初中数学旋转专题
初中数学专题复习：旋转(类型全面)
旋转旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角．旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角。
（一）正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。
经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。
例1. 如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.（二）正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。
经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。
例2. 如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。
求此正方形ABCD面积。
（三）等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。
经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。
例3．如图，在ΔABC中，∠ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。
求∠BPC的度数。
旋转实际上是一种全等变换，由于具有可操作性，因而是考查同学们动手能力、观察能力的好素材，也就成了近几年中考试题中频繁出现的内容。
题型多以填空题、计算题呈现。
在解答此类问题时，我们通常将其转换成全等求解。
根据变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的。
初中数学旋转题型
初中数学旋转题型
在初中数学中，旋转是一个重要的概念和技能。
掌握旋转的原理和方法，可以帮助我们解决很多几何问题。
下面介绍一些初中数学中常见的旋转题型。
1. 点的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个点P(x, y)，绕原点旋转θ度，求旋转后的点坐标。
解法：设旋转后的点为P'(x', y')，则有：
x' = x*cosθ - y*sinθ
y' = x*sinθ + y*cosθ
其中，cosθ和sinθ可以通过三角函数表查找。
2. 图形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个图形，绕原点旋转θ度，求旋转后的图形。
解法：将图形上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的图形。
3. 对称图形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个对称图形，绕对称轴旋转θ度，求旋转后的图形。
解法：对称轴不变，将图形上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的图形。
4. 正方形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个正方形，绕其中心旋转θ度，求旋转后的正方形。
解法：连接正方形的对角线，得到两个对称轴，分别将正方形上的每个点按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的正方形。
5. 圆的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个圆，绕其中心旋转θ度，求旋转后的圆。
解法：圆上每个点到圆心的距离不变，因此可以先求出旋转后的圆心坐标，然后将圆心和圆上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，就得到了旋转后的圆。
以上就是初中数学中常见的旋转题型，希望能对大家的学习有所帮助。
初中数学《旋转》专题100题含答案
（2）连接h′，C‸，如图③，求证：四边形C‸′h是平行四边形．
24.如图，将OABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，将线段
AB绕点B顺时针旋转9to．得线段A'B，点A的对应点为A'，连接AA'交线段BC于点‸．
（1）写出点B的坐标；
（2）画出O ABC绕点0旋转1‸to后得到的图形O A1B1C1，并写出点B1的坐标?
33. 如图，在建立了平面直角坐标系的正方形网格中，A2t2，B1tt，C3t1．
（1）画出O ABC关于x轴对称的O A1B1C1．
（1）作出旋转后的图形．
（2）C‸=．
‸B
25.如图，已知正方形ABC‸中，Bh平分²‸BC且交C‸边于点h，将OBCh绕点C顺时针旋转到
O‸C′的位置，并延长Bh交‸′于点G．
（1）求证：O B‸G∽O ‸hG；
（2）若hG · BG = t，求Bh的长．
26.如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个OABC和一点0，OABC
（3）求出在O ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．
7.正方形ABC‸的边长为3，h，′分别是AB，BC边上的点，且²h‸′=t5o．将O‸Ah绕点‸
逆时针旋转9to，得到O ‸Ch．
（1）求证：h′=′h
（2）当Ah=1时，求h′的长．
8. 如图，将OABC放于平面直角坐标系中，得到顶点坐标为A—3tt，B—3tt，Ctt3，以B为旋转中心，在平面直角坐标系内将O ABC顺时针旋转9to．
（2）将O ABC绕点0顺时针旋转9to，画出旋转后得到的O A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所经过的路径长．
初中数学旋转问题必考题型
网红“旋转”问题必考题型梳理题型1 旋转的概念旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．例题1下面是4个能完全重合的正六边形，请仔细观察A、B、C、D四个图案，其中与所给图形不相同的是（）A．B．C．D．【分析】将选项中的图形绕正六边形的中心旋转，与题干的图形不相同的即为所求．【解析】观察图形可知，只有选项B中的图形旋转后与图中的正六边形不相同．选B．变式1如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（）A．144°B．90°C．72°D．60°【分析】如图，由于是正五角星，设O的是五角星的中心，那么∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠AOE，所以要使正五角星旋转后与自身重合，那么它们就是旋转角，而它们的和为360°，由此即可求出绕中心顺时针旋转的角度．【解析】如图，设O的是五角星的中心，∵五角星是正五角星，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠AOE，∵它们都是旋转角，而它们的和为360°，∴至少将它绕中心顺时针旋转360÷5＝72°，才能使正五角星旋转后与自身重合．选C．变式2如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【解析】∵△ABC经过旋转后得到△EFD，∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，∴旋转中心在AE的垂直平分线上，也在BF的垂直平分线上，作AE的垂直平分线和BF的垂直平分线，它们的交点为N点，如图，即旋转中心为N点．选B．变式3规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是；A．矩形B．正五边形C．菱形D．正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：（填序号）；（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有个；A．0 B．1 C．2 D．3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．【解析】（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，故选B．（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有（1）（3）（5）．故答案为（1）（3）（5）．（3）命题中①③正确，故选C．（4）图形如图所示：题型2 利用旋转求角度解决此类问题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．例题2如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）A．50°B．70°C．110°D．120°【解析】∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵将△ABC 绕点B 逆时针旋转得到△A ′BC ′，使点C 的对应点C ′恰好落在边AB 上，∴∠A ′BA ＝∠ABC ＝40°，A ′B ＝AB ，∴∠BAA ′＝∠BA ′A =12（180°﹣40°）＝70°，∴∠CAA '＝∠CAB +∠BAA ′＝50°+70°＝120°．选D ．变式4 如图，将△OAB 绕点O 逆时针旋转70°，得到△OCD ，若∠A ＝2∠D ＝100°，则∠a 的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°【解析】∵将△OAB 绕点O 逆时针旋转70°，∴∠A ＝∠C ，∠AOC ＝70°，∴∠DOC ＝70°﹣α，∵∠A ＝2∠D ＝100°，∴∠D ＝50°，∵∠C +∠D +∠DOC ＝180°，∴100°+50°+70°﹣α＝180°，解得α＝40°，选C ．变式5 如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转角α，得到△ADE ，若点E 恰好在CB 的延长线上，则∠BED 等于（ ）A ．α2B ．23αC ．αD ．180°﹣α【解析】∵∠ABC ＝∠ADE ，∠ABC +∠ABE ＝180°，∴∠ABE +∠ADE ＝180°，∴∠BAD +∠BED ＝180°，∵∠BAD ＝α，∴∠BED ＝180°﹣α．选D ．变式6 Rt △ABC ，已知∠C ＝90，∠B ＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD （如图）．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m ＝（ ）A ．80B ．80或120C ．60或120D ．80或100【解析】当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AB边上的B′点，如图1，∴∠BDB′＝m，DB′＝DB，∴∠1＝∠B＝50°，∴∠BDB′＝180°﹣∠1﹣∠B＝80°，即m＝80°；当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AC边上的B′点位置，如图2，∴∠BDB′＝m，DB′＝DB，∵BD＝2CD，∴DB′＝2CD，∴∠CB′D＝30°，则∠B′DC＝60°，∴∠BDB′＝180°﹣∠B′DC＝120°，即m＝120°，综上所述，m的值为80°或120°．选B．题型3 旋转作图（坐标系）例题3在如图所示平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），解答下列问题：（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出以C1为旋转中心，将△A1B1C1顺时针旋转90°后的△A2B2C1；（3）连接A1A2，则△C1A1A2是三角形，并直接写出△C1A1A2的面积．【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）∵C1A12＝12+22＝5，C1A22＝12+22＝5，A1A22＝12+32＝10，∴C1A12+C1A22＝A1A22，∴△C1A1A2是直角三角形，而C1A1＝C1A2，∴△C1A1A2是等腰直角三角形，它的面积=12×√5×√5=52．故答案为等腰直角．变式7在平面直角坐标系中，△ABC的点坐标分别是A（2，4）、B（1，2）、C（5，3），如图：（1）以点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，写出A1、B1、C1的坐标；（2）在（1）中，若△ABC上有一点P（m，n），直接写出对应点P1的坐标．（3）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．【解析】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（4，﹣2）、B1（2，﹣1）、C1（3，﹣5）；（2）若△ABC上有一点P（m，n），则对应点P1的坐标为（n，﹣m）．（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．变式8如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．【分析】（1）利用利用y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2；（3）根据中心对称的定义进行判断．【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形，对称中心的坐标为（−12，−12）．变式9如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）．（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标为；（3）在x轴上存在一点P，且满足点P到点B1和点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值．【解析】（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为（﹣4，﹣4）；（2）点C2的坐标为（﹣1，5）；（3）点P即为所求，PB1+PC1的最小值为√26：题型4 与旋转有关的点的坐标例题4如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣2，4），AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是（）A．（4，3）B．（4，4）C．（5，3）D．（5，4）【分析】如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．利用全等三角形的性质求出AF，CF即可解决问题．【解析】如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．∵A（1，0），B（﹣2，4），∴OA＝1，BE＝4，OE＝2，AE＝3，∵∠AEB＝∠AFC＝∠BAC＝90°，∴∠B+∠BAE＝90°，∠BAE+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∵AB＝AC，∴△BEA≌△AFC（AAS），∴CF＝AE＝3，AF＝BE＝4，OF＝1+4＝5，∴C（5，3），选C．变式10如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（）A．（﹣1，√3）B．（√3，﹣1）C．（−√3，1）D．（﹣2，1）【解析】如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．∵B（2，0），△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∵AE⊥OB，∴OE＝EB＝1，∴AE=√AO2−OE2√22−12=√3，∵A′H⊥OH，∴∠A′HO＝∠AEO＝∠AOA′＝90°，∴∠A′OH+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°，∴∠A′OH＝∠OAE，∴△A′OH≌△OAE（AAS），∴A′H＝OE＝1，OH＝AE=√3，∴A′（−√3，1），选C．【小结】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．变式11如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点B在第一象限，点A在y轴的正半轴上，AO＝AB＝2，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣2−√32，√3）B．（﹣2−√32，2−√32）C．（﹣3，2−√32）D．（﹣3，√3）【解析】作B′H⊥x轴于H．由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴∠A′B′H＝30°，∴AH′=12A′B′＝1，B′H=√3，∴OH＝3，∴B′（﹣3，√3），选D．变式12如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B在坐标原点，顶点A、C分别在y轴、x轴的负半轴上，其中A（0，﹣4），C（﹣2，0），将矩形ABCD绕点D逆时针旋转得到矩形A'B'C'D，点B'恰好落在x轴上，线段B'A'与CD交于点E的坐标为（）A．（﹣2，−32）B．（﹣2，−34）C．（﹣2，﹣2）D．（﹣2，−54）【解析】如图，连接BD，B'D，∵矩形ABCD绕点D逆时针旋转得到矩形A'B'C'D，∴BD＝B'D，又∵DC⊥BB'，A（0，﹣4），C（﹣2，0），∴BC＝B'C＝2＝A'D，又∵∠B 'CE ＝∠DA 'E ＝90°，∠B 'EC ＝∠DEA '，∴△B 'EC ≌△DEA '，∴B 'E ＝DE ，设CE ＝x ，则B 'E ＝DE ＝4﹣x ，∵Rt △B 'EC 中，CE 2+B 'C 2＝B 'E 2，∴x 2+22＝（4﹣x ）2，解得x =32，∴E （﹣2，−32），选A ． 题型5 与旋转有关的点的坐标（周期规律）例题5 如图，Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝4，将△AOB 沿x 轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）A ．（28，4）B ．（36，0）C ．（39，0）D ．（912，32√3）【解析】∵∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝4，∴AB =√OA 2+OB 2=√32+42=5，根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12，所以，图⑨的直角顶点在x 轴上，横坐标为12×3＝36， 所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．选B ．变式13 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2020次得到正方形OA 2020B 2020C 2020，如果点A 的坐标为（1，0），那么点B 2020的坐标为（ ）A ．（﹣1，1）B ．(−√2，0)C ．（﹣1，﹣1）D ．(0，−√2)【分析】根据图形可知：点B 在以O 为圆心，以OB 为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．【解析】∵四边形OABC 是正方形，且OA ＝1，∴B （1，1），连接OB ，由勾股定理得：OB =√2，由旋转得：OB ＝OB 1＝OB 2＝OB 3=⋯=√2，∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，依次得到∠AOB ＝∠BOB 1＝∠B 1OB 2＝…＝45°，∴B 1（0，√2），B 2（﹣1，1），B 3（−√2，0），B （﹣1，﹣1），…，发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，∴点B 2020的坐标为（﹣1，﹣1），选C ．变式14 如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是 ．【解析】∵点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；∴OP 1＝1，OP 2＝2，∴OP 3＝4，如此下去，得到线段OP 4＝23，OP 5＝24…，∴OP n ＝2n ﹣1， 由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，正好在y 轴的负半轴上，∴点P 2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．变式15如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x 轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O，…，依此规律，得到等腰直角三角形A2020OB2020，则点B2020的坐标为．【解析】∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝1，∴AB＝OA＝1，∴B（1，1），将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O＝2A1O…，依此规律，∴每4次循环一周，B1（2，﹣2），B2（﹣4，﹣4），B3（﹣8，8），B4（16，16），∵2020÷4＝505，∴点B2020与B同在一个象限内，∵﹣4＝﹣22，8＝23，16＝24，∴点B2020（22020，22020）．题型6 与旋转有关的最值问题例题6如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转90°得到P1，连CP1的最小值为（）A．1.6B．2.4C．2D．2√2【解析】如图，过点P′作P′E⊥AC于点E，则∠A＝∠P′ED＝90°，由旋转可知：DP＝DP′，∠PDP′＝90°，∴∠ADP＝∠EP′D，∴△DAP≌△P′ED（AAS）∴P′E＝AD＝2，∴当AP＝DE＝2时，DE＝DC，即点E与点C重合，此时CP′＝EP′＝2，∴线段CP′的最小值为2．选C．变式16如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（）A．2B．2√3C．√3D．√3+1【分析】作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM＝x，则CM=√33x，可计算出EM=−3√3x+2，再利用旋转的性质得到ED＝EF，∠DEF＝90°，证明△EDM≌△FEN，当D在BC上时，DM＝EN＝x，EM＝NF=−√33x+2，接着利用勾股定理得到AF2＝（−√33x+2）2+（2+x）2，配方得到AF2=43（x+3−√32）2+4+2√3，此时AF2没有最小值，当D在BC的延长线上时，DM＝EN＝x，EM＝NF=√33x+2，在Rt△AFN中，AF2＝（√33x+2）2+（2﹣x）2=43（x−3−√32）2+4+2√3，然后利用非负数的性质得到AF的最小值．【解析】作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM＝x，在Rt△CDM中，CM=√33DM=√33x，而EM+√33x＝2，∴EM=−√33x+2，∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，∴ED＝EF，∠DEF＝90°，易得△EDM≌△FEN，当D在BC上时，∴DM＝EN＝x，EM＝NF=−√33x+2，在Rt△AFN中，AF2＝（−√33x+2）2+（2+x）2=43（x+3−√32）2+4+2√3，此时AF2没有最小值，当D在BC的延长线上时，∴DM＝EN＝x，EM＝NF=√33x+2，在Rt △AFN 中，AF 2＝（√33x +2）2+（2﹣x ）2=43（x −√33）2+4+2√3， 当x =3−√32时，AF 2有最小值4+2√3，∴AF 的最小值为√4+2√3=√3+1．选D ． 变式17 如图，△ABC 是边长为12的等边三角形，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 的运动过程中，DF 的最小值是 ．【解析】取线段AC 的中点G ，连接EG ，如图所示．∵△ABC 为等边三角形，且AD 为△ABC 的对称轴，∴CD ＝CG =12AB ＝6，∠ACD ＝60°，∵∠ECF ＝60°，∴∠FCD ＝∠ECG ．在△FCD 和△ECG 中，{FC =EC∠FCD =∠ECG DC =GC，∴△FCD ≌△ECG （SAS ），∴DF ＝GE ．当EG ∥BC 时，EG 最小，∵点G 为AC 的中点，∴此时EG ＝DF =12CD =14BC ＝3．变式18 如图，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，M 为AB 中点，D 是射线BC 上一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED 、ME ，则点D 在运动过程中ME 的最小值为 ．【解析】如图，连接BE ，过点M 作MG ⊥BE 的延长线于点G ，过点A 作AK ⊥AB 交BD 的延长线于点K ，∵等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，∴∠B ＝45°，∴∠K ＝45°，∴△AKB 是等腰直角三角形． ∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴∠KAD +∠DAB ＝∠BAE +∠DAB ＝90°，∴∠KAD ＝∠BAE ，在△ADK和△AEB中，{AD=AE∠KAD=∠BAEAK=AB∴△ADK≌△AEB（SAS），∴∠ABE＝∠K＝45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵AC＝BC＝4，∴AB＝4√2，∵M为AB中点，∴BM＝2√2，∴MG＝BG＝2，∠G＝90°，∴BM＞MG，∴当ME＝MG时，ME的值最小，∴ME＝BE＝2．题型7 旋转综合变换例题7已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAB绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．（1）当∠MAN旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【解析】（1）BM+DN＝MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM＝90°﹣∠NAM＝90°﹣45°＝45°，又∵∠NAM＝45°，∴在△AEM与△ANM中，{AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，∵ME＝BE+BM＝DN+BM，∴DN+BM＝MN；（2）DN﹣BM＝MN．在线段DN上截取DQ＝BM，在△ADQ与△ABM中，∵{AD=AB∠ADQ=∠ABMDQ=MB，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ＝∠BAM，∴∠QAN＝∠MAN．在△AMN和△AQN中，{AQ=AM∠QAN=∠MANAN=AN，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN＝QN，∴DN﹣BM＝MN．变式19在△ABC和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC．（1）如图1，点D在BC上，求证：AD＝BE，AD⊥BE．（2）将图1中的△DCE绕点C按逆时针方向旋转到图2所示的位置，旋转角为α（α为锐角），线段DE，AE，BD的中点分别为P，M，N，连接PM，PN．①请直接写出线段PM，PN之间的关系，不需证明；②若AE＝2PM，求α．【解答】（1）证明：如图1，延长AD交BE于F．在△ACD和△BCE中，{AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE．∵∠ACB＝90°，∴∠CEB+∠CBE＝∠ACB＝90°，∴∠AFB＝∠CEB+∠CAD＝∠CEB+∠CBE＝90°，∴AD⊥BE．（2）①PM＝PN，PM⊥PN．理由是：如图2，连接BE，AD，交于点Q，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB+∠BCD＝∠BCD+∠ECD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，∵{AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠OBQ，∵∠AOC＝∠BOQ，∴∠BQO＝∠ACO＝90°，∴AD⊥BE，∵M是AE的中点，P是ED的中点，∴PM=12AD，PM∥AD，同理得：PN=12BE，PN∥BE，∴PM＝PN，PM⊥PN．②由①知PM＝PN，又∵AE＝2PM，∴AE＝BE．在△ACE和△BCE中，{AC=BCAE=BECE=CE，∴△ACE≌△BCE（SSS），∴∠ACE＝∠BCE．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠BCE＝（360°﹣∠ACB）÷2＝135°，∴α＝∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝135°﹣90°＝45°．变式20【操作发现】如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，∠DCE＝30°，将线段CD 绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF、EF，请直接写出下列结果：①∠EAF的度数为；②DE与EF之间的数量关系为；【类比探究】如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D为AB边上的一点，∠DCE＝45°，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF、EF．①则∠EAF的度数为；②线段AE，ED，DB之间有什么数量关系？请说明理由；【实际应用】如图3，△ABC是一个三角形的余料，小张同学量得∠ACB＝120°，AC＝BC，他在边BC上取了D、E两点，并量得∠BCD＝15°、∠DCE＝60°，这样CD、CE将△ABC分成三个小三角形，请求△BCD、△DCE、△ACE这三个三角形的面积之比．【解析】操作发现：①∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝60°，由旋转知，CD＝CF，∠DCF＝60°，∴∠ACF＝∠BCD，在△ACF和△BCD中，{AC=BC∠ACF=∠BCDCF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF＝∠B＝60°，∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝120°；②DE＝EF；理由如下：∵∠DCF＝60°，∠DCE＝30°，∴∠FCE＝60°﹣30°＝30°，∴∠DCE＝∠FCE，在△DCE和△FCE中，{CD=CF∠DCF=∠FCECE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE＝EF；类比探究：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝45°，由旋转知，CD＝CF，∠DCF＝90°，∴∠ACF＝∠BCD，在△ACF和△BCD中，{AC=BC∠ACF=∠BCDCF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF＝∠B＝45°，AF＝DB，∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝90°；②AE2+DB2＝DE2，理由如下：∵∠DCF＝90°，∠DCE＝45°，∴∠FCE＝90°﹣45°＝45°，∴∠DCE＝∠FCE，在△DCE和△FCE中，{CD=CF∠DCE=∠FCECE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE＝EF，在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，又∵AF＝DB，∴AE2+DB2＝DE2．实际应用：如图3，将△BCD绕点C顺时针旋转120°，连接AF，EF，∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝120°，又∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝30°，由旋转知，CD＝CF，∠DCF＝120°，∴∠ACF＝∠BCD，在△ACF和△BCD中，{AC=BC∠ACF=∠BCDCF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF＝∠B＝30°，AF＝DB，∠AFC＝∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝135°∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝60°，∵∠DCF＝120°，∠DCE＝60°，∴∠FCE＝120°﹣60°＝60°，∴∠DCE＝∠FCE，在△DCE和△FCE中，{CD=CF∠DCE=∠FCECE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE＝EF，∠CFE＝∠ADE＝∠B+∠BCD＝45°，∴∠AFE＝90°，在Rt△AEF中，∠EAF＝60°，∴∠AEF＝30°，∴EF=√3AF，AE＝2AF，∴DE＝EF=√3AF，BD＝AF．∴S△BCD：S△CDE：S△ACE＝BD：DE：AE＝AF：√3AF：2AF＝1：√3：2．【小结】本题是几何变换综合题目，考查旋转性质、等边三角形性质、全等三角形判定与性质、等腰直角三角形判定与性质、勾股定理等知识；综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．变式21阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB＝2，AC＝4，以BC 为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．（1）请你回答：AP的最大值是．（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB＝4，P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP最小值长解题思路．提示：要解决AP+BP+CP最小值问题，可仿照题目给出做法．把△ABP绕B点逆时针旋转60，得到△A′BP′①请画出旋转后的图形②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）．【解析】（1）∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA＝60°，A′B＝AB，AP＝A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A＝AB＝BA′＝2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C＝AA′+AC，即AP＝6，即AP的最大值是：6；（2）①旋转后的图形如图1；②如图2，∵Rt △ABC 是等腰三角形，∴AB ＝BC ．以B 为中心，将△APB 逆时针旋转60°得到△A 1P 1B ．则A 1B ＝AB ＝BC ＝4，P A ＝P 1A 1，PB ＝P 1B ， ∴P A +PB +PC ＝P 1A 1+P 1B +PC ．∵当A 1、P 1、P 、C 四点共线时，（P 1A +P 1B +PC ）最短，即线段A 1C 最短，∴A 1C ＝P A +PB +PC ，∴A 1C 长度即为所求．过A 1作A 1D ⊥CB 延长线于D ．∵∠A 1BA ＝60°（由旋转可知），∴∠A 1BD ＝30°．∵A 1B ＝4，∴A 1D ＝2，BD ＝2√3∴CD ＝4+2√3；在Rt △A 1DC 中，A 1C =√A 1D 2+DC 2=√22+(4+2√3)2=2√2+2√6．题型8 关于原点对称的点的坐标解答此类题需熟悉：两个点关于x 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，则横坐标、纵坐标都是互为相反数．例题8 在平面直角坐标系中，若点M （m ，n ）与点Q （﹣2，3）关于原点对称，则点P （m ﹣n ，n ）所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】∵点M （m ，n ）与点Q （﹣2，3）关于原点对称，∴m ＝2，n ＝﹣3，∴m ﹣n ＝2﹣（﹣3）＝5， 则点P （m ﹣n ，n ）为（5，﹣3），故P 点所在象限是：第四象限．选D ．变式22 已知点P （2a +1，a ﹣1）关于原点对称的点在第一象限，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜−12或a ＞1B ．a ＜−12C ．−12＜a ＜1D ．a ＞1【分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．【解析】点P （2a +1，a ﹣1）关于原点对称的点（﹣2a ﹣1，﹣a +1）在第一象限，则{−2a −1＞0−a +1＞0，解得：a ＜−12．选B ．变式23 在平面直角坐标系中，若点A （x +1，2y +1）与点A '（y ﹣2，x ）关于原点O 对称，则代数式x 2﹣y 2的值为 ．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于x ，y 的方程组进而得出x ，y 的值，即可得出答案．【解析】∵点A （x +1，2y +1）与点A '（y ﹣2，x ）关于原点O 对称，∴{x +1+y −2=02y +1+x =0，解得：{x =3y =−2，故x 2﹣y 2＝9﹣4＝5． 变式24 直角坐标系中，已知A （3，2），作点A 关于y 轴对称点A 1，点A 1关于原点对称点A 2，点A 2关于x 轴对称点A 3，A 3关于y 轴对称点A 4，……，按此规律，则点A 2019的坐标为 ．【解析】作点A 关于y 轴的对称点为A 1，是（﹣3，2）；作点A 1关于原点的对称点为A 2，是（3，﹣2）；作点A 2关于x 轴的对称点为A 3，是（3，2）．显然此为一循环，按此规律，2019÷3＝673，则点A 2019的坐标是（3，2），题型9 中心对称的性质例题9 如图，在矩形ABCD 中，把∠A 沿DF 折叠，点A 恰好落在矩形的对称中心E 处，则∠ADF 的度数为（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【解析】如图，连接AE ，∵把∠A 沿DF 折叠，点A 恰好落在矩形的对称中心E 处，∴AD ＝ED ＝AE ，∠ADF ＝∠EDF =12∠ADE ，∴△DAE 的等边三角形，∴∠ADE ＝60°，∴∠ADF ＝30°，选D ．变式25 如图，点O 是▱ABCD 的对称中心，AD ＞AB ，E 、F 是AB 边上的点，且EF =12AB ；G 、H 是BC 边上的点，且GH =13BC ，若S 1，S 2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则S 1与S 2之间的等量关系是（ ）A ．S 1S 2=23 B ．S 1S 2=32 C ．S 1S 2=21 D ．S 1S 2=12【解析】如图，连接OA ，OB ，OC ．设平行四边形的面积为4s ．∵点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，∴S △AOB ＝S △BOC =14S 平行四边形ABCD ＝s ，∵EF =12AB ，GH =13BC ，∴S 1=12s ，S 2=13s ，∴S 1S 2=12s 13s =32，选B ． 变式26 如图，点O 是矩形ABCD 的对称中心，点E 在AB 边上，连接CE ．若点B 与点O 关于CE 对称，则CB ：AB 为（ ）A ．12B ．√5−12C ．√33D ．√32【分析】连接DB ，利用对称得出OE ＝EB ，进而利用全等三角形的判定和性质得出OC ＝BC ，进而解答．【解析】连接DB ，AC ，OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝DB ，∠ABC ＝90°，OC ＝OA ＝OB ＝OD ， ∵点B 与点O 关于CE 对称，∴OE ＝EB ，∠OEC ＝∠BEC ，在△COE 与△CBE 中，{OE =BE∠OEC =∠BEC CE =CE，∴△COE ≌△CBE （SAS ），∴OC ＝CB ，∴AC ＝2BC ，∵∠ABC ＝90°，∴AB =√3CB ，即CB ：AB =√33，选C ．变式27 如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，以CE 为边向正方形ABCD 外部作正方形CEFG ，O 、O ′分别是两个正方形的对称中心，连接OO ′．若AB ＝3，CE ＝1，则OO ′＝ ．【分析】如图，过点O 作OH ⊥BC 于H ，O ′T ⊥OH 于T ，利用勾股定理即可解决问题．【解析】如图，过点O作OH⊥BC于H，O′T⊥OH于T．由题意在Rt△O′OT中，OT=32−12=1，O′T=32+12=2，∴OO′=√OT2+O′T2=√12+22=√5，故答案为√5旋转问题巩固练习1．下列图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解析】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意．选D．2．已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（）A．x＝﹣1，y＝2B．x＝﹣1，y＝8C．x＝﹣1，y＝﹣2D．x＝1，y＝8【解析】∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，∴x﹣2+x+4＝0，y﹣5＝﹣3，解得：x＝﹣1，y＝2，选A．3．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【分析】分析两个图形是否中心对称，主要把一个图形绕一个点旋转180°，观察是否能和另一个图形重合【解析】根据中心对称的概念，知②③④都是中心对称．选C．【小结】考查中心对称定义．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，叫做轴对称图形，直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，叫做中心对称图形，点叫做对称中心．4．如图，该图形在绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．216°【解析】该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D选项都与自身重合，不能与其自身重合的是B选项．选B．5．如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，点A与A1是对应点，则点M的坐标是（）A．（0，﹣2）B．（1，﹣1）C．（0，0）D．（﹣1，﹣1）【解析】如图，点M的坐标是（1，﹣1），选B．6. 如图P是正方形ABCD内一点，△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置，连结PQ，则∠BQP的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】由旋转的性质可得BP＝BQ，∠ABC＝∠PBQ＝90°，由等腰三角形的性质可得∠BQP＝45°．【解析】∵△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置，∴BP＝BQ，∠ABC＝∠PBQ＝90°，∴∠BQP＝45°，选C．7．如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（）A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q【解析】观察图象可知，点P．点N满足条件．选C．8．如图，线段OA，OB分别从与x轴和y轴重合的位置出发，绕着原点O顺时针转动，已知OA每秒转动45°，OB的转动速度是每秒转动30°，则第2020秒时，OA与OB之间的夹角的度数为（）A．90°B．145°C．150°D．165°【分析】首先求出第一次相遇的时间，再求出第二次相遇所用的时间，探究规律利用规律解决问题即可．【解析】设t秒第一次相遇．由题意：270+30t＝45t，解得t＝18，相遇后设m秒第二次相遇，则有45t﹣30t＝360，解得t＝24，以后每过24秒相遇一次，（2020﹣18）÷24＝83…10，∴2020秒时，10×45°﹣10×30°＝150°，选C．【小结】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．如图，已知AB是线段MN上的两点，MN＝12，MA＝3，MB＞3，以A为中心顺时针旋转点M，以点B 为中心顺时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，当△ABC为直角三角形时AB的长是（）A．3B．5C．4或5D．3或51【分析】应该分情况讨论，因为不知道在三角形中哪一个是作为斜边存在的．所以有三种情况，即：①若AC为斜边，则32＝x2+（9﹣x）2，即x2﹣9x+36＝0，方程无解；②若AB为斜边，则x2＝（9﹣x）2+32，且满3＜x＜6，③若BC为斜边，则（9﹣x）2＝32+x2，且满足3＜x＜6．【解析】∵在△ABC中，AC＝AM＝3，设AB＝x，BC＝9﹣x．由三角形两边之和大于第三边得到下列不等式组：{3+x＞9−x3+9−x＞x，解得3＜x＜6；①AC为斜边，则32＝x2+（9﹣x）2，即x2﹣9x+36＝0，方程无解，即AC为斜边不成立．②若AB为斜边，则x2＝（9﹣x）2+32，解得x＝5，满足3＜x＜6，③若BC为斜边，则（9﹣x）2＝32+x2，解得x＝4，满足3＜x＜6，∴x＝5或x＝4；选C．【小结】本题考查了旋转的性质．解此题的关键是进行全方面分析，注意一题多解．难易程度适中．10．已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（）A．2√2B．4C．2√3D．不能确定【分析】根据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．【解析】如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，又∵∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝120°，∵点D是AC边的中点，∴CD＝4，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时，∠CDQ＝30°，∴CQ=12CD＝2，∴DQ=√42−22=2√3，∴DQ的最小值是2√3，选C．11．如图，将△OAB绕点O顺时针旋转70°到△OCD位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD的大小为30度．【解析】∵将△OAB绕点O顺时针旋转70°到△OCD，∴∠DOB＝70°，∵∠AOB＝40°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝30°12．如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（4，2）．【分析】画出平面直角坐标系，作出线段AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．【解析】平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2）．故答案为（4，2）．【小结】考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．13．图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是③．【解析】当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．故答案为：③．14．如图，正方形ABCD的边长为a，对角线AC和BD相交于点O，正方形A1B1C1O的边OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，正方形A1B1C1O绕O点转动的过程中，与正方形ABCD重叠部分的面积为14a2（用含a的代数式表示）【解析】在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°，∵∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOF+∠EOB＝90°，∴∠AOE＝∠BOF．在△AOE和△BOF中{∠OAE=∠OBFOA=OB∠AOE=∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴S△AOE＝S△BOF，∴重叠部分的面积＝S△AOB=14S正方形ABCD=14a2，故答案为：14a2．15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A′B′C′，点M是BC的中点，点P是A′B′的中点，连接PM．若BC＝2，∠A＝30°，线段PM长度的最大值是3．【分析】如图连接PC．思想求出PC＝2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．。
初中数学旋转的六大模型题
初中数学旋转的六大模型题旋转是数学中的一个重要概念，也是初中数学中经常会遇到的一个题型。
通过旋转，我们可以改变图形的朝向和位置，从而帮助我们更好地理解几何形状和解决问题。
下面是初中数学中常见的六大旋转模型题，帮助学生更好地理解旋转的概念和运用。
1. 点的旋转：题目给出一个点的坐标和旋转角度，要求求出旋转后的点的坐标。
这种题目可以帮助学生理解点的旋转规律和计算方法。
2. 图形的旋转：题目给出一个图形的坐标或者边长，要求将图形按照给定的角度进行旋转，然后求出旋转后的图形的坐标或者边长。
这种题目可以帮助学生理解图形的旋转规律和变化。
3. 对称图形的旋转：题目给出一个对称图形和旋转角度，要求求出旋转后的图形。
这种题目可以帮助学生理解对称图形的旋转规律和变化。
4. 旋转体的表面积和体积：题目给出一个旋转体的形状和旋转轴的位置，要求求出旋转体的表面积和体积。
这种题目可以帮助学生理解旋转体的形成过程和计算方法。
5. 旋转体的截面图形：题目给出一个旋转体的形状和旋转轴的位置，要求求出旋转体在某一截面上的图形。
这种题目可以帮助学生理解旋转体的截面变化和图形特征。
6. 旋转体的切面面积：题目给出一个旋转体的形状和旋转轴的位置，要求求出旋转体在某一位置上的切面面积。
这种题目可以帮助学生应用切线和面积计算，理解旋转体的切面特征。
通过这六大旋转模型题，学生可以更好地掌握旋转的概念和运用，提高解决数学问题的能力。
在解题过程中，学生需要善于利用旋转的几何性质和计算方法，灵活运用数学知识，加深对数学的理解和认识。
同时，这些题目也能够培养学生的逻辑思维能力和推理能力，提高解决问题的能力和思维水平。
初中数学旋转专题(含答案)
初中数学旋转专题要点感知1将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内一定点旋转同一个角α，得到图形F′，图形的这种变换叫做旋转.这个定点叫__________，角α叫__________.预习练习1-1 下列运动属于旋转的是( )A.滚动过程中的篮球的滚动B.钟表的钟摆的摆动C.气球升空的运动D.一个图形沿某直线对折的过程要点感知2 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离__________，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角__________.预习练习2-1如图，把三角形ABC绕着点C顺时针旋转，得到三角形A′B′C，则图中一定与∠ACA′相等的角是__________.要点感知3旋转不改变图形的__________和__________.预习练习3-1如图，点D是三角形ABC内一点，将三角形DBC绕点B旋转到三角形EBA的位置，若三角形BDC的周长为22 cm，AC=9 cm，则三角形AEB的周长是( )A.31 cmB.13 cmC.22 cmD.15 cm知识点1 旋转1.如图，将左边的长方形绕点P旋转一定角度后，得到位置如右边的长方形，则旋转的角度是( )A.30°B.60°C.90°D.180°2.如图，将三角形ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到三角形A′B′C，则图中一定等于50°的角的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.能由左图旋转得到的图形是( )4.如图，三角形ABC是由三角形EBD旋转得到的，旋转中心是点__________.知识点2 旋转的性质5.如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到三角形COD，若∠AOB=15°，则∠AOD 的度数是 ( )A.15°B.60°C.45°D.75°6.如图，三角形ABC由三角形A′B′C′绕O点旋转180°而得到，则下列结论不成立的是( )A.点A与点A′是对应点B.BO=B′OC.∠ACB=∠C′A′B′D.AB=A′B′7.如图，绕点O旋转得到的两个图形的对应点M与N到旋转中心O的距离__________.(填“相等”或“不相等”)8.如图，将三角形OAB绕点O按逆时针方向旋转至三角形OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上.已知AB=4 cm，BB′=1 cm，则A′B长是__________cm.知识点3 旋转的作图9.如图，三角形ABC以O为旋转中心顺时针旋转90°，请作出旋转后的图形.10.如图，在正方形网格中，将三角形ABC绕点A旋转后得到三角形ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是( )A.顺时针旋转90°B.逆时针旋转90°C.顺时针旋转45°D.逆时针旋转45°11.下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后能与原图形完全重合的是( )12. 如图，将直角三角形AOB绕点O旋转得到直角三角形COD，若∠AOB=90°，∠BOC=130°，则∠AOD的度数为( )A．40° B．50° C．60° D．30°13.将如图所示的图案绕其中心旋转n°时与原图案完全重合，那么n的最小值是( )A.60B.90C.120D.18014.如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )A.点MB.格点NC.格点PD.格点Q15.有两个完全重合的长方形，将其中一个始终保持不动，另一个长方形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图1，第2次旋转后得到图2，…，则第10次旋转后得到的图形与图1～4中相同的是( )A.图1B.图2C.图3D.图416.如图，将一副三角尺叠放在一起,使直角顶点重合于点O,绕着O任意转动其中一个三角尺,则与∠AOD始终相等的角是__________.17.怎样将图中的甲图案变成乙图案？18.在图中作出“三角旗”绕O点按逆时针旋转90°后的图案.19.如图，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有多少个？是哪几个？参考答案要点感知1旋转中心旋转角预习练习1-1 B要点感知2相等相等预习练习2-1 ∠BCB′要点感知3形状大小预习练习3-1 C1.C2.B3.B4.B5.C6.C7.相等8.39.图略.10.B 11.A 12.B 13.C 14.B 15.B 16.∠BOC17.步骤：(1)将图甲绕某点逆时针旋转一定角度，使树干与地面垂直；(2)接着将旋转后的图形向右平移至与图乙重合即可.18.图略.19.3个.绕点D顺时针旋转90°；绕点C逆时针旋转90°；绕CD中点旋转180°.。
中考数学初中数学 旋转-经典压轴题附答案解析
中考数学初中数学 旋转-经典压轴题附答案解析一、旋转1．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。
【答案】（1）1302α︒-（2）见解析（3）30α=︒【解析】解：（1）1302α︒-。
（2）△ABE 为等边三角形。
证明如下：连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ， ∴BC=BD ，∠DBC=60°。
又∵∠ABE=60°，∴1ABD 60DBE EBC 302α∠=︒-∠=∠=︒-且△BCD 为等边三角形。
在△ABD 与△ACD 中，∵AB=AC ，AD=AD ，BD=CD ，∴△ABD ≌△ACD （SSS ）。
∴11BAD CAD BAC 22α∠=∠=∠=。
∵∠BCE=150°，∴11BEC 180(30)15022αα∠=︒-︒--︒=。
∴BEC BAD ∠=∠。
在△ABD 和△EBC 中，∵BEC BAD ∠=∠，EBC ABD ∠=∠，BC=BD ， ∴△ABD ≌△EBC （AAS ）。
∴AB=BE 。
∴△ABE 为等边三角形。
（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴DCE 1506090∠=︒-︒=︒。
又∵∠DEC=45°，∴△DCE 为等腰直角三角形。
∴DC=CE=BC 。
∵∠BCE=150°，∴(180150)EBC 152︒-︒∠==︒。
而1EBC 30152α∠=︒-=︒。
∴30α=︒。
（1）∵AB=AC ，∠BAC=α，∴180ABC 2α︒-∠=。
初中数学旋转 专题训练
初中数学旋转专题训练一．填空题（共40小题）1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，点C和点N是对应点，若AB＝2，则BM＝．2．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB 上，且∠AOC的度数为100°，则∠C的度数是．3．如图，E为正方形ABCD内的一点，△AEB绕点B按顺时针旋转90°后成为△CFB，连接EF，若A、E、F三点在同一直线上，则∠AEB的度数为．4．如图，在△ABC中，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，使旋转角∠DAB＝70°，则∠AEC＝°．5．如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有．①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2；④DE⊥AC．6．如图，△ABC绕顶点A顺时针旋转53°至△ADE．若∠BAE＝17°，∠D＝45°，则∠C的大小为度．7．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．CD＝2，BC＝1，若将△CDE 绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为．8．如图，等边△ABC的边长是2，点D是线段BC上一动点，连接AD，点E是AD的中点，将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到线段DF，连接FC，当△CDF是直角三角形时，则线段BD的长度为．9．如图，点M为正方形ABCD边AB上一动点，AB＝4，BP＝1，将点M绕点P顺时针旋转90°到点N，若E、F分别为PN、PC中点，则EF的最小值为．10．如图，将一副三角板按如图所示放置，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠C＝45°，∠E＝30°，且AD＜AC，则下列结论中：①∠1＝∠3＝45°；②若AD平分∠CAB，则有BC∥AE；③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，则此时∠4＝15°；④若∠3＝2∠2，则∠C＝∠4．其中结论正确的选项．（写出所有正确结论的序号）11．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝10，AC＝6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，连接AC′，CC′，则△ABC′的面积为．12．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝75°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1B1C1D1，当C1D1第一次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝．13．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAC＝80°，∠ABC＝50°，射线DC绕点D 逆时针旋转一定角度α，交AC于点E，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点P．下列结论：①∠C＝50°；②∠P＝∠BAD；③α＝2∠P﹣∠BAD；④若∠ADE＝∠AED，则∠BAD＝2α．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为．15．如图，△ABC，△EFG均为边长为4的等边三角形，点D是BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值为．16．图1是“靠左侧道路行驶”的交通标志，若将图1所示的交通标志绕其中心逆时针旋转90°，就可以得到图2所示的交通标志，图2所示的交通标志的含义是．17．如图，某游乐场的摩天轮（圆形转盘）上的点距离地面最大高度为160米，转盘直径为153米，旋转一周约需30分钟．某人从该摩天轮上到地面距离最近的点登舱，逆时针旋转20分钟，此时，他离地面的高度是米．18．时针从钟面上2点旋转到6点，共旋转了度．19．下列运动方式中：①钟表上钟摆的摆动，②投篮过程中球的运动，③“神十一”火箭升空的运动，④传动带上物体位置的变化，属于旋转的是．20．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是．21．如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为．22．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，在旋转过程中始终要求点E在直线BC上方，当三角板DCE运动中，有一边和AB平行时，则∠BCE的度数为．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．将△ABC绕BC的中点D旋转得△EFG，连接CE，则CE的最大值为．24．如图，将△ABC就点C按逆时针方向旋转65°后得到△A'B'C，若∠ACB＝20°，则∠BCA'的度数为°．25．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为．26．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，OP＝2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为．27．如图，已知线段AB＝6，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝1不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，则线段AC 的取值范围是．28．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为．29．如图，菱形ABCD中，∠BAC＝α，M是AC、BD的交点，P是线段BM上的动点（不与点B、M重合），将线段P A绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，点Q恰好在CD边上，若要使得PQ＝QD，则α的范围为．30．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，P为△ABC内一点，则P A+PB+PC 的最小值为．31．图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为A点，将膝盖抽象为B点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为C点，将自行车中轴位置记为D点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点A，D的位置不变，B，C为动点．图2是抽象出来的点和线．若AB＝BC＝40cm，CD＝16cm，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则AD最长为cm．32．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到Rt△AB'C'，点C'恰好落在边AB上，连接BB'，则∠BB'C'＝度．33．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E为BC的中点，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到FE，连接FD，则FD的值为．34．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果DE∥AB，那么n的值是．35．如图，将Rt△ABC（∠BAC＝65°）绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一直线上，则旋转角度为．36．如图，△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC，点E为线段AD上的动点，连接CE，以CE为边作等边△CEF，连接DF，则线段DF的最小值为．37．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是．38．平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC 边上，B′C′与CD交于点E，则∠DEB′＝．39．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则AC的长度为．40．如图，P是等边△ACB中的一个点，P A＝2，，PC＝4，则△ACB的边长是．初中数学旋转专题训练参考答案与试题解析一．填空题（共40小题）1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，点C和点N是对应点，若AB＝2，则BM＝2．【分析】由旋转得AB＝AM，∠MAB＝60°，从而有△ABM是等边三角形，即可求出MB 的长度．【解答】解：连接MB，∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，∴AB＝AM，∠MAB＝60°，∴△ABM是等边三角形，∴MB＝AB＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟记旋转的性质是解题的关键．2．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB 上，且∠AOC的度数为100°，则∠C的度数是35°．【分析】根据△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，得∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，可求出∠BOD＝40°，∠ADO＝75°，再通过外角的性质求出∠B的度数，即可解决问题．【解答】解：∵△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，∴∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，∠B＝∠C，∴∠ADO＝∠A＝（180°﹣∠AOD）＝75°，∵∠AOC＝100°，∴∠BOD＝100°﹣30°×2＝40°，∵∠ADO是△OBD的外角，∴∠B＝∠ADO﹣∠DOB＝75°﹣40°＝35°，∴∠C＝∠B＝35°．故答案为35°．【点评】本题主要考查了旋转的性质、以及三角形外角的性质，熟记旋转前后对应角相等是解题的关键．3．如图，E为正方形ABCD内的一点，△AEB绕点B按顺时针旋转90°后成为△CFB，连接EF，若A、E、F三点在同一直线上，则∠AEB的度数为135°．【分析】由旋转的性质知△BEF为等腰三角形，根据△AEB绕点B按顺时针旋转90°后成为△CFB，得旋转角∠EBF＝90°，即△BEF为等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于和他不相邻的内角和．即可求得．【解答】解：由旋转可知，BE＝BF，∠EBF＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BEF＝45°，∵A、E、F三点在同一直线上∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°，故答案为：135°．【点评】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质．灵活运用旋转的性质和等腰三角形的性质这些知识进行推理是解本题的关键．4．如图，在△ABC中，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，使旋转角∠DAB＝70°，则∠AEC＝55°．【分析】根据旋转的性质得AE＝AC，∠BAD＝∠EAC，再根据等腰三角形的性质得∠AEC ＝∠ACE，则∠AEC＝∠ACE＝55°．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，∴AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝70°，∴∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝＝55°，故答案为55．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．5．如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有①②③．①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2；④DE⊥AC．【分析】过点E作EF∥AB，由∠AED＝75°得AB∥CD，再由AB＝CD得四边形ABCD 为平行四边形；由这是一副三角板且∠AED＝75°得∠BEC＝∠AEC，再证明△AEC≌△BEC得AC＝BC，再由AE＝BE可知CE垂直平分AB；延长CE交AB于G，AB2＝6结合②的结论求出BG、CG，由勾股定理得BC2＝5+2；假设DE⊥AC，结合②必有菱形ABCD，即有∠ABE＝∠ABC＝30°，这与题设矛盾，由此知DE⊥AC错误．【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，∴∠BAE＝∠AEF＝45°，∵∠AED＝75°，∴∠FED＝∠AED﹣∠AEF＝30°，∴∠FED＝∠EDC，∴EF∥CD，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，故①正确；∵∠AED＝75°，∠DEC＝60，∴∠AEC＝135°，∵∠AEB＝90°，∴∠BEC＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BEC＝∠AEC，在△AEC与△BEC中，，∴△AEC≌△BEC（SAS），∴AC＝BC，∵AE＝BE，∴CE垂直平分AB，故②正确；延长CE交AB于G，由②知：CG⊥AB，∵AE＝BE，EG⊥AB，∴AG＝BG＝GE，∵AB2＝6，∴AB＝，AG＝BG＝GE＝，∵AB＝CD，∴CD＝，∵∠EDC＝30°，∴CE＝ED，∵EC²+CD²＝ED²，∴CE＝，∵BG²+CG²＝BC²，∴BC2＝5+2，故③正确；假设DE⊥AC，∵∠DEC＝60°，∴∠ACE＝30°，由②知：∠ACE＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴平行四边形ABCD为菱形，如图，连接BD，必然有BD⊥AC，∴E必然在BD上，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，这与∠ABE＝45°矛盾，不合题意，故④不正确．故答案为：①②③．【点评】本题是三角形旋转变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理、菱形的判定，过点E作EF∥AB证明AB∥CD、证明△AEC≌△BEC、延长CE交AB于G在△CBG中使用勾股定理是本题全程关键．6．如图，△ABC绕顶点A顺时针旋转53°至△ADE．若∠BAE＝17°，∠D＝45°，则∠C的大小为65度．【分析】由旋转的性质可得∠DAB＝∠CAE＝53°，∠D＝∠B，再由已知角可求∠BAC ＝70°，∠B＝45°，即可求∠C＝65°．【解答】解：∵△ABC绕顶点A顺时针旋转53°至△ADE，∴∠DAB＝∠CAE＝53°，∠D＝∠B，∵∠BAE＝17°，∴∠BAC＝17°+53°＝70°，∵∠D＝45°，∴∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣45°﹣70°＝65°，故答案为65．【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握图形旋转前后对应边、对应角的关系是解题的关键．7．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．CD＝2，BC＝1，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为或．．【分析】可以将△CDE不动，△ACB绕点C顺时针旋转，点A落在线段CE上或当点A 落在线段EC的延长线上时，分别通过构造直角三角形，将BE转化为AD来解决问题．【解答】解：可以将△CDE不动，△ACB绕点C顺时针旋转，点A落在线段CE上，如图1：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，∴BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∵CD＝2，BC＝AC＝1，∴DA⊥CE，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝，∴BE＝AD＝，当点A落在线段EC的延长线上时，如图2：同理可知：△BCE≌△ACD，∴BE＝AD，过点E作EH⊥BD于H，则EH＝，在Rt△BEH中，由勾股定理得：BE＝，综上所述：BE＝或．故答案为：或．【点评】本题主要考查了勾股定理、旋转的性质等知识，可以通过动静互换将复杂图形简单化来解决问题．8．如图，等边△ABC的边长是2，点D是线段BC上一动点，连接AD，点E是AD的中点，将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到线段DF，连接FC，当△CDF是直角三角形时，则线段BD的长度为1或．【分析】①当∠DFC＝90°时，当点F在AC上时，根据等边三角形的性质得∠FDC＝180°﹣∠DFC﹣∠C＝30，根据旋转的性质得DF＝AD，根据等腰三角形三线合一，得BD＝BC＝1．②∠DCF＝90°，延长DF到G使DG＝DA，连接AG、CG，过G作GH⊥BC交BC延长线于H，根据相全等三角形的判定得△ABD≌△ACG，即CG＝2CH，设CH＝x，则CG＝BD＝2x，由旋转性质得出DF＝DG，再由形似三角形的判定得出△DCF∽△DHG，再由形似的性质得出＝＝，即BD＝；③当∠CDF＝90°时，∠ADF+∠CDF＝210°＞180°，∠CDF＝90°不成立．【解答】解：①当∠DFC＝90°时，当点F在AC上时，∵△ABC是等边三角形且边长为2，∴AB＝AC＝BC＝2，∠C＝60°，∴∠FDC＝180°﹣∠DFC﹣∠C＝30°，∵DE旋转60°得到线段DF，∴∠EDF＝60°，∴∠ADC＝∠EDF+∠FDC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝30°，∴DF＝AD，∵E是AD的中点，∴DE＝AD，∴DE＝DF，即AD⊥BC时，∠DFC＝90°，∴BD＝BC＝1；②∠DCF＝90°，如图，延长DF到G使DG＝DA，连接AG、CG，过G作GH⊥BC交BC延长线于H，∵AD＝DG，∠ADG＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，AD＝AG，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∴∠BAC＝∠DAG，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAG﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAG，在△ABD和△ACG中，，∴△ABD≌△ACG（SAS），∴BD＝CG，∠B＝∠ACG＝60°，∴∠GCH＝180°﹣∠ACB﹣∠ACG＝60°，∵GH⊥BC，∴∠H＝90°，∴∠CGH＝30°，∴CG＝2CH，设CH＝x，则CG＝BD＝2x，∵E是AD中点，∴DE＝AD，由旋转性质可知DF＝DE，∵AD＝DG，∴DF＝DG，∵∠DCF＝90°＝∠H，∠CDF＝∠HDG，∴△DCF∽△DHG，∴＝＝，∴DC＝DH，∴DC＝CH＝x，∵BD+DC＝2，∴2x+x＝2，x＝，∴BD＝；③当∠CDF＝90°时，∵∠ADF＝60°，∴∠ADF+∠CDF＝210°＞180°，∴∠CDF＝90°不成立，综上，BD＝1或．【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理等．解本题要熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理等基本知识点．关键注意要分情况讨论．9．如图，点M为正方形ABCD边AB上一动点，AB＝4，BP＝1，将点M绕点P顺时针旋转90°到点N，若E、F分别为PN、PC中点，则EF的最小值为．【分析】由旋转的性质可得PM＝PN，∠MPN＝∠HPC＝90°，由“SAS”可证△MPH≌△NPC，可得MH＝CN，由三角形中位线定理可得EF＝CN，可得当CN有最小值时，EF有最小值，即MH有最小值时，EF有最小值，则当MH⊥AB时，MH有最小值，即可求解．【解答】解：如图，过点P作PH⊥BC，且PH＝PC，连接MH，CN，∵将点M绕点P顺时针旋转90°到点N，∴PM＝PN，∠MPN＝∠HPC＝90°，∴∠MPH＝∠CPN，在△MPH和△NPC中，，∴△MPH≌△NPC（SAS），∴MH＝CN，∵E、F分别为PN、PC中点，∴EF＝CN，∴当CN有最小值时，EF有最小值，即MH有最小值时，EF有最小值，∴当MH⊥AB时，MH有最小值，此时，MH⊥AB，HP⊥BC，∠B＝90°，∴四边形BPHM是矩形，∴BP＝MH＝1，∴MH的最小值为1，∴EF的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．10．如图，将一副三角板按如图所示放置，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠C＝45°，∠E＝30°，且AD＜AC，则下列结论中：①∠1＝∠3＝45°；②若AD平分∠CAB，则有BC∥AE；③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，则此时∠4＝15°；④若∠3＝2∠2，则∠C＝∠4．其中结论正确的选项②③④．（写出所有正确结论的序号）【分析】①根据同角的余角相等得∠1＝∠3，但不一定得45°；②都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论．【解答】解：①如图，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，即∠1+∠2＝∠3+∠2+90°，∴∠1＝∠3≠45°，故①不正确；②∵AD平分∠CAB，∴∠1＝∠2＝45°，∵∠1＝∠3，∴∠3＝45°，又∵∠C＝∠B＝45°，∴∠3＝∠B，∴BC∥AE，故②正确；③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，则∠4＝∠ADE﹣∠ACB＝60°﹣45°＝15°，故③正确；④∵∠3＝2∠2，∠1＝∠3，∴∠1＝2∠2，∠1+∠2＝90°，∴3∠2＝90°，∴∠2＝30°，∴∠3＝60°，又∠E＝30°，设DE与AB交于点F，则∠AFE＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∴∠C＝∠4，故④正确，故答案为：②③④．【点评】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定．11．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝10，AC＝6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，连接AC′，CC′，则△ABC′的面积为．【分析】延长AC至D，使AD＝BD，连接BD，可以证明△ABD为等边三角形，结合△BCC'为等边三角形可用“SAS”证明△DBC≌△ABC'，从而S△DBC＝S△C'AB．过点B作BE ⊥AD于点E，由三角函数可求BE，又CD＝AD﹣AC，故S△DBC＝可求，即可得△ABC′的面积．【解答】解：延长AC至D，使AD＝BD，连接BD，如图，∵∠CAB＝60°，∴△ABD为等边三角形．∵BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，∴△BCC'为等边三角形，∴BC＝BC'，∠CBC'＝60°，∵∠DBA﹣∠ABC＝∠CBC'﹣∠ABC，即∠DBC＝∠ABC'．在△DBC和△ABC'中，，∴△DBC≌△ABC'（SAS）．∴S△DBC＝S△C'AB，过点B作BE⊥AD于点E，∴BE＝AB•sin60°＝10×＝5，DC＝AD﹣AC＝10﹣6＝4，∴S△DBC＝＝＝10，∴S△C'AB＝10．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，解直角三角形，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，构造等边三角形ABD，证明△DBC≌△ABC'是解决本题的关键．12．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝75°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1B1C1D1，当C1D1第一次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝30°．【分析】先根据平行四边形的性质得到∴∠BCD＝∠A＝75°，再根据旋转的性质得到∠ABA1＝∠CBC1，BC＝BC1，∠C1＝∠BCD＝75°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BCC1即可．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝75°，∵平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1B1C1D1，∴∠ABA1＝∠CBC1，BC＝BC1，∠C1＝∠BCD＝75°，∵BC＝BC1，∴∠C1＝∠BCC1＝75°，∴∠CBC1＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠ABA1＝30°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质．确定等腰三角形BCC1底角的度数是解决问题的关键．13．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAC＝80°，∠ABC＝50°，射线DC绕点D 逆时针旋转一定角度α，交AC于点E，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点P．下列结论：①∠C＝50°；②∠P＝∠BAD；③α＝2∠P﹣∠BAD；④若∠ADE＝∠AED，则∠BAD＝2α．其中正确的是①③④．（写出所有正确结论的序号）【分析】利用三角形内角和定理判断①，根据角平分线的定义和三角形外角的性质求得∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ADE+α＝∠ABC+∠DAB，∠ADE+2α＝∠ABC+2∠P，从而判断②和③，利用三角形外角的性质判断④．【解答】解：∵∠BAC＝80°，∠ABC＝50°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝50°，故①正确；∵∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点P，∴∠PDE＝∠ADE，∠PBD＝∠ABC，又∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ADE+α＝∠ABC+∠DAB①，∠PDC＝∠PDE+∠EDC＝∠PDE+α＝∠PBD+∠P＝∠ABC+∠P，∴2∠PDE+2α＝∠ABC+2∠P，即∠ADE+2α＝∠ABC+2∠P②，②﹣①得：α＝2∠P﹣∠DAB，故②错误，③正确；∵∠ADC＝∠ADE+α＝∠ABC+∠DAB，∠AED＝∠C+∠EDC＝∠C+α，又∵∠ADE＝∠AED，∴∠C+α+α＝∠ABC+∠DAB，又∵∠C＝50°，∠ABC＝50°，∴∠C＝∠ABC，∴∠BAD＝2α，故④正确，故答案为：①③④．【点评】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角和，并正确推理角的数量关系是解题关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为．【分析】作CD⊥AB于D，连接BB'，由勾股定理求出AB＝5，再由等积求出高CD，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝，根据AC＝CA'，CD⊥AA'，得AA'＝2AD＝，再通过△CAA'∽△CBB'即可求出BB'的值．【解答】解：作CD⊥AB于D，连接BB'，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝，∴由面积知CD＝，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝，∵AC＝CA'，CD⊥AA'，∴AA'＝2AD＝，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，∴∠ACA'＝∠BCB'，CA＝CA'，CB＝CB'，∴△CAA'∽△CBB'，∴，∴，∴BB'＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、以及三角形相似的判定与性质，求出AA'的长度是解题的关键．15．如图，△ABC，△EFG均为边长为4的等边三角形，点D是BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值为．【分析】首先证明∠AMF＝90°，判定出点M在以AC为直径的圆上运动，当M运动到BM⊥AC时，BM最短来解决问题．【解答】解：如图，连接AE、EC、CG，∵DE＝CD＝DF，∴∠DEC＝∠DCF，∠DFC＝∠DCF，∵∠DEC+∠DCF+∠DFC＝+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，∵△ABC、△EFG是边三角形，D是BC、EF的中点，∴∠ADC＝∠GDC＝90°，∴∠ADE＝∠GDC，在△ADE和△GDC中，，∴△ADE≌△GDC（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DGC，∵DA＝DG，∴∠DAG＝∠DGA，∴∠GAE＝∠AGC，∵AG＝GA，∴△AGE≌△GAC，∴∠GAK＝∠AGK，∴KA＝KG，∵AC＝EG，∴EK＝KC，∴∠KEC＝∠KCE，∵∠AKG＝∠EKC∴∠KAG＝∠KCE，∴EC∥AG，∴∠AMF＝∠ECF＝90°，∴点M在以AC为直径的圆上运动，∴当BM⊥AC时，BM最短，∵AB＝4，∴OB＝2，AO＝OM＝2，∴BM的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆的有关知识等，解题的关键是证明∠AMF＝90°，判定出M在以AC为直径的圆上运动，．16．图1是“靠左侧道路行驶”的交通标志，若将图1所示的交通标志绕其中心逆时针旋转90°，就可以得到图2所示的交通标志，图2所示的交通标志的含义是靠右侧道路行驶．【分析】根据旋转的定义和交通标志的含义即可求解．【解答】解：观察图形可知，图2所示的交通标志的含义是靠右侧道路行驶．故答案为：靠右侧道路行驶．【点评】考查了生活中的旋转现象，关键是熟悉交通标志的含义．17．如图，某游乐场的摩天轮（圆形转盘）上的点距离地面最大高度为160米，转盘直径为153米，旋转一周约需30分钟．某人从该摩天轮上到地面距离最近的点登舱，逆时针旋转20分钟，此时，他离地面的高度是121.75米．【分析】设此人从点A处登舱，逆时针旋转20分钟后到达点C，根据已知条件求出旋转了240°，那么∠AOC＝120°．过点O作OE⊥CD于点E，构建矩形BDEO和直角△OEC，利用矩形的性质和解该直角三角形来求CD的长度即可．【解答】解：设此人从点A处登舱，逆时针旋转20分钟后到达点C．∵旋转一周约需30分钟．某人从该摩天轮上到地面距离最近的点登舱，逆时针旋转20分钟，∴此人旋转了×20＝240°，∴∠AOC＝120°．如图，过点O作OE⊥CD于点E，则四边形BDEO是矩形，∴DE＝OB＝160﹣＝83.5（米）．在直角△OEC中，∵∠COE＝120°﹣90°＝30°，OC＝＝76.5米，∴CE＝OC＝38.25米，∴CD＝CE+DE＝38.25+83.5＝121.75（米）．故答案为121.75．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键是把实际问题转化为数学问题加以计算．18．时针从钟面上2点旋转到6点，共旋转了120度．【分析】先求出时钟上的时针一小时匀速旋转的度数为30°，再求从2点走到6点经过4个小时，从而计算出时针旋转的度数．【解答】解：因为时钟上的时针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的时针匀速旋转一周需要12小时，则时钟上的时针一小时匀速旋转的度数为：360÷12＝30°，那么从2点走到6点经过了4小时，时针旋转了4×30°＝120°．故答案为：120．【点评】本题考查钟表上的时针所转过的角度计算．时针每小时转动5小格（或1大格），即30°．19．下列运动方式中：①钟表上钟摆的摆动，②投篮过程中球的运动，③“神十一”火箭升空的运动，④传动带上物体位置的变化，属于旋转的是①．【分析】利用旋转和平移的定义对各运动方式进行判断．【解答】解：钟表上钟摆的摆动属于旋转；投篮过程中球的运动属于抛物运动，神十一”火箭升空的运动和传动带上物体位置的变化属于平移．故答案为①．【点评】本题考查了生活中的旋转现象：旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．20．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是6秒或19.5秒．【分析】设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45﹣12，即t≤33．利用平行线的判定，构建方程解决问题即可．【解答】解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），∴t≤45﹣12，即t≤33．由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：①如图1，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；②如图2，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．故答案为：6秒或19.5秒．【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为3．【分析】连接BE，作BH⊥AD，由旋转的性质可得△DCF≌△BCE，把求DF的最小值转化为求BE的最小值，再根据垂线段最短可得答案．【解答】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°．∵∠ECF＝120°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCE＝∠DCF由旋转可得：EC＝FC，在△BEC和△DFC中，，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF＝BE，即求DF的最小值转化为求BE的最小值．∵在Rt△AHB中，∠BAH＝60°，AB＝2，∴BH＝2×sin60°＝3，当E与H重合时，BE最小值是3，∴DF的最小值是3．故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．22．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，在旋转过程中始终要求点E在直线BC上方，当三角板DCE运动中，有一边和AB平行时，则∠BCE的度数为30°或120°或165°．【分析】分三种情况画出图形，由平行线的性质可得出答案．【解答】解：分三种情况：①如图1，CD∥AB时，∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD＝30°，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠BCE＝∠ACD＝30°；②如图2，CE∥AB时，∵CE∥AB，∴∠A＝∠ACE＝30°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°+30°＝120°；③DE∥AB时，如图3，当DE∥AB时，延长BC交DE于M，∴∠B＝∠DMC＝60°，∵∠DMC+∠EMC＝180°，∠EMC+∠E+∠MCE＝180°，∴∠DMC＝∠E+∠MCE，∴∠ECM＝15°，∴∠BCE＝165°，故答案为30°或120°或165°．【点评】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．将△ABC绕BC的中点D旋转得△EFG，连接CE，则CE的最大值为2+．【分析】连接AD，则E点的运动轨迹为以D为圆心AD为半径的圆，所以当E在CB延长线上时CE有最大值，求出此时的CE长度即可．【解答】解：连接AD，则E点的运动轨迹为以D为圆心AD为半径的圆，∴当点E在CB延长线上时CE有最大值为CD+圆的半径，即CD+AD，∵BC＝4，D为BC的中点，∴CD＝BC＝2，又∵AC＝3，∴AD＝＝＝，∴CE的最大值为2+，故答案为：2+．【点评】本题主要考查勾股定理的应用和旋转的性质，根据旋转确定E点的运动轨迹是解题的关键．24．如图，将△ABC就点C按逆时针方向旋转65°后得到△A'B'C，若∠ACB＝20°，则∠BCA'的度数为45°．。
初中数学旋转作图专题训练含答案
初中数学旋转作图专题训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、作图题（共20题）1、如图，在一个10×10的正方形DEFG网格中有一个△ABC。
①在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1。
②在网格中画出△ABC绕C点逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C。
③若以EF所在的直线为x轴，ED所在的直线为y轴建立直角坐标系，写出A1、A2两点的坐标。
2、如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6），B（2，3），C（5，2）。
如果将△ABC 绕C点顺时针旋转90°，得到△A1B1 C。
（1）请在图中画出△A1B1 C；（2）请作出△A1B1C的外接圆(尺规作图,要求保留作图痕迹,不必写出作法)；（3）在图中已画好的格点上，是否存在点D，使得=，请写出符合条件的所有D 点的坐标（C点除外）。
(原创)3、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．ΔABO 的三个顶点A，B，O都在格点上．（1）画出ΔABO绕点O逆时针旋转900后得到的三角形Δ；（2）根据所画的图找出点和点的坐标.4、 ,如图，在由边长为的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即和．请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将重合到上；5、已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示。
⑴分别写出图中点A和点C的坐标；⑵画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′；⑶在⑵的条件下，求点C旋转到点C′所经过的路线长（结果保留π）6、如右图，在网格图中建立平面直角坐标系，的顶点坐标为、、．（1）若将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的；顺时针方（2）画出绕C１向旋转900后得到的；（3）与是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：；并计算的面积： .（4）在坐标轴上是否存在P点，使得△PAB与△CAB的面积相等，若有，则求出点P的坐标.7、在网格纸上按以下要求作图,不用写作法:(1)作出“小旗子”向右平移6格后的图案.(2)作出“小旗子”绕O 点按逆时针方向旋转90°后的图案.8、 如下图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点， △ABC 的顶点均在格点上.（1）画出将△ABC 向右平移2个单位后得到的△A 1B 1C 1，再画出将△A 1B 1C 1绕点B 1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A 2B 1C 2；（2）求线段B 1C 1旋转到B 1C 2的过程中，点C 1所经过的路径长．9、 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个△ABC 和一点O ，△ABC 的顶点与点O 均与小正方形的顶点重合．（1）在方格纸中，将△ABC 向下平移6个单位长度得到△A 1B 1C 1，请画△A 1B 1C 1． （2）在方格纸中，将△ABC 绕点O 旋转180°得到△A 2B 2C 2，请画△A 2B 2C 2．10、每个小方格都是边长为1个单位长度，正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示．（1）画出正方形ABCD关于原点中心对称的图形；（2）画出正方形ABCD绕点D点顺时针方向旋转90°后的图形；（3）求出正方形ABCD的点B绕点D点顺时针方向旋转90°后经过的路线．11、如图，在方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在小方格的顶点上．（1）在图中作出将△ABC向右平移5个单位后的图形△A1B1C1；（2）在图中作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A2B2 C．12、已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出图中点A和点C的坐标；（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）．13、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．（1）画出向下平移4个单位后的，并直接写出在平移过程中扫过的面积；（2）画出绕点顺时针旋转后的，并直接写出点旋转到所经过的路线长．14、如图，在平面直角坐标系中，和关于点成中心对称。
2023年中考数学【图形的旋转】真题汇编(共30题,解析版)
图形的旋转(30题)一、单选题江苏无锡·统考中考真题)如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α(0°<α< 55°),得到△ADE，DE交AC于F．当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于()A.80°B.85°C.90°D.95°【答案】B【分析】根据旋转可得∠B=∠ADB=∠ADE，再结合旋转角α=40°即可求解．【详解】解：由旋转性质可得：∠BAC=∠DAE=55°，AB=AD，∵α=40°，∴∠DAF=15°，∠B=∠ADB=∠ADE=70°，∴∠AFE=∠DAF+∠ADE=85°，故选：B．【点睛】本题考查了几何-旋转问题，掌握旋转的性质是关键．天津·统考中考真题)如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是()A.∠CAE=∠BEDB.AB=AEC.∠ACE=∠ADED.CE=BD【答案】A【分析】根据旋转的性质即可解答．【详解】根据题意，由旋转的性质，可得AB=AD，AC=AE，BC=DE，故B选项和D选项不符合题意，∠ABC=∠ADE∵∠ACE=∠ABC+∠BAC∴∠ACE=∠ADE+∠BAC，故C选项不符合题意，∠ACB=∠AED∵∠ACB=∠CAE+∠CEA∵∠AED=∠CEA+∠BED∴∠CAE=∠BED，故A选项符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．3(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，△ABC 和△ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE 以A 为中心顺时针旋转，点M 为射线BD 、CE 的交点．若AB =3，AD =1．以下结论：①BD =CE ；②BD ⊥CE ；③当点E 在BA 的延长线上时，MC =3-32；④在旋转过程中，当线段MB 最短时，△MBC 的面积为12．其中正确结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D 【分析】证明△BAD ≌△CAE 即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明∠DCM ∽∠ECA 得出MC 3=3-12，即可判断③；以A 为圆心，AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 的下方与⊙A 相切时，MB 的值最小，可得四边形AEMD 是正方形，在Rt △MBC 中MC =BC 2-MB 2=2+1，然后根据三角形的面积公式即可判断④．【详解】解：∵△ABC 和△ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴BA =CA ,DA =EA ,∠BAC =∠DAE =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD =∠ACE ，BD =CE ，故①正确；设∠ABD =∠ACE =α，∴∠DBC =45°-α,∴∠EMB =∠DBC +∠BCM =∠DBC +∠BCA +∠ACE =45°-α+45°+α=90°，∴BD ⊥CE ，故②正确；当点E 在BA 的延长线上时，如图所示∵∠DCM =∠ECA ，∠DMC =∠EAC =90°，∴∠DCM ∽∠ECA∴MC AC =CD EC ∵AB =3，AD =1．∴CD =AC -AD =3-1，CE =AE 2+AC 2=2∴MC 3=3-12∴MC =3-32，故③正确；④如图所示，以A 为圆心，AD 为半径画圆，∵∠BMC =90°，∴当CE 在⊙A 的下方与⊙A 相切时，MB 的值最小，∠ADM =∠DAE =∠AEM =90°∴四边形AEMD 是矩形，又AE =AD ，∴四边形AEMD 是正方形，∴MD =AE =1，∵BD =EC =AC 2-AE 2=2，∴MB =BD -MD =2-1，在Rt △MBC 中，MC =BC 2-MB 2∴PB 取得最小值时，MC =AB 2+AC 2-MB 2=3+3-2-1 2=2+1∴S △BMC =12MB ×MC =122-1 2+1 =12故④正确，故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．4(2023·山东聊城·统考中考真题)如图，已知等腰直角△ABC ，∠ACB =90°，AB =2，点C 是矩形ECGF 与△ABC 的公共顶点，且CE =1，CG =3；点D 是CB 延长线上一点，且CD =2．连接BG ，DF ，在矩形ECGF 绕点C 按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG 达到最长和最短时，线段DF 对应的长度分别为m 和n ，则m n的值为()A.2B.3C.10D.13【答案】D【分析】根据锐角三角函数可求得AC=BC=1，当线段BG达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，求得BG=4，DG=5，根据勾股定理求得DF=26，即m=26，当线段BG达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，则BG=2，DG=1，根据勾股定理求得DF=2，即n =2，即可求得mn=13．【详解】∵△ABC为等腰直角三角形，AB=2，∴AC=BC=AB⋅sin45°=2×22=1，当线段BG达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，如图：则BG=BC+CG=4，DG=DB+BG=5，在Rt△DGF中，DF=DG2+GF2=52+12=26，即m=26，当线段BG达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，如图：则BG=CG-BC=2，DG=BG-DB=1，在Rt△DGF中，DF=DG2+GF2=12+12=2，即n=2，故mn=262=13，故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等，根据旋转推出线段BG最长和最短时的位置是解题的关键．二、填空题5(2023·江苏连云港·统考中考真题)以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A B CD E 的顶点D 落在直线BC上，则正五边ABCDE旋转的度数至少为°．【答案】72【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到∠DCF的度数，进而得出旋转的角度．【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠DCF=360°÷5=72°，∴新五边形A B CD E 的顶点D 落在直线BC上，则旋转的最小角度是72°，故答案为：72．【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用．6(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC=50°，将四边形ABOC 绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB O C ，且∠OAC =100°，则四边形ABOC旋转的角度是．【答案】75°【分析】根据角平分线的性质可得∠BAO=∠OAC=25°，根据旋转的性质可得∠BAC=∠B AC =50°，∠B AO =∠O AC =25°，求得∠OAO =75°，即可求得旋转的角度．【详解】∵AO为∠BAC的平分线，∠BAC=50°，∴∠BAO=∠OAC=25°，∵将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB O C ，∴∠BAC=∠B AC =50°，∠B AO =∠O AC =25°，∴∠OAO =∠OAC -∠O AC =100°-25°=75°，故答案为：75°．【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．7(2023·湖南常德·统考中考真题)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，且AD=2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为．【答案】45【分析】首先根据勾股定理得到AC =AB 2+BC 2=10，然后证明出△ADE ∽△ABC ，得到AD AB =AE AC ，进而得到AD AE =AB AC ，然后证明出△ABD ∽△ACE ，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =6，∴AC =AB 2+BC 2=10∵DE ∥BC ∴∠ADE =∠ABC =90°，∠AED =∠ACB∴△ADE ∽△ABC∴AD AB =AE AC ∴AD AE =AB AC∵∠BAC =∠DAE∴∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD∴∠BAD =∠CAE∴△ABD ∽△ACE∴BD CD =AB AC =810=45．故答案为：45．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．8(2023·江苏无锡·统考中考真题)已知曲线C 1、C 2分别是函数y =-2x (x <0),y =k x(k >0,x >0)的图像，边长为6的正△ABC 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 、C 在x 轴上(B 在C 的左侧)，现将△ABC 绕原点O 顺时针旋转，当点B 在曲线C 1上时，点A 恰好在曲线C 2上，则k 的值为．【答案】6【分析】画出变换后的图像即可(画△AOB 即可)，当点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上时，根据△ABC 为等边三角形且AO ⊥BC ，可得OB OA =13，过点A 、B 分别作x 轴垂线构造相似，则△BFO ∽OEA ，根据相似三角形的性质得出S △AOE =3，进而根据反比例函数k 的几何意义，即可求解．【详解】当点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上时，连接AO ，∵△ABC 为等边三角形且AO ⊥BC ，则∠BAO =30°，∴tan ∠BAO =tan30°=OB OA=33，如图所示，过点A ,B 分别作x 轴的垂线，交x 轴分别于点E ,F ，∵AO ⊥BO ，∠BFO =∠AEO =∠AOB =90°，∴∠BOF=90°-∠AOE=∠EAO，∴△BFO∽OEA，∴S△BFOS△AOE=OBOA2=13，∴S△BFO=-22=1，∴S△AOE=3，∴k=6．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，k的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．9(2023·辽宁·统考中考真题)如图，线段AB=8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90°,∠E=30°，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，ΔBCD的面积为．【答案】3【分析】连接CF，BF，BF，CD交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得BF垂直平分CF，∠ABF=60°为定角，可得点F在射线BF上运动，当AF⊥BF时，AF最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解．【详解】解：连接CF，BF，BF，CD交于点P，如图，∵∠DCE=90°，点F为DE的中点，∴FC=FD，∵∠E=30°，∴∠FDC=60°,∴△FCD是等边三角形，∴∠DFC=∠FCD=60°；∵线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，∴BC=BD，∵FC=FD，∴BF垂直平分CF，∠ABF=60°，∴点F在射线BF上运动，∴当AF⊥BF时，AF最小，此时∠FAB=90°-∠ABF=30°，∴BF=12AB=4；∵∠BFC=12∠DFC=30°，∴∠FCB=∠BFC+∠ABF=90°，∴BC=12BF=2，∵PB=12BC=1，∴由勾股定理得PC=BC2-PB2=3，∴CD=2PC=23，∴S△BCD=12CD⋅PB=12×23×1=3；故答案为：3．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点．10(2023·江西·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α(0°<α<360°)得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为．【答案】90°或270°或180°【分析】连接AC，根据已知条件可得∠BAC=90°，进而分类讨论即可求解．【详解】解：连接AC，取BC的中点E，连接AE，如图所示，∵在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，∴BE=CE=12BC=AB，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE=∠AEB=60°，AE=BE，∴AE=EC∠AEB=30°，∴∠EAC=∠ECA=12∴∠BAC=90°∴AC⊥CD，如图所示，当点P在AC上时，此时∠BAP=∠BAC=90°，则旋转角α的度数为90°，当点P在CA的延长线上时，如图所示，则α=360°-90°=270°当P在BA的延长线上时，则旋转角α的度数为180°，如图所示，∵PA=PB=CD，PB∥CD，∴四边形PACD是平行四边形，∵AC⊥AB∴四边形PACD是矩形，∴∠PDC=90°即△PDC是直角三角形，综上所述，旋转角α的度数为90°或270°或180°故答案为：90°或270°或180°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．11(2023·上海·统考中考真题)如图，在△ABC中，∠C=35°，将△ABC绕着点A旋转α(0°<α< 180°)，旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D，连接AD，AD是∠BAC的角平分线，则α=．【答案】110 3°【分析】如图，AB=AD，∠BAD=α，根据角平分线的定义可得∠CAD=∠BAD=α，根据三角形的外角性质可得∠ADB=35°+α，即得∠B=∠ADB=35°+α，然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，根据题意可得：AB=AD，∠BAD=α，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=∠BAD=α，∵∠ADB=∠C+∠CAD=35°+α，AB=AD，∴∠B=∠ADB=35°+α，则在△ABC中，∵∠C+∠CAB+∠B=180°，∴35°+2α+35°+α=180°，解得：α=1103°；故答案为：110 3°【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．12(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，∠B=60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB C ，若点B的对应点B 恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是cm(结果用含π的式子表示)．【答案】3π【分析】由于AC 旋转到AC ，故C 的运动路径长是CC 的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．【详解】以A 为圆心作圆弧CC ，如图所示．在直角△ABC 中，∠B =60°，则∠C =30°，则BC =2AB =2×3=6cm ．∴AC =BC 2-AB 2=62-32=33cm ．由旋转性质可知，AB =AB ，又∠B =60°，∴△ABB 是等边三角形．∴∠BAB =60°．由旋转性质知，∠CAC =60°．故弧CC 的长度为：60360×2×π×AC =π3×33=3πcm ；故答案为：3π【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C 点的运动轨迹．13(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =3,BC =1，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC 于点D ，则ADDC的值为．【答案】5【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用勾股定理求得AB =10，根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB 是等腰直角三角形，可得DF =BF ，再由S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，得AD =10DF ，证明△AFD ∼△ACB ，可得DF BC =AF AC，即AF =3DF ，再由AF =10-DF ，求得DF =104，从而求得AD=52，CD =12，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =1，∴AB =32+12=10，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ，∴AB=AB =10，∠BAB =90°，∴△ABB 是等腰直角三角形，∴∠ABB =45°，又∵DF⊥AB，∴∠FDB=45°，∴△DFB是等腰直角三角形，∴DF=BF，∵S△ADB=12×BC×AD=12×DF×AB，即AD=10DF，∵∠C=∠AFD=90°，∠CAB=∠FAD，∴△AFD∼△ACB，∴DF BC =AFAC，即AF=3DF，又∵AF=10-DF，∴DF=104，∴AD=10×104=52，CD=3-52=12，∴AD CD =5212=5，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．14(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)已知等腰△ABC，∠A=120°，AB=2．现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°，得到△A BC ，延长C A 交直线BC于点D．则A D的长度为．【答案】4+23或4-23【分析】根据题意，先求得BC=23，当△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°，过点B作BE⊥A B交A D于点E，当△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转45°，过点D作DF⊥BC 交BC 于点F，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解．【详解】解：如图所示，过点A作AM⊥BC于点M，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，AB=2．∴∠ABC=∠ACB=30°，∴AM=1AB=1，BM=CM=AB2-AM2=3,2∴BC=23，如图所示，当△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°，过点B作BE⊥A B交A D于点E，∵∠BAC=120°，∴∠DA B=60°，∠A EB=30°，在Rt△A BE中，A E=2A B=4，BE=A E2-A B2=23，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，AB=2．∴∠ABC=∠ACB=30°，∵△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°，∴∠ABA =45°，∴∠DBE=180°-90°-45°-30°=15°，∠A BD=180°-45°-30°=105°在△A BD中，∠D=180°-∠DA B-∠A BD=180°-60°-105°=15°,∴∠D=∠EBD，∴EB=ED=23，∴A D=A E+DE=4+23，如图所示，当△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转45°，过点D作DF⊥BC 交BC 于点F，在△BFD中，∠BDF=∠CBC =45°，∴DF=BF在Rt△DC F中，∠C =30°FC'∴DF=33∴BC=BF+3BF=23∴DF=BF=3-3∴DC =2DF=6-23∴A D=C D-A C =6-23-2=4-23，综上所述，A D的长度为4-23或4+23，故答案为：4-23或4+23．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类讨论是解题的关键．15(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)一副三角板ABC 和DEF 中，∠C =∠D =90°，∠B =30°，∠E =45°，BC =EF =12．将它们叠合在一起，边BC 与EF 重合，CD 与AB 相交于点G (如图1)，此时线段CG 的长是，现将△DEF 绕点C (F )按顺时针方向旋转(如图2)，边EF 与AB 相交于点H ，连结DH ，在旋转0°到60°的过程中，线段DH 扫过的面积是．【答案】66-62；12π-183+18【分析】如图1，过点G 作GH ⊥BC 于H ，根据含30°直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出BH =3GH ，GH =CH ，然后由BC =12可求出GH 的长，进而可得线段CG 的长；如图2，将△DEF 绕点C 顺时针旋转60°得到△D 1E 1F ，FE 1与AB 交于G 1，连接D 1D ，AD 1，△D 2E 2F 是△DEF 旋转0°到60°的过程中任意位置，作DN ⊥CD 1于N ，过点B 作BM ⊥D 1D 交D 1D 的延长线于M ，首先证明△CDD 1是等边三角形，点D 1在直线AB 上，然后可得线段DH 扫过的面积是弓形D 1D 2D 的面积加上△D 1DB 的面积，求出DN 和BM ，然后根据线段DH 扫过的面积=S 弓形D 1D 2D +S △D 1DB =S 扇形CD 1D -S △CD 1D +S △D 1DB 列式计算即可．【详解】解：如图1，过点G 作GH ⊥BC 于H ，∵∠ABC =30°，∠DEF =∠DFE =45°，∠GHB =∠GHC =90°，∴BH =3GH ，GH =CH ，∵BC =BH +CH =3GH +GH =12，∴GH =63-6，∴CG =2GH =2×63-6 =66-62；如图2，将△DEF 绕点C 顺时针旋转60°得到△D 1E 1F ，FE 1与AB 交于G 1，连接D 1D ，由旋转的性质得：∠E 1CB =∠DCD 1=60°，CD =CD 1，∴△CDD 1是等边三角形，∵∠ABC =30°，∴∠CG 1B =90°，∴CG 1=12BC ，∵CE1=BC，∴CG1=12CE1，即AB垂直平分CE1，∵△CD1E1是等腰直角三角形，∴点D1在直线AB上，连接AD1，△D2E2F是△DEF旋转0°到60°的过程中任意位置，则线段DH扫过的面积是弓形D1D2D的面积加上△D1DB的面积，∵BC=EF=12，∴DC=DB=22BC=62，∴D1C=D1D=62，作DN⊥CD1于N，则ND1=NC=32，∴DN=D1D2-ND12=622-322=36，过点B作BM⊥D1D交D1D的延长线于M，则∠M=90°，∵∠D1DC=60°，∠CDB=90°，∴∠BDM=180°-∠D1DC-∠CDB=30°，∴BM=12BD=32，∴线段DH扫过的面积=S弓形D1D2D +S△D1DB，=S扇形CD1D -S△CD1D+S△D1DB，=60π⋅622360-12×62×36+12×62×32，=12π-183+18，故答案为：66-62，12π-183+18．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含30°直角三角形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点D1在直线AB上是本题的突破点，灵活运用各知识点是解题的关键．三、解答题16(2023·北京·统考中考真题)在△ABC中、∠B=∠C=α0°<α<45°，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；(2)如图2，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．【答案】(1)见解析(2)∠AEF=90°，证明见解析【分析】(1)由旋转的性质得DM=DE，∠MDE=2α，利用三角形外角的性质求出∠DEC=α=∠C，可得DE=DC，等量代换得到DM=DC即可；(2)延长FE到H使FE=EH，连接CH，AH，可得DE是△FCH的中位线，然后求出∠B=∠ACH，设DM=DE=m，CD=n，求出BF=2m=CH，证明△ABF≅△ACH SAS，得到AF=AH，再根据等腰三角形三线合一证明AE⊥FH即可．【详解】(1)证明：由旋转的性质得：DM=DE，∠MDE=2α，∵∠C=α，∴∠DEC=∠MDE-∠C=α，∴∠C=∠DEC，∴DE=DC，∴DM=DC，即D是MC的中点；(2)∠AEF=90°；证明：如图2，延长FE到H使FE=EH，连接CH，AH，∵DF=DC，∴DE是△FCH的中位线，∴DE∥CH，CH=2DE，由旋转的性质得：DM=DE，∠MDE=2α，∴∠FCH=2α，∵∠B=∠C=α，∴∠ACH=α，△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠ACH，AB=AC，设DM=DE=m，CD=n，则CH=2m，CM=m+n，∴DF=CD=n，∴FM=DF-DM=n-m，∵AM⊥BC，∴BM=CM=m+n，∴BF=BM-FM=m+n-n-m=2m，∴CH=BF，在△ABF和△ACH中，AB=AC∠B=∠ACH BF=CH，∴△ABF≅△ACH SAS，∴AF =AH ，∵FE =EH ，∴AE ⊥FH ，即∠AEF =90°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．17(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M ，N 分别是斜边DE ，AB 的中点，DE =2,AB =4．(1)将△CDE 绕顶点C 旋转一周，请直接写出点M ，N 距离的最大值和最小值；(2)将△CDE 绕顶点C 逆时针旋转120°(如图2)，求MN 的长．【答案】(1)最大值为3，最小值为1(2)7【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线，得出CM ,CN 的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解；(2)过点N 作NP ⊥MC ，交MC 的延长线于点P ，根据旋转的性质求得∠MCN =120°，进而得出∠NCP =60°，进而可得CP =1，勾股定理解Rt △NCP ,Rt △MCP ，即可求解．【详解】(1)解：依题意，CM =12DE =1，CN =12AB =2，当M 在NC 的延长线上时，M ,N 的距离最大，最大值为CM +CN =1+2=3，当M 在线段CN 上时，M ,N 的距离最小，最小值为CN -CN =2-1=1；(2)解：如图所示，过点N 作NP ⊥MC ，交MC 的延长线于点P ，∵△CDE 绕顶点C 逆时针旋转120°，∴∠BCE =120°，∵∠BCN =∠ECM =45°，∴∠MCN =∠BCM -∠ECM =∠BCE =120°，∴∠NCP =60°，∴∠CNP =30°，∴CP =12CN =1，在Rt △CNP 中，NP =NC 2-CP 2=3，在Rt △MNP 中，MP =MC +CP =1+1=2，∴MN =NP 2+MP 2=3+4=7．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键．18(2023·四川达州·统考中考真题)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点均在小正方形的格点上．(1)将△ABC 向下平移3个单位长度得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 绕点C 顺时针旋转90度得到△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2；(3)在(2)的运动过程中请计算出△ABC 扫过的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)5+5π2【分析】(1)先作出点A 、B 、C 平移后的对应点A 1，B 1、C 1，然后顺次连接即可；(2)先作出点A 、B 绕点C 顺时针旋转90度的对应点A 2，B 2，然后顺次连接即可；(3)证明△ABC 为等腰直角三角形，求出S △ABC =12AB ×BC =52，S 扇形CAA 2=90π×10 2360=5π2，根据旋转过程中△ABC 扫过的面积等于△ABC 的面积加扇形CAA 1的面积即可得出答案．【详解】(1)解：作出点A 、B 、C 平移后的对应点A 1，B 1、C 1，顺次连接，则△A 1B 1C 1即为所求，如图所示：(2)解：作出点A 、B 绕点C 顺时针旋转90度的对应点A 2，B 2，顺次连接，则△A 2B 2C 2即为所求，如图所示：(3)解：∵AB =12+22=5，AC =32+12=10，BC =12+22=5，∴AB =BC ，∵5 2+5 2=10=10 2，∴AB 2+BC 2=AC 2，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴S △ABC =12AB ×BC =52，根据旋转可知，∠ACA 2=90°，∴S 扇形CAA 2=90π×10 2360=5π2，∴在旋转过程中△ABC 扫过的面积为S =S △ABC +S 扇形CAA 2=5+5π2．【点睛】本题主要考查了平移、旋转作图，勾股定理逆定理，扇形面积计算，解题的关键是作出平移或旋转后的对应点．19(2023·辽宁·统考中考真题)在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，点O 为AB 的中点，点D 在直线AB 上(不与点A ,B 重合)，连接CD ，线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，过点B 作直线l ⊥BC ，过点E 作EF ⊥l ，垂足为点F ，直线EF 交直线OC 于点G ．(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2BC；(3)连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值．【答案】(1)EF=22AD(2)见解析(3)59或17 9【分析】(1)可先证△BCD≌△BCE，得到BD=BE，根据锐角三角函数，可得到BE和EF的数量关系，进而得到线段AD与线段EF的数量关系．(2)可先证△ACD≌△GEC，得到DA=CG，进而得到CG+BD=DA+BD=AB，问题即可得证．(3)分两种情况：①点D在线段AB上，过点C作CN垂直于FG，交FG于点N，过点E作EM垂直于BC，交BC于点M，设EF=a，利用勾股定理，可用含a的代数式表示EC，根据三角形面积公式，即可得到答案．②点D在线段BA的延长线上，过点E作EJ垂直于BC，交BC延长线于点J,令EF交AC于点I,连接BE,设EF=b，可证△CDA≌△CEB，进一步证得△EBJ是等腰直角三角形，EJ=BJ，利用勾股定理，可用含b的代数式表示EC，根据三角形面积公式，即可得到答案【详解】(1)解：EF=22 AD．理由如下：如图，连接BE．根据图形旋转的性质可知CD=CE．由题意可知，△ABC为等腰直角三角形，∵CD为等腰直角三角形△ABC斜边AB上的中线，∴∠BCD=45°，AD=BD．又∠DCE=90°，∴∠BCE=45°．在△BCD和△BCE中，CD =CE∠BCD =∠BCEBC =BC∴△BCD ≌△BCE ．∴BD =BE ，∠CBE =∠CBD =45°．∴∠EBF =45°．∴EF =BE ·sin ∠EBF =22BE ．∴EF =22AD ．(2)解：∵CO 为等腰直角三角形△ABC 斜边AB 上的中线，∴AO =BO ．∵∠ACD +∠DCB =∠BCE +∠DCB =90°，∴∠ACD =∠BCE ．∵BC ⊥l ，EF ⊥l ，∴BC ∥EF ．∴∠G =∠OCB =45°，∠GEC =∠BCE ．∴∠G =∠A ，∠ACD =∠GEC ．在△ACD 和△GEC 中，∠ACD =∠GEC∠A =∠GCD =CE∴△ACD ≌△GEC ．∴DA =CG ．∴CG +BD =DA +BD =AB =2BC ．(3)解：当点D 在线段AB 延长线上时，不满足条件EF :BC =1:3，故分两种情况：①点D 在线段AB 上，如图，过点C 作CN 垂直于FG ，交FG 于点N ；过点E 作EM 垂直于BC ，交BC 于点M ．设EF =a ，则BC =AC =3a ．根据题意可知，四边形BFEM 和CMEN 为矩形，△GCN 为等腰直角三角形．∴EF =BM =a ，CM =NE =2a ．由(2)证明可知△ACD ≌△GEC ，∴AC =GE =3a ．∴NG =NC =a ．∴NC =EM =a ．根据勾股定理可知CE =EM 2+CM 2=2a 2+a 2=5a ，△CDE 的面积S 1与△ABC 的面积S 2之比S 1S 2=12CE 212BC 2=125a 2123a2=59②点D 在线段BA 的延长线上，过点E 作EJ 垂直于BC ，交BC 延长线于点J ,令EF 交AC 于点I ,连接BE ,由题意知，四边形FBJE ，FBCI 是矩形，∵∠DCE =∠ACB =90°∴∠DCE -∠ACE =∠ACB -∠ACE即∠DCA =∠ECB又∵CD =CE ，CA =CB∴△CDA ≌△CEB∴∠DAC =∠EBC而∠DAC =180°-∠CAB =180°-45°=135°∴∠EBC =135°∠EBJ =180°-∠EBC =45°∴△EBJ 是等腰直角三角形，EJ =BJ设EF =b ，则BC =IF =3b ，EJ =BJ =CI =b∴EI =EF +IF =4b Rt △CIE 中，CE =CI 2+EI 2=b 2+(4b )2=17b△CDE 的面积S 1与△ABC 的面积S 2之比S 1S 2=12CE 212BC 2=1217b 2123b2=179【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判定及性质是解题的关键．20(2023·四川乐山·统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB C 的位置，那么可以得到：AB=AB ，AC =AC ，BC=B C ；∠BAC=∠B AC ，∠ABC=∠AB C ，∠ACB=∠AC B ()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“( )”处应填理由：；(2)如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A BC 的位置．①请在图中作出点O；②如果BB =6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．【答案】问题解决(1)旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等(2)①见解析；②322πcm 问题拓展：83π-833cm 2【分析】问题解决(1)根据旋转性质得出旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；(2)①分别作BB 和AA 的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点O ；②根据弧长公式求解即可；问题拓展，连接PA ，交AC 于M ，连接PA ，PD ，AA ，由旋转得∠PA B =30°，PA =PA =4，在Rt △PAM 和Rt △A DM 中求出A M 和DM 的长，可以求出S 阴影部分B DP =S 扇形B A P -S △ADP ，再证明△ADP ≌△A DP ，即可求出最后结果．【详解】解：【问题解决】(1)旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等(2)①下图中，点O 为所求②连接OB ，OB ，∵扇形纸板ABC 绕点O 逆时针旋转90°到达扇形纸板A B C 的位置，∴∠BOB =90°，OB =OB ,∵BB =6cm ，设OB =OB =xcm ，∴x 2+x 2=62，∴OB =OB =32cm ，在旋转过程中，点B 经过的路径长为以点O 为圆心，圆心角为90°，OB 为半径的所对应的弧长，∴点B 经过的路径长=90×π×32180=322πcm ；【问题拓展】解：连接PA ，交AC 于M ，连接PA ，PD ，AA 如图所示∴∠PAC =12∠BAC =30°．由旋转得∠PA B =30°，PA =PA =4． 在Rt △PAM 中，A M =PM =PA ⋅sin ∠PAM =4×sin30°=2．在Rt △A DM 中，∵∠DA M =12∠B A C =30°，∴A D =A M cos ∠DA M =2cos30°=433，DM =12A D =12×433=233． ∴S △A DP =12DM ⋅A P =12×233×4=433．S 扇形B A P =30×π×42360=43π．∴S 阴影部分B DP =S 扇形B A P -S △ADP =43π-433， 在△ADP 和△A DP 中，∵AD =AM -DM =23-233=433=A D ，又∵∠PAD =∠PA D =30°，PA =PA ，∴△ADP ≌△A DP ．又∵S 扇形PAC =S 扇形B AP ，∴S 阴影部分BDP =S 阴影部分CDP ，∴S 阴影部分=2S 阴影部分BDP =2×43π-433 =83π-833 cm 2．【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式，解直角三角形，三角形全等的性质与判定，解题的关键是抓住图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，正确作出辅助线构造出直角三角形．21(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD 中(顶点A ,B ,C ,D 按逆时针方向排列)，AB =12,AD =10,∠B 为锐角，且sin B =45．(1)如图1，求AB 边上的高CH 的长．(2)P 是边AB 上的一动点，点C ,D 同时绕点P 按逆时针方向旋转90°得点C ,D ．①如图2，当点C 落在射线CA 上时，求BP 的长．②当△AC D 是直角三角形时，求BP 的长．【答案】(1)8(2)①BP =347；②BP =6或8±2【分析】(1)利用正弦的定义即可求得答案；(2)①先证明△PQC ≌△CHP ，再证明△AQC ∽△AHC ，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可；②分三种情况讨论完成，第一种：C 为直角顶点；第二种：A 为直角顶点；第三种，D 为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案．【详解】(1)在▱ABCD 中，BC =AD =10，在Rt △BCH 中，CH =BC sin B =10×45=8．(2)①如图1，作CH ⊥BA 于点H ，由(1)得，BH =BC 2-CH 2=6，则AH =12-6=6，作C Q ⊥BA 交BA 延长线于点Q ，则∠CHP =∠PQC =90°，∴∠C PQ +∠PC Q =90°．∵∠C PQ +∠CPH =90°∴∠PC Q =∠CPH ．由旋转知PC =PC ，∴△PQC ≌△CHP ．设BP =x ，则PQ =CH =8,C Q =PH =6-x ,QA =PQ -PA =x -4．∵C Q ⊥AB ,CH ⊥AB ，∴C Q ∥CH ，∴△AQC ∽△AHC ，∴C Q CH =QA HA ，即6-x 8=x -46，∴x =347，∴BP =347．②由旋转得△PCD ≌△PC D ,CD =C D ，CD ⊥C D ，又因为AB ∥CD ，所以C D ⊥AB ．情况一：当以C 为直角顶点时，如图2．∵C D ⊥AB ，∴C 落在线段BA 延长线上．∵PC ⊥PC ，∴PC ⊥AB ，由(1)知，PC =8，∴BP =6．情况二：当以A 为直角顶点时，如图3．设C D 与射线BA 的交点为T ，作CH ⊥AB 于点H ．∵PC ⊥PC ，∴∠CPH +∠TPC =90°，∵C D ⊥AT ，∴∠PC T +∠TPC =90°，∴∠CPH =∠PC T ．又∵∠CHP =∠PTC =90°,PC =C P ，∴△CPH ≌△PC T ，∴C T =PH ,PT =CH =8．设C T =PH =t ，则AP =6-t ，∴AT =PT -PA =2+t∵∠C AD =90°,C D ⊥AB ，∴△ATD ∽△C TA ，∴AT TD =CT TA ，∴AT 2=C T ⋅TD ，∴(2+t )2=ι12-t ，化简得t 2-4t +2=0，解得t =2±2，∴BP =BH +HP =8±2．情况三：当以D 为直角顶点时，点P 落在BA 的延长线上，不符合题意．综上所述，BP =6或8±2．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键．22(2023·四川南充·统考中考真题)如图，正方形ABCD 中，点M 在边BC 上，点E 是AM 的中点，连接ED ，EC ．(1)求证：ED =EC ；(2)将BE 绕点E 逆时针旋转，使点B 的对应点B 落在AC 上，连接MB ′．当点M 在边BC 上运动时(点M 不与B ，C 重合)，判断△CMB ′的形状，并说明理由．(3)在(2)的条件下，已知AB =1，当∠DEB ′=45°时，求BM 的长．【答案】(1)见解析(2)等腰直角三角形，理由见解析(3)BM =2-3【分析】(1)根据正方形的基本性质以及“斜中半定理”等推出△EAD ≌△EBC ，即可证得结论；(2)由旋转的性质得EB =EB =AE =EM ，从而利用等腰三角形的性质推出∠MB C =90°，再结合正方形对角线的性质推出B M =B C ，即可证得结论；(3)结合已知信息推出△CME ∽△AMC ，从而利用相似三角形的性质以及勾股定理进行计算求解即可．【详解】(1)证：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD =∠ABC =90°，AD =BC ，∵点E 是AM 的中点，∴EA =EB ，∴∠EAB =∠EBA ，∴∠BAD -∠EAB =∠ABC -∠EBA ，即：∠EAD =∠EBC ，在△EAD 与△EBC 中，EA =EB∠EAD =∠EBCAD =BC∴△EAD ≌△EBC SAS ，∴ED =EC ；。
初中数学旋转定理专题
初中数学旋转定理专题一、旋转定理的概念旋转定理是初中数学中的一个重要概念，主要用于解决平面图形在旋转过程中的性质变化问题。
在旋转定理中，我们通常关注图形的旋转中心、旋转角度和旋转结果。
二、旋转定理的基本原理1. 旋转中心：图形的旋转中心是指固定绕其进行旋转的点。
我们可以通过观察图形的对称性来确定旋转中心。
2. 旋转角度：旋转角度是指图形在旋转中心周围旋转的角度。
通常以逆时针方向为正向。
3. 旋转结果：通过旋转定理，我们可以确定图形在旋转过程中的性质变化。
例如，旋转后的图形是否还保持原来的面积、周长等性质。
三、旋转定理的应用旋转定理在初中数学中有广泛的应用，常见的应用情况包括：1. 图形的旋转对称性：通过旋转定理，我们可以判断一个图形是否具有旋转对称性，即是否在旋转某个角度后能够重合。
这对于判断图形的相似性、等价性等非常有帮助。
2. 图形的蛇形填充：通过旋转定理，我们可以生成一系列相似的图形，然后将其按一定规律排列，从而形成具有美观效果的蛇形填充图案。
3. 图形的旋转变换：通过旋转定理，我们可以将图形绕旋转中心进行旋转，从而得到旋转后的图形。
这对于几何图形的线条设计、图案组合等具有重要意义。
四、旋转定理的练题以下是几个旋转定理的练题，供同学们进行思考和解答：1. 以点A为旋转中心，将线段AB绕点A逆时针旋转60度，求旋转后线段的长度。
2. 图形A和图形B绕同一个旋转中心进行旋转，旋转角度分别为120度和240度，它们之间是否相等？3. 图形C在旋转180度后能否与原图重合？为什么？以上练题旨在帮助同学们提高对旋转定理的理解和应用能力，不同题目可能存在不同的解法，请同学们根据自己的思路进行解答。
五、总结旋转定理是初中数学中的重要概念，通过理解旋转中心、旋转角度和旋转结果，我们可以应用旋转定理解决图形的旋转问题。
同时，通过练题的解答，可以巩固对旋转定理的理解和运用能力。
希望本文介绍的初中数学旋转定理专题能够帮助同学们更好地理解和应用旋转定理，提高数学学习成绩。
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旋转证明一． 利用旋转添加辅助线例1. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且始终045=∠EAF .过点A 做AP ⊥EF.（1）求证：EF=DE+BF.(2)求证：AP=AD.（3）若△EFC 周长为a ，求正方形的面积.变式1：如图，点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，已知AB=a ，△MCN 的周长为2a ， 求证：∠MAN=45°1.如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,BC=3,将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90到ED ，连结AE 、CE,则△ADE 的面积是 。
2.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且始终满足AF 平分BAE ∠， 探究：BF 、DE 与AE 的关系.5.如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=45°，则有结论EF=BE+FD 成立。
（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B=∠D=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF 是∠BAD 的一半，那么结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得∠EAF 仍然是∠BAD 的一半，则结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立。
请写出它们之间的数量关系，并证明。
A B C D EFABD CEF A DM B CN A ED例2.在等边△ABC 中，O 为△ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO 且AO=2,BO=1,CO=3,求∠AOB ，∠BOC 的度数分别是多少？2.如图，点D 为等边△ABC 外一点，030=∠ADC ,AD=4,CD=3，求BD 的长。
3.在等边△ABC 中，O 为△ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO ，有∠AOB ＝0150，∠BOC=0120.问：AO 、BO 、CO 三条线条能否构成一个三角形若能，求出这个三角形的三个内角分别是多少度？若不能，请说明理由。
25（09朝阳一模）. （本小题8分）图① 图② （1） 已知：如图①，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在斜边AB 上，且∠DCE=45°. 求证：线段DE 、AD 、EB 总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图②，等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数； （3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD·AE 的值．25（09西城一模）．已知：2PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长； （2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应∠APB 的大小.AB CDEBCA二． 旋转型相似例1.图1是边长分别为a 和b （a ＞b ）的两个等边三角形纸片ABC 和C ′DE 叠放在一起（C 与C ′重合）的图形．（1）操作：固定△ABC ，将△C ′DE 绕点C 按顺时针方向旋转30°，连结AD ，BE ，如图2；在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．（2）操作：若将图1中的△C ′DE 绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度，连结AD ，BE ，如图3；在图3中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论． （3）根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段AD 的长度最大？是多少？当为多少度时，线段AD 的长度最小？是多少？（不要求证明）ADEA图1 图2 图3例2. 如图为等边△ABC 和菱形BDEF,∠DBF=60°（1）观察图形○1,猜想AF 与CD 之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不必证明.（2）将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转,使菱形BDEF 的一边落在等边△ABC 内部,在图○2中画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,请问:(1)中的结论是否依然成立?若成立请证明;若不成立,请说明理由;（3）在上述旋转过程中,AF 与CD 之间所夹的锐角度数是否发生变化?若不变,请你求出它的度数,并说明理由;若改变,请说明它的度数是如何变化的.练习1．点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ∆和BCF ∆，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．（1）若ABE ∆和FBC ∆是等腰直角三角形，且090=∠=∠FBC ABE (如图1)，则MBN ∆ 是三角形．（2）在ABE ∆和BCF ∆中，若BA=BE,BC=BF,且α=∠=∠FBC ABE ，（如图2），则MBN ∆是三角形，且=∠MBN .ACBDF E○1 ACB ○2（如图2）NMCEF（如图3）MNEACF （如图1)NMFE（3）若将（2）中的ABE绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.3.填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。
(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。
在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。
请你任选其中一个结论证明。
4、我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另外一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形。
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：（2）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O。
求证：AD2+BC2=AB2+DC2。
即四边形ABCD 是等平方和四边形。
（3）如果将图①中的△AOD绕点O按逆时针方向旋转a度（0<a<90°）后得到图，那么四边形ABCD能否成为等平方和四边形？若能，请证明；若不能，请说明理由。
三．正方形中的旋转例1.如图1已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D 放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。
(1)在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。
①证明DM＝DN；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。
练习：1.已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=2OC．当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．2.（08平谷一模25）．在图中，把一副直角三角板ABC和EFG（其短直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG 的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕点O顺时针旋转（旋转角α满足条件：o0900<α<），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）联结HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的161？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．αHKEFG(O)ACG(O)BACA 图13.（08延庆一模23）．（1）已知：有两块完全相同的含45°角的三角板，如图10－1，将Rt △DEF 的直角的=顶点D 放在Rt △ABC 斜边AB 的中点处，这时两块三角板重叠部分△DBC 的面积 是△ABC 的面积的 ；（2）如图10－2，点D 不动，将Rt △DEF 绕着顶点D 旋转α（0°＜∠α＜90°），这时两块三角板重叠部分为任意四边形DNCM ，这时四边形DNCM 的面积是△ABC 的面积的 ； （3）若Rt △DEF 的顶点D 在AB 上移动（不与点A 、B 重合），且两条直角边与Rt △ABC 的两条直角边相交，是否存在一点，使得两块三角板重叠部分的面积是Rt △ABC 的面积的49 ，如果存在，请在图10－3中画出此时的图形，并说明点D 在AB 上的位置。
如果不存在，说明理由。
4.（08东城一模25）．已知△ABC 中，AB=AC=3,∠BAC=900,点D 为BC 上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D 处.（1）如图1，若BD=CD, 将三角板绕点D 逆时针旋转，两条直角边分别交AB 、AC 于点E 、点F,求出重叠部分AEDF 的面积（直接写出结果）；（2）如图2，若BD=CD, 将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AB 于点E 、另一条直角边交AB 的延长线于点F,设AE ＝x ，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出 y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；（3）若2BD CD =,将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AC 于点F 、另一条直角边交射线AB 于点E ，设CF=(1)x x >，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出 y 与x 的函数关系，并写出自变量x 的取值范围 ．图10－1 图10－2 图10－324（09延庆一模）.如图24－1，正方形ABCD 和正方形QMNP ， M 是正方形ABCD 的对称中心，MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ． （1）猜想：ME 与MF 的数量关系（2）如图24－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M =∠B ，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并加以证明．（3）如图24－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系， （4）如图24－4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M =∠B ，AB:BC = m ，其它条件不变，求出ME ：MF 的值。