重庆高中数学必修二 第四章《空间直角坐标系》全套教案
人教版高中数学必修2《四章 圆与方程 4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》公开课教案_13
数学思想专题第二讲 数形结合思想考纲解读：理解数形结合是高中数学的重要思想方法．会运用数形结合思想方法解决问题． 考情分析：纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决数学问题，往往事半功倍．数形结合的重点是研究“以形助数”，其中主要有两种主要的应用方向：第一是直接将代数问题转化为几何问题，解决几何问题后将其还原为代数问题的答案；第二是在解题过程中，画出图形，并依据图形信息的直观启示，探索修正解题思路与解题过程．数形结合作为一种重要的思想方法，已经渗透至数学的每一分支中．在高考试题中，大部分问题都可以用到这种思想方法，无论是选择题、填空题还是解答题．它属于高考重点考查的内容，高考试题对数形结合的考查主要涉及：(1)考查集合及其运算问题(韦恩图与数轴)．(2)考查用函数图象解决有关问题(如方程、不等式、函数的有关性质等)． (3)考查运用向量解决有关问题． (4)考查三角函数的图象及其应用．(5)解析几何、立体几何中的数形结合．真题试做1.(2015·重庆)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为 ( ) A.52－4 B.17－1 C.6－2 2 D.172.（2015·湖南）已知a ，b 单位向量，a ·b ＝0,若向量c 满足｜a +b +c ｜＝1，则｜c ｜的取值范围是( )A.1⎤⎦B. 2⎤⎦C. 1⎡⎤⎣⎦D. 2⎡⎤⎣⎦3. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=， E 为BC 中点，则AE BD ⋅=(A)-3 (B)0 (C)-1(D)14.（2012·上海联考）设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)类型一 数形结合思想解方程的根、函数的零点例1 (2014·福建)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________.变式训练1已知函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是 ( )A.5B.7C.9D.10题型二 数形结合解不等式问题例2 设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝43x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，求实数a 的取值范围.变式训练2(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是 ( )A.(－∞，0]B.(－∞，1]C.[－2,1]D.[－2,0]题型三 数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题例3 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则ba ＋1的取值范围为 ( )A.(－∞，1)B.(－∞，1]C.(－2,1]D.(－2,1)变式训练3已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范是( )A.[2,4]B.[2,16]C.[4,10]D.[4,16]题型四 数形结合解几何问题 例4 （2013·浙江联考）已知P 为抛物线y 2=4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y -4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与P 到y 轴距离之和的最小值是( )1221变式训练4已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.课堂反思：课堂检测1、(2013·高考重庆卷)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2 2、(2013·长春调研)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．3、(2012·天津)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_____________.4、(2013·高考四川卷)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是__________________.5、(2013·高考天津卷)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46、(2013·云南联考) 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程y ＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、[2013·辽宁卷改编] 若x ∈[0，1]，则x 与sin x 的关系为________。
人教A版数学必修二 4.3.1 《空间直角坐标系》学案2
重庆市万州分水中学高中数学 4.3.1 空间直角坐标系学案新人教A版必修2课前预习学案一、预习目标1.用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法．2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．二、预习内容1. 如何确定一个点在一条直线上的位置？。
2. 如何确定一个点在一个平面内的位置？。
3.从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴：x轴,y轴,z轴.这样就建立了，点O叫作，x轴、y轴、z轴叫作，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为 , , .4.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为。
5.空间任意点A的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点A在此，记作。
其中x 叫做点A的，y 叫做点A的，z叫做点A的。
6.空间两点间的距离公式。
三、提出疑惑1、；2、；3、。
课内探究学案一、学习目标1.让学生用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程．2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．学习重点：求一个几何图形的空间直角坐标。
学习难点：空间直角坐标系的理解。
二、学习过程思考1：如何确定一个点在三维空间内的位置？例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？思考2：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？思考3：（1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？典型例题例1、在空间直角坐标系O—xyz中，作出点P（5，4，6）．注意：在分析中紧扣坐标定义，第一步从原点出发沿x 轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z 轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）．变式练习： 已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的边长AB ＝12，AD ＝8，AA ′＝5，以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA ′分别为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．讨论：若以C 点为原点，以射线CB ，CD ，CC ′方向分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？例2、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。
高中数学必修二教案-2.4.1 空间直角坐标系4-人教B版
2.空间任意一点p与三个实数的有序数组之间的一一对应关系。
3.特殊位置的点的坐标
（1）xoy平面是坐标形如(x,y,0)的点构成的点集。
xoz平面是坐标形如(x,0,z)的点构成的点集。
yoz平面是坐标形如(0,y,z)的点构成的点集。
(2)x轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集。
y轴是坐标形如(0,y,0)的点构成的点集。
z轴是坐标形如(0,0,z)的点构成的点集。
4.空间点的对称问题
1.空间直角坐标系的建立(右手系)
2.空间直角坐标系（原点，坐标轴，坐标平
面）
3.空间中点的坐标（p (x,y,z))
4.空间点的对称问题(关于谁对称，谁不变，
其余相反)
教材练习B.2.3。
高中数学必修二《空间直角坐标系》优秀教学设计
4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系教材分析本节课内容是数学必修2 第四章圆与方程的最后一节的第一小节。
课本之所以把“空间直角坐标系”的内容放在必修2的最后即第四章的最后，原因有三：一、“空间直角坐标系”的内容为以后选修中用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题打基础，做好准备；二、必修2第三、四章是平面解析几何的基础内容，本节“空间直角坐标系”的内容是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；三、本套教材从整体上体现了“螺旋式上升”的思想，本节内容安排“空间直角坐标系”，为以后的学习作铺垫，正是很好地体现了这一思想。
本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中由点的位置确定点的坐标以及由点的坐标确定点的位置等问题。
结合图形、联系长方体和正方体是学好本小节的关键。
课时分配本小节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间直角坐标系的建立以及空间中的点与坐标之间的联系。
教学目标重点：空间直角坐标系，空间中点的坐标及空间坐标对应的点。
难点：右手直角坐标系的理解，空间中的点与坐标的一一对应。
知识点：空间直角坐标系的相关概念，空间中点的坐标以及空间坐标对应的点。
能力点：理解空间直角坐标系的建立过程，以及空间中的点与坐标的一一对应。
教育点：通过空间直角坐标系的建立，体会由二维空间到三维空间的拓展和推广，让学生建立发展的观点；通过空间点与坐标的对应关系，进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识。
自主探究点：如何由空间中点的坐标确定点的位置。
考试点：空间中点的确定及坐标表示。
易错易混点：空间中的点与平面内的点以及它们的坐标之间的联系与区别；空间直角坐标系中x轴上单位长度的选取。
拓展点：不同空间直角坐标系下点的坐标的不同；空间中线段的中点坐标公式。
教具准备多媒体课件和三角板课堂模式师生互动、小组评分以及兵带兵的课堂模式。
一、引入新课由数轴上的点和平面直角坐标系内的点的表示引入空间中点的表示。
重庆市大学城第一中学校人教版高中数学必修二导学案：第四章第三节空间直角坐标系 导学精要
第四章第三节空间直角坐标系导学精要三维目标1．了解空间直角坐标系与空间点的坐标的意义；2. 能用空间直角坐标系表示点的位置。
__________________________________________________________________________目标三导学做思1问题1. 在数轴上，点与一一对应，在直角坐标平面上，点与一一对应，那么空间中的点又与什么对应？问题2. 如何建立空间右手直角坐标系？问题 3. 在空间直角坐标系中，什么叫坐标原点？坐标轴？坐标平面？什么是横坐标？纵坐标？竖坐标？【试试】如图，在在长方体OABC–D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| = 2.写出D′、C、A′、B′四点的坐标。
【变式】在上题图中连结、,交点为E，连结、, 交点为F,分别求点E、F的坐标。
问题4. 在空间直角坐标系中，求空间中点的坐标的方法是什么？【结论】在空间直角坐标系下，特殊点的坐标特征：坐标轴上点的坐标特征：1、轴上点的坐标：2、轴上点的坐标：3、轴上点的坐标：坐标平面上的点的坐标的特征：xOy平面上点的坐标特点是_________________xOz平面上点的坐标特点是_________________yOz平面上点的坐标特点是_______________*【学做思2】1.如图建立空间直角坐标系,已知正方体的棱长为2. .求正方体各顶点的坐标.(2) 已知点( 1,3,4)和(-3,7,8),点P是线段上一个三等分点（靠近），求点P的坐标。
达标检测1.如右图：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，求E、F点的坐标。
2.点A(2,0,3)在空间直角坐标系的位置是()A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．yOz 平面上3. 正三棱柱ABC-A 1B 1C 1,底面边长为2，侧棱长为3，建立下图的空间直角坐标系，请分别写出各顶点的坐标。
高中数学必修2《空间直角坐标系》教案
高中数学必修2《空间直角坐标系》教案高中数学必修2《空间直角坐标系》教案【教学目标】1、知识与技能(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。
(2)掌握利用坐标表示空间直角坐标系中点的方法。
2、过程与方法：经历空间直角坐标系的建立及刻画点的过程，进一步体会类比的思想，经历用代数方法刻画几何位置的过程，进一步培养学生的空间想象能力。
3、情感、态度与价值观在建立空间直角坐标系的过程中，体会数学在确定空间方位中的作用。
【教学重点】空间直角坐标系的建立;空间直角坐标系中点的坐标表示。
【教学难点】在空间直角坐标系中画出给定坐标的点的位置。
【教学过程】[导入课题]同学们，在初中大家已经学过平面直角坐标系，我们知道，如果研究平面上的问题，我们就可以建立平面直角坐标系。
那么，如果研究空间中的问题呢?(展示幻灯片)，例如：如何确定飞机在空中的位置，又如，怎样确定某位同学的头在教室中的位置?显然，这些都是空间问题，建立平面直角坐标系不能解决这些问题，需要建立一种新的坐标系——空间直角坐标系(幻灯片展示课题)、(板书课题)。
这一节课我们就来学习空间直角直角坐标系。
首先，我们来学习第一部分：(一)、建立空间直角坐标系(板书：建立空间直角坐标系)(运用类比的思想方法)[新知探究]现在请大家类比建立平面直角坐标系的方法，思考怎样建立空间直角坐标系?启发：1、平面直角坐标系有几条坐标轴?两条坐标轴是否垂直?2、空间直角坐标系会有几条坐标轴?这三条坐标轴两两垂直(模型演示)。
运用模型介绍空间直角坐标系各部分的名称：原点、坐标轴、坐标平面，及右手螺旋法则。
空间直角坐标系的画法：怎样把空间直角坐标系画在平面上?这就要用到高一学习的直观图的知识，请同学们现在回忆：当把平面直角坐标系水平放置时，∠XOY=45°或135°。
下面我们演示一下空间直角坐标系的画法：一般的把X轴和Y轴放置在水平平面上，那么Z轴就垂直于水平平面。
空间直角坐标系教案
【课题】4.3.1空间直角坐标系【教材】人教A版普通高中数学必修二第134页至136页.【课时安排】1个课时.【教学对象】高二〔上〕学生.【授课教师】***一．教材分析：本节内容主要引入空间直角坐标系的根本概念，是在学生已学过的二维平面直角坐标系的根底上进展推广，为以后学习用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题、研究空间几何对象等内容打下良好的根底。
空间直角坐标系的知识是空间解析几何的根底，与平面解析几何的内容共同表达了"用代数方法解决几何问题〞的解析几何思想；通过空间直角坐标系内任一点与有序数组的对应关系，实现了形向数的转化，将数与形严密结合，提供一个度量几何对象的方法。
其对于沟通高中各局部知识，完善学生的认知构造，起到了很重要的作用。
二．教学目标：✧知识与技能（1）能说出空间直角坐标系的构成与特征；（2）掌握空间点的坐标确实定方法和过程；（3）能初步建立空间直角坐标系。
✧过程与方法（1）结合具体问题引入，诱导学生自主探究；. z.（2）类比学习，循序渐进。
情感态度价值观（1）通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，进而拓展自己的思维空间。
（2）通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系，并加深领会研究事物从低维到高维的方法与过程。
（3）通过对空间坐标系的接触学习，进一步培养学生的空间想象能力。
三．教学重点与难点：教学重点：空间直角坐标系相关概念的理解；空间中点的坐标表示。
教学难点：右手直角坐标系的理解，空间中点与坐标的一一对应。
四．教学方法：启发式教学、引导探究五．教学根本流程：↓. z.六．教学情境设计：. z.〔二〕引导探究，动手实践约6分钟思考：借助于平面直角坐标系，我们就可以用坐标来表示平面上任意一点的位置，则能不能仿照直角坐标系的方式来表示空间上任意一点的位置呢？不妨动手试一试……思路点拨：通过在地面上建立直角坐标系*Oy，则地面上任一点的位置可以用一对有序实数对〔*，y〕确定。
新人教版高中数学必修二教案：4.3空间直角坐标系
4.3空间直角坐标系【知识要点】1、空间直角坐标系：以空间一点O 为原点，建立两两垂直的数轴：x 轴，y 轴，z 轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O —xyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，xOz 平面，yOz 平面。
2、空间一点M 的坐标可以用有序实数组（x ，y ，z ）来表示，有序实数组（x ，y ，z ）叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M （x ，y ，z ）。
其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。
平面上的中点坐标可推广到空间有，即设111A(x ,y ,z )，222B(x ,y ,z )，则AB 的中点坐标P 的坐标为121212(,,)222x x y y z z +++。
3、空间两点之间的距离公式：设 1111(,,)P x y z 和2222(,,)P x y z 是空间上任意两点，则这两点的距离公式为：12||PP =特殊地，点(,,)P xy z 到原点O （0，0，0）的距离为：||OP = 4、空间上一点关于对称点的求法：①(,,)P x y z 关于坐标平面xOy 对称，对称点为1(,,)P x y z - ② (,,)P x y z 关于坐标平面xOz 对称，对称点为2(,,)P x y z -③(,,)P x y z 关于坐标平面yOz 对称，对称点为3(,,)P x y z -④(,,)P x y z 关于坐标轴x 轴对称，对称点为4(,,)P x y z --⑤(,,)P x y z 关于坐标轴y 轴对称，对称点为5(,,)P x y z --⑥(,,)P x y z 关于坐标轴z 轴对称，对称点为6(,,)P x y z --⑦(,,)P x y z 关于坐标原点O 对称，对称点为7(,,)P x y z ---【解题方法】1、考察空间坐标点，距离等问题，根据坐标系的定义，找出等量关系求解。
高中数学新人教版必修2教案4.3空间直角坐标系.doc
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教师课时教案
问题与情境及教师活动
学生活动
因此，空间中两点 P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）之间的距离为：
∣P1P2∣＝＝ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
类比平面两点间的距离公式，有什么不同？有何相似之处？通过对 比已经熟悉的公式来记忆新的公式，能加深印象。
过点 P1 作 P2N 的垂线，垂足为 H，则 ∣MP1∣＝∣z1∣，∣NP2∣＝∣z2∣
所以，∣HP2∣＝∣z1－z2∣，
∣HP1∣＝∣MN∣＝ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
根据勾股定理，得
∣P1P2∣＝ P1H 2 HP2 2 ＝ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
方
如图，设点 P 在 xOy 平面上的射影是 B（PB 垂直平面 xOy），点 B
坐标为（x，y，0）。
法
∣OB∣＝ x2 y2 ，
∣OP∣＝ OB 2 PB 2 ，
由∣PB∣＝z，得：
∣OP∣＝ x2 y 2 z 2 ，
这说明，在空间直角坐标系 Oxyz 中，任意一点 P（x，y，z）到坐 标原点的距离
1
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教
问题与情境及教师活动
学生活动
2
学
反之，给定有序实数组
（x，y，z），在 x 轴、y 轴、
过 z 轴上依次取坐标为 x、y、z
的点 P、Q、R，分别经过各
R M
程
做一个平面，分别垂直于 x 轴、y 轴、z 轴，这三个平面
的唯一的交点就是有序实数
O
Q
y
P
M'
高中数学 必修二(4.3.1 空间直角坐标系)示范教案 新人教A版必修2
4.3 空间直角坐标系教学过程导入新课思路1.大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航飞机速度也非常快,有很多飞机时速都在1 000 km以上,而全世界又这么多,这些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗？但事实上,飞机的失事率是极低的,比火车,汽车要低得多,原因是,飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行,而在划定某条航线时,不仅要指出航线在地面上的经度和纬度,还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.思路2.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示,建立了平面直角坐标系后,平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x,y)表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x,y,z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.推进新课新知探究提出问题①在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示?②在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示?③在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？④观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢？讨论结果：①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x 来表示.②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y).③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx平面.由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.图1图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.注意:在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度,而在x轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M就可以用坐标来表示了.已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z 为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).图2反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系.注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.如果点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；如果点M 在x轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则x=z=0；如果点M在z轴上,则x=y=0；如果M是原点,则x=y=z=0.空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z).应用示例思路1例1 如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.图3活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z 轴上,因此它的横纵坐标都为0,C 在y 轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx 面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求.解:D′在z 轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C 的坐标为(0,4,0).A′在xOz 平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在xOy 平面上的射影是点B,因此它的横坐标x 与纵坐标y 同点B 的横坐标x 与纵坐标y 相同,在xOy 平面上,点B 的横坐标x=3,纵坐标y=4;点B′在z 轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2).点评:能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定掌握如下方法,过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴,确定x,y 和z,同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征.例2 讲解课本例2.活动：学生阅读,思考与例1的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这就给我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单?一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系,这里我们以上底面为xOy 平面,其他不变,来看这15个点的坐标.解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(21,21,0);中层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是21,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,21)、(1,21,21)、(21,1,21)、(0,21,21);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(21,21,1). 思考：如果把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上,以中层面作为xOy 平面,结果会怎样呢？解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,0)、(1,21,0)、(21,1,0)、(0,21,0);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是21,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0, 21)、(0,1, 21)、(1,0, 21)、(1,1, 21)、(21,21,21);下层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是-21,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,-21)、(1,0,-21)、(1,1,-21)、(0,1,-21)、(21,21,-21). 点评:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同.因此解题时要慎重建立空间直角坐标系.思路2例 1 如图4,已知点P′在x 轴正半轴上,|OP′|=2,PP′在xOz 平面上,且垂直于x 轴,|PP′|=1,求点P′和P 的坐标.图4解:显然,P′在x 轴上,它的坐标为(2,0,0).若点P 在xOy 平面上方,则点P 的坐标为(2,0,1).若点P 在xOy 平面下方,则点P 的坐标为(2,0,-1).点评:注意点P 有两种可能的位置情况,不要漏解.例2 如图5,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是BB 1和D 1B 1的中点,棱长为1,求E,F 点的坐标.图5解:方法一:从图中可以看出E 点在xOy 平面上的射影为B,而B 点的坐标为(1,1,0),E 点的竖坐标为21,所以E 点的坐标为(1,1,21);F 点在xOy 平面上的射影为G,而G 点的坐标为(21,21,0),F 点的竖坐标为1,所以F 点的坐标为(21,21,1). 方法二:从图中条件可以得到B 1(1,1,1),D 1(0,0,1),B(1,1,0).E 为BB 1的中点,F 为D 1B 1的中点,由中点坐标公式得E 点的坐标为(201,211,211+++)=(1,1,21),F 点的坐标为(211,201,201+++)=(21,21,1). 点评:(1)平面上的中点坐标公式可以推广到空间,即设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则AB 的中点P(221x x +,221y y +,221z z +); (2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的点的坐标表示的特征.变式训练1.在上题中求B 1(1,1,1)点关于平面xoy 对称的点的坐标.解:设所求的点为B 0(x 0,y 0,z 0),由于B 为B 0B 1的中点,所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=210,211,211000z y x 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-===1,1,1000z y x .所以B 0(1,1,-1).2.在上题中求B 1(1,1,1)点关于z 轴对称的点的坐标.解:设所求的点为P(x 0,y 0,z 0),由于D 1为PB 1的中点,因为D 1(0,0,1),所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=.211,210,210000z y x 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.1,1,1000z y x 所以P(-1,-1,1).3.在上题中求B 1(1,1,1)点关于原点D 对称的点的坐标.解:设所求的点为M(x 0,y 0,z 0),由于D 为MB 1的中点,因为D(0,0,0),所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=210,210,210000z y x .解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.1,1,1000z y x 所以M(-1,-1,-1).知能训练课本本节练习1、2、3.拓展提升1.在空间直角坐标系中的点P(x,y,z)关于①坐标原点;②横轴(x 轴);③纵轴(y 轴);④竖轴(z 轴);⑤xOy 坐标平面;⑥yOz 坐标平面;⑦zOx 坐标平面的对称点的坐标是什么? 解:根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知:点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P 1(-x,-y,-z);点P(x,y,z)关于横轴(x 轴)的对称点为P 2(x,-y,-z);点P(x,y,z)关于纵轴(y 轴)的对称点为P 3(-x,y,-z);点P(x,y,z)关于竖轴(z 轴)的对称点为P 4(-x,-y,z);点P(x,y,z)关于xOy 坐标平面的对称点为P 5(x,y,-z);点P(x,y,z)关于yOz坐标平面的对称点为P6(-x,y,z);点P(x,y,z)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x,-y,z).点评:其中记忆的方法为:关于谁谁不变,其余的相反.如关于横轴(x轴)的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy坐标平面的对称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标相反.变式训练在空间直角坐标系中的点P(a,b,c),有下列叙述:①点P(a,b,c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a,-b,c);②点P(a,b,c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a,-b,-c);③点P(a,b,c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a,-b,c);④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点为P4(-a,-b,-c).其中正确叙述的个数为( )A.3B.2C.1D.0 分析：①②③错,④对.答案：C。
统编通用版高考数学全套电子教案必修二空间直角坐标系
思考： 如果把原点取在中间的点 (上述两点的中点氯原子 )上 ,以中层面作为 xOy 平面 ,结果会怎样呢？
解 :把图中的钠原子分成上、中、下三层 ,中层的钠原子全部在 xOy 平面上 ,因此其竖坐标全部是 0,所以
这四个钠原子所在位置的坐标分别为
( 1 ,0,0)、 (1, 1 ,0) 、( 1 ,1,0)、 (0, 1 ,0); 上层的钠原子全部在与 xOy 平
.决定数轴的因素有原点、
正方向和单位长度 .这是数轴的三要素 .数轴上的点可用与这个点对应的实数 x 来表示 .
②在初中 ,我们学过平面直角坐标系 ,平面直角坐标系是以一点为原点 O,过原点 O 分别作两条互相垂直
的数轴 Ox 和 Oy,xOy 称平面直角坐标系 ,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直
坐标为 x,y,z 的点 M 通常记为 M(x,y,z). 我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点
M和
有序数组 x,y,z 之间的一一对应关系 .
（三）应用示例 思路 1
例 1 如图 3,长方体 OABC —D′A′B′中C′,|OA|=3,|OC|=4,|OD ′|=写2,出 D′,C,A ′四,B点′的坐标 .
上底面为 xOy 平面 ,其他不变 ,来看这 15 个点的坐标 .
解 :把图中的钠原子分成上、中、下三层 ,下层的钠原子全部在 xOy 平面上 ,因此其竖坐标全部是 0,所以
这五个钠原子所在位置的坐标分别为
(0,0,0) 、(1,0,0)、(1,1,0) 、(0,1,0)、( 1 , 1 ,0); 中层的钠原子全部在与 xOy 22
④观察图 2,OABC — D′ A′ B是′单C′位正方体 ,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间 直角坐标系 ,以 O 为原点 ,分别以射线 OA,OC,O′D 的方向为正方向 ,以线段 OA,OC,O′D 的长为单位长度 ,建立
高中数学必修2第四章第三节《空间直角坐标系》全套教案
4.3.1空间直角坐标系【教学目标】知识与技能：（1）能说出空间直角坐标系的构成，特征。
（2）会自己画出空间直角坐标系。
（3）能够在空间直角坐标系下表示点。
过程与方法：通过尝试建立空间直角坐标系的过程，体会空间直角坐标系的特点，以及空间直角坐标系中点的坐标特点及规律。
情感态度与价值观：通过本节的探究性学习，培养严谨的学习态度以及勇于探索的学习精神。
【教学重点难点】教学重点：空间直角坐标系的建立过程。
教学难点：空间中任意点的坐标表示。
【学前准备】：多媒体，预习例题四，，，中B AC C B AD '''''''-0P4.3.2空间两点间的距离公式【教学目标】1．掌握空间两点间的距离公式，会用空间两点间的距离公式解决问题。
2．通过探究空间两点间的距离公式，灵活运用公式，初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法。
3．通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标，类比平面中两点之间的距离的求法，探索并得出空间两点间的距离公式，充分体会数形结合的思想，培养学生积极参与、大胆探索的精神。
【教学重难点】重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
【学前准备】：多媒体，预习例题已知A(x ，2，3)、B(5，4，7)，且|AB|=6，求x 的值。
引导师：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x 的方程，解方程即得。
生解答并回答解题过程|AB|=6，∴ 即，解得x=1或x=9 ∴x=1或x=9 点拨求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解。
证明以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形。
解答：由两点间距离公式得：由于，所以△ABC 是一等腰三角形3．点P 在坐标平面xOy 内，A 点的坐标为(-1，2，4)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹是什么？引导 因点P 一方面在坐标平面xOy 内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P 在球面上，故点P 的轨迹是坐标平面xOy 与球面的交线。
高中数学必修2教案：4-3-1空间直角坐标系
课题： 2.4.3.1 空间直角坐标系教材分析：解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科，空间直角坐标系的建立是为以后的《空间向量及其运算》打基础的．同时，在第二章《空间中点、直线、平面的位置关系》第一节《异面直线》学习时，有些求异面直线所成角的大小，借助于空间向量来解答，要容易得多，所以，本节课为沟通高中各部分内容知识，完善学生的认知结构起到很重要的作用．课 型： 新授课 教学要求：使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法． 教学重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标教学难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标 教学过程： 一.提出问题：1.在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？２．在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？如何借助平面直角坐标系表示学生的座位?能用直角坐标系表示教室里灯泡的位置吗？３．在空间，我们是否可以建立一个坐标系，使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？（板书课题） 阅读课本134P - 135P 内容二、讲授新课：1.空间直角坐标系：如图４.3-1(课本), ,,,,OBCD D A B C 是单位正方体.以O 为原点，分别以射线OA,OC,O 'D 的方向为正方向，以线段OA,OC,O 'D 的长为单位长，建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系Ｏxyz.其中点Ｏ叫做坐标原点，x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标面，分别称为ｘＯｙ平面、ｙＯｚ平面、ｚＯｘ平面．将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z 轴垂直于y 轴，，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样三条轴上的单位长度在直观上大体相等． 2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手大拇指、食指和中指相互垂直时，大拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，中指指向z 轴正方向，则称这个坐标系为右手坐标系，如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手坐标系．３．空间直角坐标系中的点与有序书组之间的关系：1）已知M 为空间一点，过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，它们与x 轴、y 轴和z 轴的交点分别为P 、Q 、R ，这三点在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ．这样空间的一点M 就唯一确定了一个有序数组x ，y ，z ．这组数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y ，z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．坐标为x ，y ，z 的点M 通常记为M （x ，y ，z ）．2）反过来，一个有序数组x ，y ，z ，我们在x 轴上取坐标为x 的点P 在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴上取坐标为z 的点R ，然后通过P 、Q 、R 分别作x 轴，y 轴，z 轴的垂直平面．这三个平面的交点M 即为有序数组x ，y ，z 为坐标的点．数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y ，z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．3）坐标为x ，y ，z 的点M 通常记为M （x ，y ，z ）．我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M 和有序数组x ，y ，z 之间的一一对应关系4.例题1（课本例1）：在长方体,,,,OBCD D A B C -中，,3,4, 2.OA oC OD ===写出,,,,,,D C A B 四点坐标.（建立空间直角坐标系→写出原点坐标→各点坐标）讨论： 若以C 点为原点，以射线BC 、CO 、C 'C 方向分别为ox 、oy 、oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？（得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同．） 5．例题2（课本例2）题略说明： 学生阅读，思考与例1的不同，教师引导学生解题的方法，图中没有坐标系，这给我们解题带来了难度，同时也给我们的思维提供了空间，如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单？一般来说，以特殊点为原点，我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系，坐标系建立的不同，点的坐标也不同，但点的相对位置是不变的，坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同．因此解题时要慎重建立空间直角坐标系． 三、巩固练习：1．练习：136P 1, 2，3.2. 已知M (2, -3, 4)，画出它在空间直角坐标系中的位置．3. 思考题：建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标． 四．小结：1．空间直角坐标系的建立．2．空间直角坐标系内点的坐标的确定过程. 3．空间直角坐标系中点的位置的确定． 五．作业：1.课本138P 习题4.3 A 组 2 课后记:教材分析：解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科，空间直角坐标系的建立是为以后的《空间向量及其运算》打基础的．同时，在第二章《空间中点、直线、平面的位置关系》第一节《异面直线》学习时，有些求异面直线所成角的大小，借助于空间向量来解答，要容易得多，所以，本节课为沟通高中各部分内容知识，完善学生的认知结构起到很重要的作用．课 型： 新授课 教学要求：使学生熟练掌握求坐标轴上的点和坐标平面上的点的坐标，熟记已知两点的中点坐标公式，会求一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标． 教学重点：求坐标轴上的点和坐标平面上的点的坐标，会求一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点坐标，熟记已知两点的中点坐标公式．教学难点：会求一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标 教学过程：一、复习提问：1．空间直角坐标系中点的坐标如何确定？已知点的坐标如何确定点的位置？ 2．练习：在空间直角坐标系中，作出点（５，４，６）． 二、讲授新课：１．坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点：x 轴上的点的坐标的特点：Ｐ（m ，０，０），纵坐标和竖坐标都为零． y 轴上的点的坐标的特点：Ｐ（０，m ，０），横坐标和竖坐标都为零．z 轴上的点的坐标的特点：Ｐ（０，０，m ），横坐标和纵坐标都为零． x Ｏy 坐标平面内的点的特点：Ｐ（m ，n ，０），竖坐标为零． x Ｏz 坐标平面内的点的特点：Ｐ（m ，０，n ），纵坐标为零． y Ｏz 坐标平面内的点的特点：Ｐ（０，m ，n ），横坐标为零． ２．已知两点的中点坐标：平面上的中点坐标公式可以推广到空间，即设Ａ（1x ，1y ， 1z ），Ｂ（2x ，2y 2z ），则AB 中点的坐标为（211212,,222z z x x y y +++）. 请同学门熟记以上公式.3．一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点 点P （x ，y ，ｚ）关于坐标原点的对称点为1P （-x ，-y ，-z ）； 点P （x ，y ，ｚ）关于坐标横轴（ｘ轴）的对称点为2P （x ，-y ，-z ）； 点P （x ，y ，ｚ）关于坐标纵轴（ｙ轴）的对称点为3P （-x ，y ，z ）； 点P （x ，y ，ｚ）关于坐标竖轴（ｚ轴）的对称点为4P （-x ，-y ，-z ）； 点P （x ，y ，ｚ）关于ｘＯｙ坐标平面的对称点为5P （x ，y ，-z ）； 点P （x ，y ，ｚ）关于ｙＯｚ坐标平面的对称点为6P （-x ，y ，z ；） 点P （x ，y ，ｚ）关于ｚＯｘ坐标平面的对称点为7P （x ，-y ，z ）．点评：其中记忆的方法为：关于谁谁不变，其余的相反．如关于横轴（ｘ轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于ｘＯｙ坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数． 三、巩固练习：１．课本138P 习题4.3 A 组 １ ２．已知点Ｂ（１，１，１），分别求出该点关于ｘ轴、ｚ轴、原点和ｘＯｙ坐标平面的对称点的坐标． ３．在空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ中，关于点（０，22m +，ｍ）一定有下列结论（ ）Ａ．在ｘＯｙ坐标平面上 Ｂ．在ｘＯｚ坐标平面上 Ｃ．在ｙＯｚ坐标平面上 Ｄ．以上都不对 四．小结：１．坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点２．中点坐标公式３．一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点 五．作业 ： 全优设计100P 主动成长 １，２，４，５，６，７，11，12． 课后记:科目：数学 课题 §4.3.1 空间直角坐标系课型 新课教学目标 （1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示（3）建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示（4）通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想.教学过程教学内容备注一、自主学习二、质疑提问三、问题探究四、课堂检测五、小结评价。
人教课标版高中数学必修二《空间直角坐标系》教案-新版
4.3.1空间直角坐标系一、教学目标(一)核心素养通过这节课学习,理解空间直角坐标系的概念、体会平面直角坐标系与空间直角坐标系之间的关系,会用三元有序实数组表示空间中的点,在直观想象、数学抽象中感受点的几何意义.(二)学习目标1.了解平面直角坐标系与空间直角坐标系之间的关系.2.理解空间直角坐标系的概念.3.掌握用三元有序实数组表示空间中的点的方法.(三)学习重点1.右手直角坐标系的特点.2.三元有序实数组的含义.3.空间中的点的表示方法.(四)学习难点1.左手系与右手系的差别.2.三元有序实数组各元素的几何意义.3.建立适当的空间直角坐标系确定空间中的点的坐标.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务(1)读一读：阅读教材第134页至第136页,填空：从空间某一定点引三条两两垂直,且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系.点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.(2)写一写：有序实数组的各元素名称是什么？空间一点M的坐标可以用三元有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z).其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.2.预习自测1.在空间过点M(1,2,3-)作z轴的垂线,交z轴于点N,则垂足N的坐标为( )A.(1,0,0)B.(0,2,0)C.(0,0,3)D.(0,0,－3)答案：D.2.点P(a,b,c)到坐标平面zOx的距离为( )B.aC.bD.c答案：C3.点P(1,2,3-)关于平面xOy的对称点的坐标为( )A.(1,2,3)B.(3-,2,1)C.(3-,1,2)D.(1-,2-,3)答案：A.(二)课堂设计1.问题探究探究一重温数轴与平面,认识空间●活动①数形结合,重温数轴在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示.【设计意图】回忆数轴与实数之间的关系,体会数形结合的思想.●活动②数形结合,重温平面在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直；②原点重合；③通常取向右、向上为正方向；④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y).【设计意图】回忆平面与实数对之间的关系,体会数形结合的思想.●活动③类比推广,认识空间在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性.探究二探究建系与点的表示方法●活动①认清方向、合理建系观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.图１图２观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O－xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx平面.由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.注意：在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度,而在x轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差.【设计意图】通过建系加深对空间几何性质的认识,为后面空间中的点的表示做好铺垫.●活动②认清投影、分析点的位置特性观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢？已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系.注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.如果点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；如果点M在x 轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则x=z=0；如果点M在z轴上,则x=y=0；如果M是原点,则x=y=z=0.空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z).【设计意图】通过有序数组加深对点的认识,为后面空间中的点的表示做好铺垫.探究三结合实例、探究空间中的点的表示方法●活动①归纳梳理、理解提升例１.如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.图3活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z轴上,因此它的横纵坐标都为0,C在y轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求. 解：D′在z轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C 的坐标为(0,4,0).A′在xOz平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在xOy平面上的射影是点B,因此它的横坐标x与纵坐标y同点B 的横坐标x与纵坐标y相同,在xOy平面上,点B的横坐标x=3,纵坐标y=4；点B′在z轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2).点评：能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定掌握如下方法,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,确定x,y和z,同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征.【设计意图】通过学生自主阅读与归纳,培养学生的数学抽象、归类整理意识.●活动②互动交流、初步实践例2.讲解课本例2.活动：学生阅读,思考与例1的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这就给我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单？一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系,这里我们以上底面为xOy平面,其他不变,来看这15个点的坐标.解：把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在xOy平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(12,12,0);中层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与z轴交点的竖坐标是12,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(12,0,12)、(1,12,12)、(12,1,12)、(0,12,12);上层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(12,12,1). 思考：如果把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上,以中层面作为xOy 平面,结果会怎样呢？解：把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(12,0,0)、(1,12,0)、(12,1,0)、(0,12,0);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是12,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,12)、(0,1,12)、(1,0,12)、(1,1,12)、(12,12,12);下层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是12-,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,12-)、(1,0,12-)、(1,1,12-)、(0,1,12-)、(12,12,12-). 点评:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同.因此解题时要慎重建立空间直角坐标系.【设计意图】通过讨论认识列举法与描述法的异同与表示集合中优劣,培养规范表达的基本功.2.课堂总结知识梳理(1)空间直角坐标系的建立.(2)空间直角坐标系中点的坐标的确定.(3)空间直角坐标系中点的位置的确定.(4)中点公式：1111(,,)P x y z 与2222(,,)P x y z 的中点的坐标为(122x x +,122y y +,122z z +). (5)空间直角坐标系中点的对称点的坐标.重难点归纳(1)题目若未给出坐标系,建立空间直角坐标系时应让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内,并且充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的投影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号),确定第三个坐标.(三)课后作业基础型自主突破1.空间两点A,B的坐标分别为(x,－y,z),(－x,－y,－z),则A,B两点的位置关系是( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于z轴对称D.关于原点对称答案：B解析：【知识点】点的对称性.【数学思想】对称变换.【解题过程】由A、B两点的坐标可知关于y轴对称.点拨：根据点的对称性进行判断.2.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是( )A.|a|B.|b|C.|c|D.以上都不对答案：C.解析：【知识点】点的坐标表示.【数学思想】几何投影.【解题过程】设点P在平面xOy上的射影为P′,则|PP′|＝|c|.点拨：根据点的坐标表示进行计算.3.在空间直角坐标系中,点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是( )A.(－2,1,－4)B.(－2,－1,－4)C.(2,－1,4)D.(2,1,－4)答案：A.解析：【知识点】点的对称性.【数学思想】对称变换.【解题过程】过点P向xOy平面作垂线,垂足为N,则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点,又N(－2,1,0),所以对称点为P′(－2,1,－4),故选A.点拨：根据点的坐标表示进行判断.4.以棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ,AD ,AA 1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如下图所示,则正方形AA 1B 1B 的对角线交点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12 答案：B.解析：【知识点】中点公式.【数学思想】几何中心.【解题过程】A (0,0,0),B 1(1,0,1),所以AB 1的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋12，0＋02，0＋12,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 0，12. 点拨：根据点的坐标表示进行计算.5.设z 为任一实数,则点(2,2,z )表示的图形是( )A.z 轴B.与平面xOy 平行的一直线C.平面xOyD.与平面xOy 垂直的一直线答案：D.解析：【知识点】点的坐标表示.【数学思想】点动成线.【解题过程】(2,2,z )表示过点(2,2,0)且与z 轴平行的直线,即与平面xOy 垂直的直线. 点拨：根据几何意义进行判断.6.在空间直角坐标系中,点(4,－1,2)关于原点的对称点的坐标是________.答案：(－4,1,－2).解析：【知识点】中点公式.【数学思想】几何中心.【解题过程】空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数,故点(4,－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1,－2).点拨：根据中点公式进行计算.能力型师生共研7.点P (－3,2,1)关于Q (1,2,－3)的对称点M 的坐标是________.答案：(5,2,－7).解析：【知识点】点的对称性.【数学思想】对称变换.【解题过程】设M 坐标为(x ,y ,z ),则有1＝x －32,2＝2＋y 2,－3＝1＋z 2,解得x ＝5,y ＝2,z ＝－7,所以M (5,2,－7).点拨：根据中点公式进行计算.8.如下图,在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,棱长为1,BP ＝13BD ′,则P 点的坐标为________.【知识点】点的对称性.【数学思想】对称变换.【解题过程】过P 作PP ′⊥xOy 平面,则PP ′＝13.过P ′作P ′M ∥AB ,P ′N ∥BC ,则MP ′＝23,NP ′＝23.所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13. 点拨：根据点的对称性进行计算.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13. 探究型多维突破9.已知点A (－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A 1,A 1关于xOz 平面的对称点为A 2,A 2关于z 轴的对称点为A3,求线段AA3的中点M的坐标.【知识点】点的对称性与中点公式.【数学思想】对称变换.【解题过程】因为点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4,－2,－3),点A1(4,－2,－3)关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4,2,－3),点A2(4,2,－3)关于z轴的对称点A3的坐标为(－4,－2,－3),所以AA3中点M的坐标为(－4,0,0).点拨：根据中点公式进行计算.答案：(－4,0,0).10.如下图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱长均为2,侧棱AA1⊥底面ABC,建立适当的坐标系写出各顶点的坐标.【知识点】点的对称性.【数学思想】对称变换.【解题过程】取AC的中点O和A1C1的中点O1,可得BO⊥AC,分别以OB,OC,OO1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.因为三棱柱各棱长均为2,所以OA＝OC＝1,OB＝3,可得A(0,－1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,－1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2).点拨：根据中点公式进行计算.答案：A(0,－1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,－1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2).自助餐1.若点P(－4,－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则c与e的和为( )A.7B.－7C.－1D.1答案：D.解析：【知识点】点的对称性与中点公式.【数学思想】对称变换.【解题过程】点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4,－2,－3),关于y轴的对称点坐标是(4,－2,－3),从而知c＋e＝1.点拨：根据中点公式进行计算.2.在如图2-3-7所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的主视图和俯视图分别为( )图2-3-7A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②答案：D.解析：【知识点】三维视图.【数学思想】几何投影与仿射变换.【解题过程】由三视图及空间直角坐标系可知,该几何体的主视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线),故主视图是④；俯视图是一个钝角三角形,故俯视图是②.故选D.点拨：根据几何意义进行判断.3.已知点M到三个坐标平面的距离都是1,且点M的三个坐标同号,则点M的坐标为________.答案：(1,1,1)或(－1,－1,－1).解析：【知识点】点的坐标表示.【数学思想】对称变换.【解题过程】分别过点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)作与yOz 平面,xOz 平面,xOy 平面平行的平面,三个平面的交点即为M 点,其坐标为(1,1,1)；或过点(－1,0,0),(0,－1,0),(0,0,－1)作与yOz 平面,xOz 平面,xOy 平面平行的平面,三个平面的交点即为M 点,其坐标为(－1,－1,－1).点拨：根据几何意义进行判断.4.已知点P ′在x 轴正半轴上,|OP ′|=2,PP ′在xOz 平面上,且垂直于x 轴,|PP ′|=1,求点P 的坐标为_________.答案：(2,0,1)或(2,0,-1).解析：【知识点】几何投影.【数学思想】坐标表示.【解题过程】点P 在xOy 平面的两侧都有可能,它的坐标为(2,0,1)或(2,0,-1).点拨：根据几何意义进行计算.5.如下图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1和D 1B 1的中点,棱长为1,求E ,F 点的坐标.答案：(1,1,21),(21,21,1). 解析：【知识点】几何投影.【数学思想】坐标表示.【解题过程】方法一:从图中可以看出E 点在xOy 平面上的射影为B ,而B 点的坐标为(1,1,0),E 点的竖坐标为21,所以E 点的坐标为(1,1,21);F 点在xOy 平面上的射影为G ,而G 点的坐标为(21,21,0),F 点的竖坐标为1,所以F 点的坐标为(21,21,1). 方法二:从图中条件可以得到B 1(1,1,1),D 1(0,0,1),B (1,1,0).E 为BB 1的中点,F 为D 1B 1的中点,由中点坐标公式得E 点的坐标为(201,211,211+++)=(1,1,21),F 点的坐标为(211,201,201+++)=(21,21,1). 点拨：根据几何意义进行计算.6.如下图所示,AF ,DE 分别是⊙O ,⊙O 1的直径,AD 与两圆所在的平面均垂直,AD ＝8,BC 是⊙O 的直径,AB ＝AC ＝6,OE ∥AD ,试建立适当的空间直角坐标系,求出点A ,B ,C ,D ,E ,F 的坐标.答案：(1,1,21),(21,21,1). 解析：【知识点】几何投影.【数学思想】坐标表示.【解题过程】因为AD 与两圆所在的平面均垂直,OE ∥AD ,所以OE ⊥平面ABC ,又AF 平面ABC ,BC 平面ABC ,所以OE ⊥AF ,OE ⊥BC ,又BC 是圆O 的直径,所以OB ＝OC ,又AB ＝AC ＝6,所以OA ⊥BC ,BC ＝62,所以OA ＝OB ＝OC ＝OF ＝3 2.如图所示,以O 为原点,以OB ,OF ,OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,所以A (0,－32,0),B (32,0,0),C (－32,0,0),D (0,－32,8),E (0,0,8),F (0,32,0).点拨：根据几何意义进行计算.。
人教版高中数学必修2第四章空间直角坐标系 同步教案
学生姓名 性别 年级学科 授课教师上课时间 年 月 日第（ ）次课 共（ ）次课课时：2课时教学课题人教版 必修2第四章空间直角坐标系 同步教案教学目标知识目标：（1）能说出空间直角坐标系的构成，特征。
（2）会自己画出空间直角坐标系。
（3）能够在空间直角坐标系下表示点。
能力目标：掌握并懂得建立空间直角坐标系，在这一过程中体会空间直角坐标系的特点。
情感态度价值观：通过学习过程中的感受和体会，培养学生合作精神和积极参与、勤于思考、勇于创新的意识，让每个学生都获得自己力所能及的数学知识，增强学生的自信。
教学重点与难点 教学重点:空间直角坐标系的建立过程 教学难点: 空间任意点的坐标如何表示知识梳理1．空间直角坐标系定义:以空间中两两_______且相交于一点O 的三条直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标_______，x 轴、y 轴、z 轴叫做__________．通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xOy 平面、yOz 平面、________平面画法:在平面上画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使∠xOy ＝__________，∠yOz ＝90° 图示:说明: 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向____轴的正方向，食指指向____轴的正方向，如果中指指向_____轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. [疑点] 将空间直角坐标系画在纸上时，①x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)；②y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.2．坐标如图所示，设点M 为空间直角坐标系中的一个定点，过点M 分别作垂直于x 轴、 y 轴和z 轴的_______，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P ，Q 和R .设点P ，Q 和R 在x 轴，y 轴和z 轴上的坐标分别是x ，y 和z ，那么点M 就和有序实数组(x ，y ，z )是 __________的关系，有序实数组__________ 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐 标，记作___________，其中x 叫做点M 的________，y 叫做点M 的________，z 叫做点M 的________．[拓展](1)．空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点为P 0(x 0，y 0，z 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y22，z 0＝z 1＋z 22.这个公式称为空间直角坐标系中的中点坐标公式，是平面直角坐标系中中点坐标公式的拓展． (2)．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标 如下表所示(3).空间直角坐标系中特殊对称点的坐标设点P (a ，b ，c )为空间直角坐标系中的点，则对称轴(或中心或平面)点P 的对称点坐标 原点 (－a ，－b ，－c ) x 轴 (a ，－b ，－c ) y 轴 (－a ，b ，－c ) z 轴 (－a ，－b ，c ) xOy 平面 (a ，b ，－c ) yOz 平面 (－a ，b ，c ) xOz 平面(a ，－b ，c ) 3.空间两点间的距离公式空间中点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离是|P 1P 2|＝_______________________________.[疑点] 空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，平面上两点间的距离公式又可看成是空间两点间的距离公式的特例．例题精讲点的位置 点的坐标形式原点 (0,0,0) x 轴上 (a,0,0) y 轴上 (0，b,0) z 轴上 (0,0，c ) xOy 平面上 (a ，b,0) yOz 平面上 (0，b ，c ) xOz 平面上(a,0，c )【题型一、空间点的坐标及位置确定】【例1】画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系．(1)求各顶点的坐标；(2)求棱C1C中点的坐标；(3)求面AA1B1B对角线交点的坐标．【方法技巧】空间中点M坐标的确定方法：(1)由点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交三个坐标轴于点P，Q和R，设这三个点在三个轴上的坐标分别是x、y、z，则点M的坐标即为(x，y，z)；(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标；(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标．【题型二、空间两点间距离公式】【例2】如右图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，作OD ⊥AC于点D，求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离．【方法技巧】1.建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性．2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．【题型三、空间点的坐标的求法】【例3】如右图所示，在底面是菱形的直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面的边长为a ，且有一个角为120°，侧棱长为2a ，在空间直角坐标系中确定点A 1，D ，C 的坐标．【方法技巧】点的坐标是用点在各个坐标平面xOy ，yOz ，zOx 的射影来确定． 巩固训练1．下列点在x 轴上的是( )A ．(0.1,0.2,0.3)B ．(0,0,0.001)C ．(5,0,0)D ．(0,0.01,0)2．在空间直角坐标系中，点M (－1,2，－4)关于x 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－1，－2,4) B ．(－1，－2，－4) C ．(1,2，－4) D ．(1，－2,4)3．如下图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点B 1的坐标是( ) A ．(1,0,0) B ．(1,0,1) C ．(1,1,1) D ．(1,1,0)4．坐标原点到下列各点的距离最小的是( ) A ．E (1,1,1) B ．F (1,2,2) C ．G (2，－3,5) D ．H (3,0,4)5．在△ABC 中，已知A (－1,2,3)，B (2，－2,3)，C (12，52，3)，则AB 边上的中线CD 的长是________．6．如下图所示，V －ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E ，F 分别为BC ，CD 的中点．已知|AB |＝2，|VO |＝3，建立如所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．课后作业【基础巩固】1．如右图所示的坐标系中，单位正方体顶点A 的坐标是( ) A ．(－1，－1，－1) B ．(1，－1,1) C ．(1，－1，－1) D ．(－1,1，－1)2．点P (－1,2,3)关于xOz 平面对称的点的坐标是( ) A ．(1,2,3) B ．(－1，－2,3) C ．(－1,2，－3) D ．(1，－2，－3)3．已知点A (－3,1,5)与点B (4,3,1)，则AB 的中点坐标是( ) A ．(72，1，－2)B ．(12，2,3)C ．(－12,3,5)D ．(13，43，2)4．点A 在z 轴上，它到点(3,2,1)的距离是13，则点A 的坐标是( ) A ．(0,0，－1) B ．(0,1,1) C ．(0,0,1) D ．(0,0,13)5．△ABC 的顶点坐标是A (3,1,1)，B (－5,2,1)，C (－83，2,3)，则它在yOz 平面上射影图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．16．空间直角坐标系中，点A (3,2，－5)到x 轴的距离d 等于( )A ．32＋22B ．22＋(－5)2C ．32＋(－5)2D ．32＋22＋(－5)2.7．已知P (32，52，z )到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.【能力提升】8．已知正方体不在同一表面上的两顶点A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的体积是________．9．在空间直角坐标系中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．10．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，若点P (x,0，z )满足P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，试求点P 的坐标．11．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出点D ，N ，M 的坐标； (2)求线段MD ，MN 的长度．.12．如图所示，正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动．若|CM |＝|BN |＝a (0<a <2)．(1)求MN 的长度；(2)当a 为何值时，MN 的长度最短？。
2高中数学必修2精品教案：4.3 空间直角坐标系 教案3
师：对于例二的讲解，主要是引导学生先要学会建立合适的空间直角坐标系，然后才涉及到点的坐标的求法。
生：思考例一、例二的一些特点。总结如何求出空间中的点坐标的方法。
（5）练习2
学生在原宥小结的经验的基础上，动手操作，并且锻炼学生的口才
师：大家拿笔完成练习2
然后上黑板来讲解
让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系
师：启发学生联想思考，
生：感觉可以
师：我们不能仅凭感觉，我们要把对它的认识从感性化提升到理性化。
问题
问题设计意图
师生活动
（2）空间直角坐标系该如何建立呢？
[1]
体会空间直角坐标系的建立过程
师：引导学生看图[1]，
单位正方体 ，让学生认识该空间直角坐标系O— 中，什么是坐标原点，坐标轴以及坐标平面。
空间中任意一个点的坐标表示
通过例1、例2的讲解，加深对空间点的坐标表示的理解
教师讲评小节
学生完成课后练习1、2
4．学情景设计
问题
问题设计意图
师生活动
（1）我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数 表示。那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组 表示出来呢？
生：（思考）是的
师：由上我们知道了空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组 来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M ， 叫做点M的横坐标， 叫做点M的纵坐标， 叫做点M的竖坐标。
师：大家观察一下图[1]，你能说出点O，A，B，C的坐标吗？
生：回答
（4）例1、例2
学生在教师的指导下完成，加深对点的坐标的理解，例2更能体现出建立一个合适的空间直系的重要性
高中数学必修2：4.3 空间直角坐标系 教案4
空间直角坐标系教学目的：将学生的思维尤平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的教学重点: 1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离教学难点：空间思想的建立一、空间点的直角坐标x y之间的一一对应平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与一对有序数组(,)关系，沟通了平面图形与数的研究。
为了沟通空间图形与数的研究，我们用类似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角坐标系来实现。
1、空间直角坐标系过空间一定点o，作三条互相垂直的数轴，它们以o为原点，且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，且统称为坐标轴。
通常把x轴，y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线，它们的正方向要符合右手规则：右手握住z轴，当右手的四个指头从x轴的正向以90︒角度转向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴正向。
三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点o叫做坐标原点。
注明：为使空间直角坐标系画得更富于立体感，通常把x轴与y轴间的夹角画成130︒左右。
当然，它们的实际夹角还是90︒。
2、坐标面卦限三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。
由x轴与y轴所决定的坐标面称为xoy面，另外还有xoz面与yoz面。
三个坐标面把空间分成了八个部分，这八个部分称为卦限。
3、空间点的直角坐标系取定空间直角坐标系之后，我们就可以建立起空间点与有序数组之间的对应关系。
设M 为空间的一已知点，过M 点分别作垂直于x 轴、y 轴、z 轴的三个平面，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为R Q P ,,，这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为z y x ,,，于是：空间点就唯一地确定了一个有序数组z y x ,,，这组数叫M 点的坐标。
依次称x ，y ，z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标，记为M x y z (,,)。
反过来，若已知一有序数组z y x ,,，我们可以在x 轴上取坐标为x 的点P ，在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴取坐标为z 的点R ，然后过P 、Q 、R 分别作x 轴、y轴、z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M 就是以有序数组z y x ,,为坐标的空间点。
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《空间直角坐标系》教案设计
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景
（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示
2．过程与方法
建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示
3．情态与价值观
通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数形结合的思想.
（二）教学重点和难点
空间直角坐标系中点的坐标表示.
（三）教学手段多媒体
（四）教学设计
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
复习引入问题情景1
对于直线上的点，我们可以通过数
轴来确定点的位置，数轴上的任意一
点M都可用对应一个实数x表示；对
于平面上的点，我们可以通过平面直
角坐标系来确定点的位置，平面上任
意一点M都可用对应一对有序实数
师：启发学生联想思
考，
生：感觉可以
师：我们不能仅凭感
觉，我们要对它的认
识从感性化提升到理
性化.
让学生体
会到点与
数（有序数
组）的对应
关系.培养
学生类比
的思想.
(x，y)表示；对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置. 因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题.
那么假设我们建立一个空间直角坐标系后，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢？
概念形成问题情景2
空间直角坐标系该如何建立呢？
O x X
一维坐标
二维坐标
三维坐标（图4.3-1）
师：引导学生看图
4.3-1，单位正方体
OABC–D′A′B′C′，让学
生认识该空间直角系
O –xyz中，什么是坐标
原点，坐标轴以及坐标
平面.
师：该空间直角坐
标系我们称为右手直
角坐标系.
让学生通过
对一维坐
标、二维坐
标的认识，
体会空间直
角坐标系的
建立过程.
问题情景3
建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？
横坐标
纵坐标
竖坐标
师：引导学生观察
图4.3-2，
生：点M对应着
唯一确定的有序实数
组(x，y，z)，x、y、z
分别是P、Q、R在x、
y、z轴上的坐标.
师：如果给定了有
序实数组(x，y，z)，它
是否对应着空间直角
坐标系中的一点呢/
生：（思考）是的
师：由上我们知道
了空间中任意点M的
坐标都可以用有序实
数组(x，y，z)来表示，
该数组叫做点M在此
空间直角坐标系中的
坐标，记M(x，y，z)，
x叫做点M的横坐标，
y叫做点M的纵坐标，
z叫做点M的竖坐标.
通过幻灯片
展示横坐
标、纵坐标、
竖坐标产生
过程，让
学生从图
4.3-2中由
感性向理性
过渡.
P O
x
M
y
z
x
M1
x
R
O
M
y
z
z
Q
O
x
M
y z
y
M
1
图4.3-2
师：大家观察一下图 4.3-1，你能说出点O，A，B，C的坐标吗？
生：回答
应用举例例1 如图，在长方体OABC–D′A′B′C′
中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| = 2.写出
D′、C、A′、B′四点的坐标.
解：D′在z轴上，且O D′ = 2，它
的竖坐标是2；它的横坐标x与纵坐标
y都是零，所以点D′的坐标是(0，0，
2).
点C在y轴上，且O D′ = 4，它的
纵坐标是4；它的横坐标x与竖坐标z
都是零，所以点C的坐标是(0，4，0).
同理，点A′的坐标是(3，0，2).
点B′在xOy平面上的射影是B，
因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的
师：让学生思考例
1一会，学生作答，师
讲评。
师：对于例二的讲
解，主要是引导学生先
要学会建立合适的空
间直角坐标系，然后才
涉及到点的坐标的求
法。
生：思考例一、例
二的一些特点。
总结如
何求出空间中的点坐
标的方法。
学生在教
师的指导
下完成，加
深对点的
坐标的理
解，例2更
能体现出
建立一个
合适的空
间直角系
的重要性P
Q
R
O
x
M
y
z
M1
横坐标x与纵坐标y相同.在xOy平面上，点B横坐标x = 3，纵坐标y = 4；点B′在z轴上的射影是D′，它的竖坐标与点D′的竖坐标相同，点D′
的竖坐标z = 2.
所点B′的坐标是(3，4，2)
例2 结晶体的基本单位称为晶胞，图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个
的小正方体堆积成的正方棱长为1
2
体)，其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子.如图，建立空间直角坐标系O –xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.
解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.
下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以
这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，11
(,,0)
22
；
中层的原子所在的平面平行于
xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1
2
，所以，这四个钠原子所在位置的坐标
分别是1111
(,0,),(1,,)
2222
，
1111
(,1,),(0,,)
2222
；
上层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1，1)，(0，1，1)，11
(,,1)
22
学以致用
课堂练习
练习1在空间直角坐标系中标出
下列各点A（0,2,4）B（1,0,5）
C（0,2,0）D（1,3,4）
练习 2 如图，长方体OABC–
D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| =
3，A′C′于B′D′
相交于点P.分
别写出点C、
B′、P的坐标.
师：请同学们在课
本上完成练习（P136）
然后上黑板来讲解练
习2
生：完成
解：C、B′、P各
点的坐标分别是
(0，4，0)，(3，4，3)，
3
(,2,3)
2
学生在原有
小结的经验
的基础上，
动手操作，
并且锻炼学
生的口才
归纳总结
今天通过这堂课的学习，你能有
什么收获？
生：谈收获
师：总结
让学生的
自信心得
到增强
课外
置疑课本练习3
师：同学们通过完
成课本练习，你发现了
在求Q点坐标的时候，
是否有规律可循？
让学生在
现有基础
上去获取
意外之喜
“空间中
中点坐标
公式”
作业布置
布置作业见金太阳习案4.3（分层
级完成）
学生独立完成
通过作业
设置，使不
同层次的
学生都可
以获得成
功的喜悦，
看到自己
的潜能，从
而激起学
生饱满的
学习热情，
巩固所学
知识
板书设计1、基本概念………………
2、典型例题
例题1：
例题2:
一、教材分析
本节是在学习完直线与圆的位置关系后，又一重要的知识点，它是平面直角坐标系的进一步推广，是学生思维从二维到三维的过渡，与前面立体几何的内容前后呼应，更是后面运用空间向量解决立体几何问题的基础。
二、学情分析
由于高一学生在前面已经学习平面直角坐标系，研究了直线与圆的有关问题，思维停留在二维平面上。
因此，如何引导，启发学生思维的转变，成为本课时的一个重点和难点。
类比和数形结合成了本节课的主要思想方法。
三、教学与学法分析
1.本节教学应突出学生的主体地位，通过学生的自主学习和合作探究，让学生亲自实践，获得感性认识，为后继学习奠定基础。
2.采用启发式教学方法，通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动中去，让学生在整个学习过程中有自我展示的机会，增强学生的自信心。
3.注重数学思想方法的应用
4.借助多媒体教学.
5.从学生已有的知识和生活经验出发，让学生经历知识的形成过程。
通过阅读教材，并结合空间坐标系模型，解决相关问题。
四、教学反思
本节课主要采用了问题探究，启发式教学，积极倡导学生主动参与教学实践活动，运用类比的教学手段引导学生从一维到二维，二维到三维空间的过渡，创设情境，让数学走进生活，让学生感受情境，从感性认识上升到理性认识，在整个教学过程中，以学生为主体，张扬学生的个性，注重基础知识的掌握。