函数的凸性及应用文献综述

函数的凸性及应用文献综述

文献综述

函数的凸性及应用

一、前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点)

凸函数是一类重要的函数。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处。特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数都有着十分重要的作用。凸函数的定义,最早是由Jersen给出的。各文献中对凸函数的定义不尽相同,在大学的数学分析或高等数学教材中,常常只研究具有二阶导数的凸函数。本文首先给出凸函数的定义以及对凸函数的基本性质进行总结。然后由基本性质进行延伸,进一步给出凸函数的应用。对于凸函数的应用,本文拟将主要介绍以下的几点:凸函数在证明Jensen不等式时的应用;凸函数在Hadamard不等式中的证明的应用;凸函数在分析不等式中的应用等。

二、主题部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述)

凸函数具有一些非常优良的性质[1],有着较好的几何和代数性质,在数学各个领域中都有着广泛的应用。1905年丹麦数学家Jensen首次给出了凸函数的定义,经过近百年努力,凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展,在现代学习应用函,和生活中的重要性已经不断的凸显出来。凸函数是一类非常重要的函数．数的凸性,不仅可以科学、准确的描述函数的图像,而且也有证明不等式的凸函数方法,同时,凸函数也是优化问题中重要的研究对象,它研究的内容非常丰富,研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用,所以研究凸函数的性质及应用就显得尤为重要。

2.1凸函数的定义

2.1.1凸函数一些基本定义

通过数学分析的学习,对于函数和的图像,我们很容易看出它们之间的不同点:曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线则相反,在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。通过这两个函数,我们把前一种特性的曲线称为凸的,后一种为凹的。对于凸的我们称其函数为凸函数。

数学分析[2]给出了凸函数的基本定义:设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点,和任意实数总有,则称为上的凸函数。

葛丽萍[3]介绍了以下的结论:若区间上的任意三点,总存在,这个条件是为上的凸函数的充要条件,该证明在数学分析中已经详细的给出了。同理,通过推广,可以得出另一个更进一步的充要条件:在区间上的任意三点,有成立,则为上的凸函数。并且若为区间上的二阶可导函数,则在上为凸函数的充要条件为。

2.1.2严格凸函数的定义

江芹,陈文略[4]给出了严格凸函数的定义并且讨论了区间上严格凸函数的判定方法。

定义:凸函数的定义为函数满足以下不等式,其中为区间上的函数,,为上的任

意两点和。当上面的不等式变为时,其余条件不变,该函数称为严格凸函数。

则在区间上是严格凸函,在上严格递增,设为区间上可导函数、:1判定方法

数。反之,不成立;2、设为区间上二阶可导函数,在上.则在区间上是严格凸函数。

2.1.3凸函数的等价描述

林银河[5]详细论述了凸函数的等价描述,由此得出:若在上有定义,则以下3

个命题等价:

在上为凸函数;

,,有;

,且不全为零,有

。

其中命题就是著名的Jensen不等式。在Jensen不等式中令就得到如下定义:设在区间上有定义,称为上的凸函数,当且仅当有。

葛丽萍[3]介绍了函数在区间上可导的等价条件:若为区间上的可导函数,可

得出以下等价条件。(1)为上的凸;(2)为上的增函数;(3)对上的任意两点,,有。2.2凸函数的一些性质

2.2.1凸函数的连续性

凸函数是数学分析中的一类重要函数,而函数的连续性又是函数性态的一项基本而又重要的特征。由于Jensen定义中并没有对函数作出连续性及可导性假

设,Jensen意义下凸函数并不一定是连续函数,而连续函数也不一定是凸函数,

从凸函数的定义出发,研究连续函数与凸函数的关系。那么我们就会提出这样的问题:当连续函数满足何种条件时,是区间上的凸函数;当凸函数满足何种条件时,是区间上的连续函数;连续凸函数在区间上具有何种性质?

例如函数,我们容易证明在上是凸函数,但在上不连续。存在函数,可以得出但是函数在上不是凸函数。,函数在上是连续的．

上面这个例题说明凸函数并不一定是连续函数,而连续函数也不一定是凸函数。宋方[6]提出,如果连续函数为凸函数,必定满足以下定义:对任意的及,恒有:。例:证明连续函数是一个凸函数。

分析:因为,只要存在就能说明函数是一个凸函数。显然能够找到满足条件的

性质[7]:若在区间上连续,且满足

或

其中,则是上的凸函数。

2.2.2凸函数的微积分性质

刘鸿基,张志宏[8]指出凸函数是一类重要的函数,有着较好的分析性质,而关

于凸函数,一般教材大都从几何意义方面引出定义,描述为:凸曲线弧段上任意两点联结而成的弦,总是位于曲线弧段的下方;或者,当曲线各点处存在切线时,凸

曲线弧全部位于曲线上各点处切线的下方。前者往往作为定义使用,后者是凸函数的充分必要条件,也可以作为定义作用。刘鸿基,张志宏[8]举证了凸函数的4

个等价性定义,并对凸函数的微积分性质予以讨论,得到两个重要的微积分性质:

1.设在区间内可导,则在上是凸函数的充分必要条件是:对任意点,恒有。

2.设是上的凸函数,则

性质2分析:因为是闭区间上的凸函数,因而是连续的,也是可积的。

,,

当时

因此有。

根据定义,可得即。

根据定积分性质对于,

令则

所以

再者,若令,则,于是

综上所述,结论成立。

2.2.3关于凸函数性质的总结

王华[9]提出常见的凸函数定义有八个,此处就其中几个定义间的关系、几何意义作进一步思考,来得出有关凸函数的性质。

根据文中所阐述和定义的,归纳出以下性质:

1.当在上一阶可导,在凸。由于是过点的曲线的切线,不等式的几何意义是:上凸曲线总在曲线上任一点的切线之上。

2.在上二阶可导,在凸。

3.若在上可导,则下述两个不等式等价(1);(2)。

4.若在凸,则下述两个不等式等价(1)有;(2)有。

5.若在凸,则(1),有,都存在,且;(2)在连续。

凸函数都是连续的。)下(证明上:例

针对性质5分析:,取,据定义得式(?)又据其几何意义,函数是单调函数,故当时单调有上界;时单调有下界,于是极限及存在,而这两个极限即及,故对式(*)取极限,即可得。

同时可知

即。故在的内点连续,即在上连续是在上(下)凸的必要条件。

2.3凸函数的一些应用

2.3.1凸函数的应用概述

凸函数的应用领域非常广泛,特别是在不等式的证明中,函数凸性的应用显著地体现在求最值、不等式的证明上。利用凸函数的性质证明有关不等式,可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化为证明比较容易,证明过程简单的问题,关键是寻找合适的凸函数,若不能直接找出,则可以对不等式进行适当的变形,从而达到证明不等式的目的。凸函数在数学规划中有着广泛的应用背景,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。邹自德[10]指出:凸函数具有较好的几何和代数性质,由凸函数可以引导出各种平均值并对这些平均值进行比较。

例:几何平均值不大于算数平均值(利用凸函数导出常用的不等式)

分析:设,考虑指数函数,是凸函数,从而对

有

成立。

令,则得到

。

这就是人们熟知的“几何平均值不大于算数平均值”定理。．