人教版九年级数学下册第27章相似专项训练1(含答案)

人教版九年级数学下册第27章相似专项训练1（含答
案）
专训1证明三角形相似的方法
名师点金：
要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：
(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；
(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；
(3)考虑平行线截三角形相似定理及相似三角形的“传递性
．．．”．
利用平行线判定两三角形相似
1．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.
(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；
(2)求BP PQ QR.
(第1题)
利用边或角的关系判定两直角三角形相似
2．下面关于直角三角形相似叙述错误的是()
A．有一锐角对应相等的两个直角三角形相似
B．两直角边对应成比例的两个直角三角形相似
C．有一条直角边相等的两个直角三角形相似
D．两个等腰直角三角形相似
3．如图，BC⊥AD，垂足为C，AD＝6.4，CD＝1.6，BC＝9.3，CE＝3.1，求证：△ABC∽△DEC.
(第3题)
利用角判定两三角形相似
4．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE交于点E.
(1)求证：△ABD∽△CED；
(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．
(第4题)
利用边角判定两三角形相似
5．如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．
(第5题)
求证：△ABD∽△CAE.
利用三边判定两三角形相似
6．如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.
(第6题)
专训2巧作平行线构造相似三角形
名师点金：
解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．
巧连线段的中点构造相似三角形
1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP PQ QD.
(第1题)
过顶点作平行线构造相似三角形
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BF AF＝32，
取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE
EC的值．
(第2题)
3．如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.
求证：AE ED＝2AF FB.
(第3题)
过一边上的点作平行线构造相似三角形
4．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，
使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD
EC
.
(第4题)
过一点作平行线构造相似三角形
5．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝1
4AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.
作辅助线的方法一：
(第5题①)
作辅助线的方法二：
(第5题②)
作辅助线的方法三：
(第5题③)
作辅助线的方法四：
(第5题④)
专训3用线段成比例法解四边形问题
名师点金：
利用线段成比例不仅能解三角形问题，还能解四边形问题．在中考中涉及相似﹨线段成比例的四边形的题型有填空题﹨选择题﹨解答题，是中考热门命题点之一．
一﹨选择题
1．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF ＝NM＝2，ME＝3，则AN＝()
(第1题)
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD
边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为()
(第2题)
A.1
2B.
9
8C．2 D．4
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG＝42，则△EFC的周长为() A．11 B．10 C．9 D．8
(第3题)
(第4题)
二﹨填空题
4．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB ＝4，BC＝2，那么线段EF的长为________．
三﹨解答题
5．如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.
(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1________S2＋S3(填“>”“＝”或“<”)；
(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
(第5题)
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C 重合，直线MN交AC于O.
(1)求证：△COM∽△CBA；
(2)求线段OM的长度．
(第6题)
7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长．
(第7题)
8．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.
(1)求证：△ADE≌△DCF.
(2)若E为CD的中点，求证：Q为CF的中点．
(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．
(第8题)
9．如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G.求证：
(第9题)
(1)CG＝BH；
(2)FC2＝BF·GF；
(3)FC2
AB2＝
GF
GB.
10．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G.
(1)求证：△APB≌△APD；
(2)已知DF FA＝12，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.
①求y与x的函数关系式；
②当x＝6时，求线段FG的长．
(第10题)
专训4用线段成比例法解与圆有关问题
名师点金：
线段成比例法求解有关线段问题在三角形﹨四边形中有着广泛的应用，是近几年中考命题的必考内容；在中考中，它的另一重点是与圆的知识相结合进行考查；题型既有选择题﹨填空题，也有解答题，也常以压轴题的形式出现．一﹨选择题
1．如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D 的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是()
A．3 B．4 C.25
6D.
25
8
(第1题)
(第2题)
2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC 于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为()
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
3．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的长为()
A．3 B．2 3 C.21 D．3 5
(第3题)
(第4题)
二﹨填空题
4．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形有________个．
5．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y 的最大值是________．
(第5题)
三﹨解答题
6．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E.
(1)求证：∠BAD＝∠E；
(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BE的长．
(第6题)
7．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D，
连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
(第7题)
(1)求证：DE为半圆O的切线；
(2)求证：DB2＝AB·BE.
8．如图，AB是圆O的直径，点C，D在圆O上，且AD平分∠CAB.过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F.
(1)求证：EF与圆O相切；
(2)若AB＝6，AD＝42，求EF的长．
(第8题)
9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.
(1)猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
(2)若AB＝6，AD＝5，求AF的长．
(第9题)
10．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是AB ︵上的一点，∠DBC ＝∠BED.
(1)求证：BC 是⊙O 的切线；
(2)已知AD ＝3，CD ＝2，求BC 的长．
(第10题)
11．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，AE 和过点C 的切线互相垂直，垂足为E ，AE 交⊙O 于点D ，直线EC 交AB 的延长线于点P ，连接AC ，BC ，PB PC ＝1 2.
(1)求证：AC 平分∠BAD ；
(2)探究线段PB ，AB 之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AD ＝3，求△ABC 的面积．
(第11题)
答案
专训1
1．解：(1)△BCP ∽△BER ，△PCQ ∽△PAB ，△PCQ ∽△RDQ ，△PAB ∽△RDQ.
(2)∵四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形．
∴BC ＝AD ＝CE ，AC ∥DE ，∴△BCP ∽△BER ，
则PC
RE＝
BP
BR＝
BC
BE＝
1
2，∴BP＝PR，
PC
RE＝
1
2.
∵点R是DE的中点，∴DR＝RE.
又PC∥DR，∴PQ
QR＝PC
DR＝
PC
RE＝
1
2.
∴QR＝2PQ.
又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，∴BP PQ QR＝31 2. 2．C
3．证明：∵AD＝6.4，CD＝1.6，∴AC＝AD－CD＝6.4－1.6＝4.8.∴AC
CD＝
4.8
1.6
＝3.
又∵BC
EC＝
9.3
3.1＝3，∴
AC
CD＝
BC
EC.
又∵BC⊥AD，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DEC.
(第4题) 4．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°.
∴∠ACF＝120°.
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE＝1
2∠ACF＝
1
2×120°＝60°.
∴∠A＝∠ACE.
又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED.
(2)解：如图，作BM⊥AC于点M，则AM＝CM＝3，BM＝3 3. ∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4.则MD＝1.
在Rt△BDM中，BD＝BM2＋MD2＝27.
由△ABD∽△CED得BD
ED＝
AD
CD，即
27
ED＝2，
∴ED＝7.∴BE＝BD＋ED＝37.
5．证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，∴∠DBA＝∠CAE，
又∵AB
AC＝
BD
AE＝3，∴△ABD∽△CAE.
方法规律：本题运用了数形结合思想和演绎推理，通过已知条件寻找两边成
比例并且夹角相等，从而证明两三角形相似．
6．证明：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BD. 又∵E，F分别是AB，AC的中点．
∴在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线．
∴DE＝1
2AB，即
DE
AB＝
1
2.同理
DF
AC＝
1
2.
∵EF为△ABC的中位线，
∴EF＝1
2BC，即
EF
BC＝
1
2.
∴DE
AB＝
EF
BC＝
DF
AC.∴△DEF∽△ABC.
专训2
1．解：如图，连接DF，∵E，F是边BC上的两个三等分点，∴BE＝EF＝FC.
∵D是AC的中点，∴AD＝CD.
∴DF是△ACE的中位线．
∴DF∥AE，且DF＝1
2AE.∴DF∥PE.
∴△BEP∽△BFD.∴BE
BF＝
BP
BD.
∵BF＝2BE，∴BD＝2BP.∴BP＝PD.∴DF＝2PE. ∵DF∥AE，∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ.
∴△APQ∽△FDQ.∴PQ
QD＝
AP
DF.
设PE＝a，则DF＝2a，AP＝3a.
∴PQ QD＝AP DF＝3 2.
∴BP PQ QD＝53 2.
(第1题)
(第2题)
2．解：如图，过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G.
∵CG ∥AB ，∴∠DAF ＝∠G.
又∵D 为CF 的中点，∴CD ＝DF.
在△ADF 和△GDC 中，⎩⎨⎧∠DAF ＝∠G ，
∠ADF ＝∠CDG ，DF ＝CD ，
∴△ADF ≌△GDC(AAS )．∴AF ＝CG.
∵BF AF ＝32，∴AB AF ＝5 2.
∵AB ∥CG.∴△ABE ∽△GCE. ∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52. 3．证明：如图，过点B 作BN ∥CF 交AD 的延长线于点N.
∴AF FB ＝AE EN ，∠ECD ＝∠NBD.
又∵∠CDE ＝∠BDN ，∴△EDC ∽△NDB.∴ED DN ＝CD BD .
∵BD ＝CD ，∴ED ＝DN ＝12EN.
∴AF FB ＝AE 2ED .∴AE ED ＝2AF FB.
(第3题)
(第4题)
4．证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，
∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP ＝BD CF .
∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC.
∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.
∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP.∴EC ＝CF.
∴BP CP ＝BD EC .
5．证明：(方法一)过点C 作CF ∥AB ，交DE 于点F ，
∴△CDF ∽△BDE.∴CF BE ＝CD BD .
∵点M 为AC 边的中点，∴AM ＝CM.
∵CF ∥AB ，∴∠BAC ＝∠MCF.
又∵∠AME＝∠CMF，∴△AME≌△CMF.∴AE＝CF.
∵AE＝1
4AB，BE＝AB－AE，∴BE＝3AE.∴
AE
BE＝
1
3.
∵CF
BE＝
CD
BD，∴
AE
BE＝
CD
BD＝
1
3，即BD＝3CD.
又∵BD＝BC＋CD，∴BC＝2CD.
(方法二)过点C作CF∥DE，交AB于点F，
∴AE
AF＝
AM
AC.
又∵点M为AC边的中点，∴AC＝2AM. ∴2AE＝AF.∴AE＝EF.
又∵AE＝1
4AB，∴
BF
EF＝2.
又∵CF∥DE，∴BF
FE＝
BC
CD＝2.∴BC＝2CD.
(方法三)过点E作EF∥BC，交AC于点F，∴△AEF∽△ABC.
由AE＝1
4AB，知
EF
BC＝
AE
AB＝
AF
AC＝
1
4，
∴EF＝1
4BC，AF＝
1
4AC.
∵EF∥CD，∴△EFM∽△DCM，∴EF
CD＝
MF
MC.
又∵AM＝MC，∴MF＝1
2MC，
∴EF＝1
2CD.∴BC＝2CD.
(方法四)过点A作AF∥BD，交DE的延长线于点F，
∴△AEF∽△BED.∴AE
BE＝
AF
BD.
∵AE＝1
4AB，∴AE＝
1
3BE.∴AF＝
1
3BD.
由AF∥CD，易证得△AFM∽△CDM. 又∵AM＝MC，∴AF＝CD.
∴CD＝1
3BD.∴BC＝2CD.
点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形．
专训3
一﹨1.B 2.C 3.D
二﹨4. 5
三﹨5.解：(1)＝
(2)△BCF ∽△DBC ∽△CDE ；选△BCF ∽△CDE ，证明：在矩形ABCD 中，∠BCD ＝90°，且点C 在边EF 上，∴∠BCF ＋∠DCE ＝90°.在矩形BDEF 中，∠F ＝∠E ＝90°，∴在Rt △BCF 中，∠CBF ＋∠BCF ＝90°，∴∠CBF ＝∠DCE ，∴△BCF ∽△CDE.(答案不唯一)
6．(1)证明：由折叠可知，∠COM ＝90°，∴∠B ＝∠COM.
又∠MCO ＝∠ACB ，∴△COM ∽△CBA.
(2)解：∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴OC ＝12AC ＝5，
∵△COM ∽△CBA ，∴OM AB ＝CO BC ，即OM 6＝58，∴OM ＝154.
7．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠C ＋∠B ＝180°，∠ADF ＝∠DEC.∵∠AFD ＋∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠B ，
∴∠AFD ＝∠C.在△ADF 与△DEC 中，⎩
⎨⎧∠AFD ＝∠C ，∠ADF ＝∠DEC ，∴△ADF ∽△DEC. (2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝8.由(1)知△ADF ∽△DEC ，∴AD DE ＝AF CD ，∴DE ＝AD·CD AF ＝63×843
＝12.在Rt △ADE 中，由勾股定理得AE ＝DE2－AD2＝122－（63）2＝6.
8．(1)证明：由AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°，DE ＝CF 得
△ADE ≌△DCF. (2)证明：易证△ADE ∽△ECQ ，所以CQ DE ＝CE AD .因为CE AD ＝CE CD ＝12，所以CQ DE ＝
CQ CF ＝1
2，即点Q 是CF 的中点．
(3)解：S 1＋S 2＝S 3成立．理由：因为△ADE ∽△ECQ ，所以CQ DE ＝QE AE ，所以
CQ CE ＝QE AE .因为∠C ＝∠AEQ ＝90°，所以△AEQ ∽△ECQ ，所以△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE ，所以S1S3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EQ AQ 2，S2S3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AQ 2，所以S1S3＋S2S3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫EQ AQ 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫AE AQ 2＝EQ2＋AE2AQ2.因为EQ 2＋AE 2＝AQ 2，所以S 1＋S 2＝S 3. 9．证明：(1)∵BF ⊥AE ，CG ∥AE ，∴∠BAH ＋∠ABH ＝90°，
CG ⊥BF.∴∠CBG ＋∠BCG ＝90°.
∵在正方形ABCD 中，∠ABH ＋∠CBG ＝90°，∴∠BAH ＝∠CBG ，∠ABH ＝∠BCG.∵AB ＝BC ，∴△ABH ≌△BCG ，∴CG ＝BH.
(2)∵∠BFC ＝∠CFG ，∠BCF ＝∠CGF ＝90°，∴△CFG ∽△BFC ，∴FC BF ＝GF FC ，即FC 2＝BF·GF. (3)∵∠CBG ＝∠FBC ，∠CGB ＝∠BCF ＝90°，∴△BCG ∽△BFC ，∴BC BF ＝
BG BC ，即BC 2＝BG·BF.∵AB ＝BC ，∴AB 2＝BG·BF ，∴FC2AB2＝FG·BF BG·BF ＝FG BG ，即FC2AB2＝GF GB .
10．(1)证明：∵点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，
∴∠DAP ＝∠PAB ，AD ＝AB.
在△APB 和△APD 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠PAB ＝∠PAD ，AP ＝AP ，
∴△APB ≌△APD(SAS )．
(2)解：①∵△APB ≌△APD ，∴DP ＝PB ，∠ADP ＝∠ABP. 在△DFP 和△BEP 中，⎩⎨⎧∠FDP ＝∠EBP ，
DP ＝BP ，∠FPD ＝∠EPB ，
∴△DFP ≌△BEP(ASA )，∴PF ＝PE ，DF ＝BE.
∵GD ∥AB ，∴△FDG ∽△FAB ，∴DF FA ＝GD AB .
∵DF FA ＝12，∴GD AB ＝12，BE AB ＝13，∴DG BE ＝32.
∵DG ∥BE ，∴△DPG ∽△EPB ，∴DP PE ＝DG EB .
∵PE ＝PF ，∴32＝x y ，∴y ＝23x.
②当x ＝6时，y ＝23×6＝4，∴PF ＝PE ＝4，DP ＝PB ＝6，
∵△FDG ∽△FAB ，∴FG BF ＝DG AB ＝12，∴FG 10＝12，
解得FG ＝5，故线段FG 的长为5.
方法规律：本题运用了演绎推理，考查了相似三角形﹨全等三角形和函数知
识，是一个综合性的问题．推出DG AB ＝12，BE AB ＝13是解题的关键．
专训4
一﹨1.D 2.B 3.C
二﹨4.4 5.2
三﹨6.(1)证明：∵⊙O与DE相切于点B，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°.又∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°，∴∠BAD ＝∠E.
(2)解：如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AC＝8，AB＝2×5＝10，∴BC＝AB2－AC2＝6.又∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAC＝
∠E，∴△ABC∽△EAB，∴AC
EB＝
BC
AB.
∴
8
EB＝
6
10.∴BE＝
40
3.
(第6题)
(第7题)
7．证明：(1)如图，连接OD.∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB＝90°.∵AB ＝BC，∴D为AC中点．∵O为AB中点，∴OD∥BC.∵DE⊥BC，∴∠ODE＝∠CED＝90°，∴DE为半圆O的切线．
(2)∵AB＝BC，∠ADB＝90°，∴∠CBD＝∠DBA.又∠ADB＝∠DEB＝90°，
∴△ADB∽△DEB.∴AB
DB＝
DB
BE，即DB
2＝AB·BE.
8．(1)证明：连接OD，如图．因为OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA.又因为AD平分∠BAC，所以∠OAD＝∠CAD，所以∠ODA＝∠CAD.所以OD∥AE.又因为EF垂直于AE，所以OD垂直于EF，所以EF与圆O相切．
(2)解：如图，连接CD，BD，BC，则CD＝BD.因为AB是直径，所以∠ACB ＝∠ADB＝90°.又因为AB＝6，AD＝42，所以BD＝AB2－AD2＝62－（42）2＝2，所以CD＝2.因为∠OAD＝∠CAD，∠ADB＝∠E＝90°，
所以△ADE∽△ABD，所以AB
AD＝
BD
DE，所以
6
42
＝
2
DE，所以DE＝
42
3.在Rt△CDE
中，CE
＝CD2－DE2＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫4232＝23.易得四边形
CEDG 是矩形，所以DG ＝CE ，∠OGB ＝90°.所以DG ＝23，OG ＝3－23＝73.在Rt △OGB 中，GB ＝
OB2－OG2＝32－⎝ ⎛⎭
⎪⎫732＝423.因为∠ACB ＝∠E ＝90°，所以BC ∥EF ，所以△OGB ∽△ODF ，所以OG OD ＝GB DF ，所以733＝42
3DF ，所以DF ＝1227.所以EF ＝DE
＋DF ＝423＋1227＝64221
.
(第8题)
(第9题)
9．解：(1)ED 与⊙O 相切．证明：如图，连接OD.∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2.∵AD 平分∠CAB ，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴OD ∥AE.∵AE ⊥DE ，∴OD ⊥DE.∵D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线．
(2)如图，连接BD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，则BD 2＝AB 2－AD 2＝11.∵∠3＝∠4，∠3＝∠2，∴∠2＝∠4.∵∠ADB ＝∠BDF ＝90°，
∴△DFB ∽△DBA.∴BD AD ＝DF BD ，∴DF ＝BD2AD ＝115.则AF ＝AD －DF ＝5－115＝145.
10．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵∠BAD ＝∠BED ，∠BED ＝∠DBC ，∴∠BAD ＝∠DBC ，∴∠BAD ＋∠ABD ＝∠DBC ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABC ＝90°，∴BC 是⊙O 的切线．
(2)解：∵∠BAD ＝∠DBC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BDC ，∴BC CD ＝CA BC ，
即BC 2＝AC·CD ＝(AD ＋CD)·CD ＝10，
∴BC ＝10.
(第11题)
11．(1)证明：如图，连接OC.∵PE 与⊙O 相切，∴OC ⊥PE.∴∠OCP ＝90°.∵AE ⊥PE ，∴∠AEP ＝90°＝∠OCP.∴OC ∥AE.∴∠CAD ＝∠OCA.∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC.∴∠CAD ＝∠OAC.∴AC 平分∠BAD.
(2)解：PB ，AB 之间的数量关系为AB ＝3PB.理由如下：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠BAC ＋∠ABC ＝90°.∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠ABC.∵∠PCB ＋∠OCB ＝90°，∴∠PCB ＝∠PAC.∵∠P ＝
∠P.∴△PCA ∽△PBC.∴PC PB ＝PA PC .∴PC 2＝PB·PA.∵PB PC ＝12，∴PC ＝
2PB.∴PA ＝4PB.∴AB ＝3PB.
(3)解：过点O 作OH ⊥AD 于点H ，如图，则AH ＝12AD ＝32，四边形OCEH
是矩形．∴OC ＝HE.∴AE ＝32＋OC.∵OC ∥AE ，∴△PCO ∽△PEA.∴OC AE ＝PO PA .∵AB ＝3PB ，AB ＝2OB ，∴OB ＝32PB.∴OC 32＋OC
＝PB ＋OB PB ＋AB ＝PB ＋32PB PB ＋3PB ＝58
，∴OC ＝52，∴AB ＝5.∵△PBC ∽△PCA ，∴PB PC ＝BC AC ＝12，∴AC ＝2BC.
在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，
∴(2BC)2＋BC 2＝52，∴BC ＝5，∴AC ＝2 5.
∴S △ABC ＝12AC·BC ＝5，即△ABC 的面积为5.。