定律的应用牛顿定律适用范围

乙
m
F
a
甲
a F
m
地面参考系中的观察者甲：
有力
F和加速度
a
即
F
ma
——牛顿定律适用
运动车厢参考系中的观察者乙：
有力
F无加速度
a 即 ma
0, F
0
——牛顿定律不适用
结论：牛顿第二定律不能同时适用于上述两种参考系
惯性系：牛顿运动定律适用的参照系
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讨论 (1) 严格的惯性系是关于参照系的一种理想模型。大多数情
m
ax
dv x dt
v 0
x
dv
x
t F0t dt 0m
o
F (t)
x
vx
F0t 2 2m
dx dt
x
dx
t F0t 2 dt
0
0 2m
x F0 t3 6m
竖直方向有 Fy may 0 带电粒子重力可以忽略！
y v0t
由x、y消去t得运动轨迹为
x
F0
6mv
3 0
y3
2
例 设一物体在离地面上空高度等于地球半径处由静止落下。
f m dv v
x
dt
m M t f v (M t) dv
dt
dv d t 变量
f v M t 分离
v
t
0 d(ln( f v)) 0d(ln(M t))
ln f v ln M t
f
M
v f ( M 1)
Mt
6
§2.4 牛顿运动定律的适用范围
一. 惯性系
R dr 2R r2
1 gR 2
v gR
3
例 一柔软绳长 l ，线密度λ ，一端着地开始自由下落.
求 下落到任意长度 y 时刻，给地面的压力为多少？
解 在竖直向上方向建坐标，地面为原点（如图）.
取整个绳为研究对象 设其所受地面弹力为 N
N gl dp p& p yv 下部未“动” y
况下，通常取地面参照系为惯性参照系。
(2) 相对于一惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系。
二. 牛顿运动定律的适用范围
牛顿运动定律适用于宏观物体的低速运动。
说明 (1) 物体的高速运动遵循相对论力学的规律；微观粒子的运
动遵循量子力学的规律。 (2) 牛顿力学是一般技术科学的理论基础和解决实际工程问
§2.3 牛顿运动定律的应用
与质点运动学相似，质点动力学问题大体可分为两类问题。
一. 微分问题
已知运动状态，求质点受到的合力
F
例 已知一物体的质量为 m , 运动方程为
r
Acost
i
Bsin t
j
求 物体受到的力
解
av
dvv dt
d2rv dt 2
Aω2 cost
v i
Bω2
sin
t
v j
求 小球上升的最大高度。
解 f m(g v 2) m dv
dt
dv g v 2
dt
dv dv dy dv v dt dy dt dy
1 d(v 2 ) g α v 2 2 dy
(
d(v 2 )
g v
2
)
1
d(g v 2 ) (g v 2 )
2dy
y
H
1
0 d(ln(g v 2)) 2
y
N
mg
ar x
r F0
mar0
N m(g a0)cos ar (g a0)sin
第二章结束
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ω2r
F
ma
ω2mr
二 . 积分问题
已知质点受到的合力 F ，求运动状态。
1
例 设一高速运动的带电粒子沿竖直方向以 v0 向上运动，从
时刻 t = 0 开始粒子受到 F =F0 t 水平力的作用，F0 为常
量，粒子质量为 m 。
求 粒子的运动轨迹。
y
解 水平方向有 Fx F0t max
v0
dt
N gl d(yv)
dt
dy dt
v
gt
自由 落体
y
l
d( yv) dyv dv y v 2 yg dt dt dt
O
(l y)2g v 2
匀加速直 线运动
v 2 yg (l y)2g yg
N 3g(l y)
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例 以初速度v0 竖直向上抛出一质量为m 的小球，小球除受 重力外，还受一个大小为αmv 2 的粘滞阻力。
说明 (1) 惯性力是虚拟力，没有施力者，也没有反作用力。不满足牛顿第三
定律。仅在非惯性系中才可引入。
(2) 惯性力的概念可推广到非平动的非惯性系（如转动系中的科里奥利
力）
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例 质量分别为 m1 和 m2 的两物体用轻细绳相连接后，悬挂在 一个固定在电梯内的定滑轮的两边。滑轮和绳的质量以及
所有摩擦均不计。当电梯以 a0=g/2 的加速度下降时。
求 m1 和 m2 的加速度和绳中的张力。
解 取电梯为参考系（非惯性系）
对m1 有 m1g T m1a0 m1a'
a' O' a'
T
对m2 有 m2g T m2a0 m2a'
T
m2g
a'
m1 m1
m2 m2
(g
a0 )
T
2m1m2 m1 m2
(g
a0 )
m1g
+
a0
a1 a'a0 a2 a'a0
(伽俐略变换) 10
例 一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当升降机以 匀加速度a0 上升时，质量为m 的物体从斜面顶端开始下滑。
求 物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度。
解 方法（一）取地面为参考系
a0
设物体的加速度为a a ar a0
mg
N
ma
m(ar
a0 )
m
ar
x 方向 mg sin m(ar a0 sin )
H
dy
v0
0
v0
H
1
ln
(
g
v
2 0
)
2
g
mg fr
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例 装沙子后总质量为M 的车由静止开始运动，运动过程中合
外力始终为 f ，每秒漏沙量为 。
求 车运动的速度。
解 取车和沙子为研究对象，地面参考系如图，t = 0 时 v = 0
f d (mv ) m dv dm v
dt
dt dt
f
m
题的重要依据和工具。
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三. 惯性力 设 S ' 系( 非惯性系 ) 相对S 系( 惯性系 ) 平动，加速度为 ae 。 质由在在则点伽SS'F系俐系m:略：在F引FF变0S入换系m虚mm有和aaa拟Sear a力'a系牛m或m的a顿a惯arr加r第性速二力ma度a定eFe分0律别形为式ma上aae成, a立r （如前例）
求 它到达地面时的速度（不计空气阻力和地球的自转）。
解
以地心为坐标原点，物体受万有引力
在地面附近有
G
Mm R2
mg
F
G
Mm r2
r0
GM gR2
G
Mm r2
g
R2m r2
ma
a
g
R2 r2
a dv dv dr v dv
dt dr dt dr
v
dv dr
g
R2 r2
v
vdv
gR 2
0
y 方向 N mg cos ma0 cos
N m(g a0)cos ar (g a0)sin
y
a0
N
ar
mg x
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方法（二） 取升降机为参考系
惯性力
F0
ma0
mg
N
F0
mar
x 方向 N sin mar cos
y 方向 N cos mg ma0 mar sin