概率论填空题和选择题知识点
概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理
《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数：363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P注：由概率定义得出的几个性质：知识归纳整理1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：nnAA A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)121nnAA A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)121§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0）∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
概率论与统计原理复习资料
一、填空题1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。
参考答案：B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，CB+BA+CA，AB C+AC B+A BC，A+CABBA+CBC考核知识点：事件的关系及运算2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。
参考答案：，，考核知识点：古典型概率3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。
参考答案：1/8，3/8考核知识点：古典型概率4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。
参考答案：考核知识点：古典型概率5、假设某商店获利15万元以下的概率为，获利10万元以下的概率为，获利5万元以下的概率为，则该商店获利5~10万元的概率为，获利10~15万元的概率为。
参考答案：，考核知识点：概率的性质6、设袋中有6个球，其中4白2黑。
用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。
参考答案：，7/15，14/15考核知识点：古典型概率和概率的性质7、设事件A，B互不相容，已知P（A）= ，P（B）= ，则P（A+B）= ；P（A+B）= ；P（A B）= ；P（BA）= 。
参考答案：，，，考核知识点：概率的性质8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为，，，则恰有一人中靶的概率为；至少有一人中靶的概率为。
参考答案：（1）；（2）考核知识点：事件的独立性9、每次试验的成功率为p（0< p <1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为。
高等教育自学考试 概率论与数理统计期末自学 复习重要知识点
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
高中数学统计与概率知识点
高中数学统计与概率知识点一、统计学基础1. 数据收集- 普查与抽样调查- 数据的类型（定量数据与定性数据）2. 数据整理与展示- 频数分布表- 直方图- 饼图- 条形图3. 中心趋势的度量- 平均数（算术平均数）- 中位数- 众数4. 离散程度的度量- 极差- 四分位距- 方差与标准差5. 相关性分析- 相关系数- 散点图二、概率论基础1. 随机事件- 事件的定义- 必然事件与不可能事件- 互斥事件与独立事件2. 概率的计算- 单次试验的概率- 多次试验的概率- 条件概率- 贝叶斯定理3. 随机变量- 离散随机变量与连续随机变量 - 概率分布- 概率密度函数与概率分布函数4. 期望值与方差- 随机变量的期望值- 随机变量的方差5. 常见概率分布- 二项分布- 泊松分布- 正态分布三、统计与概率的应用1. 假设检验- 零假设与备择假设- 显著性水平- 第一类错误与第二类错误 - t检验与卡方检验2. 回归分析- 线性回归- 相关系数与决定系数3. 抽样与估计- 抽样误差- 置信区间- 最大似然估计四、综合练习题1. 选择题- 统计图表解读- 概率计算- 假设检验2. 填空题- 计算平均数、中位数、众数 - 计算方差、标准差- 概率分布的应用3. 解答题- 解释统计概念- 概率问题的求解- 应用统计方法解决实际问题五、附录1. 公式汇总- 统计学公式- 概率论公式2. 重要概念索引- 术语解释- 概念间的关系3. 参考资料- 推荐阅读书籍- 在线资源链接请根据需要对上述内容进行编辑和调整。
这篇文章是为了提供一个关于高中数学统计与概率的知识点概览，适用于教育目的。
每个部分都包含了关键的子标题和简短的描述，以便于理解和使用。
概率论知识点整理及习题答案
概率论知识点整理及习题答案概率论知识点整理及习题答案第一章随机事件与概率1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。
（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。
（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。
而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。
特别地，=A、AU= 、AI=φ。
2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。
我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。
而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。
3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。
其中基本事件也称为样本点。
而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。
通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。
在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。
而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。
为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。
这是由于事件的性质随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。
条件发生变化，事件的性质也发生变化。
例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。
而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。
例如：（1）={3，4，5，L，18}。
（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。
02197-概率论与数理统计二-考前重点
02197.概率论与数理统计（二）-考前重点《概率论与数理统计（二）〉〉考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识第一章随机事件与概率1.事件的包含与相等、和事件的定义P3（二级重点）（单选、填空）2.积事件、差事件、互不相容事件、对立事件的定义P4-5（一级重点）（单选、填空）尤其是互不相容事件与对立事件的理解，务必记住。
3.古典概型的概率计算P9（一级重点）（填空）等可能概型中事件概率的计算：设在古典概型中，试验E共有n个基本事件，事件A包含了m个基本事件，则事件A的概率为P（A）mn4,概率的加法公式与减法公式(性质2与性质3)P11-12(二级重点)(单选、填空)力口法公式：P(AB)P(A)P(B)P(AB)减法公式：P(BA)P(B)P(AB)5.条件概率的定义及用法P14(二级重点)(单选、填空、计算)条件概率的公式：P(B|A)=P(AB)/P(A)或者P(A|B)P(AB),P(B)6,全概率公式的定义及用法(注意其需要满足的两个条件)P16(二级重点)(填空、计算)用全概率定理来解题的思路，从试验的角度考虑问题，一定是将试验分为两步做，将第一步试验的各个结果分为一些完备事件组A,A,…，A,然后在这每一事件下计算或给出某个事件B发生的条件概率，最后用全概率公式综合计算。
7.两个事件与三个事件独立性的定义及应用P19-21(一级重点)(单选、填空、计算)三个事件独立可以推出两两独立，但反之不然。
8.n重贝努利试验的描述及其概率求法P22（一级重点）（单选、填空、综合）在n重贝努利试验中，设每次试验中事件A的概率为p（0<p<1）,则事件A恰好发生k次的概率为：P（k）C：p k（1-P）nk,k=0,1,2Ln第二章随机变量及其概率分布9.离散分布律的两个性质（非负性，归一性）及其应用P30（一级重点）（单选、填空）P k0,（k1,2.......）（非负性）；p k1（归一k性）10.0-1分布、二项分布、泊松分布P32-34（二级重点）（单选、填空）牢记这三个常用离散分布的定义形式11.分布函数的定义及其性质P36-38（三级重点）（单选、填空）知道分布函数的含义是概率在一个区间得到累积形式，对它的性质要了解。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷50(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A，B为任意两个不相容的事件且P(A)＞0，P(B)＞0，则下列结论正确的是( )．A．B．C．P(AB)=P(A)P(B)D．P(A—B)=P(A)正确答案：D解析：因为A，B不相容，所以P(AB)=0，又P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A－B)=P(A)，选(D)．知识模块：概率统计2．设X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，令P=P(X≤μ一4)，q=P(Y≥μ+5)，则( )．A．p＞qB．p＜qC．p=qD．p，q的大小由μ的取值确定正确答案：C解析：知识模块：概率统计3．设X为随机变量，E(X)=μ，D(X)=σ2，则对任意常数C有( )．A．E[(X—C)]2=E[(X一μ)]2B．E[(X－C)]2≥E[(X—μ)]2C．E[(X—C)]2=E(X2)一C2D．E[(X－C)2]＜E[(X一μ)2]正确答案：B解析：E[(X-C)2]－E[(X-μ)2]=[E(X2)一2CE(X)+C2]一[E(X2)一2μE(X)+μ2]=C2+2E(X)[E(X)－C]一[E(X)]2=[C—E(X)]2≥0，选(B)．知识模块：概率统计4．设随机变量X～F(m，n)，令P｛X＞Fα(m，n)｝=α(0＜α＜1)，若P(X ＜k)=α，则k等于( )．A．Fα(m，n)B．F1－α(m，n)C．D．正确答案：B解析：根据左右分位点的定义，选(B)．知识模块：概率统计5．若事件A1，A2，A3两两独立，则下列结论成立的是( )．A．A1，A2，A3相互独立B．两两独立C．P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)D．相互独立正确答案：B解析：由于A1，A2，A3两两独立，所以也两两独立，但不一相互独立，选(B)．知识模块：概率统计6．设随机变量X服从参数为1的指数分布，则随机变量y=min｛X，2｝的分布函数( )．A．是阶梯函数B．恰有一个间断点C．至少有两个间断点D．是连续函数正确答案：B解析：FY(y)=P(Y≤y)=P｛min(X，2)≤y｝=1一P｛min(X，2)＞y｝=1一P(X＞y，2＞y)=1一P(X＞y)P(2＞y)当y≥2时，FY(y)=1；当y＜2时，FY(y)=1一P(X＞y)=P(X≤y)=FX(y)，而FX(x)=，所以当0≤y＜2时，FY(y)=1－e－y；当y＜0时，FY(y)=0，即FY(y)=，显然FY(y)在y=2处间断，选(B)．知识模块：概率统计7．若(X，Y)服从二维正态分布，则①X，Y一定相互独立；②若ρXY=0，则X，Y一定相互独立；③X和Y都服从一维正态分布；④X，Y的任一线性组合服从一维正态分布，上述几种说法中正确的是( )．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④正确答案：B解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以X，Y都服从一维正态分布，aX+bY 服从一维正态分布，且X，Y独立与不相关等价，所以选(B)．知识模块：概率统计填空题8．设事件A，B相互独立，P(A)=0．3，且P(A+)=0．7，则P(B)=________．正确答案：解析：知识模块：概率统计9．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=0)=P(X=1)，则P(X≥1)=________．正确答案：1一e－2解析：X的分布律为P(X=k)=e－λ(k=0，1，2，…)，由P(X=0)=P(X=1)得λ=2，P(X≥1)=1一P(X=0)=1一e－2．知识模块：概率统计10．设X～P(1)，Y～P(2)，且X，Y相互独立，则P(X+Y=2)=_________．正确答案：解析：P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=0)，由X，Y相互独立得P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)= 知识模块：概率统计11．设随机变量X在[一1，2]上服从均匀分布，随机变量Y=，则D(Y)=_________．正确答案：解析：随机变量X的密度函数为f(x)=，随机变量Y的可能取值为一1，0，1，知识模块：概率统计12．设X为总体，E(X)=μ，D(X)=σ2，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本，S2=，则E(S2)=_________·正确答案：σ2解析：知识模块：概率统计13．设A，B是两个随机事件，且P(A)=0．4，P(B)=0．5，=_________．正确答案：0.2解析：因为相互独立，故=P(A)[1一P(B)]=0．4×0．5=0．2 知识模块：概率统计14．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=_______时，成功次数的标准差最大，其最大值为________．正确答案：p=，最大值为5解析：设成功的次数为X，则X～B(100，p)，D(X)=100p(1－p)，标准差为．令f(p)=p(1-p)(0＜P＜1)，由f’(p)=1—2p=0得=一2＜0，所以时，成功次数的标准差最大，最大值为5．知识模块：概率统计15．设随机变量X的密度函数为f(x)=，则E(X)=__________，D(X)=_________．正确答案：E(X)=1，D(X)=解析：因为知识模块：概率统计16．设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，S2=，则D(S2)=_________．正确答案：解析：知识模块：概率统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
《概率论与数理统计)考试重点
《概率论与数理统计》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。
第一章 随机事件与概率1．随机事件的关系与计算 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念2．古典概型中概率的计算 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式3. 利用概率的性质计算概率 （一级重点）选择、填空)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃,)()()(AB P B P A B P -=-（考得多）等，要能灵活运用。
4. 条件概率的定义 （一级重点）选择、填空 记住条件概率的定义和公式：)()(B P AB P = 5. 全概率公式与贝叶斯公式 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。
一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。
6. 事件的独立性（概念与性质） （一级重点）选择、填空定义：若)()()(B P A P AB P =，则称A 与B 相互独立。
结论：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立。
7. n 重贝努利试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式 （一级重点）选择、填空在n 重贝努利试验中，设每次试验中事件A 的概率为p （10 p ），则事件A 恰好发生k 次的概率n k p p C k P k n k k n n ,,2,1,0,)1()( =-=-。
第二章 随机变量的分布及其数字特征8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 （一级重点）选择、填空、计算、综合。
2020专升本高数二知识点总结 (2)
2019年专升本高数知识点+技巧（一）概率论 1.事件发生的概率事件的概率在2014，2019年出一道大题，2013，2014，2017年出选择，2016年出填空题。
①对立事件例如箱子里有5个球，三个白球两个黑球，抓到白球的概率是3/5，黑球的概率是2/5，这两个概率相加是1，抓到黑球我们也可以理解为抓到的不是白球的概率，那么就是一个事件发生的概率与一个事件不发生的概率加在一起就是1. ②独立事件事件A 概率的发生对事件B 概率的发生没有影响，事件A 、B 相互独立，叫独立事件。
例如，第一次掷骰子5点的概率，第二次5点的概率，两次掷骰子会得到5点的概率相互没有影响，各自独立。
独立事件概率用两个事件的自己发生概率相乘计算)()(B P A P 。
独立事件一般和对立事件结合出题，例如设事件A ，B 相互独立，A ，B 发生的概率分别为0.6,0.9，A ，B 都不发生的概率，那么先看A 和B 分别不发生的概率是多少，A 发生的概率是0.6，A 不发生的概率就是1-0.6=0.4，B 发生的概率是0.9， B 不发生的概率就是1-0.9=0.1，那么A ，B 都不发生的概率就是A 不发生的概率0.4乘以B 不发生的概率0.1×0.4=0.04。
③条件事件（非独立事件）假设要第一次抓到白球第二次抓到黑球的概率，3个白球2个黑球，那么第一次抓到白球还是3/5，那么第二次抓到黑球呢？因为已经抓走了一个球，那么此时箱子里的球就是一共有4个球，其中2个黑球，抓到黑球的概率就是2/4=1/2，求第这两件事同时发生的概率用乘法，所以第一次抓到白球第二次抓到黑球的概率就是3/5×1/2=3/10.应试指导：对立事件2016年出选择题，重点记住对立事件概率相加为1。
独立事件2013，2014，2017年考查选择题，独立事件概率用两个事件各自发生概率相乘计算。
条件事件2014年出大题，条件发生的概率乘以事件发生的概率就是条件事件发生的概率。
概率论与数量统计(二)-自考(课程代码02197)
率.
【例3】盒中有黄白两种颜色的乒乓球，黄色球7个,
其中3个是新球；白色球5个，其中4个是新球. 现从
中任取一球是新球，求它是白球的概率. 【例4】盒中有5个黑球3个白球，连续不放回地从中
取两次球，每次取一个，若已知第一次取出的是白
球，求第二次取出的是黑球的概率.
【例1】掷一颗质地均匀的骰子，求出现奇数点的概 率. 【例2】掷一枚硬币3次，设事件A为“恰有一次出现 正面”，B表示“三次均出现发面”，C表示“至少 一次出现正面”，试求P(A),P(B),P(C). 【例3】从0,1,2,…,9十个数字中任意选出三个不同的 数字，试求三个数字中不含0和5的概率.
1. 课本大体内容：全书分为两部分，
①概率论部分：第一章—第五章
②应用题：第六章—第八章
2. 大题分布
计算题：第一章、第二章
综合题：第三章、第四章
应用题：第七章或第八章
第一章
随机事件与概率
一、考核知识点
1、随机事件的关系和运算 2、概率的定义与性质 3、古典概型 4、条件概率和乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式 5、事件的独立性、贝努利概型
§3 条件概率
☆概率的乘法公式 ①若P(A)>0,则 P(AB)=P(A)P(B|A); 若P(B)>0,则 P(AB)=P(B)P(A|B); ②推广到3个事件的情形 若P(AB)>0,则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) ③推广到n个事件的情形 若P( A1 A2 An1 ) 0 ,则
Ai 表示“第i次射 【例5】某射手向一目标射击三次，
击命中目标”，i=1,2,3, Bj 表示“三次射击中恰命中 的运算表示 B j ( j 0,1, 2,3)
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案在学习概率论的过程中，一场考试是检验学生掌握程度的重要方式。
下面将为大家介绍一些概率论考试题及其答案，希望能够帮助大家更好地复习和准备考试。
1. 选择题1.1 在一副标准扑克牌中，抽取一张牌，观察到它是黑桃的情况下，再次从该扑克牌中抽取一张牌，观察该牌是红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/3答案：D. 1/31.2 掷一枚骰子，观察到一个正整数出现的情况下，再次掷骰子，观察到另一个正整数出现的概率是多少？A. 1/12B. 1/6C. 1/36D. 1/18答案：B. 1/62. 计算题2.1 有一个有12个不同数字的骰子，抛出两次。
求两次得到的和是偶数的概率。
答案：一共有6 * 6 = 36 种可能的结果。
其中，和为偶数的情况有：(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) 共计18种。
因此，所求概率为18/36 = 1/2。
2.2 一副扑克牌中，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，从中抽取五张牌，求至少有一张黑桃的概率。
答案：总共抽取5张牌，共有C(52,5)种取法。
不抽取黑桃的情况有C(39,5)种取法。
因此，至少有一张黑桃的情况有C(52,5) - C(39,5) 种取法。
所求概率为[C(52,5) - C(39,5)] / C(52,5)。
3. 应用题3.1 有甲、乙两个工人分别制作产品A和产品B，已知甲的合格率为85%，乙的合格率为90%。
如果随机抽查一件产品是合格的，求这件产品是乙制作的概率。
答案：假设事件A为产品合格，事件B为产品由乙制作。
根据题意，可得P(A|B) = 90%，P(A|B') = 85%，P(B) = 1/2，P(B') = 1/2。
概率论与数理统计——第一章练习题
第一章 随机事件与概率（一）随机事件知识点1、称试验E 的样本空间的子集为随机事件，用A 、B 、C …表示。
事件A 的元素是样本点，它在一次试验中，可能出现，也可能不出现。
A 中的某个样本点出现了，事件A 发生，否则，A 不发生。
因此，在一次试验中，可能发生也可能不发生的事情，就是随机事件。
样本空间S 有两个特殊的子集；S 自身和空集φ。
S 含所有的样本点，每次试验，必然发生；φ不含样本点，每次试验一定不发生。
在一定条件下，每次试验一定发生的事情，称为必然事件。
每次试验一定不发生的事情，称为不可能事件。
必然事件S ，不可能事件φ是事先就能明确是否会发生，属于确定性现象，但在概率统计中，为了研究问题的需要，仍将其作为特殊的随机事件处理，使得事件间有着完整的关系，S A ⊂⊂φ。
此外，在样本空间的子集中，只含一个样本点的事件，称为基本事件。
样本点的个数超过一个的事件，称为复合事件。
2、事件之间的关系和运算由于事件是样本点的集合，因此，事件之间的关系和运算可借助集合之间的关系与运算来定义。
其运算规律也同集合间的运算规律。
(1)事件的包含与相等若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称A 包含于B (或B 包含A )，记B A ⊂(或A B ⊃)。
若B A ⊂且A B ⊃，则称事件A 与事件B 相等，记B A =。
(2)事件的和事件A 与事件B 至少有一个发生的事件，记作B A ，称为A 与B 的和事件，有{}B e A e e B A ∈∈=或 。
同样地有限个事件n A A A ,,,21 至少有一个发生的事件，记作 ni i A 1=，称为有限个事件的和事件。
可列多个事件 ,,,,21i A A A 至少有一个发生的事件，记作 ∞=1i i A ，称为可列多个事件的和事件。
(3)事件的积事件A 与事件B 同时发生的事件，记作B A (或AB )，称为A 与B 的积事件，{}B e A e e AB ∈∈=且 类似地，有限个多个事件n A A A ,,,21 同时发生的事件，记作 ni i A 1=。
概率论历年考试题目及知识点串讲11-11-20
填空题：1. 设A ，B ，C 为随机事件，则事件“A ，B ，C 中恰有二个发生”可表示为ABC ABC A BC ⋃⋃.2、事件A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中至少有二个发生”表示为 ABC+A~BC+~ABC+AB~C .3、记三事件为A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中至少有一个发生”表示为 C B A -Ω4． 设A ，B 相互独立，且()11(),,63P AB P AB ==则()P A =2,3()P A B ⋃=2.35．设随机事件A 、B 相互独立，已知只有A 发生的概率和只有B 发生的概率都等于 1/4，则P(A)= 1/2， P(B)= 1/2。
6．设B A ,相互独立且都不发生的概率为91，又A 发生而B 不发生的概率与B 发生而A 不发生的概率相等，则()=P A __2/3__.7、已知P(A)=0.5，P （B ）＝0.6，当A ，B 相互独立时，____2.0_)B A (____,8.0_)(=-=⋃P B A P 。
8、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时，5.0)|(,65.0)(==⋃A B P B A P 。
选择题：1．设,A B 为随机事件，且()()0,1P B P A B >=，则必有 （ A ）（A ）()()P A B P A ⋃= (B) ()()P A B P B ⋃= (C) ()()P A B P A ⋃> (D) ()()P A B P B ⋃> 2．对于事件B A ,，下列命题正确的是( D ))(A 如果BA ,互不相容，则B A ,也互不相容 )(B 如果B A ⊂，则B A ⊂ )(C 如果BA ⊃，则B A ⊃ )(D 如果B A ,对立，则B A ,也对立1.甲袋中有4只白球，6只红球，乙袋中有3只白球，7只红球，今从甲袋任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球：⑴求所取球为白球的概率。
概率论与数理统计第4章题库
第4章数字特征填空题1. 设随机变量X只取-1，0，1三个值，且相应的概率之比1：2：3，则()E X=_________.答案：1 3知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望参考页:P87学习目标:1难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：123 {1},{0},{1}666 P X P X P X=-=====1231()(1)016663E X=-⋅+⋅+⋅=.2. 设随机变量X的分布律为下表，则DX=_______.答案：23 16知识点：4.10 方差的概念参考页:P87学习目标:1难度系数: 1提示一：4.10 离散型随机变量方差的定义提示二：无提示三：无提示四（同题解） 题型：填空题 题解：34EX =,2223()16DX EX EX =-=. 3．设X 表示2次独立重复射击命中目标的得次数，每次命中目标的概率为0.4，则EX =_____. 答案：0.8知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望 参考页: P88 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：()2,0.4X B ~，0.8EX = 4. 设随机变量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-p pX 110~，10<<p ，当____=p 时，)(X D 取得最大值. 答案：2316知识点：4.11 常见随机变量的方差 参考页: P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.11 两点分布的方差 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：()(1)D X p p =-，12p =时，)(X D 取得最大值.5．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，若每次命中目标的概率是0.4，则2()E X =_____.答案：18.4知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：4.11 二项分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：由()10,0.4X B ~得()100.44E X np ==⨯=，()()1100.40.6 2.4D X np p =-=⨯⨯=，()()()22 2.41618.4E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦6. 设X 表示10次独立射击中命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则2(1)X +的期望为_________. 答案：27.4知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：4.11 二项分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：~(10,0.4)X B ，22(1)(1)[(1)]E X D X E X +=+++22.4527.4=+=.7. 设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且12EX =，8DX =，则n =_____， p =_____.答案：36,13知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：4.11 二项分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：()12E X np ==, ()()18D X np p =-=，解得13p =，36n = 8. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2()P X E X == .答案：112e - 知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 泊松分布的数学期望 提示二：4.11 泊松分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：~(1)X P ，22()()[()]2E X D X E X =+=，{}{}2()2P X E X P X ===112e -=. 9. 设随机变量X 的概率分布为{} (0,1,2,)!CP X k k k ===L , 则2()E X =_________. 答案：2知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1难度系数: 2提示一：2.1离散型随机变量的分布律的性质 提示二：4.2 泊松分布的数学期望 提示三：4.11 泊松分布的方差 提示四（同题解） 题型：填空题题解：001!!k k C C Ce k k ∞∞====∑∑，故1C e =.1{}!e P X k k -==，~(1)X P ， 22()()[()]112E X D X E X =+=+=.10. 设X 在[1,1]-上服从均匀分布，则E X = _________；12E X ⎛⎫=⎪+⎝⎭_________；12D X ⎛⎫= ⎪+⎝⎭_________.答案：12，1ln 32，3ln 41312- 知识点：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 参考页: P91 学习目标: 3 难度系数: 2提示一：2.12 均匀分布的概率密度 提示二：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 提示三：4.10 方差的概念 提示四（同题解） 题型：填空题题解：X 的概率密度为 111()2 0 x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，，E X 111011()22x f x dx x dx xdx +∞-∞-====⎰⎰⎰，12E X ⎛⎫=⎪+⎝⎭11111111()l n (2)2222f x d x d x x x x +∞--∞-=⋅=+=++⎰⎰， 212E X ⎛⎫= ⎪+⎝⎭221111111111()222223f x dx dx x x x +∞--∞-⎛⎫⎛⎫=⋅=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎰⎰， 22111222D E E X X X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭3ln 41312-.11. 设X 服从参数为λ的指数分布，且22()9E X =，则λ=_________. 答案：3知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.5 指数分布的数学期望 提示二：4.11 指数分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：由已知222222112()()()9E X D X E X λλλ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭由0λ>知3λ=.12. 随机变量X 与Y 独立，且~(1,2)X N ，~(2,5)Y N -，则234~X Y -+_______. 答案：(12,53)N知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.5 正态分布的数学期望 提示二：4.11 正态分布的方差 提示三：4.9数学期望的性质提示四：4.13方差的性质 题型：填空题题解： (234)2()3()412E X Y E X E Y -+=-+=，(234)4()9()53D X Y D X D Y -+=+=234~(12,53)X Y N -+13. 随机变量X 与Y 相互独立且都服从正态分布1(,)2N μ，如果1{1}2P X Y +≤=，则μ= .答案：12知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 正态分布的数学期望，方差 提示二： 4.9数学期望的性质 提示三： 4.13方差的性质提示四： 2.14 正态分布概率密度的性质 题型：填空题题解： ()()()2E X Y E X E Y μ+=+=，()()()1D X Y D X D Y +=+= 由1{1}2P X Y +≤=知21μ=，所以12μ= 14. 设随机变量X 的概率密度为221() ()xx f x x-+-=-∞<<+∞则()E X = _________ ，()D X =_________.答案：112， 知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 3提示一：2.14 正态分布概率密度提示二： 4.5 正态分布的数学期望 提示三： 4.11 正态分布的方差 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：22(1)122121()1x xx f x e--⋅-+-==，()1E X =，1()2D X =. 15．已知1,1,9,16,EX EY DX DY ====X 与Y 独立，则(32)E X Y += ，(32)D X Y -= ．答案：5, 145知识点：4.9数学期望的性质，4.13方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.9数学期望的性质 提示二： 4.13方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：(32)3()2()5E X Y E X E Y +=+=，(32)9()4()145D X Y D X D Y -=+=16．已知(2)X P ~，[1 2]Y U ~，，且X 与Y 独立，则()E XY =____________， ()4E X Y -= ()12D X Y -=答案：3, 4, 14-知识点：4.9数学期望的性质，4.13方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 1 难度系数: 2提示一： 4.9数学期望的性质提示二： 4.13方差的性质提示三： 4.2 泊松分布的数学期望，方差 提示四： 4.5 均匀分布的数学期望，方差 题型：填空题题解：3()()()232E XY E X E Y ==⋅=，()34()4()2442E X Y E X E Y -=-=-⋅=- ()112()144()21441412D X Y D X D Y -=+=+⋅=17. 若(,)X Y 的联合概率密度22253()321650251(,)32x xy y f x y eπ--+=，则(,)X Y 服从____________分布，且()E X =______，()E Y =______，()D X =______，()D Y =______，, X Y ρ=______. 答案：30, 0, 16, 25,5知识点：4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P107 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 3.11二维正态分布联合概率密度 提示二： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：2213(2)545454251(,)42455x xy y f x y eπ--⋅+⋅⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=⋅⋅⋅,(,)X Y 服从二维正态分布()E X =()0E Y =, ()16D X =,()25D Y =,, 35X Y ρ=. 18. 设二维随机变量(,)X Y 服从22(,,,,0)N μμσσ，则2()E XY =________. 答案：22()μσμ+知识点：4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P107 学习目标: 4难度系数: 2提示一： 4.17 二维正态分布相关系数的含义 提示二： 4.9数学期望的性质提示三： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：22222()()()()[()]()E XY E X E Y E X D Y E Y μσμ==+=+.19. 设(,)~(0,0,0.5,0.50)X Y N ，，Y X Z -=，则方差=)(Z D . 答案：21π-知识点：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P91, P107 学习目标: 3，4 难度系数: 3提示一： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示二： 4.6 连续型随机变量函数的数学期望 提示三： 4.10 方差的概念 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：~(0,1)Z X Y N =-，()E Z =22z dz +∞--∞=⎰2202202z z dz +∞--+∞===⎰()()()22 D Z E Z E Z =-()22E Z π=-()222()1D Z E Z ππ=+-=-20. 随机变量(,)X Y 的联合概率分布为下表，则X 与Y 的协方差(,)Cov X Y 为_______.答案：9-知识点：4.14 协方差的概念 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.14 协方差的概念提示二： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题 题解：141016,,999EX EY EXY ===，124(,)9Cov X Y =- 21. 随机变量(,)X Y 的联合概率分布为下表，则X 与Y 的相关系数XY ρ为_______.答案：0知识点：4.16 相关系数的概念与性质 参考页: P106 学习目标: 4难度系数: 2提示一： 4.16 相关系数的概念提示二： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题 题解：()22222242,,33399EX EX DX EX EX ===-=-= 220,,3EY EY ==()2223DY EY EY =-=, 0EXY =所以，(,)0Cov X Y =，0XY ρ=22．设随机变量,X Y 有()1E X =，()2E Y =, (,)2Cov X Y =，则()E XY =______. 答案：4知识点：4.14 协方差的概念 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.14 协方差的概念 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：()(,)()()224E XY Cov X Y E X E Y =+=+= 23．设4,9,0.5XY DX DY ρ===，则(2)D X Y -=________.答案：13知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：(2)4()()4(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-4()()4D X D Y ρ=+-16940.52313=+-⨯⨯⨯=24．设两个随机变量Y X ,，已知25.0,9,16===XY DY DX ρ，则)(Y X D += _. 答案：31知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++()()2ρ=++XY D X D Y 16920.254331=++⨯⨯⨯=25．设,X Y 为随机变量，且()7D X Y +=，4DX =, 1DY =，则XY ρ= . 答案：12知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：7()()()2D X Y D X D Y ρ=+=++5227XY ρ+⨯=，解得12XY ρ=. 26．设两个随机变量,X Y ，已知16,9,()31DX DY D X Y ==+=，试计算：XY ρ=____________，()D X Y -=____________.答案：1, 194知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：31()()()2D X Y D X D Y ρ=+=++即2524331XY ρ+⨯⨯=，解得14XY ρ=()()()2D X Y D X D Y ρ-=+-125243194=-⨯⨯⨯=27.设随机变量X 与Y 的相关系数为0.9，若,4.0-=X Z ，则Z Y 与的相关系数为 . 答案：0.9知识点：4.16 相关系数的概念与性质 参考页: P106 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.16 相关系数的概念与性质 提示二： 4.15 协方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题 题解：,Y Z ρ===, 0.9X Y ρ==选择题1. 现有10张奖券，其中8张为2元券，2张为5元券，某人从中随机地无放回地抽取了3张，则此人得奖金额的数学期望为（ ）.（A ）6； （B ）12； （C ）7.8； （D ）9. 答案：（C ）知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 参考页: P87 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.1 离散型随机变量的数学期望 提示二： 无 提示三：无提示四： （同题解） 题型：选择题题解：X 为得奖金额，383107{6}15C P X C ===，21823107{9}15C C P X C ===， 12823101{12}15C C P X C ===，771()69127.8151515E X =⨯+⨯+⨯=，选（C ）.2. 设~(,)X B n p ，且() 2.4E X =， 1.44DX =（），则,n p 分别为（ ）. （A ）4,0.6n p ==； （B ）6,0.4n p ==； （C ）8,0.3n p ==； （D ）24,0.1n p ==. 答案：（B ）知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：4.11 二项分布的方差提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：~(,)X B n p ,2.4=()E X np =,1.44=(1)D X np p =-（）,解得0.4, 6p n ==，选（B ）.3．设X 服从参数为2的泊松分布，即22{}k P X k e k -==！, 则X 的数学期望和方差分别为（ ） (A)12和12; (B) 2和4; (C) 12和14; (D) 2和2. 答案：（D ）知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 泊松分布的数学期望 提示二：4.11 泊松分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：由X 服从参数为2的泊松分布知，()()2E X D X ==，选（D ）.4. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，若[(1)(2)]1E X X --=，则参数λ=（ ） （A ）3 ; (B) -1 ; (C) 1 ; (D) 2 . 答案：（C ）知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 泊松分布的数学期望 提示二：4.11 泊松分布的方差 提示三：4.9 数学期望的性质题型：选择题题解：221[(1)(2)]()3()2()()3()2E X X E X E X D X E X E X =--=-+=+-+2210λλ-+= λ=1，选（C ）.5. 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则()E X =( ) (A) 2; （B ）4; （C ）12; （D ）14. 答案：（C ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望 参考页: P90 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.5 指数分布的数学期望 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：由X 服从参数为2的指数分布知1()2E X =，选（C ）. 6. 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，若2()72E X =，则参数λ=（ ）(A) 6 ; (B) 4 ; (C) 13 ; (D) 16. 答案：（D ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 指数分布的数学期望 提示二：4.11 指数分布的方差 提示三：无题型：选择题题解：~()X E λ 211(),()E X D X λλ==2272()()()E X D X E X ==+解得 16λ=，选（D ）. 7. 设随机变量X 的分布函数为21 0() 0 0x e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩，，且μ=)(X Eσ=，则μ与σ的关系为（ ）.（A ）μ=σ； （B ）μ=2σ； （C ）2μ=σ； （D ）μ=1σ.答案：（A ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：2.10 连续型随机变量的概率密度与分布函数之间的关系 提示二：4.5 指数分布的数学期望 提示三：4.11 指数分布的方差 提示四（同题解） 题型：选择题题解：由已知X 的概率密度为22 0() 0 0x e x f x x -⎧≥=⎨<⎩，，，1()2E X =12=，选（A ）.8. 设随机变量,X Y 相互独立，其中X 在[1,7]上服从均匀分布，Y 服从参数为4的泊松分布，记2U X Y =-，则(),E U ()D U 等于（ ）.（A ）4,19-； （B ）4,13-； （C ）12,19； （D ）12,10. 答案：（A ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 均匀分布的数学期望与方差 提示二：4.2 泊松分布的数学期望与方差 提示三：4.9 数学期望的性质 提示四：4.13 方差的性质 题型：选择题题解：由X 在[1,7]上服从均匀分布知，()4E X =，()3D X = 由Y 服从参数为4的泊松分布知，()4E X =，()4D X =()()2()424E U E X E Y =-=-⨯=-，()()4()34419D U D X D Y =+=+⨯=，选（A ）.9．设X 服从正态分布)2,4(N ，则32Y X =+服从哪个分布（ ）(A) )18,12(N ; (B) )20,14(N ; (C) )18,14(N ; (D) )8,12(N . 答案：（C ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 正态分布的数学期望 提示二：4.11 正态分布的方差 提示三：4.9 数学期望的性质 提示四：4.13 方差的性质 题型：选择题题解：()3()214E Y E X =+=，()9()18D Y D X ==，~(14,18)Y N ，选（C ）. 10. 设随机变量X 和Y 相互独立，~(1,1)X N ，~(2,1)Y N -，则(2)D X Y -=（ ） （A ）3； （B ）5； （C ）4； （D ）1. 答案：（B ）知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.11 正态分布的方差 提示二： 4.13 方差的性质 提示三：无提示四： （同题解） 题型：选择题题解：(2)4()()5D X Y D X D Y -=+=，选（B ）.11. 对任意随机变量X ，若()E X 存在，则[()]E E EX 等于（ ）. （A ）0; （B ）X ; （C ） 3()EX ; （D ）()E X . 答案：（D ）知识点：4.9 数学期望的性质 参考页: P94 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 4.9 数学期望的性质 提示二： 无 提示三：无提示四： （同题解） 题型：选择题题解：由期望性质知[()]()E E EX E X =，选（D ）.12. 设随机变量X 与Y 相互独立，方差分别为4和2，则32X Y -的方差是( ). (A) 8; (B) 44; (C) 28; (D) 16. 答案：（B ）知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：4.13 方差的性质 提示二：无 提示三：无提示四： （同题解） 题型：选择题题解：(32)9()4()44D X Y D X D Y -=+=，选（B ）.13.设()2,()1,()1,()2,E X D X E Y D Y ====且Y X ,相互独立，则32X Y +的数学期望与方差分别为（ ）(A) 8和7; (B)8和17; (C) 7和8; (D)17和7. 答案：（B ）知识点：4.9 数学期望的性质 4.13 方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：4.9 数学期望的性质 提示二：4.13 方差的性质 提示三：无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：(32)3()2()8E X Y E X E Y +=+=(32)9()4()17D X Y D X D Y +=+=，选（B ）.14．设X 为随机变量，,0)(≥X E 2)121(2=-X E ,21)121(=-X D ，则()E X =（ ） (A)22;(B) 1; (C) 0; (D) 2.答案：（D ）知识点：4.9 数学期望的性质 4.13 方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：4.9 数学期望的性质 提示二：4.13 方差的性质 提示三：无 提示四：（同题解） 题型：选择题 题解：由2)121(2=-X E 知，2()6E X =，由11(1)22D X -=知，()2D X =22()()()D X E X E X =-，即26()2E X -=，由()0E X ≥知，()2E X =. 选（D ）. 15. 随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ） （A ）{}211P Y X =--=;(B) {}211P Y X =-=;(C) {}211P Y X =-+=; (D) {}211P Y X =+=.答案：（D ）知识点：4.16 相关系数的概念与性质 参考页: P106 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.16 相关系数的性质 提示二： 4.5 正态分布的数学期望 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：(21)1EY E X =+=，选（D ）.16. 若二维随机变量(,)X Y 满足()()()E XY E X E Y =，则X 与Y （ ） （A ）相关； （B ）独立； （C ）不相关； （D ）不独立. 答案：（C ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4难度系数: 1提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：由()()()E XY E X E Y =知，(,)0Cov X Y =，所以X 与Y 不相关，选（C ）. 17．对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =，则（ ）（A ）()()()D XY D X D Y =⋅； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+； （C ） X 与Y 相互独立； （D ）X 与Y 互斥. 答案：（B ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.13 方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：由()()()E XY E X E Y =知，(,)0Cov X Y =，()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++()()D X D Y =+，选（B ）.18．设随机变量X 与Y 的协方差(,)0,Cov X Y =则下列结论正确的是 ( ) (A) X 与Y 独立； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+; （C ）()()()D X Y D X D Y -=-； (D) ()()()D XY D X D Y =. 答案：（B ）知识点：4.15 协方差的性质参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.13 方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++()()D X D Y =+，选（B ）. 19. 若随机变量,X Y 满足()()D X Y D X Y +=-，则必有（ ）（A ）X 与Y 相互独立；（B ）X 与Y 不相关; （C ）()0D X =； (D) ()()0D X D Y = 答案：（B ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.13 方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++，()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+- 所以(,)0Cov X Y =，即X 与Y 不相关. 选（B ）. 20. 下列命题正确的是（ ）（A ）若Y X ,不相关，则()()()D X Y D X D Y +=+； （B ）若()E XY EX EY =⋅，则Y X ,相互独立； （C ）若()()()D X Y D X D Y +=+，则Y X ,相互独立；（D ）若Y X ,不相关，则Y X ,的联合概率密度(,)()()X Y f x y f x f y =⋅； 答案：（A ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.9 数学期望的性质 提示三： 4.13 方差的性质 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：若Y X ,不相关，则(,)0Cov X Y =.()()()2(,D X Y D X D Y C o v X Y +=++()()D X D Y =+，选（A ）.21．下列结论正确的是（ ）（A ）X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关； （B ）X 与Y 不独立，则X 与Y 相关； （C ）X 与Y 不相关，则X 与Y 相互独立； （D ）X 与Y 相关，则X 与Y 相互独立. 答案：（A ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.9 数学期望的性质 提示二： 4.15 协方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：X 与Y 相互独立，有()E XY EX EY =⋅，即(,)0C o v X Y =，所以X 与Y 不相关，选（A ）.22. 若两个随机变量X 和Y 相互独立，则以下结论不一定成立的是( ). (A) ()D XY DX DY =⋅; (B) ()D X Y DX DY +=+; (C) (,)0Cov X Y =; (D) ()E XY EX EY =⋅. 答案：（A ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.9 数学期望的性质 提示三： 4.13 方差的性质 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：X 与Y 相互独立，有()E XY EX EY =⋅，即(,)0Cov X Y =，()()()2(,D X Y DX D Y C o v X Y +=++()()D X D Y =+， 选项（B ）（C ）（D ）均成立，故选（A ）.23. 随机变量X 和Y 相互独立，则等式 ①()()()E X Y E X E Y -=-②()()()E XY E X E Y =g ③()D X Y DX DY -=- ④()()()D XY D X D Y =g 中成立的为（ ）（A ）①③； （B ）②④； （C ）①④； （D ）①②. 答案：（D ）知识点：4.9数学期望的性质，4.13方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.9数学期望的性质 提示二： 4.13方差的性质 提示三： 无提示四：（同题解） 题型：选择题题解：由期望的性质()E X Y EX EY -=-，X 与Y 相互独立时，有()E XY EX EY =⋅，选（D ）. 24. 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记max(,),U X Y =min(,)V X Y =，则()E UV 等于（ ）.(A) ()()E U E V ； (B) ()()E X E Y ； (C) ()()E U E Y ； (D) ()()E X E V . 答案：（B ）知识点：4.9数学期望的性质 参考页: P94 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.9数学期望的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：()()()()E UV E XY E X E Y ==，选（B ）.25. 设连续型随机变量1X 与2X 相互独立，且方差均存在，1X 与2X 的概率密度分别为1()f x 与2()f x ，随机变量1Y 的概率密度1121()[()()]2Y f y f y f y =+，随机变量2121()2Y X X =+，则（ ）(A) 1212,EY EY DY DY >>； (B) 1212,EY EY DY DY ==； (C) 1212,EY EY DY DY =<； (D) 1212,EY EY DY DY =>. 答案：（D ）知识点：4.9 数学期望的性质，4.13方差的性质 参考页: P94, P103学习目标: 1 难度系数: 3提示一： 4.9数学期望的性质 提示二： 4.13方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：特值法，设12,X X 均服从标准正态分布()0,1N ，相互独立22212221()]2y y y Y f y e e e ---=，()1~0,1Y N ，2121()02E Y E X E X =+=, 21211()42DY DX DX =+=， 1212,EY EY DY DY =>，故选（D ）.26. 设随机变量X 的分布函数为1()0.3()0.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则()E X =（ ）. （A ）0；(B) 0.3；(C) 0.7；(D) 1.答案：（C ）知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 参考页: P90 学习目标: 1 难度系数: 3提示一：2.10 连续型随机变量概率密度与分布函数的关系 提示二： 4.4 连续型随机变量的数学期望的定义 提示三： 2.14 正态概率密度的性质 提示四：（同题解） 题型：选择题题解1： 11()()0.3()0.722x f x F x x ϕϕ-⎛⎫'==+⋅⎪⎝⎭1()()0.3()0.352x E X xf x dx x x dx x dx ϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰120.352(21)()0.7()0.7x t t t dt t dt ϕϕ-=+∞+∞-∞-∞⋅+===⎰⎰，选（C ）.题解2：1()()0.3()0.352x E X xf x dx x x dx x dx ϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2221()(1)22220.350.352x x dx x dx ---+∞+∞-⋅-∞-∞==⎰⎰2(1)220.70.7x x dx --+∞⋅-∞==⎰，选（C ）.27. 设二维随机变量()()221212,,,,,X Y N μμσσρ~，则下列结论错误的是（ ）.（A ）()()221122,,,X N Y N μσμσ~~； （B ） X 与Y 相互独立的充要条件是0ρ=；（C ）()12E X Y μμ+=+； （D ）()2212D X Y σσ+=+.答案：（D ）知识点： 4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P107 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示二： 4.9 数学期望的性质 提示三： 4.13 方差的性质 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：()()221212,,,,,X Y N μμσσρ~，则()()221122,,,X N Y N μσμσ~~()12E X Y μμ+=+，X 与Y 相互独立的充要条件是0ρ=()221212()()22XY XY D X Y D X D Y ρσσρσσ+=++=++，选（D ）28. 设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为（ ） (A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D) ()()X Y f x f y . 答案：（A ）知识点： 4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P107 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示二： 3.10 连续型随机变量的条件概率密度 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：对于二维正态分布，X 与Y 不相关，则X Y 与相互独立(,)()()X Y f x y f x f y =，/(,)()()X Y Y f x y f x y f y =()X f x =，选（A ）.29. 将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则X 和Y 的相关系数等于（ ）（A ） 1-； (B) 0； (C) 12； (D) 1. 答案：（ A ）知识点： 4.16 相关系数的概念与性质 参考页: P106 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.16 相关系数的概念与性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：Y n X =-，11~(,),~(,)22X B n Y B n (,)()()C o v X n X D X D Y -=-=-，1XY ρ=-，选（A ）.计算题1. 设离散型随机变量X 的分布律如下表所示求()E X ，2()E X ，2(35)E X +. 答案：0.2, 2.8, 13.4-知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 参考页: P87，P89 学习目标: 1，3 难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：()20.400.320.3E X =-⨯+⨯+⨯2.0-=，2222()(2)0.400.320.3E X =-⨯+⨯+⨯8.2=， 22(35)3()5E X E X +=+222(3(2)5)0.4(305)0.3(325)0.3=⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯4.13=.2. 某射手有3发子弹，射一次命中的概率为32，如果命中了就停止射出，否则一直独立射到子弹用尽. 求(),()E X D X .答案：139，3881知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P87，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：123~2121133333X ⎛⎫⎪ ⎪⋅⎝⎭,9139********)(=⨯+⨯+⨯=X E 923913922321)(2222=⨯+⨯+⨯=X E ,8138)()()(22=-=X E X E X D .3．设一汽车在开往目的地的道路上需要经过三组信号灯，每组信号灯以12的概率允许或禁止汽车通过. 以X 表示汽车首次停下时它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X 的数学期望和方差. 答案：78，7164知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P87，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题 题解：1()234888E X =+⨯+⨯= 22211115()()(),()494888D X E X EX E X =-=+⨯+⨯=所以22215771()()()()8864D X E X EX =-=-= 4. 一盒中有4个球，球上分别标有号码0，1，1，2从盒中有放回的抽取2个球，设X 为被观察到的球上号码的乘积，求()E X . 答案：1知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 参考页: P87 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：分别用12X X ，表示第一次和第二次摸到的球的标号. X 表示两次摸球标号的乘积 则X 的所有可能取值有0，1，2，412{0}{(0)(0)}P X P X X ===+=1212{0}{0}{0,0}P X P X P X X ==+=-==11117444416=+-⋅= 12{1}{1,1}P X P X X ====111224=⋅= 1212{2}{1,2}{2,1}P X P X X P X X ====+==1111124424=⋅+⋅= 12{4}{2,2}P X P X X ====1114416⋅=1112414416EX =+⨯+⨯=.5. 对某一目标进行射击，直至击中目标为止. 如果每次击中目标的概率均为(01)p p <<, 求: (1) 射击次数为偶数的概率; (2) 射击次数的数学期望. 答案：（1）12p p -- （2）1p知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 参考页: P87 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：2.1离散型随机变量取值的概率 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：记射击次数为X ，显然X 的分布律如下 1{}(1)k P X k p p -==-， k =1, 2, … （1）所求概率为2111{2}(1)k k k P X k p p +∞+∞-====-∑∑2)1(1)1(p p p ---=p p --=21. （2）1(){}k E X k P X k +∞==⋅=∑11(1)k k kp p +∞-==-∑p1=（ 注意：级数11(1)k k kx x +∞-=-∑x1=，)2,0(∈x ）. 6. 设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，求kXY e =的数学期望.答案：((1))kne p p +-知识点： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 2提示二： 2.3 二项分布的分布律 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：~(,)X B n p ， {}(1)l ln l n P X l C p p -==- , 0, 1, 2,,.l n =⋯故 ()()kXE Y E e =0(1)nk lllnln l e C p p -==-∑0()(1)nl k l n ln l C e p p -==-∑n k p p e ))1((-+=. 7. 设随机变量X 服从参数为0.5的泊松分布，求随机变量1=1Y X+的数学期望. 答案：0.52(1)e --知识点： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 2提示一： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示二： 2.3 泊松分布的分布律 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解： 0.5=0110.5()=1+1!k k E Y E e Xk k ∞-⎛⎫=⋅⎪+⎝⎭∑0.51=00.5=0.5(1)!k k ek -+∞+∑ 0.50.50.50.5=00.5=21=2(1)2(1)!k k ee e e k ∞---⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦∑. 8. 设离散型随机变量X 的分布律如下表所示.求随机变量2XY =的数学期望和标准差. 答案：2.4, 1.41参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 1提示一： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示二： 4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：()(2)X E Y E =423.021.022.022101⨯+⨯+⨯+⨯=-4.2=. 2()(4)X E Y E =443.041.042.042101⨯+⨯+⨯+⨯=-75.7=，22()()[()]D Y E Y E Y =-99.14.275.72=-=，1.41=≈.9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生两次故障所获利润为0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少？ 答案：5.209知识点： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 2提示一： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示二： 2.3 二项分布的分布律 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：设Z 表示一周内发生故障次数（五天工作日，每天发生0或1次故障）~(5,0.2)Z B ，55{}0.20.8k k k P Z k C -== (k =0, 1, 2, 3, 4, 5)(())E C Z=10×0.3277+5×0.4096+0×0.2048-2 (0.0512+0.0064+0.00032)=3.277+2.048-0.11584=5.209(万元)10. 设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量100010XY XX>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若，若，若求Y的方差.答案：8 9知识点：4.10 方差的概念参考页:P97学习目标:1难度系数:2提示一：4.3离散型随机变量函数的数学期望提示二：4.10 方差的概念提示三：2.12 均匀分布提示四（同题解）题型：计算题题解：由已知2{1}{0}3P Y P X==>=，1{1}{0}3P Y P X=-=<= Y的分布律为1()3E Y=，2()1E Y=，2218()()[()]199D YE Y E Y=-=-=.11. 设X 的概率密度为,01()2,120,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 , 求)(X E ，()D X .答案：1，16知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P90，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.4 连续型随机变量的数学期望的定义 提示二：4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题 题解：12201()()(2)E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞==+-⎰⎰⎰122323101111141(81)13333x x x =+-=+---=12223201()()(2)E X x f x dx x dx x x dx +∞-∞==+-⎰⎰⎰122434101121434x x x =+-12177154346=+⋅-⋅= 22)]([)()(X E X E X D -=71166=-=. 12．设X 的概率密度为110()1010x x f x x x +-≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩，，，其他，求()E X ，()D X . 答案：0，16知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P90，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.4 连续型随机变量的数学期望的定义提示二：4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题 题解：()()E X xf x dx +∞-∞=⎰011(1)(1)x x dx x x dx -=++-⎰⎰2030213111111102323x x x x --=++-=，22()()E X x f x dx +∞-∞=⎰01221(1)(1)x x dx x x dx -=++-⎰⎰34034111111()()3434x x x x -=++-16=， 从而221()()[()]6D XE X E X =-= .13. 设连续型随机变量X 的概率密度为1,02()0,kx x f x +≤≤⎧=⎨⎩其他 求 (1)系数k ; (2) X 的分布函数()F x ; (3)计算{1.5 2.5}P X << (4)求期望()E X ，方差()D X .答案：（1）12- （2）20, 01(), 0241, 2x F x x x x x <⎧⎪⎪=-+≤<⎨⎪≥⎪⎩ （3）0.0625 （4）2, 03知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P90，P97 学习目标: 1 难度系数: 3提示一：2.10连续型随机变量的概率密度的性质提示二：2.10连续型随机变量的概率密度与分布函数的关系 提示三：4.4 连续型随机变量数学期望的定义 提示四：4.10 方差的概念 题型：计算题 题解：(1)2(1)1kx dx +=⎰，12k =-(2)(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，0x <时，()0F x =，2x ≥时，()1F x =.02x ≤<时，2011()(1)24xF x t dt x x =-+=-+⎰20, 01(), 0241, 2x F x x x x x <⎧⎪⎪=-+≤<⎨⎪≥⎪⎩(3){1.5 2.5}(2.5)(1.5)0.0625P X F F <<=-= (4) ()()E X xf x dx +∞-∞=⎰20(1)2x x dx =-+⎰32220011122323x x =-⋅+= 22()()E X x f x dx +∞-∞=⎰220(1)2x x dx =-+⎰42320011122433x x =-⋅+=， 从而22()()[()]0D X E X E X =-= .14. 设连续型随机变量X 的概率密度为：()0102a +bx ,<x <f x =,⎧⎨⎩其他，已知数学期望3()5E X =.求：（1）常数a,b 的值；（2）()XE e . 答案：（1）36, 55（2）935e -知识点：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 参考页: P91 学习目标: 3 难度系数: 2提示一：2.10连续型随机变量的概率密度的性质 提示二：4.4 连续型随机变量数学期望的定义 提示三：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 提示四（同题解） 题型：计算题题解：（1）10113+2-=f(x)dx =(a +bx )dx =a +b ∞∞⎰⎰33a b ⇒+= 2311()()524E X xf(x)dx x a bx dx a b +∞-∞==+=+⎰⎰10=解得：36,55a b ==.（2）9()()35X x E e e f x dx e +∞-∞==-⎰。
概率论与数理统计常考知识点
概率论与数理统计常考知识点概率论与数理统计初步主要考查考生对研究随机现象规律性的基本概念、基本理论和基本方法的理解，以及运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。
随机事件和概率考查的主要内容有：(1)事件之间的关系与运算，以及利用它们进行概率计算；(2)概率的定义及性质，利用概率的性质计算一些事件的概率；(3)古典概型与几何概型；(4)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率；(5)事件独立性的概念，利用独立性计算事件的概率；(6)独立重复试验，伯努利概型及有关事件概率的计算。
要求考生理解基本概念，会分析事件的结构，正确运用公式，掌握一些技巧，熟练地计算概率。
随机变量及概率分布考查的主要内容有：(1)利用分布函数、概率分布或概率密度的定义和性质进行计算；(2)掌握一些重要的随机变量的分布及性质，主要的有：（0-1）分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、均匀分布、指数分布和正态分布，会进行有关事件概率的计算；(3)会求随机变量的函数的分布。
(4)求两个随机变量的简单函数的分布，特别是两个独立随机变量的和的分布。
要求考生熟练掌握有关分布函数、边缘分布和条件分布的计算，掌握有关判断独立性的方法并进行有关的计算，会求两个随机变量函数的分布。
随机变量的数字特征考查的主要内容有：(1)数学期望、方差的定义、性质和计算；(2)常用随机变量的数学期望和方差；(3)计算一些随机变量函数的数学期望和方差；(4)协方差、相关系数和矩的定义、性质和计算；要求考生熟练掌握数学期望、方差的定义、性质和计算，掌握由给出的试验确定随机变量的分布，再计算有关的数字的特征的方法，会计算协方差、相关系数和矩，掌握判断两个随机变量不相关的方法。
大数定律和中心限定理考查的主要内容有：(1)切比雪夫不等式；(2)大数定律；(3)中心极限定理。
要求考生会用切比雪夫不等式证明有关不等式，会利用中心极限理进行有关事件概率的近似计算。
高考概率题知识点总结
高考概率题知识点总结高考数学中，概率题是一个常见而且重要的考点。
掌握概率的基本概念和计算方法，对于解题和应对高考数学考试至关重要。
本文将对高考概率题的一些重要知识点进行总结，帮助考生更好地备考。
一、概率的基本概念概率是数学中的一个重要分支，它研究事件发生可能性的大小。
在高考中，我们常见的概率题目多以抛硬币、掷骰子等为基础，通过求解概率来得出某种情况的可能性。
在概率计算中，事件的发生可以用分数形式表示，范围在0到1之间，其中1代表必然事件，0代表不可能事件。
二、概率的计算方法在概率的计算过程中，有两种常见的方法：古典概率和统计概率。
1.古典概率古典概率是指通过计算所有可能结果的大小，来推断某一结果发生的可能性大小。
典型的例子就是抛掷硬币和掷骰子。
例如，掷一枚硬币，正反两面各出现的概率都是1/2。
2.统计概率统计概率是指通过实验和试验数据，来推测某一事件发生的可能性。
这种方法一般需要大量的数据支撑，通过频率来求解概率。
例如，通过大量的实验数据统计，我们可以推测扔一颗骰子出现点数1的概率是1/6。
三、概率的性质概率具有一些重要的性质，掌握这些性质可以帮助我们更好地解题。
1.加法性对于两个互斥事件A和B，它们的概率可以通过求和来计算。
即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
2.减法性对于事件A，我们可以通过事件B的概率计算出A与B同时发生的概率。
即P(A∩B) = P(A) - P(A∪B)。
3.乘法性对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于各自的概率的乘积。
即P(A∩B) = P(A) * P(B)。
四、排列组合与概率问题在高考概率题中，经常涉及到排列组合的知识。
1.排列排列是指从一组对象中选取若干个进行排列。
对于n个不相同的对象，从中选取m个进行排列，共有A(n, m) = n!/(n-m)!种排列方式。
2.组合组合是指从一组对象中选取若干个进行组合。
对于n个不相同的对象，从中选取m个进行组合，共有C(n, m) = n!/(m!(n-m)!)种组合方式。