2014年江苏高考数学试题及详细答案(含附加题)

2014年江苏高考数学试题

数学Ⅰ试题

参考公式:

圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B = ．

【答案】{13}-，

2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ． 【答案】21

3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】5

4．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】13

5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3

π

的交点，则ϕ的值是 ． 【答案】

6

π 6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24

7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ． 【答案】4

8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294

S S =，则

1

2

V V 的值是 ． 【答案】32

9．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 2555

10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】20⎛⎫ ⎪⎝⎭

11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x =+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的

切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3-

12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，

，则AB AD ⋅的 值是 ． 【答案】22

13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21

()22

f x x x =-+．

若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()

102

，

14．若ABC ∆的内角满足sin 22sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ．

62

- 二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．(本小题满分14 分)已知()

2

απ∈π，

，5sin α= （1）求()

sin 4

απ+的值；

（2）求()

cos 26

α5π-的值．

【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 力. 满分14分.

（1）∵()

5sin 2ααπ∈π，，，

∴225

cos 1sin αα=-

()

210sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=++=；

（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55

αααααα==-=-=，

∴()()

3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-=

16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．

（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．

【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥P A

∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA ==

∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC ==

∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC

EF E = ∴DE ⊥平面ABC

∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．

17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆2

222

1(0)

y x a b a b +=>>的左、

右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1

FC ． （1）若点C 的坐标为()

41

33

，，且22BF =

（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．

【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力. 满分14分.

（1）∵()

41

33C ，，∴22161

999a b

+=

∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =

∴椭圆方程为2

212

x y += （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，

∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -， ∵2B F A ，，三点共线，∴b y

b c x

+=--，即0bx cy bc --=①

∵1

FC AB ⊥，∴1y

b x

c c

⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222

2

22ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩

∴()

2222222a c bc C b c b c --， ∵C 在椭圆上，∴

()(

)2

2

2222

22

2

2

21a c

bc b c b c a b --+

=，

化简得225c a =，∴

5

c a = 5

18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3

BCO ∠=． （1）求新桥BC 的长；

（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？

解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形

等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 解法一：

(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角

坐标系xOy .

由条件知A (0, 60)，C (170, 0)，