非退化二次曲面的几何定义

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非退化二次曲线的另一分类法及其性质

非退化二次曲线的另一分类法及其性质福建师范大学数学与计算机学院吴健文我们知道平面上二次曲线的方程可写为:221112222a x a xy a y ++132333220a x a y a +++=.我们常用的分类方法是将它们经过平移、旋转,化为标准方程:2211223311220(0)b x b y b b b ++=≠或22213221320(0)b y b x b b +=≠或22233220(0)b y b b +=≠.从而,得出,共有九类形式:椭圆、虚椭圆、点椭圆、双曲线、两条相交曲线、抛物线、两条平行直线、两条虚平行直线、两条重合直线.其中,我们称椭圆、双曲、抛物线为非退化的实二次曲线.现在,本文用另一种分类方法,研究这三种曲线的性质.首先,我们定义曲线的相等:定义1若两条曲线经过平移、旋转、反射后重合,则称这两条曲线相等.因此,我们只要研究在同一坐标系中的具有标准方程的这三类曲线.其中:椭圆研究22221(0)x y a b a b +=>>;双曲线研究22221(,0)x y a b a b =>;抛物线研究22(0)y px p =>.我们有对这三类曲线的统一定义,为:到一定点的距离与到一定直线的距离之比等于定值的点的轨迹.其中:定点称为焦点,定直线称为准线,其比值称为离心率.当离心率大于1时为双曲线,等于1时为抛物线,小于1时为椭圆.可以看出在上述定义1之下,确定曲线的形状有两个要素:焦点到准线的距离(设为p)与离心率(设为e).本文从这两个要素入手将这三种曲线进行分类.先引进两条曲线“相似”的定义.定义2如图所示:对于曲线2C 、1C ,若存在一个点P,使过P 的任两条射线与这两条曲线分别交于1A 、2A ;1B 、2B ,(若有交点),且满足1122PA PB PA PB ==一个常数,则称这两条曲线相似.显然,“相似”是一个等价关系.现在固定离心率0e e =,变动焦点到准线的距离p,我们有:定理1对应于离心率0e e =,非退化实二次曲线是一族相似的曲线.证明分三种情形讨论.(1)0(0,1),e ∈此时曲线为椭圆.任取两个椭圆,设其方程为:i C :22221(1,2)i i x y i a b +==如图:其中1C 、2C ,为这两个椭圆的焦点.由椭圆的性质知:011cos e BC O=∠22cos B C O =∠cos α记作,从而α=常数.因此△11B C O ∽△22B C O 11112222OB OA b a m OB OA b a ==记作,(1)过O 任作一射线kx y =交这两个椭圆于1M 、2M ,1A 2A 1B 2B P1B x y O2B 1M 2M α2C 1C 2A 1A 24则12222211222222221122,.MM a b a b x x b a k b a k =±=±++利用公式(1)可得:12M Mx m x =,即12111222M M x OM b a m OM x b a ====由射线的任意性,根据定义2,这两个椭圆相似.(2)01,e >此时曲线为双曲线.与(1)类似地可得:任意两条双曲线是相似的.(证略)(3)01e =,此时曲线为抛物线.任给两条抛物线Γ1,Γ2,如图:让它们的对称轴、焦点分别重合,C 是它们的公共焦点,x 轴为它们的对称轴.设它们的焦点到准线的距离分别为12,p p ;1l ,2l 为它们的准线,过C任作一射线,交这两条抛物线于1M 、2M ,过这两个焦点作各自准线的垂线,垂足为1A 、2A ,由抛物线的性质知,111222,AM M C A M M C ==111222M C AMM C A M =.设对称轴与射线的交角为α,则1111cos AM p M C α=+111cos p M C α=.同理,21122221cos p M C p M C M C p α==,由定义2知,这两条抛物线相似.推论2任两条抛物线相似.定理3按离心率分类,每一类非退化二次曲线都是一族相似的曲线.酒杯中的解析几何问题福鼎一中数学组黄世钱酒杯是我们日常生活中的常见物品.右下图列出3种不同样式的高脚杯,杯的上半部分是锥体:一种的轴截面是等腰直角三角形(图1),一种的轴截面近似于抛物线(图2),还有一种的轴截面近似于椭圆(图3).生活情景1将一些大小不一的玻璃小球放入不同的3个酒杯中,发现所有的小球都无法触及直角酒杯的底部,能放入椭圆酒杯的小球均可触及底部,而有一些小球可以触及抛物线酒杯,但也有一些小球无法触及抛物线酒杯底部.那么,对于一个固定大小的酒杯,如何确定小球的半径大小,使其一定可以触及酒杯的底部?作为研究性学习的内容之一,本文在此做一点探讨,供大家参考.情景数学化研究抛物线、椭圆和圆的位置关系.数学模型1-1设抛物线酒杯的杯口宽为4cm,杯深8cm,玻璃球的半径为r ,研究r 在什么范围取值时,玻璃球一定可触及杯底?数学问题解决如图,以杯底中心为原点,建立直角坐标系,设抛物线方程为22x py =(p >0),将2,8x y ==代入,解得14p =,故抛物线的方程为21x y =.y x1M 2M α2l 2A 1A 1l 522。

二次曲线的定义

a13 a23 a33 u3
u1 u2 u3 0
展开, 得 T Aijuiu j 0. 且Aij Aji ,| Aij || aij |2 0.
注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法。
推论4 若 bij = αAij ( α ≠ 0 )，则 S ≡∑aijxixj= 0 与 T ≡∑bijuiuj = 0 表示同一条二次曲线。
AB(B, E, D, A) AB(D, A, B, E).
由二级曲线的射影定义，这两个射影点列的对应点连线以及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线，这六条直线恰好是已知两个三点形的六条边。结论成立。
注：本题的逆命题成立。
二次曲线的射影定义
六、二阶曲线与二级曲线的统一
定理3(Maclaurin) 一条非
定义3 在射影平面上，称两个射影线束对应直线交点的集合为一条二阶曲线。
定义3′ 在射影平面上，称两个射影点列对应点连线的集合为一条二级曲线。
思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的。
提示：考虑透视对应、射影变换的情况。
二次曲线的射影定义
例1 求由两个射影线束 x1 – λx3 = 0, x2 – μx3 = 0 ( λ + μ = 1) 生成的二阶曲线方程。
二次曲线的射影定义
注1. S, T 均为高等代数中的实三元二次型。从代数上看，S = 0和T = 0 为相同的代数对象；从几何上看，它们是同一几何对象的不同描述，因此统称为二次曲线。
注2. 在需要时，S = 0和T = 0 均可写为矩阵格式：
a11 a12 a13 x1
S
( x1 ,
x2 ,
推论1′ 平面上五直线(其中无三线共点)唯一确定一条非退化二级曲线。

二次曲面公式总结

二次曲面公式总结在数学中，二次曲面是指由二次多项式方程描述的曲面。

它们具有广泛的应用领域，包括几何、物理学和工程学等。

本文将从圆锥曲线、圆柱曲面和二次曲面三个方面来总结二次曲面的公式和特点。

圆锥曲线圆锥曲线是由一个圆锥和一个平面相交得到的曲线。

当平面垂直于圆锥对称轴时，圆锥曲线成为圆。

当平面与圆锥对称轴的夹角小于圆锥侧面的开口角时，圆锥曲线成为椭圆。

当平面与圆锥对称轴的夹角等于圆锥侧面的开口角时，圆锥曲线成为双曲线。

当平面与圆锥对称轴的夹角大于圆锥侧面的开口角时，圆锥曲线成为抛物线。

圆柱曲面圆柱曲面是由一个圆柱和一个平面相交得到的曲面。

当平面与圆柱轴线平行时，圆柱曲面为一条直线。

当平面的截面是一个圆时，圆柱曲面成为一个圆柱体。

当平面和圆柱的轴线夹角不为90度时，圆柱曲面成为一个椭圆柱。

当平面和圆柱的轴线垂直时，圆柱曲面成为一个抛物面或双曲面。

二次曲面二次曲面是由一个具有二次项的多项式方程描述的曲面。

它们被广泛地应用于数学、物理学、工程学等领域。

二次曲面可以分为二维和三维曲面。

在二维情况下，二次曲线的方程为:ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中，a,b,c,d,e和f是实数或复数。

当b^2 – 4ac > 0时，二次曲线成为椭圆。

当b^2 – 4ac = 0时，二次曲线成为一条抛物线。

当b^2 – 4ac < 0时，二次曲线成为双曲线。

在三维情况下，二次曲面的方程为:ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0其中，a,b,c,d,e,f,g,h,i和j是实数或复数。

当方程为一个二次椭球面时，它们的系数可以被正交矩阵矩阵化为标准形式:αx^2 + βy^2 + γz^2 = 1其中，α,β和γ是正实数，代表了椭球面的三个半轴的长度。

椭球面可以是椭球体、椭圆抛物面或双曲面。

总结三类曲面的公式和性质是二次曲面研究的基础，它们在数学和应用领域中有着广泛的应用。

2二次曲面分类简介

或
x cos1 cos 1 cos1 x y cos2 cos 2 cos 2 y
z cos3 cos 3 cos 3 z
空间直角坐标变换
一般的空间直角坐标 (点) 变换公式:
x y
x cos1 x cos2
y cos 1 z cos y cos 2 z cos
1
d1 2 d2
z x cos3 y cos 3 z cos 3 d3
或
x cos1 cos 1 cos1 x d1 y cos2 cos 2 cos 2 y d2 ,
z cos3 cos 3 cos 3 z d3
空间直角坐标变换
空间一般坐标变换公式, 还可以由新坐标系的三个坐标面来确定.
x2 y2 a2 b2 1;
x2 y2 a2 b2 1;
x2 a2
y2 b2
0;
二次曲面的类型
[12] 双曲柱面: [13] 一对相交平面:
x2 y2 a2 b2 1;
x2 a2
y2 b2
0;
[14] 抛物柱面:
x2 2 py;
[15] 一对平行平面:
x2 a2 , a 0.
[16] 一对平行平面:
a13 a23 a33 z
x
x
y
z
A0
y
z
用不变量判断二次曲面类型
记 F1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z + b1
F2(x, y, z) = a12x + a22y + a23z + b2
F3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z + b3

(完整版)7-6旋转曲面和二次曲面解析

观察柱面的形成过程:
三、柱面
定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.
观察柱面的形成过程:
三、柱面
定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.
观察柱面的形成过程:
三、柱面
定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.
观察柱面的形成过程:
三、柱面
定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.
f (x, y,0) 0
将将yx轴方x1向, y的长ba度y伸1a代缩回ba原倍方,程得,得y1,即y1
b a
y,
f (x1, b y1, 0) 0
即得伸缩变形后的曲线方程.
即:y轴方向的长度伸缩
b a
倍,则用 a b
y 代替原方程中的y
如将y轴方向的长度伸缩 b 倍,则
a
直线y=x,变形为
a yx ybx
观察柱面的形成过程:
三、柱面
定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.
观察柱面的形成过程:
三、柱面
定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.

高等代数非退化-概述说明以及解释

高等代数非退化-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在现代数学中，高等代数是一门重要而且广泛应用于各个领域的学科。

它作为数学的一支重要分支，研究的对象是各种各样的代数结构，如群、环、域等。

高等代数旨在研究和探讨这些代数结构的性质、规律和应用。

高等代数的非退化性是指在代数结构中不存在空穴、空洞和无效的元素。

换句话说，它要求代数结构中的每个元素都具有一定的意义和作用，不会出现无效的情况。

这种非退化性在高等代数的研究和应用中非常重要，它为我们提供了一个坚实的基础，使得我们能够更好地理解代数结构的本质和特征。

高等代数的非退化性不仅仅局限于理论研究，它还在许多实际问题的建模和解决过程中发挥着重要的作用。

无论是在物理学、计算机科学、工程学还是经济学等领域，高等代数的非退化性都具有重要的应用价值。

通过对代数结构的研究和分析，我们能够更好地理解和描述各种复杂的现实问题，从而为问题的解决提供有效的方法和策略。

本文将以高等代数的非退化性为主题，探讨其重要性和应用。

首先，我们将介绍高等代数的基本概念和背景知识，包括群、环、域等代数结构的定义和性质。

然后，我们将重点讨论高等代数的非退化性在理论研究和实际应用中的意义和作用。

最后，我们将对高等代数的非退化性进行总结，并展望其未来的发展方向和应用领域。

通过本文的阅读，读者将能够更好地理解高等代数的非退化性的概念和意义，以及它在数学和实际问题中的重要作用。

同时，本文也将为读者提供一些启示和思考，帮助他们更好地理解和应用高等代数的非退化性原理，从而为问题的解决和创新提供有力的支持。

1.2文章结构文章结构的设计是为了让读者更好地理解和掌握高等代数非退化的相关内容。

本文的结构分为引言、正文和结论部分。

下面是对每个部分的详细介绍：1. 引言部分（Introduction）引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个小节。

1.1 概述（Overview）在概述部分，我们将简要介绍高等代数非退化的研究背景和意义，概括高等代数非退化的基本概念和作用，为读者建立起对该领域的初步认识。

第八节二次曲面

(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到)
5 柱面
x2 y 2 椭圆柱面 2 2 1 母线平行于 z 轴 a b
双曲柱面
抛物柱面
x y 2 1 2 a b
2
2
母线平行于 z 轴
母线平行于 z 轴
x ay
2
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面三元方程 F ( x , y , z ) 0
第八节二次曲面
一、椭球面
二、抛物面
三、双曲面
第八章
二次曲面
•
空间直角坐标系中的空间曲面用方程F(x,y,z)=0表示. 若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是一次(或某些项为零)
的，则表示的曲面为平面，也称平面为一次曲面.
即：三元一次方程 A x +B y + C z +D = 0 所表示的平面
z
x 2 y2 2 z 2 a b
x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
当z=h>0时，截线是双曲线
当z=h=0时，截线是xoy平面上的两条相交于原点的直线;
当z=h<0时，截线是双曲线，但实轴平行于x轴，虚轴平行于y轴. 当x=h=0时，截线是yOz平面上的顶点为原点的抛物线当y=h=0时，截线是xOz平面上的顶点为原点的抛物线，且开口向下.
2 2 2
x y z 1, 2 2 a b
2
2
2
椭球面也可由下面方法伸缩变形而来（1）将球面
x y z a
2 2 2
2
c a 沿 z 轴方向伸缩倍： z z, 得旋转椭球面： a c 2 2 2 2 a x y z x2 y 2 2 z 2 a2 , 或 2 1 2 c a c a b y y, （2）再将旋转椭球面沿 y 轴方向伸缩倍： b a

第四节二次曲面

O y
x
相交的直线旋转一周，例直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面两直线的交点叫圆锥面的顶点圆锥面．顶点，曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的
| MO | 1 = , 根据题意有 | MM | 2
0
即
1 x + y +z = , ( x − 2) + ( y − 3) + (z − 4) 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x 2 ( y 1) z 4 116 . 所求方程为 + + + + + = 3 9 3
注意1：不是每一个三元方程都表示空间曲面。
如坐标满足方程 x 2 + y 2 + z 2 + 1 = 0 的点是不存在的，故它不表示任何曲面图形。再如，方程 x 2 + y 2 + z 2 = 0 仅表示一个点（0，0，0），方程
x2 + y 2 = 0
仅表示两个平面 x = 0, y = 0
的交线（z轴），它们
f ( y1 , z1 ) = 0
得方程
f (±
x + y , z = 0,
2 2
)
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 y 同理：同理：
轴旋转一周的旋转曲面方程为轴旋转一周的旋转曲面方程为旋转曲面方程
z
z y
z
O
O x y
O

二次曲面的一般理论

第六章二次曲面的一般理论教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念二次曲面: 在空间,由三元二次方程022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1）所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号≡),,(z y x F 44342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φz a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φz a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44342414343323132423221214131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。

二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释

二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：二次曲线和二次曲面是解析几何学中重要的研究对象，它们具有许多美妙的几何性质。

在本文中，我们将讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面等。

通过对这些曲线和曲面的特点和性质进行深入的研究，我们可以更好地理解它们在几何学中的应用和意义。

本文将分析这些曲线和曲面的方程、图像和几何特征，帮助读者全面了解它们的分类和区分。

希望本文能够对二次曲线和二次曲面的研究有所启发，并为相关领域的学习和研究提供参考和帮助。

文章结构部分内容如下:1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，将概述二次曲线和二次曲面的概念，说明文章结构和目的。

在正文部分，将详细讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线以及椭球面、抛物面、双曲面的形态和特点。

最后在结论部分，对文章进行总结，并探讨二次曲线和二次曲面在实际应用中的意义，展望未来可能的发展方向。

整个文章结构严谨有序，逻辑清晰，旨在帮助读者更深入地了解二次曲线和二次曲面的分类和特性。

文章1.3 目的：本文旨在对二次曲线和二次曲面进行分类和介绍，帮助读者更好地理解和区分不同类型的二次曲线和曲面。

通过本文的阐述，读者将了解椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面的定义、性质和特点。

同时，本文也旨在展示二次曲线和曲面在数学、物理和工程等领域的应用，以及未来对其研究的展望。

通过本文的阅读，读者将深入了解二次曲线和曲面的重要性和应用价值。

": {}}}}请编写文章1.3 目的部分的内容2.正文2.1 二次曲线的分类二次曲线是一个二次方程所描述的平面曲线。

在代数几何学中，二次曲线可以分为三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。

这些曲线在平面上具有不同的几何性质和形态。

2.1.1 椭圆椭圆是一个闭合的曲线，其定义为所有到两个定点的距离之和等于一个常数的点的集合。

《I二次曲面介绍》课件

二次曲面的切线和法平面
1
切线
切线方程式是确定点切线方向的关键工具，可以帮助我们理解二次曲面的基本特征。
2
法平面
法平面相切于曲面上的点，并垂直于该点的切线，是描述曲面矢量值和方向的基本方法。
3
应用
对于计算两个表面之间的夹角和反射光线，有着应用上的力量，也是了解曲面空间特征的重要手段。
二次曲面的焦点和准线
《二次曲面介绍》PPT课件
欢迎来到《二次曲面介绍》课程！二次曲面是数学中一个重要的概念，也具有广泛应用。在此课程中，我们将深入了解二次曲面的分类、性质、公式和应用，希望你享受这次学习！
什么是二次曲面？
定义
由二元二次方程$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$所确定的曲面称为一般二次曲面。
工程领域
2
对于数学知识结构的完备和优化起着重要的推进作用。
在多种物理和工程应用中，二次曲面有
着广泛的实际用途。谷歌、苹果等大型IT
公司也在开发利用二次曲面技术的产品。
3
学术研究
二次曲面仍然是数学与物理学研究领域的重要研究对象，对未来科学教育的贡献巨大。
二次曲面的实践应用案例分析
医学成像
二次曲面在体绘制和定义了新的医学成像方法。它可以为医师提供三维数据，从而进行更高质量的检查和诊断。
二次曲面的思考与总结
1 对数学的重要性
了解二次曲面的形式，有助于人们理解和应用数学知识，可以使数学这一抽象的学科更加形象化、通透化。
2 对科学的启示
二次曲面的理论和应用研究有助于开拓科学领域的新思路，推动科学的不断发展和进步。
3 对未来的期许

二次曲面

x2 a2
y2 a2
z2
x2 y2 a2 z2 圆锥面
二、小结椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
思考题
方程
x2 4y2 z2
25
表示怎样的曲线？
x 3
思考题解答
x2 4y2 z2 x 3
25
4 y2 z2 x 3
16 .
表示平面 x = -3上的一条双曲线.
(2)
a b c,
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
（二）抛物面
1. 椭圆抛物面
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
用截痕法讨论：设 p 0, q 0 （1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
截得抛物线
x2
2
pz
y 0
x2 y2 z （ p 与 q 同号）
2 p 2q
与平面 y y1 的交线为抛物线.
x
2
2
p
z
y12 2q
y y1
它的轴平行于z 轴
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
（3）用坐标面 yoz ( x 0)，x x1与曲面相截
均可得抛物线.
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
z 0
z
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
o
y
x2 a2

二次曲面分类简介

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空间直角坐标变换
若取1 为yOz面, 2 为xOz面, 3 为xOy面,
则原系到新系旳坐标变换公式为:
x
A1x
B1 y C1z D1 A12 B12 C12
y
A2 x
B2 y C2 z D2 A22 B22 C22
,
z
A3 x
B3 y C3z D3 A32 B32 C32
(一) 椭球面 [1] 椭球面: [2] 点:
[3] 虚椭球面:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1;
x2 y2 z2 a2 b2 c2 0;
x2 y2 z2 1;
a2 b2 c2
上页下页结束
二次曲面旳类型
(二) 双曲面 [4] 单叶双曲面:
[5] 双叶双曲面: (三) 二次锥面 [6] 二次锥面: (四) 抛物面
其中a11, a22, a33, a12, a13, a23不全为零.
()
记 F(x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy
+ 2a13xz + 2a23yz + 2b1x + 2b2y + 2b3z + c
上页下页结束
用不变量判断二次曲面类型
则
a11 a`12 a13 b1 x
上页下页结束
空间直角坐标变换
点旳坐标变换公式:
x y
c11x c21x
c12 y c22 y
c13z d1 c23z d2
,
z c31x c32 y c33z d3
x c11 c12 c13 x d1 y c21 c22 c23 y d2 . z c31 c32 c33 z d3

微积分课件第4节二次曲面

第四节二次曲面
思考题1解答
4 y 2 z 2 16 x 4 y z 25 . x 3 x 3
2 2 2
表示双曲线.
练习题
一、填空题： 1. 与 z 轴和点 A(1 , 3 ,1) 等距离的点的轨迹方程是 _____________； 2. 以点 O(2 ,2 , 1)为球心，且通过坐标原点的球面方程是_______________； 3. 球面： x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 7 0 的球心是点 ___________，半径 R __________； 4. 方程 x 2 在平面解析几何中表示___________，在空间解析几何中表示___________________； 5. 方程 x 2 y 2 4 在平面解析几何中表示 _______________ ，在空间解析几何中表示 _______________.
同理与平面 x x1 和y y1 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
x2 y2 z2 2 2 1 椭球面 2 a b c
x y z 2.椭球面 (Ellipsoid) 2 2 2 1 a b c
椭球面的几种特殊情况：
2
2
2
x2 y2 z2 (1) a b, 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c 2 2 x z 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转而成． a c 2 2 2 x y z 方程可写为 2 1 2 a c
5.椭圆抛物面
第四节二次曲面
6.双曲抛物面（马鞍面）
(hyperbolic paraboloid)

线性代数与解析几何——二次型与二次曲面

x2
c21 y1
c22
y2
xn cn1 y1 cm2 y2
简记为 x = C y ，
c1n yn , c2n yn ,
于是
f = xTAx = (C y)T A (C y)
cnn yn .
= yT (CTAC) y
使二次型只含平方项，即
f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2
如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值,
即
f = k1 y12 + … + kp yp2 − kp+1 yp+12 − … − kr yr2
则上式称为二次型的规范形．
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ，
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2
n
aij xi x j i, j1
ann xn2
f ( x1, x2 ,
, xn ) ax111(xa1211x1a12 ax12xx22 aa1n1nxx1nx)n ax221(xa22x1 x1 1aa222x2 x22 2 aa2n2xn x2 xn )n
2(z1 z3 )2 2(z2 2z3 )2 6z32 ,
将线性变换代入上式得到
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
f ( x1, x2 , x3 ) 2 y12 2 y22 6 y32 .
将上面的两个线性变换复合起来:
x1 x2
z1 z1
z2 z2
,

浅谈二次曲面的几何定义

毕业论文题目浅谈二次曲面的几何定义学生姓名晁贝学号********** 所在院(系）数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业2011级数教1班指导教师洪洁完成地点陕西理工学院2015年5月20日浅谈二次曲面的几何定义晁贝（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数教1班，陕西汉中 723000）指导教师：洪洁［摘要]在解析几何教材中,椭球面,抛物面，双曲面通常都是以方程的形式给出，本文将主要通过几何的方法分别对这几种特殊的非退化二次曲面进行研究，通过对它们各自的运动轨迹来分别验证代数式定义与几何定义是等价的.[关键词］椭球面;双曲面; 抛物面；轨迹；几何定义1 引言我们所学习的二次曲面在生活很多的领域得以应用,在自由曲面中的类自然二次曲面作为机械工程中出现较多的曲面类型，越来越受到研究者的关注.诸如汽车车门的类圆柱面、汽车保险杠拐角处的类圆锥面和导弹弹头的类球面等[1].本文将采用几何的方法分别对椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面这五种非退化二次曲面进行研究,希望对于初学空间解析几何者具有一定的参考价值。

2 二次曲面的几何定义2.1 椭球面定义 2.1。

1［2］在直角坐标系下,由方程1222222=++cz b y a x 所表示的曲面叫椭球面，或称椭圆面，该方程叫做椭球面的标准方程,其中,,a b c 为任意的正常数，通常假定c b a ≥≥.定义 2。

1。

2[3］椭球面可以看成是动椭圆的运动轨迹,动椭圆变动时满足下列条件：首先变动过程中所在平面与xOy 面平行.其次两轴的端点分别在两定椭圆上滑动.我们分别用坐标面0,,0z x o y ===分别截割椭球面,所得的截口都是椭圆,所得的方程分别是22221,0;x y a b z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩(1）22221,0;y z b c x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ （2）22221,0,x z a c y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩（3）则椭圆（1），（2）,（3）叫做椭球面的主截线。

5.1二次曲线的几何性质

2 2
这时式（5.1）可以表示为矩阵形式：
F x, y ( X
T
A ,1) T B
B X 0. a33 1
（5.2）
众所周知，以 v ( X , Y ) 为方向向量且过点 ( x 0 , y 0 ) 的直线的参数方程为：
x x0 X t , y y0 Yt.
（5.6）
证明我们给出必要性的证明. 充分性的证明留给读者.
设 C ( x , y ) 是二次曲线（5.1）的中心. 取该二次曲线的任 v ( X , Y ) ，过点C且以 v 为方向的直线与二一非渐近方向次曲线（5.1）交于 M ( x , y ), M ( x , y ) 两点. 由二次曲线中心的定义可知道C是M1M2的中点. M1M2的参数方程是（5.3）式.
根据定理5.1.1，按二次曲线的中心可以把二次曲线分类：
定义5.1.5 通过二次曲线的中心，以渐近方向为方向的直线称为此二次曲线的渐近线。显然，中心曲线有两条渐近线（实的或虚的），无心曲线无渐近线，线心曲线有一条渐近线，就是它的中心直线。
定理5.1.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上，称为二次曲线的组成部分。
与是非渐近方向矛盾. 所以（5.8）是一条直线方程。
V
定义5.1.7 二次曲线的平行弦中点轨迹称为共轭于平行弦方向的直径. 由定理5.4.1的证明可知，共轭于平行弦方向的直径的方程是（5.8）. 可以证明，中心二次曲线的直径必过中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，就是曲线的中心直线.
0 0
1 1 1 2 2 2