福州文博中学数学圆 几何综合同步单元检测(Word版 含答案)

福州文博中学数学圆几何综合同步单元检测（Word版含答案）

一、初三数学圆易错题压轴题（难）

1．如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）OA，OB分别交⊙O于点D，E，AO的延长线交⊙O于点F，若AB＝4AD，求sin∠CFE 的值．

【答案】（1）见解析；（2）

5

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形性质得出OC⊥AB，根据切线的判定得出即可；

（2）连接OC、DC，证△ADC∽△ACF，求出AF=4x，CF=2DC，根据勾股定理求出

DC=35

x，DF=3x，解直角三角形求出sin∠AFC，即可求出答案．

【详解】

（1）证明：连接OC，如图1，

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴OC⊥AB，

∵OC过O，

∴直线AB是⊙O的切线；

（2）解：连接OC、DC，如图2，

∵AB＝4AD，

∴设AD＝x，则AB＝4x，AC＝BC＝2x，∵DF为直径，

∴∠DCF＝90°，

∵OC⊥AB，

∴∠ACO＝∠DCF＝90°，

∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO，

∵OF＝OC，

∴∠AFC＝∠OCF，

∴∠ACD＝∠AFC，

∵∠A＝∠A，

∴△ADC∽△ACF，

∴

1

22 AC AD DC x

AF AC CF x

====，

∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC，

∵AD＝x，

∴DF＝4x﹣x＝3x，

在Rt△DCF中，（3x）2＝DC2+（2DC）2，

解得：DC

＝

5

x，

∵OA＝OB，AC＝BC，∴∠AOC＝∠BOC，∴DC EC

=，

∴∠CFE＝∠AFC，

∴sin∠CFE＝sin∠AFC＝DC

DF

＝5

35

x

x

=

．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，难度偏大．

2．已知：

图1 图2 图3

（1）初步思考：

如图1， 在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12

PN PC = （2）问题提出：

如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求

12

PD PC +的最小值． （3）推广运用：

如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动

点，求12

PD PC -的最大值． 【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值37DG =【解析】

【分析】

（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ∆∽BCP ∆，得到

PN BN PC BP =，即可得到结论成立；

（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到12PG PC =

，当D 、P 、G 共线时，12

PD PC +的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到12PG PC =

，当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -

的值最大，即可得到答案. 【详解】

（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===，

∴24,4PB BN BC =⋅=，

∴2PB BN BC =⋅， ∴BN BP BP BC

=，

∵B B ∠=∠， ∴BPN BCP ∆∆∽， ∴12

PN BN PC BP ==， ∴12

PN PC =； （2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，

∵

242,212PB BC BG PB ====， ∴,PB BC PBG PBC BG PB

=∠=∠， ∴PBG CBP ∆∆∽，

∴12

PG BG PC PB ==， ∴12

PG PC =， ∴12

PD PC DP PG +=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，12PD PC +

的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；

（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，

与（2）同理，可证12

PG PC =， 在Rt △CDF 中，∠DCF=60°，CD=4，

∴DF=CD •sin60°=23CF=2，

在Rt △GDF 中，DG=22(23)537+=，

∴12

PD PC PD PG DG -=-≤， 当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -

的值最大， ∴最大值为：37DG =.

【点睛】

本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．

3．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，12BC cm =，半圆O 的直径12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ∆的重叠部分的面积为()2S cm ．

（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．

（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ∆重叠部分的面积S ；

（3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切？

【答案】（1）24cm ，()

926cm ；（2）2(189)cm π+；（3）0x =或6x =或932x =-【解析】

【分析】

（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时

121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，

261218()92()OB OC CB cm ON BN cm =+=+===

=，所以926()MN ON OM cm =-=； （2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，