学大精品讲义六上数学(含答案)第九讲 牛吃草问题

一、知识梳理

英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．

“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．

解“牛吃草”问题的主要依据：

① 草的每天生长量不变；

② 每头牛每天的食草量不变；

③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值

④ 新生的草量=每天生长量⨯天数．

二、方法归纳

同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：

⑴设定 1 头牛 1 天吃草量为“1”；

⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数) ÷(较多天数-较少天数)；

⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；

⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；

⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．

“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．

三、课堂精讲

（一）、草匀速增长，不同头数的牛吃同一片次的草：

例1. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10 头牛吃20 天，可供15 头牛吃10 天，那么，供25 头牛吃多少天？

【规律方法】掌握牛吃草问题的解题步骤及解题思路。

【搭配课堂训练题】

【难度分级】 A

1.牧场上有一片牧草，供24 头牛6 周吃完，供18 头牛10 周吃完。假定草的生长速度不变，那么供19 头牛几周吃完？

2.牧场上有一片匀速生长的草地，可供 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周，那么它可供多少头牛吃 18 周？

3. 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27 头牛吃6 周，或供23 头牛吃9 周，那么可供21

头牛吃几周？

例2．一片牧草，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16 头牛吃20 天，或者可供80 只羊吃12 天，如果1 头牛的吃草量等于4 只羊的吃草量，那么10 头牛与60 只羊一起吃可吃多少天？

【规律方法】理解把两种不同动物的吃草量转化为同一种动物的吃草量。

【搭配课堂训练题】

【难度分级】 B

4.一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20 头牛吃12 天，或可供60 只羊

吃24 天。如果1 头牛的吃草量等于4 只羊的吃草量，那么12 头牛与88 只羊一起吃可以

吃几天？

5. 有一片草地，草每天的生产速度相同，若 14 头牛30 天可将草吃完，70 只羊30 天也可

将草吃完（4 只羊1 天的吃草量相当于 1 头牛1 天的吃草量），那么，17 头牛和 20 只羊多少天可将草吃完？

例3．一水库存水量一定，河水均匀入库。5 台抽水机连续20 天可抽干；6 台同样的抽水机连续15 天可抽干。若要求6 天抽干，需要多少台同样的抽水机?

【规律方法】掌握牛吃草问题的变形，会类比牛吃草问题解决问题。

【搭配课堂训练题】

【难度分级】 B

6.一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用 12 人舀水，6 分钟可以舀完。如果只有 5 人舀水，要 20 分钟才能舀完。现在要想 2 分钟舀

完，需要多少人？

7.有一水池,池底有泉水不断涌出。用 10 部抽水机 20 小时可以把水抽干,用 15 部相同的抽水机 10 小时可以把水抽干，那么用 25 部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？

例4．某超市平均每小时有 60 人排队付款，每一个收银台每小时能应付 80 人，某天某时段内，该超市只有一个收银台工作，付款开始 4 小时就没有顾客排队了，如果当时有两个收银台工作，哪么付款开始几小时后就没有人排队了？

【搭配课堂训练题】

【难度分级】 B

8. 画展 9 点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开 3 个入场口，9 点9 分就不再有人排队；如果开 5 个入场口，9 点5 分就没有人排队。求第一个观众到达的时间？

（二）、草匀速减少，不同头数的牛吃同一片次的草

例5．由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天匀速减少。经过计算，牧场上的草可供20 头牛

吃5 天，或者供16 头牛吃6 天，那么这片牧场上的草可供11 头牛吃几天？

【规律方法】掌握草量匀速减少的牛吃草问题的常见解决方法

【搭配课堂训练题】

【难度分级】 B

9. 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。如果牧场上的草可供20 头牛吃5 天，或者供15 头吃6 天，那么可供多少头牛吃10 天？

（三）、草匀速增长，不同头数的牛吃同不同片草地的草

例 6．有三块草地，面积分别是5 公顷，15 公顷和24 公顷。草地上的草一样厚而且长得一样快。第一块草地可供10 头牛吃30 天；第二块草地可供28 头牛吃45 天。那么第三块草地可供多少头牛吃80 天？

【规律方法】掌握草匀速增长，不同头数的牛吃同不同片草地的草的题型的解决方法。

【搭配课堂训练题】

【难度分级】 C

10. 12 头牛28 天可以吃完 10 公亩牧场上全部牧草，21 头牛63 天可以吃完 30 公亩牧场上全部牧草。多少头牛 126 天可以吃完 72 公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？

11. 牧场有三块草地,面积分别是 4、8、12 公亩,草地上的草一样密,生长一样快.第一块地可供 10 只小梅花鹿吃 15 天,第二块地可供 14 只小梅花鹿吃 25 天,第三块地可供 15 只小梅花鹿吃多少天?