勾股定理(3)
勾股定理(3)-
• 17世纪，法国数学家费马也研究了勾股数 组的问题，并且在这个问题的启发下，想到 了一个更一般的问题，1637年，他提出了数 学史上的一个著名猜想——费马大定理，即 当n＞2时，找不到任何的正整数组，使等式 xn＋yn＝zn成立，费马大定理公布以后， 引起了各国优秀数学家的关注，他们围绕着 这个定理顽强地探索着，试图来证明 它．1995年，英籍数学家怀尔斯终于证明了 费马大定理，解开了这个困惑世间无数智者 300多年的谜．
• 活动2
• • • • • 问题：[例1]判断由线段a、b、c组成 的三角形是不是直角三角形． (1)a＝15，b＝8，c＝17； (2)a＝13，b＝14，c＝15； (3)求证：m2－n2，m2＋n2，2mn (m＞n，m，n是正整数)是直角三角形的 三条边长．
• 解：(1)因为152＋82＝225＋64=289， • 172＝289， • 所以152＋82＝172，这个三角形是直 角三角形． • (2)因为132＋142＝169＋196＝365 • 152＝225 • 所以132＋142≠152．这个三角形不是 直角三角形．
问题1：小红和小军周日去郊外放风筝， 风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝 离地面到底有多高，你能帮助他们吗?
问题2：如下图所示是一尊雕 塑的底座的正面，李叔叔想要 检测正面的AD边和BC边是 垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺 (1)你能替他想想办法完成任务吗?
(2)李叔叔量得AD的长是30厘米， AB的长是40厘米，BD的长是50厘 米，AD边垂直于AB边吗? (3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻 度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于 AB边吗?BC边与AB边呢?
• (3)证明： m＞n、m、n是正整数 • (m2－n2)＋(m2＋n2)＝2m2＞2mn， • 即(m2－n2)＋(m2＋n2)＞2mn • 又因为(m2－n2)＋2mn＝m2＋n(2m－n)， • 而2m－n＝m＋(m－n)＞0， • 所以(m2－n2)＋2mn＞m2＋n2 • 这三条线段能组成三角形． • 又因为(m2－n2)2＝m4＋n4－2m2n2 • (m2＋n2)2＝m4＋n4＋2m2n2 • (2mn)2＝4m2n2， •
人教版八年级数学下册：17.1勾股定理(3)
2 -1
21
0
1
1
2
2
34
5
6
3
73
1
2√
13 ? 42
3√
数学海螺图：
在数学中也有这样一幅 美丽的“海螺型”图案
由此可知,利用勾股定 理,可以作出长为
2, 3, 5, , n
的线段.
你能在数轴上表示出 2
的点吗？
111 1
1
1
13 14
证明： ∠B =∠CAE=45°，
∠DAE =∠CAE+∠BAC =45°+45°=90°．
A
∴ AD2 +AE2 =DE2．
D
∵ AE=DB ，
∴ AD2 +DB2 =DE2．
E
C
B
应用提高
练习2 教科书第27页练习2．
学习体会
1.本节课你又那些收获？ 2.预习时的疑难问题解决了吗？你还有那些疑惑？ 3.你认为本节还有哪些需要注意的地方？
证明：∵ ∠ACB =∠ECD，
∴ ∴
∠ACD ∠BCD
+∠BCD=∠ACD =∠ACE．
+∠ACE
， A
又 BC=AC， DC=EC，
D
∴ △ACE≌△BCD．
∴ AE=DB
E
C
B
应用提高
例 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∠ACB =∠ECD =90°，D为AB边上一点．求证：AD2 + DB2 =DE2．
x2 22 ( x 0.5)2 x2 4 x2 x 0.25
x 4 0.25 x 3.75 (尺)
答：湖水深3.75尺.
第十七章-勾股定理第一节《勾股定理(3)》教学设计
17.1 勾股定理（3）一、教学目标知识与技能1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，•并能用勾股定理解决简单的实际问题．过程与方法1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，•发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，•发展学生的动手操作能力和创新精神．3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，•并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．情感、态度与价值观1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，•体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中，•形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．二、教学重、难点重点：……这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．三、教学准备多媒体课件四、教学方法分组讨论，讲练结合五、教学过程(一)复习回顾，引入新课复习勾股定理的内容。
本节课探究勾股定理的综合应用。
思考：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？先画出图形，再写出已知、求证.探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在设计意图：上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们……这样的无理……可以当直角三用．师生行为：学生小组交流讨论……这样的包含在直角三角形中的线段．此活动，教师应重点关注：②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；③学生能否积极主动地交流合作．师：所以只需画出长1的直角三角形的斜边．生：设两直角边为a，b，根据勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13．若a，b 为正整数，•则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9，a2=4，b2=9，则a=2，b=3．•所以长为13的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．师：下面就请同学们在数轴上画出表示13的点．生：步骤如下：1．在数轴上找到点A，使OA=3.2．作直线L垂直于OA，在L上取一点B，使AB=2.3．以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示13的点．(二)新课教授例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每小时飞行多少千米？分析：根据题意，可以画出图，A点表示男孩头顶的位置，C、B•点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．解：根据题意，得Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5 000米，AC=4 800米．由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．即5 0002=BC2+4 8002，所以BC=1 400米．飞机飞行1 400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1 400×6×60=50 400米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时．评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决．同时注意，在此题中小孩是静止不动的．例2、如右图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，•已知物体A到平面镜的距离为6米，向B点到物体A的像A′的距离是多少？分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．解：如例2图，由题意知△ABA′是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：AA′=2×6=12米，AB=5米；在Rt△A′AB中，A′B2=AA′2+AB2=122+52=169=132米．所以A′B=13米，即B点到物体A的像A′的距离为13米．评注：本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理、轴对称等知识．由此可见，数学是物理的基础．例3、在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，•问这里的水深是多少？解：根据题意，得到右图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB•是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BC⊥AD．所以在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即（AC+3）2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5，所以这里的水深为4.5分米．评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．设计意图：让学生进一步体会勾股定理在生活中的应用的广泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学问题的重要思想．师生行为：先由学生独立思考，完成，后在小组内讨论解决，教师可深入到学生的讨论中去，对不同层次的学生给予辅导．在此活动中，教师应重点关注：②学生是否自主完成上面三个例题；②学生是否有综合应用数学知识的意识，特别是学生是否有在解决数学问题过程中应用方程的思想．例4、练习：在数轴上作出表示17的点．解：17是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示17的点如下图：设计意图：进一步巩固在数轴上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用．师生行为：由学生独立思考完成，教师巡视．此活动中，教师应重点关注：（1）生能否积极主动地思考问题；（2）能否找到斜边为17，另外两个角直边为整数的直角三角形．例5 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
八年级数学下册教学课件《勾股定理》(第3课时)
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C
点，则点C即为表示 13 的点.
l B 13 2
3
O 0
1
A•
2 3 C4
也可以使OA=2， AB=3，同样可
以求出C点.
探究新知
17.1 勾股定理
方法点拨
利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正 数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴 存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边 的点表示是正无理数.
解：如图所示，有8条.
一个点一个点地 找，不要漏解.
巩固练习
17.1 勾股定理
如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边 长均为1，画出一个三角形的长分别为 2 、2、10 .
解：如图所示. A C
B
探究新知
17.1 勾股定理
知识点 4 利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折 叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3， 求AM的长.
能力提升题
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 5、10、13,求这个三
角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格
（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需 求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
探究新知
17.1 勾股定理
问题2 长为 13 的线段是直角边的长都为正整数的直角三角 形的斜边吗？
13 ?
13 ?
13 ?
1
18.1勾股定理【3】-定理应用
2.5m长的梯子 斜靠在一竖直的墙AC 例3：一个2.5 长的梯子 斜靠在一竖直的墙 ：一个2.5 长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 这时AC的距离为 的距离为2.4m．(2)梯子顶端 沿墙下 梯子顶端A沿墙下 上，这时 的距离为 ．(2)梯子顶端 滑多少米梯子底端B也外移相同距离？ 也外移相同距离 滑多少米梯子底端 也外移相同距离？
2 2
B
2
a
2
c
b A
a = c −b
C
b = c −a
2
2
练习1．如图，受台风“麦莎”影响， 练习 ．如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面 4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部 米处，这棵树 米处断裂， 米处， 米处断裂 树的顶部落在离树跟底部3米处 折断前有多高？ 折断前有多高？
A
4米 米
C
2 2
1.7米梯子底端 米梯子底端B 米梯子底端 2 外移距离和下滑距 离相等。 离相等。
2.5m长的梯子 斜靠在一竖直的墙AC 例3：一个2.5 长的梯子 斜靠在一竖直的墙 ：一个2.5 长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 这时AC的距离为 的距离为2.4m (3)梯子顶端 沿墙下滑 梯子顶端A沿墙下滑 上，这时 的距离为 梯子顶端 多少米梯子底端B外移距离是下滑距离的 外移距离是下滑距离的3倍 多少米梯子底端 外移距离是下滑距离的 倍？ ° A 解：在Rt∆ABC中， ∠ACB = 90 Q
xm
5m
C 1mB
B′
练习3．在一棵树的 米高处有两只猴子 米高处有两只猴子， 练习 ．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴 子爬下树走到离树20米处的池塘的 米处的池塘的A处 子爬下树走到离树 米处的池塘的 处。另一只爬 到树顶D后直接跃到 后直接跃到A处 距离以直线计算， 到树顶 后直接跃到 处，距离以直线计算，如果 两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少 多少米 两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？
勾股定理3
A
1 ∴ BD = BC = 3 2
− AC
2
∴ AD = 36 − 9 = 27 = 5.196(cm)
— ︱
(2)
1 S △ ABC . BC ⋅ AD = 2
B
D
C
1 = × 6 × 5.196 2
= 15.588(cm )
2
小试牛刀
1:求图所矩形零件上两孔中心 和B的距离 精确到 ㎜) 求图所矩形零件上两孔中心A和 的距离 精确到0.1㎜ 的距离(精确到 求图所矩形零件上两孔中心 是直角三角形,根据勾股定理 解:△ABC是直角三角形 根据勾股定理 得 △ 是直角三角形 根据勾股定理,得
AB = 50 − 40
2
2
C
AB=30m
B
4.己知一个工件尺寸如图 单位㎜),计算 的长 己知一个工件尺寸如图(单位 计算L的长 己知一个工件尺寸如图 单位㎜ 计算 (精确到 ㎜). 精确到0.1㎜ 精确到 根据勾股定理,得 解:根据勾股定理 得 根据勾股定理
64 L = 88 − 2
勾股定理3 勾股定理 已知:等边三角 的边长是6㎝ 例1已知 等边三角△ABC的边长是 ㎝. 已知 等边三角△ 的边长是 (1)求高 的长 (2)求 S △ ABC . 求高AD的长 求高 的长. 求
是等边三角形,AD是高 是高. 解:∵ △ABC是等边三角形 ∵ 是等边三角形 是高 在Rt△ABC中,AB=6,BD=3, △ 中 2 2 根据勾股定理, 根据勾股定理 AD = AB
2
2 2
2
x = 1.5 + 3 = 3.35
S=xd=10*3.35=33.5
b a d
6.一艘轮船以 海里／时的速度离开港口向东南方 一艘轮船以16海里 一艘轮船以 海里／ 向航行.另一艘轮船在同时同地以 海里／ 另一艘轮船在同时同地以12海里 向航行 另一艘轮船在同时同地以 海里／时的速度 向西南方向航行.它们离开港口一个半小时后相距多 向西南方向航行 它们离开港口一个半小时后相距多 北 远? 东南方向,OB西南方向 解:∵OA东南方向 ∵ 东南方向 西南方向 。 ∴ ∠AOB=90 OA=16×1.5 =24 m × OB=12×1.5 =18 ×
探索勾股定理(3)
课题：1.1探索勾股定理 (3)
教学目标：1、用拼图的方法验证勾股定理；
2、掌握勾股定理，并能运用它解决一些实际问题；
教学重点：掌握勾股定理，会运用它进行简单的计算及解决一些实际问题； 教学难点：用拼图的方法验证勾股定理；
导入方式：复习引入
一、课前练习：
1、 在Rt ΔABC 中，∠C=900，a=8，b=15，求c 。
2、 如图：Rt ΔABC 中，∠C=900，AC=10，BC=24，求AB 的长。
3、 完成书本P11知识技能#1。
二、知识点一：
1、课外阅读P12～13页， 从“朱青出入图”的拼图方法理解勾股定理的验证。
2、完成书本P26页#7题，动手验证勾股定理。
3、 试与同学交流一下你的体会。
4、 完成书本P14页议一议，
A C B
三、知识二：
1、完成书本P15随堂练习#1
2、求图中直角三角形的未知边长。
3、要修建一个育苗棚，棚高h =1.8 m,棚宽a =2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
5、 完成书本：P15页问题解决#1
4 3。
18.1勾股定理(3)
D
C
2m
A
B
1m 针对性练习： 1、有一个边长为 50dm 的正方形洞口，想用 一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少 多长？（结果保留整数）
2、一圆柱形饭盒，底面半径为 8 cm，高为 12 cm，若往里面放双筷子（粗细不计） ，那 么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？
A
B
D
C
如图， 例 2 如图，一个 3m 长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙面 AO 上，这时 AO 的距离为 ， 2.5m ，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5 m ，那么梯子底端 B 也外移 0.5 m 吗？ 分析：BD 与哪几条已知线段有关系呢？BD=___________ A 求出这些已知线段，问题就解决了 C 解：
D B A Cຫໍສະໝຸດ 四 、课 堂 梳 理 小 结 作 业 说 明
小结具体内容 详细分层作业 布置要求说明 从实际问题中抽象出直角三角形问题，用勾股定理解题 必做：书 P70 5、P71 9、10 导航：基础练习 选做：P71 11、12 导航习题选做
初二学案记录 初二学案记录 学科
课题 18.1 勾股定理（3）
八下数学
课型
时间
新授
月
课时
日
1
一 、课 堂 导 入 知 识 点 衔 接
复习内容重点 具体衔接点 1、勾股定理内容 2、利用勾股定理的简单计算 1、数学与实际问题的联系
2、数形结合的思想方法
二 、本 课 知 识 点 强 调 说
本课重点难点 1、勾股定理的应用 2、实际问题向数学问题的转化。
O
B
D
针对性练习： 如图， 梯子 AB 靠在墙上， 梯子的底端 A 到墙根 O 的 距离为 2，米，梯子的顶端 B 到地面的距离为 7 米，现将梯 子的底端 A 向外移到 A′ ，使梯子的底端 A′ 到墙根 O 的距离 为 3 米，同时梯子的顶端 B 下降至 B ′ ，那么 BB ′ 长是多少？
17.1.3勾股定理应用2(数轴上表示无理数)
A
B
D
B
∴点C即为表示 13 的点
A
0
1
2
3 C 4
你能画出斜边为
的直角三角形吗？ 5
5
2
1
1、在数轴上表示 —
5
的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为
1,
2,
3,
4,
5 的线段.
17
1
1
2
3 4 5
6
2、在数轴上画出表示
的点 17 的点 20
3、在数轴上画出表示
小结：
•说说你的本节课的 收获？
35154545232312312345探索规律在数轴上表示的数右边的数总比左边的351535115
17.1勾股定理（3）
---在数轴上画出无理数
勾股定理（gou-gu theorem)
直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
符号语言：
a
c
∵Rt△ABC中，∠C=90°
b
∴ a b c
2 2
如图，小颍同学折叠一个直角三 角形的纸片，使A与B重合，折痕为 DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你 B 能求出CE的长吗？
D
10-x
A
E
6
x C
2.矩形ABCD如图折叠，使点D落 在BC边上的点F处，已知AB=8， BC=10，求折痕AE的长。Aຫໍສະໝຸດ D EBF
C
3.RtΔABC中,AB比BC多2,AC=6, 如图折叠,使C落到AB上的E处, 求CD的长度, C
C
B D A
3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬 了多少厘米？（小方格的边长为1厘米） G A
八年级数学勾股定理3
E
D
13m
8m
12m
B
C
数学奇闻
聪明的葛藤
葛藤是一种刁钻的植物，它自己 腰杆不硬，为了得到阳光的沐浴 ，常常会选择高大的树木为依托 ， 缠 绕 其 树 干 盘 旋 而 上 。 如 图 (1) 所示。
葛藤又是一种聪明的植物， 它绕树干攀升的路线，总是沿着 最 短 路 径 —— 螺 旋 线 前 进 的 。 若 将树干的侧面展开成一个平面， 如图（2），可清楚的看出葛藤在 这个平面上是沿直线上升的。
帮一帮农民
如图所示，要修一个种植蔬菜的大棚， 棚宽a=6m， 高b=2.5m，长 d=12m， 则修盖在顶上的塑料薄膜需要的面积 为多少?
bc
a
d
帮一帮建筑工人
建筑工人在建房时，要确保房基的四 个角都是直角，我们用怎样的方法帮 他们解决这个问题？ 如图，
B
C
帮一帮消防员
勾股定理的应用
勾股定理的应用
当今世界上许多科学家正在试探着寻找“外 星人”，人们为了与外星人取得联系，想了很多 办法。早在1820年，德国著名数学家高斯曾提出， 可在西伯利亚的森林里砍伐出一片直角三角形的 空地，然后在这片空地里种上麦子，在三角形的 每个边上种上一片正方形的松树， 如图，如果外星人路过地球附近，看 到这个巨大的数学图形，便会知 道这个星球上有智慧的生命。我 国数学家华罗庚也曾提出，若要 沟通两个不同星球之间的信息交流， 最好在太空飞船中带去这样的图形。
（1） （2）
聪明的葛藤
有 一棵树直立在地上，树高2仗，粗3尺， 有一根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周 到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（1 丈等于10尺）
C
20尺
A
3×7=21（尺） B
勾股定理(3)
在Rt△ABF中
A
10 10
AB2+ BF2＝AF2 82+ BF2＝102 D ∴BF＝6
8
B
X
X
F
E
(8- X)
∴CF＝BC－BF＝10－6＝4 在Rt△EFC中
6
4 C
CE2+CF2＝EF2 (8－ X)2+42=X2 解得X=5 即EF=5
八、勾股定理应用中:航海问题
甲轮船以１５海里／时的速度从港口向东南方向航 行，乙船同时以２0海里／时速度向东北方向航行 求它们离开港口２小时后相距多远？ 北 乙A 解:2小时甲、乙各行的路程是
a
C
c
a C b
c
30° B
45° B b
a : b : c 1:1: 2
a= 5 cm时求b=？c=？
a : b : c 1: 3 : 2
c= 6 cm时求b=？a=？
三、勾股定理解决芦苇倾斜问题
有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有 一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端 恰好到达岸边的水面，问这水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
数轴上的点
C D
2
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
B
-1 0 1
点A表示 2 点C表示
1
2 点B表示 3 7 点D表示 3
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上表示出
13 的点吗？
你能在数轴上画出表示 13 的点吗？ 13 2 步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3; 3
请说一说勾股定理的具体内容。
∵ 在Rt△ABC中, ∠C=90º ,AB=c,AC=b,BC=a,
【精】《勾股定理》第3课时精品教案
《勾股定理》第3课时精品教案【教学目标】1.知识与技能（1）了解在数轴上无理数的表示。
（2）能用勾股定理解决问题。
2.过程与方法在讲解与练习中进一步加深理解。
3.情感态度和价值观通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。
【教学重点】无理数的表示【教学难点】正确的在数轴上表示无理数。
【教学方法】自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】教学课件。
【课时安排】1课时【教学过程】一、复习导入【过渡】在之前的学习中，我们了解到了数轴这样一个概念。
现在，大家看一下这两个问题，来复习一下有关无理数与数轴的知识。
（1）数轴上表示的点-√5到原点的距离是；（2）点M在数轴上与原点相距√15个单位，则点M表示的实数为。
【过渡】结合数轴的相关知识，我们能够很容易的给出答案。
对于有理数而言，我们能够很轻松的在数轴上找出对应的点。
但是像刚刚的√5与√15,这样的无理数，却很难去表示。
今天，我们就来寻找一种方法，在数轴上找到这样的点的位置。
二、新课教学1．勾股定理【过渡】在八年级上册的学习中，我们得到了一种证明两个直角三角形全等的结论。
寻找大家看一下思考的内容，你能通过勾股定理去证明这个结论是否正确吗？【过渡】在解决数学问题时，我们常常利用数学语言会更直观。
因此，将上述结论转化为数学语言，即为：已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A ’B ’C ’中，∠C=∠C ’=90°，AB=A ’B ’，AC=A ’C ’。
求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’。
现在大家来证明一下吧。
（学生回答）课件展示证明过程。
【过渡】这个证明显示了勾股定理在三角形的运算或证明等过程中的应用。
大家在遇到这样的问题的时候，要能够灵活运用勾股定理。
表示无理数【过渡】现在，我们回到课堂最开始的问题，如何在数轴上找到√13的点呢？既然是在勾股定理的应用，那么我们就从这个角度来进行分析。
【过渡】根据勾股定理，知道√13是两个直角边分别为2、3的直角三角形的斜边。
人教版勾股定理的逆定理(3)
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直
角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 _是___ ∠_A__=_9_0;0
(2) a=13 b=14 c=15 _不__是_ _____ ;
(3) a=1 b=2 c= 3
(4) a:b: c=3:4:5
ABCD的面积?
S C
四边形ABCD=36
B D
准备好了
吗?
A
练一练
1、已知 △ABC三角形的 分三 别边 为 a,b,c 且a= m2 -n2,b=2 m nc=,m2 n2 (m>n,m,n是正整数)， △ABC是直角三 吗角 ?说 形明理由
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长， 可以代m,n为满足条件的特殊值来试， m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
_是___ ∠_B_=_9_0_0; _是____ ∠__C_=_9_0;0
像25,20,15,能够成为直角三角形
三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例题解析
例2 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零 件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这 个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求
吗？
D AB
例题解析
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是 不是直角三角形，只要看两条较小边的平方 和是否等于最大边的平方。
解：∵152＋82＝225＋64＝289 172＝289
古埃及人曾用下面的方法得到直角
勾股定理 3
勾股数通式和常见勾股素数
若 m 和 n 是互质，而且 m 和 n 至少有一个是 偶数，计算出来的 a, b, c 就是素勾股数。 (若 m 和 n 都是奇数， a, b, c 就会全是偶数， 不符合互质。) 所有素勾股数(不是所有勾股数)都可用上述 列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无 穷多的素勾股数。
简介
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之 一。
中国是世界上最早发现证明并运用勾股定理的国家， 在中国算学中勾股定理为重中之重。《周髀算经》 中记述周公问数商高段中，就有证明该定理的方法。 传说古希腊发现勾股定理的是毕达哥拉斯，所以勾 股定理又称毕达哥拉斯定理，但这个说法没有任何 证据。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了 百头牛作庆祝（百牛大祭），更是荒唐可笑，勾股数组是满足勾股定理的正整数组（a、 b、c），其中的（a、b、c）称为勾股数。
历史
这个定理的历史可以被分成三个部份：发 现勾股数、发现直角三角形中边长的关系、
及其定理的证明。
勾股数
勾股数出现得较早，例如埃及的纸草书里面就有(3,4,5)这 一组勾股数，而巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是 （18541， 12709，13500）。后来的中国的算经、印度 与阿拉伯的数学书也有记载。相传是在公元前11世纪商代 由商高发现，故又有称之为商高定理；商高答周公问曰： “勾广三，股备四，径隅五”；三国时代的赵爽对《周髀 算经》内的勾股定理作出了详细注释：“勾股个自乘，并 之，为弦实，开方除之，即弦”。《九章算术》卷第九 《句股》章详细讨论了勾股定理的运用，魏国数学家刘徽 反复运用勾股定理求圆周率。 金朝数学家李冶的《测圆海镜》通过勾股容圆图式的十五 个勾股形和直径的关系，建立了系统的天元术，推导出 692条关于勾股形的各边的公式，其中用到了多组勾股数 作为例子。
《勾股定理》3PPT课件 图文
正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
C D
B A
7cm
1
1
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长 为( )C
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３
４
试一试:
2、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则
BC的长为____5__或_____7
A
130
?
C
120 B
1、判断题： 1)直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一定满足下面的
式子： a2+b2 =c2( × )
2) 直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是5.
(× )
一、鲁迅是一个非常勤奋的人 鲁迅的勤奋，我想不用我细说大家都是 很明白 的。在 鲁迅的 散文《 百草园 和三味 书屋》 中，鲁 迅讲过 关于上 学迟到 的故事 ，后来 他在桌 子上刻 了个“ 早”字 ，当作 了他一 生的座 右铭。
商高定理就 是勾股定理哦！
商高定理：
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《勾股定理》的说课稿
（一）教材的地位与作用
从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。
从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁；
勾股定理又是对学生实行爱国主义教育的良好素材，所以具有相当重要的地位和作用。
根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。
其中【情感态度】方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。
（二）重点与难点
为变被动接受为主动探究，我确定本节课的重点为：勾股定理的探索过程。
限于八年级学生的思维水平，我将面积法（拼图法）发现勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突出重点，合作交流突破难点。
二、教学与学法分析
教学方法叶圣陶说过“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。
”所以教师利用几何直观提出问题，引导学生由浅入深的探索，设计实验让学生实行验证，感悟其中所蕴涵的思想方法。
学法指导为把学习的主动权还给学生，教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。
三、教学过程
我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感受其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。
首先，情境导入古韵今风
给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板实行合作拼图。
（请看视频）让学生观察并思考三个正方形面积之间的关系？它们围成了什么三角形？反映在三边上,又蕴含着什么数学奥秘呢？寓教于乐，激发学生好奇、探究的欲望。
第二步追溯历史解密真相
勾股定理的探索过程是本节课的重点，依照数学知识的循序渐进、螺旋上升的原则，我设计如下三个活动。
从上面低起点的问题入手，有利于学生参与探索。
学生很容易发现，在等腰三角形中存有如下关系。
巧妙的将面积之间的关系转化为边长之间的关系，体现了转化的思想。
观察发现虽然直观，但面积计算更具说服力。
将图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积，体现了数形结合的思想。
学生会想到用“数格子”的方法，这种方法虽然简单易行，但对于下一步探索一般直角三角形并不适用，具有局限性。
所以教师应引导学生利用“割”和“补”的方法求正方形C的面积，为下一步探索复杂图形的面积做铺垫。
突破等腰直角三角形的束缚，探索在一般情况下的直角三角形是否也存有这个结论呢？体现了“从特殊到一般”的认知规律。
教师给出边长单位长度分别为3、4、5的直角三角形，避免了学生因作图不准确而产生的错误，也为下面“勾三股四弦五”的提出埋下伏笔。
有了上一环节的铺垫，有效地分散了难点。
在求正方形C的面积时，学生将展示“割”的方法，“补”的方法，有的学生可能会发现平移的方法，旋转的方法，对于这两种新方法教师应给于表扬，肯定学生的研究成果，培养学生的类比、迁移以及探索问题的水平。
使用几何画板动态演示，使几何与代数之间的关系可视化。
当为直角三角形时，改变三边长度三边关系不变，当∠α为锐角或钝角时，三边关系就改变了，进而强调了命题成立的前提
条件必须是直角三角形。
加深学生对勾股定理理解的同时也拓展了学生的视野。
以上三个环节层层深入步步引导，学生归纳得到命题1，从而培养学生的合情推理水平以及语言表达水平。
感性理解未必是准确的，推理验证证实我们的猜想。
第三步推陈出新借古鼎新
教材中直接给出“赵爽弦图”的证法对学生的思维是一种禁锢，教师创新使用教材，利用拼图活动解放学生的大脑，让学生发挥自己的聪明才智证明勾股定理。
这是教学的难点也是重点，教师应给学生充分的自主探索的时间与空间，让学生的思维在相互讨论中碰撞、在相互学习中完善。
教师深入到学生中间，观察学生探究方法接受学生的质疑，对于不同的拼图方案给予肯定。
从而体现出“学生是学习的主体，教师是组织者、引导者与合作者”这个教学理念。
学生会发现两种证明方案。
方案1为赵爽弦图，学生讲解论证过程，再现古代数学家的探索方法。
方案2为学生自己探索的结果，论证之巧较方案1有异曲同工之妙。
整个探索过程，让学生经历由表面到本质，由合情推理到演绎推理的发掘过程，体会数学的严谨性。
对比“古”、“今”两种证法，让学生体会“吹尽黄沙始到金”的喜悦，感受到“青出于蓝而胜于蓝”的自豪感。
板书勾股定理，进而给出字母表示，培养学生的符号意识。
教师对“勾、股、弦”的含义以及古今中外对勾股定理的研究做一个介绍，使学生感受数学文化，培养民族自豪感和爱国主义精神。
利用勾股树动态演示，让学生欣赏数学的精巧、优美。
第四步取其精华古为今用
我按照“理解—掌握—使用”的梯度设计了如下三组习题。
（1）对应难点，巩固所学；（2）考查重点，深化新知；（3）解决问题，感受应用
第五步温故反思任务后延
在课堂接近尾声时，我鼓励学生从“四基”的要求对本节课实行小结。
进而总结出一个定理、二个方案、三种思想、四种经验。
然后布置作业，分层作业体现了教育面向全体学生的理念。
四、教学评价
在探究活动中，教师评价、学生自评与互评相结合，从而体现评价主体多元化和评价方式的多样化。
五、设计说明
本节课探究体验贯穿始终，展示交流贯穿始终，习惯养成贯穿始终，情感教育贯穿始终，文化育人贯穿始终。
采用“七巧板”代替教材中“毕达哥拉斯地板砖”利用我国传统文化引入课题，赵爽弦图证明定理，符合本节课以我国数学文化为主线这个设计理念，体现了我国古代数学璀璨的历史，激发学生再创数学辉煌的愿望。