 1 -2、利用二分法求方程的近似解.................................................................................... - 6 -3、实际问题的函数刻画.............................................................................................. - 11 -4、用函数模型解决实际问题...................................................................................... - 18 -1、利用函数性质判定方程解的存在性提升练习1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )A.,0B.-2,0C. D.0【解析】选D.当x≤1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0.当x>1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=,不成立,所以函数的零点为0.2.函数f(x)=x2+ln x-4的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.因为f(1)=12+ln 1-4=-3<0,f(2)=22+ln 2-4=ln 2>0,又函数f(x)在定义域内单调递增,所以f(x)的零点在(1,2)内.3.函数f(x)=x3-的零点个数是()A.0B.1C.2D.无数个【解析】选B.作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.4.若函数f(x)=ax2-x+2只有一个零点,则实数a的取值集合是.【解析】当a=0时,f(x)=-x+2,令f(x)=0,解得x=2,所以函数只有一个零点2,符合题意;当a≠0时,由函数只有一个零点可得Δ=(-1)2-4×a×2=0,即1-8a=0,解得a=.综上a=或a=0.答案:5.判断方程log2x+x2=0在区间上有没有实数根?为什么?【解析】设f(x)=log2x+x2,f=log2+=-1+=-<0,f(1)=log21+1=1>0,即f·f(1)<0,函数f(x)=log2x+x2的图象在区间上是连续的,因此,f(x)在区间上有零点,即方程log2x+x2=0在区间上有实根.提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)·(x-a)的两个零点分别位于区间( )A.(b,c)和(c,+∞)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(a,b)和(b,c)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内【解析】选C.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, 所以f(x)的零点分别位于(a,b)和(b,c)内.2.(2020·浙江高考)已知a,b∈R且ab≠0,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立,则( )A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0【解析】选C.由于ab≠0则a≠0且b≠0,根据y=(x-a)(x-b)(x-2a-b)的零点为a,b,2a+b的情况可确定是否满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立.若a<0,b<0,则2a+b<0,满足;若a<0,b>0,则b≠2a+b,不满足;若a>0,b>0,则2a+b>0,不满足;若a>0,b<0,则a=2a+b即a+b=0时满足,综上,只有选项C符合.3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1.【补偿训练】已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(0,1]C.(1,+∞)D.(-∞,1)【解析】选B.作出函数f(x)的图象,由图象知,当0<k≤1时, y=k与y=f(x)的图象有两个交点,此时方程f(x)=k有两个不等实根,所以0<k ≤1.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )A.f(x1)>0B.f(x1)<0C.f(x2)>0D.f(x2)<0【解析】选BC.在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x和函数y=的图象,如图所示,由图可知函数y=2x和函数y=的图象只有一个交点,即函数f(x)=2x+只有一个零点x0,且x0>1.因为x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),所以由函数图象可知,f(x1)<0,f(x2)>0.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是.【解析】由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象,则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0<a<4.答案:(0,4)【补偿训练】设函数f(x)=若函数f(x)有且仅有1个零点,则实数a的取值范围是.【解析】当x>0时,f(x)=3x+1>1,函数无零点;要使函数f(x)有且仅有1个零点,则f(x)=a-2x 在(-∞,0]上有且仅有1个零点.画出函数y=a与函数y=2x(x≤0)的图象,如图所示.因为当x≤0时,2x∈(0,1],所以a∈(0,1].答案:(0,1]6.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有个零点,这几个零点的和等于.【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以f(0)=0.又因为f(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0,故该函数有3个零点,这3个零点之和等于0.答案:3 0四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)试确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【解析】(1)作出g(x)=x+(x>0)的图象如图:可知若g(x)=m有零点,则有m≥2e.故m的取值范围为{m|m≥2e}.(2)g(x)-f(x)=0有两个相异实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.在同一平面直角坐标系中,作出g(x)=x+(x>0)和f(x)的图象,如图.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其图象的对称轴为直线x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时, g(x)与f(x)有两个不同的交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根,所以m的取值范围是m>-e2+2e+1.2、利用二分法求方程的近似解基础练习1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )【解析】选B.利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点,由于A,C,D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.2.若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)f>0,则( )A.f(x)在上有零点B.f(x)在上有零点C.f(x)在上无零点D.f(x)在上无零点【解析】选B.由f(a)f(b)<0,f(a)f>0可知f f(b)<0,根据零点存在定理可知f(x)在上有零点,在上有无零点无法判断.3.用二分法求关于x的方程ln x+2x-6=0的近似解时,能确定为解所在的初始区间的是( )A.(2,3)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,+∞)【解析】选A.令函数f(x)=ln x+2x-6,可判断在(0,+∞)上单调递增,所以f(1)=-4<0,f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以根据函数的零点存在定理可得:零点在(2,3)内,即方程ln x+2x-6=0的近似解在(2,3)内.4.已知函数f(x)=x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间[0,2]内有实数解;(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内.【解析】(1)因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,所以f(0)·f(2)<0,由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间[0,2]内有实数解.(2)取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)·f(2)<0,下一个有解区间为(1,2).再取x2=(1+2)=,得f=-<0,所以f(1)·f<0,下一个有解区间为.再取x3==,得f=>0,所以f·f<0,下一个有解区间为.综上所述,所求的实数解x0在区间内.创新练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为( )①若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点.A.0B.1C.2D.3【解析】选A.①中x0∈[a,b]且f(x0)=0,所以x0是f(x)的一个零点,而不是(x0,0),故①错误;②由于x0两侧函数值不一定异号,故②错误;③方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,故③错误.2.下列函数不宜用二分法求零点的是( )A.f(x)=x3-1B.f(x)=ln x+3C.f(x)=x2+2x+2D.f(x)=-x2+4x-1【解析】选C.因为f(x)=x2+2x+2=(x+)2≥0,不存在小于0的函数值,所以不能用二分法求零点.3.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到表格:x 1.00 1.25 1.375 1.50f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.360 4 -0.998 9则由表中的数据,可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )A.1.125B.1.312 5C.1.437 5D.1.468 75【解析】选B.因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解.【补偿训练】某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是.【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).答案:1.5,1.75,1.875,1.812 5二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,3)C.(3,4)D.(4,8)【解析】选AD.设y1=lo x,y2=4-x,则f(x)的零点个数,即函数y1与y2的图象的交点个数,作出两函数图象如图.由图知y1与y2在区间(0,1)内有一个交点,当x=4时,y1=-2,y2=0;当x=8时,y1=-3,y2=-4,所以在(4,8)内两曲线又有一个交点.即函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为(0,1)和(4,8).三、填空题(每小题5分,共10分)5.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是.【解题指南】函数有零点,但不能用二分法,说明函数在零点两侧同号,结合二次函数的性质,说明函数f(x)的图象与x轴只有一个交点.【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法,所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x 轴只有一个交点,所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b.答案:a2=4b6.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1在区间[0,1]内的零点时,第一次经计算得f(0)<0,f(0.5)>0,f(1)>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.【解析】因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以f(0)·f(0.5)<0,故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5),利用二分法,则第二次应计算f=f(0.25).答案:(0,0.5) f(0.25)四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.【证明】因为f(1)>0,所以3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.因为a+b+c=0,所以-b-2c>0,则-b-c>c,即a>c.因为f(0)>0,所以c>0,则a>0.在区间[0,1]内选取二等分点,则f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.因为f(0)>0,f(1)>0,所以函数f(x)在区间和上各有一个零点.又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在[0,1]内有两个实根.3、实际问题的函数刻画基础练习1.某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往,他先前进了a km,觉得有点累,就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了b km(b<a),当他想起“不到长城非好汉”时,便调转车头继续前进,则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )【解析】选C.由题意可知,前进a km时,s是关于时间t的一次函数,所以其图象特征是直线上升.由于中间休息了一段时间,该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段.然后原路返回b km,图象下降且时间增加,再调转车头继续前进,则直线上升.C选项图象符合题意.2.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动,丙车最先到达终点.丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图象如图所示,则对于丙、丁两车的图象所在区域,判断正确的是( )A.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域B.丙在Ⅰ区城,丁在Ⅲ区域C.丙在Ⅱ区域,丁在Ⅰ区域D.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅱ区域【解析】选A.由题图可得相同时间内丙车行驶路程最远,丁车行驶路程最近,即丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域.3.图A表示某年12个月中每月的平均气温,一般地,家庭用电量(kW·h)与气温(℃)有一定关系.图B表示某家庭在此年12个月的用电量.根据这些信息,以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中,正确的是( )A.气温最高时,用电量最多B.气温最低时,用电量最少C.5月～7月用电量随气温增加而增加D.8月～12月用电量随气温降低而增加【解析】选C.逐月分析图象的升降趋势和变化率,排除干扰选项便能确定答案.比较题干中的两图可以发现,2月份用电量最多,而2月份气温不是最高,因此排除A.同理可排除B.8月至12月份气温一直下降,但用电量有增有减,排除D.由5,6,7三个月的气温和用电量可得出C正确.4.为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况,某研究性学习小组对本地区2005年至2007年使用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查,根据表格及图象提供的信息,可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒万个.年份快餐公司数2005 302006 452007 90【解析】结合题中两个图表可得2005年消耗纸质饭盒总数=1×30=30(万个);2006年消耗纸质饭盒总数=2×45=90(万个);2007年消耗纸质饭盒总数=1.5×90=135(万个);故每年平均消耗纸质饭盒总数=(30+90+135)÷3=85(万个).答案:855.如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.【解析】(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,所以PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米.在△EDF中,=,所以=.所以y=-x+10,定义域为[4,8].(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x=-(x-10)2+50.又x∈[4,8],所以当x=8时,S取最大值48.提升练习一、单选题(每小题5分,共20分)1.李明放学回家的路上,开始和同学边走边讨论问题,走得比较慢;然后他们索性停下来将问题彻底解决;最后他快速地回到了家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是( )【解析】选D.根据实际情况较吻合的应为D.2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( )A.310元B.300元C.290元D.280元【解析】选B.由题意可知,收入y是销售量x的一次函数,设y=ax+b(a≠0),将(1,800),(2,1 300)代入得a=500,b=300.当销售量x=0时y=300.3.某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产.如果外购,每个配件的价格是1.10元;如果自己生产,则固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A.1 000件B.1 200件C.1 400件D.1 600件【解析】选D.设生产x件时自产合算,由题意得1.1x≥800+0.6x,解得x≥1 600.4.拟定从甲地到乙地通话m min的电话费f(m)=1.06·(0.50[m]+1),其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]=3,[3.7]=4,[5.2]=6),则从甲地到乙地通话时间为5.5 min的通话费为( )A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77【解析】选C.5.5 min的通话费为f(5.5)=1.06×(0.50×[5.5]+1)=1.06×(0.50×6+1)=1.06×4=4.24.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示:型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格 3.00元8.4元则下列说法正确的是( )A.买小包装实惠B.买大包装实惠C.卖3小包比卖1大包盈利多D.卖1大包比卖3小包盈利多【解析】选BD.大包装300克8.4元,则等价为100克2.8元,小包装100克3元,则买大包装实惠,故B正确,卖1大包盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元),卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元),则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元),则卖1大包比卖3小包盈利多,故D正确.6.某工厂8年来的产品年产量y与时间t(单位:年)的函数关系如图所示,则下面四个结论,正确的是( )A.前3年的年产量增长速度越来越快B.前3年的年产量增长速度越来越慢C.3年后,这种产品停止生产D.3年后,这种产品年产量保持不变【解析】选AD.由题干图可知,前3年中,年产量的增长速度越来越快,后5年的年产量是不变的,所以AD正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知直角梯形ABCD,如图(1)所示,动点P从点B出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图象如图(2)所示,则△ABC的面积为.【解析】由题中图象可知BC=4,CD=5,DA=5,所以AB=5+=5+3=8,所以S△ABC=×8×4=16.答案:16【补偿训练】生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图象,A对应;B对应;C对应;D对应.【解析】A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为:C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.答案:(4) (1) (3) (2)8.某商人将手机先按原价提高40%,然后“八折优惠”,结果是每部手机比原价多赚144元,那么每部手机原价是元,实际售价为元.【解析】设每部手机原价是x元,由题意可得(1+40%)x·0.8-x=144,解得x=1 200.实际售价为1200+144=1 344(元).答案:1 200 1 344四、解答题(每小题10分,共20分)9.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月本地网内打出的电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图所示,当打出电话150分钟时,这两种方式话费相差多少元?【解析】设A种方式对应的函数解析式为s=k1t+20,B种方式对应的函数解析式为s=k2t.当t=100时,100k1+20=100k2,所以k2-k1=.当t=150时,150k2-150k1-20=150×-20=10.答:这两种方式话费相差10元.10.某地上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度),经测算,若电价调至x元/度,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)(元/度)成反比,且当x=0.65时,y=0.8.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若每度电的成本为0.3元,则电价调至多少时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%? [收益=用电量×(实际电价-成本价)]【解析】(1)因为y与(x-0.4)成反比,所以可设y=(k≠0),把x=0.65,y=0.8代入上式,得0.8=,解得k=0.2,所以y==,所以y与x之间的函数关系式为y=(0.55≤x≤0.75).(2)根据题意,得(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%),整理得x2-1.1x+0.3=0,解得x1=0.5(舍去)或x2=0.6,所以当电价调至0.6元/度时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.4、用函数模型解决实际问题基础练习1.一等腰三角形的周长为20,底边y是关于腰长x的函数,它的解析式为( )A.y=20-2x(x≤10)B.y=20-2x(x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10)D.y=20-2x(5<x<10)【解析】选D.由y+2x=20得y=20-2x.又得5<x<10.2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时,交通灯由红变绿,汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走,那么( )A.人可在7秒内追上汽车B.人可在10秒内追上汽车C.人追不上汽车,其间距最少为5米D.人追不上汽车,其间距最少为7米【解析】选D.设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值7.3.今有一组试验数据如表所示:t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12u 1.5 4.04 7.5 12 18.01则能体现这些数据关系的函数模型是( )A.u=log2tB.u=2t-2C.u=D.u=2t-2【解析】选C.可以先描出各点(如图),并利用数据点直观地认识变量间的关系,选择合适的函数模型来刻画它.由图可知,图象不是直线上的点,排除选项D;图象不符合对数函数的图象特征,排除选项A;当t=3时2t-2=23-2=6,==4,由题干中表格知当t=3时,u=4.04,模型u=能较好地体现这些数据关系.4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁皮(如图中阴影部分)备用.当截取的矩形面积最大时,矩形的两边长x,y分别为.【解析】由三角形相似,即=,得x=×(24-y),所以S=xy=-(y-12)2+180,故当y=12时,S有最大值,此时x=15.答案:15,125.某市居民生活用水收费标准如下:用水量x/t 每吨收费标准/元不超过2 t部分m超过2 t不超过4 t部分 3超过4 t部分n已知某用户1月份用水量为8 t,缴纳的水费为33元;2月份用水量为6 t,缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.(1)写出y关于x的函数解析式;(2)若某用户3月份用水量为3.5 t,则该用户需缴纳的水费为多少元?(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元,求该用户最多可以用多少吨水.【解析】(1)由题设可得y=当x=8时,y=33;当x=6时,y=21,代入得解得所以y关于x的函数解析式为y=(2)当x=3.5时,y=3×3.5-3=7.5.故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.(3)令6x-15≤24,解得x≤6.5.故该用户最多可以用6.5 t水.提升练习一、单选题(每小题5分,共25分)1.某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,则( )A.a=bB.a>bC.a<bD.无法比较a,b的大小【解析】选B.因为b=a(1+10%)(1-10%),所以b=a[1-(10%)2]=a,所以b=a×,所以a>b.2.用长度为24的材料围成一个矩形场地,中间有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( )A.3B.4C.6D.12【解析】选A.设隔墙长度为x,如图所示,则与隔墙垂直的边长为=12-2x,所以矩形面积S=x·(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,0<x<6,所以当x=3时,S max=18.3.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元,若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y 关于x的函数关系式是( )A.y=0.3x+800(0≤x≤2 000)B.y=0.3x+1 600(0≤x≤2 000)C.y=-0.3x+800(0≤x≤2 000)D.y=-0.3x+1 600(0≤x≤2 000)【解析】选D.依题意存车费总收入:y=0.5x+0.8(2 000-x)=-0.3x+1 600.4.我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番,设平均每年增长率为x,则( )A.(1+x)19=4B.(1+x)20=3C.(1+x)20=2D.(1+x)20=4【解析】选D.翻两番,即从1变成4,从2000年到2020年共经过20年,即(1+x)20=4.【误区警示】翻番问题,要特别注意翻一番是由1变为2,翻两番是由1变为4.5.(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) ( )A.60B.63C.66D.69【解析】选C.因为I(t)=,所以I(t*)==0.95K,则=19,所以0.23(t*-53)=ln 19≈3,解得t*≈+53≈66.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)6.甲乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.甲比乙跑得快C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点【解析】选BD.由题图可知两人跑的路程相同,甲比乙跑的时间少,甲比乙跑得要快,比乙先到达终点.三、填空题(每小题5分,共10分)7.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:关于x呈指数型函数变化的变量是.【解析】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.答案:y28.(2019·北京高考)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.【解析】(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,原价应为60+80=140(元),超过了120元可以优惠,所以当x=10时,顾客需要支付140-10=130(元).(2)由题意知,当x确定后,顾客可以得到的优惠金额是固定的,所以顾客支付的金额越少,优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠,最少要一次购买2盒草莓,此时顾客支付的金额为(120-x)元,所以(120-x)×80%≥120×0.7,所以x≤15.即x的最大值为15.答案:(1)130 (2)15四、解答题(每小题10分,共20分)9.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).根据图象提供的信息解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截至第几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第八个月公司所获得的利润是多少万元.【解析】(1)可设S与t的函数关系式为S=at2+bt+c.由题意,得或或无论哪个均可解得a=,b=-2,c=0,所以所求函数关系式为S=t2-2t.(2)把S=30代入,得30=t2-2t,解得t1=10,t2=-6(舍去),所以截至第10个月末公司累积利润可达到30万元.(3)把t=7代入,得S=×72-2×7==10.5(万元),把t=8代入,得S=×82-2×8=16(万元),则第八个月获得的利润为16-10.5=5.5(万元),所以第八个月公司所获利润为5.5万元.10.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等的地区人均A饮料销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=log a x+b;④y=a x+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由;(2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L,人均GDP为4千美元时,年人均A 饮料的销售量为5 L,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,年人均A饮料的销售量最多是多少?【解析】(1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区人均A饮料销售量最多,然后向两边递减.而②,③,④表示的函数在区间上是单调函数,所以②,③,④都不合适,故用①来模拟比较合适.(2)因为人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L;人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5 L,把x=1,y=2;x=4,y=5代入y=ax2+bx,得解得a=-,b=,所以函数解析式为y=-x2+x(x∈[0.5,8]).因为y=-x2+x=-+,所以当x=时,年人均A饮料的销售量最多是L.创新练习1.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是T1(℃),空气的温度是T0(℃),经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把温度是90 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t分钟后,物体的温度是50 ℃,那么t的值约等于(参考数据:ln 3≈1.099,ln 2≈0.693) ( )A.1.78B.2.77C.2.89D.4.40【解析】选B.由题意可知50=10+(90-10)·e-0.25t,整理得e-0.25t=,即-0.25t=ln =-ln 2≈-0.693,解得t≈2.77.2.某校学生研究性学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化,老师讲课开始时,学生的兴趣激增;接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.设 f(x)表示学生注意力指标,该小组发现f(x)随时间x(分钟)的变化规律(f(x)越大,表明学生的注意力越集中)如下:f(x)=(a>0,a≠1),若上课后第5分钟时的注意力指标为140,回答下列问题:(1)求a的值;(2)上课后第5分钟时和下课前5分钟时比较,哪个时间注意力更集中?并请说明理由;(3)在一节课中,学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长?【解析】(1)由题意得,当x=5时,f(x)=140,即100·-60=140,解得,a=4.(2)f(5)=140,f(35)=-15×35+640=115,由于f(5)>f(35),故上课后第5分钟时比下课前5分钟时注意力更集中.(3)①当0≤x≤10时,由(1)知,f(x)≥140的解集为[5,10];②当10<x≤20时,f(x)=340>140,成立;③当20<x≤40时,-15x+640≥140,。
高数课后题答案及详解 高数课后习题答案解析
高数课后题答案及详解一、求下列极限1、sin ()lim x x x →−−22111；解一：()()12sin 1cos 1lim 02x x x x→−−==原式解二：()()11sin 1sin 1lim lim11x x x x x x →→−−==−+原式2、lim sin x x x →2203解一：00021311lim lim lim 6sin3cos39sin3cos39x x x x x x x x x →→→==⋅=原式解二：sin 3~30021limlim 6sin 3cos 39cos 39x xx x x x x xx x →→===原式3、20tan 2lim 3sin x x xx →解：()2tan 2~2,sin3~3222lim93x x x xx xx →=原式=4、0lim ln(1)x x x →+解一：()001lim lim 1111x x x x→→==+=+原式解二：()1011lim1ln ln 1x xex →===+原式5、2lim xx x x →∞−⎛⎞⎜⎟⎝⎠解一：()2222lim 1xx ex −⋅−−→∞⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠原式解二：()1211ln 2ln 22limlim ln2lim22lim x x x x xx x x x xx xx x x eeeee−−→∞→∞→∞−−−−−−→∞−−−=====原式6、()111lim 32x x x −→−解一：()()112220lim 12t x tt t e=−−−−→=−=令原式解二：1(2)221122221lim[1(22)]{lim[1(22)]}xx x x x x e−−→−−−→=+−=+−=i 原式7、30sin lim x x x x →−解：2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→−===原式8、111lim ln 1x x x →⎛⎞−⎜⎟−⎝⎠解：111111ln 11lim lim lim 1(1)ln ln 1ln 11lim ln 112x x x x x x x x x x x x x x x xx →→→→−−+−===−−+−+−==−++原式9、12lim 22n n n n →∞+++⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠⋯解：()()221122lim lim22221lim 422n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎞+⎜⎟+−−=−=⎜⎟++⎜⎟⎝⎠−==−+原式10、329sin limx x t dtx →∫解：26686003sin 1sin 1lim lim 933x x x x x x x →→===原式11、arctan limx x tdt →+∞。
[专题]北大版高等数学第五章向量代数与空间解析几何答案习题53.docx
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习题5・31•指出下列平面位置的特点：(1)5x - 3z +1 = 0(2)x + 2y - 7z = 0(3)y + 5 = 0(4)2)，- 9z = 0(5)x-y-5 = 0(6)x = 0. 解⑴平行于屛由.⑵过原点.⑶平行于平面.⑷ 过兀轴.(5)平行于z轴•⑹0〃平面.2.求下列各平面的方程：⑴平行于y轴且通过点(1,-5,1)和(3,2,-2);(2)平行于O私平面且通过点(5,2,-8);(3)垂直于平面兀-4y + 5z = 1且通过点(-2,7,3)及(0,0,0);⑷垂直于Oyz平面且通过点(5,-4,3)及(-2,1,8).1j k解⑴—(0 ,l,0),* = (2,7,-3),n= 0 1 0 =(-3,0,-2).27-3_3O_1)_2(Z_1)=0,3JC +2Z_5=0.⑵y = 2.i j k(3)a = (1,-4,5), 6 = (-2,7,3),n = 1 -4 5 = (-47,-13,-1).-2 7 347x+13y+ 1 = 0.i j k(4)“ = (1,0,0),〃 = (-7,5,5),〃= 1 0 0 =(0,-5,5) = 5(0, -1,1).-7 5 5_(y + 4) + (z_3) = 0,y_z + 7 = 0.3.求通过点A(2,4,8), B(-3,1,5)及C(6,—2,7)的平面方程.解 a = (一5, —3,—3),〃 = (4,-6,-1).i j kn= -5 -3 -3 =(-15,-17,42),4 -6 -1一15(兀一2) —17(y — 4) + 42(z — 8) = 0,15x + 17y —42z + 238 = 0.4.设一平而在各坐标轴上的截距都不等于零并相等,且过点(5, -7, 4),求此平而的方程.解—+ —+ — = 1, —H—+ — = l,a = 2, x + y + z — 2 = 0.a, a a a a a5已知两点4(2,-1,-2)及〃(8,7,5),求过B且与线段AB垂直的平面.解〃 =(6, & 7).6(x-8) + 8(y-7) + 7(z-5) = 0,6x + 8y + 7z-139 = 0.6.求过点(2,0, -3)且与2兀-2y + 4z + 7 = 0,3x+y-2z + 5二0垂直的平面方程.i j k解 n= 2 -24 =(0,16,8) = 8(0,2,l).2y + (z + 3) = 0,y + z + 3 = 0. 3 1 -27.求通过兀轴且与平面9兀-4y-2z + 3 = 0垂直的平面方程. 解 By + Cz=0,—4B —2C = 0,取B = 1,C = —2,y —2z = 0.8•求通过直纟划:｛；；工：二5地:仁鳥平行的平面方程. i j ki j k 解a = 1 0 2 = (-6,1,3), 6 = 1 -1 0= (1,1,1), 0 3-10 1 -1 i j kn - -6 13 =(-2,9,-7).用z ()= 0代入厶的方程，得x° =4,>\} =-8/3.1 1 1 -2(x-4) + 9(^ + 8/3)-7(z) = 0,-2x + 9y-7z + 32 = 0.x = 3r + 89.求直线厶：* +彳=•' +1 = __与直线/ ：< y = f + l 的交点坐标,3 24 _ 小， z = + 6并求通过此两直线的平面方程.解求两条直线交点坐标：3r + 8 + 3 / + 1 + 1 2/ + 6 —2 \\ t t A 163 24 3 2 23 i j kn= 3 2 4 = (0,6, -3) = 3(0,2, -l).2(y +1) - (z - 2) = 0,2y - z + 4 = 0.3 1 2 10•求通过两直线厶=^ = 凹和厶：土 = □=三的平面方程. 1 2 -1 1 -4 2 -2i j k解 两直线平行•平面过点(1,-1,-1)和(-2,2,0).川=2 — 1 1 = (—4,—5,3).-33 1一4(兀一 l)-5(y + l) + 3(z + l) = 0,-4x — 5y + 3z + 2 = 0.11证明两直线厶：口和是异面直线*-121 - 0 1 -2证首先，两直线的方向向量(-1,2,1)和(0,1,-2)不平行.x 二 _2l 2< y 二1+t —―二匕〜 力+ 3J = 5』= 0,矛盾.故两直线无公共点.-1 2 1 X Q = 一& 儿=一一牛交点(一8占弓)两-直线不平行，又无交点，故是异面直线. 12.将下列直线方程化为标准方程及参数方程：[2x+y-z + l = 0 [x-3z + 5 = 0(1* ⑵彳[3x - y + 2z - 8 = 0; [y - 2z + 8 = 0.i j k解(1)〃= 2 1 -1 =(1,-7,-5).3-12V — 7 + 1 = 0⑴中令兀0=0,{ 解Z得儿=6,Zo=7・-y+ 2z-8 = 0;标准方程—q・1 -7 -5x = t参数方程：< y = 6-lt,-oo <t < +oo.z = l-5ti j k(2)(1加=1 0 -3 =(3,2,1).0 1 -2⑵中令z° = 0,直接得x° = -5, y Q = -8.标准方程出二凹二工3 2 1x ——5 + 3t参数方程：* >' = -8 + 2r,-co<t < +oo.z = t13•求通过点(32-5)及乂轴的平面与平面3x-y-7z + 9 = 0的交线方程・ ■I j k解地第一个平面的法向量〃二1 0 0 =(0,5,2), 3 2 -5平面方程5y + 2z = 0.直线方程严+ 2*°[3 兀-y-7z + 9 = 0.i j k直线的方向向量a =0 5 2 =(一336-15) = 3(-112-5)・3 -1 -7直线方程:r 匕14 •当D 为何值时,直线产？ £弓与0z 轴相交?[x + 4y-z + D = 0解直线F ：y + 2z-6弓与Oz 轴相交O 存在(0,0,勺)在此直线上，[x + 4y-z + £> = 0f2z o -6 = O <=> < u> £> =知=3. Ho+o=o15.试求通过直线人：£一2"：弓并与直线Z. = 2平行的平面方程.[3y — z + 8 = 0 *•匕 _y + 6 = 0i J k解厶的方向向&a = 1 0 -2 =(6丄3).0 3-1i J 平面的法向量/i =6 1 1 1 Q 在的方程中令z ()二0得X 。
东北大学线性代数_第七章课后习题详解线性空间与线性变换
教学基本要求：1.了解线性空间、线性子空间、基、维数、坐标等概念.2.了解基变换和坐标变换，会求过渡矩阵.3.了解线性变换的概念，了解线性变换的矩阵.4.了解内积、欧几里得空间的概念.5.了解规范正交基，会用施密特(Schmidt)正交化法把欧几里得空间中的线性无关向量组规范正交化.第七章线性空间与线性变换(P151)线性空间的理论具有高度的概括性和广泛的应用性，是线性代数的中心内容之一.本章将把在第四章中介绍的R n中的有关概念推广，给出更具一般性的线性空间定义，并讨论线性空间中的“极大线性无关组”与“秩”，介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵.一、线性空间的概念及其性质空间是集合，线性空间则是存在“封闭的”线性运算、符合“八条”的集合.线性空间的线性运算与数域密切相关.1. 数域数域K K是一个数集，且(1)0,1∈K；(2) K关于“+,-,×,÷运算”封闭.大家熟知的数域：有理数域Q，实数域R，复数域C.不熟悉的数域：Q(√2)={a+b√2|a,b∈Q}是数域.任意数域都包含有理数域.数域无穷多.2. 线性空间的定义和例子(P152)数域K上的线性空间V K若在非空集合V和数域K上定义了加法“⊕”和数乘法“⊗”两种线性运算：对∀α,β,γ∈V,∀k,l∈K，有唯一的α⊕β∈V和唯一的k⊗α∈V(即运算封闭)，且满足以下八条规律：“⊕”满足交换律α⊕β=β⊕α,∀α,β∈V；“⊕”满足结合律(α⊕β)⊕γ=α⊕(β⊕γ),∀α,β,γ∈V；“⊗”满足分配律k⊗(α⊕β)=(k⊗α)⊕(k⊗β),(k+l)⊗α=(k⊗α)⊕(l⊗α), (kl)⊗α=k⊗(l⊗α),∀α,β∈V,∀k,l∈K；V中有零元素“ο”α⊕ο=α,∀α∈V；每个元素有负元素∀α∈V,∃β∈V,∂α⊕β=ο，并记β=-α；“1⊗V ”的不变性1⊗α=α,∀α∈V ， 则称V 是数域K 上的一个线性空间，记作V K .线性空间也称为向量空间，其中的元素(不论其含义如何)也称为向量. P 151第四章提到的向量空间R n 、齐次线性方程组的解空间V 和L(α1,α2,…,αm )都是线性空间.大家应该知悉的线性空间：1. 矩阵集合R m×n ={(a ij )m×n |a ij ∈R}关于通常的矩阵加法和数与向量的乘法是数域R 上的线性空间. (例7.1 P 152)2. 次数小于n 的所有一元多项式的集合{}n 1in i01n 1i 0R[x]a xa ,a ,,a R --==∈∑关于通常的函数加法与数与函数的乘法是数域R 上的线性空间. (例7.2 P 152)3. 一元多项式的集合{}ii i i 0R[x]a x a R +∞==∀∈∑关于通常的函数加法和数与函数的乘法是数域R 上的线性空间. P 1524. 区间[a,b]上所有连续函数的集合C[a,b]关于通常的函数加法与数与函数的乘法是数域R 上的线性空间. (例7.3 P 152)5. 区间[a,b]上具有一阶连续导数的函数的集合C 1[a,b]关于通常的函数加法与数与函数的乘法是数域R 上的线性空间.6. 数域R 按照数的加法和乘法构成数域R 上的线性空间R n . (例7.4 P 152)大家不熟悉的线性空间：7.正实数集合R +={a|a ∈R 且a>0}是数域R 上的线性空间.这里加法“⊕”和数量乘法“⊗”分别定义为：a ⊕b=ab,k ⊗a=a k ,∀a,b ∈R +,∀k ∈R . (例7.5 P 153)两种运算的封闭性易见，“⊕”的交换律、结合律，“⊗”的分配律易验证. R +有零元素1，每个元素a 有负元素a -1，“1⊗R +”具有不变性：1⊗a=a.3. 线性空间的基本性质(P 153)性质1线性空间中的零向量是唯一的.性质2线性空间中的每一个向量的负向量是唯一的. 性质3 0⊗α=ο, (-1)⊗α=-α,∀α∈V ；k ⊗ο=ο,∀k ∈K . 性质4 若k ⊗α=ο，则k =0或α=ο.* 定义和性质的直接意义：若某个集合不符合定义或性质中的任何一条，则它必不是线性空间.哪些集合不是线性空间？1. 数域R上的所有一元二次多项式的集合2ii0122i0V a x a,a,a R a0==∈≠⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑且不是线性空间.因为V没有零元素.因为V关于函数的加法运算与数乘法运算均不封闭.2. n元非齐次线性方程组的解集合U={x|A x=β}(A∈R m×n)不是线性空间.因为U没有零元素.因为U没有负元素.因为U关于向量的加法运算与数乘法运算均不封闭.3. n阶实可逆矩阵的集合U={(a ij)n×n|a ij∈R且|(a ij)n×n|≠0}不是线性空间.因为U没有零元素.因为U关于矩阵的加法运算与数乘法运算均不封闭.4. 线性子空间(P154)线性空间V的子空间U若(1)U是V的非空子集；(2)U有与V相同的加法运算和数乘法运算；(3) U是线性空间，则称U是V的一个线性子空间，简称子空间. (定义7.2 P154)线性空间V的两个特殊的子空间：零子空间——只由V中零元素构成的子空间；全空间——V自身.零子空间和全空间称为V的平凡子空间，其他的叫V的非平凡子空间. P154定理7.1设U是线性空间V的非空子集，则U是V的子空间的充分必要条件是U对于V的加法和数乘运算是封闭的. (定理7.1 P154)例如，R n×n中的全体对称矩阵(反对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵)构成R n×n的一个子空间，但n阶可逆矩阵(或不可逆矩阵)的集合不是R n×n的子空间.(例7.6 P154)R[x]n是R[x]m(m≥n)的子空间，R[x]m是R[x]的子空间. P155在区间[a,b]上的函数集合C1[a,b]是C[a,b]的子空间. P155这里直接指出：在第三章中讨论n元数组时用到的线性表示、线性相关、线性无关、极大线性无关组和秩等概念都可以推广到线性空间中，由这些定义出发所得到的结论在线性空间中也都成立.设α1,α2,…,αs∈V K是线性空间V K的一组向量，那么集合L(α1,α2,…,αs)={k1α1+k2α2+…+k sαs|k1,k2,…,k s∈K}是线性空间V K的一个子空间，称为由α1,α2,…,αs生成的子空间. P155二、基维数坐标这里直接指出：在第三章中讨论n元数组时用到的线性表示、线性相关、线性无关、极大线性无关组和秩等概念都可以推广到线性空间中，由这些定义出发所得到的结论在线性空间中也都成立.线性空间要么只有零向量，要么有无穷多个向量.有无穷多个向量的线性空间有“极大线性无关组”、“秩”、“坐标”等概念.1. 基维数线性空间的基、维数、坐标的含义如下：基线性空间的“极大线性无关组”. (定义7.3 P155)维数线性空间的“极大线性无关组”中的向量个数. (定义7.3 P155)规定：仅含零向量的线性空间维数为0.如果线性空间有任意多个线性无关的向量，则称为无限维线性空间，维数为+∞. P155例如，R[x],C[a,b]都是无限维的线性空间.n 维数线性空间记为V n .以下仅讨论有限维的线性空间.例如，n 元齐次线性方程组A x =ο的基础解系是其解空间V={x |A x =ο}的基，维数为n-R(A).1,x,x 2,…,x n-1、1,1+x,1+x+x 2,…,1+x+…+x n-1和1,x-1,(x-1)2,…,(x-1)n-1等都是线性空间R[x]n 的基，R[x]n 的维数为n . (例7.7 P 155)100010001000000,,,,,000000000100010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭000001⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性空间R 2×3的一组基，100110,,000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111111111,,,000100110111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是R 2×3的另一组基， R 2×3的维数为6. (例7.8 P 156)一般地，R m×n 是m×n 维线性空间.向量组α1,α2,…,αs 的一个“极大线性无关组”是生成空间L(α1,α2,…,αs )的一组基，R(α1,α2,…,αs )是该生成空间的维数.关于基、维数有以下结论：定理7.2设V n 是n 维线性空间，如果V n 中的向量组α1,α2,…,αm 线性无关，那么在V n 中必有n-m 个向量αm+1,αm+2,…,αn ，使得α1,α2,…,αm ,αm+1,αm+2,…,αn 是V n 的一组基. (定理7.2 P 156)定理7.2既说明基的存在性，同时给出得到基的一种方法.推论1 含有非零向量的线性空间存在基. (倒数第12行 P 156) 推论2 非空的欧氏空间存在规范正交基. (正数第11行 P 167)推论3 如果线性空间U 是线性空间V 的子空间，那么R(U)≤R(V).且若R(U)=R(V)，则必有U=V. (推论 P 156)2.坐标坐标 向量由基线性表示的一组有序数. (定义7.4 P 156)同一个向量会随基的不同而有不同的坐标.例如，1,x,x 2是线性空间R[x]3的一组基，f(x)=-5x 2+3x-2在基1,x,x 2下的坐标为(-2,3,-5)T .而g(x)=2(x+1)2-3(x-4)-2=2x 2+x+12在基1,x,x 2下的坐标是(12,1,2)T ，在另一个基1,x-4,(x+1)2下的坐标则是(-2,-3,2)T . P 157向量111111⎛⎫⎪⎝⎭在R 2×3中基100020,,000000-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭001000000,,,000400020⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭0000010⎛⎫ ⎪⎝⎭下的坐标为(-1,1/2,1,1/4,-1/2,1/10)T ，即11110002000111110000000002000000000111 .40002000104210-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭如果向量ξ在基α1,α2,…,αn 下的坐标为(x 1,x 2,…,x n )T ，仿照矩阵乘法，可以“形式地”记为1212n n x x (,,,)x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξααα.3.线性空间的同构(P 157)坐标的引入，使得n 维抽象空间V n 中的元素与n 元有序数组(即通常意义上的向量)一一对应起来，且元素之间的线性运算也保持对应，这称为同构现象.线性空间U 与V 同构线性空间U 与V 的元素之间存在一一对应关系，且元素之间的线性运算也保持对应. (定义7.5 P 157)设U(11,⊕⊗)与V(22,⊕⊗)同构，且α1,α2∈U, β1,β2∈V,k ∈R ，则11221112221122, k k ↔↔⊕↔⊕⊗↔⊗αβαβαβαβαα线性空间的同构关系具有反身性、对称性、传递性. P 157可见，同一数域上的同维线性空间都同构. 同构的线性空间有相同的线性运算性质. P 158例如，R 2×3与R 6同构，有111211121313212223212223a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫↔ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 111112121111121213131313212122222323212122222323111211121313212223212223a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫↔⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫↔⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎝⎭，.⎪⎪由此可见，R 2×3中向量的线性相关性与在R 6中所对应的向量的线性相关性一致，R 2×3的基与R 6的基对应.三、基变换和坐标变换如果线性空间有非零向量，那么它就有无穷多元素，从而有不同的基，一个元素也会有不同的坐标，由此就有了以下概念.1.基变换(P 158)设α1,α2,…,αn 和β1,β2,…,βn 是线性空间V n 的两组基.基变换基之间的“线性表示”.即(β1,β2,…,βn )=(α1,α2,…,αn )C ， P 144该式称为基变换公式.过渡矩阵构成基变换的矩阵.上式中的C 称为由基α1,α2,…,αn 到基β1,β2,…,βn 的过渡矩阵. (定义7.6 P 159)过渡矩阵是可逆矩阵，因为n=R(β1,β2,…,βn )≤min{R(α1,α2,…,αn ),R(C)}=R(C)≤n.例7.1(例7.9 P 159) 在线性空间R[x]3中，由基1,x,x 2到基1,1+2x,1+2x+3x 2的过渡为(1,1+2x,1+2x+3x 2)=(1,x,x 2)111022003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 111022003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即是由基1,x,x 2到基1,1+2x,1+2x+3x 2的过渡矩阵.例7.2 在线性空间R 2×2中，由基11121001E =,E ,0000=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21220000E ,E 1001==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基121011B ,B ,0000==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭341111B ,B 1011==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的过渡为 (B 1,B 2,B 3,B 4)=(E 11,E 12,E 21,E 22)1111011100110001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，1111011100110001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭即是由基E 11,E 12,E 21,E 22到基B 1,B 2,B 3,B 4的过渡矩阵.2.坐标变换(P 159)坐标变换同一个向量在两组基下的坐标之间的变换.定理7.3 如果向量ξ在基α1,α2,…,αn 与基β1,β2,…,βn 下的坐标分别为x 和y ，那么x =C y ，其中C 是由基α1,α2,…,αn 到基β1,β2,…,βn 的过渡矩阵. (定理7.3 P 159)证 12n 12n 1212n(,,,)(,,,)Cn 1212n n y y (,,,)y x x(,,,)x βββαααβββξααα=⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭=⇒⎨⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩x =C y .例7.3 向量(1,2,1)T 在基e 1=(1,0,0)T ,e 2=(0,1,0)T ,e 3=(0,0,1)T 下的坐标为1,2,1，而基e 1,e 2,e 3到基η1=(1,1,1)T ,η2=(1,1,-1)T ,η3=(1,-1,-1)T 的过渡矩阵为111C 111111=---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 即(η1,η2,η3)=(e 1,e 2,e 3)C ，于是(1,2,1)T 在基η1,η2,η3下的坐标(x 1,x 2,x 3)T 满足(1,2,1)T =C(x 1,x 2,x 3)T .所以(x 1,x 2,x 3)T =C -1(1,2,1)T =(1,1/2,-1/2)T ，其中11011C 0112110-=--⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭.也可以直接求向量(1,2,1)T 在基η1,η2,η3下的坐标.设(1,2,1)T =(η1,η2,η3)(x 1,x 2,x 3)T ，得 (x 1,x 2,x 3)T =(η1,η2,η3)-1(1,2,1)T111111111212111112-=-=---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例7.4(例7.10 P 159) 设121011B ,B ,0000==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭341111B ,B 1011==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是线性空间R 2×2中的一组基，求向量12A 34=⎛⎫⎪⎝⎭在基下的坐标.解 方法一 向量A 在R 2×2中基11121001E =,E ,0000=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21220000E ,E 1001==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下的坐标为(1,2,3,4)T，及基B 1,B 2,B 3,B 4由1112212210010000E =,E ,E ,E 00001001===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭过渡的过渡矩阵为11110111C 00110001=⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，所以向量A 在基B 1,B 2,B 3,B 4下的坐标(y 1,y 2,y 3,y 4)T =C -1(1,2,3,4)T =(-1,-1,-1,4)T ，即A=-B 1-B 2-B 3+4B 4.方法二 设A=y 1B 1+y 2B 2+y 3B 3+y 4B 4，则1234y 11111y 20111y 30011y 40001=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11234y 111111y 011121y 001131y 000144---==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故向量A 在基B 1,B 2,B 3,B 4下的坐标为(-1,-1,-1,4)T .四、线性变换及其矩阵表示线性空间V 到自身的映射称为V 的变换，能够保持线性运算关系的变换是线性变换，它反映线性空间的向量之间重要的、最基本的联系.1.线性变换线性空间V K 的线性变换T 满足线性运算的映射T: V K →V K ：T(α⊕β)=T(α)⊕T(β), T(k ⊗α)=k ⊗T(α),∀α,β∈V K ,∀k ∈K.(定义7.7 P 160)例7.5(例7.11 P 160) 线性空间R n×n 中的映射：T(A)=A T , A ∈R n×n ，是R n×n 中的一个线性变换.例7.6(例7.12 P161) 设A∈R n×n，线性空间R n中的映射：T(α)=Aα, α∈R n是R n中的一个线性变换.例7.7(例7.13 P161) 线性空间R[x]n中的微商运算：D(f(x))=f’(x), f(x)∈R[x]n是R[x]n中的一个线性变换.微商运算不是线性空间C1[a,b]的线性变换.例7.8(例7.14 P161) 设λ∈R，线性空间V n中的映射：T(α)=λα, α∈V n是V n中的一个线性变换. 当λ=1，称T是恒等变换；当λ=0，称T是零变换.线性变换的性质：P161(1)T(ο)=ο；(2)T(-α)=-T(α)；(3)T(k1α1+k2α2+…+k sαs)=k1T(α1)+k2T(α2)+…+k s T(αs).* T(α)=ο推不出α=ο.2.线性变换的矩阵线性变换的像线性空间的元素经线性变换映射的结果.T(α)是元素α经线性变换T : α→T(α)的像.线性变换在基下的矩阵以基表示基的像的矩阵(下式中的A称为线性变换T在基α1,α2,…,αn下的矩阵). (定义7.8 P162)(T(α1),T(α2),…,T(αn))=(α1,α2,…,αn)A.记(T(α1),T(α2),…,T(αn))T(α1,α2,…,αn)，那么 T(α1,α2,…,αn )=(α1,α2,…,αn )A .像在基下的坐标设α=x 1α1+x 2α2+…+x n αn ，并记x =(x 1,x 2,…,x n )T ，则T(α)=T(x 1α1+x 2α2+…+x n αn )=x 1T(α1)+x 2T(α2)+…+x n T(αn )=(T(α1),T(α2),…,T(αn ))x =(α1,α2,…,αn )A x ，所以像T(α)在基下的坐标为A x .例7.9(例7.15 P 162) 在线性空间R[x]n 中，求微商变换D 在基1,x,x 2,…,x n-1下的矩阵. 解 由D(1)=0, D(x)=1,D(x 2)=2x,…,D(x n-1)=(n-1)x n-2，有(D(1),D(x),D(x 2),…,D(x n-1))=(0,1,2x,…,(n-1)x n-2)=(1,x,x 2,…,x n-1)01000020000n 1000-⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 故微商变换D 在基1,x,x 2,…,x n-1下的矩阵为01000020000n 1000-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.类似地可得微商变换D 在基1,x,x 2/2!,…,x n-1/(n-1)!下的矩阵为10000100001000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.例7.10(例7.16 P 163) 求线性空间R 2×2中的线性变换：T(X)=X T , X ∈R 2×2在基111221100100E =,E ,E ,000010==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2200E 01=⎛⎫⎪⎝⎭下的矩阵. 解 由T(E 11)=E 11, T(E 12)=E 21, T(E 21)=E 12, T(E 22)=E 22，得 T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(E 11,E 21,E 12,E 22)=(E 11,E 12,E 21,E 22)100000101000001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭.100000101000001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭即为线性变换T 在基E 11,E 12,E 21,E 22下的矩阵.例7.11(例7.17 P 163)定理7.4(同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系) 设T 是线性空间V n 的线性变换，A,B 分别是T 在基α1,α2,…,αn 和β1,β2,…,βn 下的矩阵，那么B=C -1AC ，其中C 是由基α1,α2,…,αn 到基β1,β2,…,βn 的过渡矩阵. (定理7.4 P 164)证 由 T(α1,α2,…,αn )=(α1,α2,…,αn )A ，T(β1,β2,…,βn )=(β1,β2,…,βn )B ， (β1,β2,…,βn )=(α1,α2,…,αn )C ，得T(β1,β2,…,βn )=T((α1,α2,…,αn )C)=T(α1,α2,…,αn )C=(α1,α2,…,αn )AC =(β1,β2,…,βn )C -1AC.由于线性变换在基下的矩阵唯一，所以B=C -1AC.定理7.4表明，一个线性变换在不同的基下的矩阵相似.例7.12(例7.18 P 165) 设线性空间V 2中的线性变换T 在基α1,α2下的矩阵为12A 05=⎛⎫⎪⎝⎭，求线性变换T 在基β1=α1+2α2,β2=2α1+5α2下的矩阵.解 方法一 因为(β1,β2)=(α1,α2)1225⎛⎫⎪⎝⎭, T(α1,α2)=(α1,α2)A ，所以T 在基β1,β2下的矩阵为 112121251025052501B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.方法二因为(β1,β2)=(α1,α2)1225⎛⎫⎪⎝⎭, T(α1,α2)=(α1,α2)A，所以T(β1,β2)=T(α1,α2)1225⎛⎫⎪⎝⎭=(α1,α2)A1225⎛⎫⎪⎝⎭=(β1,β2)-1121212250525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=(β1,β2)51001⎛⎫⎪⎝⎭，所以T在基β1,β2下的矩阵为51001⎛⎫ ⎪⎝⎭.五、欧氏空间具有度量性质的实线性空间——EuclidV空间(欧氏空间).1.定义和例子首先给出线性空间上的度量定义——内积.内积设V是实数域R上的一个线性空间，在V上定义一个二元函数，记作[α,β]，如果它满足：对∀α,β,γ∈V,∀k∈R，有(1) [α,β]=[β,α](对称性)；(2) [α+β,γ]=[α,γ]+[β,γ], [kα,β]=k[α,β](线性性)；(3) [α,α]≥0.且仅当α=ο时，[α,α]=0(正定性)，则称这个二元函数[α,β]是V上的内积. (定义7.9 P165)Euclid空间定义了内积的实线性空间. (定义7.9 P165)例如，向量空间R n中的内积，除了在第三章已定义的形式：[α,β]=a1b1+a2b2+…+a n b n，(这是常用形式)还可以定义为[α,β]=a1b1+2a2b2+…+na n b n.对应不同内积的欧氏空间被认为是不同的欧氏空间. P166例7.13(例7.19 P166) 在线性空间R[x]n中，定义[f(x),g(x)]=∫-11 f(x)g(x)dx, f(x),g(x)∈R[x]n.[f(x),g(x)]是R[x]n 中的内积，因此R[x]n 是欧氏空间.例7.14 在线性空间R m×n 中，定义mnij ij i 1j 1[A,B]a b ===∑∑, A=(a ij )n ,B=(b ij )n ∈R m×n .[A,B]是R m×n 中的内积，因此R m×n 是欧氏空间. P 166有了内积，在欧氏空间中就可以引入向量长度、向量的夹角等度量性的概念，而且有与R n 中的对应概念完全类似的性质.向量的长(或范数) |α. (定义7.10 P 166)|k α|=k|α|,∀α∈V n ,∀k ∈R .单位向量|α|=1.若α∈V n 且α≠ο，则α/|α|是单位向量. (规范性)向量的夹角<α,β>=arcos([α,β]/|α|·|β|), 0≤<α,β>≤π, α≠ο,β≠ο.(定义7.11 P 166) 易见，<α,β>=π/2 ⇔[α,β]=0, α≠ο,β≠ο.向量正交[α,β]=0. (定义7.12 P 166) 零向量与任意向量正交. 2.规范正交基在Euclid 空间中还有以下概念及结论： 规范向量组 向量长度皆为1的向量组.正交向量组/规范正交向量组向量均非零且互相正交(/既规范又正交)的向量组. (定义7.13 P 167)定理7.5 正交向量组必线性无关. (定理7.5 P 167)正交基/规范正交基 由正交(/规范正交)向量组成的基. (定义7.14 P 167)定理7.6 在欧氏空间中，如果向量组α1,α2,…,αm 线性无关，则有规范正交向量组ε1,ε2,…,εm 与之等价. (定理7.6 P 167)定理7.6表明：任意非零欧氏空间都存在规范正交基.得到规范正交基的方法——Schmidt 正交化法.在欧氏空间中，规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵.例7.15(例7.20 P 167) 在线性空间R[x]3中，按例7.13定义内积，求R[x]3的一个规范正交基. 解 取R[x]3中的一个基：α1=1,α2=x,α3=x 2，令 β1=α1=1，β2=α2-([α2,β1]/[β1,β1])β1=x ，β3=α3-([α2,β1]/[β1,β1])β1-([α2,β2]/[β2,β2])β2=x 2-1/3. 再规范化，得规范正交基：ε1=√2/2,ε2=√6x/2,ε3=3√10(x 2-1/3)/4.六、应用实例[实例7-1]线性变换在二维计算机图形学中的应用 1. 旋转变换x cos sin x y sin cos y 'θ-θ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'θθ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即coc sin 0x x sin coc 0y y 00111'θ-θ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'=θθ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 表示点(x,y)绕原点逆时针旋转θ角得到点(x ,,y ,)，换句话说，坐标系绕原点顺时针旋转θ角，点(x,y)在新坐标系下即为点(x ,,y ,).旋转变换是正交变换.2.伸缩变换x c x y c y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即c0x x c 0y y 111'⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.平移变换00x x x y y y '+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪'+⎝⎭⎝⎭， 即00001x x x x x 1y y y y y 111 1'+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪'==+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.线性变换的复合是线性变换.[实例7-2]调味品配制问题七、习题(P 173) 选择题： 1. A提示：线性空间必有零元素，所以R n 的子空间必包含原点. 2. A提示：(α1+α2,α2+α3,α3+α1)=(α1,α2/2,α3/3)101220033⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.3. A提示：T(α1,α2,…,αn )=(α1,α2,…,αn )A.4.C (注意：当n>2，B 选项也不正确.)5.D (参见例7.20) 填空题：1. a=6提示：α1,α2线性无关，且121012101210110211021102211a 330a 000a 6---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 3提示：3阶反对称矩阵1213122313230a a a 0a a a 0⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭中不同的数有3个. 3.-6,1,1提示：f(x)=x 2+2x-3=(x 2+x+2)+(x+1)-64.2312⎛⎫⎪--⎝⎭提示：(β1,β2)=(α1,α2)C ，即1111C 1201⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.5.012122111⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭提示：T(α1,α2,α3)=(000111,,010101--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭) =(101111,,000001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭)012122111⎛⎫ ⎪--- ⎪⎪⎝⎭解答题：1.(1)V={P(x)|P(x)=ax 2+bx+cx,a,b,c ∈R,a≠0}不是线性空间.因为若P(x)∈V ，则-P(x) ∈V ，但P(x)+(-P(x))=0∉V ，即V 关于多项式的加法运算不封闭. 因为P(x)∈V,0∈R ，但0·P(x)=0∉V ，即V 关于数与多项式的乘法运算不封闭. 因为V 没有零元素：P(x),-P(x)∈V ，但P(x)+(-P(x))=0∉V.(2)V={x |A x =β,β≠ο}不是线性空间.因为x ,y ∈V ，但x +y ∉V ，即V 关于向量的加法运算不封闭.因为x ∈V,0∈R ，但0x =ο∉V ，即V 关于数与向量的乘法运算不封闭. 因为V 没有负元素：x ∈V ，但-x ∉V. 因为V 没有零元素：A ο≠β，故ο∉V.(3)V={A|A ∈R n×n 且|A |≠0}不是线性空间.因为若A ∈V ，则-A ∈V ，但A +(-A)=O ∉V ，即V 关于矩阵的加法运算不封闭. 因为A ∈V,0∈R ，但0A=O ∉V ，即V 关于数与矩阵的乘法运算不封闭. 因为V 没有零元素：A ∈V ，则-A ∈V ，但A +(-A)=O ∉V .(4)V 1={A|A ∈R 3×3且A=A T }是线性空间. 因为V 1⊂R 3×3，R 3×3是线性空间，且A,B ∈V 1, k ∈R ⇒ A+B ∈V 1, kA ∈V 1，所以V 1是R 3×3的子空间.因此V 1是线性空间.V 2={A|A ∈R 3×3且A=-A T }是线性空间. 因为V 2⊂R 3×3，R 3×3是线性空间，且A,B ∈V 2, k ∈R ⇒ A+B ∈V 2, kA ∈V 2，所以V 2是R 3×3的子空间.因此V 2是线性空间.(5) V={X|XA=AX, A=1002⎛⎫⎪⎝⎭, X ∈R 2×2}是线性空间. 设X=a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭，则由XA=AX ⇒X=a d ⎛⎫⎪⎝⎭.由于R 2×2是线性空间，且A,B ∈V, k ∈R ⇒ A+B ∈V, kA ∈V ，所以V 是R 2×2的子空间. 因此V 是线性空间.2. (4)V 1的一组基为100000000000,010,000,000000001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 010*********,001,000000010100⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， R(V 1)=6.V 2的一组基为010*********,001000000010100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，R(V 2)=3.(5)V 的一组基为10,01⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，R(V)=2.3. 提示：即求α1,α2,α3,α4的“极大线性无关组”及其“秩”.4. (1) V1是R n的子空间.因为V1⊂R n，且∀x=(0,x2,…,x n)T,y=(0,y2,…,y n)T∈V1, k∈R，有x+y=(0,x2+y2,…,x n+y n)T∈V1,k x=(0,kx2,…,kx n)T∈V1.(2)V2不是R n的子空间.因为x=(1,x2,…,x n)T,y=(1,y2,…,y n)T∈V2，但x+y=(2,x2+y2,…,x n+y n)T∉V2.因为x∈V2, k∈R，但0x=(0,0,…,0)T∉V2.因为V2没有零元素：(0,0,…,0)T∉V2.因为V2没有负元素：x=(1,x2,…,x n)T∈V2，但-x=(-1,-x2,…,-x n)T∉V2.(3)V3是R n的子空间.因为V3⊂R n，且∀x=(x1,x2,…,x n)T,y=(y1,y2,…,y n)T∈V3, k∈R，有x+y=(x1+y1,x2+y2,…,x n+y n)T,k x=(kx1,kx2,…,kx n)T,其中x1+y1+x2+y2+…+x n+y n=0, kx1+kx2+…+kx n=0，所以kx1,kx2,…,kx n∈V3, k x∈V3.(4)V4不是R n的子空间.因为x=(1,0,…,0)T, y=(0,1,…,0)T∈V4，但x+y=(1,1,…,0)T∉V4.因为x∈V4, k∈R，但0x=(0,0,…,0)T∉V4.因为V4没有负元素：例如x=(1,0,…,0)T∈V4，但-x=(-1,0,…,0)T∉V4.(5)V5是R n的子空间.因为V5⊂R n，且∀x=(x,2x,…,nx)T, y=(y,2y,…,ny)T∈V5, k∈R，有x+y=(x+y,2(x+y),…,n(x+y))T∈V5,k x=(kx,2kx,…,nkx)T∈V5.(6)V6是R n的子空间.因为V6⊂R n，且∀x=(x1,y1,…,y1)T, y=(x2,y2,…,y2)T∈V6, k∈R，有x+y=(x1+x2,y1+y2,…,y1+y2)T∈V6,k x=(kx1,ky1,…,ky1)T∈V6.5. (1) V1是n-1维线性空间.e2,e3,…,e n是V1的一组基.因为x=(0,x2,…,x n)T=x2e2+ x3e3+…+x n e n.(3)V3是n-1维线性空间.(1,0,…,0,-1)T, (0,1,…,0,-1)T,…, (0,0,…,1,-1)T是V3的一组基.因为x=(x1,x2,…,x n)T∈V3，总有(x1,x2,…,x n)T=x1(1,0,…,0,-1)T+x2(0,1,…,0,-1)T+…+x n-1(0,0,…,1,-1)T.(5)V5是1维线性空间，x=(1,2,…,n)T是V5的一组基.因为x=(x,2x,…,nx)T=x(1,2,…,n)T.(6) V6是2维线性空间，(1,0,…,0,0)T, (0,1,…,1,1)T是V6的一组基.因为x=(x,y,…,y)T=x(1,0,…,0,0)T+y(0,1,…,1,1)T.6. 提示：(1)由于α1,α2,α3,α4∈R4，且(α1,α2,α3,α4)11111111212101411110020101110111----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111110111011100230023007400013----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪→→⎪ ⎪---- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以R(α1,α2,α3,α4)=4，故α1,α2,α3,α4是线性空间R4的一组基.(2)设β=(α1,α2,α3,α4)x.由于(α1,α2,α3,α4,β)10001010020010100013⎛⎫⎪⎪→⎪-⎪⎝⎭行变换，所以β在基α1,α2,α3,α4下的坐标为(1,2,-1,3)T.7. 提示：1,(x-a),(x-a)2,…,(x-a)n-1∈R[x]n.令k1+k2(x-a)+…+k n(x-a)n-1=0，显然有k1,k2,…,k n=0，故1,(x-a),(x-a)2,…,(x-a)n-1线性无关.设∀f(x)=a0+a1x+…+a n-1x n-1∈R[x]n，则f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+…+f(n-1)(a)(x-a)(n-1)/n!.因此，1,(x-a),(x-a)2,…,(x-a)n-1是线性空间R[x]n的一组基，且f(x)=1+x+…+x n-1在此基下的坐标为(1+a+…+a n-1, 1+2a+…+(n-1)a n-2,…,1)T.8. 提示：(1)设(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C，则过渡矩阵C=(α1,α2,α3)-1(β1,β2,β3)=…(2)设α=(α1,α2,α3)x，则α在基α1,α2,α3下的坐标为x=(α1,α2,α3)-1α=…设α=(β1,β2,β3)y，则α在基β1,β2,β3下的坐标为y=(β1,β2,β3)-1α=……或y=(β1,β2,β3)-1α=C-1(α1,α2,α3)-1α=C-1x=……9. 提示：(1)(α1,α2,α3)=(1,1+x,1+x+x2)=(1,x,x2)111 011 001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⇒过渡矩阵C=111011001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.(2)因为3+2x+x 2=(1,x,x 2)321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(α1,α2,α3)1111310112100111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以向量3+2x+x 在基α1,α2,α3下的坐标为(1,1,1)T .10. 提示：(1)、(3)、(4)是；(2)不是.(注：当n≠2时，(4)不是.)(2)因为T(A+B)=A+B+1101⎛⎫ ⎪⎝⎭=T(A)+T(B)-1101⎛⎫⎪⎝⎭≠T(A)+T(B).因为T(kA)=kA+1101⎛⎫ ⎪⎝⎭≠k A+k 1101⎛⎫ ⎪⎝⎭=kT(A) (当k≠1).(4)设A=11122122a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,B=11122122b b b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A *=22122111a a a a -⎛⎫⎪-⎝⎭,B *= 22122111b b b b -⎛⎫ ⎪-⎝⎭,(A+B)*=2222121221211111a b (a b )(a b )a b +-+⎛⎫ ⎪-++⎝⎭，且T(A+B)=(A+B)*=A *+B *,T(kA)=(kA)*=kT(A).11. 提示：首先求基在线性变换T 下的像：T(E 11),T(E 12),T(E 21),T(E 22)，然后将其表示为T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(E 11,E 12,E 21,E 22)C ，那么C 即为所求矩阵.(1)T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(1111⎛⎫ ⎪--⎝⎭,0101⎛⎫ ⎪-⎝⎭,1111⎛⎫ ⎪⎝⎭,0101⎛⎫⎪⎝⎭)=(E 11,E 12,E 21,E 22)1010111110101111---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭， 所以线性变换T 在该基下的矩阵为1010111110101111---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭.(3) T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(2000⎛⎫ ⎪⎝⎭,0110⎛⎫ ⎪⎝⎭,0110⎛⎫ ⎪⎝⎭,0002⎛⎫⎪⎝⎭)=(E 11,E 12,E 21,E 22)2000011001100002⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭. 所以线性变换T 在该基下的矩阵为2000011001100002⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.(4)T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(0001⎛⎫⎪⎝⎭,0100-⎛⎫ ⎪⎝⎭,0010⎛⎫ ⎪-⎝⎭,1000⎛⎫⎪⎝⎭) =(E 11,E 12,E 21,E 22)000010000101000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭１. 所以线性变换T 在该基下的矩阵为000010000101000⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪-⎝⎭１.12. 提示：T(ε1)=(1,1,1)T , T(ε2)=(2,-1,1)T , T(ε3)=(0,0,1)T ，T(ε1,ε2,ε3)=( (1,1,1)T , (2,-1,1)T , (0,0,1)T )=(ε1,ε2,ε3)120110111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.则120110111⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭即为所求矩阵.13. 提示：(1)因为T(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)120111011-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以线性变换T 在基ε1,ε2,ε3下的矩阵为120111011-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.(2)因为(η1,η2,η3)=(ε1+ε2+ε3,ε1+ε2,ε1)=(ε1,ε2,ε3)111110100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，所以T(η1,η2,η3)=T(ε1,ε2,ε3)111 110 100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,ε2,ε3)120111011-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭111110100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=(η1,η2,η3)1111110100-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭120111011-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭111110100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=010 111 012⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭，所以线性变换T在基η1,η2,η3下的矩阵为010 111 012⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭.14. 提示：依题意有T(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)111213212223313233a a aa a aa a a⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(1)因为(ε3,ε2,ε1)=(ε1,ε2,ε3)001010100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，所以T(ε3,ε2,ε1)=T(ε1,ε2,ε3)001 010 100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,ε2,ε3)111213212223313233a a aa a aa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭001010100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=(ε3,ε2,ε1)1111213212223313233001a a a001 010a a a010 100a a a100-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=(ε3,ε2,ε1)111213212223313233001a a a 001010a a a 010100a a a 100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=(ε3,ε2,ε1)333231232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭333231232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭即为所求矩阵. (2)因为(ε1,k ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)1000k 0001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，所以T(ε1,k ε2,ε3)=T(ε1,ε2,ε3)1000k 0001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,ε2,ε3)111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000k 0001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,k ε2,ε3)11000k 0001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000k 0001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,k ε2,ε3)10001k 0001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000k 0001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,k ε2,ε3)111213212223313233a ka a a k a a k a ka a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以111213212223313233a ka a a k a a k a ka a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭即为所求矩阵. (3)因为(ε1+ε2,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)100110001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，所以T(ε1+ε2,ε2,ε3)=T(ε1,ε2,ε3)100110001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,ε2,ε3)111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1+ε2,ε2,ε3)1100110001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1+ε2,ε2,ε3)100110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1+ε2,ε2,ε3)11121213211122122212231331323233a a a a a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪-+--- ⎪ ⎪+⎝⎭， 所以11121213211122122212231331323233a a a a a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪-+--- ⎪ ⎪+⎝⎭即为所求矩阵.15.提示：T(x 2e x ,2xe x ,e x )=((x 2+2x)e x ,(x+1)e x ,e x )=(x 2e x ,xe x ,e x )100210011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，100210011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即为所求矩阵.16.提示：(α1,α2,α3,α4)=2141r r r 2r 11101110102101110111011123110111--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()3242123r r r r r r r 11110121011101110000000000000000++-⨯-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪---- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 故由α1,α2,α3,α4生成的子空间V 的一组基为(1,1,0,2)T ,(1,0,1,3)T .正交化：(1,0,1,3)T -7(1,1,0,2)T /6=(-1,-7,6,4)T /6 // (-1,-7,6,4)T 单位化：√6(1,1,0,2)T /6,√102(-1,-7,6,4)T /102.故空间V 的一组规范正交基为√6(1,1,0,2)T /6, √102(-1,-7,6,4)T /102.17. 提示：先求出一个基础解系，然后正交化、规范化.18. 证明 []T A A ,A (A )A α=αα=ααT T T (A A)=αα=αα=α.19. 提示：(1)关于y 轴对称；(2)投影到x 轴； (3)关于直线y=x 对称； (4)逆时针旋转900.20. 提示：由T(A,B,C,D)=(A ’,B ’,C ’,D ’)，有T((x,y)T )=A(x,y)T .(1)T((x,y)T )=(-x,y)T =10x 01y -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)T((x,y)T )=(x,2y)T =10x 02y ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (3)T((x,y)T )=(2x+2y,-x+y)T =22x 11y ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭.21. 参见P 171页上的例7.21.八、计算实践实践指导：(1)理解线性空间、线性子空间、基、维数和坐标等概念，会求线性空间的基、维数和坐标；(2)了解基变换和坐标变换，会求基的过渡矩阵； (3)了解线性变换的概念，会求线性变换的矩阵；(4)了解内积、Euclid 空间的概念，会用施密特（Schmidt ）方法将线性无关的向量组正交标准化； (5)了解标准正交基、正交矩阵的概念及它们的性质，会求标准正交基.例7.1 设A,B 都是n 阶正交矩阵，证明： (1) A T 是正交矩阵；(2)A -1是正交矩阵； (3)AB 是正交矩阵；(4)A O O B ⎛⎫ ⎪⎝⎭是正交矩阵.提示：(1)A 是正交矩阵 ⇒A T A=E ⇒A T (A T )T =E ⇒A T 是正交矩阵. (2)A 是正交矩阵⇒A -1(A T )-1=A -1(A -1)T =E ⇒A -1是正交矩阵. (3) AB 是正交矩阵⇒AB(AB)T =ABB T A T =E ⇒AB 是正交矩阵.(4) AB 是正交矩阵⇒TT T A O A O A O A O E O B O B O B OB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒A O O B ⎛⎫⎪⎝⎭是正交矩阵.例7.2 设A=(a ij )n 为正交矩阵，证明： (1)det(A)=1或det(A)=-1；(2)当det(A)=1时，a ij =A ij ；当det(A)=-1时，a ij =-A ij ，其中A ij (i, j=1,2,…,n )是元素a ij 的代数余子式. 提示：A 是正交矩阵 ⇔A T A=E ⇒det 2(A)=1⇒det(A)=±1. 另一方面，由A *A=det(A)E ，得A *=det(A)A -1=det(A)A T ，故ij ij ijij A a , A 1,A a ,A 1.⎧==⎪⎨=-=-⎪⎩当当例7.3 设A,B 都是n 阶正交矩阵，且det(A)+det(B)=0，证明：det(A+B)=0. 提示：det(A)+det(B)=0 ⇒det(A)·det(B)=-1. 再由 B T (A+B)A T =B T +A T =(A+B)T⇒det(B)·det (A+B)·det(A)=det (A+B) ⇒-det (A+B)=det (A+B) ⇒det (A+B)=0。
高等数学(东北大学出版社)第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案
第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案第1章函数、极限与连续习题1.1⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？（1）yx =与是同一函数 （2）y x =与y=（3）2111x y x x -=-+与y=不是同一函数 （4）22ln ln y x x =与y=不是同一函数⒉指出下列函数的定义域. （1）43)(+=x x f 的定义域是),34[+∞- （2）xx f -=11ln )(的定义域是)1,(-∞（3）)1ln()(2-=x x f 的定义域是),2[]2,(+∞⋃-∞（4）)arcsin(ln )(x x f =的定义域是],1[e e -（5）若)(x f 的定义域是]4,4[-，则)(2x f 的定义域是]2,2[-（6）若)(x f 的定义域是]3,0[a ，则)()(a x f a x f -++的定义域是]2,[a a3.判别下列函数的奇偶性.（1）()sin f x x x =+是奇函数 （2）()cos f x x x =⋅是奇函数（3）()2f x x x =-是非奇非偶函数 （4）()1lg 1x f x x-=+是奇函数（5）()cos(sin )f x x =是偶函数 （6）()sin x f x x=是偶函数（7）())f x x =是奇函数 （8）()f x =⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的. （1）sin y x =在其定义域内不是单调的 （2）arcsin y x =在其定义域内是单调递增的 （3）2y x x =-在其定义域内不是单调的（4）0≠a 时，ax ye =在其定义域内是单调的，其中0<a 时，axy e =在其定义域内是单调递减的，0>a 时，axy e =在其定义域内是单调递增的5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界. （1）),1(1+∞=在区间xy 上有界（2）)10,1()12ln(在区间-=x y 上有界 （3）)4,3(3-=在区间x y 上有界（4）)1,1(),,(),0,(sin -+∞-∞-∞=在区间x y 上分别有界 6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期.（1）sin 3yx =是周期函数，最小正周期是32π（2）cos y x =是周期函数，最小正周期是π（3）tan 2y x =是周期函数，最小正周期是2π （4）ln(cos 2)y x =+是周期函数，最小正周期是π7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.（1）2),2arcsin()(x u u u f =+=不可以构成复合函数 （2）x u u u f 2sin ),1ln()(=-=不可以构成复合函数（3）221ln,)(x u u u f +==不可以构成复合函数（4）212,arccos )(xxu u u f +==可以构成复合函数 8.将下列复合函数进行分解.（1）对复合函数43)(2--=x x x f 的分解结果是：43,)(2--==x x u u x f（2）对复合函数32)(-=x e x f 的分解结果是：32,)(-==x u e x f u（3）对复合函数()ln(23)f x x =-的分解结果是：32,ln )(-==x u u x f（4）对复合函数()arcsin(1)f x x =+的分解结果是：1,sin )(+==x u u acc x f9.求函数值或表达式. （1）已知函数12)(,2)0(,4-)2(,0)2(,12)(222+-===-=+-=x x x f f f f x x x f 则.（2）已知函数0)(,22)4(,0)1(,1,01,sin )(===⎩⎨⎧≥<=ππf f f x x xx f 则.（3）已知函数21-)21arcsin (,sin )(=-=f x x f 则.（4）已知函数x x f 2cos )(sin =，则[]1,1,21)(2-∈-=x x x f习题1.21.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限.（1） ,67,51,45,31,23,1:n x 没有极限 （2）n x n 1=有极限，01lim =∞→nn （3）2sin πn x n =没有极限 （4）1)1(3+-=n n x nn 有极限，0]1)1[(lim 3=+-∞→n n n n 2.分析下列函数的变化趋势，求极限（1）01lim2=∞→x x （2）011lim =++∞→x x （3）+∞=++∞→)2ln(lim x x （4）2232lim=++-∞→x x x3.图略，)(lim 0x f x →不存在4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？（1）0→x 时，2100x 是无穷小量 （2）+→0x 时，x2是无穷大量（3）∞→x 时，112--x x 是无穷小量 （4）+∞→x 时，xe 是无穷大量 （5）∞→n 时，3)1(2+-n n n 是无穷大量 （6）∞→x 时，x x sin 是无穷小量（7）∞→x 时，x 1sin 是无穷小量 （8）0→x 时，12-x 是无穷小量5.已知函数2)3(1)(--=x x x f ，则)(x f 在-∞→x 或+∞→x 或∞→x 的过程中是无穷小量，在-→3x 或+→3x 或3→x 的过程中是无穷大量？6. 当1x →-时，无穷小1x +与下列无穷小是否同阶？是否等价？（１）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小31x +同阶，但不等价 （２）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小21(1)2x -同阶，而且等价习题1.31.设函数x x f =)(，则xt x f t x f t 21)()(lim0=-+→2.设函数⎩⎨⎧<+≥+=2,122,1)(2x x x x x f ，则5)(lim ,5)(lim ,5)(lim 222===→→→+-x f x f x f x x x .3.求下列各式的极限：（1）15)52(lim 22=+--→x x x （2）3213lim 2421-=++-→x x x x（3）35)321(lim 0=--→x x （4）242lim 22=+-∞→x x x x （5）2111lim 220-=+-→x x x （6）21)21(lim 222=+++∞→nn n n n （7）1122lim2=-+++∞→x x x x （8）311lim 31=--→x x x （9）61)319(lim 2=-++∞→x x x x （10）112lim1=---→x x x x （11）201020101032)53()32()1(lim =---+∞→x x x x 4.已知516lim21-=-+-→x ax x x ，则7=a . 5.2)(lim 2=-++∞→x kx x x ，则4=k .6.求下列极限：（1）252sin 5sin lim 0=→x x x （2）1sin 2tan lim 0=-→x xx x（3）43cos cos lim 20=-→x x x x （4）2)sin()2tan(lim 230=-+→x x x x x （5）11sin lim =⋅∞→xx x （6）0sin sin lim 0=+-→x x xx x（7）323arcsin 2lim 0=→x x x （8）21sin tan lim 30=-→xx x x 7.求下列极限：（1）82)41(lim e x x x =+∞→ （2）21)21(lim --∞→=-e xx x（3）3220)33(lim -→=-e x x x （4）21)11(lim --∞→=+-e x x x x（5）5ln 51)ln 1(lim e x xx =++→ （6）e x x x =+→sec 2)cos 1(lim π8.用等价无穷小替换计算下列各极限：（1）236arctan lim0=→x x x （2）214lim 20=-→x x e x（3）22cos 1lim 20=-→x x x （4）21)21ln(lim 0=-+→x x e x 习题1.41.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,31,11)(2x x x x x f ，则()f x 在1=x 处不连续．2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？（1）函数11)(2-=x x f 的间断点有点1-=x 和点1=x ，它们都是第二类间断点中的无穷间断点（2）函数xe xf 1)(=的间断点有点0=x ，它是第二类间断点（3）函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点有点0=x 和点1=x ，其中点0=x 是第二类间断点中的无穷间断点，点1=x 是第一类间断点（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=1,01,11)(2x x x x x f 的间断点有点1-=x ，它是第一类间断点中的可去间断点（5）函数⎩⎨⎧>≤+=0,20,2)(2x x x x f x的间断点有点0=x ，它是第一类间断点中的跳跃间断点（6）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,32,24)(2x x x x x f 的间断点有点2=x ，它是第一类间断点中的可去间断点3.设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin )(x x x x k x xxx f ，当1=k 时，函数)(x f 在其定义域内是连续的.4.求下列极限：（1）42arccoslim 21π=+→x x x （2）0sin lg lim 2=→x x π （3）021lim cos sin 0=+-→x x x e e （4）2ln ln )1ln(lim 1=-+→xxx x（5）2121lim 224=+++∞→x x x x （6）11lim 1=--→x xx x（7）e x x e x 1ln lim =→ （8）4arctan lim 1π=→x x5.（略）6.（略）复习题1一、单项选择题1.下列函数中（C ）是初等函数.（A ）)2arcsin(2+=x y （B ）⎩⎨⎧∈∉=Q x Qx x f 10)(（C ）12+-=x y （D ）⎩⎨⎧>+<≤=1110)(2x x x x x f2.下列极限存在的是（B ）.（A ）xx 4lim ∞→ （B ）131lim 33-+∞→x x x （C ）xx ln lim 0+→ （D ）11sin lim 1-→x x 3.当0x →时，2tan x 与下列（D ）不是等价无穷小.（A ）2tan x （B ）2x （C ）2sin x （D ）2cos x 4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B ）.（A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 5.已知0sin lim2x axx→=,则常数=a （C ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 6.闭区间[,]a b 上的连续函数()y f x =在[,]a b 上一定是（C ）.（A ）单调函数 （B ）奇函数或偶函数（C ）有界函数 （D ）周期函数 二、填空题1.设10()20x x x f x x +-∞<≤⎧=⎨<<+∞⎩， 则(2)f = 4 .2.函数5cos 3y x =是由简单函数 x v v u u y 3,cos ,3=== 复合而成的. 3.点1x =是函数1,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩ 的第一类间断点中的跳跃 间断点.4.当x ∞- 时，函数3xy =是无穷小.5.极限 2lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭= 2e.6.函数ln(4)y x =-的连续区间为 [)4,1.三、计算下列极限1.24231x x x x -++=0 2.223lim 2x x x →--不存在 3.2211lim 21x x x x →---21= 4.22356lim 815x x x x x →-+-+ 5.1)2(1lim 22=---∞→x x x x 6.4281lim5x x x x →∞-++ 不存在 7.63132lim1=--+→x x x 8.231lim (3cos )1x x x x →∞+++=0 9.21sin cos 1lim0=-→θθθθ 10.1cos lim =-∞→x x x x 11.212sin )1ln(lim0=+→x x x 12.21)81221(lim 32=---→x x x13.320lim(12)xx x →-3-=e 14.122lim(1)xx x-→∞- 1-=e15.11lim x x x x +→+⎛⎫⎪⎝⎭e = 16.1lim()1xx x x →∞-+ 2-=e 四、综合题1.函数2101()11x x f x x x ⎧-≤≤=⎨+>⎩在点1=x 处不连续，在点2=x 处连续，函数的图像略。
东北大学高等数学（下册）试卷答案及评分标准
东北大学高等数学（下册）试卷答案及评分标准2006．7．12一、选择题 (本大题6小题, 每小题4分, 共24分)1．)(B ； 2．)(A ； 3．)(C ；4．)(B ；5． )(D ；6. )(A 。
二．填空题（本大题5小题, 每小题4分, 共20分）1. 154221--=-=-z y x ；2．22-；3.44a π；4． λ=３；x x e C e C 321*.4+-；5．８． 三、（8分) 求过点M(3, 1, -2)且通过直线12354z y x =+=-的平面方程 所求平面的法线向量与直线12354z y x =+=-的方向向量s 1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, -2)和(4, -3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s 2=(4, -3, 0)-(3, 1, -2)=(1, -4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为-------------2分k j i k j i s s n 229824112521--=-=⨯=. ------------6分 所求平面的方程为8(x -3)-9(y -1)-22(z +2)=0, 即8x -9y -22z -59=0.------------8分三、（8分) 求微分方程x y y x sin 2=+'的通解 解：把方程改写为x x y x y sin 2=+', 则------------2分 )sin (22C dx e xx e y dx x dx x +⎰⋅⎰=⎰- )s i n (12C x d x x x+=⎰-----------6分 )cos (sin 12C x x x x+-=------------8分四．（8分) 设方程0>a ，a z a 2≤<，az z y x 2222=++，求全微分与dz 及y x z ∂∂∂2． 解：dy za y dx z a x dz -+-= 于是z a x x z -=∂∂，za y y z -=∂∂------------4分()()22z a y z x z a z a x y y x z -∂∂+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂∂()()()()322z a xy z a z a z a y xz a -+-=--+-=------------8分 五．（8分)计算σd y x y D ⎰⎰-22, 其中D 是由直线y =x 、x =1及y =0围成的闭区域.解 画出区域D , 可把D 看成是X --型区域: 0≤x ≤1, 0≤y ≤ x 于是⎰⎰⎰⎰-=-xD dy y x y dx d y x y 0221022σ ------------4分 ⎰⎰=-⋅-=103100232231)(3221dx x dx y x x 121=.------------8分 六．（8分) 设,0>a ,L 为圆ax y x 222=+逆时针方向一周，求⎰-L ydx x xdy y 22．解 y x P xy Q 22==, 22x y y P x Q +=∂∂-∂∂, ------------2分 由Green 公式有⎰-L y d x x x d y y22=dy dx x y D⎰⎰+)(22 =dr r d a ⎰⎰θπθcos 203202------------6分=⎰2044cos 4πθθπd a=443a π------------8分七．（８分）将函数xx f 431)(+=，展开为)2(+x 的幂级数并给出收敛域． 解：5)2(41151)2(451431+-⋅-=++-=+x x x ------------2分 ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=05)2(451n nx∑∞=++-=01)2(54n n n nx ------------6分收敛域满足 15)2(4<+x 解出得 43413-<<-x ------------8分 八．（8分)设0>a ，物体占有空间Ω是由yoz 坐标面上曲线az z y 222=+绕z 轴旋一周所形成的曲面所围成的闭区域，体密度函数为常数0ρ，求该物体对于坐标原点的转动惯量． 解：所求转动惯量为⎰⎰⎰Ω++=dv z y x I )(22200ρ，:Ωaz z y x 2222≤++------------2分利用球坐标替换，有dr r r d d I a ⎰⎰⎰=ππθϕϕθρ2020cos 202200sin ⎰=20550sin cos )2(512πϕϕϕπρd a ------------6分 2065506cos 522πϕπρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a 501532a πρ=------------8分 九．（８分）设曲面为抛物面)10(122≤≤--=z y x z ，取上侧 计算dxdy dzdx y dydz x 22233++⎰⎰∑．解：补充平面)1(0:220≤+=∑y x z 取下侧，则0∑与∑围成空间区域Ω 于是 ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-=00I ------------2分π2)(622++=⎰⎰⎰Ωdv y x πθπ2621031020+=⎰⎰⎰-dz r dr d r ------------6分ππ2)(121053+-=⎰dr r r πππ32=+=------------8分。
东北大学-数值分析-课后习题详细解析
2-6(1).给定方程组
10 2 x y 1
x
y
2
a.用Cramer法则求其精确解. b.用Gauss消元法和列主元
Gauss消元法求解,并比较结果.(用两位浮点计算).
解 a.x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899
b.用Gauss消元法
7
10 2 x y 1
1.01
1.01
1.01
1
0.66
0.995
0.66
1.17
2
0.67
1.17
0.553333
1.223333
3
0.553333
1.165
0.517778
1.241111
4
0.556667
1.223333
0.505926
1.247037
5
0.517778
1.221667
0.501975
1.249012
解 有效数位分别为: 3位,1位,0位.
1
1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效
数字?
解 因为101/2=3.162…=0.3162…10,若具有n位有效数字,
则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
解 (1)J迭代法和G-S迭代法的迭代格式分别为
x(k 1
x(k 2
1) 1)
3
2
x
(k 2
)
2 1.5x1(k)
计算结果如下:
k
东北大学线性代数第四章课后习题详解线性方程组
基本教学要求：1.理解非齐次线性方程组有解的充分必要条件，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件.2.理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念.3.理解非齐次线性方程组解的结构及通解等概念.4.掌握用线性方程组的初等变换求通解的方法.第四章 线性方程组一、线性方程组1. 线性方程组的表示形式(1)代数形式 11112121n n 12112222n n 2m11m22mn n m a x a x a x b ,a x a x a x b ,a x a x a x b .+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (4.1)记()11121n 21222n 12n m1m2mn a a a a a a A ,,,a a a ∆⎛⎫ ⎪ ⎪==ααα ⎪⎪⎝⎭()()11121n 121222n 212n m1m2mnm a a a b A a a a b B ,,,,a a a b ∆⎛⎫⎧β⎪⎪⎪==⎨ ⎪⎪αααβ⎪⎩⎝⎭(2)矩阵形式Ax =β. (4.2)(3)向量形式1122n n x x x α+α++α=β. (4.3)2. 基本概念非齐次线性方程组——当(4.1)式中的12m b ,b ,,b 不全为零. 齐次线性方程组——当(4.1)式中的12m b ,b ,,b 全为零.线性方程组的解(解向量)——使(4.1)式成立的12n x ,x ,,x 的一组取值12n c ,c ,,c (T 12n (c ,c ,,c )).解线性方程组(4.1)是指求解的集合(简称解集合).同解线性方程组——解集合完全相同的线性方程组.系数矩阵/增广矩阵——由变量前的系数构成的矩阵A/由变量前的系数与右端常数构成的矩阵B. 线性方程组的初等变换——互换两个方程的位置；用一个不为零的数乘某个方程； 某个方程的倍数加到另一个方程.二、解线性方程组解线性方程组涉及三个问题：1.解的存在性问题；2.解的数目问题；3.解的结构问题. 1. 解的存在性问题(P 86)注意到，线性方程组经初等变换得到的是同解方程组.即()()C C 0Ax CAx C A CA C ≠=β⇔=βββ可逆一般地，对于增广矩阵(A )β，存在可逆矩阵C ，使C 0(A )(CA C )≠ββ=不妨设r E A OO''β⎛⎫⎪''β⎝⎭， (4.4)1即 12x A x ,Ax .''+=β⎧=β⇔⎨''ο=β⎩ (4.4)2其中T T 11r 2r 1n x (x ,,x ),x (x ,,x )+==.由此可见，若''β=ο，则方程组有解，此时R (A)R (A )=β；若''β≠ο，方程组无解，此时R (A)1R (A )+=β.即有如下结论：定理4.1(解的存在定理) 线性方程组(4.2)有解的充分必要条件是R(A)=R(A β). (定理4.1 P 86)例4.1(例4.1 P 86) 判定线性方程组123123123 x 2x 3x 1,2x 3x 4x 5, x 3x 5x 1+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩是否有解.解 2131r 2r r r 12311 23 1(A )234501 2313510 122----⎛⎫⎛⎫⎪⎪β=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭32311 23101 2 30 0 0 1---⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭r r r r R(A)=2, R(A β)=3，故无解.2. 解的数目问题方程组(4.2)有解，即同解方程组(4.4)2有解.当r=n 时，由式(4.4)2得同解方程组x '=β，此时方程组有唯一解x '=β. (4.5)1若r<n ，同解方程组为12x A x ''+=β，亦即12x A x ''=β-， (4.5)2其中T T 11r 2r 1n x (x ,,x ),x (x ,,x )+==，此时有无穷多解，称1x 为固定变量，2x 为自由变量.令22x =c ，带入(4.5)2，即得全部解(称为通解)1n r 2x A c,c R x c,-''=β-⎧∈⎨=⎩. (4.6)定理4.2(解的数目定理) n 元线性方程组(4.2)当R(A β)= R(A)=n 时有唯一解；当R(A β)=R(A)<n 时有无穷多个解. (定理4.2 P 88)定理4.3 n 元齐次线性方程组A x =ο，当R(A)=n 时只有零解；当R(A)<n 时有无穷多个解. (定理4.3 P 88)例4.2(例4.2 P 88) λ为何值时，线性方程组123412341234 x 2x 3x x 1,3x 5x 6x 2x 5,2x 3x 3x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+-+=λ⎩ 有解？并在有解时求出全部解.解 1231 1(A )3562 52331 -⎛⎫⎪β=- ⎪ ⎪-λ⎝⎭2131r 3r r 2r 1 23 1 1 01 31 2 01 3 1 2λ---⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪---⎝⎭12322r 2r r r r (2)10 31 5 013 1 2 00 0 0 4λ+-⨯--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭所以，当λ=4时，R(A)=R(A β)=2，方程有无穷多解，通解为112212123142x 53c c ,x 23c c ,c ,c R x c ,x c ,=-+⎧⎪=-+-⎪∈⎨=⎪⎪=⎩.例4.3(例4.3 P 88) 齐次线性方程组123123123x x +x 0,x x +x 0,x x +x 0λ+=⎧⎪+λ=⎨⎪+λ=⎩ 是否有非零解？3. 解的结构问题(1)齐次线性方程组解的结构解的性质：记V {x Ax }==ο——解集合(V 是向量空间，见本章第三节).，则有 ①如果12,V ξξ∈，那么12V ξ+ξ∈； ②如果V,k ξ∈为任意常数，那么k V ξ∈.推论 齐次线性方程组的任意有限个解的任意线性组合仍然是它的解(P 89).定义4.1 V 的“极大线性无关组”称为齐次线性方程组A x =ο的基础解系. (定义4.1 P 89)定义4.1表明，当A x =ο有无穷多解，其任意一个解都可由其基础解系线性表示.定理4.4(基础解系存在定理) 对于n 元齐次线性方程组A x =ο，如果R(A)=r<n ，则它有基础解系，且基础解系含n-r 个解向量. (定理4.4 P 90)A x =ο的通解(全部解的一般表达式)为(P 91)1122n r n r c c c --ξ+ξ++ξ， 12n r c ,c ,,c R -∈，其中12n r ,,,-ξξξ为A x =ο的一个基础解系.例4.4(类似例4.4 P 91) 解齐次线性方程组12345123451234512345 x x x x x 0,2x x x x 4x 0,4x 3x x x 6x 0, x 2x 4x 4x x 0.+--+=⎧⎪++++=⎪⎨+--+=⎪⎪+---=⎩ 解 213141r 2r r 4r r r 11111111112111401332A 43116013321244101332-------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=→⎪ ⎪--- ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭3212422(1)1111110223013320133200000000000000000000r r r r r r r -++---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.R(A)=2<5，故有无穷多解，同解方程组为13452345334455x 2x 2x 3x ,x 3x 3x 2x x x ,x x ,x x .=---⎧⎪=++⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩ 通解为12312345x 223x 332x c 1c 0c 0010x 001x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，123c ,c ,c R ∈. (其中(-2,3,1,0,0)T , (-2,3,0,1,0)T , (-3,2,0,0,1)T 是一个基础解系.)例4.5(例4.5 P 92) 设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4)，α1,α2线性无关，α1+α2+α3+α4=ο，α1+2α2-α3-2α4=ο，求齐次线性方程组A x =ο的通解.解 分析：求通解的关键是 .已知条件表明 .(2)非齐次线性方程组解的结构 称A x =ο为A x =β的导出组.解的性质：若记C {x Ax }==β——解集合(C 不是向量空间，见本章第三节)，则 ①如果12,C ξξ∈，那么12V ξ-ξ∈； ②如果C,V η∈ξ∈，那么C η+ξ∈；③如果0C η∈，那么A x =β的任意一个解η都可以表示为0η=η+ξ，其中V ξ∈.A x =β的通解为(P 93)01122n r n r c c c --η+ξ+ξ++ξ，12n r c ,c ,,c R -∈.其中0η是A x =β的一个解(称为特解)，12n r ,,,-ξξξ是A x =ο的一个基础解系.例4.6 解线性方程组123412341234 x 2x 4x 3x 1,3x 5x 6x 4x 1,4x 5x 2x 3x 2.++-=⎧⎪++-=⎨⎪+-+=-⎩ 解 12 431(A )35 641452 32-⎛⎫⎪β=- ⎪ ⎪--⎝⎭213132122r 3r r 4r r 3r r 2r (1)r 1 2 4310165203181561 0873016520 0 00 01 08 730 1 65 20 0 0 0 0---+--⎛⎫⎪→--- ⎪⎪---⎝⎭--⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪⎝⎭--⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭R(A β)=R(A)=2<4，有无穷多解，同解方程组为1342343344x 38x 7x ,x 26x 5x ,x x ,x x .=-+-⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 通解为121234x 387x 265c c x 010001x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12c ,c R ∈.(其中(-3,2,0,0)T 为特解，(8,-6,1,0)T , (-7,5,0,1)T 为导出组的一个基础解系.)例4.8(例4.7 P 94) 问a,b 为何值时，线性方程组123412341234234 x x x x 0,2x 3x x 4x 1,3x 2x ax x b, 2x 2x ax 2+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪-+=⎩ 无解？有唯一解？有无穷多个解？并在有无穷多个解时，求其通解.解 方法一(cramer 法则)4221313242c c c c c c c c c c 2111110002314211132a 131a 31022a022a 210002100(a 4).31a 4002a 4---+--=------==----所以，当a ≠4时，方程组有唯一解.而当a=4时，11110111102314101121(A )3241b 0112b 1022a202242⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪β=→⎪ ⎪--+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭10211011210000b 100000--⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪⎝⎭. 可见，当b ≠-1时，R(A)=2<R(A|β)=3，此时方程组无解；当b=-1时，R(A)=R(A β)=2，方程组有无穷多个解，同解方程组为1342343344x 12x x ,x 1 x 2x ,x x ,x x .=--+⎧⎪=+-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 通解为 121234x 12 1x 112c c x 01 000 1x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 12c ,c R ∈.方法二(初等变换法 P 94)例4.9(例4.6 P 93) 设η1=(1,1,1,1)T , η2=(1,2,3,4)T , η3=(1,-1,2,3)T 都是4元非齐次线性方程组的A x =β的解，且R(A)=2，求方程组A x =β的通解.解 分析：三个解η1,η2,η3说明 ，R(A)=2则说明 .三、向量空间什么是向量空间？向量空间是符合一定条件的集合.为什么讲向量空间？当集合为向量空间时，该集合中的任意一个元素都可由该集合中的“极大线性无关组”线性表示.定义4.2 设V 是非空的n 维向量集合，如果V 对向量的加法和数乘运算是封闭的，则称V 是向量空间. (定义4.2 P 95)集合V 对向量的加法和数乘运算是封闭的是指： (1)如果,V αβ∈，那么V α+β∈； (2)如果V,k R α∈∈，那么k V α∈.例如，齐次线性方程组的解集合V 是向量空间，故也称为解空间；非齐次线性方程组的解集合C 不是向量空间.n 维向量集合R n 是向量空间.由向量组α1,α2,…,αm 的任意线性组合组成的集合L(α1,α2,…,αm )={k 1α1+k 2α2+…+k m αm |k 1,k 2,…,k m ∈R}是一个向量空间，称为由向量α1,α2,…,αm 生成的向量空间.例4.10(例4.8 P 96)定义4.3 设V 和U 是向量空间，如果V ⊂U ，则称V 是U 的子空间. (定义4.3 P 96)例如，n 元齐次线性方程组的解空间V 就是n 维向量空间R n 的一个子空间.定义4.4 向量空间V 的“极大无关组”称为V 的基，“极大无关组”的秩r 称为V 的维数，V 则称为r 维向量空间. (定义4.4 P 96)规定：不存在基的向量空间(即仅含零向量的向量空间)的维数为0.正交基——由正交向量组构成的基 规范正交基——由规范正交向量组构成的基例如，n 元齐次线性方程组的解空间V 是n-R(A)维向量空间，基础解系即是V 的基.R n 是n 维向量空间，标准单位向量组ε1,ε2,…,εn 即是R n 的一组规范正交基.生成空间L(α1,α2,…,αm )是R(α1,α2,…,αm )维向量空间，α1,α2,…,αm 的极大线性无关组即是L(α1,α2,…,αm )的基.例如，集合V 1={(0, a 2,…,a n )|a 2,…,a n ∈R}是向量空间，标准单位向量组e 2,…,e n 是V 1的一组规范正交基，V 1是n-1维向量空间.定义4.5 设α1,α2,…,αr 是向量空间V 的一个基，那么V 中向量α可以表示为α=x 1α1+x 2α2+…+x r αr ，称x 1,x 2,…,x r 为向量α在基α1,α2,…,αr 下的坐标. (定义4.5 P 97)例4.11(例4.9 P 97)解 分析：向量组是基的条件 .如果β1,β2,…,βr 是向量空间V 的另一组基，那么存在可逆矩阵C ，使(β1,β2,…,βr )=(α1,α2,…,αr )C . (4.10)C 称为由基α1,α2,…,αr 到基β1,β2,…,βr 的过渡矩阵.式(4.10)称为基变换公式.设向量α在基β1,β2,…,βr 下的坐标为(y 1,y 2,…,y r )T ，那么1122r r112212r 12r r r y y y y y yy (,,,)(,,,)C y y α=β+β++β⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=βββ=ααα ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是，α在基α1,α2,…,αr 下的坐标1122r r x y x y C x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4.11) 式(4.11)称为坐标变换公式.例4.12(例4.10 P 98) 已知向量空间R 3中的两个基：α1=(1,0,0)T ,α2=(-1,1,0)T ,α3=(-1,-1,1)T ，e 1=(1,0,0)T , e 2=(0,1,0)T , e 3=(0,0,1)T ，求由基α1,α2,α3到基e 1,e 2,e 3的过渡矩阵，并求向量β=(1,2,3)T 在基α1,α2,α3下的坐标.解 α1=e 1，α2=-e 1+e 2，α3=-e 1-e 2+e 3，即(α1,α2,α3)=(e 1,e 2,e 3)111011001--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.于是由基α1,α2,α3到基e 1,e 2,e 3的过渡矩阵C 为1111112011011001001---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .令β=x 1α1+x 2α2+x 3α3，则β在基α1,α2,α3下的坐标为(x 1,x 2,x 3)T =(α1,α2,α3)-1β=C (e 1,e 2,e 3)-1β= C β=(9,5,3)T .四、习题(P 101)选择题：1.提示：(1,0,1,0)T 是A x =ο的基础解系，则有α1+α3=ο ⇒ 排除A,C与 R(A)=4-1=3 ⇒1234*****A O R(A )1R(A )4R(A),,,1A A O A x 0α⎧≠⇒≥⎪⎧≤-=⎨⎪=⇒⎨⎪=ααα⎪⎩⎩的解都是 ⇒ R(A *)=1 ⇒ 排除B ，选D2. 提示： C 0r 12E A b (A b)(CA Cb)=O O b ≠⎛⎫'→ ⎪⎝⎭不妨 有解表明R(A)=R(A b )，对任意的b 都有解则表明R(A b )=m. 选B3. 选D4. 选C5. 选D6. 提示：|A|=0且A ij ≠0 ⇒ R(A)=n-1 ⇒ 选A7. 选C8. 选C9. 选B10. 选D11. 提示：|A|=0 ⇒ R(A)<nD i ≠0 ⇒ R(A|b )=n 选A12. 选C填空题：1. k=n-r ， r=n2. r=n r<n3. 提示：A 是正交矩阵且a 11=1 ⇒ a 12=a 13=a 21=a 31=0⇒ A(1,0,0)T =(a 11,a 21,a 31)T =(1,0,0)T =b4. 提示：AB=O ⇒ B 的列向量都是A x =ο的解B ≠O ⇒ A x =ο有非零解 ⇒ R(A)<m 或 |A|=05. 提示：AB=AC ⇒ A(B-C)=O ⇒ R(A)<n6. a=-2解答题：2.(3) 解 2131r 4r r 3r 11026110264111105172531100041618------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭23223123r 15r 4r r r r r r (5)11026011755001221001101017001210⨯-++-⨯---⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪--⎝⎭-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭R(A)=R(A|β)<4，有无穷多解.同解方程组为14243444x x 1,x x 7, x 2x 10,x x .=+⎧⎪=-⎪⎨=+⎪⎪=⎩ 通解为(1,-7,10,0)T +c(1,1,2,1)T , c ∈R .3. 提示：32121r r 2r r 4r 10110141224122614230001---λλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪λ+→λ+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ+-λ+⎝⎭⎝⎭4. 提示：向量β能不能由向量组α1,α2,α3线性表示等同于非齐次线性方程组(α1,α2,α3)x =β是否有解.1 1 1 11 1 11 2a 2 b+2 30 a b+4103a a 2b 303a a 2b 311 110a b+4100a+5b+120--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--+-⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭(1)当a=0且b ≠-12/5时， 11 1111110a b+4100 1000a+5b+12000 01--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有R(A)=2<R(A β)=3，此时β不能由向量组α1,α2,α3线性表示.(1) (2)当a+5b+12=0时，R(A)=R(A β)=2，这时β能由向量组α1,α2,α3线性表示，但表示式不唯一.由(2) 11 11 0a b+4100a+5b+12011 1 1101(b 4)a 1101(b 4)a 1a 01 1 1,a 000 0 000 0 0111 1110(b 5)(b 400 114)00 0 0-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭---+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+→-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→-++⎛⎫ ⎪+→ ⎪ ⎪⎝⎭)001 1(b 4),a 0000 0⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩有 1211(1)a a β=-α+α 或 13b 51b 4b 4+β=α+α++. (3) (3)当a(a+5b+12)≠0时，R(A)=R(A β)=3，这时β能由向量组α1,α2,α3唯一线性表示.由11 1111 1 1 0a b+4101(b+4)a 1a 00a+5b+12000 1 010011a 010 1a 001 0--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭， (4) 有1211(1)a aβ=-α+α. (5) 5.提示：方程组(Ⅱ)的系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=3.因为方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)同解，所以它们的解也是方程组[(Ⅰ)+(Ⅱ)]的解，从而方程组[(Ⅰ)+(Ⅱ)]满足：系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=3.23123415161425263r 2r r r r r r r 2r r 2r r (a 1)r r r r r 111111006601212010540012100121 1a1110a 100021b 1401b 212223c 1001c 21100660105400121000--------+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭---→-53r (b 2)r 5(a 1)4(a 1)00b 242000c 401006601054001210005(a 1)4(a 1)0002(4b)b 4000c 40--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-→ ⎪--- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭因为系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=3，所以a-1=0,b-4=0,c-4=0 ⇒ a=1,b=c=4.6. 提示：BA 的行向量都是方程组P x =ο的解⇒ P(BA)T =P(A T B T )=OB ⇒可逆 PA T =O⇒ A 的行向量也都是方程组P x =ο的解7. 提示： AB=O ⇒ B 的列向量都是方程组A x =ο的解B ≠O ⇒ 方程组A x =ο有非零解 ⇒ R(A)<n ，故|A|=08. 提示：设A=(α1,α2,…,αn )，并取x =e i (i=1,2,…,n)，那么由A x =ο即得αi =ο(i=1,2,…,n)，所以A=O.9. 提示：由A η=b ⇒ a=c.10. 提示：11a 14(A B)=1a 112a 1122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭123r r r a 2a 2a 2001a 112a 1122+++++⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭32r 2r a 2a 1a 2a 100000000000000012112121121101021122033060110211100000120000411100140010a 1012a 1a 1a 1002212010a 1a 12100+=-=≠-≠⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→--→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪→---- ⎪ ⎪---⎝⎭→----2a 1a 1⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪- ⎪⎪--⎪⎝⎭⎩⎩当a=1时，无解；当a ≠-2且a ≠1时，解唯一；当a=-2时，解不唯一.11. 提示：A ηi =β(i=1,2,…,n)⇒ A(k 1η1+k 2η2+…+k s ηs )=(k 1+k 2+…+k s )β=β⇔ k 1+k 2+…+k s =112. 解 A 的各行元素之和都等于零，即A (1,1,…,1)T =οT ，所以(1,1,…,1)T 是A x =ο的解.另因R(A)=n-1，所以(1,1,…,1)T 是基础解系.于是A x =ο的通解为c(1,1,…,1)T ,c ∈R .13. 提示：设B=(β1,β2,…,βs )，则AB=O ⇔ A(β1,β2,…,βs )=O⇔ A βi =ο，i=1,2,…,s ，⇒ B 的各列都是A x =ο解⇒ R(B)≤n-R(A)⇒ R(A)+R(B)≤n14. 提示：n ijlj j 1A 0,a A 0,i,l 1,2,,n,i l ====≠∑()n ijlj j 1T k1k2kn R(A)n,a A 0,i,l 1,2,,n R(A)n,A A ,A ,,A =⇒<==⇒<=ο∑ 又 ()kl k1k2kn R(A)n 1,A 0A ,A ,,A .≥-⎧⎪≠⇒⎨≠ο⎪⎩ 所以R(A)=n-1，且(A k1, A k2, …,A kn )T 是A x =ο的一个基础解系.15. 提示：234123,,R(A)32⇒ααα⎧=⎨α=α-α⎩线性无关T 1232A(1,2,1,0)α=α-α⇒-=ο，T 1234A(1,1,1,1)β=α+α+α+α⇒=β，故A x =β的通解为(1,1,1,1)T + c(1,-2,1,0)T , c ∈R .16. 提示：因为A≠O,AB=O ，所以R(A)≥1, R(A)+R(B)≤3，因此R(B)≤2.于是若k≠9，则R(B)=2,R(A)=1，此时A x =ο的通解为c 1(1,2,3)T +c 2(3,6,k)T , c 1,c 2∈R.若k=9，则R(B)=1.那么(1)当R(A)=2时，A x =ο的通解为c(1,2,3)T , c ∈R ；(2)当R(A)=1时，A x =ο的同解方程为ax+by+cz=0，通解为c 1(b,-a,0)T +c 2(c,0,-a)T , c 1,c 2∈R .17. V 1是n-1维向量空间，一个基为(1,0,…,0,-1)T , (0,1,…,0,-1)T ,…, (0,0,…,1,-1)T .V 2不是.18. 提示：(1) 因为(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C ，所求过渡矩阵为C=(α1,α2,α3)-1(β1,β2,β3)=…(2) 设α=(α1,α2,α3)x ，则x =(α1,α2,α3)-1α=…19. 提示：设采购前后仓库A,B,C 三件物品的件数分别为x 0,y 0,z 0和x 1,y 1,z 1，则x 1=0.3y 0+0.5z 0+x 0, y 1=0.3x 0+y 0, z 1=0.6y 0+z 0，即x 0+0.3y 0+0.5z 0 =290,0.3x 0+ y 0 =330,0.6y 0+ z 0=380.五、计算实践实践指导：(1)了解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件.(2)理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念.(3)理解非齐次线性方程组解的结构及通解等概念.(4)掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法.例4.1 a,b 为何值时，线性方程组123123123123(1a)x x x 1, 2x (2a)x 2x 2, 3x 3x (3a)x 3,4x 4x 4x (4a).+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++=+⎩ 无解，有解？并在有解时求其解.解 ()1a 11122a 22A 333a 34444a +⎛⎫ ⎪+ ⎪β= ⎪+ ⎪+⎝⎭10a 10a 10a 10a 22a 22333a 34444a ++++⎛⎫ ⎪+ ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭. 当a≠-10时，111122a 22(A )333a 34444a ⎛⎫ ⎪+ ⎪β→ ⎪+ ⎪+⎝⎭11111,a 0111111a a 1111a 0,a 000⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪→≠⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪→⎨ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩ ⇒ 当a≠-10且a≠0，无解；当a=0，有无穷多个解，通解为(1,0,0)T +c 1(-1,1,0)T +c 2(-1,0,1)T , c 1,c 2∈R.当a=-10时，()9111010201028221411A 337301510000000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪β→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 14111411012102010320032000000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1011100140101201012002320013400000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⇒ 当a=-10，有唯一解(-1/4,-1/2,-3/4)T .例4.2 证明：*n,R(A)n, R(A )1,R(A)n 1,0,R(A)n 1.=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩证 *AA A E = ******ij **ij R(A)n A 0A R(A )nAA O R(A)R(A )n R(A)n 1R(A )1A 0R(A )1R(A)n 1A 0A O R(A )0=⇒≠⇒⇒=⎧=⇒+≤⎪=-⇒⇒=⎨∃≠⇒≥⎪⎩<-⇒∀=⇒⇒=可逆＝六、知识扩展1.设A 是m×n 矩阵，B 是n×m 矩阵，则线性方程组AB x =ο[D ].(A)当n>m 时仅有零解；(B)当n>m 必有非零解；(C)当n<m 时仅有零解； (D)当n<m 时必有非零解. （2002 数三）提示：AB 是m×m 矩阵，R(AB)≤min{ R(A), R(B)}⇒ 当m≤n ，R(AB)≤m ，由此推不出R(AB)=m 或必≠m ⇒ 排除A,B ；当n≤m ，R(AB)≤n ⇒ AB x =ο有非零解 ⇒ 排除C ，故选D.2.设A 是m×n 矩阵，A x =ο是A x =β的导出组，则下列结论正确的是[D ].(A)若A x =ο仅有零解，则A x =β有唯一解；(B)若A x =ο有非零解，则A x =β有无穷多个解；(C)若A x =β有无穷多个解，则A x =ο仅有零解；(D)若A x =β有无穷多个解，则A x =ο有非零解.提示：由(A)、(B)推不出R(A)=R(A β)；由(C)、(D)可推出R(A)<n ，故选(D).3.非齐次线性方程组A x =β中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵的秩为r ，则[A ].(A) 当r=m 时, 则A x =β有解；(B) 当r=n 时, 则A x =β有唯一解；(C) 当n=m 时, 则A x =β有唯一解；(D) 当r<n 时, 则A x =β有无穷多个解.（1997 数四）提示：由(B)、(C)、(D)推不出R(A)=R(A β)，而由(A)可推出R(A)=R(A β)= m ，故选(A).4.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵A *≠O ，若η1,η2,η3,η4是非齐次方程组A x =β的互不相等的解，则对应的齐次方程组A x =ο的基础解系[B ].(A)不存在；(B )仅含一个非零解向量；(C)含有两个线性无关的解向量；(D)含有三个线性无关的解向量.提示：A *≠O ⇒ R(A)≥n -1η1,η2,η3,η4是互不相等的解 ⇒ R(A)<n⇒ R(A)=n-1 ⇒ A x =ο的基础解系仅含一个非零解向量，故选D.5.已知非齐次线性方程组123412341234 x x x x 14x 3x 5x x 1ax x 3x bx 1+++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有3个线性无关的解，(1)证明方程组系数矩阵A 的秩R(A)=2；(2)求a,b 的值及方程组的通解.提示：(1)非齐次线性方程组有3个线性无关的解, 所以其导出组至少有两个解，因此R(A)≤2.又()21321r 4r r 1a r ar 11111(A )43511a 13b 111111011530042a b 4a 542a -+---⎛⎫ ⎪β=-- ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪--+--⎝⎭⇒ R(A)≥2 ⇒ R(A)=2(2) R(A)=R(A β)=2 ⇒42a 0a 2b 4a 50b 3-==⎧⎧⇒⎨⎨-+-==-⎩⎩1111112064(A )43511011532133100000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪β=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是通解为(-4,0,3,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(-6,0,5,1)T , c 1,c 2∈R.6.已知四元齐次线性方程组(Ⅰ) 12312342x 3x x 0 x 2x x x 0+-=⎧⎨++-=⎩和另一个四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系α1=(2,-1,a+2,1)T , α2=(-1,2,4,a+8)T ，(1)求方程组(Ⅰ)的一个基础解系；(2)当a 为何值时，方程组(Ⅰ) 与(Ⅱ)有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解. （2002 数四）提示：(1) (Ⅰ)的一个基础解系为β1=(5,-3,1,0)T , β2=(-3,2,0,1)T .(2) 设方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解，于是将(Ⅱ)的通解k 1α1+k 2α2代入(Ⅰ)中，得()()()112a 1k 0a 1k a 1k 0+=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩ 当a≠-1时，k 1=k 2=0，则(Ⅰ)与(Ⅱ)无非零公共解；当a=-1时，k 1,k 2任意，故此时(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解，且全部非零公共解为k 1α1+k 2α2，k 1,k 2为不全为零的任意实数.7.已知向量组β1=(0,1,-1)T ,β2=(a,2,1)T ,β3=(b,1,0)T 与向量组α1=(1,2,-3)T ,α2=(3,0,1)T ,α3=(9,6,-7)T 有相同的秩，且β3可由α1,α2,α3线性表示，求a,b 的值. (2000 数二） (答案：a=15,b=5)提示：()123123αααβββ1390ab 206121317110⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭ 11103122130124220002a 13b 5⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⇒ R(A)=2因β3可由α1,α2,α3线性表示，故b-5=0，即b=5.()123123αααβββb 51100310a 150=-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭ 因为R(A)=R(B)=2，故a-15=0，即a=15.8.设A 是实方阵，证明：线性方程组A x =ο与A T A x =ο是同解方程组. （2000数三） 提示：显然A x =ο的解是A T A x =ο的解；反之，若x 是A T A x =ο的解，则x T A T A x =0 ⇔ |A x =ο|=0 ⇔ A x =ο，故x 也是A x =ο的解.9.设向量组(α1,α2,…,αt )是齐次线性方程组A x =ο的一个基础解系，向量β不是方程组A x =ο的解.证明：向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt 线性无关.提示：方法一由α1,α2,…,αt 是齐次线性方程组A x =ο的一个基础解系，β不是方程组A x =ο的解，知β,α1,α2,…,αt 线性无关.令k 0β+k 1(β+α1)+k 2(β+α2)+…+k t (β+αt )=ο即(k 0+k 1 +k 2+…+k t )β+k 1α1+k 2α2+…+k t αt =ο01t 011t t k k k 0k 0 k 0k 0k 0k 0+++==⎧⎧⎪⎪==⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎩⎩ 故向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt 线性无关.方法二由α1,α2,…,αt 是齐次线性方程组A x =ο的一个基础解系，β不是方程组A x =ο的解，知β,α1,α2,…,αt 线性无关.另有()()()()12t 12t t 1t 1 ,,,,111010,,,,BK 001∆+⨯+ββ+αβ+αβ+α⎛⎫ ⎪ ⎪=βααα= ⎪ ⎪⎝⎭ 而K 可逆，故β,β+α1,β+α2,…,β+αt 线性无关.10. 设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，若秩T AR R(A)α⎛⎫= ⎪αο⎝⎭，则线性方程组[D ].(A) A x =α必有无穷多个解；(B) A x =α必有唯一解；(C) T Ax y α⎛⎫⎛⎫=ο ⎪⎪αο⎝⎭⎝⎭仅有零解； (D) T Ax y α⎛⎫⎛⎫=ο ⎪⎪αο⎝⎭⎝⎭必有非零解. （2001 数三） 提示：T AR R(A)α⎛⎫= ⎪αο⎝⎭ ⇒ T A R n 1α⎛⎫<+ ⎪αο⎝⎭ ⇒ 排除C ，选D 此外，由T AR R(A )R(A)α⎛⎫≥α≥ ⎪αο⎝⎭⇒ R(A α)= R(A) ⇒ A x =α有解，但不能确定是有唯一解，还是有无穷多个解，故排除A,B .11. 设α=(1,2,1)T ,β=(1,1/2,0)T ,γ=(0,0,8)T ,A=αβT ,B=βT α，求解方程2B 2A 2x =A 4x +B 4x +γ. 提示：241120A 210,B 2,A 2A,A 8A 1120⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭方程化简为8(A-2E)x =γ，解之得x =(1/2,1,0)T +c(1,2,1)T , c ∈R.12.设11a A 010,b 1111λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=λ-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ⎝⎭⎝⎭，已知线性方程组A x =b 存在2个不同的解，(Ⅰ)求λ和a ；(Ⅱ)求方程组A x =b 的通解. (2010(一)(二)(三))13.设矩阵222a 1a 2a A 1a 2a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程A x =b ，其中x =(x 1,x 2,…x n )T ,b=(1,0,…,0)T ， (1)求证|A|=(n+1)a n ； (2)a 为何值时，方程组有唯一解？求x 1；(3)a 为何值时，方程组有无穷多解？求通解. (2008(一)(二)(三))提示：(1)2222n2a12a130a1a2a2Aa2a11a2aa2a 2a130a124(n1)a.a31n10an====++或22n n-1n-22n2n n-1n-1n-221n222nnn2a1a2aD2aD a D1a2aD aD a(D aD)a(D aD)a(3a2a)aD(n1)a.--==-⇒-=-=-=-=⇒=+(2)当a≠0时，方程组有唯一解，根据Cramer法则，得n1n11nnD na nxD(n1)a(n1)a--===++.(3)当a=0时，方程有无穷多解，通解为x=(0,1,0,…,0)T+c(1,0,0,…,0)T, c∈R.。
高等数学第五章课后习题答案
班级姓名学号1 第五章定积分1．证明定积分性质：òò=b abadxx f kdx x kf )()(（k 是常数）. 证：òåòå=D =D ==®=®banii ban ii x kf x kf x f k x f k)()(lim )(lim )(1010x x l l 2．估计下列积分值：（1）dxx )sin 1(4542ò+p p解：令x x f 2sin 1)(+=，则02sin cos sin 2)(===x x x x f ‘得驻点：,,221p p==x x 由23)4(,23)4(,1)(,2)2(====p p p pf f f f ，得2)(max ,1)(min ==x f x f 由性质，得pp p p2)(454££òdx x f （2）ò333arctan xdxx 解：令x x x f arctan )(=，01arctan )(2>++=xxx x f ‘，所以)(x f 在]333[，上单调增加，p p33)(max ,36)(min ==\x f x f ，）（）（33333arctan 33336333-££-\òp pxdx x ，即pp32a r c t a n 9333££òx d x x班级班级 姓名姓名 学号学号3．比较下列积分值的大小：．比较下列积分值的大小： （1）dx x ò12与dxx ò13解：当10££x 时，有23x x £，且23x x -不恒等于0，0312>-\òdx x x ）（，即，即 dxx dxx òò>1212。
（2）ò6pxdx 与ò6sin pxdx解：当60p££x 时，有x x £sin ，且x x sin -不恒等于0，0sin 10>-\òdx x x ）（，即，即 dx x dx x òò>1010sin 。
东北大学高等数学期末考试试卷(含答案)
东北大学高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．．
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
3．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
4．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
5．不定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
6．不定积分 ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
7．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
8．函数的单调减少区间是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
9．函数的图形如图示，则是函数的
( )．
A、最大值点
B、极大值点
C、极小值点也是最小值点
D、极小值点但非最小值点
【答案】C
10．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
11．微分方程的通解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
一、一选择题
12．函数的定义域为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
13．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
14．不定积分.
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题
15．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C。
高等数学课后习题及参考答案(第五章)
高等数学课后习题及参考答案（第五章）习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1)xdx ba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)取分点为n i x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .3. 利用定积分的几何意义 说明下列等式: (1)1210=⎰xdx ; (2)41102π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解 建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21arctan )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx , 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2,41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上 f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a ba dx x g dx x f )()(, 则在[ab ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx dy x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0;当4π=x 时, 224sin =='πy .2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xy ttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解 方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y , 于是ye x dx dy cos -=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0.因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x x dtt dxd cos sin 2)cos(π.解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ )cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-= )sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx xx ;解852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ;解94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+=.(4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+ax a dx 3022;解aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.(7)⎰-1024x dx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx .(8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 01301221224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=.(9)⎰---+211e xdx ; 解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .(10)⎰402tan πθθd ;解4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |;解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx xπππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. (12)⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 2111)(2x x x x x f . 解38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;(2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;(4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdxcos 1cos 1=+-=ππk kk k(3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;(2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k .(3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k .9. 求下列极限: (1)xdt t xx ⎰→020cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)22222200022)(2lim)(limx xt x t x xt xt x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→222220202lim2limx xt x x x xt x xedte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式,并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解 当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ,316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解 当x <0时,00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ;当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x a dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ.于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=.由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内)]()([1)(≤--='ξf x f a x x F .习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ2)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.(4)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰262cos ππudu ;解2626262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228;解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 12424224212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰. (10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--223cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 20230223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x .解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解 因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-224cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x . (3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解 因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明 因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明 令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明 令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dxx dx. 证明 令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111xx xdt t dt t tx dx , 而 ⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111,所以 ⎰⎰+=+1112211x xxdx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.证明 令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.证明 ⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sin xdx xdx xdx nn n,而⎰⎰⎰⎰==---=2020202sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明 已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 证明 设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e.(3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰342sin ππdx xx;解34343434342sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππxxdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx x x; 解 ⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx x x x xd dx xx )12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d x x x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x. (7)⎰202cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==202202202202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x xx 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t tx dxx te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt e t .因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1ee e e e -=---++-=.(12)⎰-1022)1(dx xm (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(1022π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解 因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sin tdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m 令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===20200sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m mmm (用第8题结果).根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解 因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解 因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解 因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解 因为1]1111[21][21ch 2)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt e pt pt ωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102xx x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散. (9)⎰-211x xdx ;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解 这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解 当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k k k x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点,同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解 因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解 函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解 对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解 绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解 函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim 101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n n n p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→10ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰xx x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim )(lim )(lim a af x xf dt t f a x dt t f x dt t f a x x xaa x xa a x x a a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则). (5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim 22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx xx d x dx ;解 计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解 计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解 不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明 因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba ba ba ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222。
(完整)东北大学历年期末高等数学试题
八、高等数学试题 2005/1/10一、填空题（本题20分，每小题4分）1．已知==⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→a a x a x xx ，则9lim2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1112)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。
3．方程017=-+x x 共有 个正根。
4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2的曲率最大。
5．⎰=20sin πxdx x 。
二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ）（A ）若a x n n =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，则a x n n =∞→lim ；（B ）发散数列必然无界；（C ）若a x n n =-∞→13lim ，a x n n =+∞→13lim ，则a x n n =∞→lim ；（D ）有界数列必然收敛。
2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（ ）。
（A ）0)(0='x f ； （B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在； （D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。
3．函数⎰=xa dt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ）（A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。
4．设⎰-+=2242cos 1sin ππxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin ππdx x x N ，⎰--=22432)cos sin (ππdx x x x P ，则必有关系式（ ）（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。
东北大学概率论与数理统计课后习题答案
求P(B). 解 由于 P(AB)=P(A)＋P(B)－P(A＋B) =P(A)＋P(B)－1+P(A＋B) =P(A)＋P(B)－1+P(A B)
所以, P(A)＋P(B)－1=0
即, P(B)＝1－P(A)＝1－p
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第一章习题1.3(第19页)
2. 在1500个产品中, 有400个次品, 1100个正品, 从中
=1, 2, 3,… ，A={1, 2, 3}
(3)把单位长度的一根细棒折成 三段, 观察各段的长度,
A表示“三段细棒能构精选成课件一个三角形”.
1
=(a, b, 1－a－b)|a, b>0且a+b<1,
=(a, b, c)|a, b, c>0且a+b＋c＝1,
A={(a, b, 1－a－b)|0<a, b<0.5且a+b>0.5}
(2) P=3/12=1/4＝0.25
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6. 假设2个叫Davis的男孩, 3个叫Jones的男孩, 4个叫Smith
的男孩随意地坐在一排9座的座位上. 那么叫Davis的男孩
刚好坐在前两个座位上, 叫Jones的男孩坐在挨着的3个座
位上, 叫Smith的男孩坐在最后4个座位上的概率是多少?
任取200个, 求: (1) 恰有90个次品的概率; (2) 至少有2个
高等数学李伟版课后习题答案第五章.
习题5—1(A．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）如果函数仅在区间上有界，它在上未必可积，要使其可积，它在上必须连续；（2）如果积分（）存在，那么；（3）性质5也常称为积分不等式，利用它（包括推论）结合第三章的有关知识，可以估计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式；（4）定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它能去掉积分号，同时该“中值”还是被积函数在积分区间上的平均值.答：（1）前者正确．如狄利克雷函数在区间（其中）上有界，但是它在区间上不可积，事实上：将任意分成个小区间，（其中）记第个小区间长度为，先在上取为有理数，则，再在上取为无理数，则，对于的不同取法黎曼和的极限不同，所以在区间上不可积；后者不正确，参见定理1.2．（2）正确．事实上：由于在区间上可积，则对的任意分法，的任意取法，都有，现在对区间等分，去在小区间的右分点，则，，并且等价于，所以．（3）正确．它是证明关于定积分不等式的基础，参见例题1.3、1.4、1.5等．（4）正确．它可以起到去掉积分号的作用；也可以用来表示连续函数在区间上的平均值，但是由于位置不好确定，一般不用它来计算平均值，而是直接计算.．自由落体下落的速度，用定积分表示前10秒物体下落的距离.解：根据定积分引入的实例，变速直线运动的路程，所以．．一物体在力作用下，沿轴从点移动到点，用定积分表示力所做的功项目管理PMP.1-项目管理框架解：将位移区间任意分成个小区间）记第个小区间长度为移动到时所做的功近似为，于是1.，记，则（假定极限存在）.C.．用定积分的几何意义求下列积分值：（1）；（2）解：（1）如图，上半圆的面积，根据定积分几何意义，所以，5.项目管理是通过以下五个过程组进行的：启动，计划，执行，控制和收尾。
（2）如图，面积，->根据定积分几何意义，所以，7.．．8.PMO项目管理办公室，负责多项目的处理协调和资源的管理等。
高等数学(东北大学出版社)第1_5章及第8_10章习题及复习试题参考答案解析
第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案第1章函数、极限与连续习题1.1⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？（1）yx =与是同一函数 （2）y x =与（3）2111x y x x -=-+与y=不是同一函数 （4）22ln ln y x x =与y=不是同一函数⒉指出下列函数的定义域. （1）43)(+=x x f 的定义域是),34[+∞- （2）xx f -=11ln )(的定义域是)1,(-∞（3）)1ln()(2-=x x f 的定义域是),2[]2,(+∞⋃-∞（4）)arcsin(ln )(x x f =的定义域是],1[e e-（5）若)(x f 的定义域是]4,4[-，则)(2x f 的定义域是]2,2[-（6）若)(x f 的定义域是]3,0[a ，则)()(a x f a x f -++的定义域是]2,[a a 3.判别下列函数的奇偶性.（1）()sin f x x x =+是奇函数 （2）()cos f x x x =⋅是奇函数（3）()2f x x x =-是非奇非偶函数 （4）()1lg 1x f x x-=+是奇函数（5）()cos(sin )f x x =是偶函数 （6）()sin x f x x=是偶函数（7）())f x x =是奇函数 （8）()f x =是偶函数⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的. （1）sin y x =在其定义域内不是单调的 （2）arcsin y x =在其定义域内是单调递增的（3）2y x x =-在其定义域内不是单调的 （4）0≠a 时，ax y e =在其定义域内是单调的，其中 0<a 时，ax y e =在其定义域内是单调递减的， 0>a 时，ax ye =在其定义域内是单调递增的5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界. （1）),1(1+∞=在区间xy 上有界（2）)10,1()12ln(在区间-=x y 上有界 （3）)4,3(3-=在区间x y 上有界（4）)1,1(),,(),0,(sin -+∞-∞-∞=在区间x y 上分别有界 6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期. （1）sin 3yx =是周期函数，最小正周期是32π （2）cos y x =是周期函数，最小正周期是π （3）tan 2y x =是周期函数，最小正周期是2π （4）ln(cos 2)y x =+是周期函数，最小正周期是π 7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.（1）2),2arcsin()(x u u u f =+=不可以构成复合函数 （2）x u u u f 2sin ),1ln()(=-=不可以构成复合函数（3）221ln,)(x u u u f +==不可以构成复合函数（4）212,arccos )(x xu u u f +==可以构成复合函数8.将下列复合函数进行分解. （1）对复合函数43)(2--=x x x f 的分解结果是：43,)(2--==x x u u x f（2）对复合函数32)(-=x ex f 的分解结果是：32,)(-==x u e x f u（3）对复合函数()ln(23)f x x =-的分解结果是：32,ln )(-==x u u x f （4）对复合函数()arcsin(1)f x x =+的分解结果是：1,sin )(+==x u u acc x f9.求函数值或表达式. （1）已知函数12)(,2)0(,4-)2(,0)2(,12)(222+-===-=+-=x x x f f f f x x x f 则.（2）已知函数0)(,22)4(,0)1(,1,01,sin )(===⎩⎨⎧≥<=ππf f f x x x x f 则.（3）已知函数21-)21arcsin (,sin )(=-=f x x f 则. （4）已知函数x x f 2cos )(sin =，则[]1,1,21)(2-∈-=x x x f习题1.21.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限. （1） ,67,51,45,31,23,1:n x 没有极限 （2）n x n 1=有极限，01lim =∞→nn （3）2sinπn x n =没有极限 （4）1)1(3+-=n n x nn 有极限，0]1)1[(lim 3=+-∞→n n n n2.分析下列函数的变化趋势，求极限 （1）01lim2=∞→x x （2）011lim =++∞→x x （3）+∞=++∞→)2ln(lim x x （4）2232lim=++-∞→x x x3.图略，)(lim 0x f x →不存在4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？（1）0→x 时，2100x 是无穷小量 （2）+→0x 时，x2是无穷大量（3）∞→x 时，112--x x 是无穷小量 （4）+∞→x 时，xe 是无穷大量 （5）∞→n 时，3)1(2+-n n n是无穷大量 （6）∞→x 时，xxsin 是无穷小量（7）∞→x 时，x1sin 是无穷小量 （8）0→x 时，12-x是无穷小量 5.已知函数2)3(1)(--=x x x f ，则)(x f 在-∞→x 或+∞→x 或∞→x 的过程中是无穷小量，在-→3x 或+→3x 或3→x 的过程中是无穷大量？6. 当1x →-时，无穷小1x +与下列无穷小是否同阶？是否等价？ （１）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小31x +同阶，但不等价 （２）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小21(1)2x -同阶，而且等价习题1.31.设函数x x f =)(，则xt x f t x f t 21)()(lim=-+→2.设函数⎩⎨⎧<+≥+=2,122,1)(2x x x x x f ，则5)(lim ,5)(lim ,5)(lim 222===→→→+-x f x f x f x x x .3.求下列各式的极限：（1）15)52(lim 22=+--→x x x （2）3213lim 2421-=++-→x x x x（3）35)321(lim 0=--→x x （4）242lim 22=+-∞→x x x x （5）2111lim 220-=+-→x x x （6）21)21(lim 222=+++∞→nn n n n （7）1122lim2=-+++∞→x x x x （8）311lim 31=--→x x x（9）61)319(lim 2=-++∞→x x x x （10）112lim1=---→x x x x （11）201020101032)53()32()1(lim =---+∞→x x x x4.已知516lim21-=-+-→x ax x x ，则7=a . 5.2)(lim 2=-++∞→x kx x x ，则4=k .6.求下列极限： （1）252sin 5sin lim0=→x x x （2）1sin 2tan lim 0=-→xxx x（3）43cos cos lim 20=-→x x x x （4）2)sin()2tan(lim 230=-+→x x x x x （5）11sin lim =⋅∞→x x x （6）0sin sin lim 0=+-→x x xx x（7）323arcsin 2lim 0=→x x x （8）21sin tan lim 30=-→xx x x 7.求下列极限： （1）82)41(lim e x x x =+∞→ （2）21)21(lim --∞→=-e xx x（3）3220)33(lim -→=-e x x x （4）21)11(lim --∞→=+-e x x x x（5）5ln 51)ln 1(lim e x xx =++→ （6）e x x x =+→sec 2)cos 1(lim π8.用等价无穷小替换计算下列各极限：（1）236arctan lim0=→x x x （2）214lim 20=-→x x e x（3）22cos 1lim 20=-→x x x （4）21)21ln(lim 0=-+→x x e x 习题1.41.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,31,11)(2x x x x x f ，则()f x 在1=x 处不连续．2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？ （1）函数11)(2-=x x f 的间断点有点1-=x 和点1=x ，它们都是第二类间断点中的无穷间断点（2）函数xe xf 1)(=的间断点有点0=x ，它是第二类间断点（3）函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点有点0=x 和点1=x ，其中点0=x 是第二类间断点中的无穷间断点，点1=x 是第一类间断点（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=1,01,11)(2x x x x x f 的间断点有点1-=x ，它是第一类间断点中的可去间断点（5）函数⎩⎨⎧>≤+=0,2,2)(2x x x x f x的间断点有点0=x ，它是第一类间断点中的跳跃间断点（6）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,32,24)(2x x x x x f 的间断点有点2=x ，它是第一类间断点中的可去间断点3.设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin )(x x x x k x xxx f ，当1=k 时，函数)(x f 在其定义域内是连续的.4.求下列极限：（1）42arccoslim 21π=+→x x x （2）0sin lg lim 2=→x x π （3）021lim cos sin 0=+-→x x x e e （4）2ln ln )1ln(lim 1=-+→xxx x（5）2121lim 224=+++∞→x x x x （6）11lim 1=--→x xx x（7）e x x e x 1ln lim=→ （8）4arctan lim 1π=→x x5.（略）6.（略）复习题1一、单项选择题1.下列函数中（C ）是初等函数.（A ）)2arcsin(2+=x y （B ）⎩⎨⎧∈∉=Qx Qx x f 10)(（C ）12+-=x y （D ）⎩⎨⎧>+<≤=1110)(2x x x x x f2.下列极限存在的是（B ）.（A ）xx 4lim ∞→ （B ）131lim 33-+∞→x x x （C ）xx ln lim 0+→ （D ）11sin lim 1-→x x3.当0x →时，2tan x 与下列（D ）不是等价无穷小.（A ）2tan x （B ）2x （C ）2sin x （D ）2cos x 4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B ）.（A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 5.已知0sin lim2x axx→=,则常数=a （C ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 6.闭区间[,]a b 上的连续函数()y f x =在[,]a b 上一定是（C ）.（A ）单调函数 （B ）奇函数或偶函数（C ）有界函数 （D ）周期函数 二、填空题 1.设10()20xx x f x x +-∞<≤⎧=⎨<<+∞⎩， 则(2)f = 4 . 2.函数5cos 3y x =是由简单函数 x v v u u y 3,cos ,3=== 复合而成的.3.点1x =是函数1,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩ 的第一类间断点中的跳跃 间断点.4.当x ∞- 时，函数3xy =是无穷小.5.极限 2lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭= 2e .6.函数ln(4)y x =-+的连续区间为 [)4,1 .三、计算下列极限1.24231x x x x -++=0 2.223lim 2x x x →--不存在 3.2211lim 21x x x x →---21= 4.22356lim 815x x x x x →-+-+ 5.1)2(1lim 22=---∞→x x x x 6.4281lim5x x x x →∞-++ 不存在 7.63132lim1=--+→x x x 8.231lim (3cos )1x x x x →∞+++=09.21sin cos 1lim0=-→θθθθ 10.1cos lim =-∞→x x x x 11.212sin )1ln(lim0=+→x x x 12.21)81221(lim 32=---→x x x13.320lim(12)xx x →-3-=e 14.122lim(1)xx x-→∞- 1-=e15.101lim x x x x +→+⎛⎫⎪⎝⎭e = 16.1lim()1xx x x →∞-+ 2-=e 四、综合题1.函数2101()11x x f x x x ⎧-≤≤=⎨+>⎩在点1=x 处不连续，在点2=x 处连续，函数的图像略。
东北大学线性代数第五章课后习题详解 特征值与特征向量
基本教学要求：1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量.2.了解相似矩阵的概念和性质.3.了解矩阵对角化的充分必要条件和对角化的方法.4.会用正交矩阵把实对称矩阵相似对角化.第五章矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量(P107)1. 定义定义5.1 设A为n阶矩阵，如果存在数λ0和非零向量ξ，使得Aξ=λ0ξ， (5.1) 则称λ0是A的特征值，ξ是A的属于特征值λ0的一个特征向量.特征值与特征向量的含义：非零向量ξ使Aξ=λ0ξ⇔(λ0E-A)x=ο有非零解ξ⇔det(λ0E-A)=0⇔λ0是方程det(λE-A)=0的根定义5.2设A为n阶矩阵，称行列式det(λE-A)为矩阵A的特征多项式，det(λE-A)=0为矩阵A的特征方程.易见，若A=diag(λ1,λ2,…,λn)，则λ1,λ2,…,λn是A的全部特征值.2. 求特征值与特征向量的步骤步骤1：计算A的特征多项式det(λE-A)；步骤2：因式分解det(λE-A)，求出全部特征值λ1,λ2,…,λn；步骤3：解齐次线性方程组(λi E-A)x=ο(i=1,2,…,n)，求属于λi的特征向量.例5.1(例5.1 P 108) 例5.2(例5.2 P 109)两例说明，不同的矩阵可以有完全相同的特征值.例5.3(例5.3 P 110) 这是一种类型题3. 特征值与特征向量的性质(P 110)性质5.1 设λ1,λ2,…,λn 是n 阶矩阵A 的全部特征值，则nniii i 1i 1a===λ∑∑， (5.2)12n det A =λλλ. (5.3)其中a 11+a 22+…+a nn 称为矩阵A 的迹. (性质5.1 P 110)推论 矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的特征值都不为零. (推论 P 110)性质5.2 设λ是矩阵A 的特征值，ξ是A 的属于λ的特征向量，p(x )是关于x 的多项式，则p(λ)是矩阵p(A )的特征值，ξ是p(A )属于特征值p(λ)的特征向量. (性质5.2 P 110)例5.4(例5.4 P 111) 设三阶矩阵A 的特征值是1,2,3，求行列式|A *-3A+2E|. 解 A(A *-3A+2E)=|A|E-3A 2+2A =-3A 2+2A+6E |A *-3A+2E|=|-3A 2+2A+6E|/|A|=(-3×12+2×1+6)(-3×22+2×2+6)(-3×32+2×3+6)/6 =5×(-2)×(-15)/6=25.注意：如果A 不可逆，在本题的条件下是不能计算|A *-3A+2E|的.性质5.3 设λ1,λ2,…,λs 是矩阵A 的互异特征值，ξ1,ξ2,…,ξs 是分别属于它们的特征向量，那么ξ1,ξ2,…,ξs线性无关. (性质5.3 P 111)性质5.4设λ1,λ2是矩阵A的两个互异的特征值，ξ1,ξ2,…,ξs和η1,η2,…,ηt分别是属于λ1,λ2的线性无关的特征向量，那么ξ1,ξ2,…,ξs,η1,η2,…,ηt线性无关. (性质5.4 P111)证设数k1,k2,…,k s和l1,l2,…,l t使k1ξ1+k2ξ2+…+k sξs+l1η1+k2η2+…+k tηt=ο. (1)令ξ=k1ξ1+k2ξ2+…+k sξs，η=l1η1+k2η2+…+k tηt，则ξ,η分别是λ1,λ2的特征向量.若ξ≠ο，则η=-ξ≠ο，那么由已知条件可知，k1,k2,…,k s与l1,l2,…,l t都不全为零，但ξ+η=ο却与性质5.3矛盾.矛盾说明ξ=η=ο，式(1)成立当且仅当k1=k2=…=k s=l1=l2=…=l t=0，即ξ1,ξ2,…,ξs,η1,η2,…,ηt线性无关.推论矩阵A的全部互异特征值的所有线性无关的特征向量都是线性无关的. (P112)二、矩阵相似对角化(P112)1. 定义定义5.3设A,B为n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使P-1AP = B，则称B是A的相似矩阵，或称A与B相似，称运算P-1AP是对A做相似变换，P是把A变为B的相似变换矩阵.A相似B ⇔∃P,∂P-1AP=B.2. 矩阵相似的性质定理5.1相似矩阵有相同的特征值. (定理5.1 P112).证因为A相似B ⇔∃P,∂P-1AP=B，所以det(λE-B)=det(λE-P-1AP)=det[P-1(λE-A)P]=det(P-1)det(λE-A)det(P)=det(λE-A).从而A与B有相同的特征值.定理5.1 的逆命题不成立.例如，1001⎛⎫⎪⎝⎭与⎛⎫⎪⎝⎭1011的特征值相同，但它们不相似.推论1若A与对角矩阵diag(λ1,λ2,…,λn)相似，则λ1,λ2,…,λn是A的n个特征值. (推论 P112) 推论2 若A与B相似，则det(A)=det(B).推论3设A与B相似，f(x)是多项式，则f(A)与f(B)相似，且det[f(A)]=det[f(B)].例5.5(例5.5 P112) 设矩阵224A=a31003⎛⎫⎪-⎪⎪⎝⎭与100B04000b⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭相似，求a,b的值.解A与B相似5b8,a1,4b3(62a)b 3.+==⎧⎧⇒⇒⎨⎨=-=⎩⎩例5.6 设A与D相似，且D=diag(-1,2,0,1)，求det(2A5-3A4+A2-4E).解A与D相似⇒2A5-3A4+A2-4E与2D5-3D 4+D 2-4E相似⇒|2A5-3A4+A2-4E|=|2D 5-3D 4+D 2-4E|=(2×(-1)5-3×(-1)4+(-1)2-4)(2×25-3×24+22-4)(-4)(2×15-3×14+12-4)=-211.3. 矩阵相似对角化(P113)分析：A与D=diag(λ1,λ2,…,λn)相似⇔∃P,∂P-1AP=D.若设P=(ξ1,ξ2,…,ξn)，则P-1AP=D ⇔A(ξ1,ξ2,…,ξn)= (ξ1,ξ2,…,ξn)D⇔Aξi=λiξi, i=1,2,…,n⇔ξi(i=1,2,…,n)是A的属于λi的特征向量，且ξ1,ξ2,…,ξn线性无关由此，有如下重要结论：定理5.2n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. (定理5.2 P114)推论 如果n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值，则A 与对角矩阵相似. (推论 P 114)例如，例5.1中的A 不能与对角矩阵相似，而例5.2中的A 与diag(1,1,4)相似.例5.7 对于例5.2中的A ，求A 2014.解 由于A 的3个特征向量ξ1=(2,-1,0)T ,ξ2 =(4,0,-1)T ,ξ3=(1,1,0)T 线性无关，所以A 与diag(1,1,4)相似. 令P=(ξ3,ξ1,ξ2)，则A=Pdiag(4,1,1)P -1，20142014120142014201420142014201420144A P 1P 112441241 1101114300110034241241 4101143001003422(41)4(41)1 413-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+--=-201420142(40.5)4(41).003⎛⎫ ⎪+- ⎪ ⎪⎝⎭关于特征值与特征向量，还有如下结论.定理5.3 设λ0是n 阶矩阵A 的k 重特征值，则属于λ0的线性无关的特征向量的个数不大于k . (定理5.3 P 115)定理5.3表明，若λ是n 阶矩阵A 的k 重特征值，则n-R(λ0E-A)≤k ，且A 的线性无关特征向量的总数≤n .推论 设λ1,λ2,…,λs 是n 阶矩阵A 的全部互异特征值，其重数分别为k 1,k 2,…,k s ，那么矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是属于λi (i=1,2,…,s )的线性无关的特征向量恰有k i 个，即R(λi E-A)=n-k i (i=1,2,…,s). (推论2 P 116)推论表明，矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是，每个特征值的重数等于属于它的线性无关特征向量的个数.例如，例5.1、例5.2.例5.8(例5.6 P 116)把矩阵A 相似变换为对角矩阵的步骤：步骤1 求n 阶矩阵A 的全部互异特征值λ1,λ2,…,λs ；步骤 2 求齐次线性方程组(λi E-A)x =ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A 的n 个线性无关的特征向量ξ1,ξ2,…,ξn )；步骤3 相似变换矩阵P=(ξ1,ξ2,…,ξn )，P 使得12s 1k 2k 1s k E E P AP E -λ⎛⎫ ⎪λ⎪=⎪ ⎪ ⎪λ⎝⎭.三、实对称矩阵的相似对角化1. 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质定理5.4 实对称矩阵的特征值都是实数. (定理5.4 P 117)定理5.4表明：实对称矩阵的特征向量必为实向量，从而每个特征值的特征向量空间的“基础解系”可正交化.定理5.5 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的. (定理5.5 P 118)定理5.5表明：实对称矩阵不同特征值的特征向量空间的“基础解系”互相正交.例5.9(例5.7 P118) 设3阶实对称矩阵A不可逆，且满足1010A10100103⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求矩阵A的全部特征值与特征向量.解已知条件表明k(1,1,0)T(k≠0)是A的属于1的全部特征向量，k(0,0,1)T(k≠0)是A的属于3的全部特征向量. 由于A不可逆，所以1,3,0是A的全部特征值，且属于0的一个特征向量显然为(1,-1,0)T，属于0的全部特征向量为k(1,-1,0)T(k≠0).2. 实对称矩阵的正交相似对角化(P118)定理5.6设A为实对称矩阵，则必有正交矩阵Q，使Q -1A Q = Q T A Q为对角矩阵. (定理5.6 P118)定理5.6指出，实对称矩阵必相似对角矩阵，且可正交相似对角矩阵.结合定理5.3的推论，有如下结论.推论 设λ0是n 阶实对称矩阵A 的k 重特征值，那么属于λ0的线性无关的特征向量恰有k 个. (推论 P 120)把实对称矩阵正交相似对角化的步骤(P 120)步骤1 求n 阶矩阵A 的全部互异特征值λ1,λ2,…,λs ；步骤 2 求齐次线性方程组(λ1E-A)x =ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A 的n 个线性无关的特征向量ξ1,ξ2,…,ξn )；步骤3 将每个基础解系分别正交化、规范化(即求n 个正交规范的线性无关的特征向量ε1,ε2,…,εn )； 步骤4 正交相似变换矩阵为Q=(ε1,ε2,…,εn )，Q 使得12s 1k 2k1T s k E E Q AQ Q AQ E -⎛⎫ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭λλλ.例5.10(例5.8 P 121)例5.11(例5.9 P 122) 设3阶实对称矩阵A 的特征值为1,-1,0，向量α1=(1,1,0)T ,α2=(0,0,1)T 分别是属于特征值1和-1的特征向量，求矩阵A 和A n .解 易见，α3=(1,-1,0)T是属于特征值0的特征向量，正交相似变换矩阵22220Q 22220001⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭使得TT1A Q 0Q122220222201 22220022220001100122002222012120 22002222012120.001001001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=-=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nn Tn n n 1A Q 0Q 122220222201 22220022220001(1)001220022220 22002222000(1)00112120 12120.00(1)⎛⎫⎪=⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭四、习题(P 127) 选择题 1. C 2. B 3. D 4. B提示：方法一 两矩阵相似 ⇒ 0,2,b 是3个特征值⇒ |2E-A|=0, |bE-A|=0⇒ 13r r 21a102a 0a 2b a a 2b a 4a 01a 11a 1+------=---=-=----13c c 2b 1a 1b a 1a 0aa 2ab 01a b 1b a b 1--------=-=-=------⇒ a=0, b 任意 ⇒ 选B方法二 两矩阵相似 ⇒ 0,2,b 是3个特征值13r r 1a 1101a b a a ba 1a11a1-λ-----λ--=λ-λ----λ---λ-31c c 100a b2a 1a2+=λ-λ----λ- 2222222[(b)(2)2a ][(b 2)2(b a )]b 2b 4b 48a b 2b 4b 48a ()()22=λλ-λ--=λλ-+λ+-++-+++--++=λλ-λ-当a=0，得λ1=0,λ2=(b+2+|b-2|)/2,λ3=(b+2-|b-2|)/2. 此时， 若b ≥2，得λ1=0,λ2=b,λ3=2；若b<2，得λ1=0,λ2=2,λ3=b. 故选B .当a=2,b=0，得λ1=0,λ2=4,λ3=-2，排除C,D. 5. B提示：1Q P 111⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭11111Q AQ 11P AP 1111---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111111112111111111212⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6. D提示：方法一设λ是A 的特征值，则λ2+λ=0 (λ2+λ是A 2+A 的特征值)⇒ λ=0或1 (说明A 的特征值只能是0或1)R(A)=3 ⇒ 0是A 的单特征值 ⇒ -1是A 的3重特征值⇒ 选D方法二 R(A)=3 ⇒ 0是A 的单特征值A 2+A=O ⇒ A(A+E)=O ⇒ R(A)+R(A+E)≤4⇒R(E+A)=1 ⇒-1是A的3重特征值⇒选D二、填空题1. 提示：设λ是βαT的非零特征值，ξ是βαT属于λ的特征向量⇒(βαT)ξ=λξ⇒(βαT)(βαT)ξ=λ(βαT)ξ⇒2(βαT)ξ=λ(βαT)ξ⇒2λξ=λ2ξ⇒λ(λ-2)ξ=ο⇒λ=0或2⇒βαT的非零特征值为2关于本题：一般地，若n维列向量α,β满足βαT=a≠0，则βαT的非零特征值为a. 此外，αTβ=a≠0 ⇒α≠ο,β≠ο⇒βαT≠O, R(β)=R(α)=1⇒1≤R(βαT) ≤min(R(β), R(αT))=1⇒R(βαT)=1 ⇒0是βαT的n-1重特征值⇒a是βαT的单特征值⇒R(aE-A)=n-12. 提示：B相似于diag(2,3,4,5)⇒|B-E|=(2-1)(3-1)(4-1)(5-1)=243. 提示：|A|≠0 ⇒A可逆⇒λ-1是A-1的特征值⇒|A|/λ是A*的特征值⇒|A|2/λ2是(A*)2的特征值⇒(|A|2+1)/λ2是(A*)2+E的特征值4. 1个为n，n-1个为0.5. 提示：AA*=5E ⇒B的特征值都为5，任意非零的n维向量皆为B的特征向量三、解答题1.-3.参考：P108-109的例5.1-例5.2、P116的例5.6P121的例5.84.提示：|E-A|=0 ⇒t为任意实数5.提示：参考P110的例5.36.提示：反证法 假设A 相似于diag(λ1,λ2,…,λn )，则[diag(λ1,λ2,…,λn )]n =[diag(λ1k ,λ2k ,…,λn k )]相似于A k ，所以λi k =0, i=1,2,…,n ⇒ λi =0, i=1,2,…,n ⇒ A=O这与A ≠O 产生矛盾，故A 不能与对角阵相似.7.提示：|λE-A T |=|λE-A|=0.8.提示：假若ξ1+ξ2是A 的属于λ的特征向量，则A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)，即 (λ1-λ)ξ1+(λ2-λ)ξ2=ο.由于ξ1,ξ2线性无关，则有λ=λ1, λ=λ2，这与λ1≠λ2矛盾.故ξ1+ξ2不是A 的特征向量.9.提示：A 与B 相似 ⇔∃P ,∂P -1AP=B ，因而(1) |B|=|P -1AP|=|A|；(2) (P -1AP)T =B T ，即P T A T (P -1)T =B T ，所以A T 与B T 相似.(3)由(1)可知，|A|≠0的充分必要条件是|B|≠0，即A 是可逆矩阵的充分必要条件是B 为可逆矩阵.另由P -1AP=B ，(P -1AP)-1=B -1，即P -1A -1P=B -1，所以A -1与B -1相似.10.提示：|A|≠0 ⇒ A -1(AB)A=BA ⇒ AB 与BA 相似11.提示：A 与B 相似，C 与D 相似 ⇔∃P ,Q ，∂P -1AP=B, Q -1CQ=D ，⇒ 11--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A P B P C Q D Q ⇒ ⎛⎫ ⎪⎝⎭A C 与⎛⎫⎪⎝⎭BD B 相似12.提示：A αi =i αi (i=1,2,3)⇒ 1231231A(,,)2(,,)3⎛⎫ ⎪ααα=ααα ⎪ ⎪⎝⎭⇒ 11231231A (,,)2(,,)3-⎛⎫ ⎪=αααααα ⎪ ⎪⎝⎭=…13.提示：已知条件 ⇒ A 与diag(1,2,…,n)相似⇒ 2A+E 与diag(3,5,…,2n+1)相似 ⇒ |2A+E|=(2n+1)!!14.提示：方法一A 可逆 ⇔ |A|=λ1λ2…λn ≠0 ⇔ λ1,λ2,…,λn 都不为零 方法二 A 可逆 ⇔ |A|≠0 ⇔ |0E-A|≠0⇔ 0不是A 的特征值15.提示：A ξ=λξ且|A|≠0 ⇒ λ≠0且A -1ξ=λ-1ξ，A *ξ=λ-1|A|ξ⇒ λ-1是A -1的特征值，λ-1|A|是A *的特征值16.提示：令123(1,1,1)0⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x x x ，即x 1+x 2+x n =0. 解之得关于特征值λ=3的线性无关特征向量ξ2=(-1,1,0)T ,ξ3=(0,1,-1)T .于是，()()11123212331A 1106110 11131111013101--λ⎛⎫⎪=ξξξλξξξ ⎪ ⎪λ⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪==⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.提示：112112A ...11511-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭18.提示：(1)方法一 A 的特征值为-1,1,x ，B 的特征值为1,1,y A 与B 相似 ⇒ x=1,y=-1 方法二 A 与B 相似 ⇒ x y 2x 1x y y 1=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩(2)略19.提示：123220E A 1431431a51a5λ--λ--λ+λ-=λ-=λ---λ---λ-2110100(2)143(2)1331a 511a 533(2)(2)(8183a)1a 5-=λ-λ-=λ-λ---λ----λ-λ-=λ-=λ-λ-λ++--λ- 若λ=2为二重根，则22-8×2+18+3a=0，得a=-2，此时1231232E A 123000123000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⇒ R(2E-A)=1.故当a=-2时，A 能与对角矩阵相似.若λ=2不是二重根，则令64-4(18+3a)=0，即a =-2/3，此时λ=4是二重根.但3231034E A 1030131231000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⇒ R(4E-A)=2.故当a =-2/3时，A 不能与对角矩阵相似.20.提示：充分性 设A 与对角矩阵D 1相似，B 与对角矩阵D 2相似，且D 1=D 2，那么∃P ,Q,∂P -1AP=D 1, Q -1BQ=D 2，且P -1AP=Q -1BQ ，因此， A=PQ -1BQ P -1=PQ -1B(PQ -1)-1， 即A 与B 相似.必要性 设A 与B 相似，则∃P ,∂P -1AP=B ，因此|λE -B|=|λE -A|.所以A,B 有相同的特征值.21.提示：方法一A 2=A ⇒ A(A-E)=O ⇒ R(A)+R(A-E )≤n .另 E =A+(E-A) ⇒ n=R(E)≤R(A)+R(E-A)于是R(A)+R(A-E)=n ，而这表明A x =ο的基础解系的秩与(E-A)x =ο的基础解系的秩之和为n ，因此A 有n 个线性无关的特征向量，所以A 能与对角阵相似.方法二 A 2=A ⇒ A 的特征值为0或1(例5.3 P 110) A(A-E)=O ⇒ R(A)+R(E-A )≤n设R(A)=r ，则A x =ο的基础解系的秩为n-r ，而(E-A)x =ο的基础解系的秩为n-R(E-A)≥R(A)=r ，因此A 有n 个线性无关的特征向量，故A 能与对角阵相似.22.提示：R(A)+R(B)<n ⇒ A R R(A)R(B)n B ⎛⎫≤+<⎪⎝⎭⇒ A x 0B ⎛⎫= ⎪⎝⎭有非零解ξ，即A ξ=ο, B ξ=ο⇒ ξ是A 和B 属于特征值0的公共特征向量23.提示：R(A)=2 ⇒ 0是A 的特征值余下参看P 118例5.724.提示：n 阶矩阵A 的每行元素之和都为a⇒ A(1,1,…,1)T =a(1,1,…,1)T⇒ (1,1,…,1)T 是A 属于特征值a 的特征向量若A 可逆，则a -1是A -1的特征值. 由A(1,1,…,1)T =a(1,1,…,1)T ⇒ A -1(1,1,…,1)T =a -1(1,1,…,1)T ，所以A -1的每行元素之和都为a -1.24. 提示：设该地区第i 年农村人口有x i 万，城市人口有y i 万，i=1,2,…,10，则11000.80.1,0.20.9200,100.i i i i x x y y x y ++⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪==⎩ 所以，1010100.80.12000.20.9100x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 又0.80.110.20.90.7⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以……. 附加题：1.设A 为三阶矩阵，且E-A,2E-A,E+A 都是不可逆矩阵，求行列式|A|. 提示：E-A,2E-A,E+A 都不可逆⇒ |E-A|=0, |2E-A|=0, |E+A|=0 ⇒ 1,2,-1是A 的全部特征值 ⇒ |A|=-22.已知矩阵012301000010A 0001a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪----⎝⎭， (1)求A 的特征多项式；(2)如果λ0是A 的特征值，证明(1, λ0, λ02, λ03)是A 属于λ0的特征向量.提示：(1)4323210E A a a a a λ-=λ+λ+λ+λ+；(2)432003020100E A a a a a 0λ-=λ+λ+λ+λ+=002200330012301010010010A 0001a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪λλ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪λλ ⎪ ⎪⎪λ----λ⎝⎭⎝⎭⎝⎭02000230034001λ⎛⎫⎛⎫⎪⎪λλ ⎪ ⎪==λ ⎪ ⎪λλ ⎪ ⎪ ⎪λλ⎝⎭⎝⎭. 020301()⎛⎫⎪λ ⎪⇒≠ο ⎪λ ⎪λ⎝⎭是A 属于λ0的特征向量.3.设三阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 是线性方程组A x =ο的两个解，求矩阵A.提示：A 实对称，A(1,1,…,1)T =3(1,1,…,1)T , A α1=ο, A α2=ο，110P 121111-⎛⎫ ⎪⇒=- ⎪ ⎪-⎝⎭且13P AP 00-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⇒ A=Pdiag(3,0,0)P -1=…4.试构造一个三阶实对称矩阵A ，使其特征值为1,1,-1，且特征值1有特征向量ξ1=(1,1,1)T , ξ2=(2,2,1)T .提示：ξ3垂直ξ1,ξ2，易见ξ1=(1,-1,0)T ，或计算ξ3=ξ1×ξ2.正交化ξ1,ξ2及单位化ξ1,ξ2,ξ3，得正交相似变换矩阵Q=(ξ1,ξ2,ξ3)，使A=QDQ -1=QDQ T =……5.设矩阵303A 10x 303⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭与对角阵相似，求x .提示：()()2123E A 424,2λ-=λ-λ+⇒λ=λ=λ=-，()R 4E A 13031014E A 10x 00x 1x 1303000-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→-+⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.6. 设m m 101m f (x)a x a xa -=+++，证明：若n 阶矩阵A 使f(A)=O ，那么A 的特征值λ使f(λ)=0.提示：若λ是A 的特征值，则f(λ)是f(A)的特征值.另f(A)=O ，所以f(A)的特征值全部为零，所以f(λ)=0.7. 设ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，P 是可逆矩阵，求矩阵P -1AP 的属于特征值λ的一个特征向量.提示：A ξ=λξ ⇒ P -1A ξ=λP -1ξ ⇒ P -1AP(P -1ξ)=λ(P -1ξ) 故P -1ξ是P -1AP 属于特征值λ的一个特征向量.8.设A 是正交矩阵，且detA<0，证明：-1是A 的特征值.提示：方法一A 是正交矩阵 ⇒ A T A=E ⇒ [detA]2=1 由于detA<0 ⇒ detA=-1⇒ det(E+A)=det[(E+A T )A]=det(E+A T )detA=-det(E+A) ⇒ det(E+A)=0，即-1是A 的特征值方法二 A ξ=λξ ⇒ A T A ξ=λA T ξ ⇒ A T ξ=λ-1ξ因为A 与A T 有相同的特征值 ⇒ λ=λ-1 ⇒ λ2=1 ⇒ λ=±1 detA<0 ⇒ -1是A 的特征值9. 已知A,B 分别是m×n 和n×m 矩阵，证明AB 与BA 有相同的非零特征值.提示：n nm m mE B EBE AB OE AB A E -==-λλλ 121c c An 0m1E BA BOE -≠-=λλλλm n m n n 1E E BA E BA -=⋅-=-λλλλ⇒ AB 与BA 有相同的非零特征值10.设三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，对应的特征向量依次为ξ1=(1,1,1)T ,ξ2=(1,2,4)T , ξ3=(1,3,9) T ，又向量β=(1,1,3)T .(1)用ξ1,ξ2, ξ3表示β； (2)求A n β (n 为正整数).提示：()1231A2,P ,,3⎛⎫ ⎪=ξξξ ⎪ ⎪⎝⎭(1)设β=P x ⇒ x =P -1β，()1002P 01020011⎛⎫⎪β→- ⎪ ⎪⎝⎭， ⇒ x =(2,-2,1)T ⇒ β=2ξ1-2ξ2+ξ3.(2)方法一 nn11A P 2P 3-⎛⎫⎪β=β ⎪ ⎪⎝⎭nn 1n n 1n 2n 1n 3n 2n 21223 P 2x P 222332233++++++⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.方法二 n n123A A (22)β=ξ-ξ+ξn n n112233n 1n n 1n n 2n 1123n 3n 222223 223223.223++++++=λξ-λξ+λξ⎛⎫-+ ⎪=ξ-ξ+ξ=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭五、计算实践实践指导：(1)理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量. (2)了解相似矩阵的概念和性质.(3)了解矩阵对角化的充分必要条件和对角化的方法. (4)会用正交矩阵把实对称矩阵相似对角化.例5.1 设A 为二阶矩阵，α1,α2为线性无关的2维列向量，且A α1=ο, A α2=2α1+α2，则A 的特征值为 0, 1 . （2008 数一）解 A α1=ο, A α2=2α1+α2⇒ A α1=0α1, A(2α1+α2)=2α1+α2 ⇒ 0,1是A 的两个特征值例5.2 三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=-2，α1=(1,-1,1)T 是A 的属于λ1的一个特征向量，记B=A 5-4A 3+E ，(Ⅰ)验证α1是B 的特征向量，并求B 的全部特征值和特征向量； (Ⅱ)求矩阵B . （2007 数一） 解 (Ⅰ) A α1=λ1α1⇒ A k α1=λ1k α1⇒ B α1=(λ15-4λ13+1)α1=-2α1所以α1是B 的属于-2的特征向量.因为A 与对角矩阵D=diag(1,2,-2)相似，所以B 与D 5-4D 3+E 相似，故三阶对称矩阵B 的全部特征值为-2,1,1. 属于-2的特征向量为k(1,-1,1)T (k≠0)，属于1的特征向量与α1垂直，为k 1(1,0,-1)T +k 2(1,2,1)T ,其中k 1,k 2为任意不全为零的实数.(Ⅱ)11231232111111B ( )1( )3263261--⎛⎫⎪=αααααα ⎪ ⎪⎝⎭T 1231232111111()1( )3263261011101110-⎛⎫⎪=αααααα ⎪ ⎪⎝⎭-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭例 5.3 已知三阶矩阵A 与3维向量x 使向量组x ,A x ,A 2x 线性无关，且满足A 3x =3A x -2A 2x .设P=(x ,A x ,A 2x )，求三阶矩阵B 使A=PBP -1，并计算行列式|A+E|. （2001 数一）解 分析：A=PBP -1 ⇒ PB=AP⇒ PB=(A x ,A 2x ,A 3x ) ⇒ B=P -1(A x ,A 2x ,A 3x )(A x ,A 2x ,A 3x )=(A x ,A 2x ,3A x -2A 2x )=(x ,A x ,A 2x )000103012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=P 000103012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⇒ B=P -1 P 000103012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=000103012⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭⇒ |A+E|=|B+E|=-4例5.4 设A 是n 阶矩阵，2,4,…,2n 是A 的n 个特征值.计算行列式|A-3E|的值. 解 2,4,…,2n 是A 的n 个特征值⇒ A 与diag(2,4,…,2n)相似 ⇒ A-3E 与diag(2,4,…,2n)-3E 相似⇒ |A-3E|=-(2n-3)!!例5.5 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B -1-E|= 24 .解 因为A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，所以B -1的特征值为2,3,4,5，且B -1与diag(2,3,4,5)相似.故B -1-E 与diag(1,2,3,4)相似，|B -1-E|=24.例5.6 设A,B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，则必有 (A) λE-B=λE-A ；(B) A 与B 有相同的特征值与特征向量； (C) A 与B 都相似于一个对角阵； (D)对任意常数t ，tE-A 与tE-B 相似. 提示：选D.由A 与B 相似，推不出A =B ，故排除A ；由A 与B 相似，能推出A 与B 有相同的特征值，但推不出有相同的特征向量，故排除B ； 由A 与B 相似，推不出A,B 与对角矩阵相似，故排除C ；由A 与B 相似，即∃P , ∂P -1AP=B ，能推出P -1(tE-A)P=tE-B ，故选D .例5.7 设λ1,λ2是矩阵A 的的两个不同特征值，对应的特征向量为分别为α1,α2，则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是(A) λ1≠0； (B) λ2≠0； (C) λ1=0； (D) λ2=0. 解 选B.方法一 (α1, A(α1+α2))=(α1, λ1α1+λ2α2)=(α1,α2)1210⎛⎫ ⎪⎝⎭λλ故α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是121R 20λ⎛⎫=⎪λ⎝⎭，即λ2≠0. 故选B .方法二 k 1α1+ k 2A(α1+α2)=ο⇔ (k 1+ k 2λ1)α1+k 2λ2α2=ο12,⇔αα线性无关11222k k 0k 0+λ=⎧⎨λ=⎩()()()2121122121122111120k k 0,A 0A ,A λ≠⇒==⎧⎪⇒αα+α⎪⇒⎨λ=⇒α+α=λα+λα=λα⎪⎪⇒αα+α⎩线性无关线性相关若若故选B .例5.8 设矩阵A 与B 相似，且1112A 242,B 232a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.(1)求a,b 的值； (2)求可逆矩阵P 使P -1AP=B .解 因为A 与B 相似，所以()a 5b 46a 14b a 5b 6a 5b 4A 2E 0⎧+=+⎧⎪⎨-==⎧⎩⎪⇒⎨⎨=+=+⎧⎩⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⎩或 . 求解 (2E-A)ξ=ο2E-A 111000000-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭⇒ ξ1=(1,-1,0)T , ξ2=(1,0,1)T (6E-A)ξ=ο6E-A 210301000⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭⇒ ξ3=(1,-2,3)T于是所求可逆矩阵111P 102013⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭.例5.9 设A 是三阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，且满足A α1=α1+α2+α3, A α2= 2α2+α3, A α3=2α2+3α3，(1)求矩阵B ，使A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B ；(2)求矩阵A 的特征值；(3)求可逆矩阵P ，使P -1AP 为对角矩阵.解 (1)A α1=α1+α2+α3, A α2= 2α2+α3, A α3=2α2+3α3⇒ A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)100122113⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123,,100B 122B 114113A B ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⇒⎪ ⎪⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩线性无关矩阵的特征值为，，ααα (2)矩阵A 的特征值为1,1,4.(3)解方程组(E-B)η=ο和(4E-B)η=ο，得η1=(-1,1,0)T , η2=(-2,0,1)T , η3=(0,1,1)T .()()11231231,,B ,,14-⎛⎫⎪ηηηηηη= ⎪ ⎪⎝⎭()()()()111231*********,,,,A ,,,,14--⎛⎫⎪⇒ηηηααααααηηη= ⎪ ⎪⎝⎭()()()()123123123121323120P ,,,,,,101011 ,2,--⎛⎫ ⎪⇒=αααηηη=ααα ⎪ ⎪⎝⎭=-α+α-α+αα+α ⇒ P -1AP=diag(1,1,4)例5.10 设三阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量α1=(1,2,-1)T ,α2=(0,-1,1)T 是线性方程组A x =ο的两个解. （2006 数三）(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ，使得Q T AQ=Λ；(Ⅲ)求A 及(A-1.5E)6，其中E 为三阶单位矩阵.解 (Ⅰ) α1=(1,2,-1)T ,α2=(0,-1,1)T 是线性方程组A x =ο的两个解()121220R A 10A A ,A ,A ≤⎧⎪⇒⎨⎧α=οα=ο⇒⎨⎪αα⎩⎩是的重特征值是属于的特征向量 A 的各行元素之和均为3()A O R A 1131A 133A 1A 3131≠⇒≥⎧⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⇒⎨ ⎪ ⎪ ⎪=⇒⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩是的特征值，是的特征向量属于 所以R(A)=1，且0,0,1是A 的全部特征值，c 1α1+c 2α2(c 1,c 2是不同时为0的实数)是A 属于0的全部特征向量；c 3(1,1,1)T (c 3是不为0的实数)是A 属于1的的全部特征向量.(Ⅱ)将α1,α2正交化和规范化，得T T 12(0,22,22),(66,66,66)η=-η=-，所求正交矩阵63063263Q 263263263⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，T 0Q AQ 03⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅲ) AQ=QA T 003AQ 003003003111A 003Q 111111003⎛⎫ ⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⇒== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 66T66T 33 A E Q E Q 223233729Q Q E E.226432⎛⎫⎛⎫-=Λ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎪⎛⎫ ⎪=-== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭六、知识扩展 1.设矩阵123A 1431a 5-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化. （2004 数一）提示：|λE -A|=(λ-2)(λ2-8λ+18+3a)若λ=2是二重根，则(λ2-8λ+18+3a)|λ=2=0，得a=-2，这时R(2E-A)=1，说明A 可相似对角化.若λ=2不是二重根，则λ2-8λ+18+3a 为完全平方项，从而64-4(18+3a)=0，得a=-2/3，这时λ=4是二重根，而R(4E-A)=2，说明A 不可相似对角化.2.设3维列向量α,β满足αT β=2，则矩阵βT α的非零特征值为 2 . （2009 一）3.设α,β为3维列向量，若αβT 相似于diag(2,0,0)，则βT α= 2 . （2009 二）。
北大版高等数学第五章 向量代数与空间解析几何答案 习题52.
习题5.21.(,,),,,,.||,||,2.(1,2,1),(3,0,1),(2,1,2),,,,(3,0,1)(1,2,1)(4,2xy z xy yz O x y z x y z Oxy Oyz d d d d z d x d x A B C AB BA AC BC AB =======-===--=-写出点分别到轴轴轴平面平面以及原点的距离已知三点求的坐标与模.解解,0),||20|(4,2,0)(4,2,0)25,(2,1,2)(1,2,1)(3,1,1),||11,(2,1,2)(3,0,1)(1,1,1),|| 3.3.(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),132(9,6,6)2AB BA AB AC AC BC BC ===-=--=-=-=--=-==--=-==-==---+a b c a b +c =1112(2,6,4)(4,3,1)(11,9,1).4.(2,5,1),(1,2,7),,.2,7).(2,5,)(1,2,7)(21,5,2,7),70,7.5.,(,,)(k k xy k k k k k k k k k A B x y z x ︒︒---+-=-==-+=-+=+-=+-++==-设分别求出沿和方向的单位向量并求常数使与平面平行1设两点的坐标分别为和解a b a b ,a b a b a b 22111222121212,,),,.111()((,,)(,,))(,,).2226.(1,2,3),(5,2,1),(1)23(2)(3)cos ,.(1)2366(2)12.(2)1(3)cos y zA B C OC OA OB x y z xy z x x y yz z =+=+=+++=-=-<>⨯-=-求连线中点的坐标设求解解a b a b a i a b a b =a b =a i = .2222,|||7.||1,||3,||2,|/3,?17|()()||||||2()11942(3),23333,cos ||||π<>======+⊥+=+=++=++++==+++⨯+==设求解a b a b |a b a b c a b +c |=a c <a,b >=<b,c >=a b +c |a b +c a b +c a b c a b +b c a c b c b c b c =<b,c >=b c .6π<b,c >=22228.||2,||6,,()()||||4360,1/3.k k k k k k k k ==⊥--=-=-==±设试求常数使解a b a +b a b.a +b a b a b 9.(1,2,1),(1,1,3),(2,5,3)(1)(2)(3)()(4)()(5)().(1)121(5,2,1),113(2)253(3,0,2).01121(3)()11323.(4)()5212532=-=-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=---⨯-=-⨯-=-⨯⨯---解a b c a b c j a b c a b c a b c ijka b =i j kc j =ijka b c =a b c =(1,13,21).53(5)113(12,9,7),()121(23,19,15).2531297=---⨯-=-⨯⨯=-=-----i jk i j kb c =a b c10.,(2,1,0)(0,1,2),,.(2,1,0)(0,1,2)(2,0,2),(0,1,2)(2,1,0)(2,2,2).cos ,|ABCD AB AD AC BD AC AB AD BD AD AB AC BD AC BD AC ==-<>=+=+-==-=--=--<>=在平行四边形中求两对角线的夹角解00,,.2||||||||||5,,,.2AC BD BD AC BD AB AD ABCD AC BD ππ==<>===<>=平行四边形为菱形故两对角线的夹角解二|11.(3,4,1),(2,3,0),(3,5,1),.(1,1,1)(1,1,1),(0,1,0),111(1,0,1),01012A B C ABC AB AC AB AC ABC =---=-=⨯==-=已知三点求三角形的面积三角形的面积解i j k12.(3,4,5),(1,2,2)(9,14,16).345(,,)1220,,9141613.|1,||5,3,|.344cos ,,sin ,,|||||sin ,15 4.||||555======-⨯-<>==<>=⨯=<>=⨯⨯=证明向量和是共面的因为故和是共面的.已知|求||证解a b c a b c a b c a =b a b =a b a b a b a b a b a b a b a b14.cos ,cos ,cos ,,(1)cos 0,cos 0,cos 0;(2)cos cos 0,cos 0;(3)cos cos cos .(1)(2)115.||,2x z αβγαβγαβγαβγπαβγ=≠≠==≠==-===设向量的方向余弦在下列各情况下指出的方向特征与轴垂直是沿轴的的向量.(3)与三个轴的夹角相等,都是设的三个方向角满足求的坐标解a a .a .a a a aa 22222222cos 21,(2cos 1) 1.1cos ,2(21)1,4211,2(21)0,0,.2cos 0,,(0,0,213cos ,cos ,.(1,1,0).24416.,(75)(3),(4)(72),co x x x x x x x x x αααααπααππααα+=+-==+-=-+=-=========-⊥+-⊥-设为两非零向量且求22解2cos 2cos .a a =ab ,a b a b a b a b 2222222222s ,.(75)(3)0,7||15||16||||cos ,0,(4)(72)0,7||8||30||||cos ,0.||||1516cos ,7,||||||||830cos ,7.||||716730||1516||83<>-+=-+<--=+-<⎧-+<-⎪⎪⎨⎪-<-⎪⎩---=--解a b a b a b a b a b a b >=a b a b a b a b a b >=b b a b >=a a b b a b >=a a b a ||1,1||157871cos ,.15162830==---<==--b a a b >。
《高等工程数学》科学出版社版习题答案(第五章)
《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第五章）（此习题答案仅供学员作业时参考。
因时间匆忙，有错之处敬请指正，谢谢！） （联系地址：yangwq@ ） P113 1．11100110210010103050010110101010111()()010305010035201011101500152022T TT T T TA A FG F F GG A M P A G GG F F F +--⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1)的满秩分解是： 的广义逆是：111210301012121062565105652101()()0161021211432541621438T TT T T TB B FG F F GG B M P B G GG F F F +---⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(2) 的满秩分解是： 的广义逆是：2．11111010,,0100011000101111()000100P A Q PAQ A A Q A P PAQ +-+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤==≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦取则有：3． （1）自己验证M-P 广义逆的四个条件即可(2) 因为rank(A)= rank(AA +A)≤rank(AA +)≤rank(A +)= rank(A +A A +)≤rank(A +A) ≤rank(A) 所以命题成立4．（1）因为rank （A|b ）＝rank （A ）所以是相容方程组1111112110111001211033211()3611362121()212622002111()()2226011211()031H H H H H HA A FG GG F F A G GG F F F x A b I A A t ----+--++⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢=+-=⎢⎢⎣⎦的满秩分解为：通解为：124123134134222321226223t t t t t t t t t t t t --⎡⎤⎢⎥-++⎢⎥⎥+⎢⎥⎥+-⎢⎥⎥--+⎣⎦ （2）因为rank （A|b ）＝rank （A ）所以是相容方程组[]111111101201()551()551021()()204255211()102525H H H H H H A A FG GG F F A G GG F F F c x A b I A A t c ----+--++⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦====⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+-=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦的满秩分解为：通解为：（3）因为rank （A|b ）＝rank （A ）所以是相容方程组11123()()10545652101101626102121141432381396311()10642141419321H H H HA G GG F F F t x A b I A A t t t +--++=⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦通解为：5． 自己验证广义逆的四个条件 6．1111111000(1)000000000000000000000000(2)000000000000000HH H HH HH H HG V UAGA U V V U U V U V U V A GAG V U U V V U V -------⎡⎤∑=⎢⎥⎣⎦∑∑⎡⎤∑⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑⎡⎤∑⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑⎡⎤⎡⎤∑∑⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑⎡⎤⎡∑∑⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣记1111110000000(3)000000000()000000(4)000000000()00000H HH H H r H HH H Hr H HU V U G AG U V V U U U I U U AG GA V U U V V V I V V GA A V ------+⎤⎡⎤∑==⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦∑∑⎡⎤⎡⎤∑∑⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∑⎡⎤⎡⎤∑∑⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎡∑=⎣所以HU⎤⎢⎥⎦。
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y e t dt
x
cos tdt
0
所确
0
0
定，求dy ； dx
2、
设
x
y
t2
1 u ln udu, (t 1) ,求d 2 y
1 u2 ln udu,
dx 2
t2
；
3、 d cos x cos( t 2 )dt ； dx sin x
4、设g( x) x2 dx ，求g(1) .
0 1 x3
dx x
4、
2 0
f
( x)dx
____，其中
f
(x)
x2 , 0 x 2 x , 1
1 x
2
.
5、设I1
cos mx cos nxdx ,
sin mx sin nxdx，
（1）、当m n 时， I1=__ ,I2 =_____ ， （2）、当m n 时，I1=___ ,I2 =_____ .
1、若 在 a
,
b
上
f
(x)
0,
且 b a
f
( x)dx
0
，
则
在
a , b上 f ( x) 0 ；
2、若在a , b上， f ( x) 0 ,且f ( x) 不恒等于 0 ，则
b
a f ( x)dx 0 ；
3、若在a , b上 f ( x) g( x),且
b
f ( x)dx
b g( x)dx ，则在a , b上f ( x) g( x) .
三、计算下列各定积分：
1、
2(x2
1
1 x2
)dx ;
3、 0 3 x 4 3 x 2 1 dx;
1 x 2 1
1
2、
2 1
2
dx ; 1 x2
4、
2
sin x dx
.
0
四、求下列极限：
( x e t2 dt)2
1、 lim x
0
x e 2t2 dt
;
0
1
x2 (1 cos t 2 )dt
三、1、 9
3 1 3
x
arctan
xdx
2
3
；
2、1 1
dx
arcsin 3 .
2 0 4 2x x2 x3
5
第三节 练 习 题
一、填空题：
Hale Waihona Puke 1、d dx b a
e
x2 2
dx
=_______
.
2、
xd (
f ( x))dx __________ .
a dx
3、 d 2 3 t ln(t 2 1)dt _______ .
4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ .
二、利用定积分的定义计算由抛物线y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a) 及横轴所围成的图形的面积 .
三、利用定积分的定义计算积分 b xdx ，( a b ) . a
四、利用定积分的几何意义，说明下列等式：
2、 lim 0
.
x0
5
x2
五、设 f ( x)为连续函数，证明:
x f (t)( x t)dt
_______________________；
3、当 a b 时 ，我们规定 b f ( x)dx 与 a f ( x)dx 的关
a
b
系是______________________；
4、积分中值公式
b f ( x)dx f ( )(b a) , (a b)的几何意义是 a
_______________；
a
a
练习题答案
一、1、 c f ( x)dx b f ( x)dx ；
a
c
2、m(b a) b f ( x)dx M (b a) , a b； a
3、
b
f ( x)dx
a f ( x)dx ；
a
b
4、曲边梯形各部分面积的代数和等于
f ( ) 与 b a 为邻边的矩形面积；
5、(1)>； (2)>； (3)>.
a
a
三、估计下列积分
3 3
xarc
cot
xdx
的值
.
3
四、证明不等式： 2 x 1dx 2 . 1
六、用定积分定义和性质求极限:
1、lim( 1 1 ... 1 );
n n 1 n 2
2n
2.、lim 4 sinn xdx. n 0
七、设 f ( x)及 g( x)在 a , b 上连续，证明：
5、下列两积分的大小关系是：
（1） 1 x 2dx _____ 1 x 3dx
0
0
（2） 2 ln xdx_______ 2 (ln x)2 dx
1
1
（3）
1 e xdx _______
1
( x 1)dx
0
0
二、证明：
b
kf ( x)dx k
b f ( x)dx （ k 是常数 ）.
练习题答案
n
一、1、lim 0 i1
f ( i )xi ；
2、被积函数,积分区间,积分变量；
3、介于曲线 y f ( x), x 轴 ,直线x a , x b 之间
各部分面积的代数和；
4、 b dx . a
二、1 (b3 a 3 ) b a. 3
三、1 (b2 a 2 ). 2
五、88.2(千牛).
第二节 练 习 题
一、填空题：
1、如果积分区间 a , b 被点c 分成a , c与c , b，则
定积分的可加性为 b f ( x)dx __________； a
2、如 果 f ( x)在a , b 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为
M 与 m ，则 a f ( x)dx 有如下估计式：_________ b
1
1、
1 x2dx ;
0
4
2、
2
cos
xdx
2
2 cos xdx
0
;
2
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知 闸门上水的压强 P 是水深 h 的 函数，且有
p 9.8h(千米 米2 )，若闸门高H 3米 ，宽 L 2米 ，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水
压力P （见教材图 5-3）.
第一节 练 习 题
一、填空题：
1、函数 f ( x) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限，
即 b f ( x)dx _________________ . a
2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 _________的记法无关 .
3、定积分的几何意义是_______________________ .
6、设 cos mx sin nxdx,
（1）、当m n 时，I3 =____ ,
（2）、当m n 时，I3 =_____ .
9
7、4 x(1 x )dx _____ .
8、
3 dx
1 3
1
x2
_____
.
x
cos
t 2dt
9、lim 0
________ .
x0
x
二、求导数：
1、设函数 y y( x) 由方程