固体物理第四章总结1

第四章总结成员及分工1：一维晶格以及三维晶格的振动2：晶格热容的量子理论3：简谐近似和简谐坐标4：晶格的状态方程和热膨胀5：离子晶体的长波近似4－1 一维晶格以及三维晶格的振动一、知识脉络二、重点1.格波的概念和“格波”解的物理意义(1)定义：晶格原子在平衡位置附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。

(2)物理意义：一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间有位相差。

相邻原子之间的位相差为aq 。

(3) q 的取值范围：－(π/a)<q ≤(π／a)这个范围以外的值，不能提供其它不同的波。

q 的取值及范围常称为布里渊区（Brillouin zones ）。

(4) Born-Von Karman 边界条件: 1)(=-Naq i e h Naq ⨯=π22.一维单原子链的色散关系22241[1cos ]sin ()2aq aq m m ββω=-=把 ω 与q 之间的关系称为色散关系(disperse relation)，也称为振动频谱或振动谱。

3.一维单原子链的运动方程相邻原子之间的相互作用βδδ-≈-=d dvF ad v d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22δβ 第n 个原子的运动方程11()(2)n n n n i t naq nq m Ae ωμβμμμμ∙∙+--=+-=4.一维双原子链中两种原子的运动方程及其解（1）运动方程( equation))2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++∙∙ )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++∙∙（2）方程的解(solution)])2([2q na t i n Ae -=ωμ ])12([12aq n t i n Be +-+=ωμ5.声学波与光学波的概念与物理意义（1）声学波与光学波的定义}]sin )(41[1{2/1222aq M m mM mM M m +-++=+βω }]sin )(41[1{2/1222aq M m mMmM M m +--+=-βω ω＋对应的格波称为光学波（optic wave ）或光学支（optic branch) ；ω－对应的格波称为声学波(acoustic wave)或声学支（acoustic branch ）（2）两种格波的振幅比aq m A B cos 222ββω--=⎪⎭⎫⎝⎛++aq m A B cos 222ββω--=⎪⎭⎫⎝⎛--（3）ω＋ 与ω－ 都是q 的周期函数)()(q aq --=+ωπω)()(q aq ++=+ωπω其中aq a22ππ≤〈-6.对色散关系的讨论（1）一维单原子链与一维双原子链的格波解的差异一维单原子链只有一支格波（一个波矢对应一个格波）— 声学波；而一维双原子链则有两支格波（一个波矢对应两个格波）— 声学波和光学波，两支格波的频率各有一定的范围：0)0()(min ==--ωω Maβπωω2)2()(max ==-- m aβπωω2)2()(min ==++ mMM m )(2)0()(max +==++βωω 在ω-max 与ω+min 之间有一频率间隙，说明这种频率的格波不能被激发。

（2）声学波的物理本质声学格波反映的是原胞的整体振动，或者说是原胞质心的振动。

（3）光学波是复式格子特有的光学格波是两种原子保持质心不动的情况下作刚性的相对振动（4）q 的取值12=Na iq e π22Nahq =7.在三维晶格中，对于一定的波矢q ，有3个声学波，（3n －3）个光学波。

8. 三维晶格中“q 空间”以及q 在其中的分布密度 （1）q 空间“q 空间”亦称为波矢空间(wave vector space)。

（2）q 在波矢空间的密度分布密度 ＝V ／（2π）3（3）波矢数和格波数晶格振动的波矢数＝晶体原胞数晶格振动频率的数目＝晶格的自由度数 9.三维晶格振动谱的物理意义（1）对于原胞只含有一个原子的晶格，与一维单原子链类似，只有声学支。

不同之处在于一维单原子链的一个原子只有一个自由度，相应于一个声学支,现在除了纵波外，还可有两个原子振动方向与波传播方向垂直的横声学波存在。

（2）对于原胞包含两个以上原子的复式晶格，类似于双原子链，除声学支外还有光学支，在q ＝0 处有非零的振动频率ω。

三、难点1． 一维单原子链中原子的运动方程及其解 2． 一维单原子链的色散关系3． 一维双原子链中两种原子的运动方程及其解 4． 一维双原子链的色散关系5． 三维晶格中“q 空间”以及q 在其中的分布密度 四、基本要求1． 掌握一维单原子链振动的格波解及色散关系的求解过程，以及格波解的物理意义。

2． 掌握一维双原子链振动的色散关系的求解过程，清楚声学波与光学波的定义以及他们的物理意义 3． 了解三维晶格的振动4． 掌握q 空间意义及相关性质 五．思考题从一维双原子链色散关系出发，推导一维单原子链色散关系：当M ＝m 时，变为单原子链在考虑到双原子链，原子位置的周期性排列之后得:4-2 简正坐标主要内容：一、简谐近似的定义二、简正坐标的引入与振动模的定义 三、晶格振动和声子重点：简谐近似和简正坐标 难点：关于声子的本质的理解一、简谐近似的定义将N 个原子体系的势能函数在平衡位置附近展开成泰勒级数,忽略二阶以上的高阶项，则得到ji ji N j i V V μμμμ0231,)(21∂∂∂=∑=体系的势能函数只保留至μi 的二次方程，称为简谐近似（harmonic approximation ）。

要考虑到高阶作用的则称为非谐作用（an-harmonic interaction ）。

注：晶格振动是一个小振动问题。

对于此类问题常采用简谐近似。

上式假设平衡位置V0=0.12222411sin ()m M mM aq mM m M ωβ⎧⎫⎡⎤+⎪⎪=±-⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎩⎭12222222411sin (2)M M aq M M ωβ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=±-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭1222211sin aq M ωβ⎧⎫⎡⎤=±-⎨⎬⎣⎦⎩⎭{}221cos aq M βω=±{}221cos aq Mβω=-二、简正坐标的引入与振动模的定义为了使问题简化，引入简正坐标 Q1，Q2,…，Q3N ，它与位移坐标μi 之间通过如下的正交变换形式相联系jijNj i i Qa m ∑==31μ一般地说，一个简正振动并不是表示某一个原子的振动，而是表示整个晶体所有原子都参与的振动，而且它们的振动频率都相同。

由简正坐标所代表的，体系中所有原子一起参与的共同振动，常称为一个振动模或简正模（normal mode ）。

对一个体系来说，只要能找到简正坐标，或是说振动模，则体系的能量以及波函数就可以求解出来了。

对应关系系统的势能函数 系统的动能函数 系统的哈密顿量ji ji N j i V V μμμμ0231,)(21∂∂∂=∑=三、晶格振动和声子晶格振动等价于3N 个独立谐振子的振动,因此,晶格振动是这些谐振子能量的总和ii Ni n E ω )21(31+=∑=这说明,晶格振动的能量是量子化的,能量的是以ω 为单元变化的.将晶格振动的能量量子称为为声子(phonon )。

声子不是真实的粒子，称为“准粒子”(quasi-particle )，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。

虽然声子是假想的粒子,但理论和实验都已证明,其他粒子与晶格相互作用时,恰似它们与能量为ω ,动量为q 的粒子作用一样,称q 为声子的准动量.但声子不携带真实的动量. （1）声子不携带真实的动量。

（2）声子的等价性。

（3）决定晶格振动能高低的因素:晶体温度的高低是晶格振动能高低的反映。

（4）温度一定时的平均声子数23121ii N i m T ∙=∑=μH=V+T 23121iN i Q T ∙=∑=223121i i Ni Q V ω∑==)(2122231i i i N i Q p H ω+=∑=（9在高温时,平均声子数与温度成正比,与频率成反比.温度一定时,频率低的格波的声子数比频率高的格波的声子数要多.［声子－声子的相互作用］（1）非谐作用使晶格振动达到热平衡非谐作用是晶格振动达到热平衡的最主要的原因。

（2）N 过程和U 过程4－5 离子晶体的长波近似主要内容： 一、长光学波的宏观运动方程二、长光学波的横波频率ωTO 与纵波频率ωLO （LST 关系） 三、离子晶体的光学性质 四、极化激元的概念重点： 一 、长光学波的宏观运动方程及系数的推导二 、LST 关系及两个结论一、长光学波的宏观运动方程离子晶体在做长光学波振动时，由于原胞内正负离子作相对运动，因而产生宏观极化（出现宏观电偶极矩），从而可以和电磁波发生强烈相互作用。

所以长光学波与离子晶体的电学、光学性质密切相关。

对于长声学波：可以看作连续介质弹性波，它满足在弹性理论基础上建立的宏观运动方程，因此由宏观弹性介质理论即可得到长声学格波解。

对于长光学波：也可以在宏观理论的基础上进行近似处理，这就是我国著名的物理学家黄昆于1951年提出的方法。

黄昆建立了一对方程，称为黄昆方程：1112W b W b E ∙∙=+（1）2122P b W b E =+（2）这里 P 是宏观极化强度，E是宏观电场强度。

其中，方程（1）是决定离321q q q ωωω =+n G q q q +=+321子相对振动的动力学方程，称为振动方程。

方程（2）表示除去正负离子相对位移产生极化，还要考虑宏观电场存在时的附加极化，称为极化方程。

可证明b12＝b21。

系数的确定分为两种情况:1，静电场情况下，晶体的介电极化令（1）式中的0W ∙∙= 得 代入方程（2）中得（3） 因为（4）其中ε0为真空中的介电常数，ε（0）为静电介电常数 对比（3）式和（4）式知：（5）2，高频电场情况下的介电极化由W ＝0 带入（3）可得22P b E =（6）又因为 可得由上面可知且对于长光学振动，有211ω=-bω0是横光学波的频率，可以从晶体的红外吸收谱测量中得到.由上面的讨论，我们得到二、长光学波的横波频率ωTO 与纵波频率ωLO （LST 关系）1，横波和纵波满足的方程1211b W E b =-21212222211()b P b W b E b Eb =+=- 0[(0)1]P E εε=-00(0)D E P E εεε=+= 11212220]1)0([b bb -=-εε0[()1]P E εε=∞-220]1)([b =-∞εε112120)]()0([b b -=∞-εεε2011ω-=b 022]1)([εε-∞=b 02/102/12112)]()0([ωεεε∞-==b b横波满足的方程：2112TT d Wb W dt=纵波满足的方程：2212112022LL d W bb W dt bε⎛⎫=-⎪+⎝⎭2、横波与纵波的频率比（LST关系）横波与纵波的频率比2/1)()0(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞=εεωωTOLO这被称作为LST（Lyddano-Sachs-Teller）关系。