《双曲线和抛物线的参数方程(2)》教学案
双曲线及其标准方程教案与说明(甘肃)
双曲线及其标准方程教案与说明（甘肃）教案内容：一、教学目标1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 引导学生掌握双曲线的标准方程及其变换。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学重难点1. 重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其变换。
2. 难点：双曲线标准方程的推导及应用。
三、教学准备1. 教师准备：双曲线的课件、例题、习题。
2. 学生准备：笔记本、文具、已学过的相关知识。
四、教学过程1. 导入：通过复习直线、圆等基本几何图形，引导学生思考双曲线的定义和特点。
2. 新课导入：介绍双曲线的定义，引导学生掌握双曲线的性质。
3. 例题讲解：讲解双曲线的标准方程及其变换，让学生通过例题理解并掌握双曲线的标准方程。
4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，巩固双曲线标准方程的知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调双曲线标准方程的重要性和应用。
五、课后作业1. 完成课后习题，加深对双曲线及其标准方程的理解。
2. 结合生活实际，寻找双曲线模型的应用，提高学生的数学应用能力。
说明：本教案根据甘肃地区的教学实际情况编写，注重学生的基本数学素养的培养，难度适中。
在教学过程中，教师要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习兴趣和自信心。
通过课后作业的设置，让学生将所学知识应用到实际生活中，提高学生的数学应用能力。
六、教学拓展1. 引导学生探索双曲线的参数方程及其图像。
2. 介绍双曲线在其他领域的应用，如物理学、天文学等。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，让学生总结双曲线及其标准方程的知识。
2. 强调双曲线在数学和实际生活中的重要性。
八、课后反思1. 教师对本节课的教学情况进行反思，分析学生的学习效果。
2. 根据学生的反馈，调整教学方法和解题策略，为下一节课做好准备。
九、章节测试1. 设计一份章节测试题，测试学生对双曲线及其标准方程的掌握程度。
2. 及时批改测试题，了解学生的学习状况，为下一步教学提供依据。
《双曲线和抛物线的参数方程(2)》教学案
1.13《双曲线和抛物线的参数方程》教学案一、学习目标(1).双曲线、抛物线的参数方程.(2).双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系.(3).通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力二、学习重难点学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导学习难点：(1)双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2)双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化三、学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习四、知识链接:焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________ 焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________五、学习过程(阅读教材29-34完成)(一)双曲线的参数方程1双曲线),(0012222>>=-b a b y a x 的参数方程___________________________注：(1)ϕ的范围__________________________(2)ϕ的几何意义___________________________2双曲线),(0012222>>=-b a b x a y 的参数方程___________________________(二)抛物线的参数方程抛物线)(022>=p px y 的参数方程___________________________(三)典型例题六、课堂练习：、 的轨迹方程。
，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y B A O ⊥⊥>=,)0(2,12___________的两个焦点坐标tan sec {、求双曲线αα34321==y x ______________的渐近线方程为)为参数(tan sec {、双曲线ϕϕϕ==y x 32的轨迹方程。
高中数学 第二章 参数方程 第2节 第2课时 双曲线、抛物线的参数方程教学案 4数学教学案
第2课时 双曲线、抛物线的参数方程[核心必知]1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sec φ．2．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，t ∈R ．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[问题思考]1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？提示：参数φ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？提示：如果x 对应的参数形式是a sec φ，则焦点在x 轴上； 如果y 对应的参数形式是a sec φ，则焦点在y 轴上．3．若抛物线的参数方程表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2ptan α.则参数α的几何意义是什么？提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M ，以射线OM 为终边的角．在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.[精讲详析] 本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出P 点的坐标，建立方程求解．设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－35.sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45.∴P 的坐标为(54，－34)或(－54，34)．——————————————————参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点． 证明：设双曲线为x 2－y 2＝a 2，取顶点A (a ，0)，弦B ′B ∥Ox ，B (a sec α，a tan α)，则B ′(－a sec α，a tan α)．∵k B ′A ＝a tan α－a sec α－a ，k BA ＝a tan αa sec α－a，∴k B ′A ·k BA ＝－1.∴以BB ′为直径的圆过双曲线的顶点．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[精讲详析] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M 、P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．设M (x 、y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在抛物线的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2，变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y .表示的为抛物线．——————————————————在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标2．已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t 得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x . 又∵M 点的纵坐标为2， ∴M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．又∵抛物线的准线方程为x ＝－12.∴由抛物线的定义知|MF |＝2－(－12)＝2＋12＝52.即点M 到抛物线焦点的距离为52.如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．[精讲详析] 本题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答本题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可．∵x 216－y 29＝1，∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，∴a ＝5，c ＝4，b ＝3.∴方程为x 225＋y 29＝1.设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为3x －4y ＝0，∴点P 到直线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin （θ－φ）|5(tan φ＝54)．∴d max ＝3415.——————————————————对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．3．(广东高考)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为______________．解析：由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得x ＝54y 2.联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y2则5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)，则x ＝54y 2＝1.又y ≥0，所以其交点坐标为(1，255)．答案：(1，255)本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化．天津高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用，属低档题．[考题印证](天津高考)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________．[命题立意] 本题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用． [解析] 由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p2，设准线与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在Rt △EFA 中，|EF |＝2|FA |，即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：2 一、选择题1．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：选D 注意参数范围，可利用排除法．普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C.2．下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 解析：选B 由x ＝3sec θ得，x 2＝3cos 2θ＝3（sin 2θ＋cos 2θ）cos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适．3．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t只有一个公共点的直线有( )条( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t得y 2＝8x .∴点M (2，4)在抛物线上．∴过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．4．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－t，y ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的上支 C ．双曲线下支 D ．圆解析：选B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t>0，2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，即y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支． 二、填空题5．(陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y 2＝4x ，则焦点坐标为(1，0)． 答案：(1，0)6．已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)设O 为坐标原点，点M 在C 上运动(点M 与O 不重合)，P (x ，y )是线段OM 的中点，则点P 的轨迹普通方程为________．解析：抛物线的普通方程为y 2＝2x ，设点P (x ，y )，点M 为(x 1，y 1)(x 1≠0)，则x 1＝2x ，y 1＝2y .∵点M 在抛物线上，且点M 与O 不重合， ∴4y 2＝4x ⇒y 2＝x .(x ≠0) 答案：y 2＝x (x ≠0) 7．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是________．解析：双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的标准方程为y 236－x 212＝1，焦点在y 轴上，c 2＝a 2＋b 2＝48.∴焦点坐标为(0，±43)． 答案：(0，±43)8．(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝ t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1) 三、解答题9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A 、B 是双曲线同支上相异两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0，0)，求证：|x 0|>a 2＋b 2a.证明：设A 、B 坐标分别为(a sec α，b tan α)，(a sec β，b tan β)，则中点为M (a2(secα＋sec β)，b2(tan α＋tan β))，于是线段AB 中垂线方程为y －b2(tan α＋tan β)＝－a （sec α－sec β）b （tan α－tan β）[x －a2(sec α＋sec β)]．将P (x 0，0)代入上式，∴x 0＝a 2＋b 22a(sec α＋sec β)．∵A 、B 是双曲线同支上的不同两点， ∴|sec α＋sec β|>2.∴|x 0|>a 2＋b 2a.10．过点A (1，0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M 、N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)， 则k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.∴kAP＝4（t 1＋t 2）4（t 21＋t 22）－1. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（t 21＋t 22），y ＝4（t 1＋t 2），则y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16(x 4－14)＝4(x －1)．∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．11．已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P 、Q 两点距离的最小值．解：设Q (sec θ，tan θ)，|O 1P |＝1， 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3. 又|PQ |≥|O 1Q |－|O 1P | ∴|PQ |min ＝3－1.。
山西高中数学第2章参数方程2双曲线的参数方程学案无解答
双曲线的参数方程【学习目标】1、了解双曲线参数方程，了解其参数的意义。
2、能够将双曲线的参数方程与普通方程进行互化【重点难点】双曲线的参数方程【学习过程】一、问题情景导入将参数方程cossinx ay bϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）化为普通方程，并说明其为什么曲线二、自学探究：（阅读课本第27-30页，完成下面知识点的梳理）1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆22221x ya b+=（a＞b＞0）的参数方程是＿＿＿＿＿＿规定ϕ的取值范围为＿＿＿＿＿＿2、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线22221x ya b-=的参数方程是＿＿＿＿＿＿中心在原点，焦点在y轴上的双曲线22221y xa b-=的参数方程是＿＿＿＿＿＿规定参数ϕ的取值范围＿＿＿＿＿＿如何判断焦点的位置＿＿＿＿＿＿三、例题演练：例1、A、B分别是椭圆221369x y+=的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程。
练习1．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是( ) A ．(0，－43)，(0，43)B ．(－43，0)，(43，0)C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0)2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为 ( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)3．与方程xy ＝1等价的曲线的参数方程(t 为参数)是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t －2 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ，y ＝csc t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝sec t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝cot t 4．双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec 2，y ＝tan 2的顶点坐标为________． 5．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ＋1，y ＝3tan θ(θ为参数)的焦点坐标是________．。
高三数学下册《曲线的参数方程》教案、教学设计
5.教学资源：
（1）充分利用多媒体教学资源，如PPT、动画、视频等，增强课堂教学的直观性和趣味性。
（2）提供丰富的课后学习资源，如网络课程、数学软件等，方便学生自主学习。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课堂开始时，我将通过一个生动的实例来导入新课。我会向学生展示一个视频，内容是一个摩天轮的运动过程。摩天轮的运动形成了一个圆的轨迹，这个轨迹实际上就是一个曲线。我会引导学生观察摩天轮的运动，并提出问题：“摩天轮的运动轨迹可以用什么方式来描述？”通过这个问题，学生会自然地联想到我们之前学习的坐标系和方程。接着，我会引入曲线参数方程的概念，告诉学生我们将要通过参数方程来描述这样的曲线运动。
（2）关注学生的学习反馈，及时调整教学进度和教学方法，提高教学效果。
（3）注重培养学生的数学思维能力，引导学生从不同角度分析问题，提高解决问题的能力。
4.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、合作交流、自主学习等方面的表现。
（2）终结性评价：通过课后作业、阶段测试等方式，评价学生对曲线参数方程知识的掌握程度。
1.教学方法：
（1）采用情境导入法，以实际生活中的曲线运动为例，引出曲线参数方程的概念，激发学生的学习兴趣。
（2）运用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究、合作交流，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
（3）通过实例分析和课堂练习，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
2.教学过程：
（1）导入：以生活中的曲线运动为例，如圆周运动、行星运动等，引出曲线参数方程的概念。
5.创设有趣、富有挑战性的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
证明：设双曲线为 x2－y2＝a2，取顶点 A(a,0)， 弦 B′B∥Ox，B(asecα，atan α)，则 B′(－asecα，atan α)． atan α atan α ∵kB′A＝ ，kBA＝ ， －asecα－a asecα－a ∴kB′A·BA＝－1. k ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点.
[读教材· 填要点] 1．双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点， 焦点在 x 轴上的双曲线a2－b2＝1 的参数方程是 x＝asecφ π 3π φ∈[0,2π)且 φ≠2，φ≠ 2 y＝btan φ 规定参数 φ 的取值范围为 y2 x2 (2)中心在原点， 焦点在 y 轴上的双曲线a2－b2＝1 的参数方程是 x＝btan φ y＝asecφ .
x2 y2 设椭圆a2＋b2＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3. x2 y2 ∴方程为25＋ 9 ＝1. 设椭圆上一点 P(5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为 3x－4y＝0， |3×5cos θ－12sin θ| ∴点 P 到直线的距离 d＝ 5 3| 41sin θ－φ| 5 ＝ (tan φ＝4)． 5 3 41 ∴dmax＝ 5 .
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程教学目标：1. 了解双曲线的定义和性质。
2. 学会如何求解双曲线的标准方程。
3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。
教学内容：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义1.2 双曲线的性质第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程2.2 双曲线标准方程的求解方法第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义3.2 渐近线与双曲线的关系第四章：双曲线的焦点和顶点4.1 焦点的定义和性质4.2 顶点的定义和性质第五章：双曲线的参数方程5.1 参数方程的定义5.2 双曲线的参数方程求解方法教学过程：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义【讲解】双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差等于常数的点的轨迹。
【例题】求点P(x, y)到两个定点F1(-3, 0)和F2(3, 0)距离之差等于4的点的轨迹方程。
1.2 双曲线的性质【讲解】1. 双曲线的中心在原点。
2. 双曲线的焦点在x轴上。
3. 双曲线的实轴是连接两个焦点的线段。
4. 双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【练习】判断双曲线的焦点位置和渐近线方程。
第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程【讲解】双曲线的标准方程为：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。
【例题】求双曲线的标准方程，已知焦点在x轴上，实轴长为2a，焦距为2c。
2.2 双曲线标准方程的求解方法【讲解】求解双曲线标准方程的方法有：1. 直接法：根据双曲线的定义和性质，列出方程。
2. 代换法：将双曲线的参数方程代入标准方程求解。
【练习】求解双曲线的标准方程，给定焦点和实轴长。
第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义【讲解】双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【例题】求双曲线的渐近线方程，已知双曲线的标准方程为x^2/4 y^2/3 = 1。
3.2 渐近线与双曲线的关系【讲解】渐近线与双曲线相交于两个点，这两个点的坐标满足双曲线的方程。
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
[研一题] [ 例 3]
x＝4secθ， y＝3tan θ
如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线 (θ 为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双
曲线渐近线的最大距离．
[精讲详析]
本题考查椭圆及双曲线的参数方程， 解答本题需
要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条 件求出椭圆的参数方程求解即可． x2 y2 ∵16－ 9 ＝1，∴右焦点(5,0)，右顶点(4,0)．
设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长 线上， M 为线段 OP 且
x＝2t， 的中点， 抛物线的参数方程为 y＝2t2，
x0＝4t， 由中点坐标公式得 y0＝4t2，
1 2 变形为 y0＝4x0，即 x2＝4y. 表示的为抛物线．
[悟一法] 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需 要引入一个中间变量即参数(将 x，y 表示成关于参数的函数)，然 后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点 的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
p p F(2，0)，准线 x＝－2，设准线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可 得|EM|＝|MF|，所以△MEF 是正三角形，在 Rt△EFA 中，|EF| p ＝2|FA|，即 3＋2＝2p，得 p＝2.
2020最新人教B版高中数学-选修4-4教学案-第二章-抛物线、双曲线的参数方程 (Word)
y－(tan α＋tan β)
＝－[x－(sec α＋sec β)]．
将P(x0,0)代入上式，得
x0＝(sec α＋sec β)．
∵A，B是双曲线同支上的不同两点，
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．
解：(1)由α∈[0,2π)
得x2＋y＝1，x∈[－1,1]．
(2)由ρsin＝－得
曲线D的普通方程为x＋y＋2＝0.
由得x2－x－3＝0.
解得x＝∉[－1,1]，故曲线C与曲线D无公共点.
双曲线参数方程的应用
[例2] 在双曲线x2－y2＝1上求一点M，使M到直线y＝x的距离为.
二、填空题
5．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线上，则|PF|＝________.
解析：抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|等于点P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.
答案：4
6．已知抛物线C：设O为坐标原点，点M在C上运动(点M与O不重合)，P(x，y)是线段OM的中点，则点P的轨迹的普通方程为________．
[精解详析] ∵－＝1，
∴右焦点为(5,0)，右顶点为(4,0)．
设椭圆＋＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3.
∴方程为＋＝1.
设椭圆上一点P(5cos θ，3sin θ)，
双曲线一渐近线为3x－4y＝0，
∴点P到直线的距离d＝
＝.
∴dmax＝.
对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同．当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．
双曲线的参数方程教案
篇一：2-2-2双曲线的参数方程学案2-2-2双曲线的参数方程学案【使用课时】：1课时【学习目标】：1. 知识与技能：了解双曲线的参数方程及参数的的意义2. 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程3. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识【学习重点】：双曲线数方程的定义和方法【学习方法】：分组讨论学习法、探究式；【学习过程】：一、课前准备复习1：圆x2+y2=r2(r&0)的参数方程圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程:22复习2：椭圆 x? y? 1 (b ? 0 ) 的参数方程为。
a ?22ab二、新课导学学习探究x2y2212ab探究任务一：1.双曲线的参数方程的推导：双曲线参数方程xasecx2y21双曲线 2 2 的参数方程为 ?ab?y?btan?注：（1）?的范围__________________________（2）?的几何意义___________________________【例1】：双曲线{x??y?6sec?(?为参数）的两焦点坐标是。
x2y2如图，设m为双曲线2?2?1(a?0,b?0)任意一点，o为原点，例2、 ab过点m作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于a，b两点。
探求平行四边形maob的面积，由此可以发现什么结论？过关检测a1、求双曲线{x?23sec?y?43tan?的两个焦点坐标___________x?t3sec??tb2、双曲线{(?为参数)的渐近线方程为______________x??y?tan?t?t3．方程（t为参数）的图形是。
y??{eeeex1(a14．已知某条曲线的参数方程为：2a) 其中a是参数。
则该曲线是（y?12(a?1a)a 线段 b 圆c 双曲线的一部分d 圆的一部分5．求过p（0，1）到双曲线x2?y2?1最小距离的直线方程。
6．设p为等轴双曲线x2?y2?1上的一点，f1，f2为两个焦点，f1p?f2p?op2 ）证明课外作业1x?t? t1．已知参数方程 1 (t 是参数, t &0)化为普通方程,画出方程的曲线.y?t?tx?asec,?2．参数方程 ( ? 是参数 ? ? ? )表示什么曲线?,画出方程的曲线y?btan?22x2y23.若双曲线2?2?1(b?a?0)上有两点a,b与它的 ab中心的连线互相垂直.11为定值. 求证: 22|oa||ob|篇二：双曲线的参数方程导学案2.4双曲线的参数方程导学案篇三：高二数学北师大版选修4-4《双曲线的参数方程》教案石泉中学课时教案篇四：5双曲线的参数方程学案双曲线的参数方程学习目标:1.建立椭圆双曲线的参数方程，正确理解参数的几何意义2.利用参数方程解决一些简单的问题学习重难点：参数方程的应用预习案一、复习回顾：探究案例1：求过（0,1）到曲线x2?y2?1的最小距离x2y2y2x2椭圆2?2?1(a?b?0)和2?2?1(a?b?0)的参数方程是？参数的意义abab二、新课预习：1、双曲线参数方程的构建x2y2例2 设m为双曲线2?2?1(a?b?0)上任意一点，o为原点，过电m作双曲线两渐近线的 ab平行线，分别与两渐近线交与a,b两点，探求平行四边形maob的面积，由此可发现什么结论？问题：以原点o为圆心,a,b?a?0,b?0?为半径分别作同心圆c1,c2.设a为圆c1上任一点,作直线oa,过点a作圆c1的切线aa`与x轴交于点a`,过圆c2与x轴的交点b作圆c2的切线bb`与直线oa交于点b`.过点a`,b`分别作y轴,x轴的平行线a`m,b`m交于点m.求点m轨迹的参数方程。
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
[悟一法] 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲 线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解 过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可 将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．
[通一类] 1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶 点．
证明：设双曲线为 x2－y2＝a2，取顶点 A(a,0)， 弦 B′B∥Ox，B(asecα，atan α)，则 B′(－asecα，atan α)． atan α atan α ∵kB′A＝ ，kBA＝ ， －asecα－a asecα－a ∴kB′A·BA＝－1. k ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点.
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为
x＝2pt2 y＝2pt
，t∈ R .
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点 连线的 斜率的倒数 ．
[小问题·大思维]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？ 提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点 M的离心角)，而不是OM的旋转角．
高中高三数学《曲线的参数方程》教案、教学设计
2.联系实际：介绍曲线参数方程在现实生活中的应用，如机器人运动、航空航天等领域。激发学生的兴趣，使他们认识到学习曲线参数方程的重要性。
3.教师点评：对各小组的讨论成果进行点评，强调重点，纠正错误，引导学生深入理解曲线参数方程。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖本节课的教学内容，让学生独立完成。
2.针对不同层次的学生，设计难易程度不同的题目，使每个学生都能得到锻炼和提高。
3.教师巡回指导，解答学生的疑问，及时发现问题，进行个别辅导。
-利用数学软件进行曲线绘制和计算，提高学生运用现代技术解决问题的能力。
2.教学过程：
（1）导入新课：通过一个实际问题，如圆的滚动，引出曲线参数方程的概念。
（2）探究新知：引导学生观察曲线图形，探索参数方程的规律，理解参数的几何意义。
（3）巩固知识：通过例题讲解和练习，使学生掌握参数方程的常见形式及其应用。
-例如，一辆汽车沿着一个半径为500米的圆形道路行驶，求汽车行驶半圈（π弧度）时的位移和路程。
3.提高拓展题：
-探讨曲线参数方程在物理学、工程学等领域的应用，举例说明，并简要阐述其原理。
-研究参数方程与极坐标方程之间的联系与区别，给出具体的例子进行说明。
4.创新思维题：
-假设你是一名科学家，请运用曲线参数方程解决一个尚未解决的物理或几何问题，并描述你的思考过程。
-理解参数方程中参数的几何意义，如极径、角度等。
-将曲线参数方程应用于实际问题，培养学生学以致用的能力。
（二）教学设想
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其标准方程。
2. 掌握双曲线的基本几何性质，包括渐近线方程、离心率、焦距等。
3. 能够应用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容：1. 双曲线的定义与标准方程2. 双曲线的渐近线方程3. 双曲线的离心率4. 双曲线的焦距5. 双曲线与其他几何图形的关系三、教学重点与难点：1. 重点：双曲线的定义、标准方程及其几何性质。
2. 难点：双曲线渐近线方程的推导，离心率、焦距的计算。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解双曲线的特点。
3. 注重个体差异，鼓励学生提问和发表见解。
五、教学过程：1. 导入：回顾椭圆的几何性质，引导学生思考双曲线的定义及其与椭圆的区别。
2. 新课：讲解双曲线的定义与标准方程，引导学生理解双曲线的图形特点。
3. 探究：让学生自主探究双曲线的渐近线方程，教师给予指导。
4. 讲解：讲解双曲线的离心率和焦距的计算方法，结合实际例子进行演示。
5. 应用：布置练习题，让学生运用双曲线的几何性质解决实际问题。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点和难点。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的情况。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，巩固所学知识。
3. 练习题解答：评估学生在练习题中的表现，了解其对双曲线几何性质的掌握程度。
4. 课堂讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高其分析和解决问题的能力。
七、教学资源：1. 教案、PPT课件2. 数学教材3. 练习题及答案4. 几何画图软件（可选）八、教学进度安排：1. 第一课时：双曲线的定义与标准方程2. 第二课时：双曲线的渐近线方程3. 第三课时：双曲线的离心率4. 第四课时：双曲线的焦距5. 第五课时：双曲线与其他几何图形的关系九、教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏。
中职双曲线解题教案
中职双曲线解题教案教案标题：中职双曲线解题教案教学目标：1. 了解双曲线的定义、性质和基本图像特征；2. 掌握双曲线的标准方程和参数方程的表示方法；3. 学会利用双曲线的性质解决实际问题。
教学内容：1. 双曲线的定义和基本性质；2. 双曲线的标准方程和参数方程；3. 双曲线的图像特征；4. 利用双曲线解决实际问题的方法。
教学步骤：Step 1: 引入双曲线的概念和基本性质（15分钟）- 向学生介绍双曲线的定义和基本性质，包括焦点、准线、离心率等概念；- 提供一些实际生活中与双曲线相关的例子，引发学生的兴趣。
Step 2: 讲解双曲线的标准方程和参数方程（20分钟）- 详细讲解双曲线的标准方程和参数方程的表示方法；- 通过示例演示如何根据给定的参数绘制双曲线。
Step 3: 分析双曲线的图像特征（15分钟）- 向学生介绍双曲线的图像特征，包括对称轴、渐近线等；- 通过绘制图像和观察图像特征，帮助学生深入理解双曲线的性质。
Step 4: 实例解题演练（30分钟）- 提供一些实际问题，要求学生利用双曲线的性质解决问题；- 引导学生分析问题，确定解题思路，并进行解答。
Step 5: 总结与归纳（10分钟）- 对本节课学习的重点进行总结和归纳；- 强调双曲线的重要性和应用领域。
教学资源：1. 教材：包含双曲线相关知识点的教材；2. 白板和马克笔：用于讲解和演示；3. 实例题目：提供给学生进行解题练习。
教学评估：1. 课堂练习：在课堂上布置一些练习题，检查学生对双曲线的理解和应用能力；2. 个人作业：布置一些与课堂内容相关的作业，要求学生独立完成；3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题思路和方法，促进合作学习。
教学扩展：1. 深入研究双曲线的性质和应用，拓展学生的数学思维；2. 引导学生进行实际生活中的应用探究，如抛物线的应用等；3. 鼓励学生参加数学竞赛，提高解决问题的能力。
通过以上教案，学生将能够全面了解双曲线的定义、性质和基本图像特征，掌握双曲线的标准方程和参数方程的表示方法，并能够利用双曲线的性质解决实际问题。
双曲线、抛物线的参数方程学案
§2-2-2双曲线的参数方程学案一、复习圆、椭圆的数方程二、新课导学学习探究探究任务一：双曲线的参数方程的推导：把下列普通方程化为参数方程,把参数方程化为普通方程.22(1)149x y -= 22(2)116y x -=设P 为等轴双曲线122=-y x 上的一点，1F ，2F 为两个焦点，证明221OP P F P F =⋅ 3sec (3)(5tan x y φφφ=⎧⎨=⎩为参数）8sec (4)(10tan x y φφφ=⎧⎨=⎩为参数）过关检测1．已知参数方程 (t 是参数)化为普通方程，并说明它是什么曲线。
2．参数方程 化为普通方程，并说明它是什么曲线。
3．求过P （0，1）到双曲线122=-y x 最小距离的直线方程。
4.设P 为等轴双曲线221x y -=上的一点，求证：P 到两渐近线的距离这积是常数。
sec tan x a y b αα==(,)22ππαα-<<是参数3sec {()tan x y φφφ==把双曲线的参数方程为参数化为普通方程,并求它的焦点,离心率和渐近线方程.{t t t t x y e e e e--=+=-§2-2-3抛物线的参数方程学案探究任务二：抛物线参数方程的推导：以()220x px p =>为例写出抛物线的四种不同形式方程对应的参数方程？并说出参数表示的意义。
◆应用示例例1．如图，O 是直角坐标原点，A ，B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点的两动点，且OA OB ⊥，求点A 、B 在什么位置时，ABC 的面积最小？最小值是多少？ 解：x课后作业1、下列参数方程中，表示焦点在x 轴，实轴长为2的等轴双曲线的是（ ）A 、2cos ()2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数 B 、2sec ()2tan x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数 C 、sec ()tan x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数 D 、tan ()sec x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数 2、已知抛物线22()2x tt y t =⎧⎨=⎩为参数，则它的焦点坐标为（ ）A 、()0,1B 、10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C 、()1,0 D 、1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3、对下列参数方程表示的图形说法正确的是（ ）①14()x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 ②cos ()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数A 、①是直线、②是椭圆B 、①是抛物线、②是椭圆或圆C 、①是抛物线的一部分、②是椭圆D 、①是抛物线的一部分、②是椭圆或圆5、已知A 、B 、C 是抛物线22y px =上的三个点，且BC 与x 轴垂直，直线AB 、AC 分别与抛物线的对称轴交于D 、E 两点。
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长 线上， M 为线段 OP 且
x＝2t， 的中点， 抛物线的参数方程为 y＝2t2，
x0＝4t， 由中点坐标公式得 y0＝4t2，
1 2 变形为 y0＝4x0，即 x2＝4y. 表示的为抛物线．
[悟一法] 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需 要引入一个中间变量即参数(将 x，y 表示成关于参数的函数)，然 后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点 的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
平方得 1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即 5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 3 解得 sin φ＝1 或 sin φ＝－5. sin φ＝1 时，cos φ＝0(舍去)． 3 4 sin φ＝－5时，cos φ＝± . 5 5 3 5 3 ∴P 的坐标为(4，－4)或(－4，4)．
[通一类] 2．已知抛物线
x＝2t2 C： y＝2t
(t 为参数)，设 O 为坐标原点，点 M
在抛物线 C 上，且点 M 的纵坐标为 2，求点 M 到抛物线焦点 的距离．
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
x＝ 5cos 解析：由 y＝sin θ
θ
x2 2 (0≤θ≤π)得 5 ＋y ＝1(y≥0)，
52 x＝ t 5 2 4 由 (t∈R)得 x＝4y . y＝t
2 x ＋y2＝1， 5 联立方程可得 x＝5y2 4
则 5y4＋16y2－16＝0，
4 5 2 2 解得 y ＝5或 y ＝－4(舍去)，则 x＝4y ＝1.
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为
x＝2pt2 y＝2pt
，t∈ R .
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点 连线的 斜率的倒数 ．
[小问题·大思维]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？ 提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点 M的离心角)，而不是OM的旋转角．
[通一类] 2．已知抛物线
x＝2t2 C： y＝2t
(t 为参数)，设 O 为坐标原点，点 M
在抛物线 C 上，且点 M 的纵坐标为 2，求点 M 到抛物线焦点 的距离．
x＝2t2 解：由 y＝2t
教案：双曲线的参数方程.doc
课 题:双曲线的参数方程教学目的：1.理解双曲线的参数方程, 初步掌握双曲线的参数方程与普通方程的互化2. 会利用双曲线的参数方程解决一些简单的问题教学重点：双曲线参数方程的建立及简单应用教学难点：双曲线参数方程的应用教学方法：师生共同讨论法教学过程：一、复习引入：椭圆的参数方程和几何意义是什么？二、讲解新课：1.双曲线参数方程的建立：能否仿照椭圆参数方程的求法，推导双曲线的参数方程？如图，以原点O 为圆心，分别以a,b 为半径作两个同心圆12,C C ，设A 为圆1C 上任一点，作最小OA ，过A 作圆1C 的切线AA '与x 轴交于点A '，过圆2C 与x 轴的交点B作圆2C 的切线BB '与直线OA 交于点B '，过点,A B ''分别作y 轴,x 轴的平行线,A M B M ''交于点M ．设以Ox 为始边，OA 为终边的角为φ，M 的坐标为(x,y) ，则(,0),(,)A x B b y ''．设(cos ,sin )A a a ϕϕ,则(cos ,sin ),(cos ,sin ).OA a a AA x a a ϕϕϕϕ'==--因为OA AA '⊥ ，所以0OA AA '= ，从而有2cos (cos )(sin )0,a x a a ϕϕϕ--= 解得.cos a x ϕ=记1sec cos ϕϕ=，则sec .x a ϕ=．又∵tan y b ϕ=，即tan y b ϕ=． 所以M 点的轨迹方程是()sec tan x a y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数2.深化讨论：①易知22sec tan 1ϕϕ-=，所以以上参数方程可化为22221x y a b -=． ②通常规定：3[0,2),22ππϕπϕϕ∈≠≠且． ③ϕ是OA 旋转角（称为离心角），不是OM 的旋转角．三、例题：例1．如图，设M 为双曲线22221(,0)x y a b a b+=> 上任意一点,O 为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于,A B 两点．探求平行四边形MAOB 到直线的面积，由此可以发现什么结论？ 答案：()2ABCD ab S = 定值 例2．已知双曲线1sec 3(,02,,)tan 22x a C y b θππθθπθθθ=⎧≤<≠≠⎨=⎩：为参数且和双曲线 2tan 3(,02,,)sec 22x a C y b θππθθπθθθ=⎧≤<≠≠⎨=⎩：为参数且，设连结12,C C 的四个顶点所成的四边形的面积为1S ，连接四个焦点所成的四边形的面积为2S ，求12S S 的最大值． 答案：1/2四、课堂练习：1. 把下列参数方程化为普通方程：5sec 5sec 33(1),02,(2),23tan 4tan 222x x y y θθπππθθπθθθθπθθ==⎧⎧⎛⎫⎛⎫≤<≠≠<<⎨⎨ ⎪ ⎪==⎝⎭⎝⎭⎩⎩为参数，且，，为参数 2．直接用双曲线的普通方程求解例1．五．课堂小结：双曲线的参数方程及参数的几何意义．六．课外作业：(1) 第34页，第3题．(2)求双曲线5sec 3,024tan 22x y θππθθπθθθ=⎧⎛⎫≤<≠≠⎨ ⎪=⎝⎭⎩为参数，且，，的离心率和渐近线方程．。
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1.13《双曲线和抛物线的参数方程》教学案
一、学习目标
(1).双曲线、抛物线的参数方程.
(2).双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系.
(3).通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力
二、学习重难点
学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导
学习难点：(1)双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2)双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化
三、学法指导：
认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习
四、知识链接:
焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________ 焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________
五、学习过程
(阅读教材29-34完成)
(一)双曲线的参数方程
1双曲线),(0012222
>>=-b a b y a x 的参数方程___________________________
注：(1)ϕ的范围__________________________
(2)ϕ的几何意义___________________________
2双曲线),(0012222
>>=-b a b x a y 的参数方程___________________________
(二)抛物线的参数方程
抛物线)(022>=p px y 的参数方程___________________________
(三)典型例题
六、课堂练习：
、 的轨迹方程。
，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y B A O ⊥⊥>=,)0(2,12
_
__________的两个焦点坐标tan sec {、求双曲线αα34321==y x ______________的渐近线方程为)为参数(tan sec {、双曲线ϕϕϕ==y x 32的轨迹方程。
的中点，求点线段为，点),(上的动点，给定点为抛物线、设P M M P M x y M 0020123-=。