专题——动点问题的函数图象
题型1 专题1 动点问题的函数图像
A
B
C
D
5．(2019·潍坊)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝3，动点 P 沿折线 B→C→D
从点 B 开始运动到点 D．设运动的路程为 x，△ADP 的面积为 y，那么 y 与 x 之间的函
数关系的图象大致是( D )
于点 E，F.设直线 l 向右平移的距离为 x，线段 EF 的长为 y，且 y 与 x 的函数关系如图
2 所示，则四边形 ABCD 的周长是
10＋2 3
．
图1
图2
10．(2019·信阳一模)如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，点 P 是对角
线 AC 上一动点．设 PC 的长度为 x，PE 与 PB 的长度和为 y.图 2 是 y 关于 x 的函数图
A
B
C
D
6．(2019·河池)如图，△ABC 为等边三角形，点 P 从点 A 出发，沿 A→B→C→A 作 匀速运动，则线段 AP 的长度 y 与运动时间 x 之间的函数关系大致是( B )
A
B
C
D
类型二 函数图象的分析
7．如图 1，AB 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上一点，连接 AC，BC．点 P 从 点 B 出发，沿折线 B→C→A 以 1 cm/s 的速度匀速运动到点 A．图 2 是点 P 运动时，△
以 1cm/s 的速度匀速运动到点 B．图 2 是点 F 运动时，△FBC 的面积 y(cm2)随时间 x(s)
变化的关系图象，则 a 的值为( C )
A． 5
图1 B．2
C．52
图2 D．2 5
2020年浙江省中考数学题型专练一 动点问题的函数图像含答案
题型一 动点问题的函数图像类型一 判断函数图像(2014.8)1. 如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA →AB ︵→BO 的路径运动一周，设点P 到点O的距离为s ，运动时间为t ，则下列图象能大致地反映s 与t 之间的关系的是( )第1题图2. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4 cm ，点D 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，动点E 从点C 出发，沿CD →DA 以1 cm/s 的速度运动至点A ，设点E 运动的时间为x s ，△EFC 的面积为y cm 2(当E ，F ，C 三点共线时，设y ＝0)，则y 与x 之间的函数关系的大致图象是( )第2题图3.如图，A 、B 是反比例函数y ＝k x(k ＞0)在第一象限图象上的两点，动点P 从坐标原点O 出发，沿图中 箭头所指方向匀速运动，即点P 先在线段OA 上运动，然后在双曲线上由A 到B 运动，最后在线段BO 上运动，最终回到点O .过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，设△POM 的面积为S ，点P 运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为( )第3题图4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是()第4题图5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M为线段AC上一个动点，过点M作EF∥BD 交AD(或DC)于点E，交AB(或BC)于点F，已知AC＝5，设AM＝x，EF＝y，则y关于x的函数图象大致为()第5题图6. (2019衢州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C 移动至终点C，设点P经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是()第6题图类型二分析函数图像1.如图①，点P从矩形ABCD的顶点B出发，沿射线BC的方向以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PG⊥AP交射线DC于点G.如图②是点P运动时CG的长度y随时间t变化的图象，其中点Q是第一段曲线(抛物线的一部分)的最高点，则AB的长度是()第1题图A. 2B. 3C. 4D. 232.(2019郑州模拟)如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝A D.动点P从点B出发，沿折线B－A－D－C方向以 1 cm/s的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S(cm2)与运动时间t(s)的函数图象如图②所示，则AD等于()第2题图A. 5 cmB. 34 cmC. 8 cmD. 2 3 cm3.如图①，菱形ABCD中，∠B＝60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线B－C－D运动到点D.图②是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是()第3题图A. 2B. 2.5C. 3D. 234.如图①，在正方形ABCD中，动点E从点A出发，沿A－B－C运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE，交CD于点F，设点E运动的路程为x，FC＝y(当点A，E重合时，点D，F重合；当点C，E重合时，不妨设y＝0)，y与x的函数关系的大致图象如图②，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是1，则正方形ABCD的面积是()第4题图A. 8B. 12C. 16D. 4.85.如图①，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A→B→C运动，设P A＝x，点D到直线P A的距离为y，且y关于x的函数图象如图②所示，则当△PCD和△P AB的面积相等时，y的值为.第5题图6.如图①，已知点E，F，G，H是矩形ABCD各边的中点，动点M从点E出发，沿E→F→G匀速运动，设点M运动的路程为x，点M到矩形顶点B的距离为y，如果表示y关于x函数关系的图象如图②所示，那么四边形EFGH的面积是.第6题图参考答案类型一 判断函数图象1. C 【解析】点P 在OA 上从点O 向点A 运动的过程中，s 随着t 的增大而增大，点P 在AB ︵上运动时，s ＝OP ＝12AB (定值)，点P 在OB 上从点B 向点O 运动的过程中，s 随着t 的增大而减小． 2. A 【解析】∵在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，∴AB ＝42，AD ＝CD ＝22，CF ＝2，当点E 在CD 上时，CE ＝x ，点E 到BC 的距离h 1＝22x ，∴y ＝12×2×22x ＝22x (0≤x ≤22)；当点E 在AD 上时，BE ＝BD ＋DE ＝CD ＋DE ＝x ，∴点E 到FC 的距离h 2＝22BE ＝22x ，∴y ＝12×2×22x ＝22x (22≤x ≤42)． 3. D 【解析】设∠AOM ＝α，点P 运动的速度为a ，当点P 从点O 运动到点A 的过程中，S ＝12OM ·PM ＝12at ·cos α·at ·sin α＝12a 2·cos α·sin α·t 2，由于α及a 均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S 随着t 的增大而增大；当点P 从A 运动到B 时，由反比例函数性质可知△OPM 的面积为12k ，保持不变，本段图象应为与x 轴平行的线段；同理可得，当点P 从B 运动到O 过程中，S 也是t 的二次函数，且S 随着t 的增大而减小．4. B 【解析】∵四边形ABCD 为菱形，且∠B ＝60°，AB ＝2，∴当0＜t ＜2时，△APQ 的面积y ＝12t ·(2－t )·sin60°＝－34t 2＋32t ，函数图象为开口向下的一段抛物线，且当t ＝1时，y 最大值为34；当2＜t ＜4时，△APQ 的面积y ＝12(t －2)·(t －2)·sin60°＝34(t －2)2，函数图象为开口向上的一段抛物线，且当t ＝4时，y 最大值为3，故选B .5. B 【解析】当0≤x ≤2.5时，如解图①，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵EF ∥BD ，∴∠ODA ＝∠MEA ，∴∠OAD ＝∠MEA ，∴ME ＝MA ，同理可得AM ＝MF ，∴EM ＝AM ＝MF ，∴EF ＝2AM ，即y ＝2x ；当2.5<x ≤5时，如解图②，由题意知CM ＝AC －AM ＝5－x ，∵ME＝MC ＝MF ，∴EF ＝2MC ，即y ＝2(5－x )＝10－2x .综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤2.5）10－2x （2.5<x ≤5）.图① 图②第5题解图6. C 【解析】∵AB ＝4，点E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝2，当0≤x ≤2时，如解图①，y ＝S △CPE ＝12PE·BC＝2x，∴此段函数图象是正比例函数的一部分；当2<x≤6时，如解图②，y＝S△CPE＝S正方形ABCD－S△BCE －S△APE－S△PCD＝42－12×4×2－12×2×(x－2)－12×4×[4－(x－2)]＝x＋2，∴此段函数图象是一次函数的一部分；当6<x≤10时，如解图③，y＝S△CPE＝12PC·BC＝12(10－x)×4＝－2x＋20，∴此段函数图象是一次函数的一部分，综上所述，根据各段图象及x的取值范围，可得函数图象如选项C所示．图①图②图③第6题解图类型二 分析函数图象1. B 【解析】结合图形分析函数图象可得：当点P 运动到点C 的位置时，CG ＝0，∴BC ＝4.当点P运动到线段BC 的中点时，CG ＝43.∵∠B ＝90°，∴∠BAP ＋∠APB ＝90°，∵PG ⊥AP ，∴∠APG ＝90°，∴∠APB ＋∠CPG ＝90°，∴∠BAP ＝∠CPG ，又∵∠ABP ＝∠PCG ＝90°，∴△ABP ∽△PCG ，∴AB PC ＝BP CG，当点P 为BC 的中点时，BP ＝PC ＝2，∴AB 2＝243，解得AB ＝3. 2. B 【解析】结合图形分析函数图象可得，当t ＝3时，点P 到达A 处，即AB ＝3；如解图，过点A作AE ⊥CD 于点E ，则四边形ABCE 为矩形，∵AC ＝AD ，∴DE ＝CE ＝12CD .当S ＝15时，点P 到达点D 处，则S ＝12CD ·BC ＝12·2AB ·BC ＝3×BC ＝15，则BC ＝5，在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AD ＝AC ＝AB 2＋BC 2＝34.第2题解图3. D 【解析】由题图②得，t ＝4时两点停止运动，∴点P 以每秒1个单位的速度从点A 运动到点B 用了4秒，∴AB ＝4，∵点Q 运动到点C 之前和之后，△BPQ 面积算法不同，即t ＝2时，S 的解析式发生变化，∴题图②中点M 对应的横坐标为2，此时P 为AB 中点，点C 与点Q 重合，如解图，连接AC ，∵菱形ABCD 中，AB ＝BC ＝4，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴CP ⊥AB ，BP ＝12AB ＝2，∴CP ＝BC 2－BP 2＝42－22＝23，∴a ＝12BP ·CP ＝12×2×23＝2 3.第3题解图4. C 【解析】如解图，设AB ＝a ，当点E 在BC 上运动时(不与点B 、C 重合)，∵AE ⊥EF ，∴△EFC∽△AEB ，∴EC AB ＝FC EB ，即2a －x a ＝y x －a ，∴y ＝－1a x 2＋3x －2a ，－1a <0，当x ＝－32×（－1a ）＝32a 时，y 取得最大值，此时点E 为BC 的中点，y ＝1，把(32a ，1)代入y ＝－1ax 2＋3x －2a ，解得a ＝4，即AB ＝4，故正方形ABCD 的面积为4×4＝16.第4题解图5. 121313【解析】当P 点在AB 上运动时，D 点到AP 的距离不变，始终是AD 长，从图象可以看出AD ＝4，当P 点到达B 点时，从图象看出x ＝3，即AB ＝3.当△PCD 和△P AB 的面积相等时，P 点在BC 中点处，此时△ADP 面积为12×4×3＝6，在Rt △ABP 中，AP ＝AB 2＋BP 2＝13，则12AP ·y ＝6，解得y ＝121313. 6. 24 【解析】如解图，连接BD ，EG ，FH ，∵点E ，F ，G ，H 是矩形ABCD 各边的中点，∴EF ∥BD ∥GH ，EF ＝GH ＝12BD ，∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵EF ＝EH ，∴平行四边形EFGH 是菱形，由题图②得BE ＝3，点M 运动到点G 时，运动路程为10，又∵EF ＝FG ，则可知菱形的边长为5，即EF ＝FG ＝GH ＝HE ＝5，∴AF ＝4，AD ＝8，∴S 菱形EFGH ＝12EG ·FH ＝24.第6题解图。
中考数学复习----《动点问题的函数图像》压轴真题练习(含答案解析)
中考数学复习----《动点问题的函数图像》压轴真题练习（含答案解析）1．（2021•益阳）如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵▱ABCD的面积为4，x+y是平行四边形面积的一半，∴x+y＝2，∴y＝2﹣x，∴y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝2；x＝2时，y＝0；故只有选项B符合题意．2．（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE，∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，设BE的长度为t，则BA＝t+1，∴（t+1）2+t2＝25，即：t2+t﹣12＝0，∴（t+4）（t﹣3）＝0，由于t＞0，∴t+4＞0，∴t﹣3＝0，∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．故选：C．3．（2022•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN．设运动时间为ts，△MND的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，AC＝BC＝6，∵CD⊥AB，∴CD＝AC＝3，AD＝CD＝3，BD＝BC＝，∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD＝AD﹣AM＝3﹣t，DN＝DC+CN＝3+t，∴S＝MD•DN＝（3﹣t）（3+t）＝﹣t2+，当M在BD上时，3＜t≤4，MD＝AM﹣AD＝t﹣3，∴S＝MD•DN＝（t﹣3）（3+t）＝t2﹣，故选：B．4．（2022•菏泽）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB＝DE ＝2，DG＝3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，作CH⊥AB于点H，∵AB＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴CH＝1，当0≤x≤1时，y＝×2x•x＝x2，当1＜x≤3时，y＝＝1，当3＜x≤4时，y＝1﹣＝﹣（x﹣3）2+1，故选：B．5．（2022•鄂尔多斯）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N 是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（）A．B．2C．D．【答案】 A【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点，∵点M是AB的中点，∴N′是△ABC的重心，∴N′O＝BO，∴N′D＝BD，∵A、C关于BD对称，∴NA＝NC，∴AN+MN＝NC+MN，∵当M、N、C共线时，y的值最小，∴y的值最小就是MC的长，∴MC＝2，设正方形的边长为m，则BM＝m，在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2＝BC2+MB2，∴20＝m2+（m）2，∴m＝4，∴BD＝4，∴a＝N′D＝BD＝×4＝，故选：A．6．（2021•鞍山）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6cm，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA 方向以2cm/s的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作MP∥CA交AB于点P，连接MN，NP，作△MNP关于直线MP对称的△MN′P，设运动时间为ts，△MN′P与△BMP重叠部分的面积为Scm2，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图1中，当点N′落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．∵CM＝t（cm），CN＝2t（cm），CT＝TN，∴CT＝TN＝t（cm），∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∴△MCT是等边三角形，∴TM＝TC＝TN，∴∠CMN＝90°，∵MP∥AC，∴∠BPM＝∠A＝∠MPN＝60°，∠BMP＝∠C＝60°，∠C+∠CMP＝180°，∴∠CMP＝120°，△BMP是等边三角形，∴BM＝MP，∵∠CMP+∠MPN＝180°，∴CM∥PN，∵MP∥CN，∴四边形CMPN是平行四边形，∴PM＝CN＝BM＝2t，∴3t＝6，∴t＝2，如图2中，当0＜t≤2时，过点M作MK⊥AC于K，则MK＝CM•sin60°＝t，∴S＝•（6﹣t）•t＝﹣t2+t．如图3中，当2＜t≤6时，S＝•MQ•PQ＝×（6﹣t）×（6﹣t）＝×（6﹣t）2，观察图象可知，选项A符合题意，故选：A．7．（2021•威海）如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠D＝60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s 的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∠B＝∠D＝60°．∴△ABC、△ACD都是等边三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°．如图1所示，当0≤x≤1时，AQ＝2xcm，AP＝xcm，作PE⊥AB于E，∴PE＝sin∠PAE×AP＝（cm），∴y＝AQ•PE＝×2x×＝，故D选项不正确；如图2，当1＜x≤2时，AP＝xcm，CQ＝（4﹣2x）cm，作QF⊥AC于点F，∴QF＝sin∠ACB•CQ＝（cm），∴y＝＝＝，故B选项不正确；如图3，当2＜x≤3时，CQ＝（2x﹣4）cm，CP＝（x﹣2）cm，∴PQ＝CQ﹣CP＝2x﹣4﹣x+2＝（x﹣2）cm，作AG⊥DC于点G，∴AG＝sin∠ACD•AC＝×2＝（cm），∴y＝＝＝．故C选项不正确，故选：A．8．（2021•日照）如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：当Q在AD上时，即点P在AO上时，有0＜x≤1，此时阴影部分为等腰直角三角形，∴y＝，该函数是二次函数，且开口向上，排除B，C选项；当点Q在弧BD上时，补全图形如图所示，阴影部分的面积等于等腰直角△AOD的面积加上扇形BOD的面积，再减去平面图形PBQ的面积即减去弓形QBF的面积，设∠QOB＝θ，则∠QOF＝2θ，∴，S弓形QBF＝﹣S△QOF，当θ＝45°时，AP＝x＝1+≈1.7，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.14，当θ＝30°时，AP＝x≈1.87，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.24，当θ＝60°时，AP＝x≈1.5，y≈0.98，在A，D选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项D符合题意．故选：D．法二、当1＜x＜2时，即P在OB之间时，设∠QOD＝θ，则θ∈（0，），则PQ＝cosθ，OP＝sinθ，则弧QD的长为θπ，此时S阴影＝+θπ+sinθcosθ＝+θ+sin2θ，∴y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢，分析四个选项中的图象，只有选项D符合．故选：D．9．（2021•辽宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN 的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，∵E是CD的中点，∴CE＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCF＝90°，AD＝BC＝4，在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（SAS），∴CF＝AD＝4，∴BF＝CF+BC＝8，∴AF＝，当点M在AB上时，在Rt△AMN和Rt△AFB中，tan∠NAM＝，∴NM＝x＝x，∴△AMN的面积S＝×x×x＝x2，∴当点M在AB上时，函数图象是开口向上、经过原点的抛物线的一部分；当点M在BF上时，如图，AN＝x，NF＝10﹣x，在Rt△FMN和Rt△FBA中，tan∠F＝，∴＝﹣，∴△AMN的面积S＝＝﹣，∴当点M在BF上时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：B．10．（2021•苏州）如图，线段AB＝10，点C、D在AB上，AC＝BD＝1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动．在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P的移动时间为t（秒），两个圆锥的底面面积之和为S，则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵AB＝10，AC＝BD＝1，∴CD＝10﹣1﹣1＝8，∵PC＝t，∴AP＝t+1，PB＝8﹣t+1＝9﹣t，设围成的两个圆锥底面圆半径分别为r和R则：2πr＝；．解得：r＝，R＝，∴两个圆锥的底面面积之和为S＝＝＝，根据函数关系式可以发现该函数图象是一个开口向上的二次函数．故选：D．11．（2021•甘肃）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（）A．3B．6C．8D．9【答案】B【解答】解：由图2知，AB+BC＝2，∵AB＝BC，∴AB＝，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD²+BD²＝AB²＝13①，设点M到AC的距离为h，∴S△ADM＝AD•h，∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h＝BD，由图2知，△ADM的面积最大为3，∴AD•BD＝3，∴AD•BD＝6②，①+2×②得，AD²+BD²+2AD•BD＝13+2×6＝25，∴（AD+BD）²＝25，∴AD+BD＝5（负值舍去），∴BD＝5﹣AD③，将③代入②得，AD（5﹣AD）＝6，∴AD＝3或AD＝2，∵AD＞BD，∴AD＝3，∴AC＝2AD＝6，故选：B．12．（2021•百色）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：①当M点运动在AE段，此时S＝S△HAE+S△GHD﹣S△EOM﹣S△GPS，∵四边形ABCD是矩形，直线l⊥AB，H、E、F、G为AD、AB、BC、CD的中点，∴AH＝AD＝＝1，AE＝AB＝，S△HAE＝S△GHD，S△EOM＝S△GPS，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM，∴S△HAE＝AE•AH＝；∵直线l⊥AB，∴∠OME＝∠A＝90°，∠HEA＝∠OEM，∴△HAE∽△OME，∴，∴OM＝，又∵ME＝AE﹣AM＝﹣x，∴OM＝ME＝，∴S△EOM＝，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM＝，此时，对应抛物线开口向下；②当M点运动到在BE段，此时，S＝S△HAE+S△GHD+S△EO1M1+S△GP1S1，即S＝2S△HAE+2S△EO1M1，与①同理，O1M1＝，又∵M1E＝AM1﹣AE＝x﹣，∴O1M1＝M1E＝，∴S△EO1M1＝，∴S＝2S△HAE+2S△EO1M1＝，此时，对应抛物线开口向上，故选：D．13．（2021•鄂尔多斯）如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M 从点A出发沿折线AH﹣HC﹣CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB 运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（cm2），已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（）①当0＜t≤6时，△AMN是等边三角形．②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．③当0＜t≤6时，S＝．④当t＝9+时，△ADH∽△ABM．⑤当9＜t＜9+3时，S＝﹣3t+9+3．A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤【答案】A【解答】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，∴AH＝AB＝6cm，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6 cm．∵当t＝6s时，S＝9cm2，∴×AB×BC＝9．∴BC＝3cm．∵当6≤t≤9时，S＝且保持不变，∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9﹣6）秒，∴HC＝3 cm，即点H为CD的中点．∴BH＝cm．∴AB＝AH＝BH＝6cm，∴△ABM为等边三角形．∴∠HAB＝60°．∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，∴AM＝AN，∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．故①正确；②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：此时有两个符合条件的点；当AD＝AM时，△ADM为等腰三角形，如图：当DA＝DM时，△ADM为等腰三角形，如图：综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．∴②不正确；③过点M作ME⊥AB于点E，如图，由题意：AM＝AN＝t，由①知：∠HAB＝60°．在Rt△AME中，∵sin∠MAE＝，∴ME＝AM•sin60°＝tcm，∴S＝AN×ME＝cm2．∴③正确；④当t＝9+时，CM＝cm，如图，由①知：BC＝3cm，∴MB＝BC﹣CM＝2cm．∵AB＝6cm，∴tan∠MAB＝，∴∠MAB＝30°．∵∠HAB＝60°，∴∠DAH＝90°﹣60°＝30°．∴∠DAH＝∠BAM．∵∠D＝∠B＝90°，∴△ADH∽△ABM．∴④正确；⑤当9＜t＜9+3时，此时点M在边BC上，如图，此时MB＝9+3﹣t，∴S＝×AB×MB＝×6×（9+3﹣t）＝27+9﹣3t．∴⑤不正确；综上，结论正确的有：①③④．故选：A．14．（2021•通辽）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：当0≤x≤3时，在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，∴PQ2＝2x2．∴y＝PQ2＝2x2；当3≤x≤4时，DQ＝x﹣3，AP＝x，∴y＝PQ2＝32+32＝18；当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．故选：C．15．（2021•湖北）如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠PEC＝∠D＝90°，∴△PCE∽△CAD，∴＝＝，∵AD＝3，CD＝4，∴AC＝＝5，∴当P在CA上时，即当0＜x≤5时，PE＝＝x，CE＝＝x，∴y＝PE•CE＝＝x2，当P在AD上运动时，即当5＜x≤8时，PE＝CD＝4，CE＝8﹣x，∴y＝PE•CE＝×4×（8﹣x）＝16﹣2x，综上，当0＜x≤5时，函数图象为二次函数图象，且y随x增大而增大，当5＜x≤8时，函数图象为一次函数图象，且y随x增大而减小，故选：D．16．（2021•衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q 两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．【答案】（2+3）【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大，当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2cm，∴AC＝2cm，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm，∴OD＝OB＝BD＝1cm，在Rt△ADO中，AD＝＝＝2（cm），∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的距离最短，此时，OE＝OF＝＝，AE＝CF＝＝＝，∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：（cm），故答案为：（2+3）．17．（2021•武汉）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y 关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是．【答案】﹣1【解答】解：∵图象过点（0，2），即当x＝AD＝BE＝0时，点D与A重合，点E与B重合，此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝1，过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如图所示：∵AD＝BE，∠NBE＝∠CAD，∴△NBE≌△CAD（SAS），∴NE＝CD，又∵y＝AE+CD，∴y＝AE+CD＝AE+NE，当A、E、N三点共线时，y取得最小值，如图所示，此时：AD＝BE＝x，AC＝BN＝1，∴AF＝AC•sin45°＝，\又∵∠BEN＝∠FEA，∠＝∠AFE∴△NBE∽△AFE∴，即，解得：x＝，∴图象最低点的横坐标为：﹣1．故答案为：．18．（2022•营口）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，动点P，Q同时从点A出发，点P以cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线AD→DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，当x＝（s）时，则y＝cm2．【答案】【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，∴，∵点P的速度为cm/s，点Q的速度为2cm/s，∴AP＝x，AQ＝2x，∴，在△APQ和△AED中，＝，∠A＝45°，∴△AED∽△APQ，∴点Q在AD上运动时，△APQ为等腰直角三角形，∴AP＝PQ＝x，∴当点Q在AD上运动时，y＝AP•AQ＝×x×x＝x2，由图像可知，当y＝9此时面积最大，x＝3或﹣3（负值舍去），∴AD＝2x＝6cm，当3＜x≤4时，过点P作PF⊥AD于点F，如图：此时S△APQ＝S△APF+S四边形PQDF﹣S△ADQ，在Rt△APF中，AP＝x，∠PAF＝45°，∴AF＝PF＝x，FD＝6﹣x，QD＝2x﹣6，∴S△APQ＝x2+（x+2x﹣6）•（6﹣x）﹣×6×（2x﹣6），即y＝﹣x2+6x，当x＝时，y＝﹣（）2+6×＝，故答案为：．。
专题01 几何动点函数图象分析(解析版)
专题一几何动点函数图象分析【专题解读】几何动点函数图像问题=常以选择题、填空题的形式出现．命题方式常涉及四种题型：①分析实际问题判断函数图象；②结合几何图形中的动点问题判断函数图象；③分析函数图象判断结论正误；④根据函数性质判断函数图象．题目难度中等，属于中考热点题型．类型一一个动点与图形线段长、面积（2020•佛山模拟）如图，△ABC为等边三角形，点P从点A出发沿A→B→C路径匀速运动到点C，到达点C时停止运动，过点P作PQ⊥AC于点Q．若△APQ的面积为y，AQ 的长为x，则下列能反映y与x之间的大致图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点B之前，写出此段的函数解析式，则可排除A和B；②设△ABC的边长为m，则当x＞m2时，P点过了B点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．【自主解答】∵△ABC为等边三角形，PQ⊥AC于点Q．AQ＝x，PQ＝AQ•tan60°=√3x∴点P从点A出发运动到点B之前，如图所示：y=12x×√3x=√32x2，∴此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线，∴选项A、B不符合题意，排除A和B；设△ABC的边长为m，则当x＞m2时，P点过了B点向C点运动，作出图形如下：则CQ＝m﹣x，PQ＝CQ•tan60°=√3（m﹣x），∴y=12x×√3（m﹣x）=−√32x2+√32mx，∴此时函数图象为开口向下的抛物线，∵选项C此阶段的图象仍然为开口向上的抛物线，选项D为开口向下的抛物线，∴D正确．故选：D．1．（2020•南海区期末）如图，已知A、B是反比例函数图象上的点，BC∥x轴，交y轴于点C，连接OA，动点P从坐标标原点O出发，沿O﹣A﹣B﹣C匀速运动，终点为C．过运动路线上任意一点P，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】（1）当点P在AO上运动时，设反比例函数的表达式为：y=kx，设点A（m，n），则mn＝k，设∠AOM＝∠α，则tanα=nm ，则sinα=√m2+n2，cosα=√m2+n2，则S＝PM×PN＝t2×sinαcosα=kOA2t2，其中kAO2常数，故函数的表达式为二次函数；（2）当点P在AB段时，S＝k为常数；（3）当点P在BC上时，设点P运动的总时间为T，则在BC上运动的时间为T﹣t，S＝OC×（T﹣t）为一次函数；故选：A．2．（2020•龙岗区模拟）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（）A．16B．20C．36D．45【答案】B【解析】由图2可知：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，所以矩形PQMN的面积为4×5＝20．故选：B．3．（2019•镜湖区一模）如图，菱形ABC D中，AB＝2，∠B＝120°，点M是AD的中点，点P由点A出发，沿A→B→C→D作匀速运动，到达点D停止，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当点P 在AB 上运动时，即0≤x ≤2，如图1，作PH ⊥AD 于H ，AP ＝x ，∵菱形ABC D 中，AB ＝2，∠B ＝120°，点M 是AD 的中点，∴∠A ＝60°，AM ＝1，∴∠APH ＝30°，在Rt △APH 中，AH =12AP =12x ，PH =√3AH =√32x ， ∴y =12AM •PH =12•1•√32x =√34x ；当点P 在BC 上运动时，即2＜x ≤4，如图2，作BE ⊥AD 于E ，AP +BP ＝x ，∵四边形ABCD 为菱形，∠B ＝120°，∴∠A ＝60°，AM ＝1，AB ＝2，BC ∥AD ，∴∠ABE ＝30°，在Rt △ABE 中，AE =12AB ＝1，PH =√3AE =√3，∴y =12AM •BE =12•1•√3=√32；当点P 在CD 上运动时，即4＜x ≤6，如图3，作PF ⊥AD 于F ，AB +BC +PC ＝x ，则PD ＝6﹣x ，∵菱形ABC D 中，∠B ＝120°， ∴∠ADC ＝120°，∴∠DPF ＝30°，在Rt △DPF 中，DF =12DP =12（6﹣x ），PF =√3DF =√32（6﹣x ），∴y =12AM •PF =12•1•√32（6﹣x ）=√34（6﹣x ）=−√34x +3√32，∴△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系的图象为三段：当0≤x ≤2，图象为线段，满足解析式y =√34x ；当2≤x ≤4，图象为平行于x 轴的线段，且到x 轴的距离为√32；当4≤x ≤6，图象为线段，且满足解析式y =−√34x +3√32．故选：B ．4．（2019•深圳模拟）如图①，在菱形ABC D 中，动点P 从点B 出发，沿折线B →C →D →B运动，设点P 经过的路程为x ，△ABP 的面积为y ．把y 看作x 的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b 等于 3√7 ．【答案】3√7【解析】如图，连接AC 交BD 于O ，由图②可知，BC ＝CD ＝4，BD ＝14﹣8＝6，∴BO =12BD =12×6＝3，在Rt △BO C 中，CO =√BC 2−BO 2=√42−32=√7，AC ＝2CO ＝2√7，所以，菱形的面积=12AC •BD =12×2√7×6＝6√7，当点P 在CD 上运动时，△ABP 的面积不变，为b ，所以，b =12×6√7=3√7．故答案为：3√7.【方法总结】对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．根据图象要对图象及其数量关系进行一定分析，要抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方．类型二 二个动点与图形线段长、面积（2020•南海区二模）如图所示，在矩形ABC D 中，BA ＝8cm ，BC ＝4cm ，点E 是CD 上的中点，P 、Q 均以1cm/s 的速度在矩形ABCD 边上匀速运动，其中动点P 从点A 出发沿A →D →C 方向运动，动点Q 从点A 出发沿A →B →C 方向运动，二者均达到点C 停止运动，设点Q 的运动时间为x ，△PQE 的面积为y ，则下列能大致反应y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】分0≤t ≤4、4＜t ≤8、8＜t ≤12三段，分别求出函数表达式即可求解． 【自主解答】（1）当0≤t ≤4时，如图，y ＝S 矩形ABCD ﹣S △APQ ﹣S △DPE ﹣S 梯形BCEQ ＝4×8−12[t 2+（4+8﹣t ）×4+4（4﹣t ）]=−12t 2+4t +16，该函数为开口向下的抛物线；（2）当4＜t ≤8时，同理可得：y =12×PE ×AD =12×4×（4﹣t +4）＝16﹣2t ，该函数为一次函数；（3）当8＜t ≤12时，同理可得：y =12×PE ×CQ =12（t ﹣4﹣4）×[4﹣（t ﹣8）]=−12（t ﹣8）（t ﹣12）； 该函数为开口向下的抛物线，故选：D ．5．（2019•南海区二模）如图，在四边形ABC D 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，B ＝60°，AD ＝2，BC ＝8，点P 从点B 出发沿折线BA ﹣AD ﹣DC 匀速运动，同时，点Q 从点B 出发沿折线BC ﹣CD 匀速运动，点P 与点Q 的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P 运动的路程为x ，△BPQ 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意得：四边形ABCD 为等腰梯形，如下图，分别过点A 、D 作梯形的高AM 、DN 交BC 于点M 、N ，则MN ＝AD ＝2，BM ＝NC =12（BC ﹣AD ）＝3，则AB ＝2BM ＝6，①当点P 在AB 上运动时（0≤x ≤6）， y =12BQ ×BP sin B =√34x 2，当x ＝6时，y ＝9√3，图象中符合条件的有B 、D ； ②6＜x ＜8，y 为一次函数；③当x ≥8时，点PC ＝6+2+6﹣x ＝14﹣x ，QC ＝x ﹣8， 则PQ ＝22﹣2x ，而△BPQ 的高常数，故y 的表达式为一次函数， 故在B 、D 中符合条件的为B ， 故选：B ．6．（2019•丰润区二模）如图，在矩形ABC D 中，AB ＝8，AD ＝4，E 为C D 中点，连接AE 、BE ，点M 从点A 出发沿AE 方向向点E 匀速运动，同时点N 从点E 出发沿EB 方向向点B 匀速运动，点M 、N 运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t ，连接MN ，设△EMN 的面积为S ，S 关于t 的函数图象为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】连MB，由勾股定理AE＝BE＝4√2，已知，AM＝t，EN＝t，ME＝NB＝4√2−t，∵S△EMNS△EMB =ENEB，∴S△EMN=ENEB⋅S△EMB，∵S△EMBS△EAB =EMAE，∴S△EMB=EMAE⋅S△EAB，∴S=4√2×√2−t4√2×12×4×8=−12t2+2√2t，∵a=−12＜0，∴当t＝2√2时，S的最大值为4，故选：D．。
专题02 动点问题中的函数图象及规律探索问题(解析版)
专题02 动点问题中的函数图象及规律探索问题一、基础知识点综述动点问题中函数图象的题目的解决方法是：先根据动点运动规律找出所求与动点运动之间的关系，进而获取相应函数的解析式及函数值变化规律，达到求解的目的.考查的重点是分段函数解析式的求解.探索规律问题通常用归纳法，即从简单到复杂，从特殊到一般，这类题目考查的是学生的观察与归纳能力，注意从特殊到一般的归纳方法.二、主要思想方法分类讨论、数学归纳.三、精品例题解析例1. （2019·达州改编）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在同一条直线上，且A点与F点重合，现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止. 在这个运动过程中，正方形ABCD与△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数解析式是【答案】()220224t242tSt⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩.【解析】解：(1)(2)当0≤t≤2时，如图（1）所示，由题意知：∠HF A=60°，∠AHF=30°，CCEAF =t ，AH,12S AF AH =⨯⨯=)2122tt =； 当2<t ≤4时，如图（2）所示，由题意知：∠E =60°，∠AHE =30°， AF =t ，AE =4-t , AH)4t -EFG EFA S S S =-△△())2144t 4t 42⎤=⨯---⎦()24t 2=-综上所述，()22024t 242t S t ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩例2. （2019·自贡）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h 与时间t 的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（）【答案】D .【解析】解：A 为圆柱体，其函数图象应为一条直线，故不合题意；B 选项下面粗上面细，其函数图象是一条折线，且后半段的变化速率较慢（图象较缓），故不合题意；C 选项函数图象应为一条曲线，故不合题意；D 选项下面细上面粗，其函数图象是一条折线，且后半段的变化速率较快，故符合题意； 故答案为：D .例3. （2019·潍坊改编）如图，在矩形ABCD 中，AB =2,AD =3，动点P 沿着折线BCD 从点B 开始运动到点D ，设运动的路程为x ，△ADP 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是【答案】3031533522x y x x ≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩.【解析】解：①当点P 在线段BC 上时，即0≤x ≤3时，132y AD AB =⨯⨯=;②当点P 在线段CD 上时，即3<x ≤5时，()11153352222y AD DP x x =⨯⨯=⨯⨯-=-; 综上所述，3031533522x y x x ≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩.例4. （2019·深圳模拟）如图①，在菱形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿折线B →C →D →B 运动. 设点P 经过的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看成x 的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b 等于【答案】【解析】解：由图②可知，当x =4时△ABP 的面积最大，此时P 点运动至点C ，即菱形ABCD 的边长为4，又x =14时停止，即BD =6，DP连接AC交BD于O，AC⊥BD，∴BD=3，在Rt△BOC中，由勾股定理得：OC，∴AC=即b=12AC BC ⨯⨯=故答案为：例5. 如图1，在扇形OAB中，∠O=60°，动点P从点O出发，沿O→A→B以1cm/s的速度匀速运动至点B，图2是点P运动过程中，△OBP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则a，b的值分别为【答案】4，443π+.【解析】解：由题意知：当点P运动至点A时，△OBP的面积为∵∠O=60°，∴△OAB为等边三角形，∴OA=4，即a=4，b=（OA+l AB）÷1=443π+.故答案为：4，443π+.例6. （2019·河南模拟）如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EF⊥BC于F．设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A．线段BE B．线段EF C．线段CE D．线段DE【答案】D.【解析】解：A、若线段BE是y，则y随x的增大先减小再增大，在点A的距离是BA，在点C时的距离是BC，因为BA＜BC，故A错误；B、若线段EF是y，则y随x的增大越来越小，故B错误；C、若线段CE是y，则y随x的增大越来越小，故C错误；D、若线段DE是y，则y随x的增大先减小再增大，在点A的距离是DA，在点C时的距离是DC，DA＞DC，故选项D正确；故答案为：D．例7. （2019·博罗县一模）如图，已知A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A .【解析】解：设∠AOM ＝β，点P 运动的速度为x ， 当点P 从点O 运动到点A 的过程中， S ＝()()22111cos sin cos sin 222OM PM xt xt x t ββββ⨯⨯=⨯= 由于β及x 均为常量，即21cos sin 2x ββ为定值，可知本段图象应为抛物线，且S 随着t 的增大而增大；故选项B 、C 错误；当点P 从A 运动到B 时，由反比例函数性质可知△OPM 的面积为12k ，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；故选项C 错误； 故选：A ．例8. （2017·濮阳县一模）如图，等边△ABC 边长为2，四边形DEFG 是平行四边形，DG =2，DE =3，∠GDE =60°，BC 和DE 在同一条直线上，且点C 与点D 重合，现将△ABC 沿D →E 的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点B 与点E 重合时停止，则在这个运动过程中，△ABC 与四边形DEFG 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B .【解析】解：分三种情况：①0≤t ≤2时，由重叠部分为边长为t 的等边三角形； 如图1，由题意知CD ＝t ，∠HDC ＝∠HCD ＝60°， ∴△CDH 是等边三角形，则S 2；即该段函数图象是开口朝上的抛物线的一部分，S 随t 的增大而增大； ②2＜t ≤3时，由重叠部分即为△ABC ； 如图2，S ＝4×22； 此段函数图象是一条平行于x 轴的线段； ③3＜t ≤5时由重叠部分是S △ABC ﹣S △HEC 如图3，根据题意可得CE ＝CD ﹣DE ＝t ﹣3，∠C ＝∠HEC ＝60°， ∴△CEH 为等边三角形，则S ＝S △ABC ﹣S △HEC ＝4×22﹣4（t ﹣3）2＝﹣4t 2+2t ﹣4； 此段函数图象为开口朝下的抛物线的一部分，且S 随t 的增大而减小综上所述，0≤t ≤2时函数图象是开口向上的抛物线的一部分，2＜t ≤3时函数图象是平行于x 轴的一部分，当3＜t ≤5时函数图象是开口向下的抛物线的一部分； 故答案为B .例9. （2019·衡阳）如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，E 是AB 的中点，过点E 作AC 和BC 的垂线，垂足分别为点D 和点F ，四边形CDEF 沿着CA 方向匀速运动，点C 与点A 重合时停止运动，设运动时间为t ，运动过程中四边形CDEF 与△ABC 的重叠部分面积为S ．则S 关于t 的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵EF⊥BC，ED⊥AC，∴四边形EFCD是矩形，∵E是AB的中点，∴EF＝12AC，DE＝12BC，∴EF＝ED，∴四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，如图1,当移动的距离小于a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣12t2；当移动的距离大于a时，如图2，S＝S△AC′H＝12（2a﹣t）2＝12t2﹣2at+2a2，∴S关于t的函数图象大致为C选项，综上所述，移动距离小于正方形CDEF边长时，函数图象是开口朝下的抛物线一部分，且S随t的增大而减小；移动距离大于正方形CDEF边长时，函数图象是开口朝上的抛物线一部分，且S随t的增大而减小；故答案为：C．例10.a是不为1的有理数，我们把11a-成为a的差倒数，如2的差倒数是－1，－1的差倒数是0.5. 已知a1=5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……，以此类推，则a2019的值是.【答案】4 5 .【解析】解：由题意知：a1=5，a2=14-，a3=45，a4=5，……2019÷3=673，即a2019=4 5 .例11. （2019·潍坊）如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1,2,3，……，按照“加1”依次递增，一组平行线，l0，l1，l2，l3，……都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合. 若半径为2的圆与l1在第一象限交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限交于点P2，……，半径为n+1的圆与ln在第一象限交于点P n，则点P n的坐标为【答案】4.【解析】解：连接OP 1，设l 1与x 轴交于点A 1，由题意知：OP 1=2，OA 1=1， 在RtOP 1A 1中，由勾股定理得：P 1A 1即P 1(；同理得：P 2(，P 3(，P 4(…… 即P n(n .例12. （2019·连云港） 如图，将一等边三角形三条边各八等分按顺时针方向标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，如图所示，将和为8的点连接起来，得到了“三角形坐标系”.在建立的坐标系中，每一点的坐标用过这一点且平行（重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A 的坐标为（1,2,5），点B 的坐标为（4,1,3），则点C 的坐标为【答案】（2,4,2）.【解析】由题意知，通过点C 的数字依次是2,4,2（顺时针），故答案为（2,4,2）.例13. （2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知A 点坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．【答案】（﹣1010，10102）.【解析】解：∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y＝x+2，联立y=x+2，y=x2得，A2（2，4），A3（﹣2，4），∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y＝x+6，同理得：A4（3，9），A5（﹣3，9）…，∴A2019（﹣1010，10102），故答案为（﹣1010，10102）．例14. （2019·怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是．【答案】n-1. 【解析】解：由题意“分数墙”的总面积＝2×12+3×13+…+n×1n＝n﹣1，故答案为n﹣1．。
动点与函数图像问题剖析
动点问题的函数图象解答此类问题的策略可以归纳为三步：“看” 、“写” 、“选”。
“看”就是认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何点开始出发，运动到何点停止，整个运动过程分为不同的几段，何点（时刻）是特殊点（时刻），这是准确解答的前提和关键；“写”就是计算、写出动点在不同路段的函数解析式，注意一定要注明自变量的取值范围，求出在特殊点的函数数值和自变量的值；“选”就是根据解析式选择准确的函数图像或答案，多用排除法。
首先，排除不符合函数类形的图像选项，其次，对于相同函数类型的函数图像选项，再用自变量的取值范围或函数数值的最大和最小值进行排除，选出准确答案。
一、选择题（共30小题）1．已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB=6cm，则下列四个结论中正确的个数有（）①图1中的BC长是8cm；②图2中的M点表示第4秒时y的值为24；③图1中的CD长是4cm；④图1中的DE长是3cm；⑤图2中的Q点表示第8秒时y的2y=2．如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC→CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是（ ）的面积是×运 动，回到点A 时运动停止．设点P 运动的路程长为长为x ，AP 长为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）． C ． 2a+2BD=y=））时，y=）2+22+21+4．（2012•绥化）如图，点A 、B 、C 、D 为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿OC ﹣﹣DO 的路线做匀速运动，设运动的时间为t 秒，∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y （度）与t （秒）之间函数关系最恰当的是（ ） ．BD 上运动时，∠上运动时，∠5．（2010•宜昌）如图，在圆心角为90°的扇形MNK 中，动点P 从点M 出发，沿MN ⇒⇒KM 运动，最后回到点M 的位置．设点P 运动的路程为x ，P 与M 两点之间的距离为y ，其图象可能是（ ）．6．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（）于是他只好从家出发，乘车沿A⇒B⇒C⇒D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（）交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（）BE==BE•MN=x x xPQ为一边作正方形PQRS，若BP=x，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部份的面积为y，则y与x的函数的大致图象是（）动的路程x为自变量，△ABP面积y为函数的图象，如图2，则梯形ABCD的面积是（）的面积是（向运动（点P与A不重合）．设P的运动路程为x，则下列图象中△ADP的面积y关于x的函数关系（）y=回至点O停止，点P在运动过程中速度大小不变，以点O为圆心，线段OP长为半径作圆，则该圆的周长l与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）．B D13．（2007•泰安）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，动点P在ABCD的边上沿A﹣B﹣C﹣D的路径以1cm/s的速度运动（点P不与A，D重合）．在这个运动过程中，△APD的面积S（cm）2随时间t（s）的变化关系用图象表示，正确的为（）1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点．线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．则大致反映S与t变化关系的图象是（）S=S=此题主要考查了直角梯形的面积求法，以及动点函数的应用，由动点找特殊点，是解决问题的关键．15．（2010•綦江县）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P从起点B出发，沿BC、CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过路程为x，则线段AP、AD与矩形的边所围成的图形面积为y，则下列图象中能大致反映y与x函数关系的是（）时，所围成的面积为梯形，时，所围成的面积为三角形，驶到景点B，然后从B沿直径BC行驶到⊙D上的景点C．假如旅游船在整个行驶过程中保持匀速，则下面各图中能反映旅游船与景点D的距离随时间变化的图象大致是（）17．（2010•十堰）如图，点C，D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E，F分别是线段CD，AB上的动点，设AF=x，AE2﹣FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）时间t的关系可能是下列图形中的（）19．（2005•兰州）四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，CB⊥AB且CD=BC=AB，若直线L⊥AB，直线L截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y，点A到直线L的距离为x，则y与x关系的大致图象为（）CD=BC=BCCD=BC=xy=数图象的描述问题．此题主要考查正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，梯形的面积以及动点分段函20．如图，BC是⊙D的直径，A为圆上一点．点P从点A出发，沿运动到B点，然后从B点沿BC运动到C点．假如点P在整个运动过程中保持匀速，则下面各图中，能反映点P与点D的距离随时间变化的图象大致是（）21．在▭ABCD中，对角线AC=4，BD=6，P是线段BD上一动点，过P作EF∥AC，与▱ABCD的两边分别交于E、F．设BP=x，EF=y，则反映y与x之间关系的图象是（）得，化简可得y=时，根据平行线的性质，可得=x+9动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（）=+t24．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=13，AB=12，E是BC边上一点，过点E作DE⊥BC交AC所在直线于点D，若BE=x，△DCE的面积为y，则y与x的函数图象大致是（）直到AB与FE重合，直角梯形ABCD与正方形CEFG重叠部分的面积S关于移动时间t的函数图象可能是（）运动时间为t，∠APB的度数为y，则y与t之间函数关系的大致图象是（）∠向终点B运动，设点P所走过路程CP的长为x，△APB的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（）y=×自左向右匀速穿过正方形．下图反映了这个运动的全过程，设正三角形的运动时间为t，正三角形与正方形的重叠部分面积为s，则s与t的函数图象大致为（）．B D29．如图，腰长为1和2的两个等腰直角三角形，其一腰在同一水平线上，小等腰直角三角形沿该水平线自左向右匀速穿过大等腰直角三角形，设穿过的时间为x ，大等腰三角形内减去小等腰直角三角形部分的面积为y （各个图中的阴影部分），则y 与x 的大致图象为（ ）． BDB 点匀速运动，那么表示△PAB 的面积S （厘米2）与点P 运动时间t （秒）之间的函数关系的图象为图（ ）。
动点问题的函数图像
动点问题的函数图像复习指要【典例分析】例1（2014•贵阳，第9题，3分）如图，三棱柱的体积为10，其侧棱AB上有一个点P从点A开始运动到点B停止，过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分，它们的体积分别为x、y，则下列能表示y与x之间函数关系的大致图象是（）A．B．）D．C．考点：动点问题的函数图象．分析：根据截成的两个部分的体积之和等于三棱柱的体积列式表示出y与x的函数关系式，再根据一次函数的图象解答．解答：?解：∵过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分的体积分别为x、y，∴x+y=10，∴y=﹣x+10（0≤x≤10），纵观各选项，只有A选项图象符合．故选A．点评：本题考查了动点问题的函数图象，比较简单，理解分成两个部分的体积的和等于三棱柱的体积是解题的关键．例2 （2014年•河南省，第8题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动，最终回到点A，设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y（cm），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）】A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：这是分段函数：①点P在AC边上时，y=x，它的图象是一次函数图象的一部分；②点P在边BC上时，利用勾股定理求得y与x的函数关系式，根据关系式选择图象；③点P在边AB上时，利用线段间的和差关系求得y与x的函数关系式，由关系式选择图象．解答：解：①当点P在AC边上，即0≤x≤1时，y=x，它的图象是一次函数图象的一部分．故C错误；②点P在边BC上，即1＜x≤3时，根据勾股定理得AP=，即y=，则其函数图象是y随x的增大而增大，且不是线段．故B、D错误；③点P在边AB上，即3＜x≤3+时，y=+3﹣x=﹣x+3+，其函数图象是直线的一部分．'综上所述，A选项符合题意．故选：A．点评：本题考查了动点问题的函数图象．此题涉及到了函数y=的图象问题，在初中阶段没有学到该函数图象，所以只要采取排除法进行解题．例3（2014•广西桂林，第12题，3分）如图1，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，PQ同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿BADC和BCD方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），△BPQ的面积为S（平房单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（）A．当t=4秒时，S=43B．AD=4C．当4≤t≤8时，S=23tD．当t=9秒时，BP平分梯形ABCD的面积考点：动点问题的函数图象．}分析：根据等腰梯形的性质及动点函数图象的性质，综合判断可得答案．解答：解：由答图2所示，动点运动过程分为三个阶段：（1）OE段，函数图象为抛物线，运动图形如答图1﹣1所示．此时点P在线段AB上、点Q在线段BC上运动．△BPQ为等边三角形，其边长BP=BQ=t，高h=t，∴S=BQ•h=t•t=t2．由函数图象可知，当t=4秒时，S=4，故选项A正确．（2）EF段，函数图象为直线，运动图形如答图1﹣2所示．此时点P在线段AD上、点Q在线段BC上运动．由函数图象可知，此阶段运动时间为4s，—∴AD=1×4=4，故选项B正确．设直线EF的解析式为：S=kt+b，将E（4，4）、F（8，8）代入得：，解得，∴S=t，故选项C错误．（3）FG段，函数图象为直线，运动图形如答图1﹣3所示．此时点P、Q均在线段CD上运动．设梯形高为h，则S梯形ABCD=（AD+BC）•h=（4+8）•h=6h；当t=9s时，DP=1，则CP=3，∴S△BCP=S△BCD=××8×h=3h，·∴S△BCP=S梯形ABCD，即BP平分梯形ABCD的面积，故选项D正确．综上所述，错误的结论是C．故选：C．点评：本题考查了动点问题的函数图象分析，有一定的难度，解题关键是结合函数图象与几何图形的性质求解．例4（2014•黄冈，第8题，3分）已知：在△ABC 中，BC=10，BC 边上的高h=5，点E 在边AB 上，过点E 作EF ∥BC ，交AC 边于点F ．点D 为BC 上一点，连接DE 、DF ．设点E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为（ ）A ． 》B ．C ．D ．考点： 动点问题的函数图象．$ 分析： 判断出△AEF 和△ABC 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF ，再根据三角形的面积列式表示出S 与x 的关系式，然后得到大致图象选择即可．解答： 解：∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴=，∴EF=•10=10﹣2x ，∴S=（10﹣2x ）•x=﹣x 2+5x=﹣（x ﹣）2+， ∴S 与x 的关系式为S=﹣（x ﹣）2+（0＜x ＜10），纵观各选项，只有D 选项图象符合．~ 故选D ．点评： 本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S 与x 的函数关系式是解题的关键，也是本题的难点．例5（2014•山东菏泽，第8题，3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是考点：动点问题的函数图象．分析：分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2-2（x-1）2，配方得到y=-（x-2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．解答：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，￥CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△ENM=，（2x-2）2=2（x-1）2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，故选A．点评：本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等腰直角三角形的性质．例6（2014年•福建漳州，第10题，4分）世界文化遗产“华安二宜楼”是一座圆形的土楼，如图，小王从南门点A沿AO匀速直达土楼中心古井点O处，停留拍照后，从点O沿OB也匀速走到点B，紧接着沿回到南门，下面可以近似地刻画小王与土楼中心O的距离s随时间t变化的图象是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：从A→O的过程中，s随t的增大而减小；直至s=0；从O→B的过程中，s随t的增大而增大；从B沿回到A，s不变．解答：解：如图所示，当小王从A到古井点O的过程中，s是t的一次函数，s随t的增大而减小；当停留拍照时，t增大但s=0；当小王从古井点O到点B的过程中，s是t的一次函数，s随t的增大而增大．当小王回到南门A的过程中，s等于半径，保持不变．综上所述，只有C符合题意．故选：C．点评：主要考查了动点问题的函数图象．此题首先正确理解题意，然后根据题意把握好函数图象的特点，并且善于分析各图象的变化趋势．。
中考数学复习课件：动点与函数图像(共26张PPT)
一、点动
• 1、点在三角形边上动 • 2、点在四边形边上动
答案：B
答案A
2、点在四边形边上动
AB与F,可得DF=BC=4,所以 解析：作DF1 AF=3，FB=CD=2，先看特殊点， 1 当t=2时S= 2x3x4=6，当t=5时，S= 2 x2x5=5,所以A,C错误；B、D的区 别就是第一段不同，所以需要求出第一段的函数关系式，选AP为底， 4t 1 4t AP=1+t，可根据相似求出高为 3 ，S= 2 （1+t） 3 ，可看出是抛物线应开口向上，所以选C
答案：A
答案：A
• 2.如图1，已知A、B是反比例函数(k>0,x>0)图象 上的两点，BC//x轴，交y轴于点C.动点P从坐标原 点O出发，沿O→A→B→C (图中“→”所示路线) 匀速运动，终点为C.过P作PM⊥x轴,PN⊥y轴， 垂足分别为M、N.设四边形OMPN的面积为S，P 点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为
B 60 ，动点p以1cm/s的 1、如图，菱形ABCD的边长是4cm，
0
速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2cm/s的速 度自B点出发沿折线BCD运动到D点停止，若P,Q同时出发运动 了t秒，记 BPQ 的面积为S cm2 ，下面图像中能表示S与t之间 函数关系式的是 （ ）
3
答案：D
O 图1 图2
x
五、点在一些特殊情况下运动与函数的图像
• 1.如图，菱形 ABCD 中，∠BAD：∠ADC=1:2， 对角线 AC=20cm，点 O 沿 A 点以 1cm/s 的速度 运动到 C 点（不与 C 重合），以点 O 为圆心的 圆始终与菱形的两边相切，设圆 O 的面积为 S， 则 S 与点 O 运动的时 间 t 的函数图像大致是
动点的函数图象问题(压轴题专项讲练)—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(沪科版原卷版)
动点的函数图象问题数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
【典例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD=2，CD⊥AB于点D，点E、F、G分别是边CD、CA、AD的中点，连接EF、FG，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A方向运动（点M运动到AB的中点时停止）；过点M作直线MP∥BC与线段AC交于点P，以PM为斜边作Rt△PMN，点N在AB 上，设运动的时间为t(s)，Rt△PMN与矩形DEFG重叠部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致为（）A．B．C．D．本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键．根据题意先分段，分为0≤t≤0.5，0.5<t≤1，1<t≤2三段，分别列出三段的函数解析式便可解决，本题也可只列出0≤t≤0.5，1<t≤2两段，用排除法解决．解：分析平移过程，①从开始出发至PM与点E重合，由题意可知0≤t≤0.5，如图，则BM=2t，过点M作MT⊥BC于点T，∵∠B=60°，CD⊥AB，∴BC=2BD=4，CD==BT=12BM=t，∵∠ACB=90°，MP∥BC，∴∠ACB=∠MPA=90°，∴四边形CTMP为矩形，∴PM=CT=BC―BT=4―t，∵∠PMN=∠B=60°，PN⊥AB，∴MN=PM2=4―t2，∴DN=MN―MD=MN―BD+BM=3t2，∵E为CD中点，∴DE=CD2=∴S=DE⋅DN=∴S与t的函数关系是正比例函数；②当0.5<t≤1，即从PM与E重合至点M与点D重合，如图，由①可得QN=ED=DM=2―2t，DN=32t，S矩形EDNQ=∵∠PMN=∠B=60°，CD⊥AB，∴SD==，∴ES=ED―SD=∴ER ==2t ―1，∴S =S 矩形EDNQ ―S △ERS =12(2―2t ―1)=―2+此函数图象是开口向下的二次函数；③当1<t ≤2，即从点M 与点D 重合至点M 到达终点，如图，由①可得DN =32t ，MN =4―t 2，∵AD ==6， DG =12AD =3，∴NG =DG ―DN =3―32t ，∴QF =NG =3―32t ，∴PQ==，∴HQ ==1―12t ，∴S =(HQ+MN )×QN 2==―∴S 与t 的函数关系是一次函数，综上，只有选项A 的图象符合，故选：A ．1．（2024·四川广元·二模）如图，在矩形ABCD 中，AB =4cm ,AD =2cm ，动点M 自点A 出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向点 B 运动，同时动点N 自点A 出发沿折线AD －DC －CB 以每秒2cm 的速度运动，到达点B 时运动同时停止．设△AMN的面积为y (cm2)，运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，在△ABC 中，∠C =135°，AC =BC =P 为BC 边上一动点，PQ∥AB 交AC 于点Q ，连接BQ ，设PB =x ，S △BPQ =y ，则能表示y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形，点A 从点D 运动到点E 的过程中，AB 和DF 相交于点G ，AC 和EF 相交于点H ，(S △BGF +S △FCH )为纵坐标y ，点A 移动的距离为横坐标x ，则y 与x 关系的图象大致为（ ）A．B．C．D．4．（2023·辽宁铁岭·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，AC与BD交于点O，M是BC 的中点．P、Q两点沿着B→C→D方向分别从点B、点M同时出发，并都以1cm/s的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P、Q△OPQ的面积随时间t变化的图象最接近的是（）A．B．C．D．5．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB中点，动点P从点B开始沿BC方向运动到点C停止，动点Q从点C开始沿CD→DA方向运动，与点P同时出发，同时停止；这两点的运动速度均为每秒1个单位；若设他们的运动时间为x（s），△EPQ的面积为y，则y与x之间的函数关系的图像大致是（）A．B．C．D．6．（2024·河南开封·一模）如图1，在△ABC中，∠B=60°，点D从点B出发，沿BC运动，速度为1cm/s．点P在折线BAC上，且PD⊥BC于点D．点D运动2s时，点P与点A重合．△PBD的面积S(cm2)与运动时间t(s)的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点．当S(cm2)取最大值时，PD的长为（）A．B．(1+cm C．(1+cm D．(2+cm7．（2024·安徽·一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，CD⊥AD，∠BCD=90°,AB=BC=4，动点P，Q同时从A点出发，点Q以每秒2个单位长度沿折线A―B―C向终点C运动；点P以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，△APQ的面积为y 个平方单位，则y随x变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．8．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD=，D为AC上一点，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，当点P由点C运动到点A 时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻t1，t2，t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等，当t3=5t1时，则正方形DPEF的面积为（）C．4D．5A．3B．3499．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，BC =6，点O 为AC 中点，点D 为线段AB 上的动点，连接OD ，设BD ＝x ，OD 2＝y ，则y 与x 之间的函数关系图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2024·广东深圳·三模）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，BC =8，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，点M 和点N 分别从点A 出发，沿着A→C→B 方向运动，运动速度都是1个单位/秒，当点N 到达点B 时，两点间时停止运动．设△DMN 的面积为S ，运动时间为t ，则S 与t 之间的函数图象大致为（ ）A ．B ．C．D．11．（2024·河南南阳·二模）如图是一种轨道示意图，其中A、B、C、D分别是菱形的四个顶点，∠A=60°．现有两个机器人(看成点)分别从A，C两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为A→B→C和C→D→A．若移动时间为t，两个机器人之间距离为d．则d²与t之间的函数关系用图象表示大致为（）A．B．C．D．12．（2024·山东聊城·二模）如图，等边△ABC与矩形DEFG在同一直角坐标系中，现将等边△ABC按箭头所指的方向水平移动，平移距离为x，点C到达点F为止，等边△ABC与矩形DEFG重合部分的面积记为S，则S关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．13．（2024·河南·模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的中线，将△BCD 沿射线BA方向匀速平移，平移后的三角形记为△B1C1D1，设△B1C1D1与△ABD重叠部分的面积为y，平移距离为x，当点B1与点A重合时，△B1C1D1停止运动，则下列图象最符合y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．14．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形ABCD的边长为3cm，∠B=60°，动点P从点B出发以3cm/ s的速度沿着边BC―CD―DA运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA 向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象为（）A．B．C．D．15．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，D，P(―1,―1)．点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．16．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A(2,0)，点B，点C(―，点P从点O出发沿O→A→B路线以每秒1个单位的速度运动，点Q从点O出发沿O→C→B的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设y=PQ2，运动时间为t秒，则正确表达y与t的关系图象是（）A．B．C．D．17．（2022·辽宁·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E 重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．18．（2023·山东聊城·三模）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ―ED ―DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P ，Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2．已知y 与t 的函数关系图像如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论不正确的是（ ）A ．AB:AD =4:5B ．当t =2.5秒时，PQ =C ．当t =294时，BQ PQ =53D ．当△BPQ 的面积为4cm 2时，t 或475秒19．（2023·辽宁·中考真题）如图，∠MAN =60°，在射线AM ，AN 上分别截取AC =AB =6，连接BC ，∠MAN 的平分线交BC 于点D ，点E 为线段AB 上的动点，作EF ⊥AM 交AM 于点F ，作EG∥AM 交射线AD 于点G ，过点G 作GH ⊥AM 于点H ，点E 沿E 与点B 重合时停止运动．设点E 运动的路程为x ，四边形EFHG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．20．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为4，且点A与原点O 重合，边AD在x轴上，点B的横坐标为―2，现将菱形ABCD沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，设平移时间为t（秒），菱形ABCD位于y轴右侧部分的面积为S，则S关于t的函数图像大致为（）A．B．C．D．。
动点问题的函数图象
【考点精讲】动点问题是中考的常考点，对于解决动点问题中，点动会牵扯到线动、面动，解决这类题目要“以静制动”，即把动态的问题转化为静态问题来解决，一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。
而对于动点问题的图象问题的解决，要抓住图形中的关键点，例如与x 轴、y 轴的交点，图象上的转折点、图象中与x 轴、y 轴平行的线等图象。
【典例精析】例题1 （贵州贵阳中考）如图，在直径为AB 的半圆O 上有一动点P 从A 点出发，按顺时针方向绕半圆匀速运动到B 点，然后再以相同的速度沿着直径回到A 点停止，线段OP 的长度d 与运动时间t 之间的函数关系用图象描述大致是（ ）（A ． Ｂ． C ． D ．思路导航：情境分三段，点P 在圆周上、在OB 上，在AO 上，因此图象分三段，根据在每一段上线段OP 的长度d 随运动时间t 的变化来确定。
答案：点P 在圆周上时，d 不随t 的变化而变化，故第一段图象平行x 轴，点P 在OB 上，d 随t 的增加而减小，直到0，故此段图象呈下降趋势，点P 在AO 上，d 随t 的增加而增大，直到增加到半径的长度，即与第一段图象齐平，故选A 。
点评：先根据运动过程理解函数与自变量的变化规律以及分段情况，然后对照所给图象找到满足问题情境变化的规律。
注意弄清函数图象中横轴和纵轴意义，以及每段图象的起始点。
例题2 矩形ABCD 中，AB ＝20cm ，BC ＝10cm ，有一点P 沿着矩形从A 向B 再向C 以2cm/s 的速度移动。
（1）求△APC 的面积S 与时间t 的函数解析式，并指出自变量的取值范围。
（2）当面积为20cm2时，求点P的位置。
思路导航：△APC的面积为12AP BC⋅或12AP AB⋅，只要利用含t的代数式表示AP和PC即可。
答案：解：（1）1210(010)21(302)20(1015) 2t tSt t⎧⨯⨯<≤⎪⎪=⎨⎪⨯-⨯<<⎪⎩，化简得：10(010)30020(1015)t tSt t<≤⎧=⎨-<<⎩。
专题02 动点问题的函数图象(解析版)
专题02动点问题的函数图象【考点1】随时间变化的函数关系【例1】（2018•东城区二模）有一圆形苗圃如图1所示，中间有两条交叉过道AB，CD，它们为苗圃Oe 的直径，且AB CD⊥．入口K位于¶AD中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进．设该园丁行进的时间为x，与入口K的距离为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则该园丁行进的路线可能是()A．A O D→→→→→D．O D B C→→→C．D O C→→B．C A O B【分析】采用排除法解题，注意由圆的对称性，D O A-路线呈现对称性，图象应用对称特征．--、B C【解析】解：按选项A中路线，图象应呈现对称性，故A错误；按选项C，距离K最近点应靠近D，故C错误；选项D中路线，B到C段图象应呈现对称性，故D排除．故选：B．【点拨】本题是动点函数图象问题，解答时注意动点到达临界点前后图象的变化趋势．【变式1-1】（2017•顺义区二模）如图，木杆AB斜靠在墙壁上，30∠=︒，4OABAB=米．当木杆的上端A 沿墙壁NO下滑时，木杆的底端B也随之沿着地面上的射线OM方向滑动．设木杆的顶端A匀速下滑到点O停止，则木杆的中点P到射线OM的距离y（米)与下滑的时间x（秒)之间的函数图象大致是( )A．B．C．D．【分析】作PQ OB⊥，根据三角函数求得OA的长，从而得出其中位线PQ的最大值，再由OA长度与下滑时间满足一次函数关系即可得出答案．【解析】解：如图，过点P作PQ OB⊥于点Q，//∴，PQ OAQ为AB中点，PPQ ∴为AOB ∆的中位线，即12PQ OA =， 30OAB ∠=︒Q ，4AB =，cos 4OA AB OAB ∴=∠==则OP =，当点A 匀速向下滑动时，OA 的长度随时间x 的变化满足一次函数关系， 由于12PQ OA =，PQ ∴的长度与下滑时间满足一次函数关系，且PQ B 选项，故选：B ．【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是根据点A 下滑是匀速得出一次函数关系及由中位线得出PQ 长度的最大值是解题的关键．【考点2】线段间的变量关系【例2】（2019•顺义区一模）如图，点A 、C 、E 、F 在直线l 上，且2AC =，1EF =，四边形ABCD ，EFGH ，EFNM 均为正方形，将正方形ABCD 沿直线l 向右平移，若起始位置为点C 与点E 重合，终止位置为点A 与点F 重合．设点C 平移的距离为x ，正方形ABCD 的边位于矩形MNGH 内部的长度为y ，则y 与x 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意可以分析出各段的函数图象，从而可以解答本题．【解析】解：由题意可得，点C 从点E 运动到点F 的过程中，y 随x 的增大而增大，函数解析式为2sin 45x y =⨯=︒，函数图象是一条线段，当点D 从点H 运动到点G 的过程中，y 随x 的增大不会发生变化，此过程函数图象是一条线段， 当点A 从点E 运动到点F 的过程中，y 随x 的增大而减小，函数图象是一条线段，故选：A ．【点拨】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式2-1】（2017•朝阳区一模）如图1，在ABC ∆中，AB BC =，AC m =，D ，E 分别是AB ，BC 边的中点，点P 为AC 边上的一个动点，连接PD ，PB ，PE ．设AP x =，图1中某条线段长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是( )A ．PDB ．PBC ．PED ．PC【分析】观察图2，确定x 为何值取得最小值即可一一判断．【解析】解：A 错误，观察图2可知PD 在4m x =取得最小值． B 、错误．观察图2可知PB 在2m x =取得最小值． C 、正确．观察图2可知PE 在34m x =取得最小值． D 、错误．观察图2可知PC 在x m =取得最小值为0．故选：C ．【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，灵活应用所学知识是解题的关键，学会利用函数的最值解决问题，属于中考常考题型．【考点3】周长的变化【例3】（2017•东城区二模）如图，点E为菱形ABCD的BC边的中点，动点F在对角线AC上运动，连接BF、EF，设AF x=，BEF∆的周长为y，那么能表示y与x的函数关系的大致图象是()A．B．C．D．【分析】先根据正方形的对称性找到y的最小值，可知图象有最低点，再根据距离最低点x的值的大小>可判断正确的图形．AM MC()【解析】解：如图，连接DE与AC交于点M．则当点F运动到点M处时，三角形BEF∆的周长y最小，且AM MC>．通过分析动点F的运动轨迹可知，y是x的二次函数且有最低点，利用排除法可知图象大致为：故选：B．【点拨】本题考查了动点问题的函数图象．解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的变化关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．【变式3-1】（2017•平谷区二模）如图，正方形ABCD中，动点P的运动路线为AB BC，动点Q的运动路线为对角线BD，点P，Q以同样的速度分别从A，B两点同时出发匀速前进，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止．设点P的运动路程为x，PQ的长为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为()A．B．C．D．【分析】分两种情况：P点在AB上运动时，点P在BC上运动时；分别判定即可．【解析】解：P点在AB上运动时，y先变小再增大；点P在BC上运动时，y逐渐增大；故选：B．【变式3-2】（2017•石景山区二模）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，动点P从点B出发，在线段BC上匀速运动，到达点C时停止．设点P运动的路程为x，线段OP的长为y，如果y 与x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积是()A ．20B ．24C ．48D ．60【分析】根据点P 的移动规律，当OP BC ⊥时取最小值3，根据矩形的性质求得矩形的长与宽，易得该矩形的面积．【解析】解：如图2所示，当OP BC ⊥时，4BP CP ==，3OP =，所以26AB OP ==，28BC BP ==，所以矩形ABCD 的面积6848=⨯=．故选：C ．【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，关键是根据所给函数图象和点的运动轨迹判断出4BP CP ==，3OP =．【考点4】面积的变化【例4】（2019•东城区二模）如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A C D →→以1/cm s 的速度运动到点D ．设点P 的运动时间为()s ，PAB ∆的面积为2()y cm ．表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为( )A B ．52 C ．2 D ．【分析】由图2知，菱形的边长为a ，对角线AC ，则对角线BD 为P在线段AC 上运动时，111222y AP BD =⨯=，即可求解．【解析】解：由图2知，菱形的边长为a ，对角线AC =，则对角线BD 为= 当点P 在线段AC 上运动时，111222y AP BD =⨯=，由图2知，当x =y a =，即12a = 解得：52a =， 故选：B ．【点拨】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．【变式4-1】（2018•大兴区一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点P 在矩形的边上沿B C D A →→→运动．设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【分析】要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．【解析】解：根据题意和图形可知：点P 按B C D A →→→的顺序在边长为1的正方形边上运动，APB ∆的面积分为3段；当点P 在BC 上移动时，底边不变高逐渐变大，故面积逐渐变大；当点P 在CD 上移动时，底边不变，高不变，故面积不变；当点P 在AD 上时，高不变，底边变小，故面积越来越小直到0为止．故选：B ．【点拨】考查点的运动变化后根据几何图形的面积确定函数的图象，图象需分段讨论．1．（2018•顺义区二模）已知正方形ABCD 的边长为4cm ，动点P 从A 出发，沿AD 边以1/cm s 的速度运动，动点Q 从B 出发，沿BC ，CD 边以2/cm s 的速度运动，点P ，Q 同时出发，运动到点D 均停止运动，设运动时间为x （秒)，BPQ 的面积为2()y cm ，则y 与x 之间的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，Q 点分别在BC 、CD 上运动时，形成不同的三角形，分别用x 表示即 可．【解析】解：（1）当02x 剟时，2BQ x =14242y x x =⨯⨯=当24x 剟时，如下图2111(44)4(4)(82)4(24)28222y x x x x x x =-+⨯-⨯---⨯⨯-=-++由上可知故选：B ．2．（2018•朝阳一模）如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90A ∠=︒，6AB =，点P 是AB 边上一动点（点P 与点A 不重合），以AP 为边作正方形APDE ，设AP x =，正方形APDE 与ABC ∆重合部分（阴影部分）的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是( )A ．B ．C ．D ．【分析】如图1，当点D 落在BC 上，利用BPD ∆为等腰直角三角形得到3x =，所以当03x <…时，2y x =，当36x <…时，如图2，正方形APDE 与BC 相交于F 、G ，表示出26DF x =-，所以221(26)2DFG APDE y S S x x ∆=-=-⋅-正方形，然后利用所得的解析式对各选项进行判断．【解析】解：如图1，当点D 落在BC 上，ABC ∆Q 为等腰直角三角形，四边形APDE 为正方形， BPD ∴∆为等腰直角三角形，PB PD x ∴==， 26x ∴=，解得3x =，当03x <…时，2APDE y S x ==正方形，当36x <…时，如图2，正方形APDE 与BC 相交于F 、G ， 易得BPF ∆和DGF ∆都是等腰直角三角形，6PF PB x ∴==-，(6)26DF x x x ∴=--=-，22221(26)1218(6)182DFG APDE y S S x x x x x ∆∴=-=-⋅-=-+-=--+正方形，综上所述，22(03)(6)18(36)x x y x x ⎧<=⎨--+<⎩……． 故选：C ．3．（2018•东城一模）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A 为入口，F ，G 为出口，其中直行道为AB ，CG ，EF ，且AB CG EF ==；弯道为以点O 为圆心的一段弧，且¶BC，¶CD ，¶DE 所对的圆心角均为90︒．甲、乙两车由A 口同时驶入立交桥，均以10/m s 的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O 的距离()y m 与时间()x s 的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是( )A ．甲车在立交桥上共行驶8sB ．从F 口出比从G 口出多行驶40mC ．甲车从F 口出，乙车从G 口出D ．立交桥总长为150m【分析】根据题意、结合图象问题可得．【解析】解：由图象可知，两车通过¶BC，¶CD ，¶DE 弧时每段所用时间均为2s ，通过直行道AB ，CG ，EF 时，每段用时为3s ．因此，甲车所用时间为3238s ++=，故A 正确；根据两车运行路线，从F 口驶出比从G 口多走¶CD，¶DE 弧长之和，用时为4s ，则走40m ，故B 正确； 根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G 口驶出，故C 错误； 根据题意立交桥总长为(3233)10150m ⨯+⨯⨯=，过D 正确； 故选：C ．4．（2018•海淀一模）如图1，矩形的一条边长为x ，周长的一半为y ．定义(,)x y 为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线1x =，3y =将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是( )A ．点A 的横坐标有可能大于3B ．矩形1是正方形时，点A 位于区域②C ．当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D ．当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等【分析】A 、根据反比例函数k 一定，并根据图形得：当1x =时，3y <，得3k xy =<，因为y 是矩形周长的一半，即y x >，可判断点A 的横坐标不可能大于3；B 、根据正方形边长相等得：2y x =，得点A 是直线2y x =与双曲线的交点，画图，如图2，交点A 在区域③，可作判断；C 、先表示矩形面积22()S x y x xy x k x =-=-=-，当点A 沿双曲线向上移动时，x 的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；D 、当点A 位于区域①，得1x <，另一边为：2y x ->，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：1x >，3y >，即另一边0y x ->，可作判断．【解析】解：设点(,)A x y ， A 、设反比例函数解析式为：(0)ky k x=≠， 由图形可知：当1x =时，3y <， 3k xy ∴=<， y x >Q ，3x ∴<，即点A 的横坐标不可能大于3，故选项A 不正确；B 、当矩形1为正方形时，边长为x ，2y x =，则点A 是直线2y x =与双曲线的交点，如图2，交点A 在区域③， 故选项B 不正确；C 、当一边为x ，则另一边为y x -，22()S x y x xy x k x =-=-=-， Q 当点A 沿双曲线向上移动时，x 的值会越来越小，∴矩形1的面积会越来越大，故选项C 不正确；D 、当点A 位于区域①时，Q 点(,)A x y ，1x ∴<，3y >，即另一边为：2y x ->，矩形2落在区域④中，1x >，3y >，即另一边0y x ->，∴当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；故选项④正确； 故选：D ．5．（2018•延庆县一模）某游泳池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的A ，B 两边，同时朝着另一边游泳，他们游泳的时间为（秒)，其中0180t 剟，到A 边距离为y （米)，图中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y 与t 的对应关系．下面有四个推断：①小明游泳的平均速度小于小林游泳的平均速度； ②小明游泳的距离大于小林游泳的距离； ③小明游75米时小林游了90米游泳； ④小明与小林共相遇5次； 其中正确的是( ) A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④【分析】利用图象信息，一一判断即可；【解析】解：①错误．小明游泳的平均速度大于小林游泳的平均速度； ②正确．小明游泳的距离大于小林游泳的距离； ③错误，小明游75米时小林游了50米； ④正确．小明与小林共相遇5次； 故选：D ．6．（2018•通州一模）如图1，点O 为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t 秒，机器人到点A 的距离设为y ，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当3t 时，机器人一定位于点O ；③机器人一定经过点D ；④机器人一定经过点E ；其中正确的有（ ）A ．①④B ．①③C ．①②③D ．②③④【分析】根据图象起始位置猜想点B 或F 为起点，则可以判断①正确，④错误．结合图象判断34t 剟图象的对称性可以判断②正确．结合图象易得③正确．【解答】解：由图象可知，机器人距离点1A 个单位长度，可能在F 或B 点，则正六边形边长为1．故①正确；观察图象t 在34-之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB 或OF 上，则当3t =时，机器人距离点A 距离为1个单位长度，机器人一定位于点O ，故②正确； 所有点中，只有点D 到A 距离为2个单位，故③正确；因为机器人可能在F 点或B 点出发，当从B 出发时，不经过点E ，故④错误． 故选：C ．7．（2017•东城一模）图1是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由等边ADE ∆和正方形ABCD 组成，正方形ABCD 两条对角线交于点O ，在AD 的中点P 处放置了一台主摄像机．游戏参与者行进的时间为x ，与主摄像机的距离为y ，若游戏参与者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是（ ）A ．A O D →→B ．E AC →→C ．A ED →→D ．E A B →→【分析】根据各个选项中的路线进行分析，看哪条路线符号图2的函数图象即可解答本题．【解析】解：由题意可得，当经过的路线是A O D →→时，从A O →，y 随x 的增大先减小后增大且图象对称，从O D →，y 随x 的增大先减小后增大且函数图象对称，故选项A 符号要求；当经过的路线是E A C →→时，从E A →，y 随x 的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项B 不符号要求；当经过的路线是A E D →→时，从A E →，y 随x 的增大先减小后增大，但后来增大的最大值大于于刚开始的值，故选项C 不符号要求；当经过的路线是E A B →→时，从E A →，y 随x 的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项D 不符号要求； 故选：A ．8．（2017•房山区一模）如图1，已知点E ，F ，G ，H 是矩形ABCD 各边的中点，6AB =，8BC =，动点M 从点E 出发，沿E F G H E →→→→匀速运动，设点M 运动的路程x ，点M 到矩形的某一个顶点的距离为y ，如果表示y 关于x 函数关系的图象如图2所示，那么这个顶点是矩形的( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【分析】由图2得出始点E 到顶点的距离为3，只有顶点A ，B 满足，又由开始时先增大，得出只有顶点B 满足．【解析】解：由图2得出始点E 到顶点的距离为3， 6AB =Q ，∴只有顶点A ，B 满足，又Q 沿E F G H E →→→→匀速运动开始时先增大，∴只有顶点B 满足，故选：B ．9．（2018秋•朝阳期末）如图，在ABC∆中，AB AC=，MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B重合，点N不与点C重合），且12MN BC=，MD BC⊥交AB于点D，NE BC⊥交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，设BM x=，BMD∆的面积减去CNE∆的面积为y，则下列图象中，能表示y与x 的函数关系的图象大致是()A．B．C．D．【分析】设：12a BC=，B Cα∠=∠=，求出MN、CN、DM、AH、EN的长度，利用BMD CNES S S∆∆=-，即可求解．【解析】解：过点A作AH BC⊥，交BC于点H，则12BH HC BC==，设12a BC=，B Cα∠=∠=，则MN a=，2CN BC MN x a a x a x=--=--=-，tan tan DM BM B x α==g ，tan tan AH BH B a α==g ，tan ()tan EN CN C a x α==-g ，21tan tan ()(2)tan 222BMD CNEa a S S S BM DM CN EN x a a x ααα∆∆=-=-=-=-g g g g ， 其中，tan a αg 、2tan 2a α均为常数，故上述函数为一次函数， 故选：A ．10．（2017秋•海淀区期末）两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点 B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿O e 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中AC DB =．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与 点C 的距离y 与时间x （单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（ ）A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点DD ．在4.84秒时，两人的距离正好等于O e 的半径 【分析】利用图象信息一一判断即可解决问题．【解析】解：A 、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；B 、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C 距离相等，故本选项不符合题意；C 、当小红运动到点D 的时候，小兰还没有经过了点D ，故本选项不符合题意； D 、当小红运动到点O 的时候，两人的距离正好等于O e 的半径，此时9.684.842t ==，故本选项正确；故选：D．。
专题——动点问题的函数图象
专题—-动点问题的函数图象【预热训练】（限时5分钟)1、某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家,此人离家的距离y与时间x的关系的大致图像是（）2、小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果小明在图书馆看报30分钟，那么他离家50分钟时离家的距离为________km.3、如图,已知正△ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数表达式是__________________________。
【考题重现】1、(2015年广东中考第10题）如图，已知正△ABC的边长为2,E，F,G分别是AB,BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是( ）2、（2016年广东中考第10题）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周,则△APC的面积y与点P运动的路程x之间的函数关系图象大致是( ）【专题专练】1、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，沿A→B→C的方向在AB和BC上运动.记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（ )2、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC上的一个动点,AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE ＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A. B. C. D。
3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点,沿B→A→C 的路径移动，过点P做PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP的面积为y，则下列能大致反应y与x 函数关系的图象是（）4、如图，在等边△ABC中,点O是中心，点P从点A出发，沿着等边三角形的顺时针方向运动一周，则△APO的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系的图象大致是（）5、如图,矩形ABCD中,AB＝4,BC＝3，动点E从B点出发，沿B→C→D→A运动至A点停止，设运动的路程为x,△ABE的面积为y，则y与x的函数关系用图象表示正确的是( ）A. B。
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专题——动点问题的函数图象
【预热训练】（限时5分钟）
1、某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离y与时间x的关系的大致图像是（）
2、小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果小明在图书馆看报30分钟，那么他离家50分钟时离家的距离为________km.
3、如图，已知正△ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG 的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数表达式是__________________________.
【考题重现】
1、（2015年广东中考第10题）如图，已知正△ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（）
2、（2016年广东中考第10题）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间的函数关系图象大致是（）
【专题专练】
1、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，沿A→B→C的方向在AB和BC上运动.记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）
2、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）
A. B. C. D.
3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P做PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP的面积为y，则下列能大致反应y与x函数关系的图象是（）
4、如图，在等边△ABC中，点O是中心，点P从点A出发，沿着等边三角形的顺时针方向运动一周，则△APO的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系的图象大致是（）
5、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点E从B点出发，沿B→C→D→A运动至A点停止，设运动的路程为x，△ABE的面积为y，则y与x的函数关系用图象表示正确的是（）
A. B. C. D.
【拓展提高】
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止.设运动时间为t秒.
（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，是的S△CPQ:S△ABC＝9:100？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由；
（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由.。