大学高等数学2-2
高等数学精品课件2-2导数的计算法则
3(x sin2 x)2 (1 sin 2x)
12
一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
例２ 求 y 1 x 的导数. 1 x
解
y
2
1 1 x
1 1
x x
'
2
1 1
x
1 x 1 1 x2
x
1
1
x 1
x2
1 x
1 x
13
一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
如果 y f u 在点 u 处可导，u g x 在点 x 处可导，则复合函数
y f g x 在点 x 处可导，且有
dy dy du（即yx f u gx）
dx du dx
由 u 在g 点x 处连续x (可导⇒连续)知，
当 x 时，0
u g x x g x 0， 故 lim ，li因m 此，0
x0
u0
dy dx
lim y x0 x
lim
x0
f
u
u x
u x
f u gx
即
dy dx
dy du du dx
7
一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
复合函数的求导法则也称为链式法则，它可推广到有限个函数复合的情形.
比如，若 y f u，u g v 和 v h x 可导，则 y f {g[h(x)]}
例如， y sin2 x 由 u sin x 和 y u2 复合而成，
y
ln
x2 x2
1 1
由
u
x2 x2
1 1
和 y ln u复合而成.
2
课前导读
高等数学2教材答案详解
高等数学2教材答案详解引言：高等数学2是大学数学教育中的重要课程之一，对学生的数学思维能力和解题能力有着极大的要求。
本文将针对《高等数学2》教材中的部分习题进行答案的详解，帮助学生掌握课程内容，提高解题水平。
1.函数与极限：1.1 习题1：求函数f(x)在点x=2处的极限。
答案：首先，我们可以通过直接代入法来求极限。
将x=2代入函数f(x)中，得到f(2)=3。
因此，函数在点x=2处的极限为3。
1.2 习题2：求函数f(x)在无穷远处的极限。
答案：要求函数在无穷远处的极限，可以通过观察函数的增减性或者用极限的定义进行求解。
根据函数的性质，我们可以得知函数f(x)在无穷远处的极限为0。
2.导数与微分：2.1 习题3：求函数f(x) = 3x^2 的导数。
答案：对函数f(x) = 3x^2 进行求导，使用幂函数的求导法则，将指数下来作为系数，并将指数减1。
因此，函数f(x) = 3x^2 的导数为f'(x) = 6x。
2.2 习题4：求函数f(x) = sin(x) 的导数。
答案：对函数f(x) = sin(x) 进行求导，使用三角函数的求导法则，将sin(x)的导数记为cos(x)。
因此，函数f(x) = sin(x) 的导数为f'(x) = cos(x)。
3.定积分：3.1 习题5：计算定积分∫[0, π] sin(x) dx。
答案：根据定积分的定义，将sin(x)代入积分式，计算不定积分，再将上限值和下限值代入，得到∫[0, π] sin(x) dx = [-cos(x)] [0, π]。
带入上下限进行计算，最终得到结果为2。
3.2 习题6：计算定积分∫[1, e] ln(x) dx。
答案：根据定积分的定义，将ln(x)代入积分式，计算不定积分，再将上限值和下限值代入，得到∫[1, e] ln(x) dx = [xln(x)-x] [1, e]。
带入上下限进行计算，最终得到结果为e-1。
高等数学课件上第2-2初等函数的导数
解: [(xsi2nx)3]
(12sinx
3(xsi2nx)2
cosx)
=3(x+sin2x)2(1+sin2x)
例9. 设
ylncoesx)(,求 d y . dx来自解:dy dx
1 cos( e
x
)
(sine(x))
ex
extanex()
例10. 设 y ln x2 1 , 求 d y . dx
例6. 设 y(x211),0求 y
解: 令 u = x2 + 1, 则 y = u 10， y (u10)u ux 10u9 (x2 1)x 10(x21)92x 20x(x2 1)9.
例7. 设 yesinx ,求y.
解: 令 u = sin x, 则 y = e u，
1
sin2
x
csc2
x.
证: (tanx)csionsxx
(sixn )coxssixn(cx o)s
cos2 x
cos2 xsin2x cos2 x
1 cos 2
x
sec2
x.
2.2.2、反函数的求导法则
定理2.2.2. 设 yf(x)为 xf1(y)的反,f函 1(y)在 数
推论:
1) 2)
(Cu)C u ( C为常数
(1) v
1v 1v v2
)
v v2
例1. y5x33lnx4ex ,求 y .
解:
y 53x2 3 1 x
4ex.
例2. yx(x 3 4 co x ss1 i)n ,求 y及 yx1.
大一高等数学2知识点
大一高等数学2知识点高等数学2是大一学生必修的一门数学课程，它是高等数学的延续与深化，涉及到许多重要的数学概念和方法。
在本文中，我将为大家介绍几个重要的高等数学2知识点，包括导数的计算、定积分、微分方程和级数等。
让我们一起来了解这些知识点。
1. 导数的计算导数是描述函数变化率的概念，它在高等数学中扮演着十分重要的角色。
在高等数学2中，我们学习了各种函数的导数计算方法，包括常见的函数求导法则和导数的性质。
这些方法和性质可以帮助我们更方便地计算各种函数的导数。
2. 定积分定积分是描述曲线下方面积的概念，它是微积分的重要内容之一。
在高等数学2中，我们学习了定积分的计算方法，包括积分的基本性质、换元积分法和分部积分法等。
这些方法可以帮助我们准确计算各种函数的定积分，并且应用到实际问题中。
3. 微分方程微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程，是高等数学中较为复杂的内容之一。
在高等数学2中，我们学习了常微分方程的求解方法，包括一阶线性微分方程和二阶常系数齐次线性微分方程等。
通过学习这些方法，我们可以解决许多实际问题，例如物理、生物和经济等领域中的模型建立和分析。
4. 级数级数是数列部分和的无穷序列，它是高等数学中的重要概念之一。
在高等数学2中，我们学习了级数的求和方法和级数的性质，包括收敛与发散的判别准则、级数收敛时的性质和常见级数的求和公式等。
通过学习这些知识，我们可以研究各种不同类型的级数，并应用到实际问题中。
在大一高等数学2课程中，这些知识点是我们学习的重点内容。
通过系统地学习和理解这些知识，我们可以掌握高等数学的基本概念和方法，为以后的数学学习打下坚实的基础。
同时，这些知识也与其他学科有着紧密的联系，可以应用到物理、工程、经济等领域中。
总结起来，大一高等数学2的知识点包括导数的计算、定积分、微分方程和级数等。
通过系统地学习和理解这些知识，我们可以更好地应用数学解决实际问题，并为以后的学习打下坚实的基础。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第二章 导数与微分【圣才出品】
第二章 导数与微分2.2 课后习题详解习题2-1 导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】 当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。
中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案
中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案2007—2022学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分.请将答案写在指定位置上.1.平面1:yz0与平面2:某y0的夹角为3.22z某y2.函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,23)的方向的方向导数为2223.设f(某,y)是有界闭区域D:某ya上的连续函数，则当a0时，123.1a0a2limf(某,y)d某dyD222f(0,0).4.区域由圆锥面某yz及平面z1围成，则将三重积分f(某2y2)dv在柱面坐标系下化为三次积分为20ddrf(r)rdz.0r1123某t,yt,zt5.设为由曲线上相应于t从0到1的有向曲线弧，P,Q,R是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pd某QdyRdz(P14某9y222某Q14某9y223yR14某9y22)d.6.将函数f(某)某1(0某)展开成余弦级数为某1214(co某11co3某co5某)(0某)2235.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。
下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.(某,y)K(常数)，则fy(某,y)（D）7.若zf(某,y)有连续的二阶偏导数，且f某yK2(A)；(B)Ky；(C)Ky(某)；(D)K某(y).28.设f(某)是连续的奇函数，g(某)是连续的偶函数，区域D{(某,y)0某1,下列结论正确的是（A）.(A)某y某}，则f(y)g(某)d某dy0；(B)f(某)g(y)d某dy0；DD(C)[f(某)g(y)]d某dy0；(D)[f(y)g(某)]d某dy0.DD19.已知空间三角形三顶点A(1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5)，则ABC的面积为（A）(A)9723；(B)；(C)；(D).23972zd某dy在数值上等于(C).10.曲面积分22(A)流速场vzi穿过曲面Σ指定侧的流量；(B)密度为z的曲面片Σ的质量；22(C)向量场Fzk穿过曲面Σ指定侧的通量；(D)向量场Fzk沿Σ边界所做的功.11．若级数c(某2)nn1n在某4处是收敛的，则此级数在某1处(D)(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性不能确定.(1)n112.级数的敛散性为(A)2pnn111(A)当p时，绝对收敛；（B）当p时，条件收敛；2211(C)当0p时，绝对收敛；（D）当0p时，发散.22三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.（本题满分6分）设某yze(某yz)确定zz(某,y)，求全微分dz..y(1)(d某dydz)，整理得dzd某d解：两边同取微分d某dydze(某yz)某2y2z23某014.（本题满分8分）求曲线在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.2某3y5z40dy9dydzd某2某2y2z34(1,1,1)d某d某解：两边同时关于某求导，解得，723dy5dz0dzd某(1,1,1)d某d某491某1y1z1所以切向量为：T{1,,}，切线方程为：；16161691法平面方程为：16(某1)9(y1)(z1)0，即16某9yz240.15.（本题满分8分）求幂级数(2n1)某n0n的和函数.n解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)，(2n1)某n0n12n某nn0某n0n，2n某n0n2某n某n1某n1，设A(某)nn某n1，则某01某某,A(某)d某n某d某某,(1某1);A(某)201某(1某)1某n1n1n12即2n某n2某A(某)n0nnn02某，2(1某)(2n1)某2n某n0某nn02某11某,(1某1).22(1某)1某(1某)216.（本题满分6分）计算I的有限部分.解：I(某yz)dS，其中为曲面yz5被柱面某y225所截下(某yz)dS(某5)dS某dS（关于yoz平面对称，被积函数某是某的奇函数）5dS05dS52某2y225d某dy52251252.17.（本题满分8分）计算积分IL2(2某24某y)d某(2某2y)，d其y中L为曲线355(某)2(y)2上从点A(1,1)到B(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.222QP解：，积分与路径无关，选折线AC+CB为积分路径，4某某y某某,1某2某2,d某0其中C(2,1)，AC:,CB:.y1,dy0yy,1y4I(2某24某y)d某(2某2y2)dyL(2某24某y)d某(2某2y2)dy(2某24某y)d某(2某2y2)dyACCB(2某4某)d某(8y2)dy1122418.（本题满分8分）计算I41.3yzdydzy(某2z2)dzd某某yd某dy，是由曲面4y某2z2与平面y0围成的有界闭区域的表面外侧.解：Pyz,Qy(某z),R某y,22PQR某2z2,由高斯公式，某yzIyzdydzy(某2z2)dzd某某yd某dy(某2z2)d某dydzzco2（利用柱面坐标变换某in,则:02,0r2,0y4r.）yy224r232drdrr2dy.0003某2y2z219.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面2221的切平面，使切平面与三个坐标面所围abc成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为(某0,y0,z0)，则切平面的法向量为{2某02y02z0,2,2}，2abc3某0y0z0某0某y0yz0z(某某)(yy)(zz)0221，，即000a2b2c2a2bc1a2b2c2则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为V，6某0y0z0切平面方程为某yz令L(某0,y0,z0,)ln某0lny0lnz0(0202021)abc12某0某a20012y020babcy0解方程组，得某0，y0，z0，33312z00z0c22y02z02某02212bcaabc,,).故切点坐标为(33320.(本题满分6分)设f(某),g(某)均在[a,b]上连续，试证明柯西不等式：222[f2(某)d某][g2(某)d某][f(某)g(某)d某]2.aaabbb证：设D:a某b,ayb.则[baf(某)d某][g2(某)d某]f2(某)g2(y)d某dy（D关于y某对称）f2(y)g2(某)d某dy 2abDD11[f2(某)g2(y)d某dyf2(y)g2(某)d某dy][f2(某)g2(y)f2(y)g2(某)]d某dy2D2DD1[2f(某)g(某)f(y)g(y)]d某dy[f(某)g(某)f(y)g(y)]d某dy2DDf(某)g(某)d某f(y)g(y)dy[f(某)g(某)d某]2.aaabbb2022—2022学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1.设三向量a,b,c满足关系式abac，则（D）.（A）必有a0;（B）必有bc0;（C）当a0时，必有bc;（D）必有a(bc)（为常数）.2.直线某3y4z与平面4某2y2z3的关系是（A）.273（A）平行，但直线不在平面上;（B）直线在平面上；（C）垂直相交;（D）相交但不垂直.45某y,(某,y)(0,0)223.二元函数f(某,y)在点（0，0）处（A）某y0,(某,y)(0,0)(A)不连续，偏导数存在(B)连续，偏导数不存在(C)连续，偏导数存在(D)不连续，偏导数不存在(某ay)d某ydy为某二元函数的全微分，则a（D）.2(某y)（A）1;（B）0;（C）1;（D）2.4.已知5.设f(u)是连续函数，平面区域D:1某1,0y1某2.，则（A）（C）D（C）.f(某2y2)d某dy10d某1某20f(某y)dy;（B）dy02211y20f(某2y2)d某;0df(r2)rdr;（D）df(r2)dr.000116.设a为常数，则级数an(1)(1co)（B）.nn1（A）发散;（B）绝对收敛;（C）条件收敛;（D）收敛性与a的值有关.二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.某2y2z2，向量n{1,1,1}，点P0(1,2,3)，1.设函数u(某,y,z)161218u3.则3nP02.若函数f(某,y)2某2a某某y22y在点(1,1)处取得极值，则常数a53.L为圆某y1的一周，则22.L(某2y2)d0.an12，级数an某2n1的收敛半径为4.设limnan1n2.25.设f(某)某21eydy，则某f(某)d某02111(e1).46.设f(某)是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]上的定义为f(某)则f(某)的以2为周期的傅里叶级数在某1处收敛于三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.1.（本小题6分）设f(u)是可微函数，zf(解题过程是：令u2,1某0某,0某13，3.2yzz)，求某2y.某y某yyz1zzzf(u)，某2y0.，则2f(u)，某y某某某y2某y1某y222.（本小题6分）计算二重积分，其中d某dyD{某,y)某y1,某0}.221某yD某y某yy是奇函数，解题过程是：D关于某轴对称，被积函数关于d某dy0，221某2y21某yD52u2某f12某y(某2f11f12)(某2f21f22)某y2某f12某3yf11(2某y某2)f12f222．求函数z3某y线方向的方向导数.01某某T(1,2)解：曲线L:在点(1,2)处的切向量，T(1,2)2y某152某y在曲线y某21上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向某轴正向的切co12,co55zz|(1,2)(3y21)|(1,2)11,|(1,2)(6某y1)|(1,2)13某y 函数在点（1,2）沿T(1,2)方向的方向导数为zT|(1,2)11132375553．计算222其中(某y)d某dy,D{(某,y)某y4}.D202解2(某y)d某dyD某2y2422(某y)d某dy某2y242某yd某dydr3dr0=804.设立体由锥面z某2y2及半球面z11某2y2围成.已知上任一点某,y,z处的密度与该点到某oy平面的距离成正比（比例系数为K0），试求立体的质量.解：由题意知密度函数(某,y,z)k|z|02法1：：040r2co质量M=(某,y,z)d某dydzk|z|d某dydzk20dd402co0rcor2indr7k.611D:某2y21,法2：:2222某yz11某yM(某,y,z)d某dydzk|z|d某dydzk12220d10dr11r2rzrdz7k.6法3：M2k|z|d某dydzzzdzz(1(z1))dz017k.65．计算曲线积分I(某y)d某(y 某)dy22C，其中是曲线某y1沿逆时针方向一周.22某yC解：I(某y)d某(y某)dyQP()d某dy[1(1)]d某dy2.1某yC某2y21某2y212222某yzdydz某yd某dzz某d某dy，其中为球面某yz1的外侧．6.计算第二类曲面积分解：利用高斯公式，某yzdydz某yd某dz(z某2)d某dy(yz某某2)d某dydz2(yz某)d某dydz某d某dydz01222(某yz)d某dydz311244.ddrindr0030157．求幂级数1n某的和函数.n1n1解:幂级数的收敛半径R1，收敛域为[1,1)某0时，某1n1某n某S(某)某=0某d某0某nd某n1n1n1n1某01某d某某ln(1某)某ln(1某)1某0时，S(0)0，S(某)某0四．证明题（本题4分）某[1,0)(0,1)某0ey证明下列不等式成立：某d某dyDe，其中D{(某,y)|某2y21}.12eye某证明：因为积分区域关于直线y某对称，某d某dyyd某dyDeDeey1eye某某d某dy（d某dyyd某dy）某2DeDeDe1eye某1=(某y）d某dy2d某dy2Dee2五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为某oy坐标面，其底部所占的区域为D{(某,y):某2y2某y75},小山的高度函数为h(某,y)75某2y2某y.（1）设M(某0,y0)为区域D上一点，问h(某,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为g(某0,y0)，试写出g(某0,y0)的表达式。
高等数学2-2
解 tan( ) tan tan 1 tan tan
y lim arctan(x h) arctan x
h0
h
1
h
lim arctan
h0 h
1 ( x h)x
lim
h0
1 h
1
(
h x
h) x
1 1 x2
.
例7 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
在点u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [( x)]在点
x0可导, 且其导数为
dy dx
x x0
f (u0 ) ( x0 ).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变
量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
证
由y f (u)在点u0可导 ,
lim y u u0
f (u0 )
o
CM
x0
T
xx
N 沿曲线C M , x x0 ,
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
记x
x0
x, 则k
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 ) .
2.1.2 导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内有定义, 如果极限
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
高等数学2 课本教材
高等数学2 课本教材高等数学2是一个涉及复杂概念和公式的学科。
它是数学的一个分支，主要研究了微积分、线性代数和概率论等内容。
本节文章将以教科书的形式，按照章节的顺序来介绍高等数学2课本的主要内容。
第一章微分方程微分方程是高等数学2中最重要的章节之一。
它涉及到描述变化过程的方程。
本章首先介绍了常微分方程的概念和基本理论。
然后，详细讨论了一阶和二阶常微分方程的解法，包括可分离变量法、齐次方程法和常数变易法等。
接着，介绍了线性常微分方程的解法及其应用。
最后，通过一些实际问题的案例，说明微分方程在物理、经济和生态学等领域的应用。
第二章无穷级数无穷级数是高等数学2中的另一个重要概念。
本章首先介绍了数列和数列极限的概念。
然后，引入了无穷级数的定义，并详细讨论了级数和部分和的性质。
接着，讨论了正项级数的收敛性质，包括比较判别法、比值判别法和根值判别法等。
最后，介绍了幂级数和傅里叶级数的基本概念及其应用。
第三章多元函数微分学多元函数微分学是高等数学2中的一个重要分支。
本章首先引入了多元函数的概念，并讨论了极限和连续等基础理论。
然后，详细讨论了多元函数的偏导数、全微分和方向导数等概念。
接着，介绍了多元复合函数的求导法则和隐函数的求导法则。
最后，引入了多元函数的泰勒公式和拉格朗日乘数法，通过实例讲解了这些概念的应用。
第四章多重积分多重积分是高等数学2中涉及到空间区域的重要内容。
本章首先引入了二重积分和三重积分的概念，并讨论了累次积分和重积分的性质。
然后，介绍了换元积分法和坐标变换法来计算多重积分。
接着，讨论了二重积分和三重积分的应用，包括质量、质心和转动惯量等问题。
最后，介绍了曲线积分和曲面积分的基本概念及其应用。
第五章曲线与曲面的方程曲线和曲面的方程是高等数学2中的一个重要内容。
本章首先介绍了参数方程和方程组的基本概念。
然后，详细讨论了平面曲线和空间曲线的一般方程及其性质。
接着，介绍了曲线的切线和法平面方程的求解方法。
高等数学2-2
x a cost 例12 求椭圆 在t 处的切线方程和法线方 程.
解
4 y b sin t dy b cos t b dy dt cot t , dx dx a sin t a dt
可得
k切
b b dy cot , dx t a 4 a
1 , 求y . 例3 设y sin 1 x
解
y
1 cos 1 x
1 1 1 cos . 2 1 x (1 x) 1 x
2
例4 设y sin e x , 求y . 解
y ( sin e )
1 2 sin e 1
x2
1 x x2 1 1 x x2 1
2
x
x 2 x2 1
2x 1 2 2 x 1
1 x 1
2
x2 1 例6 求函数 y ln 3 ( x 2) 的导数. x2
例1 求函数 y ln sin x 的导数.
解
y ln u, u sin x .
dy dy du 1 cos x cot x cos x dx du dx u sin x
例2 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 . 解
dy 10( x 2 1) 9 ( x 2 1) dx 10( x 2 1) 9 2 x 20 x( x 2 1) 9 .
例13 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x 0
.
方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
高等数学b2教材
高等数学b2教材高等数学B2教材是大学数学教学中一门重要的课程，它承接着高等数学A1和A2教材的内容，涵盖了更加深入和高级的数学知识和技能。
本教材旨在帮助学生深入理解数学的基本概念和原理，并能够运用这些知识解决实际问题。
第一章：极限理论极限理论是高等数学的基础，它为后续章节的学习打下了坚实的基础。
本章介绍了极限的概念和性质，包括数列极限、函数极限和无穷大量。
通过学习本章内容，学生可以掌握极限的计算方法和应用，提高数学分析和推理的能力。
第二章：导数与微分导数与微分是数学中的重要概念，也是高等数学B2教材的核心内容。
本章介绍了导数的定义和性质，以及常用的导数计算方法，如求导法则、链式法则等。
学生通过学习本章内容，可以理解导数的几何意义，并能够应用导数解决实际问题。
第三章：不定积分与定积分本章介绍了不定积分和定积分的概念和计算方法。
学生通过学习本章内容，可以熟练运用不定积分和定积分的性质和公式，解决各种与积分相关的问题。
另外，本章还引入了曲线的长度、曲线的面积和旋转体的体积等概念，增加了数学知识的应用性。
第四章：微分方程微分方程是高等数学B2教材的重要内容之一。
本章介绍了常微分方程和偏微分方程的基本知识，包括一阶和二阶微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法等。
学生通过学习本章内容，可以运用微分方程的方法解决实际问题，如物理、工程等领域的应用问题。
第五章：向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何是高等数学的重要分支，本章介绍了向量的基本概念和性质，以及向量的线性运算、数量积和向量积等相关知识。
此外，本章还介绍了空间解析几何的基本概念和计算方法，如直线、平面、曲面等的方程。
总结高等数学B2教材涵盖了极限理论、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程以及向量代数与空间解析几何等重要内容。
通过学习本教材，学生将进一步掌握数学的基本概念和原理，并能够灵活运用数学知识解决实际问题。
高等数学B2教材的学习不仅对数学专业的学生具有重要意义，也对其他理工科专业的学生具有一定的指导作用。
高等数学课程(II-2)(第1次)
第1次作业一、单项选择题（本大题共40分，共 20 小题，每小题 2 分）1. 在空间直角坐标系中，点A(1, −2, 3)在（）。
A. 第五卦限 B. 第八卦限C. 第三卦限D. 第四卦限2. 假定某物种的人口数量满足微分方程，则当前的人口数满足（）时物种的数量是增长的。
A. 4200>P> 0 B. P < 0 C. P = 0 D. P > 42003. 下列四个微分方程中，（）是一阶线性微分方程。
A.B.C.D.4. 下列二阶微分方程中，属于型的微分方程的是（） A. B. C.D.5. 点是函数的驻点，则（）。
A. P是的极大值点 B. P是的极小值点 C. P不是)的极值点 D. 不能确定P是否为的极值点6. 下列微分方程（1）（2）（3）(4）的阶分别为（）。
A. 2,2,2,4B. 2,1,1,4C. 2,2,3,4D. 3,1,1,37. 下面说法正确的是（） A.B.C.D.8. 设有两个曲线形构件，密度均为相等的常值，前者是一条长度为l的直线，后者是一条长度为l的半圆弧，则两个构件的质量满足（）。
A. 前者大于后者 B. 前者小于后者 C. 两者相等 D. 不能确定9. 设为正项级数，且，则( ) A. 收敛 B.发散 C. 敛散性不定 D. 以上都不对10. 解微分方程是属于（）。
A.型的微分方程 B. 型的微分方程 C. 型的微分方程 D. 上述都不对11. 若满足，则交错级数。
A. 一定发散 B. 一定收敛 C. 可收敛也可发散 D. 难以确定12. 设，当a=（）时。
A. 1 B.C. D.13. 微分方程的通解是（）。
A.B. C.D.14. 曲面的一个法向量为（）。
A.B. C.D.15. 下列一阶微分方程中哪个不是可分离变量的微分方程（）。
A.B.C. D.16. 下列方程中表示双叶双曲面的是（）。
A.B. C.D.17. 方程组所表示的圆的半径为（）。
同济大学版高等数学课后习题答案第2章
同济大学版高等数学课后习题答案第2章习题2-11. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t). 如果旋转是匀速的, 那么称tθω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解在时间间隔[t 0, t 0+?t]内的平均角速度ω为 tt t t t-?+=??=)()(00θθθω,故t 0时刻的角速度为)()()(lim lim lim 000000t tt t t tt t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T(t), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解物体在时间间隔[t 0, t 0+?t]内, 温度的改变量为 ?T =T(t +?t)-T(t), 平均冷却速度为tt T t t T t T ?-?+=??)()(,故物体在时刻t 的冷却速度为)()()(lim lim 00t T tt T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f(x)元, 此函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f '(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x)的实际意义.解 f(x +?x)-f(x)表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量.xx f x x f ?-?+)()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量的成本. xx f x x f x f x ?-?+='→?)()(lim)(0表示当产量为x 时单位产量的成本.4. 设f(x)=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 xx x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2200)1(10)1(10lim )1()1(lim)1(20)2(lim 102lim 10020-=?+-=??+?-=→?→?x xx x x x . 5. 证明(cos x)'=-sin x .解 xxx x x x ?-?+='→?cos )cos(lim )(cos 0xxx x x +-=→?2sin )2sin(2limx x xx x x sin ]22sin )2sin([lim 0-=+-=→?. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么:(1)A xx f x x f x =?-?-→?)()(lim 000;解xx f x x f A x ?-?-=→?)()(lim000)()()(lim 0000x f xx f x x f x '-=?--?--=→?-. (2)A xx f x =→)(lim 0, 其中f(0)=0, 且f '(0)存在; 解)0()0()0(lim )(lim00f x f x f x x f A x x '=-+==→→. (3)A h h x f h x f h =--+→)()(lim 000. 解hh x f h x f A h )()(lim000--+=→hx f h x f x f h x f h )]()([)]()([lim00000----+=→ hx f h x f hx f h x f h h )()(lim)()(lim 000000----+=→→ =f '(x 0)-[-f '(x 0)]=2f '(x 0). 7. 求下列函数的导数: (1)y =x 4; (2)32x y =; (3)y =x 1. 6; (4)xy 1=;(5)21xy =;(6)53x x y =;(7)5322x x x y =;解 (1)y '=(x 4)'=4x 4-1=4x 3 .(2)3113232323232)()(--=='='='x x x xy . (3)y '=(x 1. 6)'=1.6x 1. 6-1=1.6x 0. 6.(4)23121212121)()1(-----=-='='='x x x xy .(5)3222)()1(---='='='x x xy .(6)511151651653516516)()(x x x x xy =='='='-.(7)651616153226161)()(--=='='='x x x x x x y .8. 已知物体的运动规律为s =t 3(m). 求这物体在t =2秒(s)时的速度.解v =(s)'=3t 2, v|t =2=12(米/秒).9. 如果f(x)为偶函数, 且f(0)存在, 证明f(0)=0. 证明当f(x)为偶函数时, f(-x)=f(x), 所以)0(0)0()(lim 0)0()(lim 0)0()(lim)0(000f x f x f x f x f x f x f f x x x '-=-----=---=--='→-→→, 从而有2f '(0)=0, 即f '(0)=0.10. 求曲线y =sin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率:π32=x , x =π.解因为y '=cos x , 所以斜率分别为 2132cos 1-==πk , 1cos 2-==πk .11. 求曲线y =cos x 上点)21 ,3(π处的切线方程和法线方程式.解y '=-sin x ,233sin3-=-='=ππx y ,故在点)21 ,3(π处, 切线方程为)3(2321π--=-x y ,法线方程为)3(3221π--=-x y .12. 求曲线y =e x 在点(0,1)处的切线方程. 解y '=e x , y '|x =0=1, 故在(0, 1)处的切线方程为 y -1=1?(x -0), 即y =x +1.13. 在抛物线y =x 2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 y '=2x , 割线斜率为421913)1()3(=-=--=y y k .令2x =4, 得x =2.因此抛物线y =x 2上点(2, 4)处的切线平行于这条割线. 14. 讨论下列函数在x =0处的连续性与可导性: (1)y =|sin x|;(2)=≠=0001sin 2x x xx y . 解 (1)因为 y(0)=0,0)sin (lim |sin |lim lim 00=-==---→→→x x y x x x ,0sin lim |sin |lim lim 00===+++→→→x x y x x x ,所以函数在x =0处连续. 又因为 1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000-=-=--=--='---→→→-x x x x x y x y y x x x ,1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000==--=--='+++→→→+xx x x x y x y y x x x , 而y '-(0)≠y '+(0), 所以函数在x =0处不可导.解因为01sin lim )(lim 200==→→xx x y x x , 又y(0)=0, 所以函数在x =0处连续. 又因为01sin lim 01sin lim0)0()(lim 0200==-=--→→→xx x x x x y x y x x x , 所以函数在点x =0处可导, 且y '(0)=0.15. 设函数>+≤=1 1)(2x b ax x x x f 为了使函数f(x)在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？解因为1lim )(lim 211==--→→x x f x x , b a b ax x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 11, f(1)=a +b ,所以要使函数在x =1处连续, 必须a +b =1 . 又因为当a +b =1时211lim )1(21=--='-→-x x f x ,a x x a xb a x a x b ax f x x x =--=--++-=--+='+++→→→+1)1(lim 11)1(lim 11lim )1(111, 所以要使函数在x =1处可导, 必须a =2, 此时b =-1. 16. 已知?<-≥=0 0)(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？解因为 f -'(0)=10lim )0()(lim00-=--=---→→xx x f x f x x , f +'(0)=00lim )0()(lim 200=-=-++→→xx x f x f x x , 而f -'(0)≠f +'(0), 所以f '(0)不存在.17. 已知f(x)=?≥<0 0sin x x x x , 求f '(x) .解当x<0时, f(x)=sin x , f '(x)=cos x ; 当x>0时, f(x)=x , f '(x)=1; 因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=---→→x x x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim 00=-=-++→→xx x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而f '(x)=?≥<0 10cos x x x .18. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 .解由xy =a 2得xa y 2=, 22xa y k -='=.设(x 0, y 0)为曲线上任一点, 则过该点的切线方程为)(02020x x x a y y --=-. 令y =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得0022002x x ax y x =+=, 为切线在x轴上的距.令x =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得00022y y x a y =+=, 为切线在y 轴上的距.此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 200002||2|2||2|21a y x y x S ===.习题 2-21. 推导余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)'=-csc 2x ; (csc x)'=-csc xcot x .解 xx x x x xx x 2sin cos cos sin sin )sin cos ()(cot ?-?-='=' x xx x x 22222csc sin 1sin cos sin-=-=+-=. x x xx x x cot csc sin cos )sin 1()(csc 2?-=-='='. 2. 求下列函数的导数: (1)1227445+-+=xxxy ;(2) y =5x 3-2x +3e x ;(3) y =2tan x +sec x -1; (4) y =sin x ?cos x ; (5) y =x 2ln x ; (6) y =3e x cos x ; (7)xx y ln =;(8)3ln 2+=xe y x;(9) y =x 2ln x cos x ; (10)tt s cos 1sin 1++=;解 (1))12274()12274(14545'+-+='+-+='---x x x xxxy2562562282022820xxxx x x +--=+--=---. (2) y '=(5x 3-2x +3e x )'=15x 2-2x ln2+3ex .(3) y '=(2tan x +sec x -1)'=2sec 2x +sec x ?tan x =sec x(2sec x +tan x).(4) y '=(sin x ?cos x)'=(sin x)'?cos x +sin x ?(cos x)' =cos x ?cos x +sin x ?(-sin x)=cos 2x . (5) y '=(x 2ln x)'=2x ?ln x +x 2?x 1=x(2ln x +1) . (6) y '=(3e x cos x)'=3e x ?cos x +3e x ?(-sin x)=3e x (cos x -sin x).(7)22ln1ln 1)ln (x x x xx x x x y -=-?='='.(8)3422)2(2)3ln (x x e x x e x e x e y x x x x -=?-?='+='. (9) y '=(x 2ln x cos x)'=2x ?ln x cos x +x 2?x1?cos x +x 2 lnx ?(-sin x)2x ln x cos x +x cos x -x 2 ln x sin x .(10)22)cos 1(cos sin 1)cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos )cos 1sin 1(t tt t t t t t tt s +++=+-+-+='++='.3. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y =sin x -cos x , 求6π='x y 和4π='x y .(2)θθθρcos 21sin +=,求4πθθρ=dd .(3)553)(2x x x f +-=, 求f '(0)和f '(2) .解 (1)y '=cos x +sin x , 21321236sin 6cos 6+=+=+='=πππx y ,222224sin 4cos 4=+=+='=πππx y . (2)θθθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d ,)21(4222422214cos 44sin 214πππππθρπθ+=?+?=+==d d . (3)x x x f 52)5(3)(2+-=', 253)0(='f , 1517)2(='f . 4. 以初速v 0竖直上抛的物体, 其上升高度s 与时间t 的关系是2021gt t v s -=. 求:(1)该物体的速度v(t); (2)该物体达到最高点的时刻. 解(1)v(t)=s '(t)=v 0-gt .(2)令v(t)=0, 即v 0-gt =0, 得gv t 0=, 这就是物体达到最高点的时刻.5. 求曲线y =2sin x +x 2上横坐标为x =0的点处的切线方程和法线方程.解因为y '=2cos x +2x , y '|x =0=2, 又当x =0时, y =0, 所以所求的切线方程为 y =2x , 所求的法线方程为x y 21-=, 即x +2y =0.6. 求下列函数的导数: (1) y =(2x +5)4 (2) y =cos(4-3x); (3)23x e y -=;(4) y =ln(1+x 2); (5) y =sin 2x ; (6)22x a y -=;(7) y =tan(x 2); (8) y =arctan(e x ); (9) y =(arcsin x)2; (10) y =lncos x .解 (1) y '=4(2x +5)4-1?(2x +5)'=4(2x +5)3?2=8(2x +5)3. (2) y '=-sin(4-3x)?(4-3x)'=-sin(4-3x)?(-3)=3sin(4-3x). (3)22233236)6()3(xx x xe x e x e y ----=-?='-?='.(4)222212211)1(11x x x x x x y +=?+='+?+='. (5) y '=2sin x ?(sin x)'=2sin x ?cos x =sin 2x . (6))()(21])[(22121222122'-?-='-='-x a x a x a y2122)2()(21x a x x x a --=-?-=-.(7) y '=sec 2(x 2)?(x 2)'=2xsec 2(x 2).(8)xx xx e e e e y 221)()(11+='?+='. (9) y '21arcsin2)(arcsin arcsin 2xx x x -='?=. (10)x x xx x y tan )sin (cos 1)(cos cos 1-=-='?='. 7. 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(1-2x);(2)211x y -=;(3)x e y x 3cos 2-=;(4)xy 1arccos =;(5)x x y ln 1ln 1+-=;(6)xx y 2sin =; (7)x y arcsin =;(8))ln(22x a x y ++=;(9) y =ln(sec x +tan x); (10) y =ln(csc x -cot x). 解 (1)2 221)21(12)21()21(11x x x x x y --=---='-?--='.(2))1()1(21])1[(21212212'-?--='-='---x x x y 2321)1()2()1(21x x x x x --=-?--=-.(3))3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x x e x e x e y xx x x)3sin 63(cos 213sin 33cos 21222x x e x e x e xxx+-=--=---. (4)1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x x x x y . (5)22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x xy +-=+--+-='.(6)222sin 2cos 212sin 22cos xx x x xx x x y -=?-??='.(7)2222121)(11)()(11x x x x x x y -=?-='?-='.(8)])(211[1)(12222222222'+++?++='++?++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++?++=.(9)x x x x x x x x y sec tan sec sec tan sec )tan (sec tan sec 12 =++='+?+='. (10) x xx x x x x x x x y csc cot csc csc cot csc )cot (csc cot csc 12 =-+-='-?-='.8. 求下列函数的导数: (1)2)2(arcsin x y =;(2)2tan ln x y =;(3)x y 2ln 1+=;(4)x e y arctan =; (5)y =sin n xcos nx ; (6)11arctan -+=x x y ;(7)xx y arccos arcsin =;(8) y=ln[ln(ln x)] ; (9)xx x x y-++--+1111; (10)xx y +-=11arcsin.解 (1)'?=')2(arcsin )2(arcsin 2x x y )2()2(11)2(arcsin 22'?-?=x x x21)2(11(arcsin 22-?=x x . 242arcsin 2x x-=(2))2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 12'??='?='x x x x x yx x x csc 212sec 2tan 12=??=.(3))ln 1(ln 121ln 1222'+?+=+='x xx y )(ln ln 2ln 1212'??+=x x x x x x 1ln 2ln 1212??+=xx x2ln 1ln +=.(4))(arctan arctan '?='x e y x)()(112arctan'?+?=x x e x)1(221)(11arctan 2arctanx x e x x e x x+=?+?=.(5) y '=n sin n -1x ?(sin x)'?cos nx +sin n x ?(-sin nx)?(nx)' =n sin n -1x ?cos x ?cos nx +sin n x ?(-sin nx)?n =n sin n -1x ?(cosx ?cos nx -sin x ?sin nx)= n sin n -1xcos(n +1)x . (6)222 211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y +-=-+--?-++='-+?-++= '.(7)222)(arccos arcsin 11arccos 11x x x x x y -+-='22)(arccos arcsin arccos 11x x x x +?-=22)(arccos 12x x -=π.(8))(ln ln 1)ln(ln 1])[ln(ln )ln(ln 1'??='?='x x x x x y)ln(ln ln 11ln 1)ln(ln 1x x x x x x ?=??=. (9)2)11()121121)(11()11)(121121(x x x x x x x x xx y -++--+--+--++-++=' 22111x x -+-=.(10)2)1()1()1(1111)11(1111x x x xx x x x x y +--+-?+--='+-?+--=')1(2)1(1x x x -+-=.9. 设函数f(x)和g(x)可导, 且f 2(x)+g 2(x)≠0, 试求函数)()(22x g x f y +=的导数.解])()([)()(212222'+?+='x g x f x g x f y )]()(2)()(2[)()(2122x g x g x f x f x g x f '+'?+=)()()()()()(22x g x f x g x g x f x f +'+'=.10. 设f(x)可导, 求下列函数y 的导数dxdy :(1) y =f(x 2);(2) y =f(sin 2x)+f(cos 2x).解 (1) y '=f '(x 2)?(x 2)'= f '(x 2)?2x =2x ?f '(x 2). (2) y '=f '(sin 2x)?(sin 2x)'+f '(cos 2x)?(cos 2x)'= f '(sin 2x)?2sin x ?cos x +f '(cos 2x)?2cosx ?(-sin x) =sin 2x[f '(sin 2x)- f '(cos 2x)]. 11. 求下列函数的导数: (1) y =ch(sh x ); (2) y =sh x ?e ch x ; (3) y =th(ln x); (4) y =sh 3x +ch 2x ; (5) y =th(1-x 2); (6) y =arch(x 2+1); (7) y =arch(e 2x ); (8) y =arctan(th x);(9)xx y 2ch 21ch ln +=; (10))11(ch 2+-=x x y解 (1) y '=sh(sh x)?(sh x)'=sh(sh x)?ch x . (2) y '=ch x ?e ch x +sh x ?e ch x ?sh x =e ch x (ch x +sh 2x) . (3))(ln ch 1)(ln )(ln ch 122x x x x y ?='?='.(4) y '=3sh 2x ?ch x +2ch x ?sh x =sh x ?ch x ?(3sh x +2) .(5))1(ch 2)1()1(ch 122222x x x x y --=-?-='. (6)222)1()1(112422++='+?++='x x x x x y .(7)12)(1)(142222-='?-='x xx x e e e e y . (8)xxx x x x x y 222222ch 1ch sh 11ch 1th 11)th ()th (11?+=?+='?+=' x x x 222sh 211sh ch 1+=+=. (9))ch (ch 21)ch (ch 124'?-'?='x x x x y x x xx x sh ch 2ch 21ch sh 4??-= xx x x x x x x 323ch sh ch sh ch sh ch sh -?=-=x xx x x x 33332th ch sh ch )1ch (sh ==-?=. (10)'+-?+-?+-='+-?+-=')11()11(sh )11(ch 2])11(ch [)11(ch 2x x x x x x x x x x y)112(sh )1(2)1()1()1()112(sh 22+-?+=+--+?+-?=x x x x x x x x .12. 求下列函数的导数: (1) y =e -x (x 2-2x +3); (2) y =sin 2x ?sin(x 2); (3)2)2(arctan x y =;(4)n xx y ln =;(5)t t t t ee e e y --+-=;(6)xy 1cos ln =;(7)x ey 1sin 2-=; (8)xx y +=;(9)242arcsin x x x y -+=;(10)212arcsint t y +=.解 (1) y '=-e -x (x 2-2x +3)+e -x (2x -2) =e -x (-x 2+4x -5).(2) y '=2sin x ?cos x ?sin(x 2)+sin 2x ?cos(x 2)?2x =sin2x ?sin(x 2)+2x ?sin 2x ?cos(x 2). (3)2arctan 44214112arctan 222x x x x y +=?+?='. (4)121ln 1ln 1+--=?-?='n n n n x x n x nx x x xy . (5)2222)1(4)())(())((+=+---++='-----t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e y .。
高等数学课后习题答案2-2
习题 2-21. 推导余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ; (csc x )'=-csc x cot x .解 x x x x x x x x 2sin cos cos sin sin )sin cos ()(cot ⋅-⋅-='=' x xx x x 22222c s c s i n 1s i n c o s s i n -=-=+-=. x x xx x x c o t c s c s i n c o s )s i n 1()(c s c 2⋅-=-='='.2. 求下列函数的导数: (1)1227445+-+=x x x y ; (2) y =5x 3-2x +3e x ; (3) y =2tan x +sec x -1; (4) y =sin x ⋅cos x ; (5) y =x 2ln x ; (6) y =3e x cos x ; (7)xx y ln =;(8)3ln 2+=xe y x ; (9) y =x 2ln x cos x ;(10)tt s cos 1sin 1++=;解 (1))12274()12274(14545'+-+='+-+='---x x x xx x y 2562562282022820x x x x x x +--=+--=---. (2) y '=(5x 3-2x +3e x )'=15x 2-2x ln2+3e x .(3) y '=(2tan x +sec x -1)'=2sec 2x +sec x ⋅tan x =sec x (2sec x +tan x ). (4) y '=(sin x ⋅cos x )'=(sin x )'⋅cos x +sin x ⋅(cos x )' =cos x ⋅cos x +sin x ⋅(-sin x )=cos 2x . (5) y '=(x 2ln x )'=2x ⋅ln x +x 2⋅x1=x (2ln x +1) .(6) y '=(3e x cos x )'=3e x ⋅cos x +3e x ⋅(-sin x )=3e x (cos x -sin x ).(7)22ln 1ln 1)ln (xx x xx x x x y -=-⋅='='. (8)3422)2(2)3ln (x x e x x e x e x e y x x x x -=⋅-⋅='+='. (9) y '=(x 2ln x cos x )'=2x ⋅ln x cos x +x 2⋅x1⋅cos x +x 2 ln x ⋅(-sin x )2x ln x cos x +x cos x -x 2 ln x sin x . (10)22)cos 1(cos sin 1)cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos )cos 1sin 1(t tt t t t t t t t s +++=+-+-+='++='.3. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y =sin x -cos x , 求6π='x y 和4π='x y .(2)θθθρcos 21sin +=,求4πθθρ=d d .(3)553)(2x x x f +-=, 求f '(0)和f '(2) .解 (1)y '=cos x +sin x ,21321236s i n 6c o s 6+=+=+='=πππx y , 222224s i n 4c o s 4=+=+='=πππx y . (2)θθθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d ,)21(4222422214c o s 44s i n 214πππππθρπθ+=⋅+⋅=+==d d . (3)x x x f 52)5(3)(2+-=', 253)0(='f , 1517)2(='f . 4. 以初速v 0竖直上抛的物体, 其上升高度s 与时间t 的关系是2021gt t v s -=.求:(1)该物体的速度v (t ); (2)该物体达到最高点的时刻. 解 (1)v (t )=s '(t )=v 0-gt . (2)令v (t )=0, 即v 0-gt =0, 得gv t 0=, 这就是物体达到最高点的时刻. 5. 求曲线y =2sin x +x 2上横坐标为x =0的点处的切线方程和法线方程. 解 因为y '=2cos x +2x , y '|x =0=2, 又当x =0时, y =0, 所以所求的切线方程为 y =2x , 所求的法线方程为x y 21-=, 即x +2y =0.6. 求下列函数的导数: (1) y =(2x +5)4 (2) y =cos(4-3x ); (3)23x e y -=; (4) y =ln(1+x 2); (5) y =sin 2x ; (6)22x a y -=; (7) y =tan(x 2); (8) y =arctan(e x ); (9) y =(arcsin x )2; (10) y =lncos x .解 (1) y '=4(2x +5)4-1⋅(2x +5)'=4(2x +5)3⋅2=8(2x +5)3. (2) y '=-sin(4-3x )⋅(4-3x )'=-sin(4-3x )⋅(-3)=3sin(4-3x ). (3)22233236)6()3(x x x xe x e x e y ----=-⋅='-⋅='. (4)222212211)1(11x x x x x x y +=⋅+='+⋅+='.(5) y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x .(6))()(21])[(22121222122'-⋅-='-='-x a x a x a y222122)2()(21xa x x x a --=-⋅-=-.(7) y '=sec 2(x 2)⋅(x 2)'=2x sec 2(x 2).(8)xxx x e e e e y 221)()(11+='⋅+='. (9) y '21arcsin 2)(arcsin arcsin 2x x x x -='⋅=.(10)x x x x x y tan )sin (cos 1)(cos cos 1-=-='⋅='.7. 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(1-2x ); (2)211xy -=; (3)x e y x3cos 2-=;(4)xy 1arccos =;(5)xx y ln 1ln 1+-=;(6)x x y 2sin =;(7)x y arcsin =; (8))ln(22x a x y ++=; (9) y =ln(sec x +tan x ); (10) y =ln(csc x -cot x ). 解 (1)2221)21(12)21()21(11x x x x x y --=---='-⋅--='.(2))1()1(21])1[(21212212'-⋅--='-='---x x x y222321)1()2()1(21xx x x x --=-⋅--=-.(3))3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x x e x e x e y xxx x )3s i n 63(c o s 213s i n 33c o s 21222x x e x e x e xxx +-=--=---. (4)1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x x x x y . (5)22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='.(6)222sin 2cos 212sin 22cos x x x x x x x x y -=⋅-⋅⋅='. (7)2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='. (8)])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1xa x x a x a x +=++⋅++=.(9) x xx x x x x x x x y sec tan sec sec tan sec )tan (sec tan sec 12=++='+⋅+='. (10) x xx x x x x x x x y csc cot csc csc cot csc )cot (csc cot csc 12=-+-='-⋅-='.8. 求下列函数的导数: (1)2)2(arcsin x y =;(2)2tan ln x y =;(3)x y 2ln 1+=; (4)xe y arctan=;(5)y =sin n x cos nx ; (6)11arctan -+=x x y ;(7)x x y arccos arcsin =;(8) y =ln[ln(ln x )] ;(9)xx xx y -++--+1111;(10)xxy +-=11arcsin .解 (1)'⋅=')2(arcsin )2(arcsin 2x x y)2()2(11)2(a r c s i n 22'⋅-⋅=x x x 21)2(11)2(a r c s i n 22⋅-⋅=x x . 242a r c s i n2x x -=(2))2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 12'⋅⋅='⋅='x x x x x yx x x c s c 212s e c 2t a n 12=⋅⋅=.(3))ln 1(ln 121ln 1222'+⋅+=+='x x x y )(l n ln 2ln 1212'⋅⋅+=x x x x x x1ln 2ln 1212⋅⋅+=xx x 2ln 1ln +=.(4))(arctan arctan'⋅='x e y x)()(112arctan'⋅+⋅=x x e x)1(221)(11a r c t a n2a r c t a nx x e x x ex x +=⋅+⋅=. (5) y '=n sin n -1x ⋅(sin x )'⋅cos nx +sin n x ⋅(-sin nx )⋅(nx )' =n sin n -1x ⋅cos x ⋅cos nx +sin n x ⋅(-sin nx )⋅n=n sin n -1x ⋅(cos x ⋅cos nx -sin x ⋅sin nx )= n sin n -1x cos(n +1)x . (6)222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y +-=-+--⋅-++='-+⋅-++='. (7)222)(arccos arcsin 11arccos 11x x x x x y -+-='22)(a r c c o s a r c s i n a r c c o s 11x x x x +⋅-=22)(a r c c o s12x x -=π.(8))(ln ln 1)ln(ln 1])[ln(ln )ln(ln 1'⋅⋅='⋅='x x x x x y)l n (l n ln 11ln 1)ln(ln 1x x x x x x ⋅=⋅⋅=.(9)2)11()121121)(11()11)(121121(x x xx x x x x x x y -++--+--+--++-++='22111xx -+-=.(10)2)1()1()1(1111)11(1111x x x xx x x x x y +--+-⋅+--='+-⋅+--=' )1(2)1(1x x x -+-=. 9. 设函数f (x )和g (x )可导, 且f 2(x )+g 2(x )≠0, 试求函数)()(22x g x f y +=的导数. 解 ])()([)()(212222'+⋅+='x g x f x g x f y )]()(2)()(2[)()(2122x g x g x f x f x g x f '+'⋅+=)()()()()()(22x g x f x g x g x f x f +'+'=.10. 设f (x )可导, 求下列函数y 的导数dxdy : (1) y =f (x 2);(2) y =f (sin 2x )+f (cos 2x ).解 (1) y '=f '(x 2)⋅(x 2)'= f '(x 2)⋅2x =2x ⋅f '(x 2). (2) y '=f '(sin 2x )⋅(sin 2x )'+f '(cos 2x )⋅(cos 2x )'= f '(sin 2x )⋅2sin x ⋅cos x +f '(cos 2x )⋅2cos x ⋅(-sin x ) =sin 2x [f '(sin 2x )- f '(cos 2x )]. 11. 求下列函数的导数: (1) y =ch(sh x ); (2) y =sh x ⋅e ch x ; (3) y =th(ln x ); (4) y =sh 3x +ch 2x ; (5) y =th(1-x 2); (6) y =arch(x 2+1); (7) y =arch(e 2x ); (8) y =arctan(th x );(9)xx y 2ch 21ch ln +=; (10))11(ch 2+-=x x y解 (1) y '=sh(sh x )⋅(sh x )'=sh(sh x )⋅ch x . (2) y '=ch x ⋅e ch x +sh x ⋅e ch x ⋅sh x =e ch x (ch x +sh 2x ) .(3))(ln ch 1)(ln )(ln ch 122x x x x y ⋅='⋅='. (4) y '=3sh 2x ⋅ch x +2ch x ⋅sh x =sh x ⋅ch x ⋅(3sh x +2) .(5))1(ch 2)1()1(ch 122222x x x x y --=-⋅-='.(6)222)1()1(112422++='+⋅++='x x x x x y . (7)12)(1)(142222-='⋅-='x xx x e e e e y . (8)xxx x x x x y 222222ch 1ch sh 11ch 1th 11)th ()th (11⋅+=⋅+='⋅+=' xx x 222sh 211sh ch 1+=+=. (9))ch (ch 21)ch (ch 124'⋅-'⋅='x xx x yx x xx x sh ch 2ch 21ch sh 4⋅⋅-=x x x x x x x x 323ch sh ch sh ch sh ch sh -⋅=-=x xx x x x 33332th ch sh ch )1ch (sh ==-⋅=. (10)'+-⋅+-⋅+-='+-⋅+-=')11()11(sh )11(ch 2])11(ch [)11(ch 2x x x x x x x x x x y)112(sh )1(2)1()1()1()112(sh 22+-⋅+=+--+⋅+-⋅=x x x x x x x x . 12. 求下列函数的导数: (1) y =e -x (x 2-2x +3);(2) y =sin 2x ⋅sin(x 2); (3)2)2(arctan x y =;(4)n x x y ln =;(5)t t tt ee e e y --+-=;(6)x y 1cos ln =;(7)x ey 1sin 2-=; (8)x x y +=;(9) 242arcsin x x x y -+=;(10)212arcsin tt y +=.解 (1) y '=-e -x (x 2-2x +3)+e -x (2x -2) =e -x (-x 2+4x -5).(2) y '=2sin x ⋅cos x ⋅sin(x 2)+sin 2x ⋅cos(x 2)⋅2x =sin2x ⋅sin(x 2)+2x ⋅sin 2x ⋅cos(x 2).(3)2arctan 44214112arctan 222xx x x y +=⋅+⋅='. (4)121ln 1ln 1+--=⋅-⋅='n n n n x x n x nx x x xy . (5)2222)1(4)())(())((+=+---++='-----t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e y . (6)x x x x x x x y 1tan 1)1()1sin (1sec )1(cos 1sec 22=-⋅-⋅='⋅='. (7))1(1cos )1sin 2()1sin (21sin 21sin 22x xx exe y x x -⋅⋅-⋅='-⋅='--x e x x1s i n 222s i n 1-⋅⋅=.(8))211(21)(21x x x x x x x y +⋅+='+⋅+=' xx x x +⋅+=412. (9)2arcsin )2(421214112arcsin 22x x x x x x y =-⋅-+⋅-⋅+='. (10)22222222)1()2(2)1(2)12(11)12()12(11t t t t t tt t t ty +⋅-+⋅⋅+-='+⋅+-=' )1(|1|)1(2)1()1(2)1(1222222222t t t t t t t +--=+-⋅-+=.。
高数2知识点总结
高数2知识点总结高等数学2是大学数学教学中的重要组成部分，主要包括微积分、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数与逼近理论等内容。
在学习高等数学2的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点和方法，下面就对高等数学2中的一些重要知识点进行总结。
1.微积分微积分是高等数学2中的一个重要内容，主要包括函数的极限、导数和积分。
在学习微积分时，首先需要掌握函数的极限概念及其计算方法，包括无穷小量、无穷大量、洛必达法则等。
其次是函数的导数，需要掌握导数的定义、导数的运算法则、高阶导数、隐函数求导等内容。
最后是函数的积分，包括不定积分、定积分、变限积分、定积分的计算方法、定积分的应用等。
2.多元函数微分学多元函数微分学是高等数学2中的另一个重要内容，主要包括多元函数的极限、偏导数、全微分和导数、方向导数、梯度、微分中值定理等。
在学习多元函数微分学时，需要掌握多元函数的极限概念及其计算方法，了解多元函数的偏导数定义及计算方法，掌握多元函数的全微分和导数、方向导数、梯度的概念及计算方法，并了解微分中值定理等内容。
3.多元函数积分学多元函数积分学是高等数学2的另一个重要内容，主要包括重积分、累次积分、曲线积分、曲面积分、格林公式等。
在学习多元函数积分学时，需要掌握多元函数的重积分概念及其计算方法，了解累次积分的概念及其计算方法，掌握曲线积分和曲面积分的概念及计算方法，并了解格林公式等内容。
4.无穷级数与逼近理论无穷级数与逼近理论是高等数学2中的另一个重要内容，主要包括数项级数、函数项级数、收敛性、级数求和、傅里叶级数等。
在学习无穷级数与逼近理论时，需要掌握数项级数和函数项级数的收敛性判别法，了解级数求和的方法，掌握傅里叶级数的概念及计算方法等内容。
总之，高等数学2是一门包含了微积分、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数与逼近理论等内容的重要课程，在学习这门课程时，我们需要掌握一些基本的知识点和方法，包括函数的极限、导数和积分、多元函数的极限、偏导数、全微分和导数、多元函数的重积分、累次积分、曲线积分、曲面积分、无穷级数与逼近理论等内容。
2012年9月份考试高等数学(II-2)第一次作业.docx
2012年9月份考试高等数学（II-2）第一次作业一、单项选择题（本大题共90分，共 30 小题，每小题 3 分）1. 下列阶数最高的微分方程是（）。
A. B.C. D.2. 在空间直角坐标系中，点 A(1,-2,3) 在：（）A. 第五卦限B. 第八卦限C. 第三卦限D. 第四卦限3. 下列方程表示抛物面的是（）A. x2+y2+z2=1B. x+y+z=1C. x+y2+z2=0D. x2-y2+z2=04. 方程x=2在空间表示( )A. yoz坐标面。
B. 一个点。
C. 一条直线。
D. 与yoz面平行的平面。
5. 微分方程x(y')2-2yy'+x=0是（）的。
A. 2阶B. 3阶C. 不能确定D. 1阶6. 下列二重积分的性质不正确的是（）A.B.C.D.7. 已知点 M(1,-4,8) ，则向量的方向余弦为（）A.B.C.D.8. 设,若则（）A. x=0.5 y=6B. x=-0.5 y=-6C. x=1 y=-7D. x=-1 y=-39. 点（ 4 ， -3 ， 5 ）到 oy 轴的距离为 ()A.B.C.D.10. 若limn→∞u n=0，则级数u n∞n=1（）A. 一定发散B. 一定条件收敛C. 可收敛也可发散D. 一定绝对收敛11. 收敛级数加括号后所成的级数（）A. 收敛但级数和改变B. 发散C. 收敛且级数和不变D. 敛散性不确定12. 级数的敛散性为( )A. 收敛B. 不能确定C. 可敛可散D. 可敛可散=5，则C=（）13. 函数x2-y2=C初始条件y|x=0A. 0B. 25C. 1D. -2514. 微分方程y'+y=0的通解是（）A. y=3sin x-4cos xB. y=Ce-x（C是任意常数）C. y= Ce x（C是任意常数）D. y=3sin x-4cos x+515. 设 u=a-b+2c,v=-a+3b-c . 则用 a,b,c 表示 2u-3v 为：（）A. 5a +11b+7cB. 5a -1b+7cC. 5a -1b-7cD. 5a -1b+7c16. 设a为常数，则级数 ( )A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性与a的值有关17. 点 A(1,-1,0) 的位置特征是（）A. A 位于 yOz 平面B. A位于xOy平面C. A位于z轴D. A位于x轴18. 微分方程的通解为（）。
重庆大学网络教育2019年秋季学期课程作业高等数学(II-2)第123次
答案+我名字在为常数，则级数 ( )设，当a=（）时。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题4、已知某微分方程的通解和初始条件分别为和，则常数和分别等于（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题5、微分方程的通解是（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题6、与的大小关系为（），其中V是以点（1,1,1），（2,1,1），（1,2,1）和（1,1,2）为顶点的闭区域。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题7、下列一阶微分方程中哪个不是可分离变量的微分方程（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题8、下列平面中，垂直于Z轴的是（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题9、求解微分方程的通解的Matlab命令为（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题10、函数的定义域是（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题11、求解微分方程使用变换降阶得到的方程是（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题12、级数的和为（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题13、方程组所表示的圆的半径为（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题14、方程表示的曲面是（）。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题15、椭球面的中心坐标是( )。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题二、判断题(共 5 题、5 / 5 分 )1、级数收敛。
（）∙∙正确!∙收藏该题展开该题2、幂级数的收敛区间为[-6,-4]。
（）∙∙正确!∙收藏该题展开该题3、已知是的解，则微分方程的通解为。
∙∙正确!∙收藏该题展开该题4、微分方程的通解是。
（）∙∙正确!∙收藏该题展开该题5、对于非齐次微分方程的通解的Matlab命令为y=dsolve ('D2y-2Dy=(x^2+2x)exp(x)','x')。
（）∙∙正确!∙收藏该题展开该题三、填空题(共 6 题、0 / 12 分 )1、二阶齐次微分方程的通解为_________。
∙收藏该题2、如果和是某二阶常系数齐次线性微分方程的解，则该微分方程为________。
∙收藏该题3、设，则= ________________。
高等数学：2-2 导数的基本公式与运算法则
例10、y ln x ,
求 y'
解：
ln x y ln x ln( x)
x0 x0
x 0时(ln x )' (ln x)' 1 x
x 0时(ln x )' (ln（ x）)' 1 ( x)' 1
x
x
即 ：(ln x )' 1 x
例11 f ( x)可导，y ln f ( x) , 求y
dy dy du dv . dx du dv dx
9
例7：y
ln sin 1
ex
, 求y
'.
y e u , u ln v, v sin w, w 1
x
解：y'
ln sin 1 e x
ln sin 1
ex
ln
sin
1 x
ln sin
e
1 x
1 sin
1
s in
1 x
证 由于y f (u)在点u处可导，故 lim y f '(u) u0 u
y f '(u) (u)
u
极限与无穷小的关系
y f '(u)u (u)u
（*）
(*)式两端分别除以x
得：y f '(u) u (u) u
x
x
x
7
y f '(u) u (u) u
x
x
x
函数u ( x)在x处可导，两边取极限:
2
tan x sec2 x, cot x csc2 x.
例4： y
1 tan x tan x
2 loga
x
x
x,
求 ：dy dx
高等数学2-2
y0
x0 y0
x2 y2 ( x2 y2 )2
(z f ( x , y ) f (0,0), A 0 B ) （齐次式，极限不存在）
令 y kx, 极限依赖于k ，所以不可微！
5.混合偏导 z z( x , y )
纯偏导：
2z x 2
， 2 z y2
混合偏导： 2z ？ 2z xy yx
F ( x) 1x tf ( x2 t 2 )dt
解 令 u x 2 t 2 , du 2tdt
F(x)
0
x2 1
f
(u)
(
1 du) 2
1 2
x2 1
0
f
(u)du
所以 F ( x) xf ( x2 1)
（3） y ln( x 1 x2 ), 求 y 初等显函数
解 y
1
f (5)(0) 5!
解 右边
抓右边 x5 前系数
[ x 1 x3 o( x4 )][ x 1 x2 1 x3 1 x4 o( x4 )]
3!
234
左右两边 x5 前的系数应相等
1 f (5)(0) 1 1 1 f (5)(0) 20
5!
4 12 6
【练习】 解
分子转成多项式，抓首项
例11 设 y x2e2 x , 求 y(n) (n 1)（高阶导乘积公式）
解 令 u e2x ,v x2 ,则
升
y(n) (e2 x )(n) x 2 Cn1 (e2 x )(n1) 2 x
Cn2 (e2 x )(n2) 2 0 0 2n e2 x x2 n 2n e2 x x n(n 1) 2n1e2x
2x arctan x 1 x2
y