动点问题(讲义及答案)

数学动点问题(讲义)含练习试题

P
（ 1 ） D， F 两点间的距离是，
（2）射线 QK 能否把四边形 CDEF 分成面积相等的两部分？ Q
出相应的 t 值；若不能，说明理由．
．C 若能，求
（ 3）当点 P 运动到折线 EF- FC 上，且点 P 又恰好落在射线运 QK 上时，求 t 的值． A E B 动（ 4）连接 PG，当 PG∥AB 时，请直接写出 t 的值．
动
在（
M A
D 不
与
边
A ND G A D G
上 A
时，
（ G
N
BC BC
B
A D GA D G
C B
C
3. 如图 1，正方形 ABCD 中，点A，B 的坐标分别为 (0，10) ，(8，
4) ，点 C 在第一象限．动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从点
A 出发沿 A→ B→ C→D 匀速运动，同时动点 Q 以相同的速度在 x 轴正半轴上运动，当点 P 到达点 D 时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒．（1）当点 P 在AB 边上运动时，点 Q 的横坐标 x（长度单位）关于运动时间 t （秒）的函数图象如图 2 所示，请求出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 的运动速度．（ 2）求正方形 ABCD 的边长及顶点 C 的坐标．（ 3）在（1 ）中当 t 为何值时， △OPQ 的面积最大？求出此时点 P 的坐标．（ 4）如果点 P，Q 保持原速度不变，当点 P 沿A→ B→ C→D 匀速运动时， OP 与 PQ 能否相等？若能，请求出所有符合条件的 t 值；若不能，请说明理由．
①根据起点、终点，确定运动路径； ② 速③状态转折点，确定分段，常见状态转折点为拐点；度④所求目标——明确思考方向．

中考动点问题专题教师讲义带答案

中考动点型问题专题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 （2015?兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B 符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．对应训练1．（2015?白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

等腰三角形中的动点问题讲义

等腰三角形性质及分类讨论（讲义）一、知识点睛1. 在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），这是等腰三角形的重要性质．，这是等腰三角形的重要性质． 2. 在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，尝试构造等腰三角形．尝试构造等腰三角形． 3. 分类讨论的类型：分类讨论的类型：①定义法则．①定义法则．如绝对值，平方，完全平方式等．如绝对值，平方，完全平方式等． ②关键词不明确．②关键词不明确．如等腰三角形的角（底角与顶角），边（底边与腰）等．，边（底边与腰）等． ③位置不确定．③位置不确定．如线段端点的位置，角的位置，高等．如线段端点的位置，角的位置，高等． ④对应关系不确定．④对应关系不确定．如两部分的差，全等三角形对应关系等．如两部分的差，全等三角形对应关系等． 4. 分类讨论题目解题要点：分类讨论题目解题要点：①辨识类型；①辨识类型；②画出各种类型的图形并求解；②画出各种类型的图形并求解； ③根据标准进行取舍．③根据标准进行取舍．标准包括限制条件，实际意义等．标准包括限制条件，实际意义等．二、精讲精练1. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD ，BE 交于点O ．求证：AB =AC ．AO EC DB2. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，若CE =5cm ，求BD 的长．的长．AB ECD3. 如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CF平分∠ACB，交AB于F，AF=BF．求证：BC=CD ．FDCBA4. 如图，在△ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，连接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EF∥BC交AC于点F ．求证：EC平分∠DEF ．GEB F CDA5. （1）若4x2-(m-1)xy+9y2是完全平方式，则m=_________．（2）若x2-4xy+ny2是完全平方式，则n=_________．（3）若9x2-12xy+(m+1)2y2是完全平方式，则m=_________．6. 等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则顶角的度数为______________．7. 已知一等腰三角形的三边分别是3x-1，x+1，5，则x=________．8. 在直线l上任取一点A，截取AB=2cm，再截取AC=3cm，则线段BC的长为______________．9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为__________．10. 若等腰三角形的底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则腰长为__________．11. 已知等腰三角形的周长为20cm，两边的差为2cm，则底边长为__________．12. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上，AB 与l 的夹角为30º，请在直线l 上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形．这样的点能找几个？求出每个等腰三角形顶角的度数．等腰三角形顶角的度数．30°lA B13. 如图，在Rt △ABC 中，中，∠∠ACB =90°，∠ABC =60°，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，找出所有符合条件的点P ．A B C三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1. 证明略（提示：连接BC ，证明AC =BC ，AB =BC ）2. 10cm （提示：延长CE 交BA 的延长线于点F ，证明BD =2CE ）3. 证明略（提示：延长CF 到E ，使CF =EF ，连接BE ，证明，证明△AFC ≌△BEF ，再证明BE =BC ） 4. 证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明AD ⊥EC ，再证明ED =CD ，利用平行导角），利用平行导角） 5. （1）-11，13（2）4 （3）1，-36. 120°或20°7. 28. 1cm 或5cm9. 65°或115° 10. 8cm 11. 8cm 或163cm12. 作图略作图略 13. 作图略作图略等腰三角形性质及分类讨论（随堂测试）1. 若x 2-(a+1)xy +4y 2是完全平方式，则a =_________．2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为______________． 3. 如图，在△ABC 中，D ，E 为BC 上的点，AC =CD ，CF ⊥AD交AD 于G ，交AB 于F ，AD 平分∠BAE ．求证：DF ∥AE ．【参考答案】1．3或-5 2．50°或130°3．证明略；（利用等腰三角形“三线合一”得到AG =DG ，得到AF =FD ，证得∠FAD =∠FDA ，由角平分线可得∠FDA =∠EAD ，所以DF ∥AE ）FCGEDBA等腰三角形性质及分类讨论（作业）14. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD =CD ，E ，F 分别为AB ，AC 边上的点，BE =CF ．求证：DE =DF ．15. 已知：如图，在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，CE =CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ．求证：BM =ME ．16. 如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，DE 平分∠ADB ，AF =FC ，连接AD ．求证：BD =CD ．FB EADC17. 若4x 2-axy +16y 2是完全平方式，则a =_________．18. 在直线l 上任取一点A ，截取AB =8cm ，点C 为AB 中点，截取CD =5cm ，则线段AD 的长为______________．19. 若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则此等腰三角形顶角的度数为M DC B AEFD CB AE______________． 20. 已知一等腰三角形的三边分别是5x -3，3x +3，27，则x =__________．21. 等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则顶角的度数为__________． 22. 已知等腰三角形的周长为24cm ，两边的差为3cm ，则底边长为__________．23. 在已知直线l 上找一点C ，和直线外的A ，B 两点组成一个等腰三角形．一共可以画出几个符合条件的等腰三角形？请你在直线l 上找出所有符合条件的点C ．BAl【参考答案】1. 证明略（提示：延长AD 到H ，使DH =AD ，连接BH ，证明，证明△BHD ≌△CAD ，导出AB =AC ，再证明△BED ≌△CFD ） 2. 证明略（提示：连接BD ，利用“三线合一”，利用“三线合一”证明∠DBE =∠E =30°） 3. 证明略（提示：证明AD =DC ，AD =BD ） 4. ±16 5. 1cm 或9cm 6. 80°或40° 7. 6或8 8. 60°或120° 9. 10cm 或6cm10. 点C 有5个，作图略个，作图略特殊三角形（讲义）一、知识点睛1．等边三角形．等边三角形①定义：①定义：的三角形是等边三角形．的三角形是等边三角形． ②判定：②判定：的等腰三角形是等边三角形．的等腰三角形是等边三角形．的三角形是等边三角形．③性质：等边三角形等边三角形、． 2．等腰直角三角形．等腰直角三角形①定义：①定义：有一个角是有一个角是有一个角是的等腰三角形是等腰直角三角形． ②判定：②判定：的三角形是等腰直角三角形．的三角形是等腰直角三角形． ③性质：等腰直角三角形等腰直角三角形，． 3．直角三角形．直角三角形性质：性质：．．ACB30°CBD A二、精讲精练1. 如图，以BC 为边在正方形ABCD 内部作等边△PBC ，连接AP ，DP ，则∠APD =_____________．PB DC AGAB EFC M N第1题图题图第2题图题图2. 如图，点C 为线段AB 上一点，△MAC 和△NBC 均是等边三角形，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ，交AN 于点G ，连接EF ．有如下结论：①AN =BM ；②CE =CF ；BCABCA③EF ∥AB ；④∠NGF =60°．其中，正确结论有__________．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D ，E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC =∠E =60°，若BE =6cm ，DE =2cm ，则BC =________．BE DCA4. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =60°，∠BCD =120°．求证：BC +DC =AC ．DCBA5. 已知：在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点．的中点．（1）如图，E ，F 分别是AB ，AC 上的动点，且BE =AF ．求证：△DEF 为等腰直角三角形；为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，四边形AEDF 的面积是否变化，证明你的结论；的面积是否变化，证明你的结论；（3）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE =AF ，其他条件不变，那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．D CEB AF6. 现有两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．的形状，并说明理由．MBEDCA7. 如图，在锐角△ABC 中，∠BAC =60°，BN ，CM 为高，P 为BC 的中点，连接MN ，MP ，NP ，则以下结论中：①NP =MP ；②当∠ABC =60°时，MN ∥BC ；③BN =2AN ； ④AN :AB =AM :AC ．正确的有（．正确的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、精讲精练1．①三边都相等；②有一个角是60°；有两个角是60°；③三边都相等，三个内角都是60°． 2．①直角；②有两个角是45°；③两直角边相等，两底角都是45°． 3．30°角所对的直角边是斜边的一半．角所对的直角边是斜边的一半．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二、精讲精练1． 150°ACNP MB2． ①②③④①②③④ 3． 8cm 4．证明：如图，延长BC 到E ，使CE =CD ，连接DE ，BD ．∵∠BCD =120° ∴∠1=60°∴△DCE 为等边三角形为等边三角形 ∴DC =DE ，∠2=60° ∵AB =AD ，∠BAD =60° ∴△ABD 为等边三角形为等边三角形 ∴AD =BD ，∠3=60° ∴∠2=∠3∴∠ADC =∠BDE 在△ADC 和△BDE 中AD BD ADC BDE DC DE =ìïÐ=Ðíï=î∴△ADC ≌△BDE （SAS ） ∴AC =BE ∵BE =BC +CE=BC +DC ∴BC +DC =AC5．（1）略；）略；（2）四边形AEDF 的面积保持不变，S =12ABC S D（3）△ABC 仍为等腰直角三角形仍为等腰直角三角形 6． △EMC 是等腰直角三角形是等腰直角三角形 7． C321E A B C D特殊三角形（作业）1. 如图，以正方形ABCD 的边AB 为一边向外作等边△ABE ，则∠BED 的度数为________．B C EADOAB C DE第1题图题图第2题图题图2. 如图，△ABD ，△ACE 都是等边三角形，BE 和CD 交于点O ，连接BC ，则∠BOC =__________．3. 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =DC ，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上．若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边三角形．是等边三角形．FA B C DE4. 已知：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 为AC中点，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ．求证：EF =EG ．D GA B CF E5. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC >90°，BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高，F为BC 的中点．连接DE ，DF ，EF ．求证：∠FED =∠FDE ．FAB C DE6. 纳米技术（nanotechnology ）是用单个原子、分子制造物质的科学技术，研究结构尺寸在0.1至100纳米范围内材料的性质和应用．已知，某分子的直径约为0.399纳米，则这个分子的直径可用科学记数法表示为（）米．（保留两个有效数字）留两个有效数字）A ．3.9×10-1B ．3.9×10-10C ．4.0×10-10D ．4.0×10-17. 如图1，在长方形ABCD 中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC →CD →DA 运动至点A 停止．设点P 运动的时间为x ，△ABP 的面积为y ，若y 与x 的关系图象如图2所示，则m 的值是（的值是（） A ．2.5 B ．4.5 C ．5D ．7 图2图1y 102 m xABC DP8. 在△ABC 中，AB =6，AC =4，则中线AD 的取值范围是______．【参考答案】1．45° 2．120° 3．证明：如图，连接AC ∵∠B=∠D =60°，AB=BC,AD=DC ∴△ABC 和△ACD 是等边三角形是等边三角形 ∴∠ACE=∠CAD =60°AC=AD ∵∠EAF =60° ∴∠CAD -∠CAF=∠EAF -∠CAF ∴∠EAC=∠FAD 在△EAC 和△FAD 中FEDCBAACE D AC AD EAC FAD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△EAC ≌△FAD （ASA ） ∴AE=AF ∴△AEF 是等边三角形是等边三角形 4．证明：连接DE ∵AC=BC ，∠ACB=90°∴∠A =45° ∵CD ⊥AB∴∠ADC =90°，AD =12AB∴CD =12AB∴AD =CD∵E 为AC 中点中点∴DE =12AC=AE ，DE ⊥AC ，∠1=45°∴∠AED =90°，∠A =∠1 ∴∠2+∠DEF =90° ∵EF ⊥BE∴∠3+∠DEF =90° ∴∠2=∠3在△AEF 和△DEG 中123A EA ED Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△AEF ≌△DEG （ASA ）∴EG =EF5．证明：∵BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高边上的高 ∴∠BDC =∠CEB =90°∵F 是BC 的中点的中点∴EF =12BC ，DF =12BC∴∠FED =∠FDE6．C 7．B8．15AD <<321E FCBAGD 第3题图题图第4题图题图FA B CD E特殊三角形随堂测试题姓名________1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 是BC 边上的一点，EC ⊥BC ，EC =BD ，连接AD ，AE ，DE ．点F 为DE 中点，连接AF ，CF ．求证：（1）AD =AE ；（2）AF =CF ．FED CBA【参考答案】略轴对称的实际应用（讲义）一、知识点睛1．折叠问题：．折叠问题：（1）性质：折叠是________变换，_________________为对称轴，折叠前后的图形___________，对应边相等，对应角相等．，对应边相等，对应角相等．（2）思考步骤：）思考步骤：①找折痕；②转移对应边，对应角；③与背景条件结合．①找折痕；②转移对应边，对应角；③与背景条件结合． 2．轴对称最值问题：．轴对称最值问题：（1）特征：有定点，有动点，动点在___________上运动，求动点与定点连接组成的线段和（周长）最小．接组成的线段和（周长）最小．（2）解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．，利用两点之间线段最短进行处理．例题：在直线l 上找一点P ，使得在直线同侧的点A ，B 到点P 的距离之和AP +BP 最小．最小．lBA二、精讲精练1. 如图，把一张长方形的纸片ABCD ，沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在M ，N的位置上，EM 与BC 相交于点G ，若，若∠EFG =55°，则∠1的度数是_______________．G 1N MFE DCB Aα30°B AD第1题图题图第2题图题图2. 有一条长方形纸带，按如图方式折叠，纸带重叠部分中的∠α=________．3. 如图a 是长方形纸带，∠DEF =25°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是________．图c图b图a BCDEFA G F EDC B A G A BCDEF4. 如图所示，一个边长是1cm 的正方形，的正方形，沿一条直线折叠，阴影部分的周长是沿一条直线折叠，阴影部分的周长是_________．MNAB CDE H第4题图题图第5题图题图5. 如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，则，则 ∠AHB 的度数是__________．6. 如图将长方形ABCD 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，若长方形ABCD 的周长为46cm ，则△AEF 的周长为__________．A BCD E F7. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求作一点R ，使△PQR 的周长最短．的周长最短．ABC PQ8. 已知：如图，∠ABC =30°，P 为∠ABC 内部一点，BP =4，如果点M ，N 分别为边BA ，BC 上的两个动点，请画图说明当M ，N 在什么位置时使得△PMN 的周长最小，并求出△PMN 周长的最小值．BACP9. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =120°，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ．当△AMN 周长最小时，周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为的度数为___________________________．．DCABB A MCD N10. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两个动点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时四边形PMNQ 的周长最小．周长最小．OA BQP三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．（1）轴对称，折痕所在直线，全等）轴对称，折痕所在直线，全等 2．（1）定直线）定直线（2）将折线转直）将折线转直二、精讲精练 1．110°110°2．75° 3．105°105°4．4cm5．75° 6．23cm7．如图所示，以BC 为对称轴作点P 的对称点P ʹ，连接QP ʹ交BC 于点R ，则点R 即为所求．即为所求．RP'QP CBA8．作图略，△PMN 周长的最小值为4 9．120°10．如图所示：点M ，N 即为所求即为所求Q'P'N MP QB AO轴对称的实际应用（随堂测试）1. 点D ，E 分别在等边△ABC 的边AB ，BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在B 1处，DB 1，EB 1分别交边AC 于点F ，G ．若∠BDE =50°，则∠CGE =________．B 1GF EDCBA2. 如图，∠AOB =60°，点P 为∠AOB 内部任意一点，OP =5cm ，点E ，F 分别是∠AOB 两边OA ，OB 上的动点，请画图求解，当△PEF 的周长最小时，点O到EF 的距离是_____．PB OAAEO F B P【参考答案】1．80° 2．2.5cm轴对称的实际应用（作业）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB上A ʹ处，折痕为CD ，则∠A ʹDB =_______．A ′A DB C BE ADFGC第1题图题图第2题图题图2. 已知：如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，EF 为折痕．若折叠后∠BCE =30°，BE =2，则矩形纸片的长AB =________，△CEF 的周长为_______________．3. 如图，一牧童在A 处放牛，其家在B 处，A ，B 到河岸的距离分别为AC ，BD ，且AC =BD ，已知A 到河岸CD 的中点的距离为500米．牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家，请作图说明牧童怎样走路程最短，并求出最短路程．河边饮水后再回家，请作图说明牧童怎样走路程最短，并求出最短路程．A B CD4. 如图，∠AOB =60°，点P 在∠AOB 的角平分线上，OP =10cm ，点E ，F 分别是∠AOB 两边OA ，OB 上的动点，当△PEF 的周长最小时，点P 到EF 的距离是__________．．OPB AP O F EAB5. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点H ，交AB 于点F ．下列说法中正确的有_______． ①AG 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的中线；的中线；③CH 为△ACD 边AD 上的高；④AH 是△ACF 边CF 上的高；⑤AD 是△ACF 的角平分线．的角平分线．6. 已知2x 3+x =2，求2x 6+3x 4+x 2-x +9的值．的值．【参考答案】1．10° 2．6；12 3．最短路程为1000米 4．5cm 5．①③④．①③④ 6．11E F C D B AG H。

动点问题(讲义)

动点问题（讲义）➢ 课前预习1. 由点的运动（速度已知）产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：（1）研究_________________；（2）分析_________________，分段；（3）表达_________________，建方程．2. 根据前期训练的标准动作及上述内容，完成下题．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形．动点P 从点A 出发，沿折线AB -BC 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ．设点P 运动的时间为t 秒，请用含t 的式子分别表达出PQ 和AQ 的长．思路分析：3s 3s2/s :06P A B C t −−→−−→≤≤（）（）①当03t ≤≤时，PQ =_________，AQ =__________； ②当36t <≤时，PQ =_________，AQ =__________．➢ 知识点睛1. 动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程．2. 动点问题处理框架：（1）研究背景图形；（2）分析运动过程，分段、定范围；借助线段图分析运动过程时，要关注四要素： ①起点、终点——明确运动路径； ②速度——确定时间范围； ③状态转折点——确定分段； ④所求目标——明确思考方向．（3）分析几何特征、表达、设计方案求解．分段画图，表达相关线段长，列方程求解，回归范围进行验证．➢ 精讲精练1. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是BC 的中点，AD =5，BC =12，QB PCACD=24，∠C=45°．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BC向终点C运动．设运动的时间为t（s）．（1）当t的值为____________时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形；（2）当t的值为____________时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是菱形．E P DCBAE DCBA2.如图，△ABC是边长为6 cm的等边三角形，射线AD//BC，点E从点A出发沿射线AD以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）当t的值为_______时，以点A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形；（2）当t的值为_______时，以点A，C，E，F为顶点的四边形是菱形．3.如图，直线2y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线y=x交于点C．动点P从原点O O→B→A的路线向终点A运动（点P不与点O，A重合），同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→O→C的路线向终点C运动（点Q不与点A，C重合），设点P运动的时间为t（秒）．设△APQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．EDCBADCBA于点C ．动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 方向向终点A 运动，同时动点F 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AC -CO 向终点O 运动，设点F 运动的时间为t （秒）．（1）设△OEF 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（这里规定：线段是面积为零的三角形）（2）当12t ≤≤时，是否存在某一时刻，使得△OEF 是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．5. 如图，直线2y x =+与直线y =交于点A ，与x 轴交于点B ，∠AOB平分线OC 交AB 于点C ．动点P 从点B 出发沿折线BC -CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O 运动，同时动点Q 从点C 出发沿折线CO -OA 以相同的速度向终点A 运动，设点P 运动的时间为t （秒）．（1）AC =________，BC =________；（2）设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）当点P 在OC 上，点Q 在OA 上运动时，是否存在某一时刻，使得△OPQ 是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】➢课前预习1.（1）背景图形；（2）运动过程；（3）线段长2.，t；② t.➢精讲精练1.（1）12或112；（2）1122.（1）2或6；（2）63.222(02122) 22(24(22 2tS t tt t<⎪⎪⎪+⎪=-+⎨-+++<<+⎪⎪⎩≤4.（1）221(0)411(12)4411(2122t S t tt t⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪+-+<⎪⎪⎩≤≤≤≤（2）存在，t的值为1215.（1）1，2（2）22(0)1+1 (124(24)tS t t tt⎧⎪⎪⎪=-<+⎨+⎩≤≤2≤≤（3）存在，t的值为3，51动点问题（随堂测试）1.如图，直线l1：y=+与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l2：y=+与x轴交于点C，与直线l1交于点D，连接BC．动点M从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线CD-DB向终点B匀速运动，动点N从点A同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AB-BC向终点C匀速运动．设△运动的时间为t秒，求S与t之间的函数关系式．的三角形）【参考答案】1．222(02)(2(24)2(1624(420(26)tt t tSt t tt ⎧+⎪-++<⎪=⎨-++<+⎪⎪+<⎩≤≤≤≤≤。

中考动点问题专题教师讲义带答案

中考动点问题专题教师讲义带答案集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#中考动点型问题专题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 （2015兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S 与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．对应训练1．（2015白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C 考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

动点问题(讲义及答案)

动点问题（讲义）一、知识点睛由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：1.研究_____________，_____________；2.分析_____________，分段；3.表达_____________，建等式．二、精讲精练1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边AD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，沿BC向点C以每秒2个单位的速度运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒．（1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等，请说明理由；（2）当t为何值时，△DCP≌△CDE．2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位的速度运动，动点Q从点C出发沿CB向点B以每秒2个单位的速度运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P运动时间为x秒，请求出当x为何值时，△PDQ≌△CQD．3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒3cm的速度由点B 向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．4.已知：如图，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边AB上，且AE=4cm，点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．5.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=DC=4，AD=BC=5．延长BC到E，使CE=2，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABP的面积S．（2）是否存在某个t值使得△DCP和△DCE全等，若存在，请求出所有的t值；若不存在，请说明理由．6.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=CD=3cm，AD=BC=5cm，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿BC方向向点C运动，动点Q从点C出发，以每秒2cm的速度沿CD-DA-AB 向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，设点P运动时间为t秒．请回答下列问题：（1）请用含t的式子表达△CPQ的面积S，并直接写出t的取值范围．（2）是否存在某个t值使得△ABP和△CDQ全等，若存在，请求出所有的t值；若不存在，请说明理由．【参考答案】【知识点睛】速度已知1．研究基本图形，标注；2．分析运动过程，分段；3．表达线段长，建等式．【精讲精练】1.解：（1）当t =1.5时，△ABP ≌△CDE ．理由如下：如图，由题意得BP =2t∴当t =1.5时，BP =3∵AE =7，AD =10∴DE =3∴BP =DE在矩形ABCD 中AB =CD ，∠B =∠CDE在△ABP 和△CDE 中AB CD B CDE BP DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△CDE （SAS ）（2）如图，由题意得BP =2t∵BC =10∴CP =10-2t若使△DCP ≌△CDE ，则需CP =DE即10-2t =3，t =72∴当t =72时，△DCP ≌△CDE ．2.解：如图，由题意得AP =x ，CQ =2x∵AD =12∴DP =12-x要使△PDQ ≌△CQD ，则需DP =QC即12-x =2x ，x =4∴当x =4时，△PDQ ≌△CQD ．3.解：如图，由题意得BP =3t∵BC =8∴PC =8-3t∵AB =10，D 为AB 中点∴BD =12AB =5①要使△BDP ≌△CPQ ，则需BD =CP ，BP =CQ即5=8-3t ，t =1∴CQ =3t =3则Q 的速度为Q v =s t =31=3（cm/s ）即当t =1，Q 的速度为每秒3cm 时，△BDP ≌△CPQ ．②要使△BDP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BD =CQ 即3t =8-3t ，CQ =5∴t =43则Q 的速度为Q v =st =5×34=154（cm/s ）即当t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BDP ≌△CQP ．综上所述，当t =1，Q 的速度为每秒3cm 或t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BPD 与△CQP 全等．4.解：如图，由题意得BP =2t∵正方形ABCD 的边长为10cm∴AB =BC =10∴PC =10-2t∵AE =4∴BE =10-4=6①要使△BEP ≌△CPQ ，则需EB =PC ，BP =CQ即6=10-2t ，CQ =2t∴t =2，CQ =4则点Q 的速度为Q v =s t =42=2（cm/s ）即当t =2，Q 的速度为每秒2cm 时，△BEP ≌△CPQ ．②要使△BEP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BE =CQ即2t =10-2t ，CQ =6∴t =52则点Q 的速度为Q v =s t=6×25=125（cm/s ）即当t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP ≌△CQP ．综上所述，当t =2，Q 的速度为每秒2cm 或t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP 与△CQP 全等．5.解：（1）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t （0＜t ≤2.5）1214224ABP S AB BP t t∆=⋅=⨯⨯=∴ ②当P 在CD 上时，（2.5＜t ≤4.5）12145210ABP S AB BC ∆=⋅=⨯⨯=∴③当P 在AD 上时，由题意得AP =14-2t （4.5＜t ＜7）12141422284ABP S AB AP t t∆=⋅=⨯⨯=∴--（）（2）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t要使△DCP ≌△DCE ，则需CP =CE∵CE =2∴5-2t =2，t =1.5即当t =1.5时△DCP ≌△DCE②当P 在CD 上时，不存在t 使△DCP 和△DCE 全等③当P 在AD 上时，由题意得BC +CD +DP =2t ∵BC =5，CD =4，∴DP =2t -4-5要使△DCP ≌△CDE ，则需DP =CE即2t -9=2，t =5.5即当t =5.5时，△DCP ≌△CDE ．综上所述，当t =1.5或t =5.5时，△DCP 和△DCE 全等．6.解：（1）①当Q 在CD 上时，如图，由题意得CQ =2t ，BP=t∴CP=5-t （0＜t ≤1.5）2121 (5)225CPQ S CP CQ t t t t ∆=⋅=-⋅=-∴②当Q 在DA 上时，（1.5＜t ≤4）121(5)327.5 1.5CPQ S CP CD t t∆=⋅=⨯=∴--③当Q 在AB 上时，由题意得BQ =11-2t （4＜t ＜5）2121(5)(112)2215522CPQ S CP BQ t t t t ∆=⋅=-⨯-=-+∴①当Q 在CD 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等②当Q在AD上时，如图，由题意得DQ=2t-3要使△ABP≌△CDQ，则需BP=DQ∵DQ=2t-3，BP=t∴t=2t-3，t=3即当t=3时，△ABP≌△CDQ．③当Q在AB上时，不存在t使△ABP和△CDQ全等综上所述，当t=3时，△ABP和△CDQ全等．11。

动点问题专题讲解答案

中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

例2.如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F. (1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△A3(1)例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

动点问题(讲义及答案)

动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的处理思路 1. 研究背景图形．2. 分析运动过程，分段，定范围．（关注四要素）①根据起点、终点，确定时间范围； ②速度（注意速度是否变化）；③状态转折点，确定分段，常见状态转折点为拐点； ④所求目标——明确方向．3. 分析几何特征，表达，设计方案求解．画出符合题意的图形，表达线段长，根据几何特征列方程求解，结合范围验证结果．二、精讲精练1. 如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，∠B =60°．从初始时刻开始，点P ，Q 同时从点A 出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A →C →B 的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A →B →C →D 的方向运动，当点Q 运动到点D 时，P ，Q 两点同时停止运动．设P ，Q 运动x 秒时，△APQ 与△ABC 重叠部分的面积为y 平方厘米，解答下列问题：（1）点P ，Q 从出发到相遇所用时间是____________秒；（2）在点P ，Q 运动的过程中，当△APQ 是等边三角形时，x 的值为____________；（3）求y 与x 之间的函数关系式．A BCDQP DCBA2. 如图1，正方形 ABCD 中，点A ，B 的坐标分别为(0，10)，(8，4)，点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同的速度在x 轴正半轴上运动，当点P 到达点D 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当点P 在AB 边上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，请求出点Q 开始运动时的坐标及点P 的运动速度．（2）求正方形ABCD 的边长及顶点C 的坐标．（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大？求出此时点P 的坐标．（4）如果点P ，Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等？若能，请求出所有符合条件的t 值；若不能，请说明理由．10111Oxt图2图1ABCDOPQ xy备用图yxODCBA备用图yxODCBA备用图yxODCBA3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发，沿CA以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原速度沿AC返回；点Q从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．伴随着P，Q的运动，DE始终保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P，Q同时出发，当点Q运动到点B时，两点同时停止运动．设点P，Q运动的时间是t秒（0t>）．（1）当t=2时，AP=_____，点Q到AC的距离是_________．（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t 的函数关系式（不必写出t的取值范围）．（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．QDPE C BA AB CA B C4. 如图，在Rt ABC △中，∠C =90°，AB =50，AC =30，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，BC 的中点．点P 从点D 出发，沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长度的速度匀速运动；点Q 从点B 出发，沿BA 方向以每秒4个单位长度的速度匀速运动．过点Q 作射线QK ⊥AB ，交折线BC -CA 于点G ．点P ，Q 同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时，P ，Q 两点都停止运动，设点P ，Q 运动的时间是t 秒（0t >）．（1）D ，F 两点间的距离是___________．（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．（3）当点P 运动到折线EF -FC 上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值．（4）连接PG ，当PG ∥AB 时，请直接．．写出t 的值． QKG FEDC BAPABC D EF三、回顾与思考_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ABCD EFFEDC BAABCDE F【参考答案】1．（1）6（2）8（3）2223 032333 36237315 3 6962y x x y x x x y x x x ⎧=<⎪⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪=-+-<⎪⎪⎩≤≤ 2．（1）Q （1，0），V p =1cm/s（2）10，C (14，12) （3）当t =476时，S 最大，此时P （94531510，）（4）53t =或29513t = 3．（1）1，85（2）22655S t t =-+（3）98t =或158t =（4）52t =或4514t =4．（1）25（2）578t =（3）18541t =或152t =（4）53t =或34043t =。

动点问题(习题)含讲义

A
E B FC A
BC A
BC
2. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ A=90 °，AB =6 ，AC =8 ， D，E 分别为边 AC
，BC 的中点．点 P 从点 A 出发，沿折线 AD -DE- EB 以每秒 3 个单位长度的速度向点 B 匀速运动；点 Q 也从点 A 出发，沿射线 AB 以每秒 2 个单位长度的速度运动，当点 P 到达点 B 时，P，Q 两点同时停止运动．设（ 1）当点 P 到达点 B 时，求 t 的值．点（2）设△BPQ 的面积为 S，当点 Q 在线段 AB 上运动时，求出S 与t 之间的函数关系式． P （ 3）是否存在 t 值，使 PQ∥DB ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请，说明理由． Q
? 例题示范
动点问题（习题）
例1：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90 °，AD=3 cm ， DC=15 cm
，BC=24 cm ．点 P 从A 点出发，沿 A→D→ C 的方向以 1 cm/s 的速度
匀速运动，同时点 Q 从C 点出发，沿 C→
B 的方向以 2 cm/s 的速度匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也
Q
P
BC AD
BC
? 思考小结
表达线段长是动点问题解题过程中重要环节之一．段长时思考方向如下： ①利用 s= vt ，用动点走过的路程来表达；
表达线
②利用动点所走路程和线段长组合，来表达新线段长；
③和角度结合在一起，利用相似或三角函数来表达．
【参考答案】
? 课前预习
动点问题（讲义）
按要求完成下列题目： 4
A 运动的时间为
t BE C
秒（

初一数学动点问题答案与解析

动点问题答案与解析一、单点移动问题1.【解答】（1）-21（2）14.5秒（3）37-2t（4）BC：2t-29当A在C的左边：AC：52-2t当A在C的右边：AC：2t-522.【解答】解：（1）点P表示的有理数为﹣4+2×2=0；（2）6﹣（﹣4）=10，10÷2=5，5÷2=2.5，（10+5）÷2=7.5．故点P是AB的中点时t=2.5 或7.5；（3）在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离为2t；（4）在点P由点B到点A的返回过程中，点P表示的有理数是6﹣2（t﹣5）=16﹣2t．3.【解答】解：（1）①点P在点B的左边时∵PB=2，4﹣2=2，∴点P表示的是2．②点P在点B的右边时，∵PB=2，4+2=6，∴点P表示的是6．综上，可得点P表示的是2或6；（2）∵4﹣（﹣2）=6，∴线段AB的长度是6．①AP=AB=2时，点P表示的是﹣2+2=0．②BP=AB=2时，点P表示的是4﹣2=2．综上，可得点P表示的是0或2；（3）①点P在点B的左边时，∵AP=6﹣2=4，4÷2=2，∴线段AM的长是2．②点P在点B的右边时，∵AP=6+2=8，8÷2=4，∴线段AM的长是4．综上，可得线段AM的长是2或4．（4）根据图示，可得当点P在A、B两点之间时，PA+PB的值最小，此时，PA+PB=AB=6，所以PA+PB 的最小值是6．二、两点移动问题4.【解答】解：（1）①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，∴点B表示的数是8﹣12=﹣4，∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P表示的数是8﹣3×1=5．②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，∵AP+BQ=AB﹣3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15解得：x=3．∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．（2）2MN+PQ=12或2MN﹣PQ=12；理由如下：P在Q右侧时有：MN=MQ+NP﹣PQ=AQ+BP﹣PQ=（AQ+BP﹣PQ）﹣PQ= AB﹣PQ=（12﹣PQ），即2MN+PQ=12．同理P在Q左侧时有：2MN﹣PQ=12．5.【解答】解：（1）点B表示的数是﹣4；（2）﹣4+2×2=﹣4+4=0．故2秒后点B表示的数是0，（3）由题意可知：①O为BA的中点，（﹣4+2t）+（2+2t）=0，解得t=；②B为OA的中点，2+2t=2（﹣4+2t），解得t=5．故答案为：﹣4；0．6.【解答】解：（1）设A点运动速度为x单位长度/秒，则B点运动速度为4x单位长度/秒．由题意得：3x+3×4x=15解得：x=1∴A点的运动速度是1单位长度/秒，B点的速度是4单位长度/秒；（2）设y秒后，原点恰好处在A、B的正中间．由题意得：y+3=12﹣4y解得：答：经过秒后，原点恰处在A、B的正中间；（3）设B追上A需时间z秒，则：4×z﹣1×z=2×（+3）解得：，=64．答：C点行驶的路程是64长度单位．7.【解答】解：（1）∵1﹣（﹣1）=2，2的绝对值是2，1﹣3=﹣2，﹣2的绝对值是2，∴点P对应的数是1．（2）当P在AB之间，PA+PB=4（不可能有）当P在A的左侧，PA+PB=﹣1﹣x+3﹣x=6，得x=﹣2当P在B的右侧，PA+PB=x﹣（﹣1）+x﹣3=6，得x=4故点P对应的数为﹣2或4；（3）解：设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：2x=4+x，解得x=4．∴6x=24．答：点P所经过的总路程是24个单位长度．8.【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，∴OA=6，则OB=AB﹣OA=4，点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为﹣4；点P运动t秒的长度为6t，∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴P所表示的数为：6﹣6t；（2）①点P运动t秒时追上点R，根据题意得6t=10+4t，解得t=5，答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，当P不超过Q，则10+4a﹣6a=8，解得a=1；当P超过Q，则10+4a+8=6a，解得a=9；答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．9.【解答】解：（1）①当P在线段AB上时，由PA=2PB及AB=60，可求得PA=40，OP=60，故点P运动时间为60秒．若AQ=时，BQ=40，CQ=50，点Q的运动速度为50÷60=（cm/s）；若BQ=时，BQ=20，CQ=30，点Q的运动速度为30÷60=（cm/s）．②点P在线段AB延长线上时，由PA=2PB及AB=60，可求得PA=120，OP=140，故点P运动时间为140秒．若AQ=时，BQ=40，CQ=50，点Q的运动速度为50÷140=（cm/s）；若BQ=时，BQ=20，CQ=30，点Q的运动速度为30÷140=（cm/s）．（2）设运动时间为t秒，则t+3t=90±70，t=5或40，∵点Q运动到O点时停止运动，∴点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQ=OP=30cm，之后点P继续运动40秒，则PQ=OP=70cm，此时t=70秒，故经过5秒或70秒两点相距70cm；（3）如图1，设OP=xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB﹣AP=80﹣（x﹣20）=100﹣x，EF=OF﹣OE=（OA+AB）﹣OE=（20+30）﹣=50﹣，∴==2．如图2，设OP=xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB﹣AP=80﹣（x﹣20）=100﹣x，EF=OF﹣OE=（OA+AB）﹣OE=（20+30）﹣=50﹣，∴==2．三、多点移动问题10.【解答】解：（1）A表示的数是﹣6，点A先沿着数轴向右移动8个单位长度，再向左移动5个单位长度后所对应的数字是：﹣6+8﹣5=﹣3，故答案为：﹣3；（2）∵A，B对应的数分别为﹣6，2，点C到点A，点B的距离相等，∴AB=8，x的值是﹣2．故答案为：﹣2；（3）根据题意得：|x﹣（﹣6）|+|x﹣2|=10，解得：x=﹣7或3；故答案为：﹣7或3；（4）当点A、B重合时，﹣6+4t=2﹣2t，解得t=；当点C为A、B中点且点C在点A的右侧时，﹣t﹣（﹣6+4t）=（2﹣2t）﹣（﹣t），解得t=1；当点C为A、B中点且点C在点A的左侧时，（﹣6﹣4t）﹣（﹣t）=（﹣t）﹣（2﹣2t）m解得t=1（舍去）．综上所述，当t=或1，点C到点A、B 的距离相等．11.【解答】解：（1）设B点的运动速度为x，A、B两点同时出发相向而行，则他们的时间相等，有：=，解得x=1，所以B点的运动速度为1；（2）设经过时间为t．则B在A的前方，B点经过的路程﹣A点经过的路程=6，则2t﹣t=6，解得t=6．A在B的前方，A点经过的路程﹣B点经过的路程=6，则2t﹣t=12+6，解得t=18．（3）设点C的速度为y，始终有CB：CA=1：2，即：=，解得y=，当C停留在﹣10处，所用时间为：=秒，B的位置为=﹣．12.【解答】解：（1）∵BC=300，AB=，所以AC=600，C点对应200，∴A点对应的数为：200﹣600=﹣400；（2）设x秒时，Q在R右边时，恰好满足MR=4RN，∴MR=（10+2）×，RN=[600﹣（5+2）x]，∴MR=4RN，∴（10+2）×=4×[600﹣（5+2）x]，解得：x=60；∴60秒时恰好满足MR=4RN；（3）QC﹣AM的值不发生变化．理由如下：设经过的时间为y，则PE=10y，QD=5y，于是PQ点为[0﹣（﹣800）]+10y﹣5y=800+5y，一半则是，所以AM点为：+5y﹣400=y，又QC=200+5y，所以﹣AM=﹣y=300为定值．四、线段移动问题13.【解答】解：（1）由题意得：11﹣（b+3）=b，解得：b=4．答：线段AC=OB，此时b的值是4．（2）由题意得：①11﹣（b+3）﹣b=（11﹣b），解得：b=．②11﹣（b+3）+b=（11﹣b），解得：b=﹣5．答：若AC﹣0B=AB，满足条件的b值是或﹣5．14.【解答】解：（1）∵点A、M、N对应的数字分别为﹣1、0、2，线段MN沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒，∴移动后M表示的数为t，N表示的数为t+2，∴AM=t﹣（﹣1）=t+1．故答案为：t+1．（2）由（1）可知：BN=|11﹣（t+2）|=|9﹣t|，∵AM+BN=11，∴t+1+|9﹣t|=11，解得：t=．故答案为：．（3）假设能相等，则点A表示的数为2t﹣1，M表示的数为t，N表示的数为t+2，B表示的数为11﹣t，∴AM=|2t﹣1﹣t|=|t﹣1|，BN=|t+2﹣（11﹣t）|=|2t﹣9|，∵AM=BN，∴|t﹣1|=|2t﹣9|，解得：t1=，t2=8．故在运动的过程中AM和BN能相等，此时运动的时间为秒和8秒．15.【解答】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是20﹣5=15，则此木棒长为：15÷3=5，故答案为：5．（2）如图，点A表示美羊羊现在的年龄，点B表示村长爷爷现在的年龄，木棒MN的两端分别落在点A、B．由题意可知，当点N移动到点A时，点M所对应的数为﹣40，当点M移动到点B时，点N所对应的数为116．可求MN=52．所以点A所对应的数为12，点B所对应的数为64．即美羊羊今年12岁，村长爷爷今年64岁．五、图形动点问题16.【解答】【考点】8A：一元一次方程的应用．【专题】25 ：动点型；2A ：规律型．【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，设出正方形的边长，乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，甲行的路程为2a×=，乙行的路程为2a×=，在AB边相遇；②第二次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在CB边相遇；③第三次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在DC边相遇；④第四次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在AB边相遇；⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在AD边相遇；…因为2008=502×4，所以它们第2008次相遇在边AB上．故答案为：AB．【点评】本题主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．。

七年级数学数轴动点问题讲义

数轴动点问题知识点一（有理数动点问题）【知识梳理】一、动点位置表示⎩⎨⎧⨯+⨯运动时间动点速度点动点向右边运动：起始运动时间动点速度点动点向左边运动：起始- 二、两动点之间的距离表示⎪⎩⎪⎨⎧==两数之差距离若未知大小关系：两点小数大数距离若已知大小关系：两点- 三、与相遇相结合相遇问题：相遇路程=速度之和×相遇时间追及问题：追及路程=速度之差×追及时间四、中点问题2,b a b a +，则两点的中点为为已知数轴上两个点分别五、定值问题求是否式子的结果不发生改变：表示出其中的每一个量，代入式子中，进行化简计算，最终得到常数即为定值【例题精讲】例1．已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

⑴问多少秒后，甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位？⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回。

问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。

例2．如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为—20，B点对应的数为100。

⑴求AB中点M对应的数；⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。

例3．已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。

数轴类动点问题(讲义及答案)

数轴类动点问题（讲义）➢知识点睛1.由点（速度已知）的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：（1）研究背景图形；（2）分析运动过程；（3）表达线段长，建方程．2.数轴上点的平移：数轴上，若点A表示的数为a，则点A向左平移2个单位得到的数为a-2，点A向右平移3个单位得到的数为a+3．3.数轴上两点的距离公式：数轴上，若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A，B之间的距离可表示为a b，或者表示为右边的数减去左边的数．➢精讲精练1.已知：如图，A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100．（1）请直接写出AB的中点M对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，请求出C点对应的数是多少；（3）若电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，请求出D点对应的数是多少．AA2.如图，点A在数轴上所对应的数为-2．（1）点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数；（2）在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到-4所在的点处时，求A，B两点间的距离；（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左以原速运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度？（直接写出答案）A3.已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数-24，-10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P到点C的距离：PC=______．（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C 点运动，Q点到达C点后停止运动．在点Q开始运动后，P，Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．A B CA B C4.“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A，B的距离之和为6，则C叫做A，B的“幸福中心”．（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是_____；（2）如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M，N的幸福中心，则C所表示的数可以是_______（填一个即可）；（3）如图3，A，B，P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？图1图2P图35. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A ，B 表示的数分别为a ，b ，则A ，B 两点之间的距离AB =|a -b |，线段AB 的中点表示的数为2a b ．【问题情境】如图，数轴上点A 表示的数为-2，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．【综合运用】（1）填空：①A ，B 两点之间的距离AB =_______，线段AB 的中点表示的数为______； ②用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为_________，点Q 表示的数为___________．（2）求当t 为何值时，P ，Q 两点相遇，并写出相遇点所表示的数．（3）求当t为何值时，PQ=12 AB．（4）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长．A B08-2086.如图，数轴上点A，B到表示-2的点的距离都为6，P为线段AB上任一点，C，D两点分别从P，B同时向A点移动，且C点的运动速度为每秒2个单位长度，D点的运动速度为每秒3个单位长度，运动时间为t秒．（1）A点表示的数为_______，B点表示的数为________，AB=________．（2）若P点表示的数是0，①运动1秒后，求CD的长度；②当D在BP上运动时，求线段AC，CD之间的数量关系式．（3）若t=2秒，CD=1，请直接写出P点表示的数．P DC BAA B7.如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式表示动点P在运动过程中距O点的距离．（2）P，Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少．（3）是否存在P，O两点在数轴上相距的长度与Q，B两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．【参考答案】➢精讲精练1.（1）M对应的数为40（2）C点对应的数为28（3）D点对应的数是-2602.（1）点B对应的数为4（2）AB=12（3）4秒或8秒3.（1）34-t（2）点P表示的数为-2或84.（1）-4或2（2）1（3）1.75秒或4.75秒5.（1）①10，3；②-2+3t，8-2t（2）t=2时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为4（3）当t=1或3时，12 PQ AB（4）MN的长度不变，MN=5 6.（1）-8，4，12（2）①CD=3；②AC=2CD（3）P点表示的数为1或3.7.（1）PO=t-5（2）相遇时间为232，相遇点M表示的数为132（3）t=2或132时，PO=BQ。

最全动点问题讲义

动点路径（轨迹）问题动点路径问题中，核心方法是寻找定点、定线、定长、定角等，再根据线与圆的基本概念及基本性质确定运动轨迹所形成的图形.一、定点+定长⇒圆二、定线+定角⇒圆三、定线+定长⇒线段四、旋转缩放（主从联动）⇒从路径=主路径×缩放比五、坐标定位（多点运动）⇒建系求函数一、定点+定长⇒圆1.如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上的两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4.则动点C运动形成的路径长是___.2.矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是BC边上一动点，把△ABP沿AP翻折△AQP，CQ的最小值________二、定线+定角⇒圆3.已知A（0，3），B（1,0），P是线段AO上动点，AQ⊥BQ，当点P从点A运动到点O 时，Q点经过的路径长为________4.如图，半径为2CM，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一动点P，从P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设△OPH的内心为I，当P从点A运动到点B时，I点的运动轨迹长_____三、定线+定长⇒线段5.如图所示,扇形OAB从图①无滑动旋转到图②,再由图②到图③,∠O=60∘，OA=1.求O点所运动的路径长.四、旋转缩放（主从联动）⇒从路径=主路径×缩放比6.如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC.（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q. i）当点P与A，B两点不重合时，求DPPQ的值；ii）当点P从点A运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长.五、坐标定位（多点运动）⇒建系求函数7.如图在Rt△ABC中,∠C=90∘，AC=8，BC=6，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。

初中数学人教版八年级上册三角形全等之动点问题(讲义及答案)

初中数学人教版八年级上册实用资料三角形全等之动点问题（讲义）➢课前预习已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请解答下列问题：（1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）；（2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为_______．➢知识点睛由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：1.研究_____________；2.分析_____________，分段；3.表达_____________，建等式．➢精讲精练1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边EAD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒．（1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等？请说明理由；（2）当t为何值时，△DCP≌△CDE．2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，动点Q从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P运动时间为x秒，请求出当x为何P D A值时，△PDQ ≌△CQD ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC =10 cm ，BC =8 cm ，点D 为AB 的中点．点P 在线段BC 上以每秒3 cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．设点P 运动时间为t 秒，若某一时刻△BPD 与△CQP 全等，求此时t 的值及点Q 的运动速度．D CBA4.已知：如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E在边AB上，且AE=4 cm，点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP 全等，求此时t的值及点Q的运动速度．5. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =DC =4，AD =BC =5．延长BC 到E ，使CE =2，连接DE ．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC -CD -DA 向终点A 运动，设点P 运动时间为t 秒．（1）请用含t 的式子表达△ABP 的面积S ．（2）是否存在某个t 值，使得△DCP 和△DCE 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．DA6. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =CD =3 cm ，AD =BC =5 cm ，动点P 从点B 出发，以每秒1 cm 的速度沿BC 方向向点C 运动，动点Q 从点C 出发，以每秒2 cm 的速度沿CD -DA -AB 向点B 运动，P ，Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，设点P 运动时间为t 秒．请回答下列问题：（1）请用含t 的式子表达△CPQ 的面积S ，并直接写出t 的取值范围．（2）是否存在某个t 值，使得△ABP 和△CDQ 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．DA【参考答案】➢课前预习（1）2t，t（2）4s➢知识点睛速度已知1．研究背景图形，标注；2．分析运动过程，分段；3．表达线段长，建等式．➢精讲精练1.解：（1）当t=1.5时，△ABP≌△CDE．理由如下：如图，由题意得BP=2t∴当t=1.5时，BP=3∵AE=7，AD=10∴DE=3∴BP=DE在矩形ABCD 中 AB =CD ，∠B =∠CDE 在△ABP 和△CDE 中AB CD B CDE BP DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△CDE （SAS ）（2）如图，由题意得BP =2t ∵BC =10 ∴CP =10-2t若使△DCP ≌△CDE ，则需CP =DE即10-2t =3，t =72∴当t =72时，△DCP ≌△CDE ．2. 解：如图，由题意得AP =x ，CQ =2x∵AD =12 ∴DP =12-x要使△PDQ ≌△CQD ，则需DP =QC 即12-x =2x ，x =4∴当x =4时，△PDQ ≌△CQD ．3. 解：如图，由题意得BP =3t∵BC =8 ∴PC =8-3t∵AB =10，D 为AB 中点 ∴BD =12AB =5 ①要使△BDP ≌△CPQ ，则需BD =CP ，BP =CQ 即5=8-3t ，t =1 ∴CQ =3t =3则Q 的速度为Q v =s t =31=3（cm/s ）即当t =1，Q 的速度为每秒3cm 时，△BDP ≌△CPQ ．②要使△BDP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BD =CQ 即3t =8-3t ，CQ =5∴t =43则Q 的速度为Q v =s t =5×34=154（cm/s ）即当t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BDP ≌△CQP ．综上所述，当t =1，Q 的速度为每秒3cm 或t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BPD 与△CQP 全等．4. 解：如图，由题意得BP =2t∵正方形ABCD 的边长为10cm ∴AB =BC =10 ∴PC =10-2t ∵AE =4 ∴BE =10-4 =6①要使△BEP ≌△CPQ ，则需EB =PC ，BP =CQ 即6=10-2t ，CQ =2t ∴t =2，CQ =4则点Q 的速度为Q v =s t =42=2（cm/s ）即当t =2，Q 的速度为每秒2cm 时，△BEP ≌△CPQ ． ②要使△BEP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BE =CQ 即2t =10-2t ，CQ =6∴t =52则点Q 的速度为Q v =st=6×25=125（cm/s ）即当t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP ≌△CQP ．综上所述，当t =2，Q 的速度为每秒2cm 或t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP 与△CQP 全等．5. 解：（1）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t （0<t ≤2.5）1214224ABP S AB BP t t∆=⋅=⨯⨯=∴②当P 在CD 上时，（2.5<t ≤4.5）12145210ABP S AB BC∆=⋅=⨯⨯=∴ ③当P 在AD 上时，由题意得AP =14-2t （4.5<t <7）12141422284ABP S AB APt t ∆=⋅=⨯⨯=∴--（）（2）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t要使△DCP ≌△DCE ，则需CP =CE ∵CE =2 ∴5-2t =2，t =1.5即当t =1.5时，△DCP ≌△DCE②当P 在CD 上时，不存在t 使△DCP 和△DCE 全等 ③当P 在AD 上时，由题意得BC +CD +DP =2t ∵BC =5，CD =4， ∴DP =2t -9要使△DCP ≌△CDE ，则需DP =CE 即2t -9=2，t =5.5即当t =5.5时，△DCP ≌△CDE ．综上所述，当t =1.5或t =5.5时，△DCP 和△DCE 全等．6. 解：（1）①当Q 在CD 上时，如图，由题意得CQ =2t ，BP=t ∴CP=5-t （0<t ≤1.5）2121(5)22 5CPQ S CP CQt t t t ∆=⋅=-⋅=-∴11 ②当Q 在DA 上时，（1.5<t ≤4）121(5)327.5 1.5CPQ S CP CDt t∆=⋅=⨯=∴--③当Q 在AB 上时，由题意得BQ =11-2t （4<t <5） 2121(5)(112)2215522CPQ S CP BQt t t t ∆=⋅=-⨯-=-+∴（2）①当Q 在CD 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 ②当Q 在AD 上时，如图，由题意得DQ =2t -3要使△ABP ≌△CDQ ，则需BP =DQ∵DQ =2t -3，BP =t∴t =2t -3，t =3即当t =3时，△ABP ≌△CDQ ．③当Q 在AB 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等综上所述，当t =3时，△ABP 和△CDQ 全等．。

初一数学动点问题答案与解析

动点问题答案与解析一、单点移动问题1.【解答】（1）-21（2）14.5秒（3）37-2t（4）BC：2t-29当A在C的左边：AC：52-2t当A在C的右边：AC：2t-522.【解答】解：（1）点P表示的有理数为﹣4+2×2=0；（2）6﹣（﹣4）=10，10÷2=5，5÷2=2.5，（10+5）÷2=7.5．故点P是AB的中点时t=2.5 或7.5；（3）在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离为2t；（4）在点P由点B到点A的返回过程中，点P表示的有理数是6﹣2（t﹣5）=16﹣2t．3.【解答】解：（1）①点P在点B的左边时∵PB=2，4﹣2=2，∴点P表示的是2．②点P在点B的右边时，∵PB=2，4+2=6，∴点P表示的是6．综上，可得点P表示的是2或6；（2）∵4﹣（﹣2）=6，∴线段AB的长度是6．①AP=AB=2时，点P表示的是﹣2+2=0．②BP=AB=2时，点P表示的是4﹣2=2．综上，可得点P表示的是0或2；（3）①点P在点B的左边时，∵AP=6﹣2=4，4÷2=2，∴线段AM的长是2．②点P在点B的右边时，∵AP=6+2=8，8÷2=4，∴线段AM的长是4．综上，可得线段AM的长是2或4．（4）根据图示，可得当点P在A、B两点之间时，PA+PB的值最小，此时，PA+PB=AB=6，所以PA+PB 的最小值是6．二、两点移动问题4.【解答】解：（1）①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，∴点B表示的数是8﹣12=﹣4，∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P表示的数是8﹣3×1=5．②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，∵AP+BQ=AB﹣3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15解得：x=3．∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．（2）2MN+PQ=12或2MN﹣PQ=12；理由如下：P在Q右侧时有：MN=MQ+NP﹣PQ=AQ+BP﹣PQ=（AQ+BP﹣PQ）﹣PQ= AB﹣PQ=（12﹣PQ），即2MN+PQ=12．同理P在Q左侧时有：2MN﹣PQ=12．5.【解答】解：（1）点B表示的数是﹣4；（2）﹣4+2×2=﹣4+4=0．故2秒后点B表示的数是0，（3）由题意可知：①O为BA的中点，（﹣4+2t）+（2+2t）=0，解得t=；②B为OA的中点，2+2t=2（﹣4+2t），解得t=5．故答案为：﹣4；0．6.【解答】解：（1）设A点运动速度为x单位长度/秒，则B点运动速度为4x单位长度/秒．由题意得：3x+3×4x=15解得：x=1∴A点的运动速度是1单位长度/秒，B点的速度是4单位长度/秒；（2）设y秒后，原点恰好处在A、B的正中间．由题意得：y+3=12﹣4y解得：答：经过秒后，原点恰处在A、B的正中间；（3）设B追上A需时间z秒，则：4×z﹣1×z=2×（+3）解得：，=64．答：C点行驶的路程是64长度单位．7.【解答】解：（1）∵1﹣（﹣1）=2，2的绝对值是2，1﹣3=﹣2，﹣2的绝对值是2，∴点P对应的数是1．（2）当P在AB之间，PA+PB=4（不可能有）当P在A的左侧，PA+PB=﹣1﹣x+3﹣x=6，得x=﹣2当P在B的右侧，PA+PB=x﹣（﹣1）+x﹣3=6，得x=4故点P对应的数为﹣2或4；（3）解：设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：2x=4+x，解得x=4．∴6x=24．答：点P所经过的总路程是24个单位长度．8.【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，∴OA=6，则OB=AB﹣OA=4，点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为﹣4；点P运动t秒的长度为6t，∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴P所表示的数为：6﹣6t；（2）①点P运动t秒时追上点R，根据题意得6t=10+4t，解得t=5，答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，当P不超过Q，则10+4a﹣6a=8，解得a=1；当P超过Q，则10+4a+8=6a，解得a=9；答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．9.【解答】解：（1）①当P在线段AB上时，由PA=2PB及AB=60，可求得PA=40，OP=60，故点P运动时间为60秒．若AQ=时，BQ=40，CQ=50，点Q的运动速度为50÷60=（cm/s）；若BQ=时，BQ=20，CQ=30，点Q的运动速度为30÷60=（cm/s）．②点P在线段AB延长线上时，由PA=2PB及AB=60，可求得PA=120，OP=140，故点P运动时间为140秒．若AQ=时，BQ=40，CQ=50，点Q的运动速度为50÷140=（cm/s）；若BQ=时，BQ=20，CQ=30，点Q的运动速度为30÷140=（cm/s）．（2）设运动时间为t秒，则t+3t=90±70，t=5或40，∵点Q运动到O点时停止运动，∴点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQ=OP=30cm，之后点P继续运动40秒，则PQ=OP=70cm，此时t=70秒，故经过5秒或70秒两点相距70cm；（3）如图1，设OP=xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB﹣AP=80﹣（x﹣20）=100﹣x，EF=OF﹣OE=（OA+AB）﹣OE=（20+30）﹣=50﹣，∴==2．如图2，设OP=xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB﹣AP=80﹣（x﹣20）=100﹣x，EF=OF﹣OE=（OA+AB）﹣OE=（20+30）﹣=50﹣，∴==2．三、多点移动问题10.【解答】解：（1）A表示的数是﹣6，点A先沿着数轴向右移动8个单位长度，再向左移动5个单位长度后所对应的数字是：﹣6+8﹣5=﹣3，故答案为：﹣3；（2）∵A，B对应的数分别为﹣6，2，点C到点A，点B的距离相等，∴AB=8，x的值是﹣2．故答案为：﹣2；（3）根据题意得：|x﹣（﹣6）|+|x﹣2|=10，解得：x=﹣7或3；故答案为：﹣7或3；（4）当点A、B重合时，﹣6+4t=2﹣2t，解得t=；当点C为A、B中点且点C在点A的右侧时，﹣t﹣（﹣6+4t）=（2﹣2t）﹣（﹣t），解得t=1；当点C为A、B中点且点C在点A的左侧时，（﹣6﹣4t）﹣（﹣t）=（﹣t）﹣（2﹣2t）m解得t=1（舍去）．综上所述，当t=或1，点C到点A、B 的距离相等．11.【解答】解：（1）设B点的运动速度为x，A、B两点同时出发相向而行，则他们的时间相等，有：=，解得x=1，所以B点的运动速度为1；（2）设经过时间为t．则B在A的前方，B点经过的路程﹣A点经过的路程=6，则2t﹣t=6，解得t=6．A在B的前方，A点经过的路程﹣B点经过的路程=6，则2t﹣t=12+6，解得t=18．（3）设点C的速度为y，始终有CB：CA=1：2，即：=，解得y=，当C停留在﹣10处，所用时间为：=秒，B的位置为=﹣．12.【解答】解：（1）∵BC=300，AB=，所以AC=600，C点对应200，∴A点对应的数为：200﹣600=﹣400；（2）设x秒时，Q在R右边时，恰好满足MR=4RN，∴MR=（10+2）×，RN=[600﹣（5+2）x]，∴MR=4RN，∴（10+2）×=4×[600﹣（5+2）x]，解得：x=60；∴60秒时恰好满足MR=4RN；（3）QC﹣AM的值不发生变化．理由如下：设经过的时间为y，则PE=10y，QD=5y，于是PQ点为[0﹣（﹣800）]+10y﹣5y=800+5y，一半则是，所以AM点为：+5y﹣400=y，又QC=200+5y，所以﹣AM=﹣y=300为定值．四、线段移动问题13.【解答】解：（1）由题意得：11﹣（b+3）=b，解得：b=4．答：线段AC=OB，此时b的值是4．（2）由题意得：①11﹣（b+3）﹣b=（11﹣b），解得：b=．②11﹣（b+3）+b=（11﹣b），解得：b=﹣5．答：若AC﹣0B=AB，满足条件的b值是或﹣5．14.【解答】解：（1）∵点A、M、N对应的数字分别为﹣1、0、2，线段MN沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒，∴移动后M表示的数为t，N表示的数为t+2，∴AM=t﹣（﹣1）=t+1．故答案为：t+1．（2）由（1）可知：BN=|11﹣（t+2）|=|9﹣t|，∵AM+BN=11，∴t+1+|9﹣t|=11，解得：t=．故答案为：．（3）假设能相等，则点A表示的数为2t﹣1，M表示的数为t，N表示的数为t+2，B表示的数为11﹣t，∴AM=|2t﹣1﹣t|=|t﹣1|，BN=|t+2﹣（11﹣t）|=|2t﹣9|，∵AM=BN，∴|t﹣1|=|2t﹣9|，解得：t1=，t2=8．故在运动的过程中AM和BN能相等，此时运动的时间为秒和8秒．15.【解答】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是20﹣5=15，则此木棒长为：15÷3=5，故答案为：5．（2）如图，点A表示美羊羊现在的年龄，点B表示村长爷爷现在的年龄，木棒MN的两端分别落在点A、B．由题意可知，当点N移动到点A时，点M所对应的数为﹣40，当点M移动到点B时，点N所对应的数为116．可求MN=52．所以点A所对应的数为12，点B所对应的数为64．即美羊羊今年12岁，村长爷爷今年64岁．五、图形动点问题16.【解答】【考点】8A：一元一次方程的应用．【专题】25 ：动点型；2A ：规律型．【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，设出正方形的边长，乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，甲行的路程为2a×=，乙行的路程为2a×=，在AB边相遇；②第二次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在CB边相遇；③第三次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在DC边相遇；④第四次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在AB边相遇；⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a×=a，乙行的路程为4a×=3a，在AD边相遇；…因为2008=502×4，所以它们第2008次相遇在边AB上．故答案为：AB．【点评】本题主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．。

动点问题(讲义及答案)

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