福州文博中学数学圆 几何综合同步单元检测(Word版 含答案)
福州文博中学高一数学单元同步测试卷
福州文博中学高一数学单元同步测试卷（函数、映射、函数单调性） 班级________ 姓名_________一、选择题1．已知集合P={40≤≤x x }，Q={20≤≤y y }，下列不表示从P 到Q 的映射是（ ）A.f ∶x →y=21x B.f ∶x →y=x 31 C.f ∶x →y=x 32D.f ∶x →y=x2.下列命题中正确的是( )A.若M={整数},N={正奇数},则一定不能建立一个从集合M 到集合N 的映射B.若集合A 是无限集,集合B 是有限集,则一定不能建立一个从集合A 到集合B 的映射C.若集合A={a},B={1,2},则从集合A 到集合B 只能建立一个映射D.若集合A={1，2}，B={a},则从集合A 到集合B 只能建立一个映射 3．设函数⎩⎨⎧<≥-=)1(1)1(1)(x x x x f ，则)))2(((f f f =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．24．函数y=2122--+-+x x xx的定义域是（ ）A.{x ︱-21-≤≤x } B. {x ︱-21≤≤x } C. {x ︱x>2 } D. {x ︱x 1≠}5．下列四个命题（1）f(x)=x x -+-12有意义;(2)函数是其定义域到值域的映射;(3)函数y=2x(x N ∈)的图像是一直线；（4）函数y=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,22x x x x 的图像是抛物线，其中正确的命题个数是（ ）A.1B.2C.3D.46．已知g(x)=1-2x,f[g(x)]=)0(122≠-x x x ,则f(21)等于（ ）A.1B.3C.15D.30 7．下列函数中值域是(0,)+∞的是（ ）A.y=132+-x x B.y=2x+1(x>0) C.y=x 2+x+1 D.y=112-x8．下列函数中在（-∞，0）上单调递减的是（ ）A.y ＝1-x xB.y=1-x 2C.y=x 2+x D.y=-x -1 9．设函数f(x)对x ∈R 都满足f(3+x)=f(3-x),且方程f(x)=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）A ．0 B.9 C.12 D.18 10．若不等式210xax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，则a 的最小值是（ ）A.0B.－2C.52- D.－3二、填空题11. 已知关于x 的不等式b a x b a 2)2(->-的解集是{>x x |3},则关于x 的不等式0<+b ax 的解集是_________. 12．若一次函数f(x)的定义域为[-3，2]，值域为[2，7]，那么f(x)= . 13．已知x ∈[0,1],则函数y=x x --+12的值域是 .14.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m的取值范围是__________.15.已知函数()1).f x a =≠①若a ＞0,则()f x 的定义域是 ; ② 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题16. (本小题满分12分）已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝22{|0}(1)x ax x a -<-+．⑴当a ＝2时，求A B ； ⑵求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．17. (本小题满分12分）求下列函数的值域： ①)1(3553>-+=x x x y②242++--=x x y ③422+-=x x xy18. (本小题满分12分） 20个下岗职工开了50亩荒地，这些地可以种蔬菜、棉花、水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下：问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有职工都有工作，而且农作物的预计总产值达到最高？19. （本小题满分12分）已知不等式221(1)x m x->-⑴若对于所有实数x ，不等式恒成立，求m 的取值范围 ⑵若对于m ∈[－2,2]不等式恒成立，求x 的取值范围20. （本小题满分13分） 设函数21()ax f x bx c+=+（,,a b c 都是整数），满足()()f x f x -=-且(1)2f =，(2)3f <，()f x 在[1,)+∞上是单调递增.（Ⅰ）求,,a b c 的值； （Ⅱ）当0x <，()f x 的单调性如何？用单调性定义证明你的结论.21. （本小题满分14分）函数xax x f -=2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；（2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；（3）函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值.。
福州文博中学九年级数学上册第二十四章《圆》经典测试卷(培优)
一、选择题1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（ ）A ．24πB ．21πC ．16.8πD ．36π 2．下列说法正确的是（ ）A ．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角也相等B ．三点确定一个圆C ．平分弦的直径垂直于这条弦D ．90°的圆心角所对的弦是直径3．2020年温州市实验中学数学文化节征稿文化节LOGO ，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图ABC 内接于一个半径为5的半圆，90ACB ∠=︒，分别以AB ，BC ，AC 为直径向外作半圆．若阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，则ABC 的面积为（ ）A ．5πB ．7.5πC ．253πD ．10π 4．如图，ABC 为O 的一个内接三角形，过点B 作O 的切线PB 与OA 的延长线交于点P ．已知34ACB ∠=︒，则P ∠等于（ ）A ．17°B ．27°C ．32°D ．22°5．为落实好扶贫工作，某村驻村干部帮助村民修建了一个粮仓，该粮仓的屋顶是一个圆锥，为了合理购买、不浪费原材料，需要进行计算1个屋顶的侧面积大小，该圆锥母线长为5m ，底面圆周长为8m π，则1个屋顶的侧面积等于（ ）2m ．（结果保留π）A ．40πB ．20πC ．16πD ．80π 6．在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD ．如图，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝25°，则∠BDC 的度数（ ）A ．45°B ．55°C ．65°D ．70°7．如图，在三角形ABC 中，AB=22，∠B=30°，∠C=45°，以A 为圆心，以AC 长为半径作弧与AB 相交于点E ，与BC 相交于点F ，则弧EF 的长为( )A ．6πB ．2πC ．23πD ．π8．已知⊙O ，如图，（1）作⊙O 的直径AB ；（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点；（3）连接CD 交AB 于点E ，连接AC ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE DE =；②3BE AE =；③2BC CE =．其中正确的推断的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到12AC BD cm ==，C ，D 两点之间的距离为3cm ，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（ ）A ．212cm πB ．224cm πC ．236cm πD ．248cm π 10．已知⊙O 的直径为6，圆心O 到直线l 的距离为3，则能表示直线l 与⊙O 的位置关系的图是（ ） A ． B ．C ．D ．11．如图，A 、B 、C 三点在O 上，D 是CB 延长线上的一点，40ABD ∠=︒，那么AOC ∠的度数为（ ）．A ．80°B ．70°C ．50°D ．40° 12．如图，AB 为O 的弦，半径OC 交AB 于点D ，AD DB =，5OC =，3OD =，则AB 的长为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．213．如图，AB 为⊙O 的直径，,C D 为⊙O 上的两点，若7OB BC ==．则BDC ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒ 14．如图，P 与y 轴交于点()0,4M -，()0,10N -，圆心P 的横坐标为4-，则P 的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 15．一个圆锥的底面直径为4 cm ，其侧面展开后是圆心角为90°的扇形，则这个圆锥的侧面积等于（ ）A ．4πcm 2B ．8πcm 2C ．12πcm 2D ．16πcm 2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题16．如图，A 、B 、C 是O 上顺次三点，若AC 、AB 、BC 分别是O 内接正三角形、正方形、正n 边形的一边，则n =______．17．已知ABC 的周长为30，面积为20，其内角平分线交于点O ，则点O 到边BC 的距离为________．18．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，对角线AC 是O 的直径，2AB =，45ADB ∠=︒，则O 的半径长为_______．19．如图，点A ，B ，C 在O 上，顺次连接A ，B ，C ，O ．若四边形ABCO 为平行四边形，则AOC ∠=________︒．20．如图，有一半径为6cm 的圆形纸片，要从中剪出一个圆心角为60︒的扇形ABC ，AB ，AC 为⊙O 的弦，那么剪下的扇形ABC （阴影部分）的面积为 ___________．21．如图，矩形ABCD 和正方形BEFG 中2AB =，3AD =，1BE =，正方形BEFG 绕点B 旋转过程中，线段DF 的最小值为______．22．如图，已知点C 是半圆О上一点，将弧BC 沿弦BC 折叠后恰好经过点,O 若半圆O 的半径是2,则图中阴影部分的面积是________________________．23．如图，已知AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，2BC =，30CDB ∠=︒，则O 的半径为_____．24．如图，AB 是半圆O 的直径，且4AB =，30BAC ︒∠=，则AC 的长为_________．25．如图所示，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE 边长是6，则它的外接圆圆心P 的坐标是______．26．如图，,PA PB 切⊙O 于,A B ，点C 在AB 上，DE 切⊙O 于C ，10cm,PO =⊙O 的半径为6cm ，则PDE △的周长是_________cm ．三、解答题27．如图，O 的直径AB 为10cm ，弦BC 为5cm ，D ．E 分别是∠ACB 的平分线与O ，AB 的交点，P 为AB 延长线上一点，且PC=PE ．（1）求AC 、AD 的长；（2）试判断直线PC 与O 的位置关系，并说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()10,0，点B 的坐标是()8,0，点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形．（1）求CD 的长；（2）求直线BC 的解析式．29．如图，半径为2的⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB 、AE 相切于点M 、N ，求劣弧MN 的长度．30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，1），点P （t ，0）为x 轴上一动点(不与原点重合)．以P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，以AB 为直角边在AB 的右上方作等腰直角三角形ABC ，且∠BAC =90°，直线BC 于⊙P 的另一个公共点为F ，连接PF ．（1）当t = 2时，点C的坐标为（，）；（2）当t >0时，过点C作x轴的垂线l．①判断当点P运动时，直线l的位置是否发生变化？请说明理由；②试说明点F到直线l的距离始终等于OP的长；（3）请直接写出t为何值时，CF=2BF．。
福建省福州市文博中学2021-2022学年九年级上学期月考数学试题(含答案解析)
福建省福州市文博中学2021-2022学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．把抛物线25y x =向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A ．()2523y x =-+B ．()2523y x =+-C ．()2523y x =++D ．()2523y x =--2．对于二次函数24(6)5y x =-+-的图象，下列说法正确的是()A ．图象与y 轴交点的坐标是(0,5)-B ．对称轴是直线6x =C ．顶点坐标为(6,5)-D ．当6x <-时，y 随x 的增大而增大3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB ＝20，CD ＝16，则BE 的长为（）A ．2B ．4C ．5D ．64．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转35︒得到DEC ，边ED 、AC 相交于点F ，若30A ∠=︒，则EFC ∠的度数为（）A ．65°B ．15°C ．75°D ．115°5．已知()4,A a -，()1,B b -，()2,C c 是()231y x k =--+图象上三点，则a ，b ，c 大小关系是（）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＜b ＜cA ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题三、解答题17．计算(1)解方程：2240x x +-=．(2)计算：22cos 60sin 45tan 45︒+︒+︒18．如图，在Rt ABC △中90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，1cm AC =，将Rt ABC △绕A 点逆时针旋转得到Rt ADE △，90AED ∠=︒，使点E 落在AB 边上，连接DB ，求DB 的长度．19．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD 的,A C 两点测得该塔顶端E 的仰角分别为48α︒∠=和65β︒∠=，矩形建筑物的宽度18AD m =，高度30CD m =，求信号发射塔顶端到地面的距离EF ．(结果精确到0.1m )(参考数据：480.7,480.7,481,1, ,650.9, 650.4,65 2.1sin cos tan sin cos tan ︒︒︒︒︒≈≈︒≈≈≈≈)20．4张相同的卡片上分别写有数字0、1、2-、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为______；（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜：否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）．21．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，∠CAB 的平分线AD 交 BC于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若DE ＝2，CE ＝1，求BD 的长度.1(1)求该食品每天的销售量y（千克）与销售单价(2)若超市按售价不低于成本价，且不高于售该食品每天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？中，AB=24．如图1，ABC于点D，垂足为E，连接AD参考答案：【点睛】本题主要考查了反比例函数的【点睛】本题考查了仰角问题，角并选择正确的边角关系解直角三角形．20．（1）14；（2）公平，见解析【分析】（1）列举出所有可能，进而求出概率；【点睛】本题考查等腰三角形的性质、切线的判定、角平分线的定义、圆周角定理、平行线的性质、弧、弦、圆周角的关系、22．（1）()80y x x =>【分析】（1）把点A 的坐标代入【分析】（1）作AH BC ⊥于H ，根据题意易求得2BAC CAH =∠∠，利用角的关系和圆周角定理可求得CAH CAD ∠=∠，即可求解；（2）连接GC 并延长交AD 延长线于点H ，连接DG ，BG ，AG ，根据圆周角定理可求得AG 垂直平分BC ，再求证四边形GHDF 为平行四边形，设半径为r ，则2AH AG r ==，22AD r =-，根据勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：如图1，作AH BC ⊥于H ，∴90AHC ∠=︒，∴90∠+∠=︒HAC C ，∵AB AC =，∴2BAC CAH =∠∠，∵BE AC ⊥，∴90BEC ∠=︒，∴90CBE C ∠+∠=︒，∴CBE CAH ∠=∠，∵ CDCD =，∴CAD CBE ∠=∠，∴CAH CAD ∠=∠，即2BAC CAD ∠=∠；（2）解：如图，连接GC 并延长交AD 延长线于点H ，连接DG ，BG ，AG ，∵G 是 BC的中点，∴ GBGC =，∴GB GC =，BAG CAG =∠∠，∴CAG DAC ∠=∠，∵AB AC =，∴AG 垂直平分BC ，则点A ，O ，G 三点共线，∴AG 为直径，∴90ADG ACG ∠=∠=︒，∴90GDH ACH ∠=∠=︒，∵90AGC CAG ∠+∠=︒，AHC ∠∴AGC AHC ∠=∠，∴AG AH =，∴CG CH =，则在Rt GDH △中，DC CG CH ==∵90AEB ACG ∠=︒=∠，∴BD GH ∥，∴四边形GHDF 为平行四边形，∴2DH FG ==，设半径为r ，则2AH AG r ==，在Rt AGD 中，22DG AG AD =-在Rt GDH △中，2CH DF CD ==∴22232428DG GH DH =-=-=∵CO ＝OB ＝3，∴∠OCB ＝∠CBO ＝45°，过点E 作EM ⊥x 轴于点M ，则∠EBM ＝45°，∴41E （，），在△ECB 和△DBC 中，BE CD DCB CBE BC CB =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ECB ≌△DBC （SAS ），此时CE 与抛物线的交点就是满足条件的点P ，设直线EC 的解析式为：y ＝kx +b ，则341b k b =⎧⎨+=⎩解得：0.53k b =-⎧⎨=⎩．∴EC 直线解析式为：053y x -+＝．，∴205323x x x -+-++．＝，解得：x 1＝0（不合题意舍去），x 2＝25．，∴y ＝175．，∴P 1点坐标为：25,175（．．）；设直线BD 解析式为y ＝mx +n ，代入B 、D 坐标，得304m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：26k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BD 为26y x -+＝，只要PC ∥BD ，则有∠PCB ＝∠CBD ，设直线PC 为y ＝−2x +p ，代入C 点坐标：则p ＝3，直线PC 解析式为y ＝−2x +3，联立：22323x x x -+-++＝，∴240x x -＝，解得：10x ＝（舍去），24x ＝，把x ＝4代入解析式y ＝−2x +3可得，y ＝−5，∴245P -（，）．综上所述：P 点坐标为：25,175（．．）或（4，−5）．（3）存在点Q ，使得以A ，D ，Q 三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：设Q 的横坐标为q ，则Q （q ，−q 2+2q +3），当点A 是直角顶点时，过点A 作AQ ⊥AD 交抛物线于一点Q ，记为Q 1，过点A 作x 轴的垂线，分别过点D 和点Q 1作y 轴的垂线，与上述垂线交于点G 和点F ，∴△DAG ∽△AQ 1F ，∴DG ：AG ＝AF ：Q 1F ，∵点A （−1，0），D （1，4），∴2124123DG AG Q F q AF q q +--＝，＝，＝，＝，∴224231q q q --+：＝（）：（），解得q ＝−1（舍）或q ＝3.5（舍），∴135225Q -（．，．）．当点D 是直角顶点时，过点D 作DQ ⊥AD 交抛物线于一点Q ，记为Q 2，同理可得，215375Q （．，．）．当点Q 是直角顶点时，记为Q 3，过点Q 3作x 轴的垂线，与x 轴交于点N ，过点D 作y 轴的垂线，交上述垂线于点M ，33ANQ Q MD \ ∽，33AN NQ Q M MD \：＝：，∴231231DM q Q N q q AN q --+++＝，＝，＝，∴2321Q M q q -+＝，22123211q q q q q q \+-++-+-（）：（）＝（）：（），解得q ＝2，∴323Q （，）．综上，存在点Q ，使得以A ，D ，Q 三点为顶点的三角形是直角三角形，此时点Q 的坐标为3522515375-（．，．），（．，．），或23（，）．【点睛】此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点以及全等三角形的判定与性质和抛物线与一次函数的交点求法等知识，求出EC 解析式是解题关键．。
福建省福州文博中学2024-2025学年上学期九年级10月月考数学试卷
福建省福州文博中学2024-2025学年上学期九年级10月月考数学试卷一、单选题1．下列事件为随机事件的是（ ）A ．负数大于正数B ．三角形内角和等于180°C ．明天太阳从东方升起D ．购买一张彩票，中奖2．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）A ．49B ．59C ．23D ．453．如图，CD 是O e 的直径，AB 是非直径的弦，AB 与CD 相交于点M ．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到CD AB ⊥的有（ ）A ．AM BM =B ．OM CM =C ．»»AC BC =D ．»»AD BD = 4．如图，AB 为O e 的直径，点C 在O e 上，若25C ∠=︒，则BOC ∠的度数是（ ）A ．25︒B ．50︒C ．65︒D ．75︒5．如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，120A ∠=︒，则BOD ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．70︒C ．120︒D ．150︒6．如图，四边形ABCD 的点B ，C ，D 都在O e 上，AB AD ，分别与O e 相切于B ，D 两点，84A ∠=︒，则C ∠的度数为（ ）A ．54︒B ．52︒C ．50︒D ．48︒7．如图，正六边形ABCDEF 内接于O e ，半径为6，则这个正六边形的边心距OM 为（ ）A ．4B ．C ．D 8．如图，正五边形ABCDE 内接于O e ，点P 是劣弧»BC 上一点（点P 不与点C 重合），则CPD ∠=（ ）A ．45︒B ．36︒C ．35︒D ．30︒9．一个不透明的口袋中装有3个红球、1个黄球，每次任意摸1个球再放回袋中，小明摸了三次摸到的都是红球，那么第四次摸到黄球的可能性是（ ）．A ．100%B ．14 C ．13 D ．1210．如图，A 是半径为2的O e 外的一点，4OA =，AB 切O e 于点B ，弦BC OA ∥，连接AC ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．2π3 B ．8π5 C ．π D ．2π311．如图，在△ABC 中点D 为△ABC 的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC 的面积是（ ）A ．B ．C ．2D ．412．如图，已知直线PA 交O e 于A B 、两点，AE 是O e 的直径，点C 为O e 上一点，且AC 平分PAE ∠，过C 作CD PA ⊥，垂足为D ，且12DC DA +=，O e 的直径为20，则AB 的长等于（ ）A ．8B ．12C ．16D ．18二、填空题13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧»AB ，点O 是这段弧所在圆的圆心．C 是»AB 上的点，OC AB ⊥，垂足为点M ．若12m AB =，2m CM =，则O e 的半径为m ．14．如图，用一个半径为10cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了72︒，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了cm ．15．在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示：在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为．（结果精确到0.1） 16．如图，用圆心角为120°，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是cm ．17．如图，ABC V 内接于O e ，AB 为O e 的直径，I 为ABC V 的内心，连接OI AI BI ，，．若1O I B I O I ⊥=，，则AB 的长为．三、解答题18．如图，已知：在ABC V 中，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ，且6AC =．(1)求弧AD 的弧长；(2)求扇形ACD 的面积．19．如图，若等腰三角形ABC V 中AB AC =，O 是底边BC 的中点，圆O 与腰AB 相切于点D ，求证：AC 与圆O 相切．20．近些年来，“校园安全”受到全社会的广泛关注，为了了解学生对于安全知识的了解程度，学校采用随机抽样的调查方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：(1)接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 ；(2)补全条形统计图；(3)若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．21．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点O 作OD ⊥BC 交BC 于点E ，交⊙O 于点D ，CD ∥AB ．（1）求证：E 为OD 的中点；（2）若CB ＝6，求四边形CAOD 的面积．22．学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．23．如图，点A 为O e 外一点，AC 交O e 于,B C 两点，OE BC ⊥于点F ，交O e 于点,E D 为O e 上一点，连接DE 交AC 于点G ，且AG AD =．(1)求证：AD 是O e 的切线；(2)若60,6A OE ∠=︒=，求DE 的长．24．如图，等腰三角形ABC 内接于O e ，CA CB =，过点A 作AE BC ∥，交O e 于点E ，过点C 作O e 的切线交AE 的延长线于点D ，已知6AB =，BE =(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形．(2)求O e 的直径长度．25．如图，在平面直角坐标系中，以()3,0M 为圆心的M e 交x 轴负半轴于A ，交x 轴正半轴于B ，交y 轴于C 、D ．(1)若C 点坐标为 0,4 ，求点A 坐标．(2)在（1）的条件下，M e 上是否存在点P ，使45CPM ∠=︒，若存在，求出满足条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．(3)过C 作M e 的切线CE ，过A 作AN CE ⊥于F ，交M e 于N ，当M e 的半径大小发生变化时，AN 的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．。
福州市文博中学人教版初中七年级数学上册第四章《几何图形初步》模拟测试(有答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：68654]如图所示，已知直线AB 上有一点O ，射线OD 和射线OC 在AB 同侧，∠AOD ＝42°，∠BOC ＝34°，OM 是∠AOD 的平分线，则∠MOC 的度数是（ ）A ．125°B ．90°C ．38°D ．以上都不对 2．(0分)[ID ：68642]一个角的补角比这个角的余角3倍还多10°，则这个角的度数为（ ）A ．140°B ．130°C ．50°D ．40° 3．(0分)[ID ：68624]如图，点O 在直线AB 上且OC ⊥OD ，若∠COA=36°则∠DOB 的大小为（ ）A ．36°B ．54°C ．64°D ．72°4．(0分)[ID ：68618]“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ）． A ．点动成线，线动成面B ．线动成面，面动成体C ．点动成线，面动成体D ．点动成面，面动成线 5．(0分)[ID ：68616]α∠与β∠的度数分别是219m -和77m -，且α∠与β∠都是γ∠的补角，那么α∠与β∠的关系是( )．A ．不互余且不相等B ．不互余但相等C ．互为余角但不相等D ．互为余角且相等 6．(0分)[ID ：68606]某正方体的平面展开图如下图所示，这个正方体可能是下面四个选项中的（ ）．A ．B ．C ．D ． 7．(0分)[ID ：68603]已知α∠和β∠互补，且αβ∠>∠，则有下列式子：①90β︒-∠；②90α∠-︒；③()12αβ∠+∠；④()12αβ∠-∠；⑤()1902α∠-︒；其中，表示β∠的余角的式子有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个8．(0分)[ID ：68602]如图，把APB ∠放置在量角器上，P 与量角器的中心重合，读得射线PA 、PB 分别经过刻度117和153，把APB ∠绕点P 逆时针方向旋转到A PB ''∠，下列结论：①APA BPB ''∠=∠；②若射线PA '经过刻度27，则B PA '∠与A PB '∠互补；③若12APB APA ''∠=∠，则射线PA '经过刻度45． 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 9．(0分)[ID ：68590]如图，C ，D 是线段AB 上的两点，E 是AC 的中点，F 是BD 的中点，若EF m =，CD n =，则AB =( )A ．m n -B ．m n +C ．2m n -D ．2m n + 10．(0分)[ID ：68586]已知线段AB ，在AB 的延长线上取一点C ，使25BC AC =，在AB 的反向延长线上取一点D ，使34DA AB =，则线段AD 是线段CB 的____倍 A ．98 B ．89 C ．32 D ．2311．(0分)[ID ：68585]已知线段AB ＝6cm ，反向延长线段AB 到C ，使BC ＝83AB ，D 是BC 的中点，则线段AD 的长为____cmA ．2B ．3C ．5D ．6 12．(0分)[ID ：68580]在钟表上，1点30分时，时针与分针所成的角是( ).A ．150°B ．165°C ．135°D ．120° 13．(0分)[ID ：68577]如图，从A 地到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中，从A 地到B 地有三条水路、两条陆路，从B 地到C 地有4条陆路可供选择，走空中，从A 地不经B 地直线到C 地，则从A 地到C 地可供选择的方案有( )A．10种B．20种C．21种D．626种14．(0分)[ID：68564]用一个平面去截一个圆锥，截面的形状不可能是（）A．B．C．D．15．(0分)[ID：68560]把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM，FM为折痕，C 点折叠后的C'点落在MB'的延长线上，则EMF∠的度数是（）A．85°B．90°C．95°D．100°二、填空题16．(0分)[ID：68712]长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是_____，简称____．包围着体的是______．面有____的面与______的面两种．17．(0分)[ID：68700]如图是一个正方体的表面展开图,已知正方体的每个面上都是一个有理数,且相对面上的两个数互为倒数,那么代数式abc-的值是_________.18．(0分)[ID：68709]如图，C为线段AB的中点，线段AB=12cm，CD=2cm．则线段DB的长为_______19．(0分)[ID：68708]如图所示，∠BOD＝45°，那么不大于90°的角有___个，它们的度数之和是____．20．(0分)[ID：68706]如图，点C，M，N在线段AB上，且M是AC的中点，CN：NB=1：2，若AC=12，MN=15，则线段AB的长是_______.21．(0分)[ID ：68705]若A ，B ，C 三点在同一直线上，线段AB =21cm ，BC =10cm ，则A ，C 两点之间的距离是________．22．(0分)[ID ：68662]8点15分，时针与分针的夹角是______________。
福州市文博中学数学有理数单元达标训练题(Word版 含答案)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图，已知数轴上有A、B两点(点A在点B的左侧)，且两点距离为8个单位长度，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒.（1）图中如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点A表示的数是________；（2）当t＝3秒时，点A与点P之间的距离是________个长度单位；（3）当点A表示的数是－3时，用含t的代数式表示点P表示的数；（4）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，请直接写出t的值.【答案】（1）-4（2）6（3）解：当点A为-3时，点P表示的数是-3+2t；（4）解：当点P在线段AB上时，AP＝2PB，即2t＝2（8−2t），解得，t＝，当点P在线段AB的延长线上时，AP＝2PB，即2t＝2（2t−8），解得，t＝8，∴当t＝或8秒时，点P到A的距离是点P到B的距离的2倍.【解析】【解答】解：（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b，则|a|＋|b|＝8，又|a|＝|b|，∴|a|＝4，∴a＝−4，则点A表示的数是−4；（ 2 ）∵P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴当t＝3秒时，点A与点P之间的距离为6个单位长度；【分析】（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b，两点间的距离是8及互为相反数的两个数分别位于原点的两侧，到原点的距离相等即可判断得出答案；（2）根据路程等于速度乘以时间即可得出答案；（3）由点A表示的数结合AP的长度，即可得出点P表示的数；（4）分当点P在线段AB上时，AP=2t，BP=（8-2t），根据AP＝2PB 列出方程，求解即可；当点P在线段AB的延长线上时，AP=2t，BP=（2t-8），根据 AP＝2PB 列出方程，求解即可，综上所述即可得出答案.2．通过学习绝对值,我们知道的几何意义是数轴上表示数在数轴上的对应点与原点的距离,如：表示在数轴上的对应点到原点的距离. ,即表示、在数轴上对应的两点之间的距离,类似的, ，即表示、在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点，在数轴上分别表示数、，那么，之间的距离可表示为 .请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是________；数轴上、两点的距离为，点表示的数是，则点表示的数是________.（2）点，，在数轴上分别表示数、、 ,那么到点 .点的距离之和可表示为_ (用含绝对值的式子表示)；若到点 .点的距离之和有最小值，则的取值范围是_ __.（3）的最小值为_ __.【答案】（1）2；1或7（2）|x+1|+|x-2||-1≤x≤2（3）3【解析】【解答】解：（1）数轴上表示2和4的两点之间的距离是4-2=2；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是4，则点Q表示的数是4-3=1或4+3=7；（ 2 ）A到B的距离与A到C的距离之和，可表示为|x+1|+|x-2|，∵|x-3|+|x+2|=7，当x＜-1时，|x+1|+|x-2|=2-x-x-1=1-2x无最小值，当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=x+1+2-x=3，当x＞2时，x+1+x-2=2x-1＞3，故若A到点B、点C的距离之和有最小值，则x的取值范围是-1≤x≤2；（3）原式=|x-1|+|x-4|.当1≤x≤4时，|x-1|+|x-4|有最小值为|4-1|=3故答案为：（1）2，1或7；（2）|x+1|+|x-2|，-1≤x≤2；（3）3【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的求法“数轴上两点间的距离即数轴上表示两个点的数的差的绝对值．”可求解；（2）同理可求解；（3）由（2）中求得的x的取值范围去绝对值，然后合并同类项即可求解.3．如图，AB=12cm，点C在线段AB上，AC=3BC，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动．（1）AC=________cm，BC=________cm；（2）当t=________秒时，点P与点Q第一次重合；当t=________秒时，点P与点Q第二次重合；（3）当t为何值时，AP=PQ？【答案】（1）9；3（2）3；（3）解：在点P和点Q运动过程中，当AP=PQ时，存在以下三种情况：①点P与点Q第一次重合之前，可得：2×4t=9+t，解得t= ；②点P与点Q第一次重合后，P、Q由点B向点A运动过程中，可得：2×[12-（4t-12）]=12-（t-3），解得t= ；③当点P运动到点A，继续由点A向点B运动，点P与点Q第二次重合之前，可得：2×（4t-24）=12-（t-3），解得t=7．故当t为秒、秒或7秒时，AP=PQ．【解析】【解答】（1）∵AB=12cm，AC=3BC∴AC= AB=9，BC=12-9=3．故答案为：9；3．（2）设运动时间为t，则AP=4t，CQ=t，由题意，点P与点Q第一次重合于点B，则有4t-t=9，解得t=3；当点P与点Q第二次重合时有：4t+t=12+3+24，解得t= ．故当t=3秒时，点P与点Q第一次重合；当t= 秒时，点P与点Q第二次重合．故答案为：3；．【分析】（1）由题目中AB=12cm，点C在线段AB上，AB=3BC，可直接求得；（2）根据运动过程，两点重合时他们走过距离之间的关系列方程即可求得；（3）满足AP=PQ，则2AP=AQ，在整个运动过程中正确的位置存在三处，依次分析列出方程即可求得．4．我们知道，在数轴上，表示数表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点A、B，分别对应数a，b，那么A、B两点间的距离为：如图，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足：（1）求a，b的值；（2）求线段AB的长；（3）如图①，点C在数轴上对应的数为x，且是方程的解，在数轴上是否存在点M使？若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由. （4）如图②，若N点是B点右侧一点，NA的中点为Q，P为NB的三等分点且靠近于B点，当N在B的右侧运动时，请直接判断的值是不变的还是变化的，如果不变请直接写出其值，如果是变化的请说明理由.【答案】（1）解：，，且，解得，，；（2）解：（3）解：存在.设M点对应的数为m，解方程，得，点C对应的数为，，，即，①当时，有，解得，；②当时，有，此方程无解；③当时，有，解得， .综上，M点对应的数为：或4.（4）解：设点N对应的数为n，则，，若N点是B点右侧一点，NA的中点为Q，P为NB的三等分点且靠近于B点，，，，点Q对应的数为：，点P对应的数为：，，①当时，，此时的值随N点的运动而变化；②当时，，此时的值随N点的运动而不变化.【解析】【分析】（1）根据“若非负数和等于0，则非负数均为0”列出方程进行解答便可；（2）根据数轴上两点的距离公式进行计算便可；（3）根据已知线段的关系式，列出绝对值方程进行解答便可；（4）用N点表示的数n，列出关于n的代数式进行讨论解答便可.5．如图，点A、B都在数轴上，O为原点.（1）点B表示的数是________；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是________；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O 不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值. 【答案】（1）-4（2）0（3）解：① 当点O是线段AB的中点时，OB=OA4－3t=2+tt=0.5② 当点B是线段OA的中点时， OA = 2 OB2+t=2(3t-4)t=2③ 当点A是线段OB的中点时， OB = 2 OA3t－-4=2(2+t)t=8综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8.【解析】【解答】（1）点B表示的数是-4；（2）2秒后点B表示的数是 0 ；【分析】（1）根据数轴上所表示的数的特点即可直接得出答案；（2）用点B开始所表示的数＋点B运动的路程＝经过t秒后点B表示的数，即可得出结论；（3）找出t秒后点A、B表示的数，分①点O为线段AB的中点，②当点B是线段OA的中点，③点A是线段OB的中点，根据线段中点的数学语言列出方程，求解即可求出此时的t值，综上即可得出结论。
福州市文博中学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(有答案解析)
一、选择题1．若直线y x m =+与曲线21y x =-有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(]{}1,12-⋃-B ．{}2,2-C ．[){}1,12-D ．(1,2⎤⎦2．若过点(1,2)总可以作两条直线和圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是( )A ．8333k k ⎧⎪-<<-⎨⎪⎩或8323k ⎫⎪<<⎬⎪⎭B ．()(),32,-∞-⋃+∞C ．()3,2-D ．8333k k ⎧⎪-≤<-⎨⎪⎩或8323k ⎫⎪<≤⎬⎪⎭3．已知圆22:40C x y x +-=, 直线03:=--y k kx l , 则直线l 与圆C 的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三种均有可能 4．圆x 2+y 2﹣4x=0在点P （1，）处的切线方程为（ ）A ．x+y ﹣2=0 B ．x+y ﹣4=0 C ．x ﹣y+4=0 D ．x ﹣y+2=05．已知0x >，0y >，21x y +=，若2240x y xy m <+恒成立，则m 的取值范围是（ ）． A ．1617<m B ．1716m > C ．1617≤m D ．0>m6．过点()3,1P 作圆()22:21C x y -+=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=7．设直线10x ky --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23k 的值是（ ）A ．3-B ．3±C 3D ．3±8．已知直线20x y -+=与圆()()22:334C x y -+-=交于点,,A B 过弦AB 的中点的直径为,MN 则四边形AMBN 的面积为（ ） A ．82．8 C ．42．49．直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,A B 两点，且3AB =k 的值等于（ ）A 3．1C ．3或3-D ．1或-1 10．已知圆是过点的直线，则（ ） A ．与相交 B ．与相切C ．与相离D ．以上三个选项均有可能11．已知圆O :221x y +=，点()00,M x y 是直线20x y -+=上一点，若圆O 上存在一点N ，使得6NMO π∠=，则0x 的取值范围是（ ）A ．[]2,0-B ．()0,3C ．[]2,4D ．()1,3-12．已知圆C ：1)1(22=++y x 与圆O ：1)1(22=+-y x 关于某直线对称，则直线的方程为 （ ）A 、x y -=B 、1+-=x yC 、x y =D 、1-=x y二、填空题13．已知点A （0，-1），B （0，1），以点P （m ，4）为圆心，|PB |为半径作圆Γ，圆Γ在B 处的切线为直线l ，过点A 作圆Γ的一条切线与l 交于点M ，则|MA |+|MB |=______． 14．已知圆：，圆：，动圆与圆相切，与圆外切，则圆心的轨迹方程是_______________．15．如果直线:0l x y b +-=与曲线2:1C y x =-有两个公共点, 那么b 的取值范围是_______________16．已知圆C 经过坐标原点O 和点()4,2A ，圆心C 在直线210x y +-=上，则圆心到弦OA 的距离为__________．17．（几何证明选讲选做题）如图，O 是半圆的圆心，直径26AB =， PB 是圆的一条切线，割线PA 与半圆交于点C ，C 4A =，则PB =________． 18．如图，已知是⊙的切线，为切点.是⊙的一条割线，交⊙于两点，点是弦的中点.若圆心在内部，则的度数为___.19．过直线:10l x y ++=上一点P 为作圆22:4240C x y x y +--+=的两条切线，切点分别为A ，B ，若四边形PACB 的面积为3，则点P 的横坐标为__________．20．已知直线m ：0x y a +-=，点M 在直线m 上，过点M 引圆221x y +=的切线，若切线长的最小值为22，则实数a 的值为__________．三、解答题21．选修4-1：几何证明选讲四边形ABCD 内接于圆，BC CD =，过D 点作圆的切线与AB 的延长线交于点E ．（1）求证：2EAD CDE ∠=∠；（2）若BC AB ⊥，BD BE =，2AE =，求AB 的长． 22．选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AD ，DE 是⊙O 的切线，AD ，BE 的延长线交于点C ．(1)求证：A O E D 、、、四点共圆；(2)若3OA CE =，CE=1，B ∠=30°，求CD 长． 23．选修4-1：几何证明选讲如图，已知ABC ∆的两条角平分线 AD 和CE 相交于H ， 060B ∠=，F 在AC 上，且AE AF =．（Ⅰ）证明：B 、D 、H 、E 四点共圆； （Ⅱ）证明：CE 平分 DEF ∠．24．（2015秋•南充校级期中）已知P （﹣2，﹣3）和以Q 为圆心的圆（x ﹣4）2+（y ﹣2）2=9．（1）求出以PQ 为直径的圆Q 1的一般式方程．（2）若圆Q 和圆Q 1交于A 、B 两点，直线PA 、PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？ （3）求直线AB 的方程． 25．（本小题满分12分）已知圆，过圆上一点A （3,2）的动直线与圆相交于另一个不同的点B ．（1）求线段AB 的中点P 的轨迹M 的方程； （2）若直线与曲线M 只有一个交点，求的值．26．（本题满分14分）已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，圆被直线截得的弦长为． （1）求圆的方程；（2）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得关于过点的直线对称？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】运用几何意义，当直线与半圆相切或者只有一个公共点时满足题意 【详解】21y x =-表示半圆，如图所示：直线y x m =+与曲线21y x =- ①()22111m d ==+-，解得2m 2m =-（舍去）②代入（-1，0）可得011m m =-+=， 代入（1，0）可得011m m =+=-， 结合图象，综上可得11m -≤<或2m 故选C 【点睛】本题考查了直线与半圆之间的位置关系，为满足题意中只有一个交点，则需要进行分类讨论，运用点到直线距离和点坐标代入计算出结果2．A解析：A 【解析】 【分析】把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k 的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数k 的取值范围. 【详解】把圆的方程化为标准方程可得2223()(1)1624k x y k +++=-，所以231604k ->，解得k <<， 又点(1,2)应在已知圆的外部，把点的坐标代入圆的方程得：2144150k k ++++->， 即(3)(2)0k k +->，解得2k >或3k <-，则实数k 的取值范围是(3)-⋃， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，通过某点有两条圆的切线，可以断定点在圆外，从而得到k 所满足的不等式，求解即可得结果，属于简单题目.3．A解析：A 【解析】试题分析：()03:=--y x k l ，所以直线恒过定点()0,3，代入圆03-12-9<=，所以定点恒在圆内，所以直线恒与圆相交，故选A. 考点：直线与圆的位置关系4．D解析：D 【解析】试题分析：本题考查的知识点为圆的切线方程．（1）我们可设出直线的点斜式方程，联立直线和圆的方程，根据一元二次方程根与图象交点间的关系，得到对应的方程有且只有一个实根，即△=0，求出k 值后，进而求出直线方程．（2）由于点在圆上，我们也可以切线的性质定理，即此时切线与过切点的半径垂直，进行求出切线的方程． 解：法一：x 2+y 2﹣4x=0 y=kx ﹣k+⇒x 2﹣4x+（kx ﹣k+）2=0．该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k=．∴y ﹣=（x ﹣1），即x ﹣y+2=0．法二： ∵点（1，）在圆x 2+y 2﹣4x=0上， ∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直． 又∵圆心为（2，0），∴•k=﹣1．解得k=，∴切线方程为x ﹣y+2=0．故选D考点：圆的切线方程．5．B解析：B 【解析】试题分析：若2240x y xy m <+恒成立，即xy y x m ++>224恒成立，只需max22)4(xy y x m ++>，而1)(4144)2(42222++-=++-=+-+=++xy xy xy xy xy xy y x xy y x1617)81(42+--=xy ，当81=xy 时，取得最大值1617，所以1617>m ．考点：1．基本不等式；2．恒成立问题的转化；3．二次函数求最值6．A解析：A【解析】试题分析：根据题意，过点P （3，1）作圆C ： ()2221x y -+=的切线，切点A 、B 的坐标分别为（2，1），（3，0），∴直线AB 的方程为： ()10323y x -=--，即x ＋y －3＝0，故选A ．考点：考查了圆的切线和直线方程．点评：解本题的关键是求出两个切点的坐标，然后根据两个点的坐标求出直线方程．7．D解析：D 【解析】 【分析】圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=4的圆心C （1，2），半径r=2，圆心C （1，2）到直线x ﹣ky ﹣1=0的距离d=221k k+，由弦AB 的长为23，得222r d -=23，由此能求出k 的值．【详解】圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=4的圆心C （1，2），半径r=2， 圆心C （1，2）到直线x ﹣ky ﹣1=0的距离d=221k k +，∵弦AB 的长为23，∴222242242 3.1k r d k-=-=+ 解得k= 33±． 故选：D ． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。
福建省福州文博中学2024-2025学年九上数学开学统考模拟试题【含答案】
福建省福州文博中学2024-2025学年九上数学开学统考模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）实数a,b 在数轴上的位置如图所示,则化简代数式|a+b|−a 的结果是()A ．2a+b B ．2a C ．a D ．b 2、（4分）已知在一个样本中,50个数据分别落在5个组内,第一、二、三、五组数据频数分别为2、8、15、5，则第四组数据的频数和频率分别为（）A ．25，50%B ．20，50%C ．20，40%D ．25，40%3、（4分）设函数k y x =（k ≠0）的图象如图所示，若1z y =，则z 关于x 的函数图象可能为（）A ．B ．C ．D ．4、（4分）如图，△ABC 的周长为20，点D,E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=8，则MN 的长度为（）A ．32B ．2C ．52D ．35、（4分）如图，函数y 1＝﹣2x 与y 2＝ax +3的图象相交于点A （m ，2），则关于x 的不等式﹣2x ＞ax +3的解集是（）A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ＞﹣1D ．x ＜﹣16、（4分）如图，△ABC 的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点A 1、B 1，则四边形A 1ABB 1的面积为34，再分别取A 1C 、B 1C 的中点A 2、B 2，取A 2C 、B 2C 的中点A 3、B 3，依次取下去…利用这一图形，能直观地计算出233333++++4444n =（）A ．1B ．144n n -C ．11-4n D ．414n n+7、（4分）用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（）A ．直角三角形的每个锐角都小于45°B ．直角三角形有一个锐角大于45°C ．直角三角形的每个锐角都大于45°D ．直角三角形有一个锐角小于45°8、（4分）计算的结果是()A ．a-b B ．a+b C ．a 2-b 2D ．1二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知一个反比例函数的图象与正比例函数2y x =的图象有交点，请写出一个满足上述条件的反比例函数的表达式：__________________．10、（4分）在一次捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额(单位：元)如下表所示：这8名同学捐款的平均金额为______元.金额/元56710人数232111、（4分）如图,在四边形ABCD 中,E 是BC 边的中点，连接DE 并延长,交AB 的延长线与F 点,AB BF =,请你添加一个条件(不需要添加任何线段或字母),使之能推出四边形ABCD 为平行四边形,你添加的条件是_________,并给予证明.12、（4分）已知有两点、都在一次函数的图象上，则的大小关系是______（用“<”连接）13、（4分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC =AB 在x 轴上，点C 在y 轴正半轴上，点A 的坐标为()2,0.则直角边BC 所在直线的解析式为__________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，已知矩形ABCD 中，点E 是AB 边上的一个动点，点F 、G 、H 分别是CD 、DE 、CE 的中点．（1）求证：四边形EHFG 是平行四边形；（2）设AB ＝4，AD ＝3，求△EFG 的面积．15、（8分）已知，如图，在平行四边形ABCD 中，AC、BD 相交于O 点，点E、F 分别为BO、DO 的中点，连接AF，CE．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）如果E，F 点分别在DB 和BD 的延长线上时，且满足BE=DF，上述结论仍然成立吗？请说明理由．16、（8分）如图，四边形ABCD 的对角线AC ⊥BD 于点E ，AB=BC ，F 为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB ，（1）求证：四边形DBFC 是平行四边形；（2）如果BC 平分∠DBF ，∠CDB=45°，BD=2，求AC 的长．学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………17、（10分）计算：（1）148312242÷-⨯+（2）已知31x =+，31y =-，求22x y +的值.18、（10分）如图，在平直角坐标系xOy 中，直线+2y x =与反比例函数k y x =的图象关于点(1,)P a （1）求点P 的坐标及反比例函数的解析式；（2）点(, 0)Q n 是x 轴上的一个动点，若5PQ ，直接写出n 的取值范围．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，点A ，B 在反比例函数k y x =（k ＞0）的图象上，AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足C ，D 分别在x 轴的正、负半轴上，CD=k ，已知AB=2AC ，E 是AB 的中点，且△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，则k 的值是______．20、（4分）如图，矩形纸片ABCD 中，AD ＝5，AB ＝1．若M 为射线AD 上的一个动点，将△ABM 沿BM 折叠得到△NBM ．若△NBC 是直角三角形．则所有符合条件的M 点所对应的AM 长度的和为_____．21、（4分）已知关于x 的方程()200ax bx c a --=≠的系数满足420a b c --=，且0c a b --=，则该方程的根是______．22、（4分）=________________．23、（4分）若多项式x 2+mx+19是一个多项式的平方，则m 的值为_____二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：请你根据图中的信息，解答下列问题：（1）补全条形图；（2）直接写出在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数；（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上(含6个)得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名?25、（10分）某校八年级学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下：请根据图表信息完成下列各题：（1）在频数分布表中，a的值为，b的值是；（2）将频数直方图补充完整；（3）小芳同学说“我的视力是此次调查所得数据的中位数”，你觉得小芳同学的视力应在哪个范围内？（1）若视力在不小于1．9的均属正常，请你求出视力正常的人数占被调查人数的百分比．26、（12分）解不式321123x x---≥并把它的解集表示在数轴上.参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】首先根据数轴可以得到a、b的取值范围，然后利用绝对值的定义去掉绝对值符号后化简即可．【详解】由数轴上各点的位置可知：a<0<b.∴|a+b|−a=a+b−a=b.故选D.此题考查整式的加减，实数与数轴，解题关键在于结合数轴分析a,b的大小.2、C【解析】解：根据样本容量和第一、二、三、五组数据频数可求得第四组的频数为50-2-8-15-5=20，其频率为20÷50=0.4=40％故选C．3、D【解析】根据反比例函数解析式以及1zy=，即可找出z关于x的函数解析式，再根据反比例函数图象在第一象限可得出k＞1，结合x的取值范围即可得出结论．【详解】∵kyx=（k≠1，x＞1），∴11xz ky kx===（k≠1，x＞1）．∵反比例函数kyx=（k≠1，x＞1）的图象在第一象限，∴k ＞1，∴1k ＞1．∴z 关于x 的函数图象为第一象限内，且不包括原点的正比例的函数图象．故选D ．本题考查了反比例函数的图象以及正比例函数的图象，解题的关键是找出z 关于x 的函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分式的变换找出z 关于x 的函数关系式是关键．4、B 【解析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理得到CD ＝CA ，AM ＝MD ，求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：在△BNA 和△BNE 中，NBA NBE BN BN BNA BNE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△BNA ≌△BNE （ASA ）∴BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理，CD ＝CA ，AM ＝MD ，∴DE ＝BE ＋CD−BC ＝BA ＋CA−BC ＝20−8−8＝4，∵AN ＝NE ，AM ＝MD ，∴MN ＝12DE ＝2，故选：B ．本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5、D【解析】因为函数12y x =-与23y ax =+的图象相交于点A (m ,2),把点A 代入12y x =-可求出1m =-,所以点A (－1,2),然后把点A 代入23y ax =+解得1a =,不等式23x ax ->+,可化为23x x ->+,解不等式可得:1x <-,故选D.6、C 【解析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点.【详解】解：∵A 1、B 1分别是AC 、BC 两边的中点，且△ABC 的面积为1，∴△A 1B 1C 的面积为114⨯∴四边形A 1ABB 1的面积=△ABC 的面积-△A 1B 1C 的面积31144==-；∴四边形A 2A 1B 1B 2的面积=11A B C △的面积-22A B C △的面积22113444=-=…∴第n 个四边形的面积1113444n n n -=-=∴23213333111111114444444444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：C 本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.7、A【解析】分析：找出原命题的方面即可得出假设的条件．详解：有一个锐角不小于45°的反面就是：每个锐角都小于45°，故选A ．点睛：本题主要考查的是反证法，属于基础题型．找到原命题的反面是解决这个问题的关键．8、B原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【详解】＝.故选：B.考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1 yx =【解析】写一个经过一、三象限的反比例函数即可.【详解】反比例函数1yx=与2y x=有交点.故答案为：1 x.本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了待定系数法求函数解析式.10、6.5【解析】根据加权平均数的计算公式用捐款的总钱数除以8即可得出答案．【详解】这8名同学捐款的平均金额为526372101 6.5(2321⨯+⨯+⨯+⨯=+++元)，故答案为：6.5．此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键，属于基础题．11、添加的条件是：∠F=∠CDE【解析】由题目的已知条件可知添加∠F=∠CDE，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC=BF=AB，且DC∥AB，进而证明四边形ABCD为平行四边形．条件是：∠F=∠CDE ，理由如下：∵∠F=∠CDE ∴CD ∥AF 在△DEC 与△FEB 中，DCE EBF CE BE CED BEF ∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨＝＝＝，∴△DEC ≌△FEB ∴DC=BF ，∠C=∠EBF ∴AB ∥DC ∵AB=BF ∴DC=AB ∴四边形ABCD 为平行四边形故答案为：∠F=∠CDE ．本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．12、【解析】利用一次函数的增减性可求得答案．【详解】∵y=−3x+n ，∴y 随x 的增大而减小，∵点、都在一次函数y=−3x+n 的图象上，且1>−2，∴，故答案为：.此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握函数图象的走势.13、y=12x+1【解析】根据题意可得△AOC 与△COB 相似，根据对应边成比例即可得到BO 的长，利用待定系数法故可求解．【详解】∵A （2，0）∴AO=2，在Rt △AOC 中，4=，∴C （0，1）∵90ACB ∠=︒∴90ACO BCO ∠+∠=︒，又90ACO CAO ∠+∠=︒∴BCO CAO ∠=∠，又90AOC COB ∠=∠=︒∴△AOC ∽△COB ∴AO CO CO BO =,即244BO =∴BO=8∴B （-8，0）设直线BC 的解析式为y=kx+b 把B （-8，0），C （0，1）代入得084k b b =-+⎧⎨=⎩解得124k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴边BC 所在直线的解析式为y=12x+1故答案为：y=12x+1．此题主要考查相似三角形的性质与判定及一次函数解析式的求解，解题的关键是熟知待定系数法的应用．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）见解析；（2）S △FEG ＝32.【解析】（1）根据三角形的中位线定理求出FH ∥DE ，FG ∥CE ，根据平行四边形的判定求出即可；（2）根据中线分三角形的面积为相等的两部分求解即可．【详解】（1）证明：因为点F 、G 、H 分别是CD 、DE 、CE 的中点，所以，FH ∥GE ，FG ∥EH ，所以，四边形EHFG 是平行四边形；（2）因为F 为CD 的中点，所以DF =12CD =12AB =2，因为G 为DE 的中点，所以，S △FDG ＝S △FEG ，所以，S △FEG ＝12S △EFD ＝11323222⨯⨯⨯=．本题考查了矩形的性质，三角形的面积，平行四边形的判定等知识点，能正确运用等底等高的三角形的面积相等进行计算是解此题的关键．15、见解析【解析】（1）根据平行四边形的性质可得AO=CO ，BO=DO ，再由条件点E 、F 分别为BO 、DO 的中点，可得EO=OF ，进而可判定四边形AECF 是平行四边形；（2）由等式的性质可得EO=FO ，再加上条件AO=CO 可判定四边形AECF 是平行四边形．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，∵点E、F 分别为BO、DO 的中点，∴EO=OF，∵AO=CO，∴四边形AECF 是平行四边形；（2）解：结论仍然成立，理由：∵BE=DF，BO=DO，∴EO=FO，∵AO=CO，∴四边形AECF 是平行四边形．16、（1）证明见解析；（2）．【解析】(1)证明四边形DBCF 的两组对边分别平行；(2)作CM ⊥BF 于F ，△CFM 是等腰直角三角形，求出CM 的长即可得到AC 的长.【详解】解：(1)证明：∵AC ⊥BD ，∠FCA=90°，∴∠AEB=∠FCA=90°，∴BD ∥CF.∵∠CBF=∠DCB ．∴CD ∥BF ，∴四边形DBFC 是平行四边形；(2)解：∵四边形DBFC 是平行四边形，∴CF=BD=2，∠F=∠CDB=45°，∵AB=BC ，AC ⊥BD ，∴AE=CE ，作CM ⊥BF 于F ，∵BC 平分∠DBF ，∴CE=CM ，∴△CFM 是等腰直角三角形，∴CM=2，∴AE=CE=，∴AC=2．17、（1）4 （2）8.【解析】（1）根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题；（2）根据x 、y 的值即可求得所求式子的值.【详解】（1）解：原式=4=4=；（2）解：原式))2211=+3131=+++-8=.本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法.18、（1）3y x =；（2）35n -≤≤【解析】（1）先把P （1，a ）代入y=x+2，求出a 的值，确定P 点坐标为（1，3），然后把P （1，3）代入y=k x 求出k 的值，从而可确定反比例函数的解析式；（2）过P 作PB ⊥x 轴于点B ，则B 点坐标为（1，0），PB=3，然后利用PQ ≤1，由垂线段最短可知，PQ ≥3，然后利用PQ ≤1，在直角三角形PBQ 中，PQ=1时，易确定n 的取值范围，要注意分点Q 在点B 左右两种情况．当点Q 在点B 左侧时，点Q 坐标为（-3，0）；当点Q 在点B 右侧时，点Q 坐标为（1，0），从而确定n 的取值范围.【详解】解：（1）∵直线2y x =+与反比例函数ky x =的图象交于点(1, )P a ，∴3a =.∴点P 的坐标为(1,3).∴3k =.∴反比例函数的解析式为3y x =.（2）过P 作PB ⊥x 轴于点B ，∵点P 的坐标为（1，3），Q （n ，0）是x 轴上的一个动点，PQ≤1，由勾股定理得BQ 4=，∴1-4=-3，1+4=1，∴n 的取值范围为-3≤n≤1．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了勾股定理的应用．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】试题解析：过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，如图所示．∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，E 是AB 的中点，∴S△ABC =2S △BCE ，S △ABD =2S △ADE ，∴S △ABC =2S △ABD ，且△ABC 和△ABD 的高均为BF ，∴AC =2BD ，∴OD =2OC ．∵CD =k ，∴点A 的坐标为（3k ，3），点B 的坐标为（-23k ，-32），∴AC =3，BD =32，∴AB =2AC =6，AF =AC +BD =92，∴CD =k 2==．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理．构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k 值是解题的关键.20、5．【解析】根据四边形ABCD 为矩形以及折叠的性质得到∠A=∠MNB=90°，由M 为射线AD 上的一个动点可知若△NBC 是直角三角形，∠NBC=90°与∠NCB=90°都不符合题意，只有∠BNC=90°．然后分N 在矩形ABCD 内部与N 在矩形ABCD 外部两种情况进行讨论，利用勾股定理求得结论即可．【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD ＝90°，∵将△ABM 沿BM 折叠得到△NBM ，∴∠MAB ＝∠MNB ＝90°．∵M 为射线AD 上的一个动点，△NBC 是直角三角形，∴∠NBC ＝90°与∠NCB ＝90°都不符合题意，∴只有∠BNC ＝90°．①当∠BNC ＝90°，N 在矩形ABCD 内部，如图3．∵∠BNC ＝∠MNB ＝90°，∴M 、N 、C 三点共线，∵AB ＝BN ＝3，BC ＝5，∠BNC ＝90°，∴NC ＝4．设AM ＝MN ＝x ，∵MD ＝5﹣x ，MC ＝4+x ，∴在Rt △MDC 中，CD 5+MD 5＝MC 5，35+（5﹣x ）5＝（4+x ）5，解得x ＝3；当∠BNC ＝90°，N 在矩形ABCD 外部时，如图5．∵∠BNC ＝∠MNB ＝90°，∴M 、C 、N 三点共线，∵AB ＝BN ＝3，BC ＝5，∠BNC ＝90°，∴NC ＝4，设AM ＝MN ＝y ，∵MD ＝y ﹣5，MC ＝y ﹣4，∴在Rt △MDC 中，CD 5+MD 5＝MC 5，35+（y ﹣5）5＝（y ﹣4）5，解得y ＝9，则所有符合条件的M 点所对应的AM 和为3+9＝5．故答案为5．本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质以及勾股定理，难度适中．利用数形结合与分类讨论的数学思想是解题的关键．21、1 和1．【解析】把x=1，和x=-1代入方程正好得出等式4a-1b-c=0和c-a-b=0，即可得出方程的解是x=1，x=-1，即可得出答案．【详解】∵ax 1-bx-c=0（a≠0），把x=1代入得：4a-1b-c=0，即方程的一个解是x=1，把x=-1代入得：c-a-b=0，即方程的一个解是x=-1，故答案为：-1和1．本题考查了一元二次方程的解的应用，主要是考查学生的理解能力．22、【解析】二次根式相乘时，根号不变，直接把根号里面的数相乘，最后化简.二次根式相加减时，只有同类的二次根式才能相加减，根号部分不变，把整数部分相加减.【详解】原式=故答案为本题考察了二次根式的乘法和减法，这里需要注意的是，无论加减乘除，最后都要化为最简二次根式.23、±23．【解析】根据完全平方公式的结构特征即可求出答案．【详解】解：∵x2＋mx ＋19＝x 2＋mx ＋（13）2，∴mx ＝±2×13×x ，解得m ＝±23．故答案为±23．本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）见解析；（2）众数：5，中位数:5；（3）该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名.【解析】（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a 的值，用360°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数确定a 的值，再补全条形图即可；（2）根据众数与中位数的定义求解即可；（3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1800即可.【详解】解：(1)设引体向上6个的学生有x 人，由题意得2025%10%x =，解得x=50.条形统计图补充如下：(2)由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5；共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为（5+5）÷2=5;(3)50401800810200+⨯=(名)答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名.本题为统计题，考查众数与中位数的意义.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数.也考查了条形统计图、扇形统计图与用样本估计总体.25、（1）60，0.2；（2）见解析；（3）在4.6 4.9x ≤<之间；（1）35%【解析】（1）用频数除以对应的频率可得调查的总人数，再用总人数乘以0.3即可得a 的值，用10除以总人数即可得b 的值；（2）根据a 的值补图即可；（3）根据总人数和中位数的定义可知中位数所在的小组，即为小芳的视力范围；（1）根据表格数据求出视力大于等于1.9的学生人数，再除以总人数即可得百分比．【详解】（1）调查总人数为200.1=200÷（人）则2000.360=⨯=a ，102000.05=÷=b 故答案为：60，0.2．（2）如图所示，（3）调查总人数为200人，由表可知中位数在4.6 4.9x ≤<之间，∴小芳同学的视力在4.6 4.9x ≤<之间（1）视力大于等于1.9的学生人数为60+10=70人，∴视力正常的人数占被调查人数的百分比是：70100=200⨯%35%本题考查读频数直方图和利用统计图获取信息，理解统计表与直方图的关系，掌握中位数的定义是解题的关键．26、x ≤－1【解析】分析：去分母、去括号，移项合并同类项，然后求得解集．详解：去分母得：6﹣3（3﹣x ）≥2（2x ﹣1）去括号得：6﹣9＋3x ≥4x ﹣2解得：x ≤－1．原不等式的解集在数轴上表示如下：实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．。
福州文博中学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．如果实数x 、y 满足22640x y x +-+=，那么yx的最大值是（ ）A ．23B C ．3D2．已知(,0)A a ，(3,0)B a +，直线1x =上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，则a 的值为（ ）A ．6-B ．2-或6C ．2或6-D ．2-3．若过直线3420x y +-=上一点M 向圆C ：()()22234x y +++=作一条切线切于点T ，则MT 的最小值为（ ）A B ．4C ．D ．4．已知圆M ：22(1)(2)5x y -+-=和点(3,5)P ，过点P 做圆M 的切线，切点分别为A 、B ，则下列命题：①4PA PB k k ⋅=-；②PA =；③AB 所在直线方程为：23130x y +-=；④PAB △外接圆的方程为2247130x y x y +--+=．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知圆()222x a y a -+=平分圆()()22121x y ++-=的周长，则a 的值是（ ）A ．0B ．3-C ．25-D ．526．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+=B ．310x y +-=C ．3240x y -+=D ．230x y --=7．过点()引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当OA OB ⊥值时，直线l 的斜率等于（ ）.A ．3B ．3-C ．3±D 8．已知(1,1)P ，(2,3)Q --，点P ，Q 到直线l 的距离分别为2和4，则满足条件的直线l 的条数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．已知0a >，0b >，直线1l ：()410x a y +-+=，2l ：220bx y +-=，且12l l ⊥，则1112a b++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．23D ．4510．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ） A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=011．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解12．若直线y x b =+与曲线3y =2个公共点，则b 的取值范围是（ ） A．[1-+ B．(11]-- C．[3,1+D ．[1,3]-二、填空题13．已知两条平行直线1:3460l x y -+=与2:340l x y c -+=间的距离为3，则c 的值为______.14．已知直线3x ＋4y -12＝0与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆x 2＋y 2-10x -12y ＋52＝0上移动，则△ABC 面积的最大值和最小值之差为________.15．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线一般式方程是___________16．设直线l 的斜率为k ，且11k -<<，则直线的倾斜角α的取值范围是_________. 17．若P 为直线40x y -+=上一个动点，从点P 引圆2240y x C x +-=：的两条切线PM ，PN （切点为M ，N ），则MN的最小值是________.18．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A ，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是________．19．已知点M 为直线1:20l x y a +-=与直线2:210l x y -+=在第一象限的交点，经过点M 的直线l 分别交x ，y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当AOBS 取得最小值为1425时，a 的值为________. 20．ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离的最大值为________.三、解答题21．在ABC 中，已知(1,1),(3,2)A B -（1）若直线l 过点(2,0),M 且点,A B 到l 的距离相等，求直线l 的方程； （2）若直线m ：260x y --=为C ∠的平分线，求直线BC 的方程.22．设函数()f z 对一切实数m ，n 都有()()(21)f m n f n m m n +-=++成立，且(1)0f =，(0)f c =，圆C 的方程是22(1)()9x y c +++=.（1）求实数c 的值和()f z 的解析式；（2）若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆C 截得的弦长为6，求4a bab+的最小值.23．已知ABC 的顶点(5,1)A ，直线BC 的方程为6590x y AB --=，边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在直线方程．24．已知直线l ：x ＋2y －4＝0，圆C 的圆心在x ，且圆心C 到直线l . （1）求圆C 的方程；（2）由直线l 上一点Q 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，若直线MN 的斜率为1，求点Q 的坐标.25．若过点P 的两直线1l ，2l 斜率之积为()0λλ≠，则称直线1l ，2l 是一组“P λ共轭线对”. （1）若直线1l ，2l 是一组“3O -共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角； （2）若点()0,1A ，()1,0B -，()1,0C 分别是直线PQ ，QR ，RP 上的点（A ，B ，C ，P ，Q ，R 均不重合），且直线PR ，PQ 是一组“1P 共轭线对”，直线QP ，QR 是一组“4Q 共轭线对”，直线RP ，RQ 是一组“9R 共轭线对”，求点P 的坐标；（3）若直线1l ，2l 是一组“2M -共轭线对”，其中点(1,M -，当两直线旋转时，求原点到两直线距离之积的取值范围. 26．如图，已知ABC 的边AB 所在直线的方程为360x y --=，()2,0M 满足BM MC =，点()1,1T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅=.（1）求AC 边所在直线的方程； （2）求ABC 外接圆的方程；（3）求过()2,0N -的ABC 外接圆的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将yx看作圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果. 【详解】22640x y x +-+=，即()2235x y -+=，圆心为()3,0，半径为5，yx的几何意义是圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率， 如图，结合题意绘出图像：结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即yx最大， 令此时直线的倾斜角为α，则5tan 2α=，y x 5，故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将yx看作点(),x y 与()0,0连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.2．B解析：B 【分析】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()2214x a y -++=，则本题等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()()2222344x a y x a y --+=-+，整理可得()2214x a y -++=，则直线1x +=上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，2=，解得2a =-或6.故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将题转化为直线1x +=与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.3．D解析：D 【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由切线长公式可得||MT =||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，由点到直线的距离分析||MC 的最小值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，圆22:(2)(3)4C x y +++=，其圆心为(2,3)--，半径2r m =，过点M 向圆C 作一条切线切于点T ，则||MT == 当||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，而||MC 的最小值为点C 到直线3420x y +-=的距离，则||4min MC ==，则||MT= 故选：D 【点睛】方法点睛：解析几何中的最值问题，常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.本题利用的是数形结合的方法求最值的.4．D解析：D 【分析】设出斜率k ，得出切线方程，利用相切可得2+2440k k -=，即可得出4PA PB k k ⋅=-，判断①；由PA =②；可得,,,P A B M 四点共圆，圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2PM =④；两圆相减可得直线AB 方程，判断③. 【详解】可知切线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为53y k x ，即350kx y k ，=2+2440k k -=，可得,PA PB k k 是该方程的两个根，故4PA PB k k ⋅=-，故①正确； 又PM ==PA MA ⊥，PA ∴==故②正确；,PA MA PB MB ⊥⊥，,,,P A B M ∴四点共圆，且圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为22PM =， 故PAB △外接圆的方程为22713(2)()24x y -+-=，即2247130x y x y +--+=，故④正确；将两圆方程相减可得23130x y +-=，即直线AB 方程，故③正确. 故选：D. 【点睛】本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是利用相切关系得出圆心到直线的距离为半径，且,,,P A B M 四点共圆.5．B解析：B 【分析】由题可知，两圆的公共直线必过()()22121x y ++-=的圆心()1,2-，然后求出公共直线的方程，列式计算即可得解. 【详解】圆222()x a y a -+=平分()()22121x y ++-=的周长，所以两圆的公共直线过()()22121x y ++-=的圆心()1,2-，两圆方程相减，可得两圆的公共直线()1220a x y +-+=， 将()1,2-代入可得()1420a -+-+=，解得3a =-. 故选：B . 【点睛】两圆的公共弦方程过已知圆心是解题关键.6．A解析：A 【分析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可. 【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径， 则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --， 点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ， 则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程， 由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.7．A解析：A 【分析】方法一：利用AOB 的面积，求点到直线的距离，再求直线的斜率；方法二：设直线方程20kx y k -+=，利用点到直线的距离求弦长以及面积，利用三角形的面积取得最大值时，求直线的斜率.. 【详解】方法一：根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解. 由于21y x =-()2210x y y +=≥，直线l 与()2210x y y +=≥交于AB 两点，如图所示，11sin 22ACB SAOB =∠≤△，且当90AOB ∠=︒时， AOBS取得最大值，此时2AB =，点O 到直线l 的距离为22， 则30OCB ∠=︒，所以直线l 的斜角为30°，则斜率为3. 方法二：由21y x =-，得()2210x y y +=≥.所以曲线21y x =-表示单位圆在x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合， 则01k <<，直线l 的方程为(02y k x -=+，即20kx y k -+=. 则原点O 到l 的距离221k d k =+，l 被半圆截得的半弦长为222221111k k k k ⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭则ABO S ==△==令211t k =+，则ABO S =△， 当3t 4=，即21314k =+时，ABO S 有最大值为12. 此时由21314k =+，解得3k =. 故选：A 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，本题第一种方程，重点是分析几何关系，即点到直线的距离后就可知道斜率，第二种方程，重点是由条件可知当OA OB ⊥时，此时AOB 的面积最小，即用斜率k 表示面积，求最值，得到直线的斜率. 8．B解析：B 【分析】以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ，利用圆P 与圆Q 相交，两圆有两条公切线，可得结果.【详解】||5PQ ==，以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ， 因为42-<524<+，所以圆P 与圆Q 相交，所以两圆有两条公切线， 所以满足条件的直线l 的条数是2. 故选：B 【点睛】关键点点睛：转化为判断两个圆的公切线的条数是解题关键.9．D解析：D 【分析】根据12l l ⊥得到125a b ++=，再将1112a b++化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为12l l ⊥，所以240b a +-=，即125a b ++=， 因为0,0a b >>，所以10,20a b +>>， 所以1112a b ++=1112a b ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()1125a b ⨯++1212512b a a b +⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭14255⎛≥+= ⎝， 当且仅当35,24a b ==时，等号成立. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10．D解析：D 【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程. 【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=， ∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，=解得4k =-或32k =-.:.直线l 的方程为4420x y --++=或332022x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-=故选：D 【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.11．B解析：B 【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解． 【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-，∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确； 若12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴12x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误．故选：B ． 【点睛】本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．12．B解析：B 【分析】将3y =22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有2个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解. 【详解】由3y =22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，所以直线y x b =+与半圆22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)有2个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：当直线经y x b =+过点(4,3)时，341b =-=-， 当直线与圆22(2)(3)4-+-=x y 211=+，解得122b =-或122b =+由图可知，当直线y x b =+与曲线234y x x =-2个公共点时，1221b -<≤-，故选：B 【点睛】关键点点睛：作出直线与半圆的图形，利用切线的斜率表示b 的范围是解题关键.二、填空题13．或【分析】根据两平行线间的距离公式得到即可求解【详解】由题意两条平行直线与间的距离为3根据两平行线间的距离公式可得解得或即的值为或故答案为：或【点睛】两平行线间的距离的求法：利用转化法将两条平行线间解析：9-或21. 【分析】22633(4)c -=+-，即可求解.【详解】由题意，两条平行直线1:3460l x y -+=与2:340l x y c -+=间的距离为3， 根据两平行线间的距离公式，可得22633(4)c d -==+-，解得21c =或9c =-，即c 的值为9-或21. 故答案为：9-或21. 【点睛】两平行线间的距离的求法：利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 利用两平行线间的距离公式求解.14．15【分析】根据直线3x ＋4y-12＝0可求得的坐标及利用圆心到直线的距离求出点C 到直线的距离的最小值和最大值利用面积公式可求得结果【详解】令得令得所以A （40）点B （03）∴|AB|＝5由x2＋y解析：15 【分析】根据直线3x ＋4y -12＝0可求得,A B 的坐标及||AB ，利用圆心到直线的距离求出点C 到直线AB 的距离的最小值和最大值，利用面积公式可求得结果. 【详解】令0y =得4x =，令0x =得3y =，所以A （4，0），点B （0，3）， ∴|AB |＝5，由x 2＋y 2-10x -12y ＋52＝0得22(5)(6)9x y -+-=， 所以圆的半径为3，圆心为(5,6)， 圆心(5,6)到直线AB的距离d ==275， 所以点C 到直线AB 的距离的最小值为2712355-=，最大值为2742355+=， 所以ABCS的最大值为14252125⨯⨯=，最小值为1125625⨯⨯=， 所以△ABC 面积的最大值和最小值之差为21615-=. 故答案为：15 【点睛】关键点点睛：利用圆心到直线的距离求出点C 到直线AB 的距离的最小值和最大值是解题关键.15．或【分析】当纵截距为时设直线方程为代入点求得的值得解当纵截距不为时设直线的截距式方程代入点求得直线的方程【详解】当轴上的截距时设直线方程为点代入方程得即当时设直线的方程为点代入方程解得即直线方程为即解析：290x y +-=或250x y -= 【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()5,2求得k 的值得解，.当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()5,2求得直线l 的方程. 【详解】当y 轴上的截距0b =时，设直线方程为y kx =，点()5,2代入方程，得25y x =，即250x y -=.当0b ≠时，设直线的方程为12x y b b +=，点()5,2代入方程，解得92b =，即直线方程为1992x y+=，即290x y +-=.故答案为：250x y -=或290x y +-= 【点睛】讨论截距为0或截距不为0是解题关键，否则会漏解，属于基础题.16．【分析】利用倾斜角与斜率关系图象得解【详解】由图得当时故答案为：【点睛】熟悉倾斜角与斜率函数图象是解题关键解析：3[0,)(,)44πππ【分析】利用倾斜角与斜率关系图象得解. 【详解】由图得当11k -<<时，3[0,)(,)44ππαπ∈ 故答案为：3[0,)(,)44πππ 【点睛】熟悉倾斜角与斜率函数图象是解题关键.17．【分析】根据题意得当的长度最小时取最小值进而根据几何关系求解即可【详解】如图由题可知圆C 的圆心为半径要使的长度最小即要最小则最小因为所以当最小时最小因为所以当最小时最小因为所以所以由于所以故答案为： 解析：473【分析】根据题意得当||MN 的长度最小时，||PC 取最小值，进而根据几何关系求解即可. 【详解】如图，由题可知圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r ．要使||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，则MCP ∠最小． 因为||||tan 2PM PM MCP r ∠==， 所以当||PM 最小时，||MN 最小因为2||4PM PC =-∣， 所以当||PC 最小时，||MN 最小． 因为min ||3211PC ==+， 所以2cos 332MCP ∠==， 所以7sin MCP ∠=由于1in 2s 2MCP MN∠=所以min 7||3MN =． 故答案为：473. 【点睛】本题解题的关键是根据已知当||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，进而得当||PC 最小时，||MN 最小．由于||PC 的最小值为C 点到直线40x y -+=，故min ||32PC =.考查化归转化思想和运算能力，是中档题.18．【分析】将问题转化为以为圆心为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案【详解】解：根据题意设以为圆心为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为：因为圆O 上存在两点到A 的距离为解析：()3,7【分析】将问题转化为以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:()0O x y r r +=>，圆心为()0,0O ，半径为r ，则两圆圆心距为：5OA =， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2， 所以圆O 与圆A 相交，所以252r r -<<+，解得：37r <<. 所以r 的取值范围是：()3,7. 故答案为：()3,7 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查回归转化思想，是中档题.19．【分析】先求出点的坐标然后设直线的方程得出坐标后可得三角形面积由面积的最小值可求得【详解】由得即在第一象限则设直线方程为显然令得令得所以当且仅当即时等号成立所以最大值为解得或（舍去）故答案为：【点睛解析：32【分析】先求出点M 的坐标，然后设直线AB 的方程，得出,A B 坐标后可得三角形面积，由面积的最小值可求得a ． 【详解】由20210x y a x y +-=⎧⎨-+=⎩，得21525a x a y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即212(,)55a a M -+，M 在第一象限，则12a >， 设直线l 方程为221()55a a y k x +--=-，显然k 0<， 令0x =得2(21)55B a a k y +-=-，令0y =得21255A a a x k-+=-， 所以112122(21)225555AOB A B a a a a k S x y k -++-⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△221(2)2(2)(21)(21)()50a a a a k k ⎡⎤+=+-++--⎢⎥-⎣⎦12(2)(21)50a a ⎡≥+-+⎢⎢⎣2(2)(21)25a a +-=，当且仅当22(2)(21)()a a k k+=---，即221a k a +=--时等号成立． 所以OAB S最大值为2(2)(21)142525a a +-=，解得32a =或3a =-（舍去）．故答案为：32． 【点睛】本题考查求直线的交点坐标，考查求直线方程，三角形面积，考查用基本不等式求最值．本题考查了学生运算求解能力，属于中档题．20．【分析】根据AOB 是直角三角形解得圆心O 到直线ax ＋by ＝1距离即得ab 关系式再根据两点间距离公式代入消去根据二次函数性质以及的范围求最值【详解】因为是直角三角形且所以O 到直线ax ＋by ＝1距离为因1【分析】根据AOB 是直角三角形，解得圆心Oax ＋by ＝1距离，即得a ，b 关系式，再根据两点间距离公式，代入消去a ，根据二次函数性质以及b 的范围求最值 【详解】因为AOB 是直角三角形，且||||1AO OB ==,所以Oax ＋by ＝1距离为2，因此22222a b =+= 设点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离为d ，d ====因为22,b b ≤≤≤b =d取最大值为1=+1 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）2x =或3260x y +-=；（2）270.x y --= 【分析】（1）转化条件为直线l 过线段AB 的中点或//l AB ，结合直线方程的知识即可得解； （2）转化条件为点A 关于直线m 的对称点(),A a b '在直线BC 上，由轴对称的性质可得(5,1)A '-，再由直线方程的知识即可得解.【详解】 （1）点,A B 到l 的距离相等，∴直线l 过线段AB 的中点或//l AB ，①当直线l 过线段AB 的中点12,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，直线l 斜率不存在，则l 的方程为2x =； ②当//l AB 时，则斜率213312l AB k k --===--， 则l 的方程为30(2)2y x -=--，即3260x y +-=； 综上，l 的方程为2x =或3260x y +-=；（2）直线m 为C ∠的平分线，所以点A 关于直线m 的对称点(),A a b '在直线BC 上，则有11260221211a b b a ++⎧⋅--=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得51a b =⎧⎨=-⎩，即(5,1)A '-，∴直线BC 的斜率1(2)1532BC k ---==-， ∴直线BC 的方程为11(5)2y x +=-，即270.x y --= 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题目条件，再结合直线的位置关系、直线方程即可得解.22．（1）2c =-；2()2f z z z =+-；（2）9. 【分析】（1）令1m =，0n =代入等式中可求得c .再令m n =-代入得()f z 的解析式；（2）由已知求得直线过圆心()12-，，有1a b +=.由均值不等式得4144()5a b a b a b ab a b b a +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，可求和4a bab +的最小值. 【详解】（1）令1m =，0n =代入等式中可得，(0)2f =-，即2c =-.再令m n =-得，(0)()(21)f f n n n n -=--++，2()2f n n n =+-，所以2()2f z z z =+-.（2）因为直线被圆22(1)(2)9x y ++-=截得的弦长为6，所以直线过圆心()12-，，有1a b +=.于是由均值不等式得，414144()559a b a b a b ab a b a b b a +⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即13a =，23b =时等号成立.故4a b ab +的最小值是9.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 23．（1）(4,3)C ；（2）250x y --=． 【分析】（1）联立直线方程可解得结果；（2）设出()00,B x y ，利用AB 的中点M 在直线CM 上以及点()00,B x y 在直线BC 上，解方程组可得B 的坐标，利用垂直可得斜率，根据点斜式可得所求直线方程. 【详解】 （1）联立6590250x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，可得(4,3)C ；（2）设()00,B x y ，则AB 的中点0051,22x y M ++⎛⎫⎪⎝⎭， 则0000659015502x y y x --=⎧⎪⎨++--=⎪⎩，解得(1,3)B --， 又23145AC k -==--，所以AC 边上的高所在直线的斜率12k =，所以AC 边上的高所在直线方程为13(1)2y x +=+，即250x y --=. 【点睛】关键点点睛：求出点B 的坐标是求出AC 边上的高所在直线方程的关键，设()00,B x y ，利用直线BC 的方程和AB 的中点坐标满足CM 的方程可解得点B 的坐标.24．（1）22(2)2++=x y ；（2）(8,6)-Q . 【分析】（1）设出圆心坐标(,0)(0)C a a <，再根据圆心C 到直线l ，列式即可求出a ，从而得到圆C 的方程；（2）设(2,2)-Q t t ，根据圆系知识可知，直线MN 即为以QC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在直线，先求出以QC 为直径的圆的方程为(2)(2)(2)0x x t y y t +-+-+=，于是得到直线MN 的方程为(22)(2)240+--++=t x t y t ，再根据其斜率为1，即可解出t ，得到点Q 的坐标． 【详解】（1）依题意设圆心(,0)(0)C a a <5=，解得2a =-或10a =. 由于0a <，∴2a =-.∴圆的方程为22(2)2++=x y .（2）设(2,2)-Q t t ，以QC 为直径的圆的方程为(2)(2)(2)0,+-+-+=x x t y y t 即22(22)(2)40++-+--=x y t x t y t ①，22420x y x +++=② 由②－①得直线MN 的方程为(22)(2)240+--++=t x t y t .又∵221,12MN tK t +=∴=-，即4t =-． ∴点Q 的坐标为(8,6)-Q .【点睛】本题主要考查圆的方程的求法以及圆系知识的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题．圆的方程常用求法有：待定系数法，几何法；直线与圆系：设直线:0l Ax By C ++=，圆22:0C x y Dx Ey F ++++=，则经过直线l 与圆C 的交点的圆系方程可设为：()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=； 圆与圆系：设圆221111:0C x y D x E y F ++++=，222222:0C x y D x E y F ++++=，当圆1C 与圆2C 相交时，则经过圆1C 与圆2C 交点的圆系方程可设为：()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（除去圆2C ），当1λ=-时，其表示两圆公共弦所在直线的方程：()()()1212120D x E D E y F F -+-+-=．25．（1）2,33ππ；（2）()3,3或33,55⎛⎫⎪⎝⎭；（3）⎡⎣ 【分析】（1）设1l 的斜率为tan k α=，则2l 的斜率为3tan kβ-=，两直线的夹角为γ，不妨设0k >，利用两角差的正切公式计算，利用基本不等式求得最值；（2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，可得122313149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，可解出123,,k k k 的值，进一步求得直线RP 和直线PQ 的方程，联立得点P 的坐标； （3）设()()122:1,:1l y k x l y x k=++=-+，，设原点到两直线距离分别为12,d d ，求出12d d ，然后变形利用基本不等式求解．【详解】解：（1）设1l 的斜率为tan k α=，则2l 的斜率为3tan kβ-=，两直线的夹角为γ， 不妨设0k >，则()()313tan tan 132kk k k γβα--⎛⎫=-==+≥ ⎪+-⎝⎭k = 此时3πα=，23πβ=，即两直线倾斜角分别为2,33ππ；（2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，则122313149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得12332,,623k k k ===或12332,,623k k k =-=-=-，当12332,,623k k k ===时， 直线RP 的方程为()312y x =-，直线PQ 的方程为213y x =+， 联立得()3,3P ， 当12332,,623k k k =-=-=-时， 直线RP 的方程为()312y x =--，直线PQ 的方程为213y x =-+， 联立得33,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，故所求为()3,3P 或33,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）设()()122:1,:1l y k x l y x k=++=-+， 设原点到两直线距离分别为12,d d ，则12d d =====， 由于22459k k++≥，当且仅当22k =时等号成立， 故[)22910,145k k-∈++，12d d ⎡∈⎣， 即原点到两直线距离之积的取值范围为⎡⎣． 【点睛】方法点睛： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。
福州文博中学数学有理数同步单元检测(Word版 含答案)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．同学们都知道表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求 ________．（2）找出所有符合条件的整数，使得．满足条件的所有整数值有________（3）由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最大值或最小值？如果有最大值或最小值是多少？有最________（填“最大”或“最小”）值是________．【答案】（1）7（2）-3，-2，-1，0，1，2;（3）最小；3【解析】【解答】（1）原式=|5+2|=7.故答案为: 7;（2）令x+3=0或x-2=0时，则x=-3或x=2.当x<-3时，- (x+3) - (x-2) =5 ,-x-3-x+2=5，解得x=-3(范围内不成立)当-3≤x≤2时，(x+3) - (x-2) = 5,x+3-x+1=4，0x=0，x为任意数,则整数x=-3，-2，-1, 0，1，当x>2时，(x+3) + (x-2) = 5，x=2(范围内不成立) .综上所述，符合条件的整数x有: -3, -2, -1, 0，1，2.故答案为:-3，-2，-1，0，1，2;(3) 由(2) 的探索猜想,对于任何有理数x，有最小值为3,令x-3=0或x-6=0时,则x=3，x=6当x＜3时，-(x-3)-(x-6)=-2x+3﹥3当3≤x≤6时，x-3-(x-6)=3,当x＞6时，x-3+x-6=2x-9＞3∴对于任何有理数x，有最小值为3【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去掉绝对值就可以了；（2）要求x的整数值可以进行分段计算，令x+3=0或x-2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值.（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值.2．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A、B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________；（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离为________；（3）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动25个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________；（4）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么请你猜想终点B表示什么数？A、B两点间的距离为多少？【答案】（1）4；7（2）1；2（3）﹣13；9（4）解：一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p 个单位长度，那么请你猜想终点B表示m+n﹣p，A、B两点间的距离为|n﹣p|．【解析】【解答】解：（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是4，A、B两点间的距离是7；（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是1，A、B两点间的距离为2；（3）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动25个单位长度，那么终点B表示的数是﹣13，A、B两点间的距离是9；【分析】（1）根据数轴上的点向右平移加，可得B点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；（2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；（3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；（4）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；3．如图，数轴上点A，B分别对应数a，b.其中a＜0，b＞0.（1）当a＝﹣2，b＝6时，线段AB的中点对应的数是________；（直接填结果）（2）若该数轴上另有一点M对应着数m.①当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值；②当a＝﹣2，且AM＝3BM时，小安演算发现代数式3b﹣4m是一个定值.老师点评：你的演算发现还不完整!请通过演算解释：为什么“小安的演算发现”是不完整的？【答案】（1）2（2）解：①当m＝2，b＞2时，点M在点A，B之间，∵AM＝2BM，∴m﹣a＝2（b﹣m），∴2﹣a＝2（b﹣2），∴a+2b＝6，∴a+2b+20＝6+20＝26；②小安只考虑了一种情况，故老师点评“小安的演算发现”是不完整的.当点M在点A，B之间时，a＝﹣2，∵AM＝3BM，∴m+2＝3（b﹣m），∴m+2＝3b﹣3m，∴3b﹣4m＝2，∴代数式3b﹣4m是一个定值.当点M在点B右侧时，∵AM＝3BM，∴m+2＝3（m﹣b），∴m+2＝3m﹣3b，∴2m﹣3b＝2，∴代数式2m﹣3b也是一个定值.【解析】【解答】解：（1）由题意得出，线段AB的中点对应的数是2，故答案为：2.【分析】（1）首先根据数轴的性质，即可得出中点对应的数值；（2）①首先判定点M 在点A，B之间，然后根据等式列出关系式，即可得解；②根据题意，分两种情况进行求解：点M在点A，B之间和点M在点B右侧时，通过列出等式，即可判定.4．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，（1）写出数轴上点B表示的数________；（2）|5－3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：①：若，则=________.②：的最小值为________.（3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（＞0）秒．①：当 =1时，A，P两点之间的距离为________；②：当 =________时，A，P之间的距离为2.（4）动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒4个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．当t=________，P，Q之间的距离为4.【答案】（1）-12（2）6或10；20（3）6；3或5（4）2或4【解析】【解答】解：（1）∵AB=20，点A表示的数是8，B是数轴上位于点A左侧一点，∴点B表示的数是8-20=-12.故答案为：-12.（2）∵|x-8|=2∴x-8=±2解之：x=10或x=6；|x-（-12）|+|x-8|的最小值为8-（-12）=20.故答案为：6或10；20.（3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴OP=2t∴AP=8-2t当t=1时，AP=8-2×1=6；当AP=2时，则|8-2t|=2，解之：t=5或t=3.故答案为：6；3或5.（4）∵点P以每秒4个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，∴点Q的速度为每秒8个单位长度，设运动时间为t（t＞0）秒时，P，Q之间的距离为4.∴8t-4t-12=4或12+4t-8t=4解之：t=4或t=2故答案为：2或4.【分析】（1）根据点A表示的数和点B的位置关系，就可得到点B所表示的数。
七年级上册福州文博中学数学期末试卷同步检测(Word版 含答案)
七年级上册福州文博中学数学期末试卷同步检测（Word版含答案）一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）1．如图，数轴上点 A、B 到表示-2 的点的距离都为 6，P 为线段 AB 上任一点，C，D 两点分别从 P，B 同时向 A 点移动，且 C 点运动速度为每秒 2 个单位长度，D 点运动速度为每秒 3 个单位长度，运动时间为 t 秒.（1）A 点表示数为________，B 点表示的数为________，AB=________.（2）若 P 点表示的数是 0，①运动 1 秒后，求 CD 的长度；②当 D 在 BP 上运动时，求线段 AC、CD 之间的数量关系式.（3）若 t=2 秒时，CD=1，请直接写出 P 点表示的数.【答案】（1）-8；4；12（2）解：①运动一秒后，C点为-2，D点为1，所以CD=3；②当点D在BP上运动时， ,此时C在线段AP上，AC=8-2t，CD=2t+4-3t=4-t，所以AC=2CD（3）解：若 t=2秒时，D点为-2，若 CD=1，则 C=-3 或-1，①当 C=-3 时，CP=4，此时 P=1；②当 C=-1 时，P=3.【解析】【解答】解：⑴故答案为：-8;4;12；【分析】（1）由已知数轴上点 A、B 到表示-2 的点的距离都为 6 ，且点A在点B的左边，就可求出点A和点B表示的数，再利用两点间的距离公式求出AB的长。
（2）①由点A、B表示的数及点C、D的运动速度和方向，可得出运动1秒后点C、D分别表示的数，再求出CD的长；②当点D在BP上时，根据t的取值范围，分别用含t的代数式表示出AC、CD的长，就可得出AC、CD的数量关系。
（3）根据t的值及CD的长，就可得出点C表示的数，从而就可求出点P所表示的数。
2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是多少．②数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是多少．③数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是多少．（2）归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．应用：①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：|a﹣3|=7，求a的值．②若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，求|a+4|+|a﹣3|的值．③当a取何值时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|的值最小，最小值是多少？请说明理由．（3）拓展：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：A1， A2， A3，A4， A5，…A2014，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在什么线段上，才能使这2014户居民到点P的距离总和最小.【答案】（1）解：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是3．②数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是4．③数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是7．（2）解：①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：|a﹣3|=7，a=10或﹣4．②若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，|a+4|+|a﹣3|=a+4+3﹣a=7；③当a=1时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|取最小值，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|最小=5+0+2=7，理由是：a=1时，正好是3与﹣4两点间的距离．（3）解：点P选在A1007A1008这条线段上【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|，分别计算可得出答案。
2020-2021学年福建省福州市鼓楼区文博中学九年级上学期月考数学试卷 (Word版 含解析)
2020-2021学年福建省福州市鼓楼区文博中学九年级第一学期月考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知反比例函数，下列说法中正确的是（）A．该函数的图象分布在第一、三象限B．点（﹣4，﹣3）在函数图象上C．y随x的增大而增大D．若点（﹣2，y1）和（﹣1，y2）在该函数图象上，则y1＜y22．关于二次函数y＝（x+1）2，下列说法正确的是（）A．当x＜1时，y值随x值的增大而增大B．当x＜1时，y值随x值的增大而减小C．当x＜﹣1时，y值随x值的增大而增大D．当x＜﹣1时，y值随x值的增大而减小3．已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（）A．一定在⊙O的内部B．一定在⊙O的外部C．一定在⊙O上D．不能确定4．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．5．定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形．已知点P是抛物线y＝x2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（）A．16B．4C．﹣12D．﹣186．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）A．a＜0B．b＜0C．c＜0D．a＜b7．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（）A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．29．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，反比例函数在第一象限经过△ABO 的顶点A，且点B在x轴上，过点B作x轴的垂线交反比例函数图象于点C，连结OC 交AB于点D，已知，，则k的值为（）A．6B．8C．D．二、填空题（共6小题）.11．关于x的函数y＝（m﹣2）x|m|﹣4是二次函数，则m＝．12．如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝．13．下列说法中正确的序号是．①在函数y＝﹣x2中，当x＝0时，y有最大值0；②在函数y＝2x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大；③抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝﹣中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝﹣x2的开口最大；④不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点．14．分别以矩形OABC的边OA，OC所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点B 的坐标是（4，2），将矩形OABC折叠使点B落在G（3，0）上，折痕为EF，若反比例函数的图象恰好经过点E，则k的值为．15．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，＝＝，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝∠DOB；③DM ⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是．16．如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB⊥y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE 的面积为，则k的值为．三、解答题17．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．18．（8分）已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0（1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根；（2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k 值及该菱形的面积．19．（8分）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA＝2，OA和AB的长度是关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0的两个实数根．（1）求弦AB的长度；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，当S△POA＝S△AOB时，求P 点所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，射线AM经过⊙O上的点E，弦AC平分∠MAB，过点C作CD⊥AM，垂足为D．（1）请用尺规作图将图形补充完整，不写作法，保留痕迹，并证明：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝8，CD＝2，求弦AE的长．22．（10分）某水产品养殖企业为指导该企业某种产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品的养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式+36，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示：（1）试确定b、c的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（3）几月份出售这种水产品每千克利润最大？最大利润是多少？23．（10分）如图，反比例函数y＝（x＞0）过点A（4，3），直线AC与x轴交于点C （6，0），过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B．（1）求k的值与B点的坐标；（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试直接写出符合条件的所有D点的坐标．24．（12分）如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB＝45°．（1）若AP＝2，BP＝6，求MN的长；（2）若MP＝3，NP＝5，求AB的长；（3）当P在AB上运动时（∠NPB＝45°不变），的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其范围．25．（14分）已知点（4，0）、（﹣2，3）为二次函数图象抛物线上两点，且抛物线的对称轴为直线x＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线平移，使顶点与原点重合，已知点M（m，﹣1），点A、B为抛物线上不重合的两点（B在A的左侧），且直线MA与抛物线仅有一个公共点．①如图1，当点M在y轴上时，过点A、B分别作AP⊥y轴于点P，BQ⊥x轴于点Q．若△APM与△BQO相似，求直线AB的解析式；②如图2，当直线MB与抛物线也只有一个公共点时，记A、B两点的横坐标分别为a、b．当点M在y轴上时，直接写出的值为；当点M不在y轴上时，求证：为一个定值，并求出这个值．参考答案一、选择题1．已知反比例函数，下列说法中正确的是（）A．该函数的图象分布在第一、三象限B．点（﹣4，﹣3）在函数图象上C．y随x的增大而增大D．若点（﹣2，y1）和（﹣1，y2）在该函数图象上，则y1＜y2解：A、k＝﹣6＜0，函数的图象在第二、四象限，故说法错误；B、因为﹣3×（﹣4）＝12≠﹣6，所以点（﹣4，﹣3）不在函数图象上，故说法错误C、k＝﹣6＜0，在每个象限内，y随着x的增大而增大，故说法错误；D、k＝﹣6＜0，在每个象限内，y随着x的增大而增大，因为﹣2＜﹣1＜0，则y1＜y2，故说法正确；故选：D．2．关于二次函数y＝（x+1）2，下列说法正确的是（）A．当x＜1时，y值随x值的增大而增大B．当x＜1时，y值随x值的增大而减小C．当x＜﹣1时，y值随x值的增大而增大D．当x＜﹣1时，y值随x值的增大而减小【解答】解；如图，由图象可得：当x＜1时，y值随x值的增大先减少后增大，故A错误；当x＜1时，y值随x值的增大先减少后增大，故B错误；当x＜﹣1时，y值随x值的增大而减少，故C错误；当x＜﹣1时，y值随x值的增大而减小，故D正确；故选：D．3．已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（）A．一定在⊙O的内部B．一定在⊙O的外部C．一定在⊙O上D．不能确定解：r＝×10＝5，d＝8＞r，点P一定在⊙O的外部．故选：B．4．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．解：A、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故A错误．B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故B错误；C、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故D正确；故选：D．5．定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形．已知点P是抛物线y＝x2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（）A．16B．4C．﹣12D．﹣18解：∵点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的点，∴n＝m2+k，∴k＝n﹣m2，∴点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16，∴|m|＝4，|n|＝4，当n≥0时，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12；当n＜0时，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20；故选：C．6．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）A．a＜0B．b＜0C．c＜0D．a＜b解：∵开口向下，且对称轴位于y轴左侧、抛物线与y轴的交点位于y轴的负半轴，∴a＜0、b＜0，c＜0，故此选项A、B、C正确；∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴a﹣b+c＞c，∴a﹣b＞0，即a＞b，故选项D错误；故选：D．7．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（）A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°解：∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，∵∠AOD+∠COD＝90°，∴β+180°﹣2α＝90°，∴2α﹣β＝90°，故选：D．8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．2解：由题意得：BM＝CN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠ABP+∠CBN＝90°，∴∠ABP+∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；故选：A．9．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：连接OC，OD，∵OC＝OD，CM＝DM，OM＝OM，∴△CMO≌△DMO（SSS），∴∠ODM＝∠OCM，∵MC与⊙O相切于点C，∴∠OCM＝90°，∴∠ODM＝90°，∴MD与⊙O相切；故①正确；∵△CMO≌△DMO，∴∠COM＝∠DOM，∴∠AOC＝∠AOD，∵OA＝OA，∴△AOC≌△AOD（SAS），∴AC＝AD，∴AC＝AD＝CM＝DM，∴四边形ACMD是菱形，故②正确；∵AC＝CM，∴∠CAM＝∠CMA，∵∠COM＝2∠CAM，∴∠COM＝2∠CMO，∴∠CMO＝30°，∴OC＝OM，∵OC＝AB，∴AB＝OM，故③正确；∵四边形ACMD是菱形，∴∠DAM＝∠DMA＝∠AMC＝∠CAM＝30°，∴∠ADM＝120°，故④正确；故选：A．10．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，反比例函数在第一象限经过△ABO 的顶点A，且点B在x轴上，过点B作x轴的垂线交反比例函数图象于点C，连结OC 交AB于点D，已知，，则k的值为（）A．6B．8C．D．解：如图，过A作AF垂直OB于F点，交OC于E点，∴AF∥BC，∴△AED∽△BCD，∴，∴，设，则AF＝tBC，∴，又OF×AF＝OB×BC，∴，又EF∥BC，∴△OEF∽△OCB∴，∴，解得t1＝2，t2＝﹣（舍去），∴AF＝2BC，OB＝2OF，又∵，∴，∴OA＝3OF，在Rt△AOF中，勾股定理可得AF＝，∴，在Rt△OBC中，OB2+BC2＝OC2，∴，解得OF＝或﹣（舍去），∴AF＝＝4，∴k＝OF×AF＝，故选：C．二、填空题11．关于x的函数y＝（m﹣2）x|m|﹣4是二次函数，则m＝﹣2．解：由题意得：|m|＝2，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2，故答案为：﹣2．12．如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝．解：，解得，或，∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），∴AB＝＝3，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝，即点P的坐标为（0，），将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，∴△PAB的面积是：＝，故答案为：．13．下列说法中正确的序号是①②④．①在函数y＝﹣x2中，当x＝0时，y有最大值0；②在函数y＝2x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大；③抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝﹣中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝﹣x2的开口最大；④不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点．解：由函数的解析式y＝﹣x2，可知a＝﹣1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y＝0，故①正确；由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故②正确；根据二次函数的性质，系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，且|a|越大开口越小，可知抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝﹣x2的开口第二小，而y＝开口最大，故③不正确；不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，故④正确．综上，正确的结论是：①②④．故答案为：①②④．14．分别以矩形OABC的边OA，OC所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点B 的坐标是（4，2），将矩形OABC折叠使点B落在G（3，0）上，折痕为EF，若反比例函数的图象恰好经过点E，则k的值为3．解：过G作GD⊥BC于D，则点D（3，2），设CE的长为a，根据折叠的性质知：EG＝BE＝4﹣a，ED＝3﹣a，在Rt△EGD中，EG2＝ED2+DG2，∴（4﹣a）2＝（3﹣a）2+22，解得：，∴点E的坐标为（，2），∵反比例函数的图象恰好经过点E，∴，故答案为：3．15．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，＝＝，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝∠DOB；③DM ⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是3．解：∵＝＝，点E是点D关于AB的对称点，∴＝，∴∠DOB＝∠BOE＝∠COD＝×180°＝60°，∴①正确；∠CED＝∠COD＝＝30°＝∠DOB，∴②正确；∵的度数是60°，∴的度数是120°，∴只有当M和A重合时，∠MDE＝60°，∵∠CED＝30°，∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；做C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，连接CD，∵＝＝＝，并且弧的度数都是60°，∴∠D＝×120°＝60°，∠CFD＝＝30°，∴∠FCD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴DF是⊙O的直径，即DF＝AB＝10，∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；综上所述，正确的个数是3个．故答案是：3．16．如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB⊥y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE 的面积为，则k的值为．解：连CD，如图，∵AE＝3EC，△ADE的面积为，∴△CDE的面积为，∴△ADC的面积为2，设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，∵点D为OB的中点，∴BD＝OD＝b，∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，∴（a+2a）×b＝a×b+2+×2a×b，∴ab＝，把A（a，b）代入双曲线y＝得，∴k＝ab＝．故答案为：．三、解答题17．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．解：（1）∵x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，∴x﹣2＝，∴x1＝2+，x2＝2﹣；（2）∵3x（x﹣1）＝﹣2（x﹣1），∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，则（x﹣1）（3x+2）＝0，∴x﹣1＝0或3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝﹣．18．（8分）已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0（1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根；（2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k 值及该菱形的面积．【解答】（1）证明：根据题意得：△＝[﹣（3k+3）]2﹣4（2k2+4k+2）＝（k+1）2．∵无论k为何值，总有（k+1）2≥0，∴无论k为何值，原方程都有实数根；（2）∵关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0的两实数根是x1、x2，∴x1+x2＝3k+3，x1x2＝2k2+4k+2，∴由x1x2+2x1+2x2＝36，得2k2+4k+2+2（3k+3）＝36，整理，得（k+7）（k﹣2）＝0．解得k1＝﹣7（舍去），k2＝2．∴x1x2＝×2（k+1）2＝（2+1）2＝9．即菱形的面积是9．19．（8分）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA＝2，OA和AB的长度是关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0的两个实数根．（1）求弦AB的长度；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，当S△POA＝S△AOB时，求P 点所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）．解：（1）由题意知：OA和AB的长度是x2﹣4x+a＝0的两个实数根，∴OA+AB＝﹣＝4，∵OA＝2，∴AB＝2；（2）过点C作OC⊥AB于点C，∵OA＝AB＝OB＝2，∴△AOB是等边三角形，∴AC＝AB＝1在Rt△ACO中，由勾股定理可得：OC＝∴S△AOB＝AB•OC＝×2×＝（3）延长AO交⊙O于点D，由于△AOB与△POA有公共边OA，当S△POA＝S△AOB时，∴△AOB与△POA高相等，由（2）可知：等边△AOB的高为，∴点P到直线OA的距离为，这样点共有3个①过点B作BP1∥OA交⊙O于点P1，∴∠BOP1＝60°，∴此时点P经过的弧长为：＝，②作点P2，使得P1与P2关于直线OA对称，∴∠P2OD＝60°，∴此时点P经过的弧长为：＝π，③作点P3，使得B与P3关于直线OA对称，∴∠P3OP2＝60°，∴此时P经过的弧长为：＝，综上所述：当S△POA＝S△AOB时，P点所经过的弧长分别是、、．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，∵点F是ED的中点，∴CF＝EF＝DF，∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OD⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，∴CF与⊙O相切；（2）解：连接AD，∵OD⊥AB，AC⊥BD，∴∠AOE＝∠ACD＝90°，∵∠AEO＝∠DEC，∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，∵AO＝BO，∴AD＝BD，∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，∴∠ADB＝45°，∴∠CAD＝∠ADC＝45°，∴AC＝CD．21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，射线AM经过⊙O上的点E，弦AC平分∠MAB，过点C作CD⊥AM，垂足为D．（1）请用尺规作图将图形补充完整，不写作法，保留痕迹，并证明：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝8，CD＝2，求弦AE的长．【解答】（1）作图如图1所示：证明：连接OC，则OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA∵AC平分∠MAB，∴∠OAC＝∠MAC∴∠OCA＝∠MAC，∴AM∥OC，∵CD⊥AM，垂足为D，∴∠CDM＝90°∴∠OCD＝∠CDM＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：作OF⊥AM，垂足为F，则AF＝EF，四边形OCDF是矩形，∴，在Rt△AOF中，∵AF2+OF2＝OA2∴，∴AE＝2AF＝4．22．（10分）某水产品养殖企业为指导该企业某种产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品的养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式+36，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示：（1）试确定b、c的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（3）几月份出售这种水产品每千克利润最大？最大利润是多少？解：（1）根据图象，将（3，25）和（4，24）分别代入解析式得：，解得：，；（2）由题意得：y＝y1﹣y2，∴y＝（﹣x+36）﹣（x2﹣+）＝﹣x2+x+；（3）将y＝﹣x2+x+化为顶点式得：，∵，∴抛物线开口向下，∴当x＝6时，二次函数取得最大值，此时y＝11，所以6月份出售这种水产品每千克利润最大，最大利润是每千克11元．23．（10分）如图，反比例函数y＝（x＞0）过点A（4，3），直线AC与x轴交于点C （6，0），过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B．（1）求k的值与B点的坐标；（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试直接写出符合条件的所有D点的坐标．解：（1）把A（4，3）代入y＝得：k＝12，当x＝6时，y＝12÷6＝2，∴点B（6，2），答：k的值为12，点B的坐标为（6，2）．（2）A（4，3），B（6，2）、C（6，0），BC＝2，①过A作BC的平行线，在这条平行线上截取AD1＝BC，AD2＝BC，此时D1（4，1），D2（4，5），②过点C作AB的平行线与过B作AC的平行线相交于D3，过点A作AM⊥BC，垂足为M，过D3作D3N⊥BC，垂足为N，∵ABCD3是平行四边形，∴AC＝BD3，∠ACM＝∠DBN，∴△ACM≌△D3BN（AAS）∴D3N＝AM＝6﹣4＝2，CM＝BN＝3，∴D3的横坐标为6+2＝8，CN＝3﹣2＝1∴D3（8，﹣1）答：符合条件的所有D点的坐标为（4，1），（4，5），（8，﹣1）．24．（12分）如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB＝45°．（1）若AP＝2，BP＝6，求MN的长；（2）若MP＝3，NP＝5，求AB的长；（3）当P在AB上运动时（∠NPB＝45°不变），的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其范围．解：（1）作OH⊥MN于H，连接ON，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，OP＝2，在Rt△POH中，∵∠OPH＝45°，∴OH＝OP＝，在Rt△OHN中，∵ON＝4，OH＝，∴NH＝＝＝，∵OH⊥MN，∴HM＝HN，∴MN＝2NH＝2；（2）作OH⊥MN于H，连接ON，则HM＝HN，∵MP＝3，NP＝5，∴MN＝8，∴HM＝HN＝4，∴PH＝1，在Rt△POH中，∵∠OPH＝45°，∴OH＝1，在Rt△OHN中，∵HN＝4，OH＝1，∴ON＝＝，∴AB＝2ON＝2；（3）的值不发生变化，为定值，作OH⊥MN于H，连接ON，则HM＝HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，OH2+NH2＝ON2＝R2，在Rt△POH中，∵∠OPH＝45°，∴OH＝PH，∴PH2+NH2＝R2，∵PM2+PN2＝（HM﹣PH）2+（NH+PH）2＝（NH﹣PH）2+（NH+PH）2＝2（PH2+NH2）＝2R2．又AB2＝4R2，∴＝＝∴的值不发生变化，为定值．25．（14分）已知点（4，0）、（﹣2，3）为二次函数图象抛物线上两点，且抛物线的对称轴为直线x＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线平移，使顶点与原点重合，已知点M（m，﹣1），点A、B为抛物线上不重合的两点（B在A的左侧），且直线MA与抛物线仅有一个公共点．①如图1，当点M在y轴上时，过点A、B分别作AP⊥y轴于点P，BQ⊥x轴于点Q．若△APM与△BQO相似，求直线AB的解析式；②如图2，当直线MB与抛物线也只有一个公共点时，记A、B两点的横坐标分别为a、b．当点M在y轴上时，直接写出的值为1；当点M不在y轴上时，求证：为一个定值，并求出这个值．解：（1）设y＝ax2+bx+c（a≠0），由题意得，解得，∴抛物线解析式；（2）①M（0，﹣1），平移后抛物线，设MA：y＝kx﹣1，则联立，整理得：，则△＝k2﹣1＝0，∴k＝±1，又由图，A在y轴右侧，故k＝1，A（2，1），∴AP＝PM＝2，△APM为等腰直角三角形，又△APM与△BQO相似，∴△BQO为等腰直角三角形，设B（﹣x，x），代入抛物线解析式得：，解得x＝4或x＝0（舍去），∴B（﹣4，4），设AB：y＝mx+n，把A（2，1），B（﹣4，4）代入得：，解得：，∴AB解析式为：；②（i）∵关于y轴对称，M在y轴上，且MA，MB与抛物线只有一个交点，∴A、B两点关于y轴对称，∴a＝﹣b，∴＝＝1，故答案是：1；（ii）设MA：y＝k1x﹣k1m﹣1，则联立，整理得：x2﹣4k1x+4k1m+4＝0，∵此方程仅一个根，故，且，同理设MB：y＝k2x﹣k2m﹣1，亦有b＝2k2，，故k1，k2为方程x2﹣mx﹣1＝0不相等两个实数根，k1+k2＝m，∴，即为一定值1，∴当点M不在y轴上时，为一个定值1．。
福州市文博中学数学平面图形的认识(一)单元达标训练题(Word版 含答案)
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧（1）若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②点F(异于A，B，C点)在线段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长；（2）若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式，则________.【答案】（1）解：①又 E为BC中点；②设，因点F（异于A、B、C点）在线段AB上，可知：，和当时，此时可画图如图2所示，代入得：解得：，即AD的长为3当时，此时可画图如图3所示，代入得：解得：，即AD的长为5综上，所求的AD的长为3或5；（2） .【解析】【解答】（2）①若DE在如图4的位置设，则又（不符题设，舍去）②如DE在如图5的位置设，则又代入得：解得：则 .【分析】（1）①根据AB的长和可求出AC和BC，根据中点的定义可得CE，再由可得CD，最后根据计算即可得；②设，因点F（异于A、B、C点）在线段AB上，可知，和，所以需分2种情况进行讨论：和，如图2、3（见解析），先根据已知条件判断点E、F位置，再将EF和CE用含x的式子表示出来，最后代入求解即可；（2）设，先判断出DE在AB上的位置，再根据得出x和y 满足的等式，然后将其代入化简即可得.2．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．【答案】（1）解：AB∥CD.理由如下：如图1，∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°．又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，∴∠AEF+∠CFE=180°，∴AB∥CD；（2）证明：如图2，由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°．又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°，∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥G H；（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：如图3，∵∠1=∠2，∴∠3=2∠2．又∵GH⊥EG，∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2．∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2．∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠2．∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°，∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；（2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK= ∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°．3．综合题（1）ⅰ问题引入如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝________（用α表示）；ⅱ拓展研究如图②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，试求∠BOC的度数________（用α表示）.ⅲ归纳猜想若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝________（用α表示）.（2）类比探索ⅰ特例思考如图③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，求∠BOC的度数________（用α表示）.ⅱ一般猜想若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝________（用α表示）.【答案】（1）90°＋∠α；120°＋∠α；（2）120°－∠α； .【解析】【解答】（1）ⅰ90°＋∠α；ⅱ如图②，∵∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，∴∠BOC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－（180°－∠A）＝180°－（180°－∠α）＝180°－60°＋∠α＝120°＋∠α；ⅲ；（ 2 ）ⅰ如图③，∵∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，∴∠BOC＝180°－（∠DBC＋∠ECB）＝180°－ [360°－（∠ABC＋∠ACB）]＝180°－ [360°－（180°－∠A）]＝180°－（180°＋∠α）＝180°－60°－∠α＝120°－∠α.；ⅱ .【分析】（1）ⅰ根据角平分线的定义，可得出∠CBO=∠ABC，∠OCB=∠ACB，可得出∠CBO+∠OCB=（180°-∠A），再在△COB中，利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-（∠CBO+∠OCB），即可得出结果；ⅱ根据∠CBO=∠ABC，∠OCB=∠ACB，可得出∠CBO+∠OCB=（180°-∠A），再在△COB中，利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-（∠CBO+∠OCB），即可得出结果；ⅲ根据∠CBO=∠ABC，∠OCB=∠ACB，可得出∠CBO+∠OCB=（180°-∠A），再在△COB中，利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-（∠CBO+∠OCB），即可得出结果。
福州文博中学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．若直线:10(0,0)l ax by a b ++=>>把圆()()22:4116C x y +++=分成面积相等的两部分，则当ab 取得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是（ ） A ．4 B ．817 C ．2 D ．8172．已知 ,AC BD 是圆224x y +=的互相垂直的两条弦,垂足为()1,2M ,则四边形ABCD 面积的最大值为M ,最小值为N ,则M N -的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．已知圆922=+y x 的弦过点)2,1(P ，当弦长最短时，该弦所在直线方程为 （ ） A ．02=-y B ．052=-+y x C ．02=-y x D ．01=-x4．已知点P 是圆22:450C x y x ay +++-=上任意一点， P 点关于直线210x y +-=的对称点在圆上，则实数a 等于（ ） A ．10 B ．10- C ．20 D ．20-5．在直角三角形中，斜边上的高为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（ ） A ．56cm B ．B ．46cm C ．56cmD ．53cm 6．以下各点在圆22(4)4x y -+= 内的是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(3,1)D ．(1,3)7．已知点A (2,0)-,B (0,2),点P 是圆22(1)1x y -+=上任意一点，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A.3B.23+C.23-D.6 8．已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（ ）．A ．B ．C ．D ．9．（2015春•咸阳校级期中）若图中，PA 切⊙O 于点A ，PCB 交⊙O 于C 、B 两点，且PCB 过点O ，AE ⊥BP 交⊙O 于E ，则图中与∠CAP 相等的角的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．直线:1l y kx =-与圆221x y +=相交于A 、B 两点，则OAB ∆的面积最大值为（ ） A ．14 B ．12 C ．1 D ．3211．已知点13(,)22A 是圆C:221x y += 上的点，过点A 且与圆C 相交的直线AM 、AN 的倾斜角互补，则直线MN 的斜率为（ ）A ．33 B ．3 C ．233D ．不为定值 12．已知圆C ：1)1(22=++y x 与圆O ：1)1(22=+-y x 关于某直线对称，则直线的方程为 （ ）A 、x y -=B 、1+-=x yC 、x y =D 、1-=x y二、填空题13．若圆22(1)4x y +-=上恰有2个不同的点到直线30x y m ++=的距离为1，则m 的取值范围为_______ 14．过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率________.15．对于任意实数k ，直线(3k ＋2)x －ky －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是________． 16．若存在实数同时满足，则取值范围是 ．17．经过圆22230x x y ++-=的圆心C ，并且与直线10x y +-=垂直的直线方程是 ．18．已知圆C:224x y +=与直线:20l x y --=，则圆C 上点距直线l 距离为1的点有___个.19．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD PD ⊥．若4PC =，2PB =，则圆O 的半径为，CD =____________．20．如下图，PA ，PB 为⊙的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交⊙于两点，若则__________.三、解答题21．求圆心在直线x y 2=上,并且经过点()2,0-A ,与直线02=--y x 相切的圆的标准方程.22．记事件A 为“直线0=-by ax 与圆6)22(22=+-y x 相交”（1）若将一颗骰子先后掷两次得到的点数分别记为b a ,，求事件A 发生的概率 （2）若实数b a ,满足4)1()3(22≤-+-b a ，求事件A 发生的概率．23．已知圆22:215C x y x ++=，M 是圆C 上的动点，(1,0)N ，MN 的垂直平分线交CM 于点P ,求点P 的轨迹方程．24．（12分） 圆8)1(22=++y x 内有一点P （-1,2）,AB 过点P , ①若弦长72||=AB ，求直线AB 的倾斜角α； ②圆上恰有三点到直线AB 的距离等于2，求直线AB 的方程．25．（本题满分12分）已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ，且与双曲线122=-y x 相交于B 、A 两点．若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程．26．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线与圆C 相切．（I ）求圆C 的方程；（II ）过点Q （0，－3）的直线l 与圆C 交于不同的两点A、B，当时，求△AOB 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【解析】依题意可知直线过圆心()4,1--，代入直线方程得1144,16a b ab ab =+≥≤，当且仅当142b a ==2281717a b=+2．D解析：D 【解析】试题分析：设点O 到直线AC 和直线BD 的距离分别为12,d d ，如图，做,OE BD OF AC ⊥⊥,则四边形OEMF 为矩形，又()1,2M ，所以22123d d +=，221224,24AC d BD d =-=-．则四边形ABCD 的面积为：()()221212442S AC BD d d ==--，又22213dd =-，所以()()()()222211112443241S d d d d =--+=-+，令21dt =，则03t ≤≤，从而()()()224123403S t t t t t =-+=-++≤≤．对于函数234y t t =-++，其对称轴为32t =，根据一元二次函数的性质，2max min 332534,4224y y ⎛⎫=-+⋅+== ⎪⎝⎭，即max min 2525,2444M S N S ======，所以1M N -=，选D ．考点：1.勾股定理；2.一元二次函数的最值；3.数形结合的思想和方法．【方法点晴】本题考查的是勾股定理和一元二次函数的最值，属于中档题．本题首先根据已知条件可得：12S AC BD =和22123d d +=，从而转化为利用圆中三角形勾股定理求弦长．表示出面积后，利用前面条件，把面积表示为关于21d 的二次函数，利用换元法令21d t =，此时注意03t ≤≤，转化为一元二次函数在闭区间上的最值问题，确定对称轴即可求解．3．B解析：B 【解析】试题分析：当弦过圆心时最长，所以直线过(0,0) ，)2,1(P ，由两点式得直线方程是02=-y x当弦与02=-y x 垂直时，弦长最短，由点斜式得直线方程052=-+y x 考点：与圆有关的最值问题4．B解析：B【解析】试题分析：将圆22:450C x y x ay +++-=化成标准方程()2222924a a x y ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，故圆心为2,2a C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依意可知直线210x y +-=过点圆心C ，所以()2210102aa ⨯---=⇒=-，故选B ．考点：1．圆的方程；2．直线与圆的位置关系．5．A解析：A 【分析】通过构建勾股定理可求出斜边长度，从而得到答案. 【详解】如图使得t ABC R ∆中，AD=6， 由题意，可设=3x CD ，=2x BD ,根据勾股定理可知：()()22222AD CD AD BD BC +++=， 即()()22222964625x x x +++=，解得6x =，因此BC=56， 所以斜边上的中线长为：56， 故选：A.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，结合点与圆位置关系的判定方法，依次分析选项，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A ，对于（0，1），有()2204117-+=＞4，点在圆外，不符合题意；对于B ，对于（1，0），有()221409-+=＞4，点在圆外，不符合题意； 对于C ，对于（3，1），有()223412-+=＜4，点在圆内，符合题意； 对于D ，对于（1，3），有()2214318-+=＞4，点在圆外，不符合题意；故选：C ． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，关键是分析点与圆关系的判定，属于基础题．7．B解析：B 【解析】试题分析：由A,B 两点可知AB 直线为20x y -+=，由圆的方程可知圆心()1,0,1r =，圆心到直线的距离10222d -+==，所以点P 到直线AB 的最大距离为12+，所以面积的最大值为1122132222S AB h ⎫==⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭考点：圆的性质及点到直线的距离8．D解析：D【解析】双曲线的渐近线方程为，∵双曲线的渐近线与圆相切，∴，∴，∵双曲线的一个焦点为，∴，∴，，∴双曲线的方程为．故选D ．考点：双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用．9．C解析：C 【解析】试题分析：相等的角为弧AC 对应两个圆周角以及∠CAE ． 解：由题意，PCB 过点O ，AE ⊥BP 交⊙O 于E ， ∴AC=CE ，∴∠CAE=∠CEA=∠ABC ， ∵PA 切⊙O 于点A ， ∴∠CAP=∠ABC ，∴∠CAE=∠CEA=∠ABC=∠CAP ， 故选：C ．考点：弦切角；圆周角定理．10．B解析：B 【解析】试题分析：由题意可得OAB ∆的面积为12sin OAB ∠，再根据正弦函数的值域，求得它的最大值．由题意可得1OA OB ==，OAB ∆的面积为111222OA OB sin AOB sin AOB ⋅⋅∠=∠≤，故选B.考点：直线与圆的位置关系【方法点睛】直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d>r ，则直线与圆相离； 若d ＝r ，则直线与圆相切； 若d<r ，则直线与圆相交．（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数（也就是方程组解的个数）来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切； 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．11．A解析：A 【解析】试题分析：设直线AM 斜率为k ，所以AM直线为12y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与圆的方程221x y +=联立得())222111044kx kk x k +++-=11122M x x =∴=，代入直线得1y 值，从而得到(),M M M x y ，同理可得(),N N N x y ，则直线MN的斜率为N M N My y k x x -=-考点：1．直线方程；2．直线与圆相交的位置关系12．A解析：A 【解析】试题分析：两圆的圆心分别为()()0,1,1,0-，所以两点中点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，两点连线斜率为1，所以所求直线为1122y x y x ⎛⎫+=--∴=- ⎪⎝⎭ 考点：直线方程与圆的对称二、填空题13．或【解析】【分析】若圆上恰有2个点到直线的距离等于1则圆心到直线的距离d 满足1＜d ＜3代入点到直线的距离公式可得答案【详解】由圆C 的方程可得圆心C 为（01）半径为2若圆上恰有2个点到直线的距离等于1解析：73m -<<-或15m 【解析】 【分析】若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离d 满足1＜d ＜3，代入点到直线的距离公式，可得答案． 【详解】由圆C 的方程()2214x y +-=，可得圆心C 为（0，1），半径为2,若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则圆心C 到直线30x y m ++=的距离d 满足1＜d ＜3， 由点到直线的距离公式可得01132m++<<， 解得73m -<<-或15m ， 故答案为：73m -<<-或15m ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，其中分析出圆心到直线的距离的范围是解答此题的关键．14．22【解析】设圆心为A 则劣弧所对的圆心角最小时直线l 与AP 垂直即k×21-2=-1k=22 解析：【解析】设圆心为，则劣弧所对的圆心角最小时，直线与垂直，即15．相切或相交【解析】试题分析：把圆的方程化为标准形式得：(x-1)2+(y-1)2=5可知圆的半径等于5求出圆心到直线的距离d=|2k|(3k+2)2+k2≤2<5所以直线与圆相交考点：直线与圆的位置解析：相切或相交【解析】试题分析：把圆的方程化为标准形式得：，可知圆的半径等于，求出圆心到直线的距离，所以直线与圆相交 考点：直线与圆的位置关系16．5-27【解析】试题分析：因为y+1≥02y -x-4<0所以|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|=|x+y|+5+x-y=5+2xx+y≥05-2yx+y<0又当x+y≥0时-22≤x≤15+2 解析：【解析】 试题分析：因为，所以，又当时，；当时，；因此取值范围是考点：直线与圆位置关系17．【解析】试题分析：由题设可知圆心的坐标为所求直线的斜率为则所求直线的方程为即考点：直线与圆的方程 解析：10x y -+=【解析】试题分析：由题设可知圆心C 的坐标为)0,1(-C ,所求直线的斜率为1,则所求直线的方程为1+=x y ,即01=+-y x .考点：直线与圆的方程．18．3【解析】【分析】设圆心O 到直线的距离为d 结合图形可得：圆C 上到直线l 的距离为1的点的个数为3个【详解】设圆心O 到直线的距离为d 结合图形可得：圆C 上点距直线距离为1的点有3个即答案为3【点睛】本题考解析：3 【解析】 【分析】设圆心O 到直线的距离为d ，结合图形可得：圆C 上到直线l 的距离为1的点的个数为3个． 【详解】设圆心O 到直线的距离为d ，0021,22d r +-===结合图形可得：圆C 上点距直线l 距离为1的点有3个. 即答案为3 【点睛】本题考查点到直线的距离，关键是结合图形，属于基础题．19．3【解析】试题分析：由PD 与半圆O 相切于点C 及切割线定理得OC ⊥PD 再利用AD ⊥PD 得到OC ∥AD 利用平行线分线段成比例即可得出设圆的半径为R 连接OC ∵PD 与半圆O 相切于点C ∴OC ⊥PD ∵PC=4P解析：3， 【解析】试题分析：由PD 与半圆O 相切于点C 及切割线定理得2PC PB PA =⋅，OC ⊥PD ．再利用AD ⊥PD 得到OC ∥AD ．利用平行线分线段成比例即可得出．设圆的半径为R ．连接OC ．∵PD 与半圆O 相切于点C ，∴2PC PB PA =⋅，，OC ⊥PD ．∵PC=4，PB=2，24222R ∴=⨯+（），解得R=3．又∵AD ⊥PD ，∴OC ∥AD ．4231235PC PO CD CD OA CD +∴∴∴=＝．＝，.考点：与圆有关的比例线段20．4【解析】试题分析：由切割线定理可知：而由Q 是QA 的中点可知QA=4所以PB=QA=4；故答案为4考点：平面几何选讲解析：4 【解析】试题分析：由切割线定理可知：，而由Q 是QA 的中点可知QA=4，所以PB=QA=4；故答案为4. 考点：平面几何选讲.三、解答题21．98343222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 【解析】试题分析：求圆的方程一般采用待定系数法，首先设出圆的方程，()()2222r a y a x =-+-将已知条件代入得到参数值，从而确定方程试题因为圆心在直线x y 2=上,设圆心坐标为()a a 2, 则圆的方程为()()2222r a y ax =-+-,圆经过点()2,0-A 且和直线02=--y x 相切,所以有 ()⎪⎩⎪⎨⎧=--=++r a a r a a 22222222解得：32-=a ，322=r 所以圆的方程为98343222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 考点：圆的方程 22．（1）43；（2）23- 【解析】试题分析：（1）根据条件得到b a ,间的关系，找出所有的基本事件再找出事件A 中的基本事件即可得到事件A 发生的概率；（2）首先分析这是一个几何概型，找出相应的区域计算面积进而得出事件A 发生的概率． 试题（1）事件A223a b <⇔<总的基本事件有36个，A 发生有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6），共27个故事件A 发生的概率为43 （2）事件A 发生的区域如图阴影部分面积为半圆面积加上弓形面积 弓形面积为3-32π阴影部分面积为83π-故事件A 发生的概率为23- 考点：概率模型的应用．23．13422=+y x【解析】试题分析：由几何条件得点P 满足条件：4NP MP CM PC PC ==-=-,即4NP PC NC +=>，满足椭圆定义，因此点P 的轨迹为以C 、N 为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，其方程为标准方程：13422=+y x试题解：由题有NC PC MP PC NP >=+=+4，故点P 的轨迹为以C 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆．所以点P 的轨迹方程为13422=+y x ．考点：利用椭圆定义求轨迹方程 【名师点睛】1．求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．2．求动点轨迹时应注意它的完备性．化简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程（包括范围）．24．（1）3π或32π;（2）x+y-1=0或x-y+3=0． 【解析】试题分析：①由弦长公式求出圆心到直线AB 的距离，点斜式设出直线方程，由点到直线的距离公式求出斜率，再由斜率求倾斜角．②由题意知，圆心到直线AB 的距离由点到直线的距离公式求出斜率，点斜式写出直线方程，并化为一般式 试题：①设圆心（-1，0）到直线AB 的距离为d，则1d ==，设直线AB 的倾斜角α，斜率为k ，则直线AB 的方程 y-2=k （x+1），即 kx-y+k+2=0，1d ==，∴或∴直线AB 的倾斜角α=60°或 120°．②∵圆上恰有三点到直线AB∴圆心（-1，0）到直线AB的距离2rd ==AB 的方程 y-2=k （x+1），即kx-y+k+2=0，由d ==，解可得k=1或-1，直线AB 的方程 x-y+3=0 或-x-y+1=0 考点：1．直线的一般式方程,2．直线的倾斜角 25．2-=x 或 13+±=y x ． 【解析】试题分析：本题考查直线与曲线的关系，首先根据题意设出直线方程a ky x +=，联立双曲线方程，可解得中点T 的坐标，然后将T 的坐标代入圆的方程可得一个k 与a 的关系式22+=a k ①，再利用l T O ⊥'，1-=⋅'l T O k k 得到另一个k 与a 的关系式0=k 或 122+=a k ②，利用①②即可获解．试题直线l 与x 轴不平行，设l 的方程为 a ky x += 代入双曲线方程 整理得012)1(222=-++-a kay y k 4分而012≠-k ，于是122--=+=k ak y y y B A T 从而12--=+=k aa ky x T T 即 )1,1(22k ak ak T -- 6分 点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴kak a k ak 即22+=a k ① 由圆心)0,1(-'O ．l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=k 或 122+=a k当0=k 时，由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ； 10分当122+=a k 时，由①得 1=a l K ∴±=,3的方程为13+±=y x ．故所求直线l 的方程为2-=x 或 13+±=y x 12分考点：直线的方程，圆锥曲线综合26．（1）；（2）.【解析】解：（I）设圆心为，因为圆C与相切，所以，解得（舍去），所以圆C的方程为（II）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，由，∵直线l与圆相交于不同两点，设，则，①，将①代入并整理得，解得k = 1或k =－5（舍去），所以直线l的方程为圆心C到l的距离，。
福州文博中学选修一第一单元《空间向量与立体几何》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．如图，正三角形ACB 与正三角形ACD 所在平面互相垂直，则二面角B CD A --的余弦值是（ ）A ．12B ．22C ．33D ．552．在棱长为2的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则(AE CF ⋅= ) A ．0B ．2-C ．2D ．3-3．如图，在四面体A BCD -中，已知AD a →→=，AB b →→=，AC c →→=，12BE EC →→=，则DE →等于（ ）A ．2133a b c →→→-++B ．2133a b c →→→++ C ．2133a b c →→→-+ D ．2133a b c →→→-+4．在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后,A B 两点间的距离为（ ） A ．41B 41C 17D ．175．如图，三棱锥S ﹣ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ABC ＝90°，AB ＞BC ，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 的中点，记直线SE 与SF 所成的角为α，直线SG 与平面SAB 所成的角为β，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ，则（ ）A ．α＞γ＞βB ．α＞β＞γC ．γ＞α＞βD ．γ＞β＞α6．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ，则线段1A P 长度的最小值为（ ）A 2B ．322C 3D 57．空间四点()(1,0,0)010(0,0,1)(,2,3)A B C D x 、，，、、共面，则x =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．48．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a b ⊥，a α⊥，b α⊄，则//b α；②若//a α，a β⊥，则αβ⊥；③若a β⊥，αβ⊥，则//a α或a α⊂；④若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥．其中正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（ ） A ．52B ．2C ．32D ．11610．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为（ ） A 15B ．155C 5D 511．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，H 分别在棱1BB ，BC ，BA 上，且满足134BM BB =，12BN BC =，12BH BA =，O 是平面1B HN ，平面ACM 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBH yBN zBM =++，则3x y z ++=（ ） A ．105B ．125C ．145D ．16513．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ） A ．6 B ．6±C ．6 D ．6±二、填空题14．平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知底面四边形ABCD 为正方形，且113A AB A AD π∠=∠=，其中，设1AB AD ==，1AA c =，体对角线12AC=，则c 的值是______.15．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为_____．16．平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱AB 、AD 、AA 1的长均为1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠DAB 3π=，则对角线AC 1的长为_____．17．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 是面ABCD 的中心，点P 在棱11C D 上移动，则OP 的最小值时，直线OP 与对角面11A ACC 所成的线面角正切值为__________．18．已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当0AP BP ⋅=取最小值时，点P 的坐标为__________．19．设平面α的法向量为(1,2,2)-，平面β的法向量为(2,,4)λ，若α∥β，则λ的值为______20．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别是棱111,,AA BC C D 的中点，设M 是该正方体表面上的一点，若(,)EM xEF yEG x y =+∈R ，则点M 的轨迹所形成的长度是________．21．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，14AA AB AC ===，点E 为棱1CC 上一点，且异面直线1A B 与AE 130CE 的长为______. 22．如图，在棱长为2的正方体中，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上，若P 为动点，Q 为动点，则PQ 的最小值为_____.23．已知非零向量n b 、及平面α，向量n 是平面α的一个法向量,则0n b ⋅=是“向量b 所在直线在平面α内”的____________条件.24．如图，在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，2AB =，4EF =，3CA CB ==，若7AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于__________．25．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则1||AC =__________.26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，122AA AB AC ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为3π，当1B M 最小时，AMB ∠=__________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】取AC的中点E，连接BE,DE,证明BE垂直于平面ACD，以点E为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD和平面CDA的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦.【详解】如图示，取AC中点E，连结BE、DE，在正三角形ACB与正三角形ACD中，ACD AC，所以BE⊥面ADC, BE⊥AC，DE⊥AC，因为面ACB⊥面ACD，面ACB面=以E为原点，ED为x轴正方向，EC为y轴正方向，EB为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC=2，则())()()(-,0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,1,0,3E D C A B平面ACD 的一个法向量为()0,0,3EB = 而()()0,1,3,3,1,0CB CD =-=-，设(),,n x y z =为面BCD 的一个法向量，则：·0·0n CB n DC ⎧=⎨=⎩即 3030y z y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令x =1，则()1,3,1n = 设二面角B CD A --的平面角为θ，则θ为锐角， 所以35cos |cos ,|||||||||35EB n EB n EB n θ⋅====⨯. 故选：D 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.2．B解析：B 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用向量加法的运算法，分别用AB AC 、与CA CD 、表示出向量AE 与CF ，利用数量积的运算法则求解即可求． 【详解】如图所示，棱长为2的正四面体ABCD 中， 因为,E F 分别是,BC AD 的中点， 所以()()1122AE CF AB AC CA CD ⋅=+⋅+ ()14AB CA AB CD AC CA AC CD =⋅+⋅+⋅+⋅ ()122cos12022cos9022cos18022cos1204=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2=-，故选B ．【点睛】本题考查了空间向量的线性运算与数量积的运算法则，是基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 3．A解析：A 【分析】利用向量三角形法则与向量共线定理可得：DE BE BD →→→=-，13BE BC →→=，BC AC AB →→→=-，BD AD AB →→→=-，代入即可得出．【详解】解：已知AD a →→=，AB b →→=，AC c →→=，12BE EC →→=，利用向量三角形法则和向量共线定理得出：DE BE BD →→→=-，13BE BC →→=，BC AC AB →→→=-，BD AD AB →→→=-，∴112()()333DE AC AB AD AB c a b →→→→→→→→=---=-+，即：2133DE a b c →→→→=-++.故选：A. 【点睛】本题考查向量的三角形法则和向量基本定理的应用，考查了推理能力．4．D解析：D 【分析】画出图形，作,AC CD BD CD ⊥⊥，则6,8,4AC BD CD ===，可得0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，故两异面直线,CA DB所成的角为60︒，结合已知，即可求得答案. 【详解】如图为折叠后的图形，其中作,AC CD BD CD ⊥⊥则6,8,4AC BD CD ===，∴0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角∴两异面直线,CA DB 所成的角为60︒．可得：.cos6024CA DB CA DB ︒⋅=⋅= 故由AB AC CD DB =++ 得22||||AB AC CD DB =++2222+22AC CD DB AC CD CD DB AC DB +++⋅⋅+⋅= 2222+22AC CD DB AC CD CD DB CA DB +++⋅⋅-⋅=36166448=++-68=||AB ∴=故选：D. 【点睛】本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向量的距离求解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据题意可知，G 作SE 的垂线l ，显然l 垂直平面SAB ，故直线SG 与平面SAB 所成的角为β＝∠GSE ，同理，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ＝∠FSG ，利用三角函数结合几何性质，得出结论. 【详解】因为AB ⊥BC ，SA ＝SB ＝SC ，所以AB ⊥SE ，所以AB ⊥平面SGE ，AB ⊥SG ， 又SG ⊥AC ，所以SG ⊥平面ABC ， 过G 作SE 的垂线l ，显然l 垂直平面SAB ， 故直线SG 与平面SAB 所成的角为β＝∠GSE ，同理，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ＝∠FSG ，由tanγ＝tan FG EGSG SGβ>=，得γ＞β，γ也是直线SF 与平面SEG 所成的角， 由cosα＝cosβ•cosγ＜cosγ，则α＞γ，所以α＞γ＞β， 故选：A .【点睛】本题考查了异面直线夹角，线面夹角，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.6．B解析：B 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z ，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段1A P 长度取最小值. 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()12,0,0,1,2,0,0,2,1,2,0,2A E F A ，(1,2,0),(2,2,1)AE AF =-=-，设平面AEF 的法向量(),,n x y z =，则20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++=⎩，取1y =，得()2,1,2n =， 设(),2,,02,02P a c a c ≤≤≤≤，则()12,2,2A P a c =--， ∵1A P 平行于平面AEF ，∴()()1222220A P n a c ⋅=-++-=，整理得3a c +=，∴线段1A P长度1||(A P a===，当且仅当32a c==时，线段1A P .故选：B.【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.7．A解析：A【分析】由于四点A ，B，C，D共面，可得存在实数λ，μ使得AD AB ACλμ=+，解出即可．【详解】(1,1,0),(1,0,1),(1,2,3)AB AC AD x=-=-=-，∵四点A，B，C，D共面，∴存在实数λ，μ使得AD AB ACλμ=+，(1,2,3)(1,1,0)(1,0,1)xλμ∴-=-+-123xλμλμ-=--⎧⎪∴=⎨⎪=⎩解得4x =-故选：A【点睛】本题主要考查了向量共面定理，考查了计算能力，属于容易题．8．D解析：D【分析】设直线a，b的方向向量分别为11,a b，α，β的法向量分别为11,n m，将各选项中的题设条件转化为向量的关系后可得相应的结论是否成立.【详解】对于①，因为a b⊥，aα⊥，故11a b⊥，11a nλ=，故11n b⊥，因bα⊄，故//b α，故①正确.对于②，因为//aα，aβ⊥，故11a n⊥，11a mλ=，故11n m⊥即αβ⊥，故②正确.对于③，因为aβ⊥，αβ⊥，故11a mλ=，11n m⊥，故11n a⊥即//aα或aα⊂，故③正确.对于④, 因为a b ⊥，a α⊥，b β⊥，故11a b ⊥，11a n λ=，11b m μ=，故11n m ⊥即αβ⊥，故④正确.故选：D.【点睛】本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，此类问题一般是根据位置关系的判定定理和性质定理来考虑，也可以利用直线的方向向量和法向量的关系来判断位置关系，本题属于中档题.9．A解析：A【分析】根据空间向量的线性运算，得出AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝，结合题意，即可求出11,2y z ==，从而得出x y z ++的值. 【详解】 解：由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝， 由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==， 151122x y z ∴++=++=. 故选：A.【点睛】 本题考查空间向量的基本定理的应用，以及空间向量的线性运算，属于基础题. 10．A解析：A【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值．【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则(2A ，0，0)，(2E ，1，2)，(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)，(0AE =，1，2)，1(2BD =-，2-，2)，设异面直线AE 与1BD 所成角为θ， 则11||15cos ||||512AE BD AE BD θ===． ∴异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为15． 故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．11．C解析：C【分析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q . 故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 12．C解析：C【分析】根据条件确定O 点位置，再根据向量表示确定,,x y z 的值，即得结果.【详解】如图，Q 为AC 与BD 交点，P 为BQ 中点，O 为MQ 与1B P 的交点.过P 作PT 平行MQ 交1BB 于T .如图,则T 为BM 中点，所以1111131334224242MT BM BB MB MB ==⨯=⨯⨯=. 所以123B O OP =， 因此1323421411()555352555BO BB BP BM BH BN BM BH BN =+=⋅+⋅+=++， 因为BO xBH yBN zBM =++，所以411,,555z x y ===,1435x y z ∴++=. 故选：C【点睛】 本题考查平面向量基底表示，考查综合分析求解能力，属中档题.13．C解析：C【分析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可．【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-， ∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，()2OA OB OB λλ+=， ∴cos302λ︒=， ∴4λ=，则0λ>，∴λ=． 故选：C ．【点睛】 本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．二、填空题14．【分析】根据平方得到计算得到答案【详解】故解得故答案为：【点睛】本题考查了平行六面体的棱长意在考查学生的计算能力和空间想象能力解析：1【分析】根据11AC AB AD AA =+-，平方得到2224c c +-=，计算得到答案. 【详解】11AC AB AD AA =+-， 故2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA =+-=+++⋅-⋅-⋅2224c c =+-=，解得1c =.1.【点睛】本题考查了平行六面体的棱长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 15．4【分析】以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系设求出平面的一个法向量则则可以得到答案【详解】解：以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系设则故设平面的一个法向量为则 解析：4【分析】 以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系, 设1DD a =，求出平面1ACD 的一个法向量n ，则11cos ,3n CC <>=，则可以得到答案.【详解】解：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1DD a =，则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，1(0,0,)D a ，故(2,2,0)=-AC ，1(2,0,)AD a =-，1(0,0, )CC a =，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则122020n AC x y n AD x az ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，可取21,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故112122cos ,||||4242n CC n CC n CC a a a⋅<>===+⋅+， 又直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13， 21324a ∴=+，解得4a =． 故答案为：4．【点睛】本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.16．【分析】由题知：再给式子平方即可求出的长度【详解】如图由题意可知所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量法求线段长度解题时要认真审题注意向量法的合理应用属于中档题6【分析】由题知：11AC AB AD AA =++，再给式子平方即可求出1AC 的长度【详解】如图，由题意可知，111AC AB AD CC AB AD AA =++=++，所以1221())(AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA +=++++ 1112(cos 60cos 60cos 60)6+++++==.所以16AC =【点睛】本题主要考查利用向量法求线段长度，解题时要认真审题，注意向量法的合理应用.属于中档题.17．【分析】由题意以为坐标原点为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系求得以当即为中点时求得和平面的一个法向量为利用向量的夹角公式即可求解【详解】由题意以为坐标原点为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系则设则所以当即解析：13【分析】由题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，求得以当1x =，即P 为11C D 中点时，求得(0,1,2)OP =和平面11A ACC 的一个法向量为BD ，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()1,1,0O ，设()(),2,202P x x ≤≤．则OP == 所以当1x =，即P 为11C D 中点时，OP此时点(1,2,2)P ，所以(0,1,2)OP =,又由BD ⊥平面11A ACC ，且(2,2,0)BD =-,即平面11A ACC 的一个法向量为(2,2,0)BD =-，设OP 与平面11A ACC 所成的角为θ， 由线面角的公式可得sin cos ,210OP BDOP BD OP BD θ⋅====⋅, 因为(0,)2πθ∈，由三角函数的基本关系式，可得1tan 3θ=.【点睛】本题主要考查了空间向量在空间角的求解中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，确定出点P 的位置，再利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．(00)【分析】设P(x00)求出·＝x(x －1)＋2＝(x －)2＋再利用二次函数求出函数的最小值和此时点P 的坐标【详解】设P(x00)则＝(x －1－20)＝(x －11)·＝x(x －1)＋2＝(x － 解析：(12，0,0) 【分析】 设P (x,0,0)，求出·＝x (x －1)＋2＝(x －)2＋，再利用二次函数求出函数的最小值和此时点P 的坐标.【详解】设P (x,0,0)，则＝(x －1，－2,0)，＝(x ，－1,1)， ·＝x (x －1)＋2＝(x －)2＋，∴当x ＝时，·取最小值，此时点P 的坐标为(，0,0)． 故答案为(12，0,0) 【点睛】(1)本题主要考查空间向量的坐标表示和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 111222121212(,,),(,,),a x y z b x y z a b x x y y z z ==⋅=++. 19．-4【解析】分析：设平面的法向量平面的法向量由∥可得因此存在实数使得再利用向量共线定理的坐标运算即可求得结果详解：设平面的法向量平面的法向量因为∥所以所以存在实数使得所以有解得故答案为点睛：该题考查 解析：-4【解析】分析：设平面α的法向量m ，平面β的法向量n ，由α∥β，可得m n ∥，因此存在实数k ，使得m kn =，再利用向量共线定理的坐标运算即可求得结果.详解：设平面α的法向量(1,2,2)m =-，平面β的法向量(2,,4)n λ=，因为α∥β，所以m n ∥，所以存在实数k ，使得m kn =，所以有12224k k k λ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得4λ=-，故答案为4-. 点睛：该题考查的是向量平行的条件，以及向量平行时坐标所满足的关系，在解题的过程中，首先需要利用两个平面平行的条件，得到其法向量共线的结论，之后根据坐标的关系求得结果.20．【分析】首先确定点的轨迹再求长度【详解】在平面上取的中点则点的轨迹是正六边形轨迹长度是正六边形的周长故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定在平面上并能作出平面与正方体的交线 解析：32【分析】首先确定点M 的轨迹，再求长度.【详解】(,)EM xEF yEG x y =+∈R ，M ∴在平面EFG 上，取11A D ，AB ，1CC 的中点,,N H P ，则点M 的轨迹是正六边形EHFPGN ，轨迹长度是正六边形的周长，632l EN ==.故答案为：32【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定M 在平面EFG 上，并能作出平面EFG 与正方体的交线. 21．【分析】利用基向量表示出结合异面直线所成角确定点E 的位置从而可求的长也可以建立空间坐标系利用空间向量坐标求解【详解】设则因为异面直线与所成角的余弦值为所以解得所以故答案为：【点睛】关键点睛:利用空间 解析：12【分析】利用基向量表示出1,A B AE,结合异面直线所成角，确定点E 的位置，从而可求1C E 的长，也可以建立空间坐标系，利用空间向量坐标求解.【详解】设1CE C C λ= ，则11A B AB AA =-，11AE AC CE AC CC AC AA λλ=+=+=+， 142A B =，21616AE λ=+，111()()16A B AE AB AA AC AA λλ⋅=-⋅+=-. 1121cos ,22A B AEA B AE A B AE λ⋅==+,因为异面直线1A B 与AE 所成角的余弦值为130130，所以200213213λ=+. 解得18λ=，所以12CE =. 故答案为：12.【点睛】关键点睛:利用空间向量解决异面直线所成角的问题，注意向量夹角与异面直线所成角的范围的不同.22．【分析】建立空间直角坐标系利用三点共线设出点P(λλ2﹣λ)0≤λ≤2以及Q(02μ)0≤μ≤2根据两点间的距离公式以及配方法即可求解【详解】建立如图所示空间直角坐标系设P(λλ2﹣λ)Q(02μ)2【分析】建立空间直角坐标系，利用,,A B P 三点共线设出点P (λ，λ，2﹣λ)，0≤λ≤2，以及Q (0，2，μ)，0≤μ≤2，根据两点间的距离公式，以及配方法，即可求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设P (λ，λ，2﹣λ)，Q (0，2，μ)(0≤λ≤2且0≤μ≤2)，可得PQ 22222(2)(2)2(1)(2)2λλλμλλμ+-+--=-+--+∵2(λ﹣1)2≥0，(2﹣λ﹣μ)2≥0，∴2(λ﹣1)2+(2﹣λ﹣μ)2+2≥2，当且仅当λ﹣1=2﹣λ﹣μ=0时，等号成立，此时λ=μ=1，∴当且仅当P､Q分别为AB､CD的中点时，PQ的最小值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查空间向量法求两点间的距离，将动点用坐标表示是解题的关键，考查配方法求最值，属于中档题.23．必要不充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：若向量是平面的法向量则若则则向量所在直线平行于平面或在平面内即充分性不成立若向量所在直线平行于平面或在平面内则向量是平面的法向量解析：必要不充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若向量n是平面α的法向量，则nα⊥，若0n b=，则//bα，则向量b所在直线平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立，若向量b所在直线平行于平面α或在平面α内，则//bα，向量n是平面α的法向量，∴nα⊥，则n b⊥，即0n b=，即必要性成立，则0n b=是向量b所在直线平行于平面α或在平面α内的必要条件，故答案为：必要不充分【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量和平面的位置关系是解决本题的关键．24．【分析】由题意可得由此求得由以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得由数量积的定义即可得到结果【详解】由题意可得∴由可得∴即∴故答案为【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则以及其几何意义两个解析：1 6【分析】由题意可得22 9()BC AC AB ==-，由此求得2AC AB ⋅=，由 7AB AE AC AF ⋅+⋅=以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得 2EF BC ⋅=，由数量积的定义即可得到结果.【详解】由题意可得()229BC AC AB==- 222AC AB AC AB =+-⋅ 942AC AB =+-⋅， ∴2AC AB ⋅=.由7AB AE AC AF ⋅+⋅=，可得 ()()AB AB BE AC AB BF ⋅++⋅+ 2AB AB BE AC AB AC BF =+⋅+⋅+⋅()42AB BF AC BF =+⋅-++⋅()1662BF AC AB EF BC =+⋅-=+⋅. ∴2EF BC ⋅=，即43cos ,2EF BC ⨯⨯=，∴1cos ,6EF BC =，故答案为16. 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义、以及运算性质，属于中档题． 25．【分析】设且利用数量积运算即得解【详解】设故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的模长数量积运算考查了学生空间想象数学运算能力属于中档题解析：【分析】设1,,AB a AD b AA c===,且1|||++|AC a b c =，利用数量积运算即得解. 【详解】设1,,||||||2,,,60o AB a AD b AA c a b c a b a c c b ===∴===<>=<>=<>=， 222221|||++|||||||22224AC a b c a b c a b a c c b ==+++⋅+⋅+⋅=||26AC ∴=故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的模长，数量积运算，考查了学生空间想象，数学运算能力，属于中档题.26．【分析】根据题意建立空间直角坐标系设出的长写出各个点的坐标求得平面与平面的法向量利用法向量及二面角大小求得的等量关系即可判断当取最小时各自的长即可求得的正切值进而求得的大小【详解】因为三棱柱中两两互 解析：6π【分析】根据题意,建立空间直角坐标系,设出,CN BM 的长,写出各个点的坐标,求得平面AMN 与平面ABC 的法向量,利用法向量及二面角大小,求得,CN BM 的等量关系.即可判断当1B M 取最小时,CN BM 各自的长.即可求得AMB ∠的正切值,进而求得AMB ∠的大小.【详解】因为三棱柱111ABC A B C -中,AB ,AC ,1AA 两两互相垂直,建立如下图所示的空间直角坐标系:122AA AB AC ==,M ,N 是线段1BB ,1CC 上的点可设,,1BM a CN b AB ===,则12,1AA AB ==所以()()0,0,0,1,0,0A B ,()()1,0,,0,1,M a N b则()()1,0,,0,1,AM a AN b ==设平面AMN 的法向量为(),,m x y z =则00AM m AN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得00x az y bz +=⎧⎨+=⎩,令1z =代入解得x a y b =-⎧⎨=-⎩ 所以(),,1m a b =--平面ABC 的法向量()0,0,1n = 由题意可知平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为3π 则由平面向量数量积定义可知22cos31m n m n a b π⋅==⋅++ 化简可得223a b += 1B M 最小值,即a 取得最大值,当0b =时,a 取得最大值为3a =所以tan3AB AMB MB ∠=== 所以6AMB π∠= 故答案为:6π 【点睛】 本题考查了空间向量在立体几何中的应用,由法向量法结合二面角求值,属于中档题.。
福州文博中学七年级数学上册第四单元《几何图形初步》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．将如图所示的直角三角形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．点 A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点 A 、B 表示的数分别为﹣3、1，若 BC ＝2，则 AC 等于（ ）A ．3B ．2C ．3 或 5D ．2 或 6 3．如图．∠AOB ＝∠COD ，则( )A ．∠1＞∠2B ．∠1＝∠2C ．∠1＜∠2D ．∠1与∠2的大小无法比较 4．平面上有三个点A ，B ，C ，如果8AB =，5AC =，3BC =，则（ ）．A ．点C 在线段AB 上B ．点C 在线段AB 的延长线上 C ．点C 在直线AB 外D ．不能确定 5．已知∠α与∠β互补，且∠α＞∠β，则∠β的余角可以表示为（ ）A ．12α∠B ．12β∠C ．()12αβ∠-∠D ．()1+2αβ∠∠ 6．如图，AD 是△ABC 的角平分线，点O 在AD 上，且OE ⊥BC 于点E ，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．10°D ．15°7．某正方体的平面展开图如下图所示，这个正方体可能是下面四个选项中的（ ）．A．B．C．D．8．一根直木棒长10厘米，棒上有刻度如图，若把它作为尺子，只测量一次，能测量的长度共有（）A．7种B．6种C．5种D．4种9．22°20′×8等于( ).A．178°20′B．178°40′C．176°16′D．178°30′10．高速公路的建设带动我国经济的快速发展.在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程.这样做包含的数学道理是（）A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．两条直线相交，只有一个交点D．直线是向两个方向无限延伸的11．用一个平面去截正方体，所得截面是三角形，留下较大的几何体一定有（）A．7个面B．15条棱C．7个顶点D．10个顶点12．小陆制作了一个如图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的表面展开图可能是（）A．B．C．D．二、填空题13．线段3AB cm =，在线段AB 的延长线上截取1BC cm =，则AC =__________． 14．如图，记以点A 为端点的射线条数为x ，以点D 为其中一个端点的线段的条数为y ，则x y -的值为________．15．木工师傅在锯木料时，一般先在木料上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，这是因为_________________.16．在直线AB 上，点A 与点B 的距离是8cm ，点C 与点A 的距离是2cm ，点D 是线段AB 的中点，则线段CD 的长为________.17．如图，已知OM 是AOC ∠的平分线，ON 平分BOC ∠．若120AOC ︒∠=，30BOC ︒∠=，则MON ∠=_________.18．钟表在8:30时，时针与分针所成角的度数为________，2:40时，时针与分针所成角的度数是_________.19．如图，立体图形是由哪一个平面图形旋转得到的？请按对应序号填空．A 对应___，B 对应___，C 对应___，D 对应__，E 对应__．20．如图，把一张长方形纸片沿AB 折叠后，若∠1＝50°，则∠2的度数为______．三、解答题21．读下列语句，画出图形，并回答问题．（1）直线l经过A，B，C三点，且C点在A，B之间，点P是直线l外一点，画直线BP，射线PC，连接AP；（2）在（1）的图形中，能用已知字母表示的直线、射线、线段各有几条？写出这些直线、射线、线段．22．如图所示，已知射线OC将∠AOB分成1∶3的两部分，射线OD将∠AOB分成5∶7的两部分，若∠COD＝15°，求∠AOB的度数．23．把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．（1）问题发现：如图①，当OB平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是；（2）拓展探究：如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是多少？（3）问题解决：当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD时，求∠BOC的度数．24．如图是一个去掉盖子的长方体礼品盒的展开图(单位：cm).从A，B两题中任选一题作答.A．该长方体礼品盒的容积为______3cm.B．如果把这个去掉盖子的礼品盒沿某些棱重新剪开，可以得到周长最大的展开图，则周长最大为____cm.25．百羊问题甲赶群羊逐草茂，乙牵肥羊一只随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬．若得原有一群凑，再添一半小一半，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？请列出方程.(说明：“小一半”是指一半的一半，即四分之一)26．如图，已知线段a和b，直线AB和CD相交于点O.利用尺规，按下列要求作图（只保留作图痕迹即可）：（1）在射线OA，OB，OC上作线段，，，使它们分别与线段a相等；（2）在射线OD上作线段，使与线段b相等；（3）连接，，，.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据题意作出图形，即可进行判断．【详解】将如图所示的直角三角形绕直线l旋转一周，可得到圆锥，故选B．【点睛】此题考查了点、线、面、体，重在体现面动成体：考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．2．D解析：D【解析】试题此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．∵点A、B表示的数分别为﹣3、1，∴AB=4．第一种情况：在AB外，如答图1，AC=4+2=6；第二种情况：在AB内，如答图2，AC=4﹣2=2．故选D．解析：B【解析】∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB-∠BOD=∠COD-∠BOD，∴∠1=∠2；故选B．【点睛】考查了角的大小比较，培养了学生的推理能力．4．A解析：A【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系，再根据正确画出的图形解题．【详解】如图：从图中我们可以发现AC BC AB+=，所以点C在线段AB上．故选A．【点睛】考查了直线、射线、线段，在未画图类问题中，正确画图很重要，所以能画图的一定要画图这样才直观形象，便于思维．5．C解析：C【分析】首先根据∠α与∠β互补可得∠α+∠β=180°，再表示出∠β的余角90°-（180°-∠α），然后再把等式变形即可．【详解】∵∠α与∠β互补，∴∠α+∠β=180°，∵∠α＞∠β，∴∠β=180°-∠α，∴∠β的余角为：90°-（180°-∠α）=∠α-90°=∠α-12（∠α+∠β）=12∠α−12∠β=12（∠α-∠β），故选C．【点睛】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的定义．解析：A【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】∵∠BAC=60°，∠C=80°，∴∠B=180°-∠BAC-∠C=40°，又∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=1∠BAC=30°，2∴∠ADE=∠B+∠BAD=70°，又∵OE⊥BC，∴∠EOD=90°-∠ODE=90°-70°=20°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义等知识，此类题要首先明确解题思路，再利用相关知识解答．7．A解析：A【分析】根据正方体的展开与折叠．可以动手折叠看看，充分发挥空间想象能力解决也可以．【详解】根据题意及图示只有A经过折叠后符合．故选：A．【点睛】此题考查几何体的展开图，解题关键在于空间想象力.8．B解析：B【分析】根据棒上标的数字，找出这根木棒被2、7两点分成的线段的条数即可．【详解】如图，∵线段AD被B、C两点分成AB、AC、AD、BC、BD、CD六条的线段∴能量的长度有：2、3、5、7、8、10，共6个，故选B．【点睛】本题考查的实质是找出已知图形上线段的条数．9．B解析：B【分析】根据角的换算关系即可求解.【详解】22°×8＝176°，20′×8＝160′＝2°40′，故22°20′×8＝176°＋2°40′＝178°40′故选B.【点睛】本题考查了角的度量单位以及单位之间的换算，掌握'160︒=，''160'=是解题的关键． 10．B解析：B【分析】本题为数学知识的应用，由题意将弯曲的道路改直以缩短路程，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：弯曲的道路改直，使两点处于同一条线段上，两点之间线段最短．故选B ．【点睛】本题考查了两点之间线段最短的性质，正确将数学定理应用于实际生活是解题关键． 11．A解析：A【解析】【分析】用一个平面截正方体，若所得的截面是一个三角形，此时剩下的较大的几何体一定比正方体多了一个面，如果过三个面截得的截面是三角形，那么就能多出3条棱和两个顶点，如果过3个顶点截得的截面是三角形，那么就能多出0条棱和两个顶点．【详解】用一个平面截正方体，若所得的截面是一个三角形，此时剩下的较大的几何体一定比正方体多了一个面，如果过三个面截得的截面是三角形，那么就能多出3条棱和两个顶点，如果过3个顶点截得的截面是三角形，那么就能多出0条棱和两个顶点.故选：A.【点睛】此题考查截一个几何体 ，解题关键在于掌握立体图形.12．A解析：A【分析】对面图案均相同的正方体礼品盒，则两个相同的图案一定不能相邻，据此即可判断．【详解】解：根据分析，图A 折叠成正方体礼盒后，心与心相对，笑脸与笑脸相对，太阳与太阳相对，即对面图案相同；图B 、图C 和图D 中对面图案不相同；故选A ．【点睛】本题考查了正方体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．二、填空题13．4【分析】根据线段的和差关系即可求解【详解】∵线段在线段的延长线上截取则AB+BC=4cm 故填：4【点睛】此题主要考查线段的长度解题的关键是熟知线段的和差关系解析：4【分析】根据线段的和差关系即可求解.【详解】∵线段3AB cm =，在线段AB 的延长线上截取1BC cm =，则AC =AB+BC=4cm ，故填：4.【点睛】此题主要考查线段的长度，解题的关键是熟知线段的和差关系.14．【分析】先根据射线和线段的定义求出xy 的值再代入求解即可【详解】以点为端点的射线有射线AC 和射线AB 共两条故点为其中一个端点的线段有线段ADODBDCD 共四条故将代入中原式故答案为：【点睛】本题考查解析：2-【分析】先根据射线和线段的定义求出x ，y 的值，再代入求解即可．【详解】以点A 为端点的射线有射线AC 和射线AB ，共两条，故2x =点D 为其中一个端点的线段有线段AD 、OD 、BD 、CD ，共四条，故4y =将2x =，4y =代入x y -中原式242=-=-故答案为：2-．【点睛】本题考查了代数式的运算，掌握射线和线段的定义是解题的关键．15．两点确定一条直线【解析】【分析】依据两点确定一条直线来解答即可【详解】解：在木板上画出两个点然后过这两点弹出一条墨线此操作的依据是两点确定一条直线故答案为两点确定一条直线【点睛】本题考查的是直线的性解析：两点确定一条直线．【解析】【分析】依据两点确定一条直线来解答即可．【详解】解：在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．故答案为两点确定一条直线．【点睛】本题考查的是直线的性质，掌握直线的性质是解题关键．16．2cm或6cm【分析】分两种情况：①当C在线段BA的延长线上时②当C 在线段AB上时根据线段的和差可得答案【详解】①当C在线段BA的延长线上时∵点D是线段AB的中点点A与点B的距离是8cm∴DA=4c解析：2cm或6cm【分析】分两种情况：①当C在线段BA的延长线上时，②当C在线段AB上时，根据线段的和差，可得答案．【详解】①当C在线段BA的延长线上时，∵点D是线段AB的中点，点A与点B的距离是8cm，∴DA=4cm，∴CD=4+2=6cm；②当C在线段BA上时，∵点D是线段AB的中点，点A与点B的距离是8cm，∴DA=4cm，∴CD=4-2=2cm；综上所述：AC=6 cm或2cm．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的中点是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．17．45°【解析】【分析】根据角平分线的定义及角的和差关系即可求解【详解】解：∵OM平分∠AOCON平分∠BOC∴∠MOC=∠AOC=60°∠CON=∠BOC=15°∴∠MON=∠MOC-∠CON=60 解析：45°【解析】【分析】根据角平分线的定义及角的和差关系即可求解.【详解】解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=60°，∠CON=12∠BOC=15°，∴∠MON=∠MOC-∠CON=60°-15°=45°；故答案为：45°；【点睛】本题主要考查角平分线的性质，角的度数的计算，关键在于运用数形结合的思想推出∠MON=∠MOC-∠CON．18．75°160°【分析】钟表表盘被分成12大格每一大格又被分为5小格故表盘共被分成60小格每一小格所对角的度数为6°分针转动一圈时间为60分钟则时针转1大格即时针转动30°也就是说分针转动360°时时解析：75° 160°【分析】钟表表盘被分成12大格，每一大格又被分为5小格，故表盘共被分成60小格，每一小格所对角的度数为6°．分针转动一圈，时间为60分钟，则时针转1大格，即时针转动30°．也就是说，分针转动360°时，时针才转动30°，即分针每转动1°，时针才转动（112）度，反过来同理．【详解】解：钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∵8时30分时，时针指向8与9之间，分针指向6，∴8时30分，分针与时针的夹角是：2×30°+15°=75°；∵2时40分时，时针指向2与3之间，分针指向8，∴2时40分，分针与时针的夹角是：5×30°+10°=160°故答案为75°，160°.【点睛】本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征．能更好地认识角，感受角的大小．19．adecb【分析】根据面动成体的特点解答【详解】a旋转一周得到的是圆锥体对应Ab旋转一周得到的是圆台对应Ec旋转一周得到的是两个圆锥体对应的是Dd旋转一周得到的是圆台和圆柱对应的是Be旋转一周得到的解析：a d e c b【分析】根据面动成体的特点解答．【详解】a旋转一周得到的是圆锥体，对应A，b旋转一周得到的是圆台，对应E，c旋转一周得到的是两个圆锥体，对应的是D，d旋转一周得到的是圆台和圆柱，对应的是B，e旋转一周得到的是圆锥和圆柱，对应的是C，故答案为：a，d，e，c，b．【点睛】此题考查了面动成体的知识，具有良好的空间想象能力是解题的关键．20．65°【解析】∵把一张长方形纸片沿AB折叠∴∠2=∠3∵∠1+∠2+∠3=180°∠1=50°∴∠2=（180°-∠1）2=65°解析：65°【解析】∵把一张长方形纸片沿AB折叠，∴∠2=∠3，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=50°，∴∠2=（180°-∠1） 2=65°.三、解答题21．（1）见解析；（2）直线有2条，分别是直线PB，AB；射线有7条，分别是射线PC，PB，BP，AC，CB，BC，CA；线段有6条，分别是线段PA，PB，PC，AB，AC，BC 【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义作图；（2）根据直线、射线、线段的定义解答．【详解】(1)如图所示．(2) 直线有2条，分别是直线PB，AB；射线有7条，分别是射线PC，PB，BP，AC，CB，BC，CA；线段有6条，分别是线段PA，PB，PC，AB，AC，BC．【点睛】此题考查作图，确定图形中的直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键．22．90°【分析】设∠AOB的度数为x，根据题意用含x的式子表示出∠AOC，∠AOD，根据角的关键列出方程即可求解．【详解】解：设∠AOB的度数为x．因为射线OC将∠AOB分成1∶3两部分，所以∠AOC＝14 x．因为射线OD将∠AOB分成5∶7两部分，所以∠AOD＝512x．又因为∠COD＝∠AOD－∠AOC，∠COD＝15°，所以15°＝512x－14x．解得x＝90°，即∠AOB的度数为90°．【点睛】本题考查了角的和差，设出未知数，表示出∠AOC，∠AOD，列出方程是解题关键．23．（1）180°；（2）180°；（3）60°．【解析】试题分析：（1）先根据OB平分∠COD得出∠BOC及∠AOC的度数，进而可得出结论；（2）根据直角三角板的性质得出∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°进而可得出结论；（3）根据（1）、（2）的结论可知∠AOD+∠BOC=180°，故可得出∠AOD=180°﹣∠BOC，根据∠BOC的余角的4倍等于∠AOD即可得出结论．解：（1）∵OB平分∠COD，∴∠BOC=∠BOD=45°．∵∠AOC+∠BOC=45°，∴∠AOC=45°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°．故答案为180°；（2）∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=90°+90°=180°；（3）∵由（1）、（2）得，∠AOD+∠BOC=180°，∴∠AOD=180°﹣∠BOC．∵∠AOD=4（90°﹣∠BOC），∴180°﹣∠BOC=4（90°﹣∠BOC），∴∠BOC=60°．考点：余角和补角；角平分线的定义．24．A:800；B:146【分析】A:根据题意可以得到长方体的长为16宽为10高为5，即可求出体积.B:依据题意展开，计算即可.【详解】解：A:根据题意高为20-15=5 宽为15-5=10 长为 26-10=16V=16×10×5=800B:依据题意展开如图周长=5×2+16×6+10×4=146【点睛】此题主要考查了立体图形体积计算及最大展开周长，注意最大展开周长一定是最长棱长最多的.25．x＋x＋12x＋14x＋1＝100.【分析】根据“再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只”这一等量关系列出方程即可．【详解】设羊群原有羊x只，根据题意可列出方程：x＋x＋12x＋14x＋1＝100.【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键在于理解题意列出方程. 26．详见解析【解析】【分析】（1）以点O为圆心，a为半径作圆，分别交射线OA，OB，OC于A′、B′、C′；、（2）以点O为圆心，b为半径作圆，分别交射线OD，于D′.（3）依次连接A′C′B′D′,即可解答.【详解】解：（1）如图所示OA′、OB′、OC′.（2）如图所示OD′.（3）如图所示A′C′B′D′.【点睛】此题考查作图—复杂作图，解题关键在于掌握尺规作图.。
福建省福州文博中学2021年中考复习数学 阶段测试卷(六)三角形、四边形、圆(含解答)
2021年中考数学阶段测试卷（六）三角形、四边形、圆一、选择题(每题3分，共30分)1．在△ABC中，若∠C－∠A＝90°，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形2．如图所示的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的有()(第2题)A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，点B，E在线段CD上，∠C＝∠D，若添加下列条件，则不一定能使△ABC≌△EFD的是()A．BC＝FD，AC＝ED B．∠A＝∠DEF，AC＝EDC．AB＝EF，AC＝ED D．∠ABC＝∠EFD，BC＝FD(第3题) (第6题) (第8题)4．有下列结论：①圆内接梯形一定是等腰梯形；②圆外切四边形一定是正方形；③相等的圆周角所对的弧相等；④相等的圆心角所对的弧相等；⑤同圆中的两弦不等，则较短的弦所对的弦心距较大；⑥平分弦的直线就平分弦所对的弧．其中正确的结论有() A．①③④⑤⑥B．①④⑤⑥C．①⑤⑥D．①⑤5．一个圆锥的底面半径r＝2 cm，母线长l＝6 cm，则此圆锥的侧面展开图的圆心角θ是() A．100°B．120°C．160°D．180°6．如图，在▱ABCD中，BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O为BD的中点，E为边AB上一点，连接EO并延长，交CD于点F，连接DE，BF.下列结论中不成立的是() A．四边形DEBF为平行四边形B．若AE＝3.6，则四边形DEBF为矩形C．若AE＝5，则四边形DEBF为菱形D．若AE＝4.8，则四边形DEBF为正方形7．以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A. 2B. 3 C．2 2 D．2 38．如图，菱形ABCD中，AB＝a，∠D＝135°，连接AC，动点P，E，F分别在线段AC，AB，BC上，则PE＋PF的最小值为()A．a B．32a C．22a D．12a9．如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB 于点D，连接CD，点D与圆心O不重合，AB＝17，AC＝15，则CD的长为() A．6 B．8 C．10 D．12(第9题) (第10题)10．如图所示，把多个大小不同的含30°角的三角板摆放在平面直角坐标系中，第一个三角板AOB的一条直角边与x轴重合且点A的坐标为(2，0)，∠ABO＝30°，第二个三角板的斜边BB1与第一个三角板的斜边AB垂直且交x轴于点B1，第三个三角板的斜边B1B2与第二个三角板的斜边BB1垂直且交y轴于点B2，第四个三角板的斜边B2B3与第三个三角板的斜边B1B2垂直且交x轴于点B3，…，按此规律继续下去，则线段OB2 020的长为() A．2×(3)2 020B．2×(3)2 021C．(3)2 020D．(3)2 021二、填空题(每题3分，共18分)11．如图，AE是△ABC的中线，O，D，F分别是AE，AB，AC的中点，连接OD，OB，OC，OF，若图中阴影部分的面积之和是8 cm2，则S四边形CEOF＝________cm2.(第11题) (第12题) (第13题) (第14题) 12．如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AD＝3，设AC的长为m，则m的取值范围是____________．13．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝5，CD＝1，连接BD，AC，则AC＝________．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB＝2，以OB 长为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，作OF⊥BC，垂足为F，则弦BE的长为________．15．如图①，△AOB，△COD是等腰三角形，∠AOB＝∠COD＝120°，CD交OB于点E.如图②，将△COD绕点O顺时针旋转一定的角度得到新△C′OD′，C′D′交OB于点E′.若△C′OD′的顶点C′恰好落在AB上，且AC′＝3，BC′＝6，＝____________．则S△C′OE′(第15题) (第16题)16．如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E是BC上一点，连接AE，将△ABE 沿AE翻折得到△AFE，并且点B恰好落在CD边上的点F处，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O，与AD相切于点P，交CD于点G，连接PG.有下列结论：①CF＝4；②⊙O的半径是154；③tan∠AEF＝2；④S△DGP＝94.其中正确结论的序号是________________．三、解答题(共52分)17．(8分)如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝AF.求证：△ACE≌△ACF.(第17题)18．(8分)如图，A，B是⊙O上的两点，过点O作OB的垂线交AB于点C，交⊙O于点E，交⊙O的切线AD于点D.(1)求证：DA＝DC；(2)若OA＝5，OC＝1，求sin D的值．(第18题)19．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC 于点E，D.过点D作⊙O的切线，交AC于点H.(1)求证：DH⊥AC；(2)①若AB＝10，BC＝12，求AH的长；②当∠BAC＝________时，四边形ODEA是平行四边形．(第19题)20．(8分)如图，在△ABC中，动点O在边AB上，点D在CB的延长线上，过点O作直线EF∥BC，分别交∠ABC，∠ABD的平分线于点F，E.(1)若BE＝5，BF＝12，求OB的长；(2)连接AE，AF.问：当动点O在边AB的什么位置时，四边形AEBF是矩形？并说明理由．(第20题)21．(10分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，点E为BC的中点，AE⊥DE.(1)求证：△ABE∽△ECD；(2)求证：AE2＝AB·AD；(3)若AB＝1，CD＝4，求线段AD，DE的长．(第21题)22．(10分)如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD于E，AC＝AB，EC＝2m，EB＝2m2.(1)求证：∠BAC＝2∠CAD；(2)当m＝2时，求△ABD中AB边上的高；(3)线段BD的长为__________________(用m表示)．(第22题)答案一、1.C 2.D 3.C 4.D 5.B 6.D7.C 点拨：如图①，易知∠OCD＝30°，∵OC＝4，∴OD＝4×sin 30°＝2；如图②，易知∠OBE＝45°，∵OB＝4，∴OE＝4×sin 45°＝22；如图③，易知∠OAB＝60°，∵OA＝4，∴OD＝4×sin 60°＝23，①②③(第7题)则该三角形的三边长分别为2，22，23，∵22＋(22)2＝(23)2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是12×2×22＝2 2.故选C.8.C9.B 点拨：如图，连接BC，(第9题)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝17，AC＝15，∴BC＝AB2－AC2＝8，由翻折可得，翻折后弧AC所在的圆与⊙O是等圆，∴圆周角∠BAC所对的弧BC与弧DC相等，∴CD＝BC＝8.10.B二、11.612.1<m<11 点拨：延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，如图．(第12题)∵AD＝3，∴AE＝2AD＝6，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC 和△EDB 中，⎩⎨⎧AD ＝DE ，∠ADC ＝∠EDB ，DC ＝DB ，∴△ADC ≌△EDB (SAS)，∴BE ＝AC ＝m ，在△ABE 中，AE －AB <BE <AE ＋AB ，即6－5<m <6＋5，∴1<m <11.13. 2 2 点拨：过点A 作AE ⊥AC 交CB 的延长线于点E ，如图．(第13题)∵在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AB ＝AD ＝5，CD ＝1， ∴BD 2＝AB 2＋AD 2＝CB 2＋CD 2，∴CB ＝3，易得△ACD ≌△AEB ，∴EB ＝CD ＝1，AE ＝AC ，∠EAB ＝∠CAD ，∴∠EAC ＝∠BAD ＝90°， CE ＝CB ＋BE ＝4，∴CE 2＝AE 2＋AC 2＝2AC 2＝16，∴AC ＝2 2.14. 2 点拨：如图，连接OD .(第14题)由题意得BF＝12 BE，∵AC与⊙O相切于点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四边形ODCF是矩形，∴OD＝OB＝FC＝2，∵BC＝3，∴BF＝BC－FC＝3－2＝1，∴BE＝2BF＝2.15.323 点拨：如图，连接BD′，易得∠AOC′＝∠BOD′，又∵OA＝OB，OC′＝OD′，∴△AOC′≌△BOD′(SAS)，∴BD′＝AC′＝3，∠A＝∠OBD′，∵∠AOB＝120°，∴∠A＝∠ABO＝∠OBD′＝30°，∴∠C′BD′＝60°，∵BC′＝6，BD′＝3，∴BD′∶BC′＝1∶2，∴△C′BD′是直角三角形，∠C′D′B＝90°，易得∠AOC′＝∠BC′D′＝∠A＝∠OC′D′＝30°，∴△C′OE′是直角三角形，∠C′OE′＝90°，OC′＝AC′＝3，∴OE′＝3，∴S△C′OE′＝323.(第15题)16.①②③④点拨：∵四边形ABCD是矩形，AB＝10，BC＝8，∴AB＝CD＝10，AD＝BC＝8，∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可得AF＝AB＝10，EF＝BE，∠AFE＝∠B＝90°，∴∠AFE＝∠C＝∠D＝90°.①∵AF＝10，AD＝8，∴DF＝AF2－AD2＝6，∴CF＝CD－DF＝4，∴①正确；②连接OP，如图①，①(第16题) ∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，又∵AD⊥DC，∴OP∥CD，∴AOAF＝OPDF，设OP＝OF＝x，则10－x10＝x6，解得x＝154，∴⊙O的半径是154，∴②正确；③∵∠AFE＝∠C＝∠D＝90°，∴易得△DFA∽△CEF，∴AFEF＝ADCF＝84＝2，∴tan∠AEF＝2，∴③正确；④连接OP，OG，作OH⊥FG于H，如图②，②(第16题) 易得四边形OPDH是矩形，GH＝FH，∵DH ＝OP ＝154，∴GH ＝FH ＝DF －DH ＝94， ∴DP ＝OH ＝OF 2－HF 2＝3，又∵DG ＝DH －GH ＝32， ∴S △DGP ＝12×DG ×DP ＝94， ∴④正确．故答案为①②③④.三、17.证明：∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴∠FAC ＝∠EAC .在△ACE 与△ACF 中，⎩⎨⎧AE ＝AF ，∠EAC ＝∠FAC ，AC ＝AC ，∴△ACE ≌△ACF (SAS)．18. (1)证明：∵OB ⊥OD ，AD 是⊙O 的切线，∴∠BOC ＝∠OAD ＝90°，∴∠BCO ＋∠OBC ＝∠OAC ＋∠CAD ＝90°.∵OB ＝OA ，∴∠OBC ＝∠OAC ，∴∠BCO ＝∠CAD .又∵∠BCO ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠CAD ，∴DA ＝DC .(2)解：在Rt △AOD 中，设AD ＝x ，则DO ＝DC ＋OC ＝DA ＋OC ＝x ＋1，根据勾股定理得OA2＋AD2＝OD2，即52＋x2＝(x＋1)2，解得x＝12，∴DA＝12，DO＝13，∴sin D＝OAOD＝513.19.(1)证明：如图，连接AD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵AB＝AC，∴BD＝DC.又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DH是⊙O的切线，∴OD⊥DH，∴DH⊥AC.(第19题)(2)解：①由题易知，∠ADB＝90°，AB＝AC＝10，BD＝DC＝6，∴AD＝AB2－BD2＝8，∵∠ADC＝∠ADB＝90°，DH⊥AC，∴∠DAC＋∠C＝∠DAC＋∠ADH，∴∠ADH＝∠C，∴AHAD＝sin∠ADH＝sin C＝ADAC，∴AH＝AD2AC＝325.②60°20.解：(1)由题意得∠OBE＝∠DBE，∠OBF＝∠CBF.∵∠OBE＋∠DBE＋∠OBF＋∠CBF＝180°，∴∠OBE＋∠OBF＝90°，即∠EBF＝90°.∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠DBE，∠EFB＝∠CBF，∴∠FEB＝∠OBE，∠EFB＝∠OBF，∴OE＝OB，OF＝OB，∴OE＝OF＝OB＝12 EF.∵在Rt△BEF中，BE＝5，BF＝12，∴EF＝BE2＋BF2＝13，∴OB＝12EF＝132.(2)当动点O在边AB的中点时，四边形AEBF是矩形．理由如下：∵O为AB的中点，∴AO＝BO.又∵OE＝OF＝OB，∴OA＝OB＝OE＝OF.∴四边形AEBF是矩形．21．(1)证明：∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠CED＝180°－90°＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CED.又∵∠ABC＝∠BCD，∴△ABE∽△ECD.(2)证明：∵△ABE∽△ECD，∴ABEC＝AEED，∵点E为BC的中点，∴BE＝EC，∴ABBE＝AEED.又∵∠ABC＝∠AED＝90°，∴△ABE∽△AED，∴ABAE＝AEAD，∴AE2＝AB·AD.(3)解：∵△ABE∽△ECD，∴ABEC＝BEDC.∵AB＝1，CD＝4，BE＝EC，∴BE＝EC＝2，∴AE2＝AB2＋BE2＝5，DE2＝DC2＋CE2＝20，∴AD2＝DE2＋AE2＝25，∴AD＝5，DE＝2 5.22．(1)证明：过点A作AH⊥BC于H点，AH交BD于G点，如图．∵△ABC中，AC＝AB，AH⊥BC，∴∠3＝∠4＝12∠BAC.易得∠1＝∠2(同弧所对的圆周角相等)，∠3＋∠5＝90°.∵AC⊥BD，∴∠2＋∠5＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴∠BAC＝2∠CAD.(2)解：不妨设ED＝a，EC＝b，DC＝c，易得△CDE∽△BAE，∴CD∶AB＝ED∶EA＝EC∶EB，∵EC＝2m，EB＝2m2，∴CD∶AB＝ED∶EA＝EC∶EB＝1∶m，∴EA＝ma，AB＝mc，EB＝mb.∵BD⊥AC，∴ED2＋EC2＝DC2，即a2＋b2＝c2①，∵AB＝AC，∴mc＝ma＋b②.过点D作DP⊥AB于P点，如图．由(1)可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4.∵m ＝2，∴EC ＝b ＝2m ＝4，EB ＝2m 2＝8，∵BD ⊥AC ，∠1＝∠3，AE ＝AE ，∴△AED ≌△AEG ，∴ED ＝EG ＝a ，AD ＝AG .在△CAD 与△BAG 中，⎩⎨⎧AC ＝AB ，∠1＝∠4，AD ＝AG ，∴△CAD ≌△BAG (SAS)，∴DC ＝BG ＝c ，∴EB ＝EG ＋GB ＝ED ＋DC ，即mb ＝a ＋c ＝8，∴a ＝8－c ③，把③代入①，得(8－c )2＋42＝c 2，解得c ＝5，∴a ＝3， ∴EA ＝6，AB ＝10，DB ＝11.∵S △ABD ＝12AB ·DP ＝12BD ·AE ，∴DP ＝BD ·AE AB ＝11× 610＝335，∴△ABD 中AB 边上的高为335.(3)3m 2－1点拨：由(2)可得mb ＝a ＋c ④.②－④得mc －mb ＝ma ＋b －a －c ，即(m ＋1)(c －b )＝(m －1)a ，∴a ＝m ＋1m －1(c －b )⑤， 把⑤代入①得⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋1m －1（c －b ）2＋b 2＝c 2， 整理得(m 2＋1)b 2－(m 2＋2m ＋1)·bc ＋2mc 2＝0，即(b －c )[(m 2＋1)b －2mc ]＝0， ∵Rt △ECD 中，b <c ，∴(m 2＋1)b ＝2mc ，∵EC ＝b ＝2m ，EB ＝mb ＝2m 2，∴DC ＝c ＝m 2＋1，∴ED ＝a ＝m 2－1，∴BD ＝DE ＋EB ＝a ＋mb ＝3m 2－1.(第22题)。
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福州文博中学数学圆几何综合同步单元检测（Word版含答案）一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）OA，OB分别交⊙O于点D，E，AO的延长线交⊙O于点F，若AB＝4AD，求sin∠CFE 的值．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得出OC⊥AB，根据切线的判定得出即可；（2）连接OC、DC，证△ADC∽△ACF，求出AF=4x，CF=2DC，根据勾股定理求出DC=35x，DF=3x，解直角三角形求出sin∠AFC，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OC，如图1，∵OA＝OB，AC＝BC，∴OC⊥AB，∵OC过O，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：连接OC、DC，如图2，∵AB＝4AD，∴设AD＝x，则AB＝4x，AC＝BC＝2x，∵DF为直径，∴∠DCF＝90°，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝∠DCF＝90°，∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO，∵OF＝OC，∴∠AFC＝∠OCF，∴∠ACD＝∠AFC，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACF，∴122 AC AD DC xAF AC CF x====，∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC，∵AD＝x，∴DF＝4x﹣x＝3x，在Rt△DCF中，（3x）2＝DC2+（2DC）2，解得：DC＝5x，∵OA＝OB，AC＝BC，∴∠AOC＝∠BOC，∴DC EC=，∴∠CFE＝∠AFC，∴sin∠CFE＝sin∠AFC＝DCDF＝535xx=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，难度偏大．2．已知：图1 图2 图3（1）初步思考：如图1， 在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC = （2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值． （3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC -的最大值． 【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值37DG =【解析】【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ∆∽BCP ∆，得到PN BN PC BP =，即可得到结论成立；（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到12PG PC =，当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到12PG PC =，当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -的值最大，即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===，∴24,4PB BN BC =⋅=，∴2PB BN BC =⋅， ∴BN BP BP BC=，∵B B ∠=∠， ∴BPN BCP ∆∆∽， ∴12PN BN PC BP ==， ∴12PN PC =； （2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，∵242,212PB BC BG PB ====， ∴,PB BC PBG PBC BG PB=∠=∠， ∴PBG CBP ∆∆∽，∴12PG BG PC PB ==， ∴12PG PC =， ∴12PD PC DP PG +=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理，可证12PG PC =， 在Rt △CDF 中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD •sin60°=23CF=2，在Rt △GDF 中，DG=22(23)537+=，∴12PD PC PD PG DG -=-≤， 当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -的值最大， ∴最大值为：37DG =.【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．3．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，12BC cm =，半圆O 的直径12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ∆的重叠部分的面积为()2S cm ．（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ∆重叠部分的面积S ；（3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切？【答案】（1）24cm ，()926cm ；（2）2(189)cm π+；（3）0x =或6x =或932x =-【解析】【分析】（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，261218()92()OB OC CB cm ON BN cm =+=+====，所以926()MN ON OM cm =-=； （2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，所以0x =（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =，262OB OH ==，1262OC BC OB =-=-，移动的距离为612621862()cm +-=-，运动时间为18629322x -==-（秒)． 【详解】解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，45ABC ∠=︒，45NOB ∴∠=︒，在Rt ONB ∆中，61218()OB OC CB cm =+=+=292()ON BN OB cm ∴===， 926()MN ON OM cm ∴=-=-，故答案为24cm ，(926)cm -；（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．BC 为直径，90CHB ∴∠=︒，45ABC ∠=︒45HCB ∴∠=︒，HC HB ∴=，OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，0x ∴=（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =45B ∠=︒，90OHB ∠=︒，262OB OH ∴==，1262OC BC OB =-=-，移动的距离为612621862()cm +-=-，运动时间为1862932x -==-（秒)， 综上所述，当x 为0或6或932-时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切．【点睛】本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键．要注意分类讨论.4．四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为对角线，∠ACB ＝∠ACD（1）如图1，求证：AB ＝AD ；（2）如图2，点E 在AB 弧上，DE 交AC 于点F ，连接BE ，BE ＝DF ，求证：DF ＝DC ； （3）如图3，在（2）的条件下，点G 在BC 弧上，连接DG ，交CE 于点H ，连接GE ，GF ，若DE ＝BC ，EG ＝GH ＝5，S △DFG ＝9，求BC 边的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（370【解析】【分析】（1）如图1，连接OA，OB，OD，由∠ACB＝∠ACD，可得AD AB，可得AB＝AD；（2）连接AE，由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得∠BAE＝∠DAC，可证BE＝CD＝DF；（3）如图3，过点F作FN⊥GD于N，过点C作CM⊥GD于M，连接GC，通过证明△FDN≌△DCM，可得FN＝DM，CM＝DN，由面积公式可求FN＝2，DM＝2，DH＝4，通过证明△EGC∽△DMC，△GEH∽△CHD，可得EC＝52CD，CD2＝403，由勾股定理可求解．【详解】证明：（1）如图1，连接OA，OB，OD，∵∠ACB＝∠ACD，∠AOD＝2∠ACD，∠AOB＝2∠ACB ∴∠AOD＝∠AOB∴AD AB∴AD＝AB；（2）如图2，连接AE，∵AE AE∴∠ABE＝∠ADE在△ABE和△ADF中AB ADABE ADFBE DF∴△ABE≌△ADF（SAS）∴∠BAE＝∠DAC∴BE CD∴BE＝DC∵BE＝DF∴DF＝DC；（3）如图3，过点F作FN⊥GD于N，过点C作CM⊥GD于M，连接GC，∵DE＝BC，BE＝CD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴∠EBC＝∠EDC，∵四边形BEDC是圆内接四边形，∴∠EBC+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠EBC＝90°，∴EC是直径，∴∠FGC＝∠EDC＝90°∴∠FDN+∠MDC＝90°，且∠MDC+∠MCD＝90°，∴∠FDN＝∠MCD，且∠FND＝∠CMD＝90°，DF＝DC，∴△FDN≌△DCM（AAS）∴FN＝DM，CM＝DN，∵EG＝GH＝5，∴∠GEH＝∠GHE，且∠GHE＝∠DHC，∠GEH＝∠GDC，∴∠HDC＝∠CHD，∴CH＝CD，且CM⊥DH，∴DM＝MH＝FN，∵S△DFG＝9，∴12DG×FN＝9，∴12×（5+2FN）×FN＝9，∴FN＝2，∴DM ＝2，DH ＝4，∵∠GEC ＝∠GDC ，∠EGC ＝∠DMC ，∴△EGC ∽△DMC ， ∴52ECEG CD DM ， ∴EC ＝52CD ，且HC ＝CD ， ∴EH ＝32CD ， ∵∠EGD ＝∠ECD ，∠GEC ＝∠GDC ， ∴△GEH ∽△CHD ， ∴EGEH CH DH， ∴3524CD CD， ∴2403CD ， ∵EC 2﹣CD 2＝DE 2，∴222254CD CD DE ， ∴2214043DE ，∴DE∴BC【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的难点．5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，AC 和BD 交于点E ，AB ＝BC ． （1）求∠ADB 的度数；（2）过B 作AD 的平行线，交AC 于F ，试判断线段EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E ，F 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接GH ，交BO 于M ，若AG ＝3，S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，求⊙O 的半径．【答案】（1）45°；（2）EA2+CF2＝EF2，理由见解析；（3）62【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B作BN⊥BE，使BN=BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB （SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，将相关线段代入即可得出结论；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，变形推得S△ABC=S矩形BGKH，S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案．【详解】解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，∴12EA2+12CF2＝12EF2，∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴12S△ABC＝12S矩形BGKH，∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，∴S△BMH：S△BGM＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG ：BH ＝9：8， 设BG ＝9k ，BH ＝8k ，∴CH ＝3+k ，∵AG ＝3，∴AE ＝32，∴CF ＝2（k+3），EF ＝2（8k ﹣3），∵EA 2+CF 2＝EF 2，∴222(32)[2(3)][2(83)]k k ++=-，整理得：7k 2﹣6k ﹣1＝0，解得：k 1＝﹣17（舍去），k 2＝1． ∴AB ＝12，∴AO ＝22AB ＝62， ∴⊙O 的半径为62．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性质、多边形的面积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关键．6．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，连接CD 交AB 于E ，（1）如图(1)求证：90AEC ∠=︒；（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==∆的面积等于8，求线段MN 的长度【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2410MN =．【解析】【分析】（1）由垂径定理即可证明；（2）利用等弧所对的圆周角相等和三角形外角性质即可得到结论；（3）由∠MPC=∠NQD 可得：∠BGL=∠BLG ，BL=BG ，作BR ⊥MN ，GT ⊥AF ，HK ⊥AB ，证明：GH 平分∠AGT ，利用相似三角形性质和角平分线性质求得△AGT 三边关系，再求出HK 与GH ，OS ⊥MN ，再利用相似三角形性质求出OS ，利用勾股定理求MN 即可．【详解】解：()1证明：∵BC BD =，AB 为直径，∴AB ⊥CD∴∠AEC=90°；()2连接,OM ON ，∵点M 是弧AC 的中点，点N 是弧DF 的中点，∴AM CM =，FN DN =，∴,OM AC ON FD ⊥⊥，∵OM=ON ，∴M N ∠=∠，∵90M MPC N NQB ∠+∠=∠+∠=︒，MPC NQD ∴∠=∠；()3如图3，过G 作GT ⊥AF 于T ，过H 作HK ⊥AB 于K ，过B 作BR ⊥MN 于R ，过O 作OS ⊥MN 于S ，连接OM ，设BG=m ，∵△ABH 的面积等于8，AG=66m +∵BC BD =，∴∠BAC=∠BFD ，由（2）得∠MPC=∠NQD∴∠AGM=∠FLN∴∠BGL=∠BLG∴BL=BG ，∵BR ⊥MN∴∠ABR=∠FBR∵GH ⊥MN∴GH ∥BR∴∠AGH=∠ABR∵AB 是直径，GT ⊥AF∴∠AFB=∠ATG=90°∴GT ∥BF ，又∵GH ∥BR∴∠TGH=∠FBR∴∠AGH=∠TGH ，又∵HK ⊥AG ，HT ⊥GT ，∴HT=HK=166m +， ∵FH=BG=m ， ∴FT=16(8)(2)66m m m m m +--=++， ∵GT ∥BF ， ∴AT AG FT BG=， ∴6(8)(2)(6)m m AT m m +-=+，616m AH m -=，48(6)(38)m KG TG m m ==+-， ∵222AT TG AG +=，代入解得：m=4；∴AB=10，OM=5，GK=245，HK=85，OG=1∴， ∵OS ⊥MN∴∠OSG=∠GKH=90°，GH ∥OS∴∠HGK=∠GOS∴△HGK ∽△GOS ，OG GH∴310 OS=，∴222410MG OM OG=-=，∴2410 MN=；【点睛】本题考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形判定和性质，勾股定理等，综合性较强，尤其是第（3）问难度很大，计算量大，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题．7．△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D，交⊙O于点E，连接AE．（1）如图1，求证：∠BAC=2∠CAE；（2）如图2，射线AO交线段BD于点F，交BC边于点G，连接CE，求证：BF=CE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CO并延长，交线段BD于点H，交⊙O于点M，连接FM，交AB边于点N，若BH=DH，四边形BHOG的面积为2，求线段MN的长．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）6MN=【解析】【分析】（1）先依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠BAC+2∠C=180°，然后得到2∠CAE+2∠E=180°，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠E=∠C，即可得到结论；（2）连接OB、OC．先依据SSS证明△ABO≌△ACO，从而得到∠BAO=∠CAO，然后在依据ASA证明△ABF≌△ACE，最后根据全等三角形的性质可证明BF=CE；（3）连接HG、BM．由三线合一的性质证明BG=CG，从而得到HG是△BCD的中位线，则∠FHO=∠AFD=∠HFO，于是可得到HO=OF，然后得到∠OGH=∠OHG，从而得到OH=OG，则OF=OG，接下来证明四边形MFGB是矩形，然后由MF∥BC证明△MFH∽△CBH，从而可证明HF=FD．接下来再证明△ADF≌△GHF，由全等三角形的性质的到AF=FG，然后再证明△MNB≌△NAF，于是得到MN=NF．设S△OHF=S△OHG=a，则S△FHG=2a，S△BHG=4a，然后由S四边形BHOG2，可求得2，设HF=x，则BH=2x，然后证明△GFH∽△BFG，由相似三角形的性质可得到HG=2x ，然后依据S △BHG =12BH•HG=42，可求得x=2，故此可得到HB 、GH 的长，然后依据勾股定理可求得BG 的长，于是容易求得MN 的长．【详解】解：（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ．∴∠BAC+2∠C=180°．∵BD ⊥AC ，∴∠ADE=90°．∴∠E+∠CAE=90°．∴2∠CAE+2∠E=180°．∵∠E=∠ACB ，∴2∠CAE+2∠ACB=180°．∴∠BAC=2∠CAE ．（2）连接OB 、OC ．∵AB=AC ，AO=AO ，OB=OC ，∴△ABO ≌△ACO ．∴∠BAO=∠CAO ．∵∠BAC=2∠CAE ，∴∠BAO=∠CAE ．在△ABF 和△ACE 中，ABF ACE AB ACBAF CAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABF ≌△ACE ．∴BF=CE ．（3）连接HG 、BM ．∵AB=AC ，∠BAO=∠CAO ，∴AG ⊥BC ，BG=CG ．∵BH=DH ，∴HG 是△BCD 的中位线．∴HG ∥CD ．∴∠GHF=∠CDE=90°．∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ．∵∠OAC+∠AFD=90°，∠OCA+∠FHO=90°，∴∠FHO=∠AFD=∠HFO ．∴HO=OF ．∵∠HFO+∠OGH=90°，∠OHF+∠OHG=90°，∴∠OGH=∠OHG ．∴OH=OG ．∴OF=OG ．∵OM=OC ，∴四边形MFCG 是平行四边形．又∵MC 是圆O 的直径，∴∠CBM=90°．∴四边形MFGB 是矩形．∴MB=FG ，∠FMB=∠AFN=90°．∵MF ∥BC ，∴△MFH ∽△CBH ． ∴12HF MF BH CB ==． ∴HF ：HD=1：2．∴HF=FD ． 在△ADF 和△GHF 中，AFD GFH ADF GHF FH FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△GHF ．∴AF=FG ．∴MB=AF ．在△MNB 和△NAF 中，90BMF AFN ANF BNM MB AF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MNB ≌△NAF ．∴MN=NF ．设S △OHF =S △OHG =a ，则S △FHG =2a ，S △BHG =4a ，∴S 四边形BHOG．∴．设HF=x ，则BH=2x ．∵∠HHG=∠GFB ，∠GHF=∠FGB ，∴△GFH ∽△BFG ． ∴HF GH HG BH =，即2x HG HG x=． ∴． ∴S △BHG =12BH•HG=12， 解得：x=2．∴HB=4，．由勾股定理可知：．∴．∴．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判断、勾股定理的应用、矩形的性质和判定，找出图中相似三角形和全等三角形是解题的关键．8．已知点A 为⊙O 外一点，连接AO ，交⊙O 于点P ，AO=6．点B 为⊙O 上一点，连接BP ，过点A 作CA ⊥AO ，交BP 延长线于点C ，AC=AB ．（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若PC=43，求 PB的长．（3）若在⊙O上存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围是___________．【答案】（1）AB与⊙O相切，理由见解析；（2）433PB=；（3）6565r≤<【解析】【分析】（1）连接OB，有∠OPB=∠OBP，又AC=AB，则∠C=∠ABP，利用∠CAP=90°，即可得到结论成立；（2）由AB=AC，利用勾股定理先求出半径，作OH⊥BP与H，利用相似三角形的判定和性质，即可求出PB的长度；（3）根据题意得出OE=12AC=12AB=2216r2-，利用OE=22162r r-≤，即可求出取值范围．【详解】解：（1）连接OB，如图：∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP=∠APC，∵AC=AB，∴∠C=∠ABP，∵AC ⊥AO ， ∴∠CAP=90°，∴∠C+∠APC=90°，∴∠ABP+∠OBP=90°，即OB ⊥AB ，∴AB 为切线；（2）∵AB=AC∴22AB AC =，∴2222CP AP OA OB -=-，设半径为r ，则2222(43)(6)6r r --=-解得：r=2；作OH ⊥BP 与H ，则△ACP ∽△HOP ，∴PH OP AP CP=，即443PH = ∴23PH =, ∴432PB PH ==； （3）如图，作出线段AC 的垂直平分线MN ，作OE ⊥MN ，∴四边形AOEM 是矩形，∴OE=AM=12AC=12 又∵圆O 与直线MN 有交点，∴r ，2r ≤，∴22364r r -≤，∴5r ≥ 又∵圆O 与直线AC 相离，∴r ＜6，即65r ≤<． 【点睛】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定与性质和勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，得出EO 与AB 的关系进而求出r 取值范围是解题关键．9．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点A ，B 和图形ω，如果在图形ω上存在点P ，Q （P ，Q 可以重合），使得AP ＝2BQ ，那么称点A 与点B 是图形ω的一对“倍点”． 已知⊙O 的半径为1，点B （0，3）．（1）①点B 到⊙O 的最大值，最小值；②在A 1（5，0），A 2（0，10），A 3）这三个点中，与点B 是⊙O 的一对“倍点”的是 ；（2）在直线y =x +b 上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”，求b 的取值范围； （3）正方形MNST 的顶点M （m ，1），N （m +1，1），若正方形上的所有点与点B 都是⊙O 的一对“倍点”，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）①点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2；②A 1；（2）b -≤≤；（3）3≤m ≤1或≤m ≤﹣4【解析】【分析】（1）①根据点与圆的位置关系求解即可；②先求出123,,A A A 三个点到⊙O 的最大值与最小值，再根据“倍点”的定义求解即可； （2）如图1（见解析），过点O 作OD l ⊥，先求428BQ ≤≤，再求出直线:3l y x b =+上的点到⊙O 的最小值，只要这个最小值小于等于8即可满足题意，然后求解即可；（3）根据正方形的位置，可分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况，分别求出每种情况下，正方形最近顶点、最远顶点到⊙O 的最大值与最小值，然后根据“倍点”的定义列出不等式组求解即可.【详解】（1）①点B 到⊙O 的最大值是314BO r +=+=点B 到⊙O 的最小值是312BO r -=-=；②1A 到⊙O 的最大值6，最小值4；2A 到⊙O 的最大值11，最小值9；3A 到⊙O 的最大值3，最小值1由（1）知，点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2因此，在⊙O 上存在点P ，Q ，使得12A P BQ =，则1A 与B 是⊙O 的一对“倍点”故答案为1A ；（2）∵点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2428BQ ∴≤≤如图1，过点O 作OD l ⊥由直线:3l y x b =+的解析式可知：60,DCO OC b ∠=︒=由直角三角形的性质可得：1,2CD b OD ===则点D 到⊙O 1-，即直线:l y b =+上的点到⊙O 的最小值为1-要使直线:3l y x b =+上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”18-≤解得：b ≤b -≤≤；（3）由（2）知，428BQ ≤≤依题意，需分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况讨论：①当20m -≤<时，顶点(1,1)N m +到⊙O 14<，此时顶点N 不符题意②当01m ≤≤时，顶点(,1)M m 到⊙O 14<，此时顶点M 不符题意③当1m ，如图2，正方形MNST 处于1号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +此时，点T 到⊙O 的最小值为1m -，最大值为1m +；点N 到⊙O 的最小值为11则1418m +≥⎧≤，解得：31m ≤≤ 当正方形MNST 处于2号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m +此时，点M 到⊙O1-1；点S 到⊙O 的最小11则1418≥≤，解得：1m ≤≤或1m ≤≤- 故当1m 时，m的取值范围为31m ≤≤④当2m <-时，正方形MNST 处于3号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +此时，点S 到⊙O 的最小值为2m --，最大值为m -；点M 到⊙O的最小值为11则418m -≥⎧≤，解得：4m -≤≤- 当正方形MNST 处于4号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m +此时，点N 到⊙O11；点T 到⊙O11则1418≥≤，解得：1m ≤≤--1m ≤≤（舍去） 故当2m <-时，m的取值范围为4m ≤≤-综上，m的取值范围为31m ≤≤或4m ≤≤-.【点睛】本题考查了直线与圆的的位置关系、点与圆的位置关系、正方形的性质，较难的是（3），根据点与圆的位置关系分四种情况讨论是解题关键.10．如图，二次函数y ＝﹣56x 2+bx +c 与x 轴的一个交点A 的坐标为（﹣3，0），以点A 为圆心作圆A ，与该二次函数的图象相交于点B ，C ，点B ，C 的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB ，AC ，并且满足AB ⊥AC ．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B 作直线BD ⊥AB ，与x 轴交于点D ，与二次函数的图象交于点E ，连接AE ，请判断△ADE 的形状，并说明理由；（3）若直线y ＝kx +1与圆A 相切，请直接写出k 的值．【答案】（1）y ＝﹣56x 2﹣376x ﹣11；（2）△ADE 是等腰三角形，理由见解析；（3）k 的值为﹣12或2 【解析】【分析】（1）利用三垂线判断出()ACN BAM AAS ∆≅∆，进而得出(2,2)B --，(5,1)C --，最后将点B ，C 坐标代入抛物线解析式中即可得出结论；（2）先判断出ABM BDM∆∆∽，得出点D坐标，进而求出直线BD的解析式，求出点E 坐标，即可得出结论；（3）分两种情况，Ⅰ、切点在x轴上方，利用三垂线判断出()AQG FPG AAS∆≅∆，得出AQ PF=，GQ PG=，设成点G坐标，进而得出3AQ m=+，PF km=，PG m=-，1GQ km=+，即可得出结论；Ⅱ、切点在x轴下方，同Ⅰ的方法即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，过点B作BM x⊥轴于M，过点C作CN x⊥轴于N，90ANC BMA∴∠=∠=︒，90ABM BAM∴∠+∠=︒，AC AB⊥，90CAN BAM∴∠+∠=︒，ABM CAN∴∠=∠，A过点B，C，AC AB∴=，()ACN BAM AAS∴∆≅∆，2(3)1CN AM∴==---=，3(5)2BM AN==---=，(2,2)B∴--，(5,1)C--，点B，C在抛物线上，∴54226525516b cb c⎧-⨯-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯-+=-⎪⎩，∴37611bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为25371166y x x=---，（2）ADE∆是等腰三角形，理由如下：如图1，BD AB⊥，90ABD∴∠=︒，90ABM DBM∴∠+∠=︒，过点B作BM x⊥轴于M，90BMD AMB∴∠=∠=︒，90BDM DBM∴∠+∠=︒，ABM BDM∴∠=∠，ABM BDM∴∆∆∽，∴AM BMBM DM=，∴122DM=，4DM∴=，2()2D∴,，5AD∴=，(2,2)B--，∴直线BD的解析式为112y x=-，联立，21125371166y xy x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=---⎪⎩，∴22xy=-⎧⎨=-⎩（舍)或61xy=-⎧⎨=-⎩，(6,4)E∴--，5AE ∴==，AD AE ∴=，ADE ∴∆是等腰三角形；（3）如图2，点(2,2)B --在A 上，AB ∴ 记直线1y kx =+与y 轴相交于F ，令0x =，则1y =，(0,1)F ∴，1OF ∴=，Ⅰ、当直线1y kx =+与A 的切点在x 轴上方时，记切点为G ，则AG AB ==90AGF ∠=︒，连接AF ，在Rt AOF ∆中，3OA =，1OF =，AF ∴=，在Rt AGF ∆中，根据勾股定理得，FG AG ===，如图2，过点G 作GP y ⊥轴于P ，过点G 作GQ x ⊥轴于Q ，90AQG FPG POQ ∴∠=∠=︒=∠，∴四边形POQG 是矩形，90PGQ ∴∠=︒， FG 是A 的切线，AGQ FGP ∴∠=∠，()AQG FPG AAS ∴∆≅∆，AQ PF ∴=，GQ PG =，设点(,1)G m km +，3AQ m ∴=+，PF km =，PG m =-，1GQ km =+，3m km ∴+=①，1km m +=-②， 联立①②解得，212m k =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， Ⅱ、当切点在x 轴下方时，同Ⅰ的方法得，2k =，即：直线1y kx =+与圆A 相切，k 的值为12-或2． 【点睛】此题是二次函数综合题，主考查了待定系数法，三垂线判定两三角形全等，解方程组，判断出FG AG =是解本题的关键．。