01-第一节-微分方程的基本概念
微分方程的基本概念
3．具有初始条件的微分方程： 此类微分方程的特点是给定了某些函数值 ，如 都是给定的数（称为初值） 等，其中 y0 ， y0 y x x y0 ， y x x y0 。此时所求出
0 0
的微分方程的解称为微分方程的特解，不包含任意常数 C 。
注 1：微分方程的特解不包含任意常数 C ，因为此时可利用初始条件将常数 C 变 为确定的数。
例 1：解微分方程
现将初始条件 y x 0 1 代入通解 y x 2 C ，得： 1 02 C ，从而有 C 1 于是，该微分方程的特解为 y x 2 1
注：解具有初始条件的微分方程大致分为两步：求出微分方程的通解（此时无需
理会初始条件） ；代入初始条件求得特解。
第一节 微分方程的基本概念
1．微分方程：微分方程主要处理未知函数、未知函数的导数与自变量间的关系。
例 1：
dy 2 x 为一阶微分方程。 dx
例 2： x
d2y dy x2 4 x 3x 3 为二阶微分方程。 2 dx dx
注：微分方程的阶数等于方程中的导数的最高阶数。 2．微分方程的通解：微分方程中的通解包含任意常数，且任意常数的个数等于 微分方程的阶数。
再将初始条件 y x 1 2 代入 y
于是，该微分方程的特解为 y
先将初始条件 y x 1 3 代入 y x 2 C1 ，得： 3 12 C1 ，从而有 C1 2 于是有 y
x3 x3 C1 x C2 2 x C2 3 3
x3 13 1 2 x C2 ， 得：2 2 1 C2 ， 从而有 C2 3 3 3 x3 1 2x 3 3
d2y 例 2：解微分方程 2 2 x 。 dx
第十章第一节微分方程的概念
y dx 2 xdx 得
y x 2 C1
2 y dx ( x C1 )dx
ห้องสมุดไป่ตู้
第一节 微分方程的基本概念
2、通解 若微分方程的解中含有独立的任意常数,且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同， 则称这样的解 为微分方程的通解 （一般解）。
2 前例中， y 3 x ,
其中x0 , y0为已知常数. 二阶微分方程y f ( x, y, y)的初始条件为 , 其中x0 , y0 , y0 为已知常数. y x x y0 , y x x y0
0 0 0
y x x y0 ,
第一节 微分方程的基本概念
称为 4、初始条件 确定通解中的任意常数的条件， 初始条件， 也称为定值条件。
线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程. 解： 设所求曲线方程为 y y( x ), dy 2 ① 微分方程 3 x 由导数的几何意义得
因曲线通过点 (1,2), 故 y | x 1 2
dx
② 初始条件 对(1)式求积分, 得 y 3 x 2dx x 3 C ③ 方程通解
n阶线性微分方程的一般形式为 ( n) ( n1) y a1 ( x) y ... an1 ( x) y an ( x) y g( x) （3） 其中a1 ( x),.a2 ( x)...,an ( x)和g( x)均为自变量x的
已知函数。 例： y P ( x ) y Q( x ), y 2 yy 3 y x 2 一阶线性常微分方程 二阶线性常微分方程
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。 是现代数学的一个重要分支。 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种 常用的微分方程的求解方法，微分方程在经济中的应用。
第一节微分方程的基本概念
第十二章 微分方程一、 学时分配：讲课学时：14 习题学时：2 共 16 学时二、 基本内容：1．微分方程的基本概念 2．可分离变量的微分方程 3．齐次方程 4．一阶线性微分方程 5．全微分方程 6．可降阶的高阶微分方程 7．高阶线性微分方程 8．一阶常系数齐次线性微分方程 9． 一阶常系数非齐次线性微分方程三、 教学要求：1．理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等．2．熟练掌握可分离变量的微分方程的解法．3．熟练掌握齐次微分方程的解法4．掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法5．掌握全微分方程成立的充要条件，掌握全微分方程的解法，会用观察法找积分因子6．掌握)()(x f y n =、),(///y x f y =、),(///y y f y =三种高阶微分方程的解法，即降阶法，理解降阶法的思想7．掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式8．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式９．掌握自由项为x m e x P x f λ)()(=和x m m e x x Q x x P x f λωω]sin )(cos )([)(+=的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法四、重点难点：1．重点：2．难点：第一节 微分方程的基本概念教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等．教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件教学难点：微分方程的通解概念的理解教学内容：一、 两个实例1．一条曲线通过点（1,2），且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。
解：设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足x dxdy 2= （1） 同时还满足以下条件：1=x 时，2=y （2）把（1）式两端积分，得⎰=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）其中C 是任意常数。
01第一节微分方程的基本概念
第六章微分方程对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.------ - 傅里叶微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程 .通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系.因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.如果说“数学是一门理性思维的科学, 是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现 . 现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题 . 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题 . 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型 .微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系.本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.第一节微分方程的基本概念一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.在物理学、力学、经济管理科学等领域我们可以看到许多表述自然定律和运行机理的微分方程的例子 .分布图示★ 引言★ 微分方程的概念★例 1★ 微分方程解的概念★例 3★ 内容小结★习题 6-1★例 2★例 4内容要点一、微分方程的概念我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程 . 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是：F (x, y, y , y, y(n ) ) 0,(1.5)其中 x 为自变量，y y( x) 是未知函数.如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程y (n) f ( x, y, y ,, y( n 1) ).(1.6)以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设 (1.6)式右端的函数 f 在所讨论的范围内连续.如果方程 (1.6)可表为如下形式：y(n )a1 ( x) y (n 1)a n 1 (x) y a n (x) y g( x)(1.7)则称方程(1.7) 为n阶线性微分方程.其中a1 ( x), a2(x),, a n (x) 和g (x)均为自变量x 的已知函数 .不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性微分方程.在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解 . 更确切地说，设函数y(x) 在区间 I上有 n 阶连续导数，如果在区间 I 上，有F ( x, ( x),( x),(x) ,( n ) ( x))0,则称函数 y(x) 为微分方程(1.5)在区间 I上的解 .二、微分方程的解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数.一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解 . 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）.注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少 .许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件 . 例如，条件 (1.2)和 (1.4)分别是微分方程(1.1) 和 (1.3)的初始条件 .带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题 .微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线 .例题选讲微分方程的概念例 1（ E01）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却 . 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度 T 与时间t 的函数关系为T T (t ) ，则可建立起函数T (t ) 满足的微分方程dT(1)k(T 20)dt其中 k (k0) 为比例常数.这就是物体冷却的数学模型.根据题意， T T(t) 还需满足条件T |t 0 100.(2)例 2（ E02）设一质量为m的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力 F 等于物体的质量m与物体运动的加速度成正比，即 F m ，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是 t 0 ，物体下落的距离x 与时间 t 的函数关系为x x(t) ，则可建立起函数x(t) 满足的微分方程d 2 xgdt 2其中 g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型 .根据题意， x x(t ) 还需满足条件x(0) 0, dx0. dt t 0微分方程的解例 3（ E03）验证函数x C1 coskt C2sin kt 是微分方程d 2x k 2 x0(k0)dt 2的通解 ,并求该微分方程满足初值条件x |t0A, dx|t 0 0 的特解.dt解求出题设函数的一阶及二阶导数:dxC 2 k coskt ,(1)C1k sin ktdtd 2x k 2 (C1 k cos kt C1 k sin kt ).dt 2把它们代入题设微分方程, 得k 2 (C1 coskt C2 sin kt)k 2 (C1 coskt C2 sin kt) 0因此题设函数是微分方程的解. 又题设函数含有两个相互独立的任意常数, 而题设微分方程是二阶微分方程, 所以题设函数是微分方程的通解.将初值条件 x |t 0 A 代入通解 x C 1 coskt C 2 sin kt 中得 , 得C 1A;将初值条件dx|t 0 0 代入（ 1）, 得dtC 20,于是 , 所求的特解为x A c o skt .例 4 验证函数 y ( x 2C) sin x (C 为任意常数 ) 是方程dy2x sin xycot xdx的通解 , 并求满足初始条件y |0的特解 .x2解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同 .将 y (x 2C ) sin x 求一阶导数 ,得dy 2xsin x(x 2 C ) cos x,dx把 y 和dy代入方程左边得 dxdy ycot x 2xsin x 2 x sin x ( x 2 C ) cos x (x 2C ) sin xcot x 2 x sin x 0.dx因方程两边恒等 ,且 y 中含有一个任意常数 ,故 y( x 2 C) sin x 是题设方程的通解 .将初始条件 y x0 代入通解 y (x2C) sin x 中，222得 0C C. 442从而所求特解为y x2s i n .4x。
微分方程的基本概念
第一章 常微分方程微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要渠道之一。
它是研究许多自然科学、工程技术以及生物技术、农业、经济学等诸多问题的有力工具。
因而微分方程具有重要的应用价值。
本章主要介绍常微分方程的一些基本概念，以及求解几种常用的微分方程的一些最基本的解法。
§1－1 微分方程的基本概念下面我们通过两个具体例题来说明微分方程的基本概念。
例1 一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(x ，y ）处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程。
解 设所求的曲线方程为y=y(x),则根据导数的几何意义可知，未知函数y=y(x)应满足下面的关系：x dxdy2= ， (1) 且当x=1时,y=2. 即y(1)=2 (2) 对（1）式的x dxdy2=两端积分，得 y=C x xdx +=⎰22 (3) 其中C 是任意常数。
将y(1)=2代人，得C=1. 代人(3)式，即得所求曲线方程 12+=x y （4）例2一质量为m 的质点，从高h 处，只受重力作用从静止状态自由下落，试求其运动方程．解 在中学阶段就已经知道，从高度为h 处下落的自由落体，离地面高度s 的变化规律为s =h －21g t 2，其中g 为重力加速度．这个规律是怎么得到的呢？下面我们给出推导过程． 取质点下落的铅垂线为s 轴，它与地面的交点为原点，并规定正向朝上．设质点在时刻t 的位置在s (t )（如 图1-1）力的作用(空气阻力忽略不计)，由牛顿第二定律F =ma ，得 m 22)(dtt s d =－m g ． 即 22)(dtt s d =－g (5) 图1-1根据质点由静止状态自由下降的假设，初始速度为0，所以s =s (t )还应满足下列条件 s | t =0=h ，dtds| t =0=0， (6) 对(6)式两边积分，得dtt ds )(=－g ⎰dt =－g t +C 1 ， (7) 两边再积分，得s (t )=⎰+-dt C gt )(1=－21g t 2+C 1t +C 2 ，(8)其中C 1，C 2均为任意常数．将条件(7)代入(8)，(9)式，得C 1=0， C 2=h ．于是所求的运动方程为s (t )= －21g t 2+h ． (9) 上述两个例子中的关系式（1）和（5）中，都含有未知函数的导数，自变量也都只有一个，且方程都附加有一定的条件。
微分方程全部知识点
微分方程全部知识点微分方程是数学中一个重要的分支，用于描述变量之间的关系以及其之间的变化规律。
其在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
下面将介绍微分方程的全部知识点。
一、基本概念和分类：1. 微分方程的定义和形式。
2. 微分方程的阶数和线性性。
3. 独立变量和因变量的概念。
4. 常微分方程和偏微分方程的区别。
二、常微分方程：1. 一阶常微分方程的解法：可分离变量、齐次方程、一阶线性方程、一阶伯努利方程、可化为可分离变量的方程。
2. 高阶常微分方程的解法：常系数线性齐次方程、常系数线性非齐次方程、二阶常系数齐次方程的特征方程、二阶线性非齐次方程的特解法。
3. 微分方程的解的存在唯一性定理。
4. 常微分方程的初值问题和边值问题。
三、偏微分方程：1. 常见的偏微分方程类型：椭圆型、抛物型、双曲型方程。
2. 二阶线性偏微分方程的分类和通解求法。
3. 常用偏微分方程的具体应用：热传导方程、波动方程、扩散方程等。
四、数值解法：1. 欧拉法和改进的欧拉法。
2. 龙格-库塔法。
3. 有限差分法和有限元法。
五、应用领域：微分方程在物理学、工程学、生物学、经济学等领域有广泛的应用。
例如：1. 牛顿运动定律中的微分方程。
2. 电路中的微分方程。
3. 生物种群数量变化的微分方程。
4. 经济增长模型中的微分方程。
总结：微分方程是数学中一个重要的分支，主要包括基本概念和分类、常微分方程、偏微分方程、数值解法以及应用领域等知识点。
掌握微分方程的解法和应用，对于理解自然和社会现象的规律具有重要作用。
微分方程定解问题的基本概念
微分方程定解问题的基本概念微分方程是数学中的一个重要分支，它用来描述物理、经济、生物等学科中的现象和问题。
微分方程定解问题则是微分方程研究的重点，它对于解决实际问题具有非常重要的作用。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述变量之间的变化关系的方程，其形式通常为：y′ = f(x, y)其中y′ 表示 y 对 x 的导数，f(x, y) 表示 x 和 y 的函数关系。
微分方程的解是一组函数，它满足微分方程和附加条件（称为初值条件或边界条件）。
二、定解问题的基本概念定解问题是指在微分方程中确定初始条件或边界条件，求得微分方程的解。
定解问题可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是在一个点（通常为 x0）给出一个函数值（通常为y(x0)）和其导数值（通常为y′(x0)），求解函数在另一点的取值。
初值问题通常用初值问题解法求解。
边值问题是在一段区间内给出一个函数值和其导数值，求解函数在该区间的取值。
边值问题通常用曲线拟合法或数值法求解。
三、常见的定解问题常见的定解问题包括：1.一阶常微分方程的初值问题。
例如：y′ = f(x, y), y(x0) = y02.一阶常微分方程的边值问题。
例如：y′ = f(x, y), y(a) = ya, y(b) = yb3.二阶常微分方程的初值问题。
例如：y′′ = f(x, y, y′), y(x0) = y0, y′(x0) = y0′4.二阶常微分方程的边值问题。
例如：y′′ = f(x, y, y′), y(a) = ya, y(b) = yb四、定解问题的应用定解问题在物理、工程、金融等领域中有广泛的应用。
例如：1.物理学中的定解问题：在自然界中的各种物理现象中，微分方程定解问题经常被用于对各种现象和性质的研究和分析。
2.工程学中的定解问题：设计和分析各种工程系统时，微分方程定解问题经常被用于模型的建立和计算。
3.金融领域中的定解问题：在金融领域中，微分方程定解问题被用来分析各种金融产品的产生和变化，预测市场走势等。
高等数学(上)01-微分方程的基本概念 答案详解
4.1 微分方程的基本概念一、指出下列微分方程的阶数，并验证括号中的函数是否为微分方程的解，若是解，说明该解是通解还是特解：解析：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫微分方程的阶满足微分方程的函数（即把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式）叫做该微分方程的解n 阶微分方程含有n 个独立任意常数的解称为其通解，所谓独立，是指不能合并而减少个数根据其他条件确定了通解中的任意常数以后，得到微分方程不含任意常数的解称为特解，此处的定解条件称为初值条件1．xy3y 0(y Cx 3 )解：一阶（未知函数的最高阶导数的阶数为一阶）y Cx43xy y x Cx 4 Cx 3 （把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式）3 ( 3 ) 3 0所以y Cx 3 为微分方程的解又y Cx 3 是一阶微分方程含有一个独立任意常数的解，故其为通解2．0( 1 2 )kxdx dy y kx2dy解：微分方程可写成kx ，故为一阶dx将y 1 kx2 代入方程，等式两边相等，所以 1 2y kx 为微分方程的解2 2又 1 2y kx 中不含有任意常数，故其为特解．2（注意：此处k 在微分方程中是一个确定常数，并非任意常数）3．y y 0(y C sin x)解：二阶y C x ，y C sin xcosy y C x C x ，所以y C sin x 为微分方程的解sin sin 0又y C sin x 是二阶方程只含有一个任意常数的解，故其既不是通解，也不是特解4．y 2y y 0(y x2e x )解：二阶y 2xe x x e x ，y (2x e x x2e x ) 2e x 2x e x 2x e x x 2e x 2e x 4x e x x2e x2y 2y y 2e x 4x e x x2e x 2(2x e x x2e x ) x2e x 2e x 0所以y x2e x 不是微分方程的解二、某飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.设飞机的质量为m ，着陆时的水平速度为v ，减速伞打开后，飞机所受的阻力与飞机的速度成正比，比例系数k ，试表示出飞机着陆时的速度函数v(t)所满足的微分方程.分析：在实际问题中，涉及变化率的问题，如速度、加速度、增长率、衰减率等物理量的大小都可表示成某一函数导数（递增情况，导数为正）或导数的相反数（递减情况，导数为负），故可通过建立此类物理量所满足的关系式，得到以该函数为未知函数的微分方程解：由牛顿第二定律得，F ma由题意F kv ，而ad vdt故得速度函数v(t)所满足的微分方程d v m kv d t且由于着陆时的水平速度为v0 ，有初值条件v(0) v0（注：本题只要求列出微分方程即可，若需求解，可考虑分离变量法，请同学们学习完第二节之后考虑该微分方程的求解问题）。
高等数学下微分方程
积分得 ln y 2 ln x 1 ln C ,即 yC(x1)2
用常数变易法求特解. 令 yu(x)(x1)2,则
y u (x 1 )2 2 u (x 1 )
1
代入非齐次方程得 u(x1) 2
解得
u2(x1)32C
3
故原方程通解为 y(x1)2 3 2(x1)32C
例2、
dy dx
x
特解: yx2 1
s0.2t220 t
线性：未知函数及其各阶导数都是一次的。
y (4 ) 4 y 1 0 y 1 2 y 5 y s in x
x(y)22yyx0
dy sinxyex dx
x dy cos y 1 dx
第十二章
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量微分方程 二、齐次方程 三、全微分方程（数一） 四、一阶线性微分方程
eyexC
即
(exC)ey10 ( C < 0 )
解法 2 令 uxy,则 u1y
故有 积分
u1eu
du
1eu
xC
(1eu)eu
1eu
du
uln (1eu)xC
所求通解: ln (1exy)yC( C 为任意常数 )
二、齐次方程
一、齐次方程 二、可化为齐次方程
一、齐次方程
形如 d y ( y) 的方程叫做齐次方程 .
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
例1. 求微分方程 dy 3x2 y 的通解.
dx
解: 分离变量得 dy 3x2 dx 说明: 在求解过程中
y
每一步不一定是同解
两边积分 dyy 3x2 dx
变形, 因此可能增、 减解.
得 lnyx3C1
微分方程的基本概念与解法
微分方程是研究变量之间相互关系的数学工具，它在自然科学、工程技术等领域有着广泛应用。
本文将从微分方程的基本概念和解法两个方面进行介绍。
微分方程的基本概念主要包括方程的定义、阶数、常微分方程和偏微分方程等内容。
首先，微分方程是包含未知函数及其导数的方程，例如dy/dx+f(x)y=g(x)就是一个一阶常微分方程。
其次，阶数是指微分方程中出现的最高阶导数的阶数，比如dy²/dx²+2y=0是二阶常微分方程。
常微分方程与偏微分方程的区别在于常微分方程中未知函数是一个自变量的函数，而偏微分方程中未知函数是多个自变量的函数。
微分方程的解法可以分为常微分方程的解法和偏微分方程的解法两部分。
在常微分方程的解法中，常见的方法有变量分离法、两个常微分方程的相减法、特解叠加法等。
变量分离法是指将方程中的未知函数和导数分开，通过两边积分得到解。
两个常微分方程的相减法是指将两个方程相减得到一个新的方程，从而简化问题的求解。
特解叠加法是指将方程的通解和特解相加得到问题的解。
偏微分方程的解法相对较为复杂，常用的方法有分离变量法、特征线法、变换法等。
分离变量法是指将方程中的未知函数分开，进行变量的分离，从而得到简化的方程组。
特征线法是根据方程的特征线来求解问题，通过引入新的变量降低方程的阶数。
变换法是通过对方程进行一定的变量代换，将原问题转化为一个更加简单的方程。
微分方程的解不仅仅是函数，还可以是曲线、曲面等几何对象。
解的存在性和唯一性是对微分方程解的重要性质进行刻画的定理。
解的存在性是指在一定的条件下，微分方程一定存在解。
而解的唯一性则是指在一定的条件下，微分方程的解是唯一的。
通过解的存在性和唯一性可以方便地对微分方程进行求解和判断。
综上所述，微分方程是研究变量之间相互关系的重要数学工具。
通过对微分方程的基本概念和解法进行了解，我们可以更好地掌握微分方程的理论和应用。
不同类型的微分方程有着不同的解法，我们需要根据具体问题选择合适的解法来求解微分方程。
高等数学微分方程的基本概念教学ppt讲解
(9)
2
这就是初速度为0的物体垂直下落时距离
s与时间t之间的函数关系．
Nanjing College of Information and Technology
9
第六章 常微分方程
二、微分方程的定义
第一节 微分方程的基本概念
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
分类1:按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程.
如果其中的未知函数只与一个自变量有关，就 称为常微分方程。
如 y′= x2 , y′+ xy2 = 0 , 都是常微分方程；
y(4) 4 y ' 4 y xex
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11
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数， 并且在方程中出现偏导数
如
2u x2
2u y2
2u z2
0
就是偏微分方程；
本章我们只介绍常微分方程。
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程 第三节 可降阶的高阶微分方程 第四节 二阶线性微分方程解的结构 第五节 二阶常系数线性齐次微分方程
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第一节 微分方程基本概念
f ( x , y , y , , y
).
（2）微分方程的解：如果将一个函数代入微分方 程能使方程成为恒等式 , 这个函数就称这个微分 方程的解.
例如 y x 1和 y x C 都是
2 2
dy dx
2 x 的解 .
( 1 ) 含任意常数 C ; 微分方程的解有两种形式 ( 2 ) 不含任意常数 C .
故满足初始条件的特解
为 y e e
x
2x
思考： 设 C 1 , C 2 分别为任意常数
y C 1 e 3 C 2 e 是否 y 3 y 2 y 0的通解 ?
x x
y C 1 C 2 e e 是否 y 3 y 2 y 0的通解 ?
x 2x
2x
中不含任意常数,
故为微分方程的特解.
x
C 2e
2x
( C 1 , C 2 为任意常数
)
y 3 y 2 y 0的通解 , y ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 1
并求方程满足初始条件 的特解 .
解 y C 1e 2 C 2e
x
2x
C 1 e x 4 C 2 e 2 x y
将 y , y , y 代入方程 y 3 y 2 y 0 左边 ,
y f ( x , y , y ) 二阶: y x x y 0 , y x x y 0 0 0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例3
验证 y Cx ( C 为任意常数 )为方程 y
2
2y x
的通解 .
并求满足初始条件
y
微分方程的概念
3 又由于已知曲线过点 (1, 2)，代入上式，得 C . 2 3 1 所以，求此曲线的方程为 x . 2 y
一般地，微分方程的每一个解都是一个一元
函数 y = y(x) ， 其图形是一条平面曲线，我们称 它为微分方程的积分曲线. 通解的图形是平面上的
一族曲线，称为积分曲线族， 特解的图形是积分 曲线族中的一条确定的曲线. 这 就 是 微 分 方 程 的 通解与特解的几何意义.
(3) mv(t) = mg - kv(t)；
1 2 y 1 y ; ( 4) a d 2q g (5) 2 sinq 0 ( g , l 为常数). dt l 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，
称为微分方程的阶. 例如，方程 (1) - (3) 为一阶微 分方程，方程 (4) - (5) 为二阶微分方程. 通常，n 阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y, , y(n)) = 0，
第五模块
第一节
微分方程
微分方程的基本概念
一、微分方程 二、微分方程的解
第五模块
第一节
微积分学的应用
微分方程的基本概念
一、微分方程 二、微分方程的解
一、微分方程
定义 1 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程， 称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元 函数的微分方程称做常微分方程， 未知函数是多元 函数的微分方程称做偏微分方程. 本教材仅讨论常微 分方程，并简称为微分方程. 例如，下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为 未知函数). (1) y= kx, k 为常数； (2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；
一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为
初值问题. 求解某初值问题，就是求方程的特解.
微分方程的基本概念
例 3 验证:函数 x = C1 cos kt + C 2 sin kt 是微分
d2x 方程 2 + k 2 x = 0的解. 并求满足初始条件 dt dx x t = 0 = A, = 0 的特解. dt t = 0 dx 解 Q = − kC1 sin kt + kC 2 cos kt , dt 2 d x = − k 2C1 cos kt − k 2C 2 sin kt , dt 2 2 d x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt
2
y′ = xy ,
′′ + 2 y′ − 3 y = e x , y
( t + x )dt + xdx = 0,
∂z = x + y, ∂x
实质: 联系自变量, 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 某些导数(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程, 偏常微分方程. 分类1 常微分方程, 偏常微分方程. 微分方程的阶: 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 高阶导数的阶数称之. 分类2: 分类2: 一阶微分方程 F ( x , y , y′ ) = 0,
设y = ϕ( x )在区间 I 上有 n 阶导数 ,
F ( x , ϕ( x ), ϕ′( x ),L, ϕ( n ) ( x )) = 0.
微分方程的解的分类： 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数, (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 通解 意常数的个数与微分方程的阶数相同. 意常数的个数与微分方程的阶数相同.
第一讲 微分方程的基本概念
第一讲 微分方程的基本概念教学目的：了解微分方程的有关概念难 点：微分方程解的分类与判定重 点：常微分方程、通解与特解、初始条件与初值问题我们先通过具体的例子来说明微分方程的有关概念．例1 设曲线y = f (x )在其上任一点(x ，y )的切线斜率为3x 2，且曲线过点(0，-1)，求曲线的方程．解 由导数的几何意义知在点(x ，y )处，有23x dx dy =． (1) 此外，曲线满足条件 .10-==x y (2) (1)式两边积分，得.332c x dx x y +==⎰ (3)其中c 为任意常数．(3)式表示了无穷多个函 数图(6–1)，为得到满足条件(2)的具体曲线，以条件(2)代入(3)，得c = -1．故所求曲线的方程为.13-=x y (4)例2 质量为m 的物体在离地面高为0s 米处，以初速0v 垂直上抛，设此物体的运动只受重力的影响，试确定该物体运动的路程s 与时间t 的函数关系．解 因为物体运动的加速度是路程s 对时间t 的二阶导数，由于物体运动只受重力的影响，所以由牛顿第二定律知所求函数)(t s s =应满足g dts d -=22． (5) 这里g 为重力加速度，取垂直向上的方向为正方向．此外，)(t s 还应满足条件：00(0),(0).s s s v =⎧⎨'=⎩ (6)(5)式两端对t 积分，得1C gt dtds +-=．(7) 再对t 积分，得21221C t C gt s ++-=． (8) 把条件(6)代入(7)和(8)，得0201,s C v C ==，于是有00221s t v gt s ++-=． (9) 关系式(1)与(5)都含有未知函数的导数，它们都称为微分方程．一般地有 定义1 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶．未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程．本章只介绍常微分方程，在不致混淆的情况下，也称常微分方程为微分方程或简称为方程．可以看出，方程(1)是一阶微分方程，方程(5)是二阶微分方程．而x y y x y 2sin 4='-''+'''． (10)+'''y x 256)(x y ='． (11)都是三阶微分方程．n 阶常微分方程的一般形式为0),,,;()(=⋅⋅⋅'n y y y x F ． (12)其中x 为自变量，y 为未知函数; ),,,;()(n y y y x F ⋅⋅⋅'是)(,,,n y y y x ⋅⋅⋅'的已知函数，且)(n y 的系数不为0．如果方程(12)的左端函数F 为)(,,,,n y y y y ⋅⋅⋅'''的线性函数，则称方程(12)为n 阶线性微分方程．否则称(12)为非线性的．n 阶线性微分方程的一般形式为 )()()()()1(1)(0x f y x a y x a y x a n n n =+⋅⋅⋅++-． (13) 其中)(),(,),(),(10x f x a x a x a n ⋅⋅⋅均为x 的已知函数，且0)(0≠x a ．例如方程(1)为一阶线性方程，方程(5)是二阶线性方程，而方程(11) 是三阶非线性方程．定义2 如果将已知函数)(x y ϕ=代入方程(12)后，能使其成为恒等式，则称函数)(x y ϕ=是方程(12)的解．如果由关系式0),(=Φy x 确定的隐函数)(x y ϕ=是方程(12)的解，则称0),(=Φy x 为方程(14)的隐式解．为今后叙述简便起见，将对微分方程的解和隐式解都不再加以区别，统称为方程的解．定义3 若微分方程的解中所含(独立的)任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则称这个解为方程的通解．在通解中给任意常数以确定的值得到的解，称为微分方程的特解．例如，函数(3)、(8)分别是方程(1)、(5)的通解，函数(4)、(9)分别是方程(1)、(5)的特解，它们都由通解得到．通常，为确定n 阶方程(12)的某个特解，需给出该特解应满足的附加条件，称之为定解条件．一般地，n 阶微分方程应有n 个定解条件，才能从通解中确定某个具体的特解．n 阶微分方程(14)常见的定解条件是如下形式的条件：10)1(1000)(,,)(,)(--=='=n n y x y y x y y x y ．其中1100,,,,-n y y y x 为1+n 个给定的常数，通常称这样的定解条件为初始条件．例如，方程(1)满足初始条件(2)的特解是函数(4)，而方程(5)满足初始条件(6)的特解是函数(9)．求微分方程满足某定解条件的解的问题，称为微分方程的定解问题; 求微分方程满足某初始条件的解的问题，称为初值问题．例3 验证： 函数at C at C x sin cos 21+=是微分方程x a dtx d 222+= 0． (14) 的通解．解 求出函数at C at C x sin cos 21+=的导数：,cos sin 21at a C at a C dtdx +-= .sin cos 222122at a C at a C dtx d --= 将以上两式代入方程(14)的左端，得(14)．因此，函数at C at C x sin cos 21+=是方程(14)的解，又此函数中含有两个任意常数，而方程(14)为二阶微分方程，因此，函数at C at C x sin cos 21+=是方程(14)的通解．例4 验证： 由方程C y xy x =+-22所确定的隐函数是微分方程y x y y x -='-2)2(． (15) 的解，并求出满足初始条件11==x y 的特解．解 在方程C y xy x =+-22两边对x 求导，得022='+'--y y y x y x ．即y x y y x -='-2)2(．所以由方程C y xy x =+-22所确定的隐函数是微分方程(15)的解． 以初始条件11==x y 代入方程C y xy x =+-22，得1=C ．于是，所求特解为122=+-y xy x ．小结：微分方程的概念：阶、解、通解、特解、初始条件与初值问题．第二讲 一阶微分方程教学目的：掌握常见一阶微分方程的求解方法难 点：一阶线性非齐次微分方程的通解重 点：可分离变量的微分方程、齐次方程和一阶线性微分方程．一阶微分方程的一般形式0),,(='y y x F ，或),(y x f y ='．本节将介绍某些特殊类型的一阶微分方程的解法，包括可分离变量的微分方程、齐次方程和一阶线性微分方程．1．可分离变量的微分方程如果一阶微分方程能化为dx x M dy y N )()(=(1)的形式，那么原方程称为可分离变量的微分方程．要解这类方程，先把原方程化为(1)式的形式，称为分离变量，再对(1)式两边积分，得⎰⎰=dx x M dy y N )()(，便可得到所求的通解．如果需要求其特解，可由初始条件00y y x x ==代入通解中定出任意常数C 的值，即可得到相应的特解．例1 求解微分方程xy dxdy 2=． 解 原微分方程可以分离变量，分离变量后得xdx dy y21=． 两边积分 ⎰⎰=xdx dy y21． 12ln C x y +=． 2112x c C x e e e y ⋅==+．21x C e e y ⋅±=．因为1C e ±仍是任意常数，把它记作C ，便得原方程的通解为2x Ce y =． 以后为了运算方便起见，把y ln 写成y ln ，以上解答过程简写为：.ln ln 2C x y += 2x Ce y =．只要记住最后得到的任意常数C 可正可负即可．例2 求微分方程0)1()1(22=+-+dy x xy dx y满足初始条件2)1(=y 的特解．解 分离变量，得dx x x dy y y )1(1122+=+． 即dx x x x dy y y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+22111． 两边积分，得 C x x y ln 21)1ln(21ln )1ln(2122++-=+． 即 )ln(1)(1ln(222Cx y x =++）． 因此，通解为222)1)(1(Cx y x =++．这里C 为任意常数．把初始条件2)1(=y 代入通解，可得10=C ．于是，所求特解为22210)1)(1(x y x =++．例3 实验得出，在给定时刻t ，镭的衰变速率(质量减少的即时速度)与镭的现存量M = M (t )成正比．又当t = 0时，M = M 0，求镭的存量与时间t 的函数关系．解 依题意，有.0),()(>-=k t kM dt t dM (2) 并满足初始条件.00M M t ==方程(2)是可分离变量的，分离变量后得kdt MdM -=． 两边积分，得C kt M ln ln +-=．即kt Ce M -=． 将初始条件00M M t ==代入上式，得0M C =，故镭的衰变规律可表示为.0kt e M M -=一般地，利用微分方程解决实际问题的步骤为：① 利用问题的性质建立微分方程，并写出初始条件；② 利用数学方法求出方程的通解；③ 利用初始条件确定任意常数的值，求出特解．2．齐次方程可化为形如 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy ． (3) 的微分方程，称为一阶齐次微分方程，简称为齐次方程．例如方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy可化为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=x y x y x y xy x y xy dx dy 212222． 它是一阶齐次微分方程．一般地，形如0),(),(=+dx y x N dy y x M 的方程，若),(y x M 与),(y x N 均为x ，y 的m 次齐次函数，则它是可化为形如(3)的齐次方程．齐次方程(3)中的变量x 与y 一般是不能分离的，如果作变量替换xy u =． (4) 就可以把方程(3)化为可分离变量的方程，这是因为ux y =，dxdu x u dx dy +=．将其代入方程(3)，便得)(u f dxdu x u =+． 这是变量可分离的方程，分离变量，并两边积分，得dx x du u u f ⎰⎰=-1)(1． (5) 求出积分后，将u 还原成xy ，便得所给齐次方程的通解． 例4 解微分方程 .tan 2xy x y y =-' 解 原方程可写成 .tan2x y x y y +=' 这是齐次方程．令xy u =，f (u ) = 2tan u + u ．代入(5)得 .tan 2⎰⎰=x dx u du积分得.ln ln ln 2sin ln 2cx c x u =+=.sin 2cx u = 将xy u =代入上式，便得原方程的通解为 .sin 2cx xy = 在微分方程中，一般习惯上把x 看作自变量，但有时若将y 看作自变量，求解时会很简便，如下例．例5 求微分方程023(22=--xydx dy x y ）． 满足初始条件10==x y 的特解．解 原方程可化为y x y x xy x y dy dx ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=23123222．令yx u =，即uy x =，则dy du y u dy dx +=，代入上式，得 uu dy du y 2512-=． 分离变量，并两边积分，得dy y du u u ⎰⎰=-15122．注左=⎰---2251)51(51u u d (凑微分)即 C y u ln 51ln )51ln(512-=--． 将yx u =代入，得到原方程的通解为 C y x y =-3255 将初始条件10==x y 代入通解中，得到1=C ．于是，所求特解为15325=-y x y ．与齐次方程类似，某些微分方程通过变量替换可化为可分离变量的方程，然后分离变量，经积分可求得通解．变量替换的方法是解微分方程最常用的方法．在后面，我们还会用到这种方法，这里再举一例．例6 求解微分方程11+-=yx dx dy ． 解 令u y x =-，则u x y -=，dx du dx dy -=1，于是 111+=-u dx du ．udx du 1-=． 分离变量，并两边积分，得 C x u +-=22．以y x u -=代回，得C x y x +-=-2)(2．3．一阶线性微分方程可化为形如)()(x Q y x P dxdy =+． (6) 的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中)(),(x Q x P 均为x 的已知函数．当0)(≡x Q 时，称方程(6)是齐次的; 当)(x Q 不恒为零时，称方程(6)是非齐次的．设方程(6)是线性非齐次微分方程，把)(x Q 换成零而写出0)(=+y x P dx dy ． (7) 称为对应于方程(6)的线性齐次微分方程．方程(7)是可分离变量的，分离变量后，得dx x P ydy )(-=． 两边积分，得 C dx x P y ln )(ln +-=⎰．于是，方程(7)的通解为⎰=-dx x P Ce y )(． (8)下面求方程(6)的通解．由于方程(7)是(6)的特殊情况，那么方程(6)的通解中必包含着方程(7)的通解．它们的解之间必有某种内在联系，下面我们分析一下方程(6)的解的形式．把方程(6)改写为dx y x Q x P y dy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=)()(． 两边积分，得1ln )()(ln C dx yx Q dx x P y ++-=⎰⎰． 即⎰⋅⎰=-dx x P dx y x Q e eC y ))(1（． 因为积分dx yx Q ⎰)(中的被积函数含有未知函数y ，因此还不能说得到了方程(6)的解．但是，由于y 是x 的函数，则积分dx yx Q ⎰)(的结果是x 的函数．故可设 )()(1x C eC dx y x Q =⎰．从而有⎰=-dx x P e x C y )()(． (9) 再求未知函数)(x C ．因为(9)式是方程(6)的解，所以(9)式应满足方程(6)，将y 及它的导数⎰-⎰'='--dx x P dx x P e x P x C e x C y )()()()()(． 代入方程(6)，得)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x P x C e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---．即)()()(x Q e x C dx x P =⎰'-．⎰='dx x P e x Q x C )()()(． 两边积分，得C dx e x Q x C dx x P +⎰=⎰)()()(.把上式代入(9)式，便得方程(6)的通解为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(． (10) 这种将线性齐次方程(7)的通解(8)中的任意常数换成待定函数)(x C ，然后求得线性非齐次方程(6)的通解的方法，叫做常数变易法．将(10)式写成两项之和⎰⎰⎰+⎰=--dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P )()()()(． 上式右端第一项是对应的线性齐次方程(7)的通解，第二项是线性非齐次方程(6)的一个特解(即在通解(10)中令0=C ，便得此特解)．因此，一阶线性非齐次方程的通解等于对应的线性齐次方程的通解与线性非齐次方程的一个特解之和．例7 求解微分方程x x x y y sin 2cot =-'．解法1 常数变易法对应齐次方程为.0cot =-'x y y分离变量，得.cot 1xdx dy y =两边积分，得.sin sin ln cot x C Ce Ce y x xdx ⋅==⎰=用常数变易法，把C 换成新的未知函数)(x C ，即令.sin )(x x C y =则.cos )(sin )(x x C x x C y +'='代入原非齐次方程，得x x C 2)(='．两边积分，得C x x C +=2)(．故所求通解为.sin )(2x C x y +=解法2 公式法.sin 2)(,cot )(x x x Q x x P =-=故).(sin )2(sin )sin 1sin 2(sin )sin 2()sin 2(2sin ln sin ln cot cot C x x C xdx x C dx xx x x C dx e x x e C dx xe x e y x x xdx xdx +⋅=+⋅=+⋅⋅=+⋅=+⎰⎰=⎰⎰⎰⎰-- 例8 求微分方程 02)6(2=+'-y y x y 满足初始条件12==x y 的特解． 解 这个方程不是未知函数y 与y '的线性方程，但是可以将它变形为yy x dy dx 262-=． 即23y x y dy dx -=-． (11) 若将x 视为y 的函数，则对于)(y x 及其导数dydx 而言，方程(11)是一个线性方程，由通解公式(10)得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰=⎰-C dy e y e x dy y dy y 332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C y y 213． 以条件2=x 时，1=y 代入，得23=C . 因此，所求特解为 2232y y x +=． 例9 求解微分方程.)(ln 2y x a xy dx dy =+ 解 原方程不是线性方程，但通过适当的变换，可将它化为线性方程．将原方程改写为.ln 112x a y xdx dy y =+-- 即 .ln 111x a y xdx dy =+--- 令1-=y z ，则上式变为.ln 1x a z xdx dz -=- 这是z 关于x 的一阶线性方程．由通解公式(10)，得通解].)(ln 2[2x a C x z -= 所以，原方程通解为.1])(ln 2[2=-x a C xy 一般地，形如 n y x Q y x P dxdy )()(=+ ( 1,0≠n ) (12) 的方程，称为伯努利方程．这类方程可经过变换化为线性方程，方程(12)两边同除以n y 得)()(1x Q y x P dxdy y n n =+--． 再令n y z -=1，则上式化为)()(11x Q z x P dxdz n =+-． 即)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+． 这是函数z 关于x 的一阶线性方程，从而可用常数变易法或公式法得出z ，再用n y -1代换z ，即得伯努利方程(12)的解．小结：1．可分离变量的方程：x x f y y g d )(d )(=，两边积分得通解．2．一阶齐次方程：)(x yy ϕ='，令u xy =，得⎰⎰=-x x u u u d )(d ϕ． 注 形如)(c by ax f y ++='的方程可令u c by ax =++转化为可分离变量的方程．3．一阶线性方程：)()(x Q y x P y =+'的通解为]d e )([d )(d )(C x x Q e y x x P x x P +⎰⎰=⎰-． 4．伯努利方程：n y x Q y x P y )()(=+'，令u yn =-1可转化为一阶线性方程．第三讲 可降阶的高阶微分方程教学目的：掌握三种可以降阶的微分方程求解方法重 点：第二类可以降阶的微分方程难 点：第三类可以降阶的微分方程从这节起我们讨论二阶和高于二阶的微分方程，这类方程称为高阶微分方程．有些高阶微分方程可以通过代换化成较低阶的方程来求解．以二阶微分方程而论，如果我们能设法作代换把它从二阶降至一阶，那么就有可能用第二节所讲的方法来求解．下面介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法．1．)()(x f y n = 型的微分方程微分方程)()(x f y n = (6-18)的右端仅含有自变量x ，对于这种方程，两端积分便使它降为一个1-n 阶的微分方程()11d )(C x x f y n +=⎰-．再积分可得()[]212d d )(C x C x x f y n ++=⎰⎰-． 依此继续下去，连续积分n 次，便得方程(6-18)的含有n 个任意常数的通解．例 1 求微分方程x y x cos e 2-='''的通解．解 对所给方程连续积分三次，得12sin e 21C x y x +-=''， 212cos e 41C x C x y x +++='， 3221221sin e 81C x C x C x y x ++++=， 这就是所求的通解．2．()y x f y '='',型的微分方程微分方程()y x f y '='', (6-19)中不显含未知函数y ．如果设p y ='，则p xp y '==''d d ，方程(6-19)变成 ),(p x f p ='．这是关于x 和p 的一阶微分方程，设其通解为()1,C x p ψ=． 由于xy p d d =，因此又得到一个一阶微分方程 ()1,d d C x xy ψ=． 对它积分即得(6-19)的通解 ()21d ,C x C x y +=⎰ψ．例 2 求方程()1212='+''+y x y x 的通解．解 所给方程不显含变量y ，令y p '=，则p y '=''，代入原方程得()1212=+'+xp p x ． 它是一阶线性微分方程，化为标准形式221112xp x x p +=++'， 其通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰++⎰=⎰++-x x C p x x x x x x d e 11e d 1221d 1222 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎰x x x C x d 111112212 211xC x ++=． 将y p '=代入上式，并再积分一次得所求方程的通解()212arctan 1ln 21C x C x y +++=． 例 3 求方程()y x x y '=+''212满足初始条件1|0==x y ，3|0='=x y 的特解． 解 此方程不显含y ，令y p '=，则p y '=''，代入方程得()xp x p 212=+'．分离变量后两边积分得()211x C p +=， 由3|0='=x y 得31=C ，从而()213d d x x y +=． 两边积分得233C x x y ++=，由1|0==x y 得12=C ．故所求特解为133++=x x y ．3．()y y f y '='',型的微分方程微分方程()y y f y '='',中不显含自变量x ，对于这类方程，令y p '=，两边对x 求导得yp p x y y p x p y d d d d d d d d =⋅==''． 则方程(6-20)变成),(d d p y f yp p =． 这是一个关于变量p 和y 的一阶微分方程，设它的通解为()1,C y p y ϕ=='．分离变量并积分，即可得方程(6-20)的通解()21d ,y x C y C =+ϕ⎰．例4 求微分方程()02='-''y y y 的通解． 解 方程中不显含自变量x ，设p y ='，则y p py d d =''，代入原方程得 0d d 2=-p y p yp．如果0≠p ，那么方程中约去p 并分离变量得yy p p d d =． 两端积分并化简，得y C p 1=，即y C y 1='．再分离变量并积分，得21ln ln C x C y +=，即x C C y 1e 2=．如果0=p ，那么C y =，显然它也满足原方程，但C y =已包含在上述解中(令01=C 即得)，所以原方程的通解为x C C y 1e 2=．小结：1．)()(x f y n =型，连续积分n 次，便得方程的含有n 个任意常数的通解．2．()y x f y '='',型（不显含未知函数y ）．令p y ='，方程变成),(p x f p ='．3．()y y f y '='',型（不显含自变量x ）.，令y p '=，方程变成),(d d p y f yp p =．第四讲 二阶常系数线性微分方程教学目的：掌握二阶常系数线性方程的求解方法重 点：二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解难 点：二阶常系数非齐次线性方程的特解二阶常系数线性微分方程的一般形式为)(x f qy y p y =+'+''．这里p 、q 是常数，)(x f 是x 的已知函数．当()f x 恒等于零时，称为二阶常系数齐次线性微分方程，否则称为二阶常系数非齐次线性微分方程．1．二阶常系数齐次线性微分方程定理1 设)(1x y y =与)(2x y y =为二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y(1)的相互独立的两个特解(即)()(12x y x y 不恒等于常数)，则2211y C y C y +=为方程(1)的通解，这里1C 与2C 为任意常数．证 按假设)(1x y 与)(2x y 为方程(1)的解，所以有下式成立0111=+'+''qy y p y ，0222=+'+''qy y p y ． 又 2211y C y C y +=， 2211y C y C y '+'='， 2211y C y C y ''+''=''． 代入(1)式左端，得()()()221122112211y C y C q y C y C p y C y C qy y p y ++'+'+''+''=+'+'' 0)()(22221111=+'+''++'+''=qy y p y C qy y p y C ． 即2211y C y C y +=为方程(1)的解． 在)()(12x y x y 不恒等于常数的条件下，2211y C y C y +=中含有两个相互独立的任意常数1C 和2C ，所以2211y C y C y +=是方程(1)的通解．由此定理可知，求方程(1)的通解问题，归结为求(1)的两个相互独立的特解．为了寻找这两个特解，注意到当r 为常数时，指数函数rx y e =和它的各阶导数只相差一个常数因子，因此不妨用rx y e =来尝试．设rx y e =为方程(1)的解，则rx r y e ='，rx r y e 2=''，代入方程(1)得.0)(2=++rx e q pr r由于0e ≠rx ，所以有.02=++q pr r (2) 只要r 满足(2)式，函数rx y e =就是微分方程(1)的解．我们把代数方程(2)称为微分方程(1)的特征方程，特征方程的根称为特征根．由于特征方程是一元二次方程，故其特征根有三种不同的情况，相应地可得到微分方程(1)的三种不同形式的通解．(ⅰ) 当042>-q p 时，特征方程(8-23)有两个不相等的实根1r 和2r ，此时可得方程(1)的两个特解：x r y 1e 1=， x r y 2e 2=，且≠=-x r r y y )(1212e /常数，故x r x r C C y 21e e 21+=是方程(1)的通解．(ⅱ) 当042=-q p 时，特征方程(8-23)有两个相等的实根21r r =，此时得微分方程(1)的一个特解x r y 1e 1=．为求(1)的通解，还需求出与x r 1e 相互独立的另一解2y ．不妨设)(/12x u y y =，则)(e 12x u y x r =， )(e 121u r u y x r +'='， )2(21121u r u r u e y x r +'+''=''． 将22,y y '及2y ''代入方程(1)，得 0])()2[(e 12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u x r ．将上式约去x r 1e 并合并同类项，得0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u ．由于1r 是特征方程(2)的二重根，因此，0121=++q pr r ，且021=+p r ，于是得0=''u ．不妨取x u =，由此得到微分方程(1)的另一个特解x r x y 1e 2=，且≠=x y y 12/常数，从而得到微分方程(1)的通解为x r x r x C C y 11e e 21+=，即)(e 211x C C y x r +=．(ⅲ) 当042<-q p 时，特征方程(2)有一对共轭复根βαi r +=1，βαi r -=2．于是得到微分方程(1)的两个特解x i y )(1e βα+=，x i y )(2e βα-=．但它们是复数形式，为应用方便，利用欧拉公式θθθsin cos e i i +=将1y 和2y 改写成)sin (cos e 1x i x y x ββα+=，)sin (cos e 2x i x y x ββα-=．于是得到两个新的实函数x y y y x βαcos e )(21211=+=， x y y iy x βαsin e )(21212=-=． 可以验证它们仍是(1)的解，且≠=x y y βtan /12常数，故微分方程(1)的通解为)sin cos (e 21x C x C y x ββα+=．综上所述，求微分方程(1)通解的步骤可归纳如下：第一步 写出微分方程(1)的特征方程02=++q pr r ，求出特征根； 第二步 根据特征根的不同形式，按照下表写出微分方程(1)的通解： 表1 特征方程02=++q pr r 的根21,r r 微分方程0'''=++qy py y 的通解两个不等实根21r r ≠ x r x r C C y 21e e 21+=两个相等实根21r r = x r x C C y 1e )(21+=一对共轭复根βαi r ±=2,1 )sin cos (e 21x C x C y x ββα+=例 1 求微分方程043=-'+''y y y 的通解．解 所给微分方程的特征方程为0432=-+r r ．特征根为121, 4.r r ==- 于是，所求微分方程的通解为x x C C y 421e e -+=．例 2 求微分方程044=+'-''y y y 的满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解．解 所给微分方程的特征方程为0442=+-r r ．特征根221==r r ．故所求微分方程的通解为)(e 212x C C y x +=．求导得x x C x C C y 22212e )(e 2++='．将初始条件1|0==x y 及1|0='=x y 代入以上两式求得.1,121-==C C 故所求特解为)1(e 2x y x -=．例 3 设函数)(x f 可导，且满足⎰⎰-++=xx t t f x t t tf x x f 00d )(d )(21)(． 试求函数)(x f .解 由上述方程知(0)1f =．方程两边对x 求导得⎰-='xt t f x f 0d )(2)(． 由此可得(0)2f '=．上式两边再对x 求导得)()(x f x f -=''．这是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为,012=+r特征根.,21i r i r =-= 于是，所求微分方程的通解为12()cos sin .f x C x C x =+由此得.cos sin )(21x C x C x f +-='由(0)1f =，(0)2f '=得.2,121==C C 所以.sin 2cos )(x x x f +=本节介绍的求二阶常系数齐次线性微分方程通解的原理和方法，也可以用于求解更高阶的常系数齐次线性方程．例 4 求四阶微分方程08)4(='+y y 的通解．解 所给微分方程的特征方程为084=+r r ，即,0)42)(2(2=+-+r r r r 其特征根为.31,2,04,321i r r r ±=-= 于是得方程的通解).3sin 3cos (e e 43221x C x C C C y x x +++=-2．二阶常系数非齐次线性微分方程从第二节的讨论知，一阶非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和．而二阶常系数非齐次线性微分方程具有相类似的性质．定理2 设()y y x **=是二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''(3)的一个特解，而Y 为对应于方程(3)的齐次线性微分方程的通解，则y Y y *=+为方程(3)的通解．由此结论可知，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，可按下面三个步骤来求：①求其对应的齐次线性微分方程的通解Y ；②求非齐次线性微分方程的一个特解y *；③原方程的通解为y Y y *=+．求齐次线性微分方程的通解Y 的方法前面已讨论过，所以只要研究一下如何求非齐次方程(3)的一个特解就行．限于篇幅, 这里只讨论)(x f 为以下两种形式的情形．I.,e )()(x m x P x f λ=其中λ是常数，)(x P m 是x 的m 次多项式：m m m m m a x a x a x a x P ++++=--1110)( ；II ．[]()e ()cos ()sin x t n f x P x x P x x λ=ω+ω，其中λ和ω是常数，)(x P t 、)(x P n 分别是x 的t 次和n 次多项式，其中有一个可为零．对于以上两种情形，下面用待定系数法来求方程(3)的一个特解，其基本思想是：先根据)(x f 的特点，确定特解y *的类型，然后把y *代入到原方程中，确定y *中的待定系数．I.x m x P x f λe )()(=型因为方程(3)右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x λe 的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是同一类型的函数，因此，我们推测()e x y Q x *λ=(其中)(x Q 是某个多项式)可能是方程(3)的一个解，把y *、()y *'及()y *''代入方程(3)，求出)(x Q 的系数，使()e x y Q x *λ=满足方程(3)即可．为此将()e x y Q x *λ=，[]()e ()()x y Q x Q x *λ''=λ+，2()e ()2()()x y Q x Q x Q x *λ'''''⎡⎤=λ+λ+⎣⎦代入方程(3)并消去x λe ，得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ． (4))1( 如果λ不是方程(3)的特征方程02=++q pr r 的根，由于)(x P m 是一个m 次多项式，要使方程(4)的两端恒等，可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m ，即设)(x Q m 为,)(1110m m m m m b x b x b x b x Q ++++=--其中m b b b ,,,10 为待定系数，将)(x Q m 代入(4)，比较等式两端x 同次幂的系数，可得含有m b b b ,,,10 的1+m 个方程的联立方程组，解出),1,0(m i b i =得到所求特解m )2( 如果λ是特征方程02=++q pr r 的单根，即02=++q p λλ，但,02≠+p λ 要使(4)式的两端恒等，)('x Q 必须是m 次多项式，此时可令),()(x xQ x Q m =并且可用同样的方法确定)(x Q m 的系数),1,0(m i b i =．)3( 如果λ是特征方程02=++q pr r 的重根，即02=++q p λλ且,02=+p λ要使式(4)的两端恒等，)(x Q ''必须是m 次多项式，此时可令),()(2x Q x x Q m =并且利用同样的方法可以确定)(x Q m 的系数),1,0(m i b i =．综上所述，我们有以下结论：如果x m x P x f λe )()(=，则二阶常系数非齐次线性微分方程(3)具有形如()e k x m y x Q x *λ=的特解；其中)(x Q m 是与)(x P m 同次(m 次)的多项式，而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2．例 5 求方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解．解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数形如x m x P λe )(，其中,0=λ.2106)(2+-=x x x P m先求对应齐次方程065=+'-''y y y的通解，其特征方程是0652=+-r r ．特征根,3,221==r r 对应齐次方程的通解为x x C C Y 3221e e +=．因为0=λ不是特征根，因而所求方程有形如的特解．由于()2,y Ax B *'=+()2,y A *''= 将它们代入原方程中得恒等式.2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax比较上式两端x 的同次幂的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解方程组得.0,0,1===C B A 故所求方程的一个特解为2.y x *=从而所求方程的通解为.e e 23221x C C y x x ++=例 6 求方程x x y y y 2e 24'4=+-''的通解．解 所求方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数形如x m x P λe )(，其中,2=λ.2)(x x P m =所求解的方程对应的齐次方程044=+'-''y y y 的通解为).(e 212x C C Y x +=由于2=r 是二重特征根，所以设所求方程有形如22()e x y x Ax B *=+的特解．将它代入所求方程可得622.Ax B x +=比较等式两端x 的同次幂的系数，得0,31==B A ．于是得所求方程的一个特解为321e .3x y x *= 最后得所求方程的通解为).31(e 3212x x C C y x ++=II ．]sin )(cos )([e )(x x P x x P x f n l x ωωλ+=型可以推证，如果]sin )(cos )([e )(x x P x x P x f n l x ωωλ+=，则二阶常系数非齐次线性微分方程(3)的特解可设为e [()cos ()sin ],k x m m y x Q x x R x x *λ=ω+ω其中),(x Q m )(x R m 是m 次多项式，},,max{n l m = 而k 按ωλi ±不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1．例 7 求方程)sin 7(cos e 2x x y y y x -=-'+''的通解． 解 所求解的方程对应的齐次方程02=-'+''y y y 的特征方程为022=-+r r ，特征根2,121-==r r ，齐次方程的通解为x x C C Y 221e e -+=．因为i i ±=±1ωλ不是特征根，故所求方程具有形如(cos sin )x y e A x B x *=+的特解，求得()e [()cos ()sin ]x y A B x B A x *'=++-，()e [2cos 2sin ]x y B x A x *''=-．代入所求方程并化简得恒等式.sin 7cos sin )3(cos )3(x x x A B x A B -=+--比较上式两端x cos 和x sin 的系数，可得⎩⎨⎧-=--=+-.73,13B A B A 因此,1,2==B A 故e (2cos sin ).x y x x *=+所求通解为.e e )sin cos 2(221x x x C C x x e y -+++=小结：1．特征方程02=++q pr r 的根21,r r 微分方程0'''=++qy py y 的通解两个不等实根21r r ≠ x r x r C C y 21e e 21+= 两个相等实根21r r = xr x C C y 1e )(21+=一对共轭复根βαi r ±=2,1 )sin cos (e 21x C x C y x ββα+=2．x m x P x f λe )()(=型，特解形式()e k x m y x Q x *λ=，其中)(x Q m 是与)(x P m 同次(m 次)的多项式，而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2．3．]sin )(cos )([e )(x x P x x P x f n l x ωωλ+=型，特解形式e [()cos ()sin ],k x m m y x Q x x R x x *λ=ω+ω其中),(x Q m )(x R m 是m 次多项式，},,max{n l m = 而k 按ωλi ±不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1．4．二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，可按下面三个步骤来求： ①求其对应的齐次线性微分方程的通解Y ；②求非齐次线性微分方程的一个特解y *；③原方程的通解为y Y y *=+．。
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程是数学中重要的研究对象，它在自然科学、工程技术和社会科学等各个领域中有着广泛的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念，包括微分方程的定义、分类、解、初值问题以及一些重要的定理和应用。
一、微分方程的定义微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
一般形式为：$\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)$。
其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$\frac{{dy}}{{dx}}$表示$y$关于$x$的导数，$f(x,y)$是已知函数。
微分方程描述的是函数与其导数之间的关系。
二、微分方程的分类根据微分方程中出现的未知函数的阶数和自变量的个数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中只涉及一个自变量，而偏微分方程中涉及多个自变量。
常微分方程可进一步分为线性微分方程和非线性微分方程。
线性微分方程中未知函数及其导数的次数均为一次，形如$\frac{{d^ny}}{{dx^n}}+a_1 \frac{{d^{n-1} y}}{{d x^{n-1}}} + \ldots + a_n y =f(x)$。
非线性微分方程中未知函数及其导数的次数不一定为一次。
偏微分方程根据方程中涉及到的导数阶数和未知函数的类型又可以进一步分为椭圆型、抛物型和双曲型方程。
三、微分方程的解求解微分方程的过程称为解微分方程。
解分为显式解和隐式解。
显式解是能直接从微分方程中解出未知函数表达式的解。
例如，对于一阶线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=Q(x)$，可以通过分离变量、定积分等方法求得$y$的显式解。
隐式解是无法用解析式表示的解。
例如，二阶非线性微分方程$y''+y^2=0$的解无法用初等函数表示，只能通过级数或数值方法求得近似解。
四、初值问题初值问题是求解微分方程时常见的问题形式。
给定微分方程和一个特定的条件，例如$y(0)=y_0$，即在$x=0$处给出函数$y$的取值，然后求出该条件下的解。
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第八章常微分方程与差分方程
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.
---- 傅里叶
微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.
如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具” ，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现. 现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.
第一节微分方程的基本概念
分布图示
★引言
★微分方程的概念★例1
★ 例2★例3★ 例4
★微分方程解的概念
★ 例5★例6
★内容小结★课堂练习
★习题8-1
内容要点：
一、微分方程的概念我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，
本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是:
F(x,y,y ,y ,y(n)) 0, (1.5)
其中x 为自变量，y y(x) 是未知函数.
如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程
y⑺ f(x,y,y, ,y(n1)). (1.6)
以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数f在所
讨论的范围内连续.
如果方程(1.6)可表为如下形式：
y(n)a1(x)y(n1)a n1(x)y a n(x)y g(x) (1.7)
则称方程(1.7)为n阶线性微分方程.其中a1(x), a2(x), , a n(x)和g(x)均为自变量x的
已知函数.
不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程.
在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函
数(即解微分方程)，就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该
微分方程的解.更确切地说，设函数y (x)在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，有
F(x, (x), (x), (x) , (n)(x)) 0,
则称函数y (x)为微分方程(1.5)在区间|上的解.
二、微分方程的解
微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数.一般地，微分方程的不含有任意常数的
解称为微分方程的特解.含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相
等的解称为微分方程的通解(一般解).所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解(至多有个别例外) 注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个
数减少.
许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定
通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件.例如，条件(1.2)和(1.4)
分别是微分方程(1.1)和(1.3)的初始条件.
带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.
微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.
例题选讲：
微分方程的概念
例1 (E01)设一物体的温度为100C ,将其放置在空气温度为20C的环境中冷却.根据冷却定律:物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T与时间t
的函数关系为T T(t),则可建立起函数T(t)满足的微分方程
p|T
—— k(T 20)
dt
其中k(k 0)为比例常数.这就是物体冷却的数学模型 根据题意，T T(t)还需满足条件 T t 0
100.
例2( E02)设一质量为m 的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落 •根据牛顿
第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量 m 与物体运动的加速度 成正比，即F m 若取物体降落的铅垂线为 x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，
并设开始下落的时间
是t 0,物体下落的距离 x 与时间t 的函数关系为x x(t)，则可建立起函数 x(t)满足的微 分方程
d 2x
2
g (1.1)
dt
其中g 为重力加速度常数•这就是自由落体运动的数学模型.
根据题意，x x(t)还需满足条件
例3( E03)如果设某商品在时刻t 的售价为P,社会对该商品的需求量和供给量分别是 P 的函数D(P),S(P),则在时刻t 的价格P(t)对于时间t 的变化率可认为与该商品在同时刻的 超额需求量D(P) S(P)成正比，即有微分方程
在D(P)和S(P)确定情况下，可解出价格与t 的函数关系
例4 (E04)试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数
解(1) 是一阶线性微分方程，因方程中含有的 鱼和y 都是一次.
dx
(2) 是一阶非线性微分方程，因方程中含有的 虫的平方项.
dx (3) 是二阶非线性微分方程，因方程中含有的
3的三次方. dx
(4)
是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数
cos(y )和ln y.
微分方程的解
2 2
例5求曲线族x Cy 1满足的微分方程，其中 C 为任意常数
x(0) 0,
dx dt
0.
(1.2)
dP dt
k[D(P) S(P)]
(k 0)
(1.3)
dy dx
y;
(2)x
dy dx
(3)x d 2
y dx 2
3
2 dy dx 5xy 0; (4) cos(y ) In y x 1.
解求曲线族所满足的方程，就是求一微分方程，使所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族•因此所求的微分方程的阶数应与已知曲线族中的任意常数的个数相等
dy
ycot x 2xsinx 0 dx
y1 0的特解.
x -
2
解要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函
数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同
鱼2xs inx (x2 C) cosx，
dx
把y和业代入方程左边得
dx
dy 2 2
ycotx 2 xs inx 2xs inx (x C) cos x (x C)s in xcot x 2x si nx 0. dx
课堂练习
1.验证函数x C1 coskt C z Sin kt是微分方程d2x
dt2
k2x 0的解.并求满足初始条件
•这里,
我们通过消去任意常数的方法来得到所求的微分方程.在等式x2 Cy21两端对x求导，得
2x 2Cyy 0.
2 2
再从x Cy 1解出C
1 x2
V ，代入上式得
1 x2
2x 2 2 y
y
y o,
化简即得到所求的微分方程 2
xy (1 x )y 0.
例6 (E05)验证函数(x2 C)sin x(C为任意常数)是方程
的通解，并求满足初始条件
.将y (x2 C)sinx求一阶导数,
因方程两边恒等，且y中含有一个任意常数，故y (x2C)si nx是题设方程的通解.
将初始条件y0代入通解 2
y (x C)sinx 中,
从而所求特解为x2
2 —sin x. 4
dx dt t o 0的特解•
x I t 0 A,。