东北大学高数试卷及答案2006.1.10
东北大学历年期末高等数学试题
八、高等数学试题 2005/1/10一、填空题（本题20分，每小题4分）1．已知==⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→a a x a x xx ，则9lim2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1112)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。
3．方程017=-+x x 共有 个正根。
4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2的曲率最大。
5．⎰=20sin πxdx x 。
二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ）（A ）若a x n n =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，则a x n n =∞→lim ；（B ）发散数列必然无界；（C ）若a x n n =-∞→13lim ，a x n n =+∞→13lim ，则a x n n =∞→lim ；（D ）有界数列必然收敛。
2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（ ）。
（A ）0)(0='x f ； （B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在； （D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。
3．函数⎰=xa dt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ）（A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。
4．设⎰-+=2242cos 1sin ππxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin ππdx x x N ，⎰--=22432)cos sin (ππdx x x x P ，则必有关系式（ ）（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。
2009-2011下册 东北大学高数期末考试试题
2008~2009学年第二学期试题一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0)3dzdx dy =-；(B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-；(C)曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)；(D) 曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1)2. 设10 (1,2,)n u n n≤<= ，则下列级数中必收敛的是[ ](A)1n n u ∞=∑； (B)1(1)nnn u∞=-∑； (C)n ∞=； (D)21(1)nnn u∞=-∑.3. 如果81lim1=+∞→nn n a a ，则幂级数∑∞=03n n n x a [ ] (A) 当8<x 时收敛； (B) 当2<x 时收敛； (C) 当81>x 时发散； (D) 当21>x 时发散.4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω++⎰⎰⎰= [ ] .(A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 525a π.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 .2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 .3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分()Lx y ds +⎰= .4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 .5. 设∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分，则曲面积分()234x y z dS ∑++⎰⎰= . 6. 设()f x 是周期为4的周期函数，它在[2,2)-上的表达式为0, 20()3, 022x f x x -≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，()f x 的Fourier 级数的和函数为()s x ，则(4)s = .三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1. 求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且与平面0x y z ++=垂直的平面方程.2. 设z = f (e xsin y , x 2+ y 2), 其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.3. 设(,,)F x y z 具有连续偏导数，且对任意实数t 有(,,)F tx ty tz (,,)k t F x y z =(k 为自然数)，试证:曲面(,,)0F x y z =上任意一点的切平面相交于一定点(设在任意点处2220x y z F F F ++≠).4. 计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y x =，2y x =所围成的闭区域.5. 将函数()arctan f x x =展开成关于x 的幂级数，并求展开式成立的区间. 四、 (8分) 设曲线积分[]⎰-+BA x dy x f ydx x f e )()(与路径无关，且21)0(=f ，求)(x f ，并求当A ，B 分别为（0，0），（1，1）时的曲线积分值.五、(8分) 计算积分222(I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是抛物面22z x y =+被平面4z =截下的有限部分的下侧.六、(8分) 3．(10分)平面通过球面x 2 + y 2 +z 2 = 4(x - 2y - 2z )的中心, 且垂直于直线L : 00x y z =⎧⎨+=⎩, 求平面与球面的交线在xOy 平面上的投影, 并求投影与(1, -4,1)点的最短和最长距离.七、(6分) )判断级数111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性.解答一、1. 【解】应选择C.),(),,(0000y x f y x f y x 存在只是全微分存在的必要条件，故A 是错误的。
2006级高等数学(下)及其参考答案
2006级高等数学（下）课程试题（A 卷）合分人：__________复查人：__________一.求下列函数的偏导数或全微分（每小题10分，共20分）1.设(,)z z x y =是由方程22230x y z xyz ++-=所确定的隐函数，23,u xy z =求/(1,1,1).x u解：令222(,,)3,F x y z x y z xyz =++-则 ////2323,23,23x xz zF z x yz F x yz F z xy xF z xy∂-=-=-=-=-∂- -----4分故 /2322232223.33.23x z x yz u y z xy zy z xy zxz xy∂-=+=-∂- -------8分/(1,1,1)132.x u =-=- ------10分2.设2(ln ,),z f x y x y f =-具有二阶连续偏导数，求2,.z dz x y∂∂∂解：////1212ln ,2z z x f y f f yf xyy ∂∂=+=-∂∂ -------4分////1212(ln )(2)x dzf y f dx f yf dy y=++- -------6分2///////11112221ln (2ln )2.z x x f yf y y f yf x yyyy∂=++--∂∂ -----10分二.计算下列二重积分（每小题10分，共20分） 1.计算,D⎰⎰其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.解：103200124)|62832109y Dydy y x dy y dy =-----=---------=-------=----⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分分分2.计算221,1Dxy dxdy x y +++⎰⎰其中22{(,)|1,0}.D x y x y x =+≤≥解：22222211111DDDxyxy dxdy dxdy dxdy xyx yx y+=+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------4分=122222210110811ln(1)|ln 2.1022Ddxdy d rdr xyrr ππθππ-+=----+++=+=-----⎰⎰⎰⎰分分三.（每小题10分，共20分）1.将()||,()f x x x ππ=-≤≤展开为傅立叶级数.解：由于()||()f x x x ππ=-≤≤是偶函数，所以0.(1,2,...)k b k ==-------3分222()cos (1)1(1,2,...)k k a f x kxdx k k πππ⎡⎤==--=⎣⎦⎰------6分,2,,y yyQ P P e x Q xe y e xy∂∂=+=-==∂∂002.a x d x πππ==⎰------8分故 214c o s (21)||()2(2)n n x x x n x ππππ∞=-=--≤≤-∑--------10分 2.计算()(2),yyLe x dx xe y dy L ++-⎰为过三点(0,0),(0,1),(1,O A B 的圆周上的弧段.O A B解：由于,2,,y yQ P P e x Q xe y xy∂∂=+=-=∂∂所以积分与路径无关----------4分故()()2(1,2)2(1,2)2(0,0)(0,0)72()|.1022yyyLex dx xe y dy xe y e x=++-=+-=----⎰⎰分四.计算下列曲面积分（每小题10分，共20分） 1.计算4(2),3Sy z x dS S ++⎰⎰为平面1234x y z ++=在第一卦限的部分.解：由于//4442,2,,33x y z x y z z =--=-=-所以，4dS =-----分，故4(2)463SSy z x dS dS ++=------⎰⎰⎰⎰分xyD dxdy ===2.计算2232(1)(9),Sx z d y d z yz d z d x z d x d y S ++--⎰⎰是曲面221,(12)z x y z =++≤≤的下侧.解：补充平面221:2,(1)S z x y =+≤取上侧---------2分114SS S S +=--------⎰⎰⎰⎰⎰⎰分6xyD dxdydz dxdy Ω=------⎰⎰⎰⎰⎰分21(1).1022z dz πππππ=--=-=-------⎰分五.证明与应用题（每小题10分，共20分）1.试证(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).x y f x y x y ≠==⎩在(0,0)O 处偏导数存在，但不可微. 解：0(,0)(0,0)00lim lim0,x x f x f xx∆→∆→∆--==∆∆即/(0,0)0;x f =同理/(0,0)0.y f =-------6分而22//()()000[0,0(0,0)]limlimx yx y x x y y z f x f y ∆∆∆+∆∆→∆→∆→∆→∆-∆+∆=但22()()01lim0,2x yx y x y x∆∆∆+∆∆→∆=∆=≠故(,)f x y (0,0)O 处不可微。
2006年高考数学试卷(辽宁卷.文)含详解
2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用） 第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P A B P A P B =·· 球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数1sin 32y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2πＤ．4π2．设集合{}12A =，，则满足{}123A B = ，，的集合B 的个数是（ ） Ａ．1Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．83．设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ） Ａ．()()f x f x -是奇函数 Ｂ．()()f x f x -是奇函数 Ｃ．()()f x f x +-是偶函数Ｄ．()()f x f x --是偶函数4．1234566666C C C C C ++++的值为（ ） Ａ．61Ｂ．62 Ｃ．63 Ｄ．645．方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线12l l ，与同一平面所成的角相等，则12l l ，互相平行 ④若直线12l l ，是异面直线，则与12l l ，都相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3Ｄ．47．双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）Ａ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≥≥≤≤Ｂ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≥≤≤≤Ｃ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≤≤≤≤Ｄ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≤≥≤≤8．设⊕是R 上的一个运算，A 是V 的非空子集，若对任意a b A ∈，，有a b A ⊕∈，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ） Ａ．自然数集 Ｂ．整数集 Ｃ．有理数集 Ｄ．无理数集9．ABC △的三内角A B C ，，所对边的长分别为a b c ，，．设向量p ()=+，a c b ，q ()=--，b a c a ．若p q ∥，则角C 的大小为（ ）Ａ．π6 Ｂ．π3 Ｃ．π2 Ｄ．2π310．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）11．与方程221(0)xx y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（ ）Ａ．ln(1y =Ｂ．ln(1y =Ｃ．ln(1y =-Ｄ．ln(1y =-12．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y n n n+=<<--的（ ） Ａ．离心率相等Ｂ．焦距相等Ｃ．焦点相同Ｄ．准线相同2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数 学（供文科考生使用）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．F13．方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为 ．14．设0()ln 0x e x g x x x ⎧=⎨>⎩ ，，，≤则12g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．15．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是________．16．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．（以数作答） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x x =++∈，R ，求 （1）函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （2）函数()f x 的单调增区间．18．（本小题满分12分）甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； （2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． 19．（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F ，分别是边AB CD ，的中点，将ADE △沿DE 折起，如图所示，记二面角A DE C --的大小为θ（0πθ<<）． （1）证明BF ∥平面ADE ；（2）若ACD △为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值．C DAB CDEF20．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为22()=-+∈R ，n S pn n q p q ，n ∈+N ． （1）求q 的值；（2）若1a 与5a 的等差中项为18，n b 满足22log n a b =，求数列{}n b 的前n 项和． 21．（本小题满分12分） 已知函数321()()(2)3f x ax a d x a d x d =+++++，2()2(2)4=++++g x ax a d x a d ，其中00a d >>，，设0x 为()f x 的极小值点，1x 为()g x 的极值点，23()()0g x g x ==，并且23x x <，将点001123(())(())(0)(0)，，，，，，，x f x x g x x x 依次记为A B C D ，，，．（1）求0x 的值；（2）若四边形APCD 为梯形且面积为1，求a d ，的值． 22．（本小题满分14分）已知点112212()()(0)A x y B x y x x ≠，，，是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点，O 是坐标原点，向量OAOB ，满足||||OA OB OA OB = +-，设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=．（1）证明线段AB 是圆C 的直径；（2）当圆C 的圆心到直线20x y -=p 的值．2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用） 第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件AB ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P A B P A P B =··球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径 球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数1sin 32y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ D ） Ａ．π2Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π解：2412T ππ==，选D2．设集合{}12A =，，则满足{}123A B = ，，的集合B 的个数是（C ） Ａ．1Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．8解：{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个。
2006年高考辽宁卷
（19）本小题主要考查二项分布、分布列、数学期望等基础知识，考查 学生运用概率知识解决实际问题的能力.满分 12 分. （I）解法一：的概率分布为
1.2
1.18
1.17
P 由题设的，即的概率分布为
……………3 分
0
1
2
P 故的概率分布为
……………6 分
1.3
1.25
0.2
P
所以的数学期望为
……………9 分 解法二：的概率分布为
（I）求、的概率分布和数学期望、; （II）当时,求的取值范围. （20）（本小题满分14分） 已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程 为 （I）证明线段是圆的直径; （II）当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。
（21）（本小题满分12分） 已知函数f（x）=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，，且a＞0,d ＞0.设［1-］上，，在，将点A， B， C （I）求 （II）若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值 （22）（本小题满分12分） 已知,其中,设,. （I）写出; （II）证明:对任意的,恒有.
2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学
（供理科考生使用）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互互斥，那么
球的表面积公式
P(AB)=P(A)P(B)
如果时间A在一次试验中发生的概率P，
那么n次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中R表示球的半径
程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
2006年高考数学试卷(辽宁卷.理)含详解-推荐下载
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2006年高考.辽宁卷.文科数学试题及详细解答
2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用） 第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P A B P A P B =·· 球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数1sin 32y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2πＤ．4π2．设集合{}12A =，，则满足{}123A B =，，的集合B 的个数是（ ）Ａ．1Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．83．设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ） Ａ．()()f x f x -是奇函数 Ｂ．()()f x f x -是奇函数 Ｃ．()()f x f x +-是偶函数Ｄ．()()f x f x --是偶函数4．1234566666C C C C C ++++的值为（ ）Ａ．61Ｂ．62 Ｃ．63 Ｄ．645．方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率6．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线12l l ，与同一平面所成的角相等，则12l l ，互相平行 ④若直线12l l ，是异面直线，则与12l l ，都相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3Ｄ．47．双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）Ａ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≥≥≤≤Ｂ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≥≤≤≤Ｃ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≤≤≤≤ Ｄ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≤≥≤≤8．设⊕是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集，若对任意a b A ∈，，有a b A ⊕∈，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ） Ａ．自然数集 Ｂ．整数集Ｃ．有理数集Ｄ．无理数集9．ABC △的三内角A B C ，，所对边的长分别为a b c ，，．设向量p ()=+，a c b ，q ()=--，b a c a ．若p q ∥，则角C 的大小为（ ）Ａ．π6Ｂ．π3 Ｃ．π2 Ｄ．2π310．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）Ａ．2Ｃ．8Ｄ．711．与方程221(0)xx y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（ ）Ａ．ln(1y =+Ｂ．ln(1y =Ｃ．ln(1y =-+Ｄ．ln(1y =--12．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y n n n+=<<--的（ ） Ａ．离心率相等Ｂ．焦距相等 Ｃ．焦点相同 Ｄ．准线相同2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为 ．14．设0()ln 0x e x g x x x ⎧=⎨>⎩ ，，，≤则12g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．15．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是________．16．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．（以数作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x x =++∈，R ，求 （1）函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合；（2）函数()f x 的单调增区间． 18．（本小题满分12分）甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； （2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． 19．（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F ，分别是边AB CD ，的中点，将ADE △沿DE 折起，如图所示，记二面角A DE C --的大小为θ（0πθ<<）． （1）证明BF ∥平面ADE ；（2）若ACD △为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值．FC DA B C DEF20．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为22()=-+∈R ，n S pn n q p q ，n ∈+N ．（1）求q 的值；（2）若1a 与5a 的等差中项为18，n b 满足22log n a b =，求数列{}n b 的前n 项和． 21．（本小题满分12分） 已知函数321()()(2)3f x ax a d x a d x d =+++++，2()2(2)4=++++g x ax a d x a d ，其中00a d >>，，设0x 为()f x 的极小值点，1x 为()g x 的极值点，23()()0g x g x ==，并且23x x <，将点001123(())(())(0)(0)，，，，，，，x f x x g x x x 依次记为A B C D ，，，．（1）求0x 的值；（2）若四边形APCD 为梯形且面积为1，求a d ，的值．22．（本小题满分14分）已知点112212()()(0)A x y B x y x x ≠，，，是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点，O 是坐标原点，向量OAOB ，满足||||OA OB OA OB =+-，设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=．（1）证明线段AB 是圆C 的直径；（2）当圆C 的圆心到直线20x y -=的距离的最小值为5时，求p 的值．2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用） 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数1sin 32y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ D ） Ａ．π2Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π解：2412T ππ==，选D2．设集合{}12A =，，则满足{}123A B =，，的集合B 的个数是（C ）Ａ．1Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．8解：{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个。
2006年高考数学试题及答案(全国卷)
2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）一．选择题（1）已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=4，且ab =2，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π（2）设集合M={x|x 2-x<0},N={x||x|<2},则（A ）M φ=N （B ）M M N =（C ）M N M =（D ）R N M =（3）已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则（A ）f(2x)=e 2x (x )R ∈ （B ）f(2x)=ln2lnx(x>0)（C ）f(2x)=2e 2x (x )R ∈（D ）f(2x)= lnx+ln2(x>0)（4）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=（A ）-41 （B ）-4 (C)4 （D ）41 （5）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 7=35,则a 4=（A ）8 （B ）7 （C ）6（D ）5（6）函数f(x)=tan(x+4π)的单调递增区间为 （A ）(k π-2π, k π+2π),k Z ∈ （B ）(k π, (k+1)π),k Z ∈(C) (k π-43π, k π+4π),k Z ∈ （D ）(k π-4π, k π+43π),k Z ∈（7）从圆x 2-2x+y 2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为（A ）21（B ）53（C ）23 （D ）0（8）∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c ，且c=2a ，则cosB=（A ）41 （B ）43 （C ）42 （D ）32 （9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A ）16 π （B ）20π （C ）24π （D ）32π （10）在（x-x21）10的展开式中，x 4的系数为 （A ）-120 （B ）120 （C ）-15 （D ）15 （11）抛物线y=-x 2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（A ）34 （B ）57 （C ）58 （D ）3（12）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A ）85cm 2（B ）610cm 2 （C ）355cm 2（D ）20cm 2第Ⅱ卷（13）已知函数f(x)=a-121+x,若f(x)为奇函数，则a = 。
东北大学高等数学（下册）试卷答案及评分标准
东北大学高等数学（下册）试卷答案及评分标准2006．7．12一、选择题 (本大题6小题, 每小题4分, 共24分)1．)(B ； 2．)(A ； 3．)(C ；4．)(B ；5． )(D ；6. )(A 。
二．填空题（本大题5小题, 每小题4分, 共20分）1. 154221--=-=-z y x ；2．22-；3.44a π；4． λ=３；x x e C e C 321*.4+-；5．８． 三、（8分) 求过点M(3, 1, -2)且通过直线12354z y x =+=-的平面方程 所求平面的法线向量与直线12354z y x =+=-的方向向量s 1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, -2)和(4, -3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s 2=(4, -3, 0)-(3, 1, -2)=(1, -4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为-------------2分k j i k j i s s n 229824112521--=-=⨯=. ------------6分 所求平面的方程为8(x -3)-9(y -1)-22(z +2)=0, 即8x -9y -22z -59=0.------------8分三、（8分) 求微分方程x y y x sin 2=+'的通解 解：把方程改写为x x y x y sin 2=+', 则------------2分 )sin (22C dx e xx e y dx x dx x +⎰⋅⎰=⎰- )s i n (12C x d x x x+=⎰-----------6分 )cos (sin 12C x x x x+-=------------8分四．（8分) 设方程0>a ，a z a 2≤<，az z y x 2222=++，求全微分与dz 及y x z ∂∂∂2． 解：dy za y dx z a x dz -+-= 于是z a x x z -=∂∂，za y y z -=∂∂------------4分()()22z a y z x z a z a x y y x z -∂∂+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂∂()()()()322z a xy z a z a z a y xz a -+-=--+-=------------8分 五．（8分)计算σd y x y D ⎰⎰-22, 其中D 是由直线y =x 、x =1及y =0围成的闭区域.解 画出区域D , 可把D 看成是X --型区域: 0≤x ≤1, 0≤y ≤ x 于是⎰⎰⎰⎰-=-xD dy y x y dx d y x y 0221022σ ------------4分 ⎰⎰=-⋅-=103100232231)(3221dx x dx y x x 121=.------------8分 六．（8分) 设,0>a ,L 为圆ax y x 222=+逆时针方向一周，求⎰-L ydx x xdy y 22．解 y x P xy Q 22==, 22x y y P x Q +=∂∂-∂∂, ------------2分 由Green 公式有⎰-L y d x x x d y y22=dy dx x y D⎰⎰+)(22 =dr r d a ⎰⎰θπθcos 203202------------6分=⎰2044cos 4πθθπd a=443a π------------8分七．（８分）将函数xx f 431)(+=，展开为)2(+x 的幂级数并给出收敛域． 解：5)2(41151)2(451431+-⋅-=++-=+x x x ------------2分 ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=05)2(451n nx∑∞=++-=01)2(54n n n nx ------------6分收敛域满足 15)2(4<+x 解出得 43413-<<-x ------------8分 八．（8分)设0>a ，物体占有空间Ω是由yoz 坐标面上曲线az z y 222=+绕z 轴旋一周所形成的曲面所围成的闭区域，体密度函数为常数0ρ，求该物体对于坐标原点的转动惯量． 解：所求转动惯量为⎰⎰⎰Ω++=dv z y x I )(22200ρ，:Ωaz z y x 2222≤++------------2分利用球坐标替换，有dr r r d d I a ⎰⎰⎰=ππθϕϕθρ2020cos 202200sin ⎰=20550sin cos )2(512πϕϕϕπρd a ------------6分 2065506cos 522πϕπρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a 501532a πρ=------------8分 九．（８分）设曲面为抛物面)10(122≤≤--=z y x z ，取上侧 计算dxdy dzdx y dydz x 22233++⎰⎰∑．解：补充平面)1(0:220≤+=∑y x z 取下侧，则0∑与∑围成空间区域Ω 于是 ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-=00I ------------2分π2)(622++=⎰⎰⎰Ωdv y x πθπ2621031020+=⎰⎰⎰-dz r dr d r ------------6分ππ2)(121053+-=⎰dr r r πππ32=+=------------8分。
2006高考全国统一考试数学(全国Ⅰ.理)含答案
2006年普通高等学校招生全国统一考试（I ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 一、选择题⑴、设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则 A ．M N =∅ B ．M N M = C ．M N M = D ．M N R =⑵、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => C ．()22()x f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> ⑶、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．14⑷、如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A ．1B ．1-C ．⑸、函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭⑹、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14 B ．34 C ．4 D ．3⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π⑻、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 A ．43 B ．75 C ．85D ．3 ⑼、设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。
2006高考试题——数学(00001)
2006高考试题——数学文辽宁卷高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()(一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. （1）函数)321sin(+=x y 的最小正周期是 （A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）4π（2）设集合A ={1,2}，则满足A ∪B ={1,2,3}的集合B 的个数是（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）8（3）设)(x f 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是球的表面积公式24R S π=球的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！（A ）)(x f )(x f -是奇函数 （B ）)(x f |)(x f -| 是奇函数（C ）)(x f －)(x f -是偶函数 （D）)(x f +)(x f -是偶函数（4）5646362616C C C C C++++的值为（A ）61 （B ）62 （C ）63 （D ）64 （5）方程02522=+-x x的两个根可分别作为（A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率（C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率（6）给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线21,l l 与同一平面所成的角相等，则21,l l 互相平行.④若直线21,l l 是异面直线，则与21,l l 都相交的两条直线是异面直线.高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！其中假．命题的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7）双曲线422=-y x 的两条渐近线与直线3=x 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是 （A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3000x y x y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≥-3000x y x y x （C ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤-3000x y x y x （D ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≤-3030x y x y x（8）设○+是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集. 若对任意A b a A b a ∈⊕∈有,,，则称A 对运算○+封闭. 下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是 （A ）自然数集 （B ）整数集 （C ）有理数集（D ）无理数集（9）△ABC 的三内角A ，B ，C ，所对边的长分别为c b a ,,，设向量p ),(b c a +、q =).,(a c a b -- 若p ∥q ，，则角C 的大小为高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！（A ）6π （B ）3π （C ）2π （D ）32π（10）已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，顶角的正切值是（A ）23 （B ）3 （C ）815 （D ）715（11）与方程)0(22≥+-=x e e y xx的曲线关于直线x y =对称的曲线的方程为 （A ）)1ln(x y += （B ）)1ln(x y -= （C ）)1ln(x y +-=（D ）)1ln(x y --= （12）曲线)6(161022<=-+-m my m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的（A ）离心率相等 （B ）焦距相等 （C ）焦点相同 （D ）准线相同绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！分. （13）方程)1(log 2)1(log 22--=-x x 的解为 .（14）设⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x e x g x 则=))21((g g . （15）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P —ABCDEF ， 则此正六棱锥的侧面积是 . （16）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有种.（以数作答）三．解答题：本大题共小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2006年普通高等学校招生统一考试理科数学试题参考答案
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 1．B 2．D 3．A 4．B 5．C 6．B 7．C 8．A 9．D 10．B 11．B 12．B 二、填空题 13．π314．11 15．2400 16．π6三、解答题 17．解：由πA B C ++=，得π222B C A+=-， 所以有cos sin 22B C A+=． 22cos 2cos2cos 2sin212sin 2sin22132(sin )222B CA AA A AA ++=+=-+=--+．当1sin 22A =，即π3A =时，cos 2cos 2BC A ++取得最大值32． 18．解：（I ）设i A 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，012i =，，， i B 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，012i =，，． 依题意有12124224()2()339339P A P A =⨯⨯==⨯=，．01111111()()2224222P B P B =⨯==⨯⨯=，．所求的概率为010212()()()p P B A P B A P B A =++141414494929=⨯+⨯+⨯ 49=． （II ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ~4(3)9B ，． 35125(0)9729P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， 2134100(1)C 9243P ξ5⎛⎫==⨯⨯=⎪9⎝⎭， 223480(2)C 9243P ξ5⎛⎫==⨯⨯= ⎪9⎝⎭， 364(3)729P ξ4⎛⎫===⎪9⎝⎭． ξ的分布列为数学期望393E ξ=⨯=．19．解法一：（I ）由已知2211l MN l l MN l M ⊥⊥= ，，，可得2l ⊥平面ABN ．由已知1MN l AM MB MN⊥==，，可知A N N B =且AN NB ⊥． 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影，AC NB ∴⊥． （II ）Rt Rt CNA CNB △≌△，AC BC ∴=，又已知60ACB =︒∠，因此ABC △为正三角形． Rt Rt ANB CNB △≌△，NC NA NB ∴==，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心，连结BH NBH ，∠为NB 与平面ABC 所成的角．AB CHN1l2lM在Rt NHB △中，cos 3ABHB NBH NB ===∠ 解法二：如图，建立空间直角坐标系M xyz -． 令1MN =，则有(100)(100)(010)A B N -，，，，，，，，． （I ）MN 是12l l ，的公垂线，21l l ⊥，2l ∴⊥平面ABN ． 2l ∴平行于z 轴．故可设(01)C m ，，． 于是(11)(110)AC m NB ==-，，，，，， 1(1)00AC NB =+-+=，AC NB ∴⊥．（II ）(11)(11)AC m BC m ==- ，，，，，．||||AC BC ∴=，又已知60ACB =︒∠，ABC ∴△为正三角形，2AC BC AB ===． 在Rt CNB △中，NBNC =C ． 连结MC ，作NH MC ⊥于H，设(0)(0)H λλ>，．(01)HN MC λ∴=-= ，，．11203HN MC λλλ=--=∴= ，．103H ⎛∴ ⎝⎭，，，可得203⎛= ⎝⎭ ，，HN ，连结BH ，则 113BH ⎛=- ⎝⎭ ，，， 220099HN BH HN BH =+-=∴⊥ ，，又MC BH H = ，∴HN ⊥平面ABC ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角． 又(110)BN =-，，，l43cosBH BNNBHBH BN∴===∠．20．解：（I）椭圆方程可写为22221y xa b+=，式中0a b>>，且2232a ba⎧-==⎩，得2241a b==，，所以曲线C的方程为221(00)4yx x y+=>>，．1)y x=<<，y'=设00()P x y，，因P在C上，有00401|x xxx y yy='<<==-，，得切线AB的方程为004()xy x x yy=--+．设()0A x，和()B y，，由切线方程得1xx=，4yy=．由OM OA OB=+得M的坐标为()x y，，由x，y满足C的方程，得点M的轨迹方程为()2214112x yx y+=>>，．（II）222||OM x y=+，222444111yxx==+--，2224||154591OM xx∴=-+++=-≥，且当22411x x -=-，即1x =>时，上式取等号． 故||OM的最小值为3．21．解：（I ）()f x 的定义域为(1)(1)-∞+∞ ，，．对()f x 求导数得 222()e .(1)axax a f x x -+-'=-（i ）当2a =时，2222()e (1)xx f x x -'=-，()f x '在(0)(01)-∞，，，和(1)+∞，均大于0，所以()f x 在(1)(1)-∞∞，，，+为增函数． （ii ）当02a <<时，()0f x '>，()f x 在(1)(1)-∞+∞，，为增函数． （iii ）当2a >时，201a a-<<．令()0f x '=，解得1x =2x = 当x 变化时，()f x '和()f x 的变化情况如下表：()f x 在⎛-∞ ⎝，，⎫⎪⎪⎭，()1+∞，为增函数，()f x 在⎛ ⎝为减函数．（II ）（i ）当02a <≤时，由（I ）知：对任意(01)x ∈， 恒有 ()(0)1f x f >=．（ii ）当2a >时，取0(01)x =，，则由（I ）知0()(0)1f x f <=．（iii ）当0a ≤时，对任意(01)x ∈，，恒有111xx+>-且e 1ax -≥，得 11()e 111ax x xf x x x-++=>--≥． 综上当且仅当(2]a ∈-∞，时，对任意(01)x ∈，恒有()1f x >． 22．解：（I ）由14122333n n n S a +=-⨯+，1n =，2，3， ，① 得1114124333a S a ==-⨯+，所以12a =．再由①有114122333n n n S a --=-⨯+，2n =，3， ．②将①和②相减得()()111412233n nn n n n n a S S a a +--=-=--⨯-，2n =，3， ，整理得()11242n n n n a a --+=+，2n =，3， ，因而数列{}2nn a +是首项为124a +=，公比为4的等比数列，即12444n n n n a -+=⨯=，1n =，2，3， ，因而42n n n a =-，1n =，2，3， ．（II ）将42n n n a =-代入①得()1412422333n n n n S +=⨯--⨯+()()11121223n n ++=⨯--()()1221213n n +=⨯--．()()112323112221212121n n n n n n n n T S ++⎛⎫==⨯=⨯- ⎪---⨯-⎝⎭，所以，11131122121nn i i i i i T +==⎛⎫=- ⎪--⎝⎭∑∑1131122121n +⎛⎫=⨯- ⎪--⎝⎭＜32．Ｂ卷选择题答案1．Ａ2．Ｃ 3．Ｂ 4．Ａ 5．Ｄ 6．Ａ 7．Ｄ8．Ｂ9．Ｃ10．Ａ 11．Ａ12．Ａ。
01-08东北大学高等数学(上)期末考试试卷
东北大学高等数学(上)期末考试试卷2001.1.10一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共3小题, 每小题4分, 共12分）1．⎰=dx xe x3（ ）2．d （ ）=24)111(dx x x++ 3．与三点123(1,1,2),(3,3,1),(3,1,3)M M M -决定的平面垂直的单位向量=→a （ ）二、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题共3小题, 每小题4分, 共12分) 1．当0→x 时，)cos 3(cos 41x x -是2x 的（ ） （A ） 高阶无穷小；（B ）同阶无穷小；但不是等价无穷小； （C ） 低阶无穷小；（D ）等价无穷小 2．若⎰+==x txc dt t ex f ex x g 022213)(,)(，23)()(lim=''+∞→x g x f x 则必有（ ） （A ）0=c ；（B ）1-=c ； （C ）1=c ； （D ）2=c3．已知4),(,2,1π===→→→→b a b a ，则=+→→b a （ ）（A ）5； （B ）21+； （C ）2；（D ）1 三．试解下列各题（5⨯7=35分）1. 求极限 xx xx x sin tan lim20-→.2. 242arcsin x x x y -+=，求y '3. 设函数⎩⎨⎧+=+=),1ln(,22t y t t x 求22dx yd . 4. 求不定积分⎰+21xxdx .5. 计算⎰+a adx a x x 2)ln(.四、（9分）设⎩⎨⎧≤->=1,1,)(2x x x x x f 研究)(x f 的连续性与可导性.五、（9分）已知直线L ：⎩⎨⎧=+-=-,133z y x y x 及点)2,1,2(0-P ，求点0P 到直线L 的距离.六、（9分）已知曲边三角形由抛物线x y 22=及直线1,0==y x 所围成，求：（1）曲边三角形的面积；（2）该曲边三角形绕0=y 旋转所成旋转体的体积.七、（8分）设可导函数)(x f y =由方程3223323=+-y xy x 所确定，试讨论并求出)(x f 的极值.八、（6分）设函数)(x f 在闭区间[]4,2上有连续导数，且0)4()2(==f f ，证明：⎰≥'≤≤4242)()(max dx x f x f x .东北大学高等数学(上)期末考试试卷2002.1.21一、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题共4小题, 每小题3分, 共12分）1. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=,1,01,11cos 1)(x x x x x f a 若在1x =连续, 则a = . 2.2(sincos )22x x dx -=⎰ . 3.若f (x )在(,)-∞+∞上连续, 则2sin 3()x xd f t dt dx =⎰ . 4.设{}{},3,5,8,1,1,,a b a b a b z +=-=-=-则z = .二、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案, 填在题末的括号中）(本大题共4小题, 每小题4分, 共16分)1．方程x 3-3x +1=0再区间(0,1)内（ ）（A ）无实根；（B ）有唯一实根；（C ）有两个实根；（D ）有三个实根.2．已知222112,1t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩, 则dy dx 为（ ）（A ）21;2t t - （B ）21;2t t - （C ）21;2x x- （D ）22.1tt - 3．半径为R 的半球水池已装满水, 要将水全部吸出水池, 需做功W 为（ ） （A ）22()RR y dy π-⎰； （B ）2Ry dy π⎰； （C ）22()Ry R y dy π-⎰； （D ）2Ry ydy π⎰.4. 设向量0,0a b ≠≠, 指出以下结论中的正确结论( ). （A ）0a b a b ⨯=是与垂直的充要条件； （B ）0a b a b ⋅=是与平行的充要条件；（C ）a b 与的对应分量成正比是a b 与平行的充要条件； （D ）若a b λ=(λ是数), 则0.a b ⋅= 三．试解下列各题（7⨯5=30分）1．求极限lim 1)n n →∞. 2. 设函数y =y (x )由方程e y +xy =e 所确定, 求(0)y ''. 3. y =x ln x , 求y (n ).4．求不定积分2arctan x xdx ⎰.5．计算π⎰.四．（6分）求过点(0,2,4)且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行的直线方程. 五．（6分）讨论函数sin 20()ln(1)0,xx f x x x <⎧=⎨+≥⎩ 在x =0处的连续性与可导性.六．（10分）求由22,y x x y x =-=-在上半平面围成图形的面积.七．（9分）在椭圆4x 2+y 2=4上任一点M (x , y ) (点M 在第一象限)处的切线与o x 轴, o y 轴分别交于A , B 两点. (1)试将该切线与两坐标轴围成的三角形的面积s 表示为x 的函数； (2) 问x 为何值时三角形面积s 最小, 并求出此最小面积.八．（6分）设函数f (x )是二次可导函数,x =a , x =b ( a < b ) 是方程f (x ) =0的相邻两个根, 又存在(,)c a b ∈, 使f (c ) < 0. 试证: (1)在(a , b )内f (x ) <0; (2) 在(a , b ) 内至少存在一点η, 使()0.f η''<东北大学高等数学(上)期末考试试卷2003.1.10一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共4小题, 每小题3分, 共12分）1． 设)(x f 处处连续，且3)2(=f ，则=→)2sin (3sin lim0xxf x x x ( )2． 函数31292)(23-+-=x x x x f 在闭区间( )单调减.3． ⎰=xdx 2tan ( )4． 已知,23→→→→--=k j i a →→→→-+=k j i b 2，则→→b a ,夹角的余弦是( ) 二、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题共4小题, 每小题4分, 共16分) 1．)()(xxee x xf --=在其定义域),(+∞-∞是（ ）.（A ）有界函数； （B ）单调函数； （C ）奇函数； （D ）偶函数 2．设)100()4)(3)(2)(1()(+⋅⋅⋅+-+-=x x x x x x x f ，则)1(f '=（ ）. （A ）101！； （B ）-100！； （C ）100!101-； （D ）99!100-. 3．定积分⎰4302sin πdx x =（ ）（A ）21； （B ）23； （C ）21-； （D ）23- 4．直线37423zy x =-+=-+与平面3224=--z y x 的关系是（ ） （A ）平行，但直线不在平面上； （B ）直线在平面上； （C ）垂直相交； （D ）相交但不垂直. 三．试解下列各题（6⨯6=36分）1． 求极限)1(1lim2222---→xx x e x x e2.设222,ln cos dx yd x x y 求= 3．设dy y x xyy x x y y ），求，所确定（由方程00arctanln)(22≠≠=+= 4．⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰⎰22sin cos 2200ππt dx y d udu e y udue x tu t u 。
2006年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科数学试题及解答(WORD版)
2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理工农医类）一、选择题(1)设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（） (A)1 (B)3 (C)4 (D)8【解析】{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个。
故选择答案C 。
【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。
(2)设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数 (C)()()f x f x --是偶函数 (D)()()f x f x +-是偶函数【解析】A 中()()()F x f x f x =-则()()()()F x f x f x F x -=-=，即函数()()()F x f x f x =-为偶函数，B 中()()()F x f x f x =-，()()()F x f x f x -=-此时()F x 与()F x -的关系不能确定，即函数()()()F x f x f x =-的奇偶性不确定，C 中()()()F x f x f x =--，()()()()F x f x f x F x -=--=-，即函数()()()F x f x f x =--为奇函数，D 中()()()F x f x f x =+-，()()()()F x f x f x F x -=-+=，即函数()()()F x f x f x =+-为偶函数，故选择答案D 。
【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。
(3)给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线.其中假．命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D 。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.设集合 $M=\{x|x^2-x<0\}$，$N=\{x||x|<2\}$，则（）。
A。
$M\cap N=\varnothing$B。
$M\cap N=M$C。
$M\cup N=\mathbb{R}$XXX2.已知函数 $y=e^x$ 的图象与函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，则（）。
A。
$f(2x)=e^{2x}$（$x\in\mathbb{R}$）B。
$f(2x)=\ln2\cdot\ln x$（$x>0$）C。
$f(2x)=2e^x$（$x\in\mathbb{R}$）D。
$f(2x)=\ln x+\ln 2$（$x>0$）3.双曲线 $mx^2+y^2=1$ 的虚轴长是实轴长的2倍，则$m=$（）。
A。
$\dfrac{3}{4}$B。
$1$C。
$-4$D。
$4$4.如果复数 $(m^2+i)(1+mi)$ 是实数，则实数 $m=$（）。
A。
$1$B。
$-1$C。
$0$D。
不存在实数 $m$ 满足条件。
5.函数$y=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$ 的单调增区间为（）。
A。
$(2k\pi,(2k+1)\pi)$，$k\in\mathbb{Z}$B。
$(2k\pi,(2k+1)\pi)$，$k\in\mathbb{N}$C。
$(2k\pi+\pi,(2k+1)\pi)$，$k\in\mathbb{Z}$D。
$(2k\pi+\pi,(2k+1)\pi+\pi)$，$k\in\mathbb{Z}$6.$\triangle ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为$a$、$b$、$c$，若 $a$、$b$、$c$ 成等比数列，且 $c=2a$，则 $\cos B=$（）。
2006年数学全国卷一(含答案)
焊接自动化提高产品质量和生产效率焊接是一种常见的金属加工技术，广泛应用于汽车制造、船舶建造、航空航天等各个领域。
传统的焊接方式主要靠工人手工操作，存在人为因素的干扰，因此容易出现质量不稳定和生产效率低下的情况。
为了解决这些问题，焊接自动化技术应运而生。
焊接自动化可以提高产品质量、提高生产效率，并且减少人力成本，受到广泛关注和应用。
焊接自动化通过引入机器人、自动化设备和智能控制系统，实现焊接过程的自动化，能够对焊接过程进行精确控制，提高焊接质量和生产效率。
焊接自动化可以分为多种应用形式，包括焊接机器人、焊接自动化生产线、焊接自动化装备等。
这些应用形式的不断完善和更新，为生产企业带来了更加灵活、高效和稳定的焊接生产方式。
焊接自动化可以提高产品质量。
传统手工焊接存在许多问题，比如焊接接头尺寸不一致、焊缝不均匀、焊接变形等，都会影响产品质量。
而引入焊接自动化技术后，可以实现焊接参数的精确控制，并且通过智能化系统进行监控和调节，确保焊接质量的稳定性和一致性。
这样能够减少人为因素的干扰，消除焊接缺陷，提高产品质量。
焊接自动化可以提高生产效率。
手工焊接需要工人进行反复操作，工艺繁琐耗时，而引入焊接自动化技术后，可以实现焊接过程的自动化和连续化。
焊接机器人可以根据预设程序进行自动作业，焊接速度快、效率高，而且可以连续工作24小时，极大地提高了生产效率。
焊接自动化技术还可以减少人力成本，节约时间和人力资源，降低生产成本，提高生产效益。
焊接自动化还可以提升生产安全性。
焊接作业过程中会产生大量有害气体和金属粉尘，对操作人员健康造成威胁。
而焊接机器人能够代替人工进行高温、高强度的焊接作业，有效降低了安全风险，保障了工人的健康和安全。
在实际应用中，焊接自动化技术已经得到了广泛的应用。
在汽车制造领域，焊接自动化已经成为汽车车身焊接的主要生产方式，能够满足大规模生产和高质量焊接的需求。
在航空航天领域，焊接自动化技术也被广泛应用于飞机和航天器的制造中，能够满足高品质、高精度的焊接要求。
2006年高考试题——数学文(辽宁卷) (1)
2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()(一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.（1）函数)321sin(+=x y 的最小正周期是 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π （2）设集合A ={1,2}，则满足A ∪B ={1,2,3}的集合B 的个数是（A ）1（B ）3（C ）4（D ）8（3）设)(x f 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 （A ）)(x f )(x f -是奇函数 （B ）)(x f |)(x f -| 是奇函数（C ）)(x f －)(x f -是偶函数 （D ）)(x f +)(x f -是偶函数（4）5646362616C C C C C ++++的值为 （A ）61 （B ）62 （C ）63 （D ）64（5）方程02522=+-x x 的两个根可分别作为（A ）一椭圆和一双曲线的离心率（B ）两抛物线的离心率 （C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率（6）给出下列四个命题：球的表面积公式24R S π=球的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线21,l l 与同一平面所成的角相等，则21,l l 互相平行. ④若直线21,l l 是异面直线，则与21,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4（7）双曲线422=-y x 的两条渐近线与直线3=x 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3000x y x y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≥-3000x y x y x （C ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤-3000x y x y x （D ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≤-3030x y x y x（8）设○+是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集. 若对任意A b a A b a ∈⊕∈有,,，则称A 对运算○+封闭. 下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（A ）自然数集（B ）整数集（C ）有理数集（D ）无理数集（9）△ABC 的三内角A ，B ，C ，所对边的长分别为c b a ,,，设向量p ),(b c a +、q =).,(a c a b --若p ∥q ，，则角C 的大小为（A ）6π（B ）3π（C ）2π（D ）32π（10）已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，顶角的正切值是（A ）23 （B ）3（C ）815 （D ）715 （11）与方程)0(22≥+-=x e e y x x的曲线关于直线x y =对称的曲线的方程为（A ）)1ln(x y += （B ）)1ln(x y -=（C ）)1ln(x y +-=（D ）)1ln(x y --=（12）曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的（A ）离心率相等 （B ）焦距相等 （C ）焦点相同 （D ）准线相同绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第II 卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）方程)1(log 2)1(log 22--=-x x 的解为 .（14）设⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x e x g x 则=))21((g g .（15）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P —ABCDEF ， 则此正六棱锥的侧面积是 .（16）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有种.（以数作答）三．解答题：本大题共小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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东北大学高等数学(上)期末考试试卷2006.1.一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分）1．下列结论中，正确的是（ ）（A ）有界数列必收敛； （B ）单调数列必收敛； （C ）收敛数列必有界； （D ）收敛数列必单调.2．函数)(x f 在0(,)U x δ内有定义，对于下面三条性质：≠)(x f 在0x 点连续；≡)(x f 在0x 点可导；≈)(x f 在0x 点可微. 若用“P Q ⇒”表示由性质P 推出性质Q ，则应有（ ）.（A ）≡⇒≈⇒≠； （B ）≡⇒≠⇒≈ ； （C ）≈⇒≠⇒≡ ； （D ）≠⇒≡⇒≈ . 3. 曲线3x y x=-（ ）.（A ）既有水平渐近线，又有垂直渐近线； （B ）仅有水平渐近线； （C ）仅有垂直渐近线； （D ）无任何渐近线. 4．函数)(x f 在[,]a b 上有定义，则()()b af x f x dx =⎰存在的必要条件是（ ）（A ）)(x f 在[,]a b 上可导； （B ）)(x f 在[,]a b 上可导连续； （C ）)(x f 在[,]a b 上有界； （D ）)(x f 在[,]a b 上单调. 5．()y y x =是微分方程23xy y e''+=的解，且0()0y x '=. 则必有（ ）（A ）()y x 在0x 某邻域内单调增加； （B ）()y x 在0x 某邻域内单调减少； （C ）()y x 在0x 取极大值； （D ）()y x 在0x 取极小值. 6．若)(x f 的导函数是sin x ，则)(x f 有一个原函数是（ ）. （A ）1sin x +； （B ）1sin x -； （C ）1cos x -； （D ）1cos x +.二、填空题（本题36分，每小题4分）1．1lim 1xx x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 2．1()11f x x=+的可去间断点是x = .3．1arctan y x=，则dy = . 4．1x xe dx ⎰的值是 .5．2tan limsin x x x x x→-= .6. 0x +→2x x α，则α= .7. 0(2)(3)dx x x +∞=++⎰.8. 设2323x t t y t t⎧=-⎨=-⎩，则22d y dx = . 9. 微分方程14dy y dxx-=-满足条件(1)1y =的特解是y = .三、（8分）计算不定积分22arctan 1x x dx x+⎰.四、（8分）求曲线326124y x x x =-++的升降区间，凹凸区间及拐点. 五、（8分）求微分方程323x y y y xe -'''++=的通解.六、（10分）在[]0,1上给定函数2y x =，问t 为何值时，如图所示阴影部分的面积1S 与2S 的和最小？并求此时两图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.七、（6分）设)(x f 在[],a b 上连续，且不恒为常数. 又)(x f 在(,)a b 内可微，且()()f a f b =. 试证：(,)a b ξ∃∈使()0f ξ'>.高等数学答案及评分标准 2006.1.10t一、单项选择题(本大题分6小题, 每小题4分, 共24分) 1．(C)2.(A) 3.(A ) 4 .(C). 5.(D)6. (B)二、填空题（本大题分9小题, 每小题4分, 共36分）1.2e 2.0=x 3.dx xdy 211+-= 4.e 21-5.316.52α=7.23ln8.2234(1)d ydxt =-9.)ln 41(x x y -=9*.kj i b a35--=⨯三、(8分)计算不定积分dxxx x ⎰+221arctan .解：⎰⎰+-+=+dxxxx x dx xx x 22221arctan arctan )1(1arctan ------------2分⎰⎰-=xxd xdx arctan arctanarctan------------4分Cx dx xx x x +-+-=⎰22)(arctan 211arctan ------------6分Cx x x x +-+-=22)(arctan 21)1ln(21arctan -----------8分四、(8分)求曲线412623++-=x x x y 的升降区间, 凹凸区间及拐点.解：y '=3x 2-12x +12,令 y '=0，得x =2.2≠x , y '>0故在),(+∞-∞内为上升曲线. -----------2分y ''=6(x -2).令y ''=0,得.x =2. - -----------4分 因为当2<x 时,y ''<0;当2>x 时,y ''>0,-----------6分所以凸区间为]2,( -∞,凹区间为),2[∞+ ,拐点为)12,2( .-----------8分 五、(8分)求微分方程xxey y y -=+'+''323的通解.解：微分方程的特征方程为r 2+3r +2=0,特征根为r 1=-1,r 2=-2,------------2分齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e -2x .-----------4分 因为f (x )=3xe -x,λ=-1是特征方程的单根, 故原方程的特解设为y *=x (Ax +B )e -x,-----------6分 代入原方程并整理得 2Ax +(2A +B )=3x ,比较系数得23=A ,B =-3,从而)323(*2x x ey x-=-.因此,原方程的通解为 )323(2221x x eeC eC y xxx-++=---. -----------8分五*、(8分)求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程. 解: 设过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束的方程为(x +y -z -1)+l (x -y +z +1)=0,即 (1+l )x +(1-l )y +(-1+l )z +(-1+l )=0,------------2分其中l 为待定的常数.这平面与平面 x + y + z = 0垂直的条件是 (1+l )⋅1+(1-l )⋅1+(-1+l )⋅1=0, 即l =-1.-----------4分将l =-1代入平面束方程得投影平面的方程为2y -2z -2=0, 即y -z -1=0.------------6分 所以投影直线的方程为⎩⎨⎧=++=--001z y x z y . -----------8分六、(10分)在[0，1]上给定函数2xy =，问t 为何值时,如图所示阴影部分的面积1S 与2S 的和最小，何时最大？并求此时两图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积. 解：点的坐标为),(2t t 故 322132tdx x t t S t=-⋅=⎰2321223231)1(tt tt dx x S t-+=--=⎰31342321+-=+=t t S S S ----------3分)12(2)(-='t t t S 令0)(='t S 得21,0==t t ---------6分比较31)0(=s ，41)21(=s ，32)1(=s可知，)(,21,t S t =最小---------8分此时，所求体积为21)41(21)41(2121421042⋅π-π+π-⋅π=⎰⎰dx x dx x V =316π-----------10分七、设上连续在],[)(b a x f ,且不恒为常数.内可微在又),()(b a x f ,)()(b f a f =且. 试证:.0)(),(>ξ'∈ξ∃f b a 使证明：因为)()(b f a f =, ],[)(b a x f 在上不恒为常数。
必有),(b a c ∈, 使)()(a f c f ≠, 不妨假设)()(a f c f >, 于是在],[],[b a c a ⊂上使用lagrange中值定理，),(),(b a c a ⊂∈ξ∃使))(()()(a c f a f c f -ξ'=---------2分从而0)()()(>--=ξ'ac a f c f f ---------4分若)()(b f c f <则))(()()(0c b f c f b f -ξ'=-)()()(0>--=ξ'cb c f b f f ---------6分。