20092011下册东北大学高数期末考试试题
东北大学历年期末高等数学试题
八、高等数学试题 2005/1/10一、填空题（本题20分，每小题4分）1．已知==⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→a a x a x xx ，则9lim2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1112)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。
3．方程017=-+x x 共有 个正根。
4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2的曲率最大。
5．⎰=20sin πxdx x 。
二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ）（A ）若a x n n =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，则a x n n =∞→lim ；（B ）发散数列必然无界；（C ）若a x n n =-∞→13lim ，a x n n =+∞→13lim ，则a x n n =∞→lim ；（D ）有界数列必然收敛。
2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（ ）。
（A ）0)(0='x f ； （B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在； （D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。
3．函数⎰=xa dt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ）（A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。
4．设⎰-+=2242cos 1sin ππxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin ππdx x x N ，⎰--=22432)cos sin (ππdx x x x P ，则必有关系式（ ）（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。
2009-2011下册 东北大学高数期末考试试题
2008~2009学年第二学期试题一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0)3dzdx dy =-；(B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-；(C)曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)；(D) 曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1)2. 设10 (1,2,)n u n n≤<= ，则下列级数中必收敛的是[ ](A)1n n u ∞=∑； (B)1(1)nnn u∞=-∑； (C)n ∞=； (D)21(1)nnn u∞=-∑.3. 如果81lim1=+∞→nn n a a ，则幂级数∑∞=03n n n x a [ ] (A) 当8<x 时收敛； (B) 当2<x 时收敛； (C) 当81>x 时发散； (D) 当21>x 时发散.4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω++⎰⎰⎰= [ ] .(A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 525a π.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 .2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 .3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分()Lx y ds +⎰= .4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 .5. 设∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分，则曲面积分()234x y z dS ∑++⎰⎰= . 6. 设()f x 是周期为4的周期函数，它在[2,2)-上的表达式为0, 20()3, 022x f x x -≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，()f x 的Fourier 级数的和函数为()s x ，则(4)s = .三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1. 求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且与平面0x y z ++=垂直的平面方程.2. 设z = f (e xsin y , x 2+ y 2), 其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.3. 设(,,)F x y z 具有连续偏导数，且对任意实数t 有(,,)F tx ty tz (,,)k t F x y z =(k 为自然数)，试证:曲面(,,)0F x y z =上任意一点的切平面相交于一定点(设在任意点处2220x y z F F F ++≠).4. 计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y x =，2y x =所围成的闭区域.5. 将函数()arctan f x x =展开成关于x 的幂级数，并求展开式成立的区间. 四、 (8分) 设曲线积分[]⎰-+BA x dy x f ydx x f e )()(与路径无关，且21)0(=f ，求)(x f ，并求当A ，B 分别为（0，0），（1，1）时的曲线积分值.五、(8分) 计算积分222(I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是抛物面22z x y =+被平面4z =截下的有限部分的下侧.六、(8分) 3．(10分)平面通过球面x 2 + y 2 +z 2 = 4(x - 2y - 2z )的中心, 且垂直于直线L : 00x y z =⎧⎨+=⎩, 求平面与球面的交线在xOy 平面上的投影, 并求投影与(1, -4,1)点的最短和最长距离.七、(6分) )判断级数111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性.解答一、1. 【解】应选择C.),(),,(0000y x f y x f y x 存在只是全微分存在的必要条件，故A 是错误的。
08~09学年第二学期高等数学期末试卷(有答案).docx
北京工业大学2008-2009学年第二学期期末 “高等数学(工)—2”课程试卷(A 卷)参考答案考试方式：闭卷考试时间：2009年6月29 口注：木试卷共四大题，满分100分一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
在每小题给出的四 个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的字母写在括号内. 若函数z = f(x,y)在点(0,0)处间断,贝！J 必有(A)爲％5)不存在(B)在点(0,0)无定义(C) /(X,y)在点(0,0)不可微(D) 彳(0,0)工(0,0)不存在已知点(1,1)是函数f(x,y) = 2x^3y-x a-y b的一个极值点，其中°上是大于1 的实数，则(B) a = 3.b = 25. 若级数》Q ”发散且色工0,则下列结论正确的是n=l二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分•将答案填写在题中的横 线上.% >1(C)5>1(D )弘14丨n71=1发散(A) \\ma n 0(B) lim 川T8川一>81. 2.(C) a = 2,b = 2(D) a = 3= 33. 设曲面工为上半球面z = ^l-x 2-y 2,则曲面积分口疔(C)匹3+ y 2 + z 2JS=[]4. (A) 4兀(B) 2/r(D )T下列方程不是线性微分方程的是(A) y /+ xy = e x(B) y" + 2y' + y = sin x6.方程= X +j确定了隐函数z = z(x,j),贝9z = z(兀，刃在点(L 0,1)处的全微分为_________________________________ .7.设空间区域Q由锥面z = + b与平面*3围成，则三重积分\\\ /(x2 +尸+ z 2)dV在球面坐标下的三次积分为 __________________________ Q8.设有向曲线厶的方程为F+y2_2y = 0,方向为顺时针方向。
高数考试试卷与答案
学号班级姓名装订线内不要答题东北大学课程名称：高等数学试卷： A 答案考试形式：闭卷试卷：共2页授课专业：管理、电子商务、计工、自动化、材料、环境考试日期： 2009 年 12 月 29 日题号一二三四总分得分阅卷装人一、填空题（每题 4 分，共24 分）1、极限lim[21222n]__1____订n n1n2n n22、已知lim e x1x1, 则a_3_x0 3 1ax212线x2t arctant33、曲线0 处的切线方程为__ x y 5 _______y23t ln(1在 tt 2 )4、已知函数f ( x)( x1)( x 2)( x3) ，则f'( x) 0的实根个数为 __ 2 __5、曲线y3 x 的拐点为_(0,0) _6、定积分11x2 (1sin x)dx___12二、选择题（每题 3 分，共21 分）1、极限lim x sin x[B]x0(A). 0(B) 1(C) e(D) e1x1,x 0,2 f (x)在 x0处[ B ]、函数1e x其它 .0,(A)极限不存在(B)连续不可导(C) 极限存在不连续(D) 可导3、设x0是f ( x) 的极值点，则[C](A) f' ( x)0(B) f'( x )不存在(C) f ' ( x )0 或不存在(D) f' ( x )c(c 0)00004、函数y1的单调减区间为 [B]xx(A) (,0)(B) [ 1,0)(0,1](C)(,1][1，)(D) [1，)5、曲线y xe x[B](A)在(,2) 是凹的，在 (2,) 是凸的(B)在 (,2)是凸的，在 (2,) 是凹的(C)在(,) 是凸的(D)在 (,) 是凹的6、设F ( x)为f (x)的一个原函数，则下列正确的是 [D](A) d f ( x)dx F ( x)(B) F ' ( x)dx f (x) c(C) F ' ( x)dx f ( x)(D)d f ( x)dx f ( x)dxx0x，7、已知 f (x)dx 1，其中 f ( x)ce ,[ B ]0,则 c其它 .(A) e1(B)11(C)1(D) 1ee三、计算题（ 39分）lim1x2 n1、（ 8分）讨论函数 f ( x) 2 n的连续性，若有间断点，判别其类型.n1x1 x 2nx, x 1,解：f ( x)lim0, x 1, ， -------------4 分1x 2nnx,x1.在 x1 处， lim f ( x)lim ( x) 1,x1x 1lim f ( x)lim x1,x1x1lim f ( x)lim f ( x) ---------------------6分x1x1所以 x 1 为第一类跳跃间断点 .在 x1 处， lim f ( x)lim x 1,x 1x 1lim f (x)lim( x)1,x 1x 1lim f (x)lim f (x)x 1x 1所以 x1 为第一类跳跃间断点 .---------------------------8分xyx0 所确定的隐函数的导数 dy .2、（ 7 分）求由方程 e tdtcostdtdxxytx0 左右两边同时对 x 求导得解：对方程costdtedte xy ( y xy ') cos x----------------5 分即dy ye xycos x----------------7 分dxxexy3、（ 8 分）计算不定积分 arctan xdx解： 设 xt ,则 x t 2, 即dx2tdt ，从而-----------2 分arctan xdx2 t arctan tdtarctan t dt 24分t 2 arctan t t 2d arctan tt 2 arctan tt 2 2 dt1 tt 21 t2 12t arctan t C6分 arctan t1 t2 dtt arctan t(x 1)arctanxx C8分21 2 ,x 0,4、（ 8 分）求1)dx ，其中 f ( x)1 xf (xxe x 2,其它 .解：设 x1 t ,则dx dt ，从而21)dx 10 f (t)dt1f ( xf (t)dt1 f (t )dt---------4 分 010 t 2dt11 2 dtte 01t11 e t21 ------------------------61 arctant分21 e------------------------8分245、（ 8 分）求常数 k 的值使得曲线 yx 2 与直线 xk, x k 2, y0 所围图形的面积最小。
东北大学高数下试题2010-2013_年
.
f (x, y)在(x0 , y0 )可微 f (x, y)在(x0 , y0 )连续 .
f (x, y)在(x0 , y0 )可微 f x (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 )存在 . 2．【解】应选择 B
设切点为(
x(t
0
),
y(t0
),
z(t
0
));
切向量为(
x(t0
2
4
8
4．将 f (x) 1 展开为关于 x 2 的幂级数时，其收敛域为 [
].
1 x
(A) (1, 5)； (B) (1, 1)； (C) (2, 4)； (D) (2, 2).
二. 填空题 （每题 4 分，共 16 分）
1．过点(3, 1, 4)且与 y 轴相交，又与平面 y + 2z = 0 平行的直线方程为_______________.
3．设 f (x, y)是连续函数，D 是由 y = x2, y = 0, x = 1 所围的区域，且 f (x, y)满
足恒等式
则 f (x, y) =[
f ( x, y) xy D
].
f( ,x )y d，x d y
(A) xy + 1； (B) xy 1 ； (C) xy 1 ； (D) xy 1 .
h 部分的外侧. 五 (8 分 ) 在 抛 物 面 : z x2 y2 1 上 求 一 点
M 0 (x0 , y0 , z0 ) (x0 0, y0 0, x02 y02 1) ， 使 在 点 M 0 处 的 切 平 面 与 柱 面
y 1 x2 及三个坐标面在第一卦限所围立体的体积最大. 六、(8 分)已知 L 是第一象限中从点(0, 0)沿圆周 x2 + y2 = 2x 到点(2, 0), 再沿
高一数学下期末试题及答案
长春外国语学校2009—2010学年第二学期高一年级期末考试数学试题审核人：陈亮 校对人：张浩一．选择题(每小题4分,共48分)1．sin480︒等于A ．12-B ．12C ．32-D ．322．若sin cos 0θθθ>，则在A ．第一、二象限B ．第一、四象限C ．第一、三象限D ．第二、四象限3．函数y=sin(2x+25π)的图象的一条对称轴的方程是 ( )A ．x=－2πB ．x=－4πC ． x=8πD ． x=45π4.设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则m M +等于（ ）A ．32B ．2-C ．34-D ． 32- 5．已知α是三角形的一个内角且2sin()cos()3παπα--+=，则此三角形是（ ）A ．锐角三角形B ． 直角三角形C ． 钝角三角形D ． 等腰三角形6．已知),3,2(,)1,2(x b a -==,且a ∥b ,则x =（ ）A ．34-B ．－3C ． 0D ．347．直线3410x y +-=的倾斜角为α，则cos α的值为( )A ．45- B.45 C.35 D. 34-8．已知(2,3)A ，(3,0)B ，且2AC CB =-，则点C 的坐标为 ( )A ．(3,4)-B ．8(,1)3C ．(4,3)-D ．8(1,)3-9．若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且52||=b ，则=b ( )A ．)2,4(B ．)2,4(--C ．)3,6(-D ．)2,4(或)2,4(-- 10．要得到函数y=cos2x 的图象，只需将y=cos(2x+4π)的图象 （ ） A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位11．若角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ）A ．2B 2-C 0D 2-或212．xx )21()2cos(=+π在]100,0[π∈x 上的实数解的个数是 （ ）A.98B.100C.102D.200二．填空题(每小题4分，共20分)13．若)2,9(,)3,4(-==OB OA ，则AB 51=_________14．若三点A(-1，1)、B(2，-4)、C(x,-9)共线．则x 的值为________。
01-11东北大学高等数学(下)期末考试试卷
东北大学高等数学(下)期末考试试卷一、填空题（20分）1．曲线t t t e z t e y t e x 2,sin ,cos ===相应于点0=t 处的切线与oz 轴夹角的正弦=γsin （ ）2．设40,10:≤≤≤≤y x D ，则=⎰⎰Ddxdy x 3（ ）3．设L 是由2x y =及1=y 所围成的区域D 的正向边界，则=+++⎰Ldy y x x dx y x xy )()(24233（ ）4．周期为π2的周期函数)(x f ，它在一个周期上的表达式为ππ≤≤-=x x x f ,)(，设它的付立叶级数的和函数为)(x s ，则=)23(πs （ ） 5．微分方程0=+ydy xdx 的通解是（ ）二、 求解下列各题（32分）1．（8分）设yxe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2。
2．（8分）计算⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域。
3．（8分）计算曲线积分⎰Lxds ，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界。
4．（8分）求微分方程0)2(=-+ydx dy x y 的通解。
三．（9分）计算曲面积分⎰⎰∑-dxdy z )3(，其中∑是曲面222y x z +=上介于2=z 及3=z 之间部分的下侧。
四．（7分）判别级数∑∞=1223cos n nn n π的敛散性。
五．（9分）求微分方程x xe y y y 265=+'-''的通解。
六．（9分）将函数x x f 3sin )(=展开成)3(π+x 的幂级数，并指出收七．（9分）经过点（2，3，1）的平面中，求这样的平面，使得该平面与三个坐标面围成的第一卦限中的立体体积最小。
八. (7分)设)(u f 连续，试证：⎰⎰⎰-≤+=+111)()(du u f dxdy y x f y x高等数学试题答案 2001.07.16一、（1 （2）3； （3）0； （4）;2π-（5.C =二、1．'';y u x z e f f x ∂=+∂ 22""""'.y y y y u u u yx uxy u z x e f e f x e f f e f x y ∂=++++∂∂ 2．221rzdV d rdr zdz πθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰12407(2).12r r r dr ππ=--=⎰ 3．Lxds =⎰1L xds +⎰2L xds =⎰10+=⎰⎰4．112,(2)dydy y y dx x x ee dy C dy y-⎰⎰-==+⎰(2ln ).y y C =+ 三、22(3)(3)2Dx y z dxdy dxdy ∑+-=--⎰⎰⎰⎰220224)232[28r d rdr r r πθππ=-=-=⎰ 四、2cos 3,22n nn n n n n u v π=≤= 且用比值法知道1n n v ∞=∑收敛，再用比较法可知 原级数是收敛的 。
高等数学下册期末考试试题及答案
高等数学A （下册）期末考试试题【A 卷】考试日期：2009年一、A 填空题：(本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =,2b =，则a b ⋅= —4．2、设ln()z x xy =，则32zx y ∂=∂∂ —1/（y ＊y ） ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2x+4y+z-14=0 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ 1.414 ．※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题:（本题共5小题,每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 解：两边同时对x 求导并移项。
2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛?如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 条件收敛4、设(,)sin xz f xy y y=+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z z x x y ∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 (本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分)求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰， 其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、(本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =,222()[()]tF t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰,其中t Ω是由曲面z=与z =,求 3()lim t F t t +→． ———--——-———-—-—-——————-—-————--——-—-—备注：①考试时间为2小时;②考试结束时,请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
2009-2010(2)期末考试试卷(A)(高等数学)
9. 计算 zdS ，其中∑是上半球面 z 4 x 2 y 2 介于 z 1, z 2 之间的部分
10. 计算 xzdydz yzdzdx 2zdxdy ，其中∑是 x y z 1与三个坐标面围成区域的整个边界面 的外侧。
11. 已知连续函数 fΒιβλιοθήκη (x) 满足 f (x) e x
ds
=____________.
4．设 D: x2+y2≤1, 则 (4 1 x 2 y 2 )dxdy __________.
D
5. 若 y 1, y x, y x 2 为某个二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为 。
二、解答下列各题(1-6 小题每个 6 分，7-13 每题 7 分,总计 85 分)
武汉工业学院 2009 –2010 学年第 2 学期 期末考试试卷(A 卷)
课程名称 高等数学 2
学号：
注：1、考生必须在答题纸的指定位置答题，主观题要有必要的步骤。
2、考生必须在答题纸的密封线内填写姓名、班级、学号。
姓名：
班级：
3、考试结束后只交答题纸。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 2 分, 共 10 分)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
《高等数学》(下)2008-2009学年第二学期期末考试试卷
《高等数学》(下)2008-2009学年第二学期期末考试试卷第 2 页北京化工大学2008——2009学年第二学期《高等数学》（下）期末考试试卷 课程代码 M A T 1 3 9 0 1 T班级： 姓名： 学号： 分数：题号一 二 三 总分 得分一、填空（3分×6=18分）1．函数()ln z xy =的定义域 。
2．设y u zx =，则111d x y z u ==== 。
3．曲线22228x y z x y ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩(2,2,22处的切线方程 。
4．设Ω由不等式222x y z z ++≤，22z x y ≥+(),,d f x y z v Ω⎰⎰⎰在球坐标系下的三次积分为 。
5．设方程(),0cx az cy bz Φ--=确定了函数(),z f x y =，(),u v Φ有连续一阶偏导数，则z x∂=∂ 。
6．设∑为曲面2222x y z R ++=的下半部分()0z ≤的上侧，将对坐标的曲面积分 ()()(),,d d ,,d d ,,d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化成对面积的曲面第 3 页第 4 页 二、解下列各题（6分×7=42分）1．求函数23u x y z x yz =+-在点()1,1,2处的方向导数的最大值。
2．计算二次积分220sin d d y xy x x ππ⎰⎰。
第 5 页 3．设某种物质的质量在化学反应中随时间变化的速率与该物质当时的质量成正比，若初始时刻为100克的该物质，在1小时后质量减少为50克，问3小时后该物质还剩多少克？4．求曲面22z x y =+被2226x y z ++=所截出的有限部分的面积。
第 6 页5．设曲线L ：1y x =+（01x ≤≤），L 上任一点处的线密度为该点到原点距离的平方，求曲线L 质心的横坐标x 。
6．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰，Ω由2221x y z ++≤与221z x y +≥+确定。
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至 2010 学年度第 2 期 高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象 ： 2009 级 理科各 专业(本科)命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1．已知(2,1,),(1,2,4)a mb ==r r，则当m = 时，向量a b⊥r r ．2．(,)(2,0)sin()limx y xy y →= ．3．设区域D 为22y x +≤x 2，则二重积分Dd σ=⎰⎰ ．4．函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4．下列级数中收敛的是 ． A ．∑∞=+1884n n nn B ．∑∞=-1884n n nn C ．∑∞=+1824n n nnD ．1248n nn n ∞=⨯∑．5．级数1...-++A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 既绝对收敛又条件收敛 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin uz e v=，而u xy =，v x y =- 求xz ．2．设22(,tan())u f x y xy =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求yz ． 3．求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程． 4．计算 22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =．2x =和曲线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-r，(2,1,4)(4,2,1)n=-r ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。
东北大学高等数学(下)期末试题2013-2015
(B) (D)
∫∫∫ ( x
Ω
2
4 5； + y 2 + z 2 )dv = πR 3
0； ∫∫∫ ( x + y + z )dv =
Ω
( x ∫∫
∑
2
+ y 2 + z 2 )dS = 4π R 2 。
]
4．微分方程 y ″ + y = sinx 的一个特解的形式为[
4
(A) Ax sin x ；(B) A cos x + B sin x ；(C) Ax cos x + B sin x ；(D) Ax cos x + Bx sin x 。 5 ．设 f (u) 连续可微，且 ∫ f (u )du= k ≠ 0 ，其中 L 为圆周 = y
2
4. u = f ( x, xy ) 具有二阶偏导数，求
∂ 2u 。 ∂x∂y
5. 计算二重积分 二、
x 2 + y 2 ≤9
∫∫
( x 2 + y 2 − 7 x + 32 y + 1)dxdy 。
x 2 y′ + xy = 1 1. 求解微分方程的初值问题 y |x = 2 = 1
轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求 D 的面积。 高等数学（下）2014 年 7 月 一、单项选择题 1. 设向量 a = (2, −2, −5) 的起点坐标为 (2,1, 7) ，则[ （A） a 的终点坐标为 (4, −2,1) ； （C） a 与 y 轴的夹角为 arccos
2 2
]
（B） a 的长度为 6；
七、 （8 分）设 f (u)连续可微，L 为由 A 3,
(完整)东北大学历年期末高等数学试题
八、高等数学试题 2005/1/10一、填空题（本题20分，每小题4分）1．已知==⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→a a x a x xx ，则9lim2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1112)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。
3．方程017=-+x x 共有 个正根。
4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2的曲率最大。
5．⎰=20sin πxdx x 。
二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ）（A ）若a x n n =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，则a x n n =∞→lim ；（B ）发散数列必然无界；（C ）若a x n n =-∞→13lim ，a x n n =+∞→13lim ，则a x n n =∞→lim ；（D ）有界数列必然收敛。
2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（ ）。
（A ）0)(0='x f ； （B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在； （D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。
3．函数⎰=xa dt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ）（A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。
4．设⎰-+=2242cos 1sin ππxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin ππdx x x N ，⎰--=22432)cos sin (ππdx x x x P ，则必有关系式（ ）（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。
2008-2009(2)期末考试试卷(A)参考答案(高等数学)
0
0
7
a4
10
2
1
6.
7. 补上平面块∑1：z=h,x2+y2≤h2，取上侧。
由高斯公式 xdydz ydzdx zdxdy 3dv =h3
6
1
而 xdydz ydzdx zdxdy h3
8
1
所以原式= 0
10
8．
d y( y
y
1)
dx x
（3 分）
ln y ln x ln C y 1
y(x) 3y(x) 6xex （2 分）
（6 分） （8 分） （10 分）
2
特征方程： r 2 3r 0 的根为： r 0,3
对应的齐次微分方程的通解为 y C1 C2e 3x
4
可设特解为 y* ex (ax b) ，代入方程得 a 3, b 3 2
所以非齐次方程通解为
{2 y,1,3y 4}，
4
z y 3
过（1，1，1）的切向量为 s {2,1,3}
6
所求切线方程为
x 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
1
z
1
，
法平面为 2x y 3z 0
10
2
1 3
4.
5.
解：
Q x
y2，
P y
x 2 由格林公式，原式
(x2 y2)d xd y
5
x2 y 2 a1
2 d a r 2 r d r
高等数学 2 期末试卷（A）参考答案
09.6 一、填空题(每小题 2 分, 共 14 分)
3
1.
4
2.
x3 y4 z4
1
2 1
高数下试题2001-2013
东北大学高等数学(下)期末考试试卷一、填空题（20分）1．曲线t t t e z t e y t e x 2,sin ,cos ===相应于点0=t 处的切线与oz 轴夹角的正弦=γsin （ ）2．设40,10:≤≤≤≤y x D ，则=⎰⎰Ddxdy x 3（ ）3．设L 是由2x y =及1=y 所围成的区域D 的正向边界，则=+++⎰Ldy y x x dx y x xy )()(24233（ ）4．周期为π2的周期函数)(x f ，它在一个周期上的表达式为ππ≤≤-=x x x f ,)(，设它的付立叶级数的和函数为)(x s ，则=)23(πs （ ） 5．微分方程0=+ydy xdx 的通解是（ ）二、 求解下列各题（32分）1．（8分）设yxe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2。
2．（8分）计算⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域。
3．（8分）计算曲线积分⎰Lxds ，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界。
4．（8分）求微分方程0)2(=-+ydx dy x y 的通解。
三．（9分）计算曲面积分⎰⎰∑-dxdy z )3(，其中∑是曲面222y x z +=上介于2=z 及3=z 之间部分的下侧。
四．（7分）判别级数∑∞=1223cos n nn n π的敛散性。
五．（9分）求微分方程x xe y y y 265=+'-''的通解。
六．（9分）将函数x x f 3sin )(=展开成)3(π+x 的幂级数，并指出收七．（9分）经过点（2，3，1）的平面中，求这样的平面，使得该平面与三个坐标面围成的第一卦限中的立体体积最小。
八. (7分)设)(u f 连续，试证：⎰⎰⎰-≤+=+111)()(du u f dxdy y x f y x高等数学试题答案 2001.07.16一、（1（2）3； （3）0； （4）;2π-（5.C =二、1．'';y u x z e f f x ∂=+∂ 22""""'.y y y y u u u yx uxy u z x e f e f x e f f e f x y ∂=++++∂∂ 2．221rzdV d rdr πθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰12407(2).12r r r dr ππ=--=⎰ 3．Lxds =⎰1L xds +⎰2L xds =⎰10112+=⎰⎰4．112,(2)dydy y y dx x x ee dy C dy y-⎰⎰-==+⎰(2ln ).y y C =+ 三、22(3)(3)2Dx y z dxdy dxdy ∑+-=--⎰⎰⎰⎰220224)232[28r d rdr r r πθππ=-=-=⎰ 四、2cos 3,22n nn n n n n u v π=≤= 且用比值法知道1n n v ∞=∑收敛，再用比较法可知 原级数是收敛的 。
东北大学2011-2012-1高等代数试卷及答案
封…………○………线……………………………东 北 大 学 期 末 考 试 试 卷（ B 卷）2011 ---2012 学年第 一 学期课程名称：高等代数工（一）B . (2-n n A . 12213443-a a a a ； B . 12233441-a a a a ；C . 12223443-a a a a ；D . 12233444-a a a a .3． 若方程组12120λλ+=⎧⎨+=⎩x x x x 有非零解，则λ为（ ）.A .任意值；B . 1±；C .1；D . -1. 4． 若线性方程组增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等，下面正确的是( ) .A. 方程组无解；B. 方程组有唯一解；C. 方程组有无穷解；D. 方程组有解.5. A ，B ，C 均为3级方阵，设A 经第3行乘以5后变为B ，B 经过第3行与第1行交换位置变成C ，若设PA =C ，则P 为( ) .A .500001010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；B.500010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C.005010100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D. 005100010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 6. 设n 级方阵B 与C 满足'=B C C ，其中0=C ，则矩阵B 是（ ）. A . 正定的； B . 半正定的； C. 负定的； D. 半负定的.2．设行列式41248104811111211-=-D ，ij A 为ij a 的代数余子式，则1222324222-+-=A A A A .3. 设3级方阵A 按列分块为A =),,(γβα，且5=A ，又设()2,3,γαβα=-B ，则=B .4．矩阵101021210⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A , 则矩阵A 的伴随矩阵*A = . 5．二次型12(,,,)'=n f x x x X AX 在线性替换=X CY 下二次型的矩阵为 .6．t 满足 时，二次型222112132233222222-++-+-x tx x tx x x tx x x 是负定的.…………○………线………………………本试卷共 3 页，第2 页……………○………线……………………………2．（7分）设A为方阵，且2=A A，求证：()(21)+=+-k kA E E A.3．（8分）假设向量β可以经向量组12,,,αααn线性表出，证明：表示法是唯一的充分必要条件是12,,,αααn线性无关.3 页高代工一11-12-1学期2012.1-B(答案及评分标准)一、1. C ；2. B ；3. B ；4. D ；5. C ；6. B二、1. 8；2. 72；3. -15；4. 112221412--⎛⎫⎪-- ⎪⎪--⎝⎭；5. 'C AC ；6. 21t -<< 三、1.解：利用行列式性质 45r xr +，34r xr +， ………….. 3分 =543254321x x x x x +++++ ………….. 2分2.解：011121020022200101001111001001101100001-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，秩为4 ………….. 3分 1235,,,αααα为一个极大线性无关组 ………….. 3分 （或1345,,,αααα，或2345,,,αααα）4122ααα=- ………….. 3分四、解：由11221233x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，得2212132324y y y y y y --+=22213233()(2)3y y y y y ---+， 由113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，=2221233z z z -+ ………….. 4分 所用非退化线性替换为1110101113110012111001001001X Z Z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，….. 5分在复数域上，令1113100111001300100/3003iX i W i W⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=---= ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则规范形=222123w w w++………….. 3分在实数域上，令111131001110011/31001030030X W W⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=--= ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则规范形=222123w w w+-………….. 3分五、解：12111(2)(1)11λλλλ=---，当21λλ≠≠且时，有唯一解；………….. 5分当=2λ时，1212103/521212011/5021140000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，有无穷解；通解为230105k-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭….. 5分当=1λ时，121210101111010011140001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，无解. ………….. 5分六、1.解：1111100112--⎛⎫⎪=⎪⎪-⎝⎭010231121⎛⎫⎪--⎪⎪--⎝⎭，1111022110-⎛⎫⎪=⎪⎪-⎝⎭11/2011/21111-⎛⎫⎪--⎪⎪-⎝⎭，……….. 3分X=1111101100110112011--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1111022110-⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭=21169/25433--⎛⎫⎪--⎪⎪--⎝⎭……….. 2分2.证明：由A与E可交换，得001110()k k k k kk k kA E C A E C A E C A E-+=+++……….. 5分1()kk kE A C C E+++=(21)kE A+-……….. 2分3.证明：必要性反证法若12,,nααα相关，则存在不全为零的12,,nk k k使1122n n k k k ααα+++=0. 若有1122n n p p p βααα=+++，则有111()()n n n p k p k βαα=++++，这与条件矛盾，故12,,n ααα必无关. ……….. 4分 充分性 反证法 若表法不唯一，设有1122n n l l l βααα=+++及1122n n k k k βααα=+++，则必有111222()()()n n n l k l k l k ααα-+-++-=0，由表法不唯一，说明12,,n ααα相关，矛盾，故表法必唯一. ……….. 4分。
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2008~2009学年第二学期试题一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0)3dzdx dy =-；(B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-；(C)曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)；(D) 曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1)2. 设10 (1,2,)n u n n≤<=，则下列级数中必收敛的是[ ](A)1n n u ∞=∑； (B)1(1)nnn u∞=-∑； (C)1n ∞= (D)21(1)nnn u∞=-∑.3. 如果81lim1=+∞→nn n a a ，则幂级数∑∞=03n n n x a [ ](A) (B)(C) (D) .4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω++⎰⎰⎰= [ ] .(A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 525a π.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 .2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 .3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分()Lx y ds +⎰= .4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 .5. 设∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分，则曲面积分()234x y z dS ∑++⎰⎰= . 6. 设()f x 是周期为4的周期函数，它在[2,2)-上的表达式为0, 20()3, 022x f x x -≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，()f x 的Fourier 级数的和函数为()s x ，则(4)s = .三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1. 求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且与平面0x y z ++=垂直的平面方程.2. 设z = f (e xsin y , x 2+ y 2), 其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.3. 设(,,)F x y z 具有连续偏导数，且对任意实数t 有(,,)F tx ty tz (,,)k t F x y z =(k 为自然数)，试证:曲面(,,)0F x y z =上任意一点的切平面相交于一定点(设在任意点处2220x y z F F F ++≠).4. 计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y x =，2y x =所围成的闭区域.5. 将函数()arctan f x x =展开成关于x 的幂级数，并求展开式成立的区间. 四、 (8分) 设曲线积分[]⎰-+BA x dy x f ydx x f e )()(与路径无关，且21)0(=f ，求)(x f ，并求当A ，B 分别为（0，0），（1，1）时的曲线积分值.五、(8分) 计算积分222(I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是抛物面22z x y =+被平面4z =截下的有限部分的下侧.六、(8分) 3．(10分)平面通过球面x 2 + y 2 +z 2 = 4(x 2y 2z )的中心, 且垂直于直线L : 00x y z =⎧⎨+=⎩, 求平面与球面的交线在xOy 平面上的投影, 并求投影与(1,4, 1)点的最短和最长距离.七、(6分) )判断级数111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性.解答一、1. 【解】应选择C.),(),,(0000y x f y x f y x 存在只是全微分存在的必要条件，故A 是错误的。
曲面))0,0(,0,0(),(f y x f z 在点=的法向量为)1,1,3()1),0,0(),0,0((--±=-±y x f f 故B是错误的。
))0,0(,0,0(0),(0),(f xx y y x f z y y x f z 在点即曲线⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=====切向量为)3,0,1(),1(00===x x dxdz dxdy，故C 是正确的，D 是错误的。
2. 【解】应选择D...)1(,,,1,112121222绝对收敛故收敛由比较法收敛而∑∑∑∞=∞=∞=-<n n n n n n nu u n n u .3. 【解】应选择B时即由比值法，2181,81lim lim 33313331<<==+∞→++∞→x x x x a a xa x a n n n n n n n n 收敛∑∞=03n n nx a.4. 【解】应选择B.54202222254sin sin )(a dr r d d d drd r r dv z y x aπϕϕθθϕϕππ==⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ二、1. 【解】应填122146x y z --+==-； )6,4,2(),,(z y x F F F n z y x ==→，)12,8,2()2,2,1(-=→-n所求法线为：122146x y z --+==- 2. 【解】应填dx dy +；1)1,1(,2),(=-=x x f y x y x f ；1)1,1(,2),(=+-=y y f y x y x f ；dydx dz +=)1,1(。
3. 【解；曲线L 的方程为：1=+y x ，2)(==+⎰⎰ds ds y x LL。
4.【解】应填2π；ππθπ2)44(2123412022⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-===-Ωdr r r dz rdr d dv V r r5.【解613221361361)432(=⋅⋅⋅===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy dS dS z y x D6. 【解】应填3(4)4s =. 432)04()04((4))(4=++-==f f s x f x 的间断点，是.三、1. 【解】 12(1,0,2)M M =-- 平面0x y z ++=的法向量1(1,1,1)n =…1211022111i j kM M n i j k ⨯=--=--所求平面方程为 20x y z --=. 2. 【解】12e sin 2x zyf xf x∂=+∂ 22111221221e sin cos 2e sin 2e cos 4e cos x x x x zy yf y yf x yf xyf yf x y∂=++++∂∂ 221112221e sin cos 2e (sin cos )4e cos x x x zy yf y y x y f xyf yf x y∂=++++∂∂3. 【证】 F (tx , ty , tz ) = t k F (x , y , z )两边对t 求导得 xF 1 + yF 2 + zF 3 = kt k1F (x , y , z )令t = 1, 有xF x + yF y + zF z = kF (x , y , z )设(x 0, y 0, z 0)为曲面上任一点, 则过此点的切平面方程为 F x (xx 0) + F y (yy 0) + F z (zz 0) = 0即 xF x (x 0, y 0, z 0) + yF y (x 0, y 0, z 0) + zF z (x 0, y 0, z 0) = kF (x 0, y 0, z 0) = 0, 则过曲面上任一点(x 0, y 0, z 0)的切平面都经过坐标原点. 4. 【解】21xxDxydxdy xdx ydy =⎰⎰⎰⎰212012xx x y d x =⎰12401()2x x x dx =-⎰ 12401()2x x x dx =-⎰ 124=5. 【解】24221()1(1)1n n f x x x x x'==-+++-++ (21x <)两边积分 2422001(1(1))1x x n ndx x x x dx x =-+++-++⎰⎰352111(1)a r c t a n 3521nn x x x x x n +-=-+++++ 11x -<≤四、【解】 (,)[e ()], (,)xP x y f x y Q x y f x =+=-,(), e ()xQ P f x f x x y∂∂'=-=+∂∂ 因曲线积分与路径无关，因此Q P x y∂∂=∂∂， 即 ()e ()xf x f x '-=+ ()()e x f x f x '+=,解得 1()e e 2x xf x -=-+ 所以(1,1)(0,0)11[e e ][e e ]22x xx x I ydx dy --=++-⎰ 111010[e e ]2d x dy -=+-⎰⎰＝1101e 1[e e ]22e y --=-…五、【解】 补充∑1: z = 4 (x 2 + y 2 ≤ 4)上侧, 则 11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰设∑和1∑所围成的区域为Ω，则由高斯公式可得12222()x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ∑+∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰=2zdxdydz Ω⎰⎰⎰= 412823z zdz ππ⋅=⎰, 22122241664x y x dydz y dzdx z dxdy dxdy π∑+≤++==⎰⎰⎰⎰,128646433I πππ=-=-. 六、【解】 球面(x 2)2 + (y + 4)2 + (z + 4)2 = 36, 中心坐标(2,4, 4),平面的法向量为(0, 1, 1), 所求平面方程为(y + 4) + (z + 4) = 0, 即 y + z = 0. 交线2224(22)0x y z x y z y z ⎧++=--⎨-+=⎩, 在xOy 平面上投影为22(2)(4)136180x y z ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩. 设投影上一点(x , y , 0), 所求距离为 d 2 = (x1)2 + (y + 4)2 + 1令 2222(2)(4)(,,)(1)(4)1[1]3618x y F x y x y λλ-+=-+++++- (22)(2)2(1)018(4)2(4)09(2)(4)13618xy x F x y F y x y λλ-⎧=-+=⎪⎪+⎪=++=⎨⎪⎪-++=⎪⎩, 解出驻点(0, 0), (0,8), (8, 4), (4, 4)min max d d == 七、【解】 211ln(1)lim 1n nn n →∞-+210011ln(1)11limlim 22x x nx x x x x →=→--++=== 级数211n n ∞=∑收敛, 由比较审敛法, 级数111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛.2009~2010学年第二学期试题一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1. 函数222)2(),(x y x y x f -+=在闭区域1)1(22≤+-y x 上的最小值为 [ ] .(A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.2. 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1(,)ydy f x y dx ⎰⎰= [ ].(A) 11(,)xdx f x y dy ⎰⎰； (B)100(,)xdx f x y dy ⎰⎰；(C)11(,)ydy f x y dx ⎰⎰； (D)1(,)ydy f y x dx ⎰⎰.3. 设Ω为平面1x y z ++=与三个坐标面所围成的闭区域，则dv z y x )(++⎰⎰⎰Ω=[ ].(A) 1/6； (B) 1/8； (C) 1/12； (D) 1/24. 4.设(1)ln(1n n u =-，则级数 [ ].(A) 1n n u ∞=∑与21n n u ∞=∑都收敛； (B) 1n n u ∞=∑与21n n u ∞=∑都发散；(C) 1n n u ∞=∑收敛而21nn u ∞=∑发散； (D) 1n n u ∞=∑发散而21n n u ∞=∑收敛.二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1. 已知1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为4π，则b a += .2. 设Ω是由曲面z =与0=z 围成的立体，则Ω的形心坐标 . 3.设曲线Γ为连接)1,1,1(与(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分()x y z ds Γ++⎰= .4. 设∑为锥面22y x z +=被平面1=z 结下的有限部分，则曲面积分⎰⎰∑zdS = .5.幂级数∑∞=02n n n x a 的收敛区间为),(+∞-∞则a 应满足 .三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题7分，共计35分）1. 求过点)5,2,3(-M 且与两个平面34=-z x 和152=--z y x 的交线垂直的 平面方程.2. 求函数yz x u 32+=在点)1,1,1(处沿椭球面632222=++z y x 在该点的外法线方向的方向导数.3.计算22()Dx y dxdy +⎰⎰, 其中D 是由曲线222x y x +=，224x y x +=，y x =和0y =所围成的平面区域.4.求幂级数 +--+--+----nx x x x nn )1()1(3)1(2)1()1(132在其收敛域上的和函数.并求∑∞=--11)1(n n n 的值.5.设2)(x x x f +=,),[ππ-∈x 是周期为π2的函数，将)(x f 展成Fourier 级数. 并 求级数∑∞=121n n 的和. 四、(8分) 一质点在力j y x i y x y x F F )sin ()(),(22+--==的作用下，由点)0,0(O 沿上半圆22x x y -=移动到点)1,1(A ，求力F 所作的功.五、(8分) 计算曲面积分x y d x d y y zd zd x x zd y d z ⎰⎰∑++，其中∑是由抛物面223y x z +=和球面224y x z --=所围成立体的表面外侧.六、(8分) 设函数(,)f x y 有二阶连续偏导数，满足20fx y∂=∂∂，且存在一元函数()h u ，使(,)f xy h =，求(,)f x y .七、(5分) 设12(,)((,),(,))F x y f x y f x y =是在00(,)x y 的某邻域内定义的向量函数，定义12((,),(,))f x y f x y =为12((,),(,))f x y f x y 的模. 如果0000(,)(,)(,)F x x y y F x y A x B y C x D y o +∆+∆--∆+∆∆+∆=，其中,,,A B C D 是与,x y ∆∆无关而仅与00,x y有关的常数，o的高阶无穷小. 则称(,)F x y 在00(,)x y 点可微，记为00(,)(,)(,)x y dF x y A x B y C x D y =∆+∆∆+∆.设(,)(arctan , yF x y x=，求(1,1)(,)dF x y .解答一、1.【解】应选择A;⎪⎩⎪⎨⎧=-+==--+=02)2(2),(0)22)(2(2),(2222y x y x y x f x x y x y x f y x ⎩⎨⎧==⇒01y x ，1)0,1(=f . 的边界为D 0222=-+x y x ，的边界上的值为零在D ),(y x f . 0;1min max ==f f2.【解】应选择A ；10(,)ydy f x y dx ⎰⎰= σd y x f D⎰⎰),(=11(,)xdx f x y dy ⎰⎰3. 【解】应选择B ；dv z y x )(++⎰⎰⎰Ω=zdv ⎰⎰⎰Ω3=⎰⎰⎰zD dxdy zdz 103=⎰-1022)1(3dz z z=814. 【解】应选择D(1)ln(1nn u =-∑∞=1n n u 是交错级数nn11111+<++n 1n u )11(ln )11ln(1u =+<++=+nn又0)n11(ln lim u lim n n n =+=∞→∞→∑∞=1n nu 收敛∑∞=12n nu 是正项级数n n n u n 11~)1ln(1222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ∑∞=11n n发散⇒∑∞=12n nu发散二、1．【解】应填5；因为5224cos 212112)()(222=⋅+⋅⋅+⋅=+⋅+=+⋅+=+πb b a a b a b a b a所以 5=+b a2．【解】应填)83,0,0(.形心在轴上z ，0==y xdr r d d d drd r r zdv ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==132022cos sin sin cos ππϕϕϕθθϕϕϕ =442sin 214202πϕππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡r π32=⎰⎰⎰Ωdv 83324===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩππdv zdvz 3. 【解】应填146；曲线Γ的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=13121t z t y t x ，10≤≤t 。