平行四边形知识点

三角形中位线定理

（1）三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

（2）几何语言：

如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点

∴DE∥BC，DE=BC．

平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等．

②角：平行四边形的对角相等．

③对角线：平行四边形的对角线互相平分．

（3）平行线间的距离处处相等．

（4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．

平行四边形的判定

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC ∴四边行ABCD是平行四边形．

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形．

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四

边行ABCD是平行四边形．

平行四边形的判定与性质

平行四边形的判定与性质的作用

平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．

运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．

凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．

菱形的性质

（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

（2）菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

（3）菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式．

②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）

菱形的判定

①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱

形）；

②四条边都相等的四边形是菱形．

几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱

形”）．

几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

矩形的性质

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

（2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中

点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．

（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

矩形的判定

（1）矩形的判定：

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常

证这个四边形的对角线相等．

②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定

矩形．

正方形的判定

正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．

梯形

（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．

梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．

（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

直角梯形

直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．

角：有两个内角是直角．

过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法．

等腰梯形的性质

（1）性质：

①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；

②等腰梯形同一底上的两个角相等；

③等腰梯形的两条对角线相等．

（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．

等腰梯形的判定

（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；

（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．

（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．

判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．

注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．