考研高数总复习第九章欧几里得空间第一节(讲义)

在欧几里得空间中同样有勾股定理，即当 ,
正交时， | + |2 = | |2 + | |2 . 事实上， | + |2 = ( + , + ) = ( , ) +2( , ) +( , ) = | |2 + | |2 .
不难把勾股定理推广到多个向量的情形，即如
对于 式就是
中的欧几里得空间 C(a , b) ，

b
a
2 f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx . a a b 2 b
1 2
1 2
4. 单位向量
长度为 1 的向量称为
单位向量.
知，向量
如果 0，
则由
| k | = | k | | |
果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 =0 或者
( , ) 0, ( , )
也就是说 , 线性相关.
证毕
3. 两个著名的不等式
对于 是 中的欧几里得空间 Rn ， 式就
| a1b1 a2b2 anbn |
2 2 a12 a2 an b12 b22 bn2 .
所以
|+|||+||.
3. 正交
定义 4
如果向量 , 的内积为零，即 ( , ) = 0，
那么 , 称为
正交或互相垂直，记为 .
两个非零向量正交的充分必要
显然，这里正交的定义与解析几何中对于正交 的说法是一致的.
条件是它们的夹角为
π . 2
由定义立即看出，只有零向量才与自已正交.
2 ) ( , k ) = (k , ) = k( , ) = k( , )； 3 ) ( , + ) = ( + , ) = ( , ) + ( , ) = ( , ) + ( , ) .
由条件
量，
有 ( , ) 0 .
的地位，因此有必要引入度量的概念.
解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度 量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的 内积有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，我 们取内积作为基本概念.
一、内积
1. 定义
定义 1
设 V 是实数域 R 上一线性空间，在
V 上定义了一个二元实函数，称为 ( , )，它具有以下性质： 1) ( , ) = ( , )； 2) (k , ) = k( , )；
( , ) t . ( , )
代入 (5) 式，得
( , ) ( , ) 0, ( , )
2
即 ( , )2 ( , ) ( , ) . 两边开方便得 | ( , ) | | | | | . 当 , 线性相关时，等号显然成立. 反过来，如
1 | |
是一个单位向量.

用向量 的长度去除向量 ，
得到一个与 成比例的单位向量，通常称为把

单位化.
三、夹角
1. 夹角的定义 定义 3
为 非零向量 , 的夹角 < , > 规定
( , ) , arccos , 0 , π . | || |
第一节
定义与基本性质
主要内容
内积 长度 夹角 度量矩阵 举例
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法
与数量乘法，统称为
线性运算.
如果我们以几何
空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型， 那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，
在线性空间的理论中没有得到反映.
但是向量的度
量性质在许多问题中(其中包括几何问题)有着特殊
单击这里开始
例2
在 4 维欧氏空间中，设基
1 (1,1,1,1) , 2 (1,1,1,0) , 3 (1,1,1,1) , 4 (1,0,0,1)
的度量矩阵为
2 1 A 0 0
1 2 1 0
0 1 2 1
0 0 . 1 2
2. 三角不等式
根据柯西 - 布涅柯夫斯基不等式，我们有三角
形不等式
|+|||+||. 因为 (6)
| + |2 = ( + , + )
= ( , ) +2( , ) +( , ) | |2 +2 | | | | + | |2
= (| | + | |)2 .
以后仍用 Rn 来表示这
个欧几里得空间. 在 n = 3 时，(1) 式就是几何空间中向量的内积 在直角坐标系中的坐标表达式.
例2
积
在闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数所
成的空间 C (a , b) 中，对于函数 f (x) , g (x) 定义内
( f , g ) f ( x) g ( x)dx .
内积，记作
3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
源自文库
这里 , , 是 V 中任意的向量，k 是任意实
数，这样的线性空间 V 称为
欧几里得空间.
在欧几里得空间的定义中，对它作为线性空间 的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限 维的. 几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的 性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里 得空间.
果 1 , 2 , …, m 两两正交，那么
| 1 + 2 + …+ m |2 = | 1 |2 + | 2 |2 + … + | m |2 . 在以上的讨论中，我们对空间的维数没有作任 何限制. 从现在开始，我们假定空间是有限维的.
四、度量矩阵
设 V 是一个 n 维欧几里得空间，在 V 中取一 组基 1 , 2 , … , n , 对于 V 中任意两个向量
2. 欧几里得空间举例
下面再看两个例子.
例1
定义内积
在线性空间 Rn 中，对于向量
= (a 1 , a 2 , … , a n ) , = ( b 1 , b 2 , … , b n ) ,
( , ) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn .
(1)
显然，内积 (1) 适合定义中的条件，这样， Rn 就成为一个欧几里得空间.
2. 性质 性质 1
证明
设 k R, V , 则有
| k | = | k | | |. (3)
| k | (k , k )
k ( , )
2
| k || | .
性质 2
柯西 - 布涅柯夫斯基不等式
设 , 是任意两个向量，则 | ( , ) | | | | |， 当且仅当 , 线性相关时，等号才成立. (4)
(1) 求基
1 (1,0,0,0) , 2 (0,1,0,0) , 3 (0,0,1,0) , 4 (0,0,0,1)
的度量矩阵；
(2) 求向量
1 (1,1,1,1) , 2 (0,1,1,0)
的内积.
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分别是 , 的坐标， 而矩阵
A = ( aij )nn
称为基 1 , 2 , … , n 的
度量矩阵.
上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵 之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按 (8) 或 (9) 来计算，因而度量矩阵完全确定内积. 设 1 , 2 , … , n 是空间 V 的另外一组基，而 由 1 , 2 , … , n 到 1 , 2 , … , n 的过渡矩阵为 C, 即 (1 , 2 , … , n ) = (1 , 2 , … , n ) C . 于是不难算出，基 1 , 2 , … , n 的度量矩阵
证明
设 0.
当 = 0 时，(4) 式显然成立. 令 t 是一个实变数，作向量
以下
=+t.
由 可知，不论 t 取何值，一定有
( , ) = ( + t , + t ) 0. 即
( , ) + 2( , ) t + ( , ) t 2 0. 取 (5)
B = ( bij ) = (i , j ) = CTAC .
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的.
(10)
根据条件
对非零向量 ，即
0 0 X , 0
有 ( , ) = XTAX > 0 .
因此，度量矩阵是正定的.
反之，给定一个 n 级正定矩阵 A 及 n 维实线 性空间 V 的一组基 1 , 2 , … , n . 可以规定内积，
= x11 + x22 + … + xnn ,
= y11 + y22 + … + ynn ,
由内积的性质得 ( , ) =(x11+x22+…+xnn , y11+y22+…+ynn )
( i , j ) xi y j .
i 1 j 1
n
n
令 aij = (i , j ) 显然 aij = aji . ( i , j = 1 , 2 , …, n ) , (7)
于是
( , ) aij xi y j .
i 1 j 1
n
n
(8)
利用矩阵，( , ) 还可以写成
( , ) = XTAY ，
其中
(9)
x1 y1 x2 y2 X , y x y n n
使它成为欧几里得空间，并且基 1 , 2 , … , n 的度
量矩阵为 A . 欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下
显然也是一个欧几里得空间.
欧几里得空间以下简称为
欧氏空间.
五、举例
例1
在欧氏空间 Rn 中计算下列向量的内积，
并求它们之间的夹角.
(1) (1,1,1,1) , (1,2,4,3) ; 1 1 1 (2) ( ,1, , ) , (3,1,2,2) ; 2 3 6 (3) (3,1,1,1) , (2,2,2,2) ; (4) (1,1,1,2,1) , (3,1,1,0,1) .
所以对于任意的向 在几何空间中，向量
( , )
是有意义的.
的长度为
( , ) .
类似地，我们在一般的欧几
里得空间中引进向量长度的概念.
二、长度
1. 定义
定义 2
度，记为 |
|.
非负实数
( , )
称为向量 的
长
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的 长度才是零，这样定义的长度有以下的性质：
a
b
(2)
由定积分的性质不难证明，对于内积 (2)，C (a , b)
构成一欧几里得空间.
同样地，线性空间 R[ x ] , R[ x ]n 对于内积 (2) 也构成欧几得里空间.
3. 欧几里得空间的性质
下面来看欧几里得空间的一些基本性质. 首先，定义中条件 因此，与 相当地就有 表明内积是对称的.