有限元地MATLAB解法

有限元的MATLAB解法

1.打开MATLAB。

2.输入“pdetool”再回车，会跳出PDE Toolbox的窗口（PDE意为偏微分方程，是partial differential equations的缩写），需要的话可点击Options菜单下Grid命令，打开栅格。

3.完成平面几何模型：在PDE Toolbox的窗口中，点击工具栏下的矩形几何模型进行制作模型，可画矩形R，椭圆E，圆C，然后在Set formula栏进行编辑并（如双脊波导R1+R2+R3改为RI-R2-R3,设定a、b、s/a、d/b的值从而方便下步设定坐标）

用算术运算符将图形对象名称连接起来，若还需要，可进行储存，形成M文件。

4.用左键双击矩形进行坐标设置：将大的矩形left和bottom都设为0，width是矩形波导的X轴的长度，height是矩形波导的y轴的长度，以大的矩形左下角点为原点坐标为参考设置其他矩形坐标。

5.进行边界设置：点击“Boundary”中的“Boundary Mode”,再点

击“Boundary”中的“Specify Boundary Conditions”,选择符合的边界条件，Neumann为诺曼条件,Dirichlet为狄利克雷条件，边界颜色显示为红色。

6.进入PDE模式：点击"PDE"菜单下“PDE Mode”命令，进入PDE模式，单击“PDE Specification”,设置方程类型，“Elliptic”为椭圆型，“Parabolic”为抛物型，“Hyperbolic”为双曲型，“Eigenmodes”为特征值问题。

7.对模型进行剖分：点击“Mesh”中“Initialize Mesh”进行初次剖分，若要剖的更细，再点击“Refine Mesh”进行网格加密。

8.进行计算：点击“Solve”中“Solve PDE”,解偏微分方程并显示图形解，u值即为Hz或者Ez。

9.单击“Plot”菜单下“Parameters”选项，打开“Plot Selection”对话框。选中Color,Height(3-D plot)和Show mesh三项，然后单击“Plot”按钮，显示三维图形解。

10.如果要画等值线图和矢量场图，单击“Plot”菜单下“Parameters”选项,打开“Plot Selection”对话框。选中Contour和Arrows两项，然后单击Plot按钮，可显示解的等值线图和矢量场图。

11.将计算结果条件和边界导入MATLAB中：点击“Export Solution”,再点击“Mesh”中“Export Mesh”。

12.在MATLAB中将编好的计算程序导入，按F5运行。

备注：

Property（属性）用于画图时选用相应的绘图类型

u 方程的解

abs(grad(u)) 每个三角形的中心的▽u的绝对值

abs(c*grad(u)) 每个三角形的中心的c·▽u的绝对值

- grad(u) u的负梯度-▽u

我们也可以用MATLAB程序求解PDE问题，同时显示解的图形；

一个长直接接地金属矩形槽，其侧壁与底面电位均为0，顶盖电位为100V，求槽内的电位分布：

100V

0V0V

0V

（1）画出剖分图（尺寸与书上一样）；

（2）标出各剖分点坐标值；

（3）求出各点电位值（用有限差分）；

（4）画出等电位图。

解：（1）编写以下程序得：

x=0:5

y=0:5

[X,Y]=meshgrid(x,y)

plot(X,Y)

hold on

plot(Y,X)

for i=0:5

s=i:5

t=0:(5-i)

plot(s,t)

plot(t,s)

end

得到剖分图如下：

（2）用有限元法编写程序如下：

Nx=6;Ny=6;Xm=5;Ym=15;Np=5;Nq=5;

for i=1:Nx

for j=1:Ny

N(i,j)=(i-1)*Ny+j; /i列j行的节点编号/ X(N(i,j))=(i-1)*Xm/Np;/节点横坐标/

Y(N(i,j))=(j-1)*Ym/Nq;/节点纵坐标/

end

end

for i=1:2*Xm

for j=1:Ym

if rem(i,2)==1

L(i,j)=(i-1)*Nq+j;

p(i,j)=2*(i-1)*Ny/2+Ny+j+1;

q(i,j)=p(i,j)-Ny;

r(i,j)=q(i,j)-1;

else rem(i,2)==0

L(i,j)=(i-1)*Ny+j;

p(i,j)=(2i-2)*Ny/2+j;

q(i,j)=p(i,j)+Ny;

r(i,j)=q(i,j)+1;

end

end

end

for i=1:2*Xm

for j=1:Ym

b(p(i,j))=Y(q(i,j))-Y(r(i,j));b(q(i,j))=Y(r(i,j) )-Y(p(i,j));

b(r(i,j))=Y(p(i,j))-Y(q(i,j));c(p(i,j))=X(r(i,j) )-X(q(i,j));

c(q(i,j))=X(p(i,j))-X(r(i,j));c(r(i,j))=X(q(i,j) )-X(p(i,j));

area(i,j)=(b(p(i,j))*c(q(i,j))-b(q(i,j))*c(p(i,j)))/2;

K=zeros(Nx*Ny);

Kpp(i,j)=(b(p(i,j))^2+c(p(i,j))^2)/(2*area(i,j));

Kpq(i,j)=(b(p(i,j))*b(q(i,j))+c(p(i,j))*c(q(i,j)))