高等代数欧几里得空间课堂笔记
高等代数-9第九章 欧几里得空间
（线性性）
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. （非负性）
则称 ( , )为 和 的内积,称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
b
§1 定义与基本性质
线性性 ( k f lg , h) a k f ( x ) lg ( x ) h( x )dx
b
k f ( x )h( x )dx l g ( x )h( x )dx
a a
b
b
k ( f , h ) l ( g , h)
非负性 ( f , f ) f ( x ) f ( x ) dx f 2 ( x ) dx 0 a a 且 ( f , f ) 0 f ( x ) 0. 故( f , g) 为一内积, C (a , b) 构成欧氏空间.
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
b b
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质 设V为欧氏空间, , , , i V , k , l , ki R
1) ( , k ) k ( , ) 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , k l ) k ( , ) l ( , ) 4) ( k l , ) k ( , ) l ( , )
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】
第9章欧几里得空间9.1复习笔记一、定义与基本性质1．欧几里得空间定义设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（kα，β）＝k（α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．2．长度（1）定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零，②|kα|＝|k||α|，③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，通常称此为把α单位化．3．向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．零向量才与自己正交．（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），显然a ij＝a ji，于是利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．说明：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②定理2对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，都可以找到一组标准正交基η1，η2，…，ηn，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称做施密特正交化过程．例：把α1＝（1，1，0，0），α3＝（－1，0，0，1），α2＝（1，0，1，0），α4＝（1，－1，－1，1）变成单位正交的向量组．解：①先把它们正交化，得β1＝α1＝（1，1，0，0），②再单位化，得3．基变换公式设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基．三、同构1．同构定义实数域R上欧式空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个双射σ，满足（1）σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β），（2）σ（kα）＝kσ（α），（3）（σ（α），σ（β））＝（α，β），这里α，β∈V，k∈R，这样的映射σ称为V到V'的同构映射．同构的欧氏空间必有相同的维数．每个n维的欧氏空间都与R n同构．2．同构的性质同构作为欧氏空间之间的关系具有（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性；（4）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同．.四、正交变换1．定义欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V，都有（Aα，Aβ）＝（α，β）．2．性质。
高等代数知识点总结笔记
高等代数知识点总结笔记一、集合论基础1. 集合的定义和表示2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集3. 集合的基本性质：幂集、空集、自然数集、整数集等4. 集合的关系：子集、相等集、包含关系5. 集合的基本运算律：结合律、交换律、分配律二、映射和函数1. 映射的定义和表示2. 映射的类型：单射、满射、双射3. 函数的定义和性质4. 函数的运算：复合函数、反函数5. 函数的极限、连续性6. 函数的导数、几何意义三、向量空间1. 向量和向量空间的定义2. 向量的线性运算：加法、数乘、点积、叉积3. 向量空间的性质：线性相关、线性无关、维数、基和坐标4. 线性变换和矩阵运算5. 特征值和特征向量四、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和基本性质：零矩阵、单位矩阵、方阵2. 矩阵的运算：加法、数乘、矩阵乘法、转置、逆矩阵3. 行列式的定义和性质：行列式的展开法则、克拉默法则4. 线性方程组的解法：克拉默法则、矩阵消元法、逆矩阵法五、线性方程组1. 线性方程组的定义和分类2. 线性方程组的解法：高斯消元法、矩阵法、逆矩阵法3. 线性方程组的特解和通解：齐次线性方程组、非齐次线性方程组4. 线性方程组的解的性质：解的唯一性、解空间六、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质2. 矩阵的对角化和相似矩阵3. 特征值和特征向量的应用：矩阵的对角化、变换矩阵4. 矩阵的谱定理和矩阵的相似对角化5. 实对称矩阵和正定矩阵的性质七、多项式与代数方程1. 多项式的定义和性质：零次多项式、一次多项式、多项式的加减乘除2. 代数方程的解法：一元一次方程、一元二次方程、高次方程3. 代数方程的根与系数的关系：韦达定理、牛顿定理、斯图姆定理4. 代数方程的不可约性和可解性八、群、环、域1. 代数结构的定义和性质2. 群的定义和性质：群的封闭性、结合律、单位元、逆元3. 环的定义和性质：交换环、整环、域4. 域的定义和性质：有限域、无限域、极大理想以上就是高等代数的一些基本知识点总结，希望对大家有所帮助。
欧几里得空间
第九章欧几里得空间§1 定义与基本性质教学目的：理解欧几里得空间的定义与性质，掌握向量的长度与夹角的概念，度量矩阵的概念与性质，会求欧几里得空间基的度量矩阵 .教学重点：欧几里得空间的定义与性质，度量矩阵的性质 .教学难点：理解欧几里得空间的定义 .教学内容：一、向量的内积定义1设V是实数域R上一个向量空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积,记作( , ) ,它具有以下性质 :1) ( , ) ( , );2) (k , ) k( , ) ;3) ( , ) ( , ) ( , );4) ( , ) 0 ,当且仅当0时, ( , ) 0这里，，是V任意的向量,k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间.例1在线性空间R n中，对于向量(a1, a2 , ,a n) , (b1,b2, ,b n),定义内积( , ) a1b1 a2b2 a n b n. (1)则内积(1)适合定义中的条件，这样R n就成为一个欧几里得空间•仍用来表示这个欧几里得空间 .在 n 3时， (1) 式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例 2 在 R n里 , 对于向量(a1, a2 , ,a n) , (b1,b2, ,b n),定义内积( , ) a1b1 2a2b2 na n b n .则内积(1)适合定义中的条件，这样R n就也成为一个欧几里得空间•仍用来表示这个欧几里得空间 .,对同一个线性空间可以引入不同的内积 ,使得它作成欧几里得空间•例 3 在闭区间[a,b] 上的所有实连续函数所成的空间C(a,b) 中 ,对于函数f(x),g(x) 定义内积b(f (x),g(x)) a f (x)g(x)dx • (2)对于内积(2)，C(a,b)构成一个欧几里得空间•同样地，线性空间R[x], R[x]n 对于内积 (2) 也构成欧几里得空间•例 4 令 H 是一切平方和收敛的实数列2(x1,x2 , ,x n ), x nn1所成的集合，则H是一个欧几里得空间，通常称为希尔伯特(Hilbert)空间•二、欧几里得空间的基本性质1 )定义中条件 1 )表明内积是对称的•2) ( ,k ) (k , ) k( , ) k(,).定义2非负实数,(,)称为向量的长度，记为显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质:这里k R, V .长度为1的向量叫做单位向量.如果，0由⑶式，向量就是一个单位向量.用向量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量，有(，)I II I当且仅当，线性相关时，等式才成立对于例1的空间R n，(5)式就是对于例2的空间C(a,b)，(5)式就是定义3非零向量，的夹角，规定为arccos(根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式定义4如果向量，的内积为零，即bn.f (x)g(x)dx 2(x)dx g2(x)dx那么，称为正交或互相垂直，记为两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为- 只有零向量才与自己正交.(,)XAY ,勾股定理：当，正交时,推广：如果向量两222 1 2m12m设V 是一个n 维欧几里得空间，在 2,n，对于V 中任意两个向量 X 1 1X 2 2X n n , y 1 1 y 2由内积的性质得X 1 1n n(i 1 j 1X 2 jEja ij(i ,j)X n n , y 11 y22(i, j 1,2, ,n)y n(8)显然a ij a ji.于是na j X i y jj 1(9)利用矩阵,)还可以写成(10)1，2 12 V 中取一组基m两两正交，那么其中x1 y1y2x2X 2 , Yx n y n分别是, 的坐标，而矩阵A (a ij ) nn称为基1, 2, , n 的度量矩阵 .上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按( 9)或( 10 )来计算，因而度量矩阵完全确定了内积 .设1, 2, , n是空间V的另外一组基，而由1, 2, , n到1, 2, , n的过渡矩阵为 C ，即( 1, 2, , n) ( 1, 2, , n)C于是不难算出，基1, 2, , n的度量矩阵B b ij i , jC AC . (11) 这就是说，不同基的度量矩阵是合同的 .根据条件 (4)，对于非零向量，即X有( , ) X AX 0因此，度量矩阵是正定的 .反之，给定一个n级正定矩阵A及n维实线性空间V的一组基1, 2, , n可以规定V上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的1, 2, , n度量矩阵是A. 欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间 . 欧几里得空间以下简称为欧氏空间 .§2 正交基理解正交基、标准正交基、正交矩阵的概念，掌握施密特正交.化方教学目的：法，会求欧几里得空间的标准正交基教学重施密特正交化方法 .点：教学难求标准正交基 .点：教学内容：、标准正交基定义 5 欧氏空间 V 的一组非零的向量 ,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组 .按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交的非 零向量不能超过 n 个.定义 6 在 n 维欧氏空间中， 由 n 个向量组成的正交向量组称为正交基； 由单 位向量组成的正交基称为 标准正交基组 .对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基 设 1, 2, , n 是一组标准正交基，由定义，有显然， (1)式完全刻画了标准正交基的性质 .换句话说，一组基为标准正交基 的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵 .因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第 五章关于正定二次型的结果， 正定矩阵合同于单位矩阵 .这说明在 n 维欧氏空间中 存在一组基， 它的度量矩阵是单位矩阵 .由此断言， 在 n 维欧氏空间中， 标准正交 基是存在的 .在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即( 1, ) 1 ( 2, ) 2( n , ) n .(2)在标准正交基下，内积有特别简单的表达式 .设这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广 应该指出，内积的表达式 (3)，对于任一组标准正交基都是一样的 .这说明了，所 有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位 .二、规范正交基的存在性及其正交化方法( i , j )1,当 i j; 0,当 i j.(1)x 1 1 y 11那么( , ) x 1y 1 x 2 y 2x 2 2 x n n .y 2 2 y n n .x n y n X Y. (3)定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基 . 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基 .再单位化，就得到一组标准正交基 .定理2对于n维欧氏空间中任意一组基1, 2, , n，都可以找到一组标准正交基1, 2, , n ，使L( 1 , 2, , i ) L( 1, 2, , i ) ,i1,2, ,n.应该指出，定理中的要求L( 1 , 2 , , i ) L( 1, 2, , i ) ,i1,2, ,n.就相当于由基1, 2, , n 到基1, 2, , n 的过渡矩阵是上三角形的定理 2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特( Schimidt )正交化过程 .例 1 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0), 3 ( 1,0,0,1), 4 (1, 1, 1,1) 变成单位正交组 .三、正交矩阵上面讨论了标准正交基的求法 .由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式 .设1, 2, , n 与1, 2, , n 是欧氏空间 V 中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是 A (a ij ) ，即A 1A定义7 n 组实数矩阵A 称为正交矩阵，如果A A E由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵； 反过来， 是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基最后指出，根据逆矩阵的性质，由AA E即得AA E写出来就是1, 当 i j ； ai1aj1 ai2aj2 ain ajn0,当 i j.(5)式是矩阵列与列之间的关系， (7)式是矩阵行与行之间的关系 .这两组关系是等因为 )(12是标准正交基，所以)1,当i j ； j )0,当 i j.矩阵 A 的各列就是 2n在标准正交基式可以表示为a 1i a 1ja 2i a 2ja ni a nj(5)式相当于一个矩阵的等式或者a 11 a 21a n1 a 12 a 22a n2 1,当i0,当 ij; j.a 1n a 2na nn(4)n下的坐标 .按公式 (3),(4)(5)(6)如果第一组基 (7)价的.例2考虑定义在闭区间［0,2 ］上一切连续函数所作成的欧氏空间 函数组1,cosx,sinx, , cosnx,sin nx,构成C ［0,2 ］的一个正交组.把上面的每一向量除以它的长度，就得到C ［0,2 ］的一个标准正交组例3欧氏空间R n的基(i )i(0,,0, 1 ,0, ,0),i 1,2, ,n是R n 的一个标准正交基.§3 同构教学目的：理解欧几里得空间同构的定义，注意它与一般线性空间同构的不同 . 教学重点：同构的定义 . 教学难点：同构的判定 . 教学内容：定义8实数域R 上欧氏空间V 与V 称为同构的,如果由V 到V 有一个双射 ，满足1) () () ( ), 2) (k ) k(),3)( ( ), ( )) ( , ) , 这里 ,V,k R ，这样的映射称为V 到V 的同构映射 由定义，如果 是欧氏空间V 到V 的一个同构映射，那么也是 V 到V 作为 线性C[0,2 ]. 1 1.2cos x, 1sinx,1 .—sin nx,广1空间的同构映射 .因此，同构的欧氏空间必有相同的维数 .设V是一个n维欧氏空间，在V中取一组标准正交基1, 2, , n，在这组基下， V 的每个向量都可表成x1 1 x2 2 x n n( ) (x1,x2, ,x n ) R n就是V到R n的一个双射，并且适合定义中条件 1),2).上一节(3)式说明，也适合条件 3)，因而是 V 到 R n的一个同构映射，由此可知，每个n 维的欧氏空间都与R n同构.同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性 .既然每个n维欧氏空间都与R n同构，按对称性与传递性得，任意两个n维欧氏空间都同构 .定理 3 两个有限维欧氏空间同构它们的维数相等 . 这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定 .§4 正交变换教学目的：掌握正交变换的定义与性质及其分类，了解正交变换与正交矩阵之间的关系.教学重点：正交变换的定义与性质 .教学难点：正交变换的应用 .教学内容：定义 9 欧氏空间 V 的线性变换 A 叫做一个正交变换 ,如果它保持向量的内积不变，即对任意的，都有, V ,都有 .(A ,A )= ( , ).正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画 .定理 4 设 A 是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：1) A是正交变换；2) A保持向量的长度不变，即对于V ,|A |=| |；3 )如果!, 2, , n是标准正交基，那么A 1 , A 2,…,A n也是标准正交基;4) A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的•由定义看出，正交变换实际上就是一个欧氏空间到自身的同构映射，因而正交变换的乘积与正变换的逆变换还是正交变换.在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此，正交变换的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵•如果A是正交矩阵，那么由AA E可知2A 1或者A 1.因此，正交变换的行列式等于+1或-1.行列式等于+1的正交矩阵通常称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二类的•例如，在欧氏空间中任取一组标准正交基1, 2, , n，定义线性变换A为:A 1 1 , A i i ,I 2,3, ,n.那么，A就是一个第二类的正交变换.从几何上看，这是一个镜面反射.例1令H是空间V3里过原点的一个平面，V3,令对于H的镜面反射与它对应.: 是V3的一个正交变换.例 2 设L(R3),令()(X2,X3,X1), (X1,X2,X3)V3.则是 R3的一个正交变换.例3将V2的每一向量旋转一个角的正交变换关于V2的任意标准正交基的矩阵是cos sinsin cos又令是例 1 中的正交变换 .在平面 H 内取两个正交的单位向量1, 2,再取一个垂直于 H 的单位向量 3 ,那么 1 ,2, 3是V的一个规范止父基,关于这个基的矩阵是1 000 100 01以上两个矩阵都是正交矩阵§5 子空间教学目的：理解子空间正交的定义与性质，掌握正交补的定义与求法教学重点：子空间正交的定义与性质，正交补的定义 . 教学难点：正交补的性质与求法 .教学内容：定义 10 设V1,V2 是欧氏空间 V 中两个子空间 .如果对于任意的V1, V2 ，恒有( , ) 0则称V i,V2为正交的，记为V V2.一个向量，如果对于任意的V，恒有( , ) 0则称与子空间V1正交，记为V1.因为只有零向量与它自身正交，所以由V1 V2可知V1 V2 0；由V1, V1可知0.定理5如果子空间V i,V2, ,V s两两正交，那么和V V2 V s是直和•定义 11 子空间V2 称为子空间V1 的一个正交补，如果V1 V2 ，并且V1 V2 V .显然，如果V是V的正交补，那么V也是V的正交补.定理6 n维欧氏空间V的每一个子空间V i都有唯一的正交补.V1 的正交补记为V1 ，由定义可知维(V1)+ 维(V)= n推论V1 恰由所有与V1 正交的向量组成 .由分解式V V1 V1可知， V 中任一向量都可以唯一分解成12其中 1 V1, 2 V2 .称 1 为向量在子空间V1 上的内射影 .§6 实对称矩阵的标准形掌握实对称矩阵的特点与性质，会把一个对称矩阵对角化；掌握对称变教学目的：换的定义及性质，了解对称变换与对称矩阵之间的对应关系 .教学重点：对称变换，对称矩阵的性质，实对称矩阵对角化方法 . 教学难点：实对称矩阵对角化方法 . 教学内容：由第五章得到， 任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，换句话说，都有 一个可逆矩阵C 使CAC 成对角形•现在利用欧氏空间的理论，第五章中关于实对 称矩阵的结果可以加强 .这一节的主要结果是：对于任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级正交矩阵T ，使T AT T 1AT成对角形 .引理1设A 是实对称矩阵，则A 的特征值皆为实数.对应于实对称矩阵 A ，在n 维欧氏空间R n 上定义一个线性变换A 如下：x 1 x 1x 2 x 2(1)A 2 A 2 .x nx n显然 A 在标准正交基1 0 011,2,,n(2)0 1下的矩阵就是 A.引理2设A 是实对称矩阵，A 的定义如上，则对任意 , R n，有(A , )=( ,A),(3)或(A ) A定义 12 欧氏空间中满足等式 (3) 的线性变换称为对称变换 . 容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵 .用对称变换来反映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚 .引理3设A 是对称变换，V 是A-子空间，则V i 也是A-子空间.引理4设A 是实对称矩阵，则R n中属于A 的不同特征值的特征向量必正交T AT T 1AT 对角形 .基.事实上，设T 是一个正交矩阵，而就是对角形 .定理 7 对于任意一个 n 级实对称矩阵 A ，都存在一个 n 级正交矩阵 T ，使成面来看看在给定了一个实对称矩阵 A 之后，按什么办法求正交矩阵 T 使T AT 成对角形 .在定理的证明中看到，矩阵 A 按(1)式在R n 中定义了一个线性变 换.求正交矩阵 T 的问题就相当于在 R n 中求一组由A 的特征向量构成的标准正交t 11 t 211t 12 t 22t 1n t 2nt n1t n2t nn是 R n 的一组标准正交基，它们都是A 的特征向量 . 显然，由 1, 2 ,, n 到12n的过渡矩阵就是t 11 t 21t 12t 22t 1n t 2nt n1 t n2 t nn1 T 1ATTAT根据上面的讨论，正交矩阵T的求法可以按以下步骤进行：1. 求出A的特征值.设1, , r是A的全部不同的特征值•2. 对于每个i，解齐次方程组X iX2(i E A) 0X n求出一个基础解系，这就是 A的特征子空间V i的一组基.由这组基出发，按定理 2的方法求出V i的一组标准正交基ii , , ik i.3. 因为1, , r两两不同，所以根据这一节引理4 ,向量组rk r还是两两正交的•又根据定理7以及第七章§5的讨论，它们的个数就等于空间的维数.因此，它们就构成R n的一组标准正交基，并且也都是A的特征向量.这样，正交矩阵T也就求出了•例已知0 1111 0 1 1A1 1 0 11110求一正交矩阵T使TAT成对角形•应该指出，在定理7中，对于正交矩阵T我们还可以进一步要求事实上，如果求得的正交矩阵T的行列式为-1，那么取11S 1那么T i TS 是正交矩阵，而且T i | T|S 1 显然 T 1AT 1 TAT .如果线性替换X 1 C11 y 1C12y2C1n yn，X 2 C 21 y 1 022 y2C2n yn,X nCn1 y1C n2y 2Cnn yn的矩阵C C j 是正交的，那么它就称为正交的线性替换.正交的线性替换当然是 非退化的.用二次型的语言，定理7可以叙述为: 定理8任意一个实二次型n na x x aII i j iji 1 j 1都可以经过正交的线性替换变成平方和其中平方项的系数1, 2, , n 就是矩阵A 的特征多项式全部的根最后指出，这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲线的方 程，以及讨论二次曲线的分类在直角坐标系下，二次曲线的一般方程是a11 a12a13 x b 1 Aa12 a22 a23 , Xy ,B b 2a 13a23a33zb 3则(5)可以写成XAX 2BX d 0a ji2 2 1 y12 y22 n y n,2 2 2 aux a 22x a 33X2@2xy 2a 13xz 2a 23 yz 2dx2b 2y 2b 3z d经过转轴，坐标变换公式为X c11 C12 C13 X iy C21 C22C23 y i ,或者X CX iz C31 C32 C33 Z i其中C为正交变换且C 1，在新坐标系中，曲面的方程就是X i(CAC)X i 2(B C)X i d 0根据上面的结果，有行列式为1的正交矩阵C使1 0 0CAC 0 200 0 3这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为2 2 2 * * *i X i 2力3丫1 20 X i 2b2 y i 2b3Z i d 0其中(b；,b；,b3) (b i,b2,b3)C这时，再按照1, 2, 3是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.譬如说，当i, 2, 3全不为零时，就作移轴*biX1x271y i y2* b22Z i Z2 b! 3于是曲面的方程化为2 1 X222 y22 .*3Z2 d 0其中* 2 * 2 * 2* d b2 b3d d1 2 3§向量到子空间的最小距离•最小一乘法理解向量间的距离与向量到子空间的最小距离的概念，了解它在实际教学目的：中的应用一最小一乘法.教学重点：向量间的距离与向量到子空间的最小距离的概念教学难点：实际应用教学内容：在解析几何中，两个点和间的距离等于向量的长度.定义13长度称为向量和的距离，记为d (,)不难证明距离的三条性质：1) d( , ) d(,);2) d ( , ) 0，并且仅当时等号才成立；3) d( , ) d( , ) d(,)(三角不等式)在中学所学几何中知道一个点到一个平面（一条直线）上所有点的距离以垂线最短.下面可以证明一个固定向量和一个子空间中各向量间的距离也是以“垂线最短”.先设一个子空间W，它是由向量1, 2, , k所生成，即W L（1, 2, , k）.说一个向量垂直于子空间W，就是指向量垂直W于中任何一个向量.易证垂直于W 的充要条件是垂直于每个i （i 1,2, ,k）.现给定，设是W中的向量，满足垂直于W.要证明到W中各向量的距离以垂线最短，就是要证明，对于 W中任一向量，有我们可以画出下面的示意图：证明（）（）因W是子空间，W, W,则W.故垂直于.由勾股定理，2 2 2故这就证明了，向量到子空间各向量间的距离以垂线最短 .这个几何事实可以用来解决一些实际问题 .其中的一个应用就是解决最小二乘法问题.例已知某种材料在生产过程中的废品率 y与某种化学成分x有关.下列表中记载了某工厂生产中y与相应的x的几次数值：我们想找出y 对x 的一个近似公式. 最小二乘法问题：线性方程组an X i 812X 2 Q S Xsb i 0,a 21 X i 822X 2 a2s Xsb 2 0,8ni X i 8n2 X 2an s xsb n可能无解 .即任何一组数X i ,X 2, ,X S 都可能使n(aii X iai2X 2i iais Xsb i )2(i)不等于零 .我们设法找X i 0,X 0, ,X S 使（i ）最小, 这样的x ；,x 0, ,x ；称为方程组的最小二乘解.这种问题就叫最小二乘法问题.下面利用欧氏空间的概念来表达最小二乘法, 数条件.令,x S 使丫与B 的距离最短.但从（2），知道向量丫就是aiiai2aisa2ia22a ?s2s,Ba nian2anssa ij X jX ij isX 2 ，丫j ia2j XjX ssa nj X jj iY B 2AX用距离的概念，（1 ）就是b ib 2b n⑵AX.并给出最小二乘解所满足的代最小二乘法就是找X ：, x 2,述成：应用前面所讲的结论，设是所求的向量，则B Y B AX回忆矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相乘的式子，即AAX AB这就是最小二乘解所满足的代数方程，它是一个线性方程组，系数矩阵是 AA ， 常数项是 A B .这种线性方程组总是有解的 .回到前面的例子，易知a 11 Y x 1a21x 2a 12 a 22a 1s a 2s x sa n1 a n2 a ns把 A 的 各 列 向 量 分 别 记 成.由它们生成的子空间为L(1, 2, , s ) .Y 就是 L ( s )中的向量 .于是最小二乘法问题可叙找 X 使( 1 )最小，就是在 12s) 中找一向量 Y ，使得 B 到它的距离比到子空间 L (12s) 中其它向量的距离都短 .AXx 1 1 x 2 2x s s必须垂直于子空间 L (s) .为此只须而且必须(C, 1) (C, 2 )(C, s ) 01C 0, 2 C 0, s C 0.s按行正好排成矩阵 A ，上述一串等式合起来就是A(BAX) 03.6 1 1.003.7 1 0.903.8 1 0.90A 3.9 1 ,B 0.814.0 1 0.604.1 1 0.564.2 1 0.35最小二乘解a,b 所满足的方程就是aAA A B 0,b即为106.75a 27.3b 19.675 0,27.3a 7b 5.12 0.解得a 1.05,b 4.81（取三位有效数字）§8 酉空间介绍教学目的：了解酉空间的定义与性质及与欧几里得空间相类似的概念与结论教学重点：酉空间的定义与性质 . 教学难点：对与欧几里得空间相类似的概念与结论的理解 . 教学内容：定义14设V 是复数域上一个线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称 为内积,记作(，)，它具有以下性质：1) (,) m ，u~r )是(，)的共轭复数； 2) (k , ) k(,)； 3) (,)(,)(,)；4) (,)是非负实数且(，)0当且仅当 0这里，，是V 中任意的向量,k 是任意复数，这样的线性空间称为酉空间.例1在线性空间c n ,对向量ai ,a 2, ,an !定义内积为(,)3^ a2^显然内积(1 )满足定义14中的条件•这样C n就成为一个酉空间•由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似， 有一套平行的理论，因此在这 只简单地列出重要的结论，而不详细论证.1) ( ,k ) k(,). 2)(, )(,)(,).3) .,(,)叫做向量的长度，记为||.4) 柯西-布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量，有I ， I I II I ，db, ,b n3n b n , (1)当且仅当，线性相关时等号成立•注意：酉空间中的内积(，)一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引5） 向量，，当（，）0时称为正交的或互相垂直.在n 维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基 也有下述一些重要性质：6） 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准 正交基.7） 对门级复矩阵A ，用A 表示以A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A 满足A A AA E ，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.8） 酉空间V 的线性变换A ，满足（A ,A ）=（,）,就称为V 的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.9）如矩阵A 满足X n(A , )=( ,A ).A 也是对称变换.10）V 是酉空间，V i 是子空间，V i 是V i 的正交补，则V V i V i又设V i 是对称变换的不变子空间，则 V i 也是不变子空间.ii ）埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同的特征值的特征向量必正则叫做埃尔米特（Hermite ） 矩阵.在酉空间 C n 中令X i A X 2 X iA X 212 ）若A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵 C,使1 —C 1AC C AC 是对角形知阵.13）设A 为埃尔米特矩阵，二次齐次函数叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C ，当时X CYf (X 1,X 2, ,X n )小“孑 d 2y 2?2d n y n%. 第九章欧几里得空间（小结）一、 欧氏空间1. 内积、欧氏空间的概念及其简单性质• f(X i ,X 2, ,X n ) n na j X i X j i 1 j 1XAX2. 柯西一布涅可夫斯基不等式：(,)2 (,)(,).3. 向量的长度：| | 7(，).4. 两个非零向量与的夹角：arccos( , ). (0 ).I II I若(，)0,则与正交.二、标准正交基1. 标准正交基的概念.2. 标准正交基的求法一施密特正交化方法.3. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.反过来，假如两个基之间的过渡矩阵是正交矩阵，而且其中一个基是标准正交基，那么另一个基也是标准正交基.三、正交补内射影1. 向量与集合正交的概念.2. 欧氏空间的子空间y的正交补的概念.3. 设V是V的子空间，则V V i V i ,且V可以唯一写成 1 2,其中，则称1是在V上的内射影.1 V1,2 V1四、欧氏空间的线性变换1. 正交变换(1) V的线性变换是正交变换①保持向量的长度不变②保持向量的内积不变 .③把规范正交基仍变为规范正交基 .④关于规范正交基的矩阵是正交矩阵 .(2) 正交矩阵的性质①正交矩阵为可逆矩阵 , 其逆仍为正交矩阵 .②正交矩阵的行列式为 1 或 -1.③正交矩阵的伴随矩阵是正交矩阵 .2. 对称变换(1) 假如欧氏空间 V 的线性变换满足 :( ( ), ) ( , ( )), , V那么叫做对称变换 .(2) n维欧氏空间V的线性变换是对称变换在V的标准正交基下的矩阵是对称矩阵 .(3) 设是欧氏空间V的对称变换若W是的不变子空间，则W 也是的不变子空间 .(4) 实对称矩阵的特征值都是实数 ,相应地有对称变换的特征值都是实数 .(5) 设A是实对称矩阵，则属于A的不同特征值的特征向量是正交的.(6) 任一个n阶实对称矩阵 A都可以正交对角化，即存在正交矩阵 U，使得U AU U 1AU 是对角形式 ,相应地有对于欧氏空间 V 的任一个对称变换,存在 V 的标准正交基 , 在这个标准正交基下的矩阵是对角形式 . 六、欧氏空间的同构1. 欧氏空间同构的概念2. 两个有限维欧氏空间同构它们的维数相同 .3. 每个n维欧氏空间都与R n同构.本章的重点是欧氏空间的基本概念、标准正交基、正交变换和正交矩阵、对称变换与对称矩阵 .难点是正交变换、正交补、对称变换 .。
高等代数--第九章 欧几里得空间
反过来，如果等号成立，由以上证明
过程可以看出，或者 0 ，或者 ( , ) 0, ( , ) 也就是说 , 线性相关。
结合具体例子来看一下这个不等式是很有意 思的。对于例1的空间Rn ，(5)式是:柯西不等式
| a1b1 a2b2 an bn |
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的。
根据条件4)，对于非零向量 ，即
0 0 X 0
有
( , ) X ' AX 0,
因此，度量矩阵是正定的。 欧几里得空间以下简称为欧氏空间。 BACK
标准正交基
定义6 欧氏空间V中一组非零的向量，如果它 们两两正交，就称为一正交向量组。 按定义，由单个非零向量所成的向量组也 是正交向量组。
即对于任意的向量 , 有
| ( , ) || || | . (5)
当且仅当 , 线性相关时，等号才成立。 证明 当 0，(5)式显然成立。以下设 0。 令t是一个实变数，作向量 t . 由4)可知，不论t取何值，一定有 ( , ) ( t , t ) 0. 即 ( , ) 2( , )t ( , )t 2 0. (6)
(m1 ,i ) ( ,i ) ki (i ,i ) (i 1,2,, m).
取
( , i ) ki (i 1,2,, m). ( i , i )
有
( i , m1 ) 0 (i 1,2,, m).
m1 0 。因此 1 , 2 ,, m , m1 由 的选择可知， 1 , 2 ,, m , 是一正交向量组，根据归纳法假定， m1 可以扩充成一正交基。于是定理得证。 定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩 充正交向量组的方法。
高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质
x, y
x y
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质： （1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即 有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中 的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实 数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个 运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .
高等代数第九章 1第一节 定义与基本性质
在解析几何中，向量 , 的夹角 的夹角<α, 的余弦 在解析几何中，向量α,β的夹角 ,β>的余弦 可以通过内积来表示 可以通过内积来表示 内积
cos < ห้องสมุดไป่ตู้ , β >= (α , β )
α β
.
(4) )
为了在一般的欧几里得空间中利用(4)引入夹角的 为了在一般的欧几里得空间中利用( ) 在一般的欧几里得空间中利用 概念，我们需要证明不等式 概念，我们需要证明不等式
返回 上页 下页
例2 在Rn里，对于向量 α=(a1, a2,…,an), 定义内积
β=(b1, b2,…,bn)
(α, β)=a1b1+2a2b2+…+nanbn 则其内积适合定义中的条件，这样 则其内积适合定义中的条件，这样Rn就也成为一个 内积适合定义中的条件 欧几里得空间. 仍用 n来表示这个欧几里得空间 这个欧几里得空间. 欧几里得空间 仍用R 来表示这个欧几里得空间 注意， 知道，对同一个线性空间可 注意，由例1、例2知道，对同一个线性空间可 引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间 作成欧几里得空间. 以引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间
返回
证毕. 证毕
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结合具体例子来看一下这个不等式是很有意思 结合具体例子来看一下这个不等式是很有意思 具体例子来看一下这个不等式 对于例 空间R 的. 对于例1的空间 n，(5)式就是
2 2 2 2 2 a1b1 + a 2 b2 + L + an bn ≤ a1 + a2 + L + a n b12 + b2 + L + bn .
(1) )
欧几里德空间知识点总结 (2)
AY
y1 y2 yn
A a ij
n n
,
X
Y
（4） 内积的简单性质 V为欧氏空间，
1)
, , V , k R
( , k ) k ( , ),
（2）
x 1 1 x 2 2 x n n y 1 1 y 2 2 y n n
f ( , )
n n
则
i1 j1
f i ,
j
xi y j X
T
AY
(3)设 1 , 2 , , n ; 1 , 2 , , n 为向量空间V的两组基， 双线性函数 f 在这两组基下的度量矩阵分别为A、B ， 则A与B 合同：
f ( x ) g ( x ) dx
a
b
f ( x ) dx
2
a
b
g ( x )d x
2
ii )
d ( , ) d ( , ) d ( , )
三角 不等式
例1、证明：在一个欧氏空间里，对于任意向量 , ,
以下列式子成立：
（P182习题2）
(2)求与下列向量都正交的单位向量
1 1, 1, 1, 1 , 2 1, 1, 1, 1 , 3 2 , 1, 1, 3
二、长度、夹角、距离、正交、不等式
长度
1) 2)
V ,
( , )
0;
0 0
1 2 m
0
所得的正交组，证明:
高等代数欧几里得空间
例2．
为闭区间 上的所有实连续函数
所成线性空间 ，对于函数
， 定义
（ 2）
则
对于（2） 作成一个欧氏空间.
证：
§9 . 1 定义与基本性质
f2(x)≥0，
·
且若
则
故
因此 ， 为内积 ，
§9 . 1 定义与基本性质
从而 为欧氏空间.
2. 内积的简单性质
V为欧氏空间，
1) (α，kβ)=k(α，β) ，(kα，kβ)=k2(α，β)
坐标系下的表达式 .
即
§9 . 1 定义与基本性质
2） 定义 (α,β)'=a1b1+2a2b2+…+ka4bk+…+nanb
易证 满足定义中的性质 ～ .
所以
也为内积.
从而 对于内积
也构成一个欧氏空间.
注意：由于对
未必有
所以1），2） 是两种不同的内积.
从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.
2. 柯西 －布涅柯夫斯基不等式
对欧氏空间V中任意两个向量
，有
（ 5）
当且仅当 线性相关时等号成立.
证： 当
时，
结论成立.
当 时 ，作向量
§9 . 1 定义与基本性质
由内积的正定性 ，对
， 皆有
（ 6）
取
代入（6） 式 ，得
即
两边开方 ， 即得
§9 . 1 定义与基本性质
当 线性相关时 ，不妨设
β =y1E1+ JY2E2+…+ynE
（ 8）
令
§9 . 1 定义与基本性质
则
高等代数欧几里得空间知识点总结
第九章 欧几里得空间（ * * * ）一、复习指导：在第九章中，有两个重要的考点：1.标准正交基（施密特正交化）2.实对称矩阵如何相似对角化，如何求标准形。
除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为一个比较重要的内容来复习。
二、考点精讲：三、首师大真题： （一）欧氏空间1.设V 是是数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为(,)αβ，特具有一下性质： （1）(,)(,)αββα=； （2）(,)(,)k k αβαβ=（3）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+；（4）(,)0αα≥，当且仅当α=0时(,)αβ=0.这里,,αβγ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。
2.α的长度，记为α。
3.非零向量的夹角,β规定为(,),arccos,0,ααβαβπαβ=≤≤4.如果向量,αβ的内积为零，即(,)0αβ=，那么,αβ称为正交或互相垂直，记为αβ⊥。
5.设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基1,2,......,n εεε令(,),(,1,2,....)ij i j a i j n εε==矩阵()ij n n A a ⨯= 称为基1,2,......,n εεε的度量矩阵。
（1）度量矩阵是正定的；（2）不同基底的度量矩阵是合同的。
6.欧氏空间V 中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。
在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
（1）施密特正交化这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法. 以3个线性无关向量α1,α2,α3为例. ①令β1=α1,β2=α2-11112),(),(ββββα,β3=α3-11113),(),(ββββα-22223),(),(ββββα. 此时β1,β2,β3是和α1,α2,α3 等价的正交非零向量组.（二）同构1.实数域R 上欧氏空间V 与'v 称为同构，如果由V 到'v 有一个1-1上的映射σ，适合 （1）()()()σαβσασβ+=+ （2）()()k k σασα=（3）((),())(,)σασβαβ= 这里,,V k R αβ∈∈，这样的映射σ称为V 到'v 的同构映射。
欧几里德空间知识点总结
2） 保持向量的内积不变, 即 ( ), ( ) ( , ), ,
3） 保持向量长度不变，即
d ( ), ( ) d , ,
( ) ,
, V
V ;
4） 保持向量间的距离不变，即
如: 设 是欧氏空间V中的一个单位向量，定义
2 ,
则 是第二类正交交换(称之为镜面反射) （P194习题6）
例1、P194习题5、6、8、 例2、证明第二类正交变换必有特征值－1。
（利用正交变换与正交矩阵的对应关系）
三、实对称矩阵与对称变换
1.实对称矩阵的标准形 1）实对称矩阵的特征值为实数； 实反对称阵的特征值为0或纯虚数; 2）实对称矩阵不同特征值的特征向量正交；
求A。 (类似P198例3、P199习题4)
例3、P199习题4
例4、设 A是n 阶实对称阵，
（1）当
A A时，证明存在正交矩阵P，使得
2
2
P 1 AP diag Er , o
（2）如果 A E ，证明存在正交阵P ,使得
P AP diag Er , Enr
例1、设二次型
f x x x 2ax1 x2 2 x1 x3 4bx2 x3
2 1 2 2 2 3
通过正交线性替换化为标准形
f y 2y 求a, b及所用的正交线性替换。 （类似P199习题5）
2 2 2 3
例2、设A是正定实对称矩阵，证明：
A E 1.
例3、设 A, B 都是实对称矩阵， （1）证明：存在正交矩阵 的充分必要条件是 （2）如果
3） 在任一标准正交基下的矩阵是对称矩阵；
6.1 欧几里得空间(1)
16:33
15
6、例题分析
e1 = (1, 0,L, 0);
【例题1】 在欧氏空间中向量组 交。
证明：略。
e2 = (0,1,L, 0); LLLLLL; en = (0, 0,L,1).
两两正
【例题2】、证明上面 3）
证明： 由题意知，< α , βi >= 0 (i = 1, 2,L, l)
20
4、标准正交基底
【正交基底】
若α1, α2, ⋅⋅⋅, αn 是 n 维欧氏空间V中的一个正交组，
则它们构成 V 的一个基底，称为正交基底。
【标准正交基底】 若正交基底是一个标准正交组，则称为标准正交基
底。
【例题分析】
例题 1
由向量组
α1 = (0,1, 0),α2 = (
1 , 0, 2
1 2
¾ 对任意的向量 α ∈ V，有 〈0 , α 〉 = 0, 特别 〈0 , 0〉
= 0, 即两个向量中只有一个向量为零，他们的内
积必为零。
¾ α 为V 中某一个向量，若对于 V 中任何一个向量 β 都 有 〈α , β 〉 = 0, 则 α = 0.
¾ 对于任意的向量 αi , βj ∈ V , 及实数 ai , bj ∈ R, 恒
(I) 交换律： 〈α , β 〉 = 〈β , α 〉
(II) 分配律： 〈α +β , γ 〉 = 〈α , γ 〉 + 〈 β , γ 〉 , (γ ∈V )
(III) 数乘： 〈aα , β 〉 = a 〈α , β 〉 , (a ∈R )
16:3(3IV) 正定性： 当 α ≠ 0, 〈α , α 〉 > 0
欧几里德空间知识点总结
欧几里德空间知识点总结一、点、直线与平面1. 点：在欧几里德空间中，点是最基本的几何图形，它没有尺寸和方向，只有位置。
点在空间中没有体积，可以用坐标来表示其位置。
例如，三维空间中的点可以用三维坐标(x, y, z)来表示。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，它是无限延伸的一维图形。
在欧几里德空间中，直线可以用方程或参数方程来表示，例如直线的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为常数，D为常数。
3. 平面：平面是由无数个点组成的，它是无限延伸的二维图形。
在欧几里德空间中，平面可以用一般方程或参数方程来表示，例如平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为常数，D为常数。
二、向量和矢量4. 向量：向量是具有大小和方向的量，它可以用箭头来表示。
在欧几里德空间中，向量可以表示为由坐标表示的一个有向线段。
向量的大小可以用模表示，方向可以用夹角表示。
5. 矢量：矢量是向量的一种特殊形式，它是在空间中有大小和方向的物理量。
在欧几里德空间中，矢量可以表示为一个有向线段，其大小和方向由其坐标表示。
6. 点积和叉积：在欧几里德空间中，点积和叉积是两种重要的运算。
点积表示了两个向量之间的夹角关系，叉积表示了两个向量之间的垂直关系。
三、几何图形和多边形7. 几何图形：在欧几里德空间中，几何图形是指各种由点、直线、平面等基本图形组成的图形。
几何图形可以是二维的，也可以是三维的，例如圆、球、多边形等。
8. 多边形：多边形是由若干条有限的线段组成的闭合图形。
在欧几里德空间中，多边形可以是平面的，也可以是空间的。
多边形有许多重要的性质和定理，例如多边形的内角和为180度，外角和为360度等。
四、投影和对称9. 投影：在欧几里德空间中，投影是指将三维空间中的一个图形或物体投影到一个平面上的过程。
投影有平行投影和透视投影之分，它们在几何绘图和工程设计中有重要的应用。
10. 对称：在欧几里德空间中，对称是指一个图形围绕一个中心旋转或翻转后与原图形相同的过程。
欧几里得空间 (小结)
一、欧氏空间 1.内积、欧氏空间的概念及其简单性质.
2.柯西—布涅可夫斯基不等式: (α, β)2≤(α, α)(β, β) 3.向量的长度: | | ( , )
( , ) , (0 ) 4.两个非零向量α与β的夹角: arccos
若(α, β)=0，则α与β正交.
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(5) 设A是实对称矩阵，则属于A的不同特征值的
特征向量是正交的.
(6) 任一个n级实对称矩阵A都可以正交对角化，
即存在正交矩阵U，使得 UTAU=U-1AU 是对角形
式，相应地有对于欧氏空间V的任一个对称变换σ,
存在V的标准正交基， σ在这个标准正交基下的矩 阵是对角形式.
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二、标准正交基 １. 标准正交基的概念.
２. 标准正交基的求法—施密特正交化方法.
３. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正 交矩阵. 反过来，假如两个基之间的过渡矩阵是
正交矩阵，而且其中一个基是标准正交基，那么
另一个基也是标准正交基.
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三、正交补 内射影 1. 向量与集合正交的概念.
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五、欧氏空间的同构
1. 欧氏空间同构的概念. 2. 两个有限维欧氏空间同构<＝>它们的维数相同. 3. 每个n维欧氏空间都与Rn同构. 本章的重点是欧氏空间的基本概念、标准正 交基、正交变换和正交矩阵、对称变换与对称矩 阵.
难点是正交变换、正交补、对称变换.
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2. 欧氏空间的子空间V1的正交补的概念.
3. 设V1是V的子空间，则有V=V1⊕V1⊥，且任意 α∈V可以唯一写成α=α1+α2,其中α1∈V1,α2∈V1⊥， 则称α1是α在V1上的内射影.
高等代数欧几里得空间知识点总结
第九章 欧几里得空间（ * * * ）一、复习指导：在第九章中，有两个重要的考点：1.标准正交基（施密特正交化）2.实对称矩阵如何相似对角化，如何求标准形。
除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为一个比较重要的内容来复习。
二、考点精讲：三、首师大真题：（一）欧氏空间1.设V 是是数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为(,)αβ，特具有一下性质：（1）(,)(,)αββα=；（2）(,)(,)k k αβαβ=（3）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+；（4）(,)0αα≥，当且仅当α=0时(,)αβ=0.这里,,αβγ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。
2.α的长度，记为α。
3.非零向量,αβ的夹角,β规定为(,),arccos ,0,ααββπαβ=≤≤4.如果向量,αβ的内积为零，即(,)0αβ=，那么,αβ称为正交或互相垂直，记为αβ⊥。
5.设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基1,2,......,n εεε令(,),(,1,2,....)ij i j a i j n εε==矩阵()ij n n A a ⨯= 称为基1,2,......,n εεε的度量矩阵。
（1）度量矩阵是正定的；（2）不同基底的度量矩阵是合同的。
6.欧氏空间V 中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。
在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
（1）施密特正交化这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法.以3个线性无关向量α1,α2,α3为例.①令β1=α1,β2=α2-11112),(),(ββββα,β3=α3-11113),(),(ββββα-22223),(),(ββββα. 此时β1,β2,β3是和α1,α2,α3 等价的正交非零向量组.（二）同构1.实数域R 上欧氏空间V 与'v 称为同构，如果由V 到'v 有一个1-1上的映射σ，适合（1）()()()σαβσασβ+=+（2）()()k k σασα=（3）((),())(,)σασβαβ= 这里,,V k R αβ∈∈，这样的映射σ称为V 到'v 的同构映射。
高等代数(第9章)
证 依题意，可设 = k11+k22+…+knn ,则
n
n
( , ) ( ki i , ) ki ( i , ) 0
i 1
i 1
故 = 0.
(2)性质 设V是欧氏空间，则内积有如下性质
(i) (, 0)= (0, )=0
对称性
(ii) (k , )= (, k )
3.度量矩阵
定义 设V是n维欧氏空间, 1, 2,…,n为V的一组基.称
( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , n )
A ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , n )
( n , 1 ) ( n , 2 ) ( n , n )
依定义，若1, 2,…,n是n维欧氏空间V中一个标
准正交基，则
( i ,
j)
1, 0,
i i
j j
(i, j 1,2,, n).
反之亦然，因此有如下结论.
定理 n维欧氏空间V的一组基1, 2,…,n是标准正 交基为该基的度量矩阵A=((i,j))nn为单位矩阵.
(ii)|k |=| k| | | (iii) |+ || |+ | | (后证)
证 (ii) k (k, k ) k 2 (, ) k .
长度为1的向量称为单位向量，而 称为把单位化.
(2)向量的夹角 为合理引进两个向量夹角的概念,首先证明欧氏空
间中的柯西——布涅科夫斯基(Cauchy-Buniakowski) 不等式.
定理 设V是欧氏空间， , V,有 |( , ) ||| | |
当且仅当 , 线性相关时等号成立. 证 (i)若 , 线性无关,则0, t , tR.考虑向量 =-t ( 0),由于
高等代数考研复习[欧氏空间]
![高等代数考研复习[欧氏空间]](https://img.taocdn.com/s3/m/e842560da26925c52dc5bf6b.png)
(A ,A ) (, ),
则称 A 是正交变换. 2.2 关于正交变换的几个等价命题
设 A 是欧氏空间V的一个线性变换，则下面
四个命题相互等价： (1) A 是正交变换； (2) A 保持向量的长度不变，即对任意的
d) n维欧空间中任意一个正交向量组都能扩充 成一组标准正交基.
3) 标准正交基的求法：施密特(Schmidt)正交 化方法
题型分析：
例1 设 1,2, ,n 是欧氏空间V的基，证明：
1) 若 V 使得 ( ,i ) 0, 则 0.
2) 若 1, 2 V , 对任意的 V 有 (1, ) ( 2, )
2.3 正交变换是可逆的；正交变换的乘积与 正交变换的逆变换仍然是正交变换. 正交变换在 任何一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵，
其行列式等于正负1，行列式为1的正交变换称 为第一 类的，或旋转；行列式为-1的正交变换 称为第二类的.
2.4 对称变换的定义 设A 是欧氏空间V的线性变换，如果对任意
(
2
,1)
(
n
,1
)
(1,2 ) (2,2 )
(n ,2 )
为基1,2, ,n 的度量矩阵.
(1,n )
(
2
,
n
)
(
n
,
n
)
2) 度量矩阵的性质
a) 设, 在n维欧氏空间V的基1,2, ,n 下的 坐标分别为 X (x1, x2, , xn ), Y ( y1, y2, , yn ), 则 (, ) X AY , 其中A是基1,2, ,n 的度量矩 阵.特别当1,2, ,n 是标准正交基时，A=E,则
高等代数--第九章 欧几里得空间
在欧几里得空间中同样有勾股定理,即当 , 正交时， 2 2 2
| | | | | | .
不难把勾股定理推广到多个向量的情形，即如 果向量1 , 2 ,, m两两正交，那么
| 1 2 m |2 | 1 |2 | 2 |2 | m |2 .
定义1 设V是实数域R上一线性空间，在V上定 义了一个二元实函数，称为内积，记作 ， ( , ) 它具有以下性质： 1)( , ) ( , ); 2)(k , ) k ( , ); 3)( , ) ( , ) ( , ); 4)( , ) 0,当且仅当 0时( , ) 0.
( i , j ) xi y j .
i 1 j 1
n
n
令 aij ( i , j ) 显然 aij a ji .
(i, j 1,2,, n),
(8)
于是
( , ) aij xi y j .
i 1 j 1
n
n
( , ) 还可以写成 利用矩阵，
定义2 非负实数 ( , ) 称为向量 的长度，记 为| | 。 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量 的长度才是零。且 | k || k || |, (3)
k R, V . 事实上， 这里，
| k | (k , k ) k 2 ( , ) | k || | .
这里 , , 是V中任意的向量，k是任意实数，这 样的线性空间V称为欧几里得空间。
几何空间中向量的内积显然适合定义中列举
的性质，所以几何空间中向量的全体构成一 个欧几里得空间。
例1 在线性空间Rn中，对于向量 (a1 , a2 ,, an ), (b1 , b2 ,, bn ), 定义内积 ( , ) a1b1 a2b2 anbn . (1) 显然，内积(1)适合定义中的条件，这样，Rn就 成为一个欧几里得空间。以后仍用Rn来表示这 个 欧几里得空间。 在n=3时，(1)式就是几何空间中向量的内积 在直角坐标系中的坐标表达式。