人教版九年级数学下册相似测试习题及答案

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人教版九年级下册数学《相似三角形》练习题及答案

27.2 相似三角形一、选择题1..下列语句正确的是( )A.△ABC 和△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°,∠A=30°,∠C′=60°, 则⊿ABC 和⊿A′B′C′不相似;B.在⊿ABC 和⊿A′B′C′中,AB=5,BC=7,AC=8,A′C′=16,B′C′=14,A′B ′=10,则⊿ABC ∽⊿A′B′C′;C.两个全等三角形不一定相似;D.所有的菱形都相似2.根据图中尺寸（AB ∥A 1B 1）,那么物象长（A 1B 1的长）与物长（AB 的长）之间函数关系的图像大致是（）3.如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且AC AD ＝31，AE ＝BE ，则有（）（A ）△AED ∽△BED （B ）△AED ∽△CBD（C ）△AED ∽△ABD （D ）△BAD ∽△BCD( 3题 ) (4题)4．已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（）（A ）1对（B ）2对（C ）3对（D ）4对5.三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm,则其余两边之和为( )A.32cmB.24cmC.18cmD.16cm6. 已知⊿ABC ∽⊿A ′B ′C ′，且BC ：B ′C ′= AC ：A ′C ′，若AC=3，A ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是（）。

A. 2:3B. 3:2C. 5:3D. 3:57.可以判定∆ABC ∽'''C B A ∆，的条件是（）A 、∠A=∠'C =∠'B B 、''''C A B A AC AB =，且∠A=∠'C C 、''''C A AC B A AB =且∠A=∠'B D 、以上条件都不对8. 已知一次函数y=2x+2与x 轴y 轴交于A 、B 两点，另一直线y=kx+3交x 轴正半轴于E 、交y 轴于F 点，如⊿AOB 与E 、F 、O 三点组成的三角形相似，那么k 值为（）A 1.5B 6C 1.5或6D 以上都不对二、填空题9. 已知一个三角形三边长是6cm ，7.5cm ，9cm ，另一个三角形的三边是8cm ，10cm ，12cm ，则这两个三角形（填相似或不相似）10. 在1:25000000的中国政区图上，量得福州到北京的距离为6cm ，则福州到北京的实际距离为 km 。

九年级数学下册第二十七章《相似》测试题-人教版(含答案)

九年级数学下册第二十七章《相似》测试题-人教版（含答案）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.1.如图，四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，则下列角的度数正确的是( )A.81D ∠=︒B.83F ∠=︒C.78G ∠=︒D.91H ∠=︒2.若线段a b c d ，，，成比例，且5cm 2.5cm 8cm a b c ===，，，则d 等于( ) A.2 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm3.已知ABC A B C '''∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，若10AD =，6A D ''=，则ABC 与A B C '''的周长比是( )A.3:5B.9:25C.5:3D.25:94.如图，小明为了测量大楼MN 的高度，在离N 点20 m 的A 处放了一个平面镜，小明沿射线NA 的方向后退1.5 m 到C 点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M 点，已知小明的眼睛（点B ）到地面的高度BC 是1.6 m ，则大楼MN 的高度（精确到0.1 m ）约是( )A.18.75 mB.18.8 mC.21.3 mD.19 m5.如图，直线123////l l l ，直线AC 分别交直线1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ，直线DF 分别交直线1l 、2l 、3l 于点D 、E 、F ，直线AC 、DF 交于点P ，则下列结论错误的是( )A.AB DEBC EF= B.PA PDPC PF= C.PA PEPB PF= D.PB ACPE DF=6.如图，下列四个选项中的结论不一定成立的是( )A.COD AOB∽ B.AOC BOD∽ C.DCA BAC∽ D.PCA PBD∽7.如图，在ABC中，ABC C∠=∠，将ABC绕点B逆时针旋转得到DBE，点E在AC上，若3ED=，1EC=，则EB=( )A.3B.32C.312+D.28.如图，点A在第一象限内，AB x⊥轴于点B，以点O为位似中心，把AB缩小为原来的1 2得到A B''（AB与A B''在点O的两侧）.若把点O向上平移2个单位长度，得到点O'，再以点O'为位似中心，把AB缩小为原来的12得到A B''''（AB与A B''''在点O'的两侧），则A'与A''之间的距离为( )A.2B.2.5C.3D.49.如图，直线////a b c，ABC的边AB被这组平行线截成四等份，ABC的面积为32，则图中阴影四边形DFIG 的面积是( )A.12B.16C.20D.2410.将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B '，折痕为EF .已知6AB AC ==，8BC =，若以点B '，F ，C 为顶点的三角形与ABC 相似，那么BF 的长度是( )A.247B.4C.127或2 D.4或247二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.如图，在平面直角坐标系中，已知(1,0)A ，(3,0)D ，ABC 与DEF 位似，原点O 是位似中心.若 1.3AB =，则DE =______________.12.如图，在ABC 中，AB AC ≠，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，3AC AD =，3AB AE =，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：_____________，可以使得FDB 与ADE 相似.（只需写出一个）13.如图，在Rt ABC 中，904ACB AB ∠=︒=，，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2,3DB AD AE EC ==，连接BE 、CD ，相交于点O ，则ABO 面积的最大值为________.14.如图，在ABC 中，点D 为AC 边上一点，且12CD AD =，过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，连接CE ，过点D 作//DF CE 交AB 于点F .若15AB =，则EF =________.15.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()()4,00,4-，，点()3C n ，在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_______________.三、解答题：本题共2小题，第一小题10分，第二小题15分，共25分.16.如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上的A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ，再将镜子放到C 处，后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得2AC =m, 2.1BD = m ，小明的眼睛距地面的高度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE .17.回答下列问题：问题背景如图（1），已知ABC ADE ∽，求证：ABD ACE ∽；尝试应用如图（2），在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒，AC 与DE 相交于点F .点D 在BC 边上，3AD BD =DFCF的值；拓展创新如图（3），点D 是ABC 内一点，30BAD CBD ∠=∠=︒，90BDC ∠=︒，4AB =，23AC =AD 的长.参考答案1.答案：A 解析：四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，78B F ∴∠=∠=︒，118A E ∠=∠=︒，83C G ∠=∠=︒，360781188381D H ∴∠=∠=︒-︒-︒-︒=︒.故选A.2.答案：B 解析：线段a b c d ，，，成比例，a cb d∴=，5cm a =， 2.5cm b =，8cm c =，582.5d∴=，4cm d ∴=，故选B.3.答案：C 解析：ABC A B C '''∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，10AD =，6A D ''=，ABC ∴与A B C '''的周长比:10:65:3AD A D ===''.故选C.4.答案：C解析：BC CA ⊥，MN AN ⊥，90C MNA ∴∠=∠=︒.BAC MAN ∠=∠，BCA MNA ∴∽，BC AC MN AN ∴=，即1.6 1.520MN =， 1.620 1.521.3MN ∴=⨯÷≈（m ），即大楼MN 的高度约为21.3 m.故选C. 5.答案：C解析：123////l l l ，AB DE BC EF ∴=，A 中结论正确，不符合题意；PA PDPC PF=，B 中结论正确，不符合题意；PA PD PB PE =，C 中结论错误，符合题意；PB PC PA PE PF PD ==，PB AC PE DF∴=，D 中结论正确，不符合题意.故选C. 6.答案：C解析：OCD OAB ∠=∠，COD AOB ∠=∠， COD AOB ∴∽.ACO BDO ∠=∠，AOC BOD ∠=∠，AOC BOD ∴∽.180PCA ACD ∠+∠=︒，180ACD ABD ∠+∠=︒， PCA PBD ∴∠=∠，又P P ∠=∠，PCA PBD ∴∽.故选C.7.答案：A解析：由旋转可得ABC DBE ≌，BC BE ∴=,3DE AC ==，C BEC ∴∠=∠.又ABC C ∠=∠，ABC BEC ∴∠=∠，又C C ∠=∠，ABC BEC ∴∽，EC BCBC AC∴=，即2BC CE CA =⋅，BC ∴=，BE ∴.故选A.8.答案：C解析：如图，连接A A '''，由题意易知A B ''和A B ''''都与AB 平行，且在同一条直线上，////A A AB OO ''''∴.由题意知，OA B OAB ''∽△△，12OA A B OA AB '''∴==，23OA AA ∴='.//A A OO ''''，AO O AA A ''''∴∽△△，23OO OA A A AA '∴==''''，2OO '=，3A A '''∴=.9.答案：B 解析：直线////a b c ，ABC 的边AB 被这组平行线截成四等份，14AD AB ∴=，34AF AB =，ADG ABC ∽，AFI ABC ∽，211()416ADG ABCS S∴==，239()416AFI ABCS S==.ABC 的面积为32，1216ADGABCS S ∴==，91816AFIABCSS ==，18216AFIADGS SS∴=-=-=阴影.故选B.10.答案：D 解析：ABC 沿EF 折叠后点B 和'B 重合，BF B F '∴=.设(0)BF x x =>，则8CF x =-.要使B FC '与ABC 相似，只需B FC C '∠=∠或FB C C '∠=∠.当B FC C '∠=∠时，B FC ABC '∽，B F CF AB BC ∴='，6AB =，8BC =，868x x -∴=，解得247x =，即247BF =；当FB C C ∠'=∠时，FB C ABC '∽，FB FC AB AC ∴='，即866x x-=，解得4x =，即4BF =，故4BF =或247.故选D. 11.答案：3.9 解析：(1,0)A ，(3,0)D ，1OA ∴=，3OD =.ABC 与DEF 位似，//AB DE ∴，ABO DEO ∴∽，AB OA DE OD ∴=，即1.313DE =，解得 3.9DE =.12.答案：A BDF ∠=∠(或A BFD ∠=∠或ADE BFD ∠=∠或ADE BDF ∠=∠或//DF AC 或BD BF AE ED =或BD BFDE AE=) 解析：3AC AD =，3AB AE =，13AD AE AC AB ∴==，又A A ∠=∠，ADE ACB ∴∽，AED B ∴∠=∠. 故要使FDB 与ADE 相似，只需再添加一角相等，或夹角的两边成比例即可. 13.答案：83解析：本题考查平行线分线段成比例、三角形面积公式.如图,过点D 作//DF AE 交BE 于点F ,则21.,2,33DF BD EC DF EC DO AE BA AE ===∴=∴=222,,,33ADO ADC BDO OC DO DC S S S ∴=∴==22,90,33.BDC ABO ABC S S S ACB ︒∴=∠=∴点C 在以AB 为直径的圆上,设圆心为G ,当CG AB ⊥时，ABC 的面积最大,最大面积为1424,2⨯⨯=此时ABO 面积的最大值为284.33⨯=14.答案：103解析：//,AD AEDE BC AC AB∴=. 12,23CD AD AD AC =∴=，即23AE AB =. 15,10AB AE =∴=.//,AF AD DF CE AE AC ∴=，即2103AF =，解得203AF =，则20101033EF AE AF =-=-=.故答案为103. 15.答案：2.8解析：本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、相似三角形的判定与性质如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，//CD x ∴轴， CAO ACD∠∠∴=，又DEC OEA ∠∠=，DEC OEA ∴~，2,BCA CAO BCD ACD ∠∠∠∠=∴=，BD DE ∴=，设BD DE x ==，则42OE x =-DC DE OA OE ∴=即3442xx=-，解得 1.2x =， 242 1.6, 1.2 1.6 2.8OE x n OD DE OE ∴=+=∴==+=+=.16.答案：如图，设E 关于O 的对称点为M ，延长GC 与FA ，易知GC 、FA 的延长线相交于点M ，连接GF 并延长，交OE 于点H .易知//GF AC ，MAC MFG ∴∽， AC MA MOFG MF MH∴==， AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ∴===++， 21.62.1OE OE ∴=+， 32OE ∴=.答：楼的高度OE 为32 m. 17.答案：问题背景证明：ABC ADE ∽，AB ACAD AE∴=，BAC DAE ∠=∠， AB ADAC AE∴=，BAD CAE ∠=∠， ABD ACE ∴∽.尝试应用连接CE ，设BD t =，则AD =. 易得ADE ABC ∽，AB ACAD AE∴=， AB ADAC AE∴=. 又BAC DAE ∠=∠， BAD CAE ∴∠=∠， ACE ABD ∴∽，CE AC BD AB ∴=，CE ∴=，3ADCE∴==.ADE ABC ∠=∠，ABC ACE ∠=∠，30ACE ADE ∴∠=∠=.又AFD EFC ∠=∠， ADF ECF ∴∽，3DF ADCF CE∴==. 拓展创新 AD.解法提示：过点D 作AD 的垂线交AB 于点M ，连接CM . 易证ADB MDC ∽，AB ADCM MD∴==30DMC DAB ∠=∠=，CM ∴=，90AMC AMD DMC AMD DAB ∠=∠+∠=∠+∠=，AM ∴=，cos AD AM MAD ∴=⋅∠。

人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步测试含答案

人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步测试题一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．82．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．76．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：27．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2 9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP 的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为_________．（填出一个正确的即可）12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为_________ cm．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=_________．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为_________．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=_________cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_________cm2．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是_________（写出所有正确结论的序号）．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有_________条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=_________时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_________．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=_________．（用含n的式子表示）20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是_________．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．24．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O 于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．26．（2013•汕头）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．27．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半径．（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．（3）求弦EC的长．28．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）参考答案与解析一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．8考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选D．点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DEC，∴AE：DE=AF：CD，∵AE=2ED，CD=3cm，∴AF=2CD=6cm．故选B．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，=，∵AB=AC，∴CD=CE，解得：CD=CE=，DE=，EF=．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．专题：压轴题．分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解答：解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．7考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．分析：根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值．解答：解：设AE=x，则AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴=，即=，解得：x=5．故选B．点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE．6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：AB 的值，由AB=CD即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△AB F∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．专题：压轴题．分析：如解答图所示：结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．解答：解：（1）结论①正确．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM与△ABF中，，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；（2）结论②正确．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；（3）结论③正确．理由如下：证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG与△NCG中，，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；（4）结论④正确．理由如下：证法一：∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，∴GD平分∠AGC．综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．故选D．点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD 的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB 的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP 的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC==，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可．解答：解：∵AB为⊙O的直径，∴AB=5，∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴=，∵CP⊥CQ，∴∠PCQ=90°，而∠A=∠P，∴△ACB∽△PCQ，∴=，∴CQ=•PC=PC，当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=×5=．故选D．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤考点：切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；又ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB（AD+BC），将AD+BC化为CD，可得出梯形面积为AB•CD，选项④错误，而OD不一定等于OC，选项③错误，即可得到正确的选项．解答：解：连接OE，如图所示：∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中，，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），∴∠AOD=∠EOD，同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC，又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；而S梯形ABCD=AB•（AD+BC）=AB•CD，选项④错误；由OD不一定等于OC，选项③错误，则正确的选项有①②⑤．故选A点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为4s．（填出一个正确的即可）考点：圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；开放型．分析：根据圆周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8cm，而F是弦BC的中点，所以当EF∥AC时，△BEF 是直角三角形，此时E为AB的中点，易得t=4s；当从A点出发运动到B点名，再运动到O点时，此时t=12s；也可以过F点作AB的垂线，点E点运动到垂足时，△BEF 是直角三角形．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，而∠ABC=60°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵F是弦BC的中点，∴当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，此时E为AB的中点，即AE=AO=4cm，∴t==4（s）．故答案为4s．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆周角定理的推论以及含30度的直角三角形三边的关系．12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为5cm．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6cm，∴EC=9﹣6=3（cm），∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，∴AG==2（cm），∴AE=2AG=4cm；∵EC∥AD，∴====，∴=，=，解得：EF=2（cm），FC=3（cm），∴EF+CF的长为5cm．故答案为：5．点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=12．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米．考点：相似三角形的应用．分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即=，则=，∴h=1.5m．故答案为：1.5米．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．专题：压轴题．分析：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．解答：解：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，∵∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=∠MNC，又∵∠B=∠C∴△ABM∽△MCN，则，即，解得CN==x（1﹣x），∴S四边形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+，∵﹣＜0，∴当x=﹣=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2．故答案是：，．点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是②③④（写出所有正确结论的序号）．考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为的中点，得到两条弧相等，再由C为的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ 与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出AP•AD=CQ•CB，选项④正确．解答：解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；连接BD，如图所示：∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；∵直径AB⊥CE，∴A为的中点，即=，又C为的中点，∴=，∴=，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；连接CD，如图所示：∵=，∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，∴△ACQ∽△BCA，∴=，即AC2=CQ•CB，∵=，∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC，∴=，即AC2=AP•AD，∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，则正确的选项序号有②③④．故答案为：②③④点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有1条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．解答：解：（1）存在另外 1 条相似线．如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；（2）设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是①③．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB，即可求得AF=AB；则可得S△ABC=6S△BDF．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴，∵BA=BC，∴，故①正确；∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，∴∠DBE=∠BCD，∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵=，∴FG=FB，∵GE≠BF，∴点F不是GE的中点．故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正确；∵BD=AB，AF=AC，∴S△ABC=6S△BDF，故④错误．故答案为：①③．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；规律型．分析：由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，即可求得△B1C1M n的面积，又由B n C n∥B1C1，即可得△B n C n M n∽△B1C1M n，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．解答：解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1×=，∵B n C n∥B1C1，∴△B n C n M n∽△B1C1M n，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即S n：=，∴S n=．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是．考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：规律型．分析：求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形A nB n D n E n的边长．解答：解：∵∠A=∠B=45°，∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，∴第一个内接正方形的边长=AB=1；同理可得：第二个内接正方形的边长=A1B1=AB=；第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=；故可推出第n个小正方形A n B n D n E n的边长=AB=．故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠ABP；（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP，∵P′E⊥AC，。

人教版九年级数学下《第二十七章相似》单元练习题（含答案）

第二十七章《相似》单元练习题一、选择题1.下列说法正确的是()A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形B．两位似图形的面积之比等于位似比C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比D．位似图形的周长之比等于位似比的平方2.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为()A． 1∶3B． 1∶4C． 1∶8D． 1∶93.△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是() A． 5 cmB． 10 cmC． 15 cmD． 30 cm4.若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是()A． 16 cmB． 12 cmC． 24 cmD． 36 cm5.如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于()A．B．C．D．6.如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是()A．点AB．点BC．点CD．点D7.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为()A． 1.25尺B． 57.5尺C． 6.25尺D． 56.5尺8.已知A、B两地的实际距离AB＝5 km，画在图上的距离A′B′＝2 cm，则图上的距离与实际距离的比是()A． 2∶5B． 1∶2 500C． 250 000∶1D． 1∶250 000二、填空题9.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________ cm.10.已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是__________图形，其中____________点是位似中心．11.已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝16∶9，若AB＝4，则A′B′＝__________.12.已知△ABC∽△DEF，＝，且AD为BC边上的中线，DG为EF边上的中线，则AD∶DG ＝__________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.14.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.15.若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝________.16.如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：______________(请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换)．三、解答题17.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD＝300厘米．现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖(点F)到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB上的点G处，此时，就将EG与EF的差值y(厘米)作为此人此次的弹跳成绩．(1)设CE＝x(厘米)，EF＝a(厘米)，求出由x和a表示y的计算公式；(2)现有一男生，站在某一位置尽力跳起时，刚好触到斜杆．已知该同学弹跳时站的位置为x＝150厘米，且a＝205厘米．若规定y≥50，弹跳成绩为优；40≤y＜50时，弹跳成绩为良；30≤y＜40时，弹跳成绩为及格，那么该生弹跳成绩处于什么水平？18.已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE∶ED＝m∶n；(1)当点A、D重合，即a＝0时(如图1)，试求EF.(用含m，n，b的代数式表示)(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，①如图2这种情况时，试求EF.(用含a，b，m，n的代数式表示)图1图2图3②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．19.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x m，根据题意，得x·2x＝288.解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．20.如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H.问：(1)∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？(2)图中有哪几组相等的线段？(3)当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？21.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上．(1)求证：△ABC∽A′B′C′；(2)A′B′C′与△ABC是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出位似比．第二十七章《相似》单元练习题答案解析1.【答案】C【解析】∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC 放大或缩小后的图形，∴A错误．∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质，∴B，D错误，正确的是C.故选C.2.【答案】D【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴＝＝，∴＝＝，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1∶3，∴△A′B′C′与△ABC的面积的比1∶9，故选D.3.【答案】C【解析】∵△ABC和△DEF相似，∴△DEF的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x，则3∶5＝9∶x，解得x＝15，∴△DEF的最长边为15 cm，故选C.4.【答案】C【解析】∵AB＝3 cm，BC＝5 cm，∴矩形ABCD的周长＝2×(3＋5)＝16 cm，∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2∶3，∴矩形EFGH的周长为24 cm，故选C.5.【答案】A【解析】假设△ABC∽△CAD，∴＝，即CD＝＝，∴要使△ABC∽△CAD，只要CD等于，故选A.6.【答案】A【解析】如图，位似中心为点A.故选A.7.【答案】B【解析】依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5尺．故选B.8.【答案】D【解析】∵5千米＝500 000厘米，∴比例尺＝2∶500 000＝1∶250 000；故选D.9.【答案】6【解析】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴BC＝6 cm.10.【答案】位似O【解析】∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′C′B′＝∠C，∴△A′B′C′∽△ABC，∵AA′的延长线交于BC于点D，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心．11.【答案】3【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B″C′＝16∶9，∴AB∶A′B′＝4∶3，∵AB＝4，∴A′B′＝3.12.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，∴BC∶EF＝AD∶DG，∵＝，∴BC∶EF＝3∶2，∴AD∶DG＝3∶2.13.【答案】16【解析】由图形的变化规律可得×256＝，解得n＝16.14.【答案】【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.故答案为.15.【答案】8【解析】∵a∶b∶c＝1∶3∶2，∴设a＝k，则b＝3k，c＝2k，又∵a＋b＋c＝24，∴k＋3k＋2k＝24，∴k＝4，∴a＋b－c＝k＋3k－2k＝2k＝2×4＝8.16.【答案】相似变换【解析】由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．17.【答案】解(1)过A作AM⊥BD于点M，交GE于N.∵AC⊥CD，GE⊥CD，∴四边形ACEN为矩形，∴NE＝AC，又∵AC＝200，EF＝a，FG＝y，∴GN＝GE－NE＝a＋y－200，∵DM＝AC＝200，∴BM＝BD－DM＝300－200＝100，又∵GN∥BD，∴△ANG∽△AMB，∴＝，即＝，∴y＝x－a＋200；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，y＝×150－205＋200＝45( cm)，y＝45＞40.故该生弹跳成绩处于良好水平．【解析】(1)利用相似三角形的判定与性质得出△ANG∽△AMB，进而得出＝，即可得出答案；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，直接代入(1)中所求得出即可．18.【答案】解(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，又BC＝b，∴＝，∴EF＝；(2)①如图2，连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，∵EF＝EH＋HF，∴EF＝；②猜想：EF＝，证明：连接DE，并延长DE交BC于G，由已知，得BG＝，EF＝，∵GC＝BC－BG，∴EF＝(BC－BG)＝＝.【解析】(1)由EF∥BC，即可证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得＝，根据比例变形，即可求得EF的值；(2)①连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，又由EF＝EH＋HF，即可求得EF的值；②连接DE，并延长DE交BC于G，根据平行线分线段成比例定理，即可求得BG的长，又由EF＝与GC＝BC－BG，即可求得EF的值．19.【答案】解(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程：设温室的宽为x m，则长为2x m.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m.∵＝＝2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要＝，即＝，即＝，即2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)，∴a＋c＝2(b＋d)，即＝2.【解析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m，然后由题意得＝＝2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1，再利用小明的解法求解即可；(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得＝，即＝，然后利用比例的性质，即可求得答案．20.【答案】解(1)相等．理由如下：∵CD为∠ACF的角平分线(已知)，∴∠DCP＝∠DCH，DP⊥AC，DH⊥BF.∴∠DPC＝∠DHC＝90°.∴∠PDC＝∠HDC.(2)PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD.(3)∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.∵∠CPD＝90°，∴∠ABC＝90°.∵CD为∠ACF的角平分线，∠PCD＝∠DCF＝∠ACB，∴∠ACB＝60°.∴∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.【解析】(1)根据角平分线与垂线的性质证明角相等；(2)发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；(3)根据其中一个是直角三角形得到AC必须是直径．再根据另一对角对应相等，结合利用平角发现必须都是60°才可．21.【答案】(1)证明∵AB＝，BC＝，AC＝2，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝4，∴＝＝，∴△ABC∽A′B′C′；(2)解如图所示：两三角形对应点的连线相交于一点，故A′B′C′与△ABC是位似图形，O即为位似中心，位似比为2.【解析】(1)分别求出三角形各边长，进而得出答案；(2)利用位似图形的性质得出答案．。

人教新版数学九年级下册《相似》习题含答案

人教版初中数学九年级第二十七章-相似-及习题-含答案第二十七章相似本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证CD CE AC CB=；(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．分析利用△CDE∽△CAB，可证明CD CE AC CB=．证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CD CE AC CB=.解：(2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．又∵CD CE AC CB=，∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．连接OB，在△OBC中，OB＝12AE＝4，OC=12，∴8＜BC＜16．【解题策略】将证CD CEAC CB=转化为证明△CDE∽△CAB.专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】证明形如22a cb d=，33a cb d=或abcdef=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a cb d=，可设法证a cb x=，a xb d=，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。

人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．下列各组线段的长度成比例的是（） A ．2cm ，4cm ，6cm ，8cm B ．10cm ，20cm ，30cm ，40cm C ．2.2cm ，3.3cm ，5cm ，8cmD ．20cm ，30cm ，60cm ，40cm2．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE =∠EFC ，AD:BD=5:3，CF =6，则DE 的长为（）A ．6B ．8C ．10D ．123．下列判断正确的是（） A ．对角线相等的四边形是矩形B ．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似C ．如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比可能是4：3D ．若点C 是AB 的黄金分割点，且AB ＝6cm ，则BC 的长约为3.7cm4．如图，在▱ABCD 中，M 、N 为BD 的三等分点，连接CM 并延长交AB 与点E ，连接EN 并延长交CD 于点F ，则DF ：FC 等于（）．A ．1：2B ．1：3C ．2：3D ．1：45．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，7AC =，24BC =，将它绕着BC 中点D 顺时针旋转一定角度后到A B C '''，恰好使//B C AB ''，A C ''与边AB 交于点E ，则A E '的长为（）A ．72B ．4924C ．8425D ．91256．如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠DBC ＝30°，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，若CD ＝2，则BF 的长为（）A ．235B ．233C ．635D ．4357．如图，在ABC ∆中，E 为BC 边上的一点，F 为AC 边上的一点，连接BF ，AE ，交于点D ，若D 为BF 的中点，CF 2AF =，则:BE CE 的值为（）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．2:38．如果两个相似三角形的对应高之比是1:2，那么它们的周长比是（）A ．1:2B ．1:4C ．1:2D ．2:19．如图，地面上点A 处有一只兔子，距它10米的B 处有一根高1.6米的木桩，大树、木桩和兔子刚好在一条直线上．一只老鹰在9.6米高的树顶上刚好看见兔子，则大树C 离木桩B( )米．A ．60B ．50C ．40D ．4510．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=5：2，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（）A ．5：7B ．10：4C ．25：4D ．25：4911．如图，要使ABC ACD ∆∆，需补充的条件不能是（）A ．ADC ACB ∠=∠ B ．ABC ACD ∠=∠ C ．AD ACAC AB= D ．AD BC AC DC ⋅=⋅12．如图，11AOB 与22A OB 位似，位似中心为O 且11AOB 与22A OB 在原点O 的两侧，若11AOB 与22A OB 的周长之比为1：2，点1A 的坐标为()1,2-，则点1A 的对应点2A 的坐标为（）A ．()1,4-B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()2,1-二、填空题13．如图，BD 、CE 是锐角ABC 的两条高线，则图中与BOE △相似三角形有______个．14．如图，直线////AF BE CD ，直线AC 交BE 于B ，直线FD 交BE 于E ，2AB cm =，1BC cm =， 1.8EF cm =，求DE 的长为______cm ．15．如图，点P 是ABC 的重心，过P 作BC 的平行线，分别交AC ，AB 于点D ，E ，作//DF EB ，交CB 于点F ，若ABC 的面积为227cm ，则DFC △的面积为______2cm ．16．如图，D 是AC 上一点，//BE AC ，BE AD =，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，12∠=∠．若8DF =，4FG =，则GE =________．17．如图，在ABC 中，//DE BC ，若9AB =，8AC =，3AD =，则EC 的长是______．18．如图，⊙O 的直径为5，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA ＝4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A ，B 重合），过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．则△PCD 的面积最大为______________．19．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，EC ＝2BE ，连接AE 交BD 于点F ，若△BFE 的面积为2，则△AFD 的面积为_____．20．如图，P 为△ABC 的重心，连结AB 并延长BC 于点D ，过点P 作EF ∥BC 分别交AB ，AB 于点E ，F ．若△ABC 的面积为36，则△AEF 的面积为____．三、解答题21．如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C ，D 不重合），以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连接BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG ．线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4－6）且AB a ，BC b =，CE ka =，(),0CG kb a b k =≠>，第（1）题①中得到C 的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；（3）在第（2）题图5中，连接DG 、BE ，且3a =，2b =，12k =，求22BE DG +的值．22．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分别是(2,2)A ，(4,0)B ，(4,4)C -．（1）ABCS=______．（2）请画出ABC 向左平移6个单位长度后得到的111A B C △．（3）以点O 为位似中心，将ABC 缩小为原来的12，得到222A B C △，请在y 轴右侧画出222A B C △．23．平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为()2,2A -，()3,4B -，()6,3C -．（1）画出将ABC 向上平移6个单位后得到的111A B C △，并写出点1A 的坐标．（2）以点()1,2M 为位似中心，在网格中画出．．．．．．与111A B C △位似的图形222A B C △，且使得222A B C △与111A B C △的相似比为2：1，并写出点2A 的坐标．24．下图是由边长为1的小正方形组成的5×4网格，A 、B 、C 、D 、E 、F 、P 、Q 均为网格格点，请用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写画法. （1）在线段AB 上找到一点M ，使△AQM ≌△BPM. （2）在线段CD 上找点N ，使△ECN ∽△FDN.25．（1）已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果2a =，3b =，求c 的长度．（2）已知()()2:11:3a a +=-，求a 的值．26．已知ABC ，延长BC 到D ，使CD BC =.取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．（1）求AEAC的值；（2）若18AB =，FB EC =，求AC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行分析即可．【详解】解：A 、2×8≠4×6，故本选项错误； B 、10×40≠20×30，故选项错误； C 、2.2×8≠3.3×5，故选项错误； D 、20×60=30×40，故本选项正确．故选：D ．【点睛】此题考查了比例线段，用到的知识点是成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．2．C解析：C 【分析】由DE //BC 可得出53AD AE BD EC ==，∠AED ＝∠C ，结合∠ADE ＝∠EFC 可得出△ADE ∽△EFC ，根据相似三角形的性质可得出53AE DE EC FC ==，再根据CF ＝6,即可求出DE 的长度．【详解】解：∵DE //BC ，∴53AD AE BD EC ==，∠AED ＝∠C ．又∵∠ADE ＝∠EFC ， ∴△ADE ∽△EFC ，∴53AE DE EC FC ==， ∵CF ＝6，∴563DE =， ∴DE ＝10．故选C 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．3．C解析：C 【分析】A ．利用矩形的判定定理对角线相等的平行四边形可判断；B ．一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似应满足长与宽相等时可以，而矩形的长与宽一般不等； C.利用相似图形的性质即可；D ．利用黄金分割法可求出BC 有两个值即可．【详解】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；B 、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，故此选项错误；C 、如果两个相似多边形的面积比为16：9，则两个相似多边形的相似比为4:3，那么这两个相似多边形的周长比等于相似比是4：3，故此选项正确；D 、若点C 是AB 的黄金分割点，且AB ＝6cm ，则BC 的长约为3.7cm 或2.3cm ，故此选项错误；故选择：C ．【点睛】本题综合性考查矩形，矩形相似，相似多边形的性质，黄金分割问题，掌握矩形的判定方法，矩形相似的判定方法，相似多边形的性质，会求黄金分割中线段的长是解题关键．4．B解析：B 【分析】由题意可得DN=NM=MB ，据此可得DF ：BE=DN ：NB=1：2，再根据BE ：DC=BM ：MD=1：2，AB=DC ，故可得出DF ：FC 的值．【详解】解：由题意可得DN=NM=MB ，AB//CD ，AB//BC ∴△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ，∴DF ：BE=DN ：NB=1：2，BE ：DC=BM ：MD=1：2，又∵AB=DC ， ∴DF ：AB=1：4， ∴DF ：FC=1：3 故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用．5．D解析：D 【分析】过点D 作DF ⊥AB 于F ，易证四边形EFDC´是矩形，可得C´E=DF ,由勾股定理求得AB 的长，根据已知和相似三角形的判定可证明△ACB ∽△DFB ，可得AC ABDF BD=，J 进而求得DF 值，由A´E=A´C´﹣C´即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于F ，则∠DFB=90°，∵△ABC 绕着BC 中点D 顺时针旋转一定角度后到A B C '''，恰好使//B C AB ''，∴∠C=∠C´=∠A´EB=90°，AC=A´C´=7，CD=BD=12， ∴四边形EFDC´为矩形， ∴C´E=DF ，∵在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=7，BC=24，∴AB=222272425AC BC +=+=，∵∠C=∠DFE ，∠B=∠B ， ∴△ACB ∽△DFB ， ∴AC AB DF BD =即72512DF =，∴DF=8425=C´E ， ∴A´E=A´C´﹣C´E=7﹣8425=9125，故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些知识的灵活运用，添加恰当的辅助线是解答的关键．6．C解析：C 【分析】连接DE ，根据直角三角形的性质求出BC ，根据勾股定理求出BD ，再求出AB ，根据DE ∥AB ，得到BDE AB DFF =，把已知数据代入计算，得到答案．【详解】解：连接DE ，∵∠BDC ＝90°，∠CBD ＝30°，CD ＝2， ∴BC ＝2CD ＝4，由勾股定理得，BD 22BC CD -2242-23 ∵E 是BC 的中点， ∴DE ＝12BC ＝BE ＝2， ∴∠BDE ＝∠CBD ＝30°， ∵对角线BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BDE ， ∴DE ∥AB ， ∴BDE AB DFF =，在Rt △ABD 中，∠ABD ＝30°，∴AD ＝12BD ＝3， ∴AB ＝22BD AD -＝3，∴23DF FB =，即2332BF BF =-，解得，BF ＝63 故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理、角平分线的性质、直角三角形30度角的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．7．B解析：B【分析】过点F 作FG//BC 交AE 于点G ，证明DFG DBE ∆∆可得FG BE =，再由//FG BC 可证得13BE GF AF CE CE AC ===，故可得结论．【详解】解：过点F 作FG//BC 交AE 于点G∵D 是BF 的中点，∴DB DF =∵//FG BC∴DFG DBE ∆∆∴1FG DF BE DB== ∴FG BE =又∵//FG BC∴F CEC G AF A = ∵CF 2AF =∴3AC AF = ∴13BE GF AF CE CE AC === 故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．8．A解析：A【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．【详解】解：∵对应高之比是1：2，∴相似比=1：2，∴对应周长之比是1：2．故选：A ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．9．B解析：B【分析】如图，证明△ABE ∽△ACD ，根据相似三角形的性质列式求解即可．【详解】解：如图，根据题意得，△ABE ∽△ACD ，∴AB BE AC CD= ∵AB=10m ，BE=1.6m ，CD=9.6m∴10 1.6=9.6AC ∴AC=60m ∴BC=AC-AB=60-10=50m故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 10．D解析：D【分析】根据题意证明DEFBAF ，再利用相似比得到面积比．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//CD AB ，CD AB =，∵:5:2DE EC =，∴:5:7DE DC =，∴:5:7DE AB =， ∵DEF BAF ， ∴22::25:49DEF BAF S S DE AB ==．故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形相似比和面积比的关系． 11．D解析：D【分析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例．【详解】∵∠DAC=∠CAB∴当∠ACD=∠ABC 或∠ADC=∠ACB 或AD ：AC=AC ：AB 时，△ABC ∽△ACD ．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定方法的开放性的题，相似三角形的判定方法：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．12．B解析：B【分析】根据位似变换的概念得到△A 1OB 1∽△A 2OB 2，△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：∵△A 1OB 1与△A 2OB 2位似，∴△A 1OB 1∽△A 2OB 2，∵△A 1OB 1与△A 2OB 2的周长之比为1：2，∴△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，∵A 1的坐标为（-1，2），△A 1OB 1与△A 2OB 2在原点O 的两侧，∴点A 1的对应点A 2的坐标为（2，-4），故选：B ．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．二、填空题13．3【分析】根据∠BEO=∠CDO=90°可证同理可证从而得出答案；【详解】是的高又∵综上与相似的三角形有3个故答案为：3【点睛】本题考查了相似三角形的判定解题的关键是找出两个对应角相等即可；解析：3【分析】根据∠BEO=∠CDO=90°，BOE COD ∠=∠可证BOE COD ∽△△，同理可证BOE CAE ∽△△，BOE BAD ∽△△，从而得出答案；【详解】 BD ，CE 是ABC 的高，90BEO CEA BDC BDA ∴∠=∠=∠=∠=︒，BEO CDO ∠=∠，BOE COD ∠=∠，BOE COD ∴∽△△，90EBO A ∠+∠=︒，90ACE A ∠+∠=︒，EBO ECA ∴∠=∠，又∵BEO CEA ∠=∠，BOE CAE ∴∽△△，BEO BDA ∠=∠，∠=∠OBE ABD ，BOE BAD ∴∽△△，综上与BOE △相似的三角形有3个．故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是找出两个对应角相等即可；14．09【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可【详解】解：∵∴即：∴DE=09cm 故答案为：09【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理熟练运用定理是解答此题的关键解析：0.9【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵////AF BE CD，∴AB EFBC DE即：2 1.8 =1DE∴DE=0.9cm故答案为：0.9【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用定理是解答此题的关键15．3【分析】连接AP并延长交BC于G由重心的性质得AP：PG=2：1由DE//BC根据平行线分线段成比例定理可得AD：DC=AP：PG=2：1于是CD：AC=1：3再由DF//AB得出△DFC∽△AB解析：3【分析】连接AP并延长交BC于G．由重心的性质得，AP：PG=2：1．由DE//BC，根据平行线分线段成比例定理可得AD：DC=AP：PG=2：1，于是CD：AC=1：3．再由DF//AB，得出△DFC∽△ABC，根据相似三角形的性质得出S△DFC：S△ABC=1：9．【详解】解：连接AP并延长交BC于G．由重心的性质得，AP：PG=2：1．∵DE//BC，∴AD：DC=AP：PG=2：1，∴CD：AC=1：3．∵DF//AB，∴△DFC∽△ABC，∴S△DFC：S△ABC=1：9，∴S△DFC=19×S△ABC=3cm2．故答案为：3．【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．16．12【分析】利用AAS 判定△FEB ≌△FAD 得BF=DF 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△BFG ∽△EFB 根据相似三角形的对应边成比例即可得到BF2=FG•EF 由条件可求出EF 长则GE 长可解析：12【分析】利用AAS 判定△FEB ≌△FAD ，得BF=DF ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可得到△BFG ∽△EFB ，根据相似三角形的对应边成比例即可得到BF 2=FG•EF ，由条件可求出EF 长，则GE 长可求出．【详解】解：∵AD//BE ，∴∠1=∠E ．在△FEB 和△FAD 中1E EFB AFD BE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FEB ≌△FAD ；∴BF=DF ，∵∠1=∠E ，∠1=∠2，∴∠2=∠E ．又∵∠GFB=∠BFE ，∴△BFG ∽△EFB ， ∴BF FG EF BF=， ∴BF 2=FG•EF ，∴DF 2=FG•EF ，∵DF=8，FG=4，∴EF=16，∴GE=EF-FG=16-4=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了三角形全等、相似的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定及相似三角形的判定是关键．17．【分析】先根据相似三角形的判定与性质可得从而可得AE 的长再根据线段的和差即可得【详解】解得则故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键解析：163【分析】先根据相似三角形的判定与性质可得AD AE AB AC=，从而可得AE 的长，再根据线段的和差即可得．【详解】 //DE BC ，ADEABC ∴， AD AE AB AC∴=， 9AB =，8AC =，3AD =，398AE ∴=，解得83AE =，则816833EC AC AE =-=-=，故答案为：163．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 18．【分析】由圆周角定理可知再由可证明最后根据相似三角形对应边成比例及已知条件BC ：CA ＝4：3结合三角形面积公式解题即可【详解】为直径又BC ：CA ＝4：3当点P 在弧AB 上运动时当PC 最大时取得最大值而解析：503【分析】由圆周角定理可知A P ∠=∠，再由90ACB PCD ∠=∠=︒可证明~ACB PDC ，最后根据相似三角形对应边成比例，及已知条件BC ：CA ＝4：3，结合三角形面积公式解题即可．【详解】 AB 为直径，90ACB ∴∠=︒PC CD ⊥，90PCD ∴∠=︒又CAB CPD ∠=∠~ACB PDC ∴AC BC CP CD∴=BC ：CA ＝4：3，43CD PC ∴= 当点P 在弧AB 上运动时， 12PCD S PC CD =⋅△ 2142233PCD S PC PC PC ∴=⨯⋅= 当PC 最大时，PCD S 取得最大值而当PC 为直径时最大，22505=33PCD S ∴=⨯．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形面积、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19．18【分析】根据平行四边形的性质可得BC ∥AD 进而可判定△ADF ∽△EBF 然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△AFD 的面积【详解】解：∵ABCD 是平行四边形∴AD ∥BCAD ＝BC ∴△A解析：18【分析】根据平行四边形的性质可得BC ∥AD ，进而可判定△ADF ∽△EBF ，然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△AFD 的面积．【详解】解：∵ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴△ADF ∽△EBF ，∵EC ＝2BE ，∴BC ＝3BE ，即AD ＝3BE ，∴S △AFD ＝9S △EFB ＝18．故答案为：18．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．20．16【分析】先根据重心性质得再证明最后根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵P 为△ABC 重心∴∵∴∴∴故答案为16【点睛】本题考查了三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质重心到顶点的距离与重解析：16【分析】先根据重心性质得223AP AP PD AD ==，，再证明AEF ABC ∽，最后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵P 为△ABC 重心， ∴223AP AP PD AD ==， ∵//EF BC∴AEF ABC ∽ ∴23AE AF AB AC == ∴22()163AEF ABC S S ==△△ 故答案为16．【点睛】本题考查了三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答本题的关键．三、解答题21．（1）①BG DE =，BG DE ⊥．②BG DE =，BG DE ⊥仍然成立．详见解析；（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立，详见解析；（3）654．【分析】（1）①利用正方形的性质，证明BCG DCE ≌△△，利用全等三角形的性质可得：BG=DE ，∠CBG=∠CDE ，再证明：∠EDC+∠DGO=90°，从而可得结论；②同①，先证明：BCG DCE ≌△△，利用全等三角形的性质可得：BG DE =，CBG CDE ∠=∠，再证明：90CDE DHO ∠+∠=︒，从而可得结论；（2）利用矩形的性质，证明BCG DCE △∽△，可得：CBG CDE ∠=∠，再证明90CDE DHO ∠+∠=︒，从而可得结论；（3）连接,,BD GE 利用BG DE ⊥，结合勾股定理证明：2222BE DG BD GE +=+，再把3a =，2b =，12k =代入，即可得到答案．【详解】解：（1）①BG DE =，BG DE ⊥．理由如下：如图1，延长BG 交DE 于O ，∵四边形ABCD 、CGFE 是正方形，∴BC=CD=AB ，CG=CE ，∠BCD=∠ECD=90°， ∵在BCG 和DCE 中BC CD BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCG DCE ≌△△，∴BG=DE ，∠CBG=∠CDE ，∵∠CBG+∠BGC=90°，又∵∠DGO=∠BGC ，∴∠EDC+∠DGO=90°，∴∠DOG=1809090︒-︒=︒，∴BG ⊥DE ，即BG=DE ，BG ⊥DE ；②BG DE =，BG DE ⊥仍然成立．如图2，∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是正方形，∴BC CD =，CG CE =，90BCD ECG ∠=∠=︒， ∴BCG DCE ∠=∠，∵在BCG 与DCE 中，,BC CD BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCG DCE ≌△△，∴BG DE =，CBG CDE ∠=∠，又∵BHC DHO ∠=∠，90CBG BHC ∠+∠=︒， ∴90CDE DHO ∠+∠=︒，∴90DOH ∠=︒，∴BG DE ⊥．（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立．如图5，∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，且AB CD a ==，BC b =，CG kb =，(),0CE ka a b k =≠>， ∴BC CG b DC CE a==，90BCD ECG ∠=∠=︒， ∴BCG DCE ∠=∠， ∴BCG DCE △∽△，∴CBG CDE ∠=∠，又∵BHC DHO ∠=∠，90CBG BHC ∠+∠=︒，∴90CDE DHO ∠+∠=︒，∴90DOH ∠=︒，∴BG DE ⊥．显然：.BG DE ≠（3）如图5，连接,,BD GE∵BG DE ⊥，∴222OB OD BD +=，222OE OG GE +=，222OB OE BE +=，222OG OD DG += ∴22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+，又∵3a =，2b =，12k =，CE ka =，CG kb =， 2222222211323321222BD GE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， ∴22222236523124BD GE ⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭，∴22654BE DG +=．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．22．（1）4；（2）画图见解析；（3）画图见解析．【分析】（1）直接利用三角形面积求法进而得出答案；（2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用位似变换得出对应点位置进而得出答案．【详解】（1）12442ABC S=⨯⨯=，故答案为：4．（2）如图所示111A B C △，即为所求．（3）如图所示222A B C △，即为所求．【点睛】此题主要考查了位似变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．23．（1）画图见解析，()12,4A ；（2）画图见解析，()23,6A．【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点，再写出点A 1的坐标即可；（2）延长MA 1到A 2使MA 2=2MA 1，延长MB 1到B 2使MB 2=2MB 1，延长MC 1到C 2使MC 2=2MC 1，从而得到△A 2B 2C 2，再写出点A 2的坐标．【详解】（1）∵()2,2A -，()3,4B -，()6,3C -，∴()12,26A -+，()13,46B -+，()16,36C -+，即()12,4A ，()13,2B ，()16,3C ，描点、顺次连接点1A ，1B ，1C 即可得111A B C △，如图所示：（2）由题意得：()2221,422A ⨯-⨯-，()2321,222B ⨯-⨯-，()2621,321C ⨯-⨯-，即()23,6A ，()25,2B ，()211,4C ，描点、顺次连接点2A ，2B ，2C 即可得222A B C △，如图所示．【点睛】本题考查了作图-位似变换：掌握画位似图形的一般步骤为（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．也考查了平移变换． 24．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）连接PQ,AB 交点即为所求；（2）找到F 点关于CD 的对称点F’，连接CD,EF’，交点即为所求．【详解】（1）如图，M 点为所求；（2）如图，N 点为所求．【点睛】此题主要考查网格中作图，解题的关键是熟知熟知网格的特点、对称性、全等三角形与相似三角形的判定方法．25．（1）43；（2）7 【分析】（1）根据线段比例中项的定义即可得；（2）根据已知比例式、平方差公式、算术平方根求解即可得．【详解】（1）由题意得：a c b a=，即2a bc =，将2,3a b ==代入得：223c =，解得43c =；（2）由()()2:11:3a a +=-得：()()1123a a +-=⨯，整理得：216a -=，即27a =，解得7a =【点睛】本题考查了比例线段、平方差公式、算术平方根等知识点，熟练掌握比例线段的定义是解题关键．26．（1）23AE AC =；（2）27．【分析】（1）如图，连接FC 、AD ．易证FC 是△ADB 的中位线，则FC ∥AD ，且FC=12AD ；然后由“平行法”证得△EFC ∽△EDA ，则该相似三角形的对应边成比例：AE AD CE FC ==2，所以由比例的性质可以求得AE AC的值；（2）利用（1）中的比例式，把12AB=FB=EC=9代入，即可求得AC 的长度．【详解】解：（1）如图，连接FC 、AD ．∵点F 是AB 的中点，CD=BC ，∴FC 是△ADB 的中位线，∴FC ∥AD ，且FC=12AD ． ∴△EFC ∽△EDA ， ∴AE AD CE FC==2， ∴1233AC AC AE AC EC AC AC AC --===；（2）∵点F 是AB 的中点，AB=18，FB=EC ，∴EC=12AB=9．由（1）知，2AE CE =，则29AE =，故AE=18， ∴AC=AE+EC=18+9=27．【点晴】本题考查了相似三角形的判定与性质．此类题要注意作平行线，能够根据相似三角形对应边成比例即可求得线段的比,正确作出辅助线是解题的关键．。

新人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》测试题(含答案解析)

一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90⁰，34 BCAB=，D是AB边上一点，过D作DE⊥AB交AC于点E，过D作DF∥AC交BC于点F，连接BE交DF于H．若DH=DE，则DEHFBHSS∆∆为（）A．23B．34C．49D．9162．如图，在ABC中，//DE BC，6AD=，3DB=，4AE=，则AC的长为（）A．1 B．2 C．4 D．63．有下列四种说法：其中说法正确的有（）①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似．A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，光源到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（）A．21cm B．14cm C．6cm D．24cm5．如图，在ABC，AB AC a==，点D是边BC上的一点，且BD a=，1AD DC==，则a等于（）A ．512+B ．51-C ．1D ．2 6．如图，△ABC 、△FGH 中，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，F 点在DE 上，G 、H 两点在BC 上，且DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，若BG ：GH ：HC=4：6：5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？（）A ．2：1B ．3：2C ．5：2D ．9：4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案7．如图，已知在ABC ∆中，点D 、E 分别是AB 和AC 的中点，BE 、CD 相交于点O ，若2DOE S ∆=，则BOC S ∆=（）A ．4B ．6C ．8D ．108．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且51AB =，则AP 的长为（）． A ．2 B 51 C ．251D ．359．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，延长至点G ，连接BG ，过点A 作AF ⊥BG ，垂足为F ，AF 交CD 于点E ，则下列错误的是（）A ．AD AC AC AB = B ．AD CD CD BD =C ．DE CD CD DG = D ．EG BD EF BG = 10．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为72,63︒︒，则另一个三角形的最小内角为（）A ．72︒B ．63︒C ．45︒D ．不能确定 11．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接AE 交BD 于点F ，若1OF =，则BD 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．812．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，12AD BD =，则AE EC=（）A ．13B ．12C ．23D ．32二、填空题13．如图，点D 是ABC 的边AB 上的一点，//DE BC 交AC 于点E ，作//DF AC 交BC 于点F ，分别记ADE ，BDF ，平行四边形DFCE ，ABC 的面积为1S ，2S ，3S ，S 有以下结论：①若12S S ，则DE 为ABC 的中位线；②若13S S =，则23BC DE =；③()212S S S =+； ④3122S S S =．其中正确的是______．（把所有正确结论的序号都填上）14．如图，已知点M 是△ABC 的重心，AB ＝123，MN ∥AB ，则MN ＝__________15．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A ，在近岸取点D ，B ，使得A ，D ，B 在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得10m BD =，然后又在垂直AB 的直线上取点C ，并量得30m BC =．如果20m DE =，则河宽AD 为_________m ．16．如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB 、AC 于点E ，G ，连接GF ，下列结论中正确的是__________．（填序号）①67.5AGE ∠=︒；②四边形AEFG 是菱形；③2BE OF =；④:21DOG OGEF S S =四边形:△．17．如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，D 是边AB 上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ，若△A ′EC 是直角三角形，则AD 长为_____．18．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，//CD AB ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点E ，若10AB =，6BC =，则AE =_______．19．如图，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，EC//AB ，EB//DC ，若△ABE 面积为5 ， △ECD 的面积为1，则△BCE 的面积是________．20．若25x y =，则x y y+=____________．三、解答题21．如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C ，D 不重合），以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连接BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG ．线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4－6）且AB a ，BC b =，CE ka =，(),0CG kb a b k =≠>，第（1）题①中得到C 的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；（3）在第（2）题图5中，连接DG 、BE ，且3a =，2b =，12k =，求22BE DG +的值．22．如果一条线段可以将一个三角形分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个三角形与原三角形相似，我们把这样的三角形叫做完美三角形，这条线段叫做这个完美三角形的完美分割线．（1）根据完美三角形的定义，老陆、栋栋、勇士分别提出如下命题：①等腰直角三角形是完美三角形； ②含30°的直角三角形是完美三角形；③等边三角形不是完美三角形．在上述三个命题中，是真命题的为______．（填序号）（2）如图1，在ABC 中，CD 为角平分线，40A ∠=︒，60B ∠=︒．求证：CD 为ABC 的完美分割线．（3）如图2，在ABC 中，5AB =，6BC =，4AC =．求证：ABC 是完美三角形．23．如图，在ABC 中，BA BC =，以AB 为直径的O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，BC 的延长线与O 的切线AF 交于点F ．（1）求证：2ABC CAF ∠=∠；（2）若210AC =，:1:4CE EB =，求AF 的长．24．如图1，点()8,1A 、(),8B n 都在反比例函数()0m y x x=>的图象上，过点A 作AC x ⊥轴于C ，过点B 作BD y ⊥轴于D ．（1）求m 的值和直线AB 的函数关系式；（2）动点P 从O 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段OD 向点D 运动，同时动点Q 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OC 向C 点运动，当动点P 运动到点D 时，点Q 也停止运动，设运动的时间为t 秒．如图2，当点P 运动时，如果作OPQ △关于直线PQ 的对称图形'O PQ △，是否存在某时刻t ，使得点'O 恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求'O 的坐标和t 的值﹔若不存在，请说明理由．25．如图，在等边ABC ∆中，点D 是边AC 上一动点（不与点,A C 重合），连接BD ，作AH BD ⊥于点H ，将线段AH 绕点A 逆时针旋转60︒至线段AE ，连接CE （1）①补全图形；②判断线段BH 与线段CE 的数量关系，并证明；（2）已知4AB =，点M 在边AB 上，且1BM=，作直线HE ． ①是否存在一个定点P ，使得对于任意的点D ，点P 总在直线HE 上，若存在，请指出点P 的位置，若不存在，请说明理由；②直接写出点M 到直线HE 的距离的最大值．26．()1如图1，四边形ABCD 和BEFG 都是正方形，将正方形BEFG 绕点B 按顺时针方向旋转，记旋转角为,a 则图中AG 与CE 的数量关系是__ ，AG 与CE 的位置关系是_ _ ；()2如图2，四边形ABCD和BEFG都是矩形，且2,2BC AB BE BG==，将矩形BEFG 绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为,a图中AG与CE的数量和位置关系分别是什么?请仅就图2的情况给出证明；参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】易证DE∥BC，可得34BC DEAB AD==，因为DH=DE，得35DE DHAE AE==，又因为DF∥AC，所以35BH DHBE AE==，所以32BHHE=，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得．【详解】∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠B=90°，∴∠ADE=∠B，∴DE ∥BC ∴34BC DE AB AD ==，△DEH ∽△FBH ∴35DE AE = 又∵DH=DE ∴35DE DH AE AE == ∵DF ∥AC ∴35BH DH BE AE == ∴32BH HE = ∴4=9DEH FBH S S ∆∆ 故选C【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．2．D解析：D【分析】根据平行线分线段成比例求出EC ，即可解答．【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DB EC =，即643EC=，解得：EC=2，∴AC=AE+EC=4+2=6；故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理． 3．D解析：D【分析】直接利用相似图形的判定方法分别判断得出答案．【详解】解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；④两个正方形相似，正确．故选：D ．【点睛】本题考查了相似多边形的判定，正确掌握判定方法是解题的关键．4．A解析：A【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答即可．【详解】解：如图所示，∵DE ∥BC ，∴△AED ∽△ABC ， ∴AE DE AC BC=，设屏幕上的图形高是x cm ，则30790x=，解得：x=21．答：屏幕上图形的高度为21cm ，故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．5．A解析：A【分析】证明△ABC ∽△DAC 得AB BC DA AC =，然后列方程求解即可．【详解】解：∵AB AC a ==，∴∠B=∠C又∵1AD DC ==，∴∠C=∠DAC∴△ABC ∽△DAC∴AB BC DA AC= ∴11a a a +=解得，12a +=或152a （舍去）故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．D解析：D【解析】分析：只要证明△ADE ∽△FGH ，可得2⎛⎫= ⎪⎝⎭△△FGH ADE S DE S GH ，由此即可解决问题. 详解：∵BG ：GH ：HC=4：6：5，可以假设BG=4k ，GH=6k ，HC=5k ，∵DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，∴四边形BGFD 是平行四边形，四边形EFHC 是平行四边形，∴DF=BG=4k ，EF=HC=5k ，DE=DF+EF=9k ，∠FGH=∠B=∠ADE ，∠FHG=∠C=∠AED ， ∴△ADE ∽△FGH ，∴2299=64ADE FGH S DE k S GH k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．点睛：本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．7．C解析：C【分析】根据三角形中位线定理得到DE=12BC ，DE ∥BC ，得到△DOE ∽△COB ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】 ∵D 、E 分别是AB 和AC 的中点， ∴12DE BC =，//DE BC ， ∴DOE COB ∆∆∽，∴2DOE COB S DE S BC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即BOC214S ∆=，解得，8BOC S ∆=，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．C解析：C【分析】若点P 是靠近点B 的黄金分割点，则12AP AB =，然后代入数据计算即可；若点P 是靠近点A 的黄金分割点，先求出BP ，再利用线段的和差即可求出AP ．【详解】解：若P 是靠近点B 的黄金分割点，则)111222AP AB ==⨯=；若P 是靠近点A 的黄金分割点，则)12BP AB ===，∴121AP AB BP =-=-=；故选：C ．【点睛】是解题的关键． 9．D解析：D【分析】通过证明△ACD ∽△ABC ，可得AD AC AC AB =，通过证明△ACD ∽△CBD ，可得AD CD CD BD =，通过△ADE ∽△GDB ，△ACD ∽△CBD ，可得DE CD CD DG=，通过证明△GEF ∽△GBD ，可得=EG BG EF BD，即可求解．【详解】解：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴∠BCD +∠ABC ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ABC ，又∵∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∴△ACD ∽△ABC ， ∴AD AC AC AB=，故A 选项不合题意；∵∠ACD ＝∠ABC ，∠ADC ＝∠BDC ，∴△ACD ∽△CBD ， ∴AD CD CD BD= 故B 选项不合题意；∵AF ⊥BG ，∴∠AFB ＝90°，∴∠FAB +∠GBA ＝90°，∵∠GDB ＝90°，∴∠G +∠GBA ＝90°，∴∠G ＝∠FAB ，又∵∠ADE ＝∠GDB ＝90°，∴△ADE ∽△GDB ， ∴=AD DE GD BD， ∴AD •BD ＝DE •DG ，∵△ACD ∽△CBD ， ∴=AD CD CD BD， ∴CD 2＝AD •BD ，∴CD 2＝DE •DG ， ∴DE CD CD DG=，故C 选项不合题意；∵∠G ＝∠G ，∠EFG ＝∠GDB ＝90°，∴△GEF ∽△GBD ， ∴=EG BG EF BD故D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法及其性质．10．C解析：C根据相似三角形的性质、三角形的内角和定理可得出另一个三角形的三个内角度数，由此即可得．【详解】由相似三角形的性质得：另一个三角形的两个内角分别为72,63︒︒，则另一个三角形的第三个内角为180726345︒-︒-︒=︒，因此，另一个三角形的最小内角为45︒，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．11．B解析：B【分析】根据平行四边形的性质知AD=2BE ，BC ∥AD ，BO=OD ，设BF=a ，得DF=a+2，由BC ∥AD 知△BEF ∽△DAF ，据此得=BF DF 12=BE DA ,得出BF 的长，从而得出BD 的长．【详解】解：∵点E 是BC 中点，∴BC=2BE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD ，BC ∥AD ，BO=OD ，∴AD=2BE ，设BF=a ，∵OF=1，∴BO=DO=a+1，则DF=a+2，∵BC ∥AD∴△BEF ∽△DAF ， 12∴==BF BE DF DA ∴1,22=+a a 解得a=2，经检验a=2是原方程的解∴BF=2，∴BO=DO=3，∴BD=6故选：B ．本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质．12．B解析：B【分析】直接利用平行线分线段成比例定理得出答案即可．【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴AE EC =12AD BD =．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答此题的关键．二、填空题13．①②③④【分析】①根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AD=BD 求出AE=CE 即可得出答案；②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AM=2MN 即可得出答案；③由平行线可得对应线段成比例再解析：①②③④【分析】①根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AD=BD ，求出AE=CE ，即可得出答案； ②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AM=2MN ，即可得出答案； ③由平行线可得对应线段成比例，再由相似三角形的面积比等于对应边的平方比，进而代入求解即可；④先判断出△BFD ∽△DEA ，然后根据面积比等于相似比的平方得出△ABC 的面积，进而根据S 3=S ABC -S ADE -S DBF 可得出答案【详解】解：①、∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴△ADE ∽△ABC ，△BDF ∽△BAC ，∵S 1=S 2，22()()∴=AD BD AB AB∴AD=BD ，∵DE ∥BC ，∴AE=EC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴①正确；②、过A 作AN ⊥BC 于N ，交DE 于M ，∵DE ∥BC ，∴AN ⊥DE ，∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴四边形DECF 是平行四边形，∴DE=CF ，∵S 1=S 3，12∴⨯⨯=⨯DE AM CF MN ∴AM=2MN ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∥△ABC ，2223∴===+DE AM MN BC AN MN MN ∴2BC=3DE ，∴②正确；③、∵DE ∥BC ，DF ∥AC∴四边形DECF 是平行四边形，∴DE=CF ，DF=CE ，∵相似三角形的面积比等于对应边的平方比，12==S S AD BD AB AB S S 121+=+=S S AD BD AB ABS S 12S S S =∴212S S S =；∴③正确； ④∵由题意得：△BFD ∽△DEA ，∴可得：21=S BD ADS 21211∴=+s s BD AB S S=x ∵ABC S =S ，22()∴=S BD S AB∴可得122=++S S S S 又∵△ADE 、△DBF 的面积分别为S 1和S 2，32S =--==ABC ADE DBF S S S S ，∴④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了面积及等积变换、相似三角形的性质和判定等，难度适中，对于此类题目要先根据相似得出比例式，然后根据比例的性质得出要求图形的面积表达式，进而得出答案． 14．【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=CM ：CD=2：3由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB 再根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵点M 是△ABC 的重心∴AD=BD=CM ：CD=2：3∵MN解析：【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=12AB =CM ：CD=2：3，由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB ，再根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵点M 是△ABC 的重心，∴AD=BD=12AB =CM ：CD=2：3， ∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CDB ， ∴23MN CM DB CD ==，23=，解得MN =．故答案为：【点睛】本题考查了三角形的重心和相似三角形的性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 15．20【分析】证出ADE 和ABC 相似然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可【详解】解：∵AB⊥DEBC⊥AB∴DE∥BC∴ADE∽ABC∴即解得：AD＝20m故答案为：20【点睛】本题考查了相似三解析：20【分析】证出ADE和ABC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：∵AB⊥DE，BC⊥AB，∴DE∥BC，∴ADE∽ABC，∴AD DEAB BC=，即201030 ADAD=+，解得：AD＝20m．故答案为：20．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．16．①②③【分析】根据正方形的性质菱形的判定等腰直角三角形的性质相似三角形的性质勾股定理一一判断即可【详解】解：如图∵四边形ABCD为正方形∴∠AOB=90°∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°∵折叠正解析：①②③【分析】根据正方形的性质、菱形的判定、等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理一一判断即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOB=90°，∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°，∵折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的F重合，∴∠1=∠2=12∠ODA=22.5°，EA=EF，∠4=∠5，∠EFD=∠EAD=90°，∴∠3=∠GAD+∠1=45°+22.5°=67.5°，即∠AGE=67.5°；故①正确，∵∠4=90°-∠1=67.5°，∴∠3=∠4=∠5，∴AE=AG=EF，AG∥EF，∴四边形AEFG为菱形；故②正确，∴GF∥AB，EF=GF，∴∠6=∠7=45°，∴△BEF和△OGF都是等腰直角三角形，∴，OF，∴；故③正确，设OF=a，则a，a，∴OB=+1）a，∴OD=+1）a，DF=DO+OF=（）a，∵∠DOG=∠DFE=90°，∴△DOG∽△DFE，221(),2DOGDFES DOS DF∆∆∴===∴S△DOG：S四边形OGEF=1：1．故④错误．故答案为①②③【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性质．17．或【分析】先根据勾股定理得到AC＝5再根据平行线分线段成比例得到AD：AE＝AB：AC＝4：5设AD＝x则AE＝A′E＝xEC＝5﹣xA′B＝2x﹣4在Rt△A′BC中根据勾股定理得到A′C再根据△解析：78或258【分析】先根据勾股定理得到AC＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD：AE＝AB：AC＝4：5，设AD＝x，则AE＝A′E＝54x，EC＝5﹣54x，A′B＝2x﹣4，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得到A′C，再根据△A′EC是直角三角形，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解．【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，∴AC＝5，∵DE∥BC，∴AD ：AB ＝AE ：AC ，即AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54x ，A ′B ＝24x ﹣，在Rt △A ′BC 中，A ′C ＝22(24)3x -+，∵△A ′EC 是直角三角形，∴①当A '落在边AB 上时，∠EA ′C ＝90°，∠BA ′C ＝∠ACB ，A ′B ＝3×cot ∠ACB ＝39344⨯=， ∴AD ＝1974248⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②点A 在线段AB 的延长线上（22(24)3x -+）2+（5﹣54x ）2＝（54x ）2，解得x 1＝4（不合题意舍去），x 2＝258．故AD 长为78或258．故答案为：78或258．【点晴】本题考查了勾股定理和平行线等分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键．18．5【分析】首先由勾股定理求出AC 再证明得到进而列方程求解即可【详解】解析：5【分析】首先由勾股定理求出AC ，再证明~ABE CDE ∆∆，得到AB AE CD CE=，进而列方程求解即可．【详解】 90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，8AC ∴==，∴设AE x =，则8CE x =-， BD 平分ABC ∠，ABD DBC ∴∠=∠，又//AB CD ，ABD BDC ∴∠=∠，DBC BDC ∴∠=∠，6BC CD ∴==，//AB CD ，∴~ABE CDE ∆∆，AB AE CD CE∴= 1068x x∴=- 解得5x =，5AE ∴=故答案为：5．【点睛】此题主要考查了相似三角形和判定与性质，熟练掌握并能灵活运用相似三角形和判定与性质定理是解答此题的关键．19．【分析】由EC ∥ABEB ∥DC 可得∠A=∠CED ∠AEB=∠D 证得△ABE 与△ECD 相似由△ABE 的面积为5△CDE 的面积为1可得AB ：CE=：1又由EC ∥AB 可得△ABE 与△BCE 等高然后由等高三【分析】由EC ∥AB ，EB ∥DC ，可得∠A=∠CED ，∠AEB=∠D ，证得△ABE 与△ECD 相似，由△ABE的面积为5，△CDE 的面积为1，可得AB ：1又由EC ∥AB ，可得△ABE 与△BCE 等高，然后由等高三角形的面积比等于对应底的比，求得△BCE 的面积．【详解】∵EC ∥AB ，∴∠A=∠CED ，∵EB ∥DC∴∠AEB=∠D ，∴△ABE ∽△ECD ， ∴22ABE ECD 551S BE AB CD CES ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴AB CE =AB =， ∵△ABE 以AB 为底边的高与△BCE 以CE 为底的高相等，∴ABEBCE SAB S CE ==BCE S ∴==【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方、等高三角形面积的比等于其对应底的比．20．【分析】由根据比例的性质即可求得的值【详解】解：∵∴=故答案为：【点睛】此题考查了比例的性质此题比较简单注意熟记比例变形解析：75【分析】由25x y =，根据比例的性质，即可求得x y y+的值．【详解】解：∵25x y = ∴x y y +=2+57=55．故答案为：75．【点睛】此题考查了比例的性质，此题比较简单，注意熟记比例变形．三、解答题21．（1）①BG DE =，BG DE ⊥．②BG DE =，BG DE ⊥仍然成立．详见解析；（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立，详见解析；（3）654．【分析】（1）①利用正方形的性质，证明BCG DCE ≌△△，利用全等三角形的性质可得：BG=DE ，∠CBG=∠CDE ，再证明：∠EDC+∠DGO=90°，从而可得结论；②同①，先证明：BCG DCE ≌△△，利用全等三角形的性质可得：BG DE =，CBG CDE ∠=∠，再证明：90CDE DHO ∠+∠=︒，从而可得结论；（2）利用矩形的性质，证明BCG DCE △∽△，可得：CBG CDE ∠=∠，再证明90CDE DHO ∠+∠=︒，从而可得结论；（3）连接,,BD GE 利用BG DE ⊥，结合勾股定理证明：2222BE DG BD GE +=+，再把3a =，2b =，12k =代入，即可得到答案．【详解】解：（1）①BG DE =，BG DE ⊥．理由如下：如图1，延长BG 交DE 于O ，∵四边形ABCD 、CGFE 是正方形，∴BC=CD=AB ，CG=CE ，∠BCD=∠ECD=90°，∵在BCG 和DCE 中BC CD BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCG DCE ≌△△，∴BG=DE ，∠CBG=∠CDE ，∵∠CBG+∠BGC=90°，又∵∠DGO=∠BGC ，∴∠EDC+∠DGO=90°，∴∠DOG=1809090︒-︒=︒，∴BG ⊥DE ，即BG=DE ，BG ⊥DE ；②BG DE =，BG DE ⊥仍然成立．如图2，∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是正方形，∴BC CD =，CG CE =，90BCD ECG ∠=∠=︒，∴BCG DCE ∠=∠，∵在BCG 与DCE 中，,BC CD BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCG DCE ≌△△，∴BG DE =，CBG CDE ∠=∠，又∵BHC DHO ∠=∠，90CBG BHC ∠+∠=︒，∴90CDE DHO ∠+∠=︒，∴90DOH ∠=︒，∴BG DE ⊥．（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立．如图5，∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，且AB CD a ==，BC b =，CG kb =，(),0CE ka a b k =≠>， ∴BC CG b DC CE a==，90BCD ECG ∠=∠=︒， ∴BCG DCE ∠=∠， ∴BCG DCE △∽△，∴CBG CDE ∠=∠，又∵BHC DHO ∠=∠，90CBG BHC ∠+∠=︒，∴90CDE DHO ∠+∠=︒，∴90DOH ∠=︒，∴BG DE ⊥．显然：.BG DE ≠（3）如图5，连接,,BD GE∵BG DE ⊥，∴222OB OD BD +=，222OE OG GE +=，222OB OE BE +=，222OG OD DG += ∴22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+，又∵3a =，2b =，12k =，CE ka =，CG kb =， 2222222211323321222BD GE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， ∴22222236523124BD GE ⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭， ∴22654BE DG +=．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．22．（1）①②③（2）证明见解析．（3）证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和完美三角形判定即可求证①；根据含30°的直角三角形的性质、角平分线的性质、完美三角形判定即可求证②；根据等边三角形的性质和完美三角形判定即可求证③；（2）由40A ∠=︒，60B ∠=︒．可得∠ACB ＝80°，继而判定△ABC 不是等腰三角形，△ACD 是等腰三角形，再由△BCD ∽△BAC 即可证明结论；（3）作CAD B ∠=∠，易知△CAD ∽△CBA ，继而根据相似三角形的性质可得CD 、AD 的长，继而判定△ABD 是等腰三角形，继而求证△ABC 是完美三角形．【详解】解：（1）①等腰直角三角形底边的中线将原三角形，分成两个等腰直角三角形，CD ∴为等腰直角ACB △的完美分割线，等腰直角ACB △是完美三角形，故①正确；②在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，60CAB ∠=︒，当AD 平分CAB ∠时，30CAD DAB B ∠=∠=∠=︒，ACD BCA ∴∽，ADB △是等腰三角形，AD ∴是直角ACB △的完美分割线，∴含30°角的直角三角形是完美三角形，故②正确；③一条线段不可能将等边三角形分成一个等边三角形和一个等腰三角形，故等边三角形不可能是完美三角形，故③正确，∴真命题有①②③．（2）40A ∠=︒，60B ∠=︒，80ACB ∴∠=︒∴△ABC 不是等腰三角形，∵CD 平分∠ACB ， 1402ACD BCD ACB ∴∠=∠=∠=︒， 40ACD A ∴∠=∠=︒，∴△ACD 为等腰三角形，40DCB A ∠=∠=︒，CBD ABC ∠=∠，∴△BCD ∽△BAC ，CD ∴是△ABC 的完美分割线．（3）作CAD B ∠=∠，CAD B ∠=∠，C C ∠=∠，CAD CBA ∴∽△△，CA CD AD CB CA AB∴==， 4CA =，6CB =，5AB = 4645CD AD ==，83CD ∴=，103AD =， 810633BD BC CD =-=-=， BD AD ∴=，ABD ∴是等腰三角形，AD ∴是ABC 的完美分割线，ABC ∴是完美三角形．【点睛】本题考查新定义的理解，各类三角形的判断及性质，相似三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是熟练运用所学知识点．23．（1）见解析；（2）152【分析】（1）根据切线性质可知90CAB CAF ∠+∠=︒，所得等式两边同乘2可得22180CAB CAF ∠+∠=︒，在等腰三角形ABC 中，2180CAB ABC ∠+∠=︒，联立两个等式即可证明．（2）连接AE ，设CE x =，根据等腰三角形性质及勾股定理可得3AE x =，在Rt AEC 中运用勾股定理得出CE 、AE 的值，再根据AEF BEA ∽△△计算得出AF 的值．【详解】（1）证明：∵AB 为O 的直径，AF 是O 的切线，∴AF AB ⊥，90CAB CAF ∠+∠=︒，等式两边同乘2可得：22180CAB CAF ∠+∠=︒①；∵BA=BC ，∴CAB ACB ∠=∠,∴在ABC 中，2180CAB ABC ∠+∠=︒②，联立①和②可得：222CAB CAF CAB ABC ∠+∠=∠+∠，∴2ABC CAF ∠=∠．（2）解：连接AE ，如图：∵:1:4CE EB =，BA=BC ，设CE x =，90AEB =︒∠（直径所对圆周角是直角）， ∴在Rt AEB 中，45AB CE EB x x x =+=+=，4BE x =，22=(5)(4)3AE x x x -=，∵在Rt AEC 中，222AE CE AC +=，即()(222321040x x +==，∴解得：2x =，AE=6，AB=10，∵AE ⊥BF ，FAE ABE ∠=∠（弦切角度数等于它所夹弧度所对圆周角度数），∴FAE ABE ∽， ∴FA AB AE BE =，即1068FA =，解得：152FA =．【点睛】本题考查切线性质的综合运用，用勾股定理解三角形，灵活运用切线性质和勾股定理是解题关键．24．（1）直线AB 的解析式为9y x =-+；（2）存在，()'4,2O ，52t =，见解析；【分析】（1）由于点A （8，1）、B （n ，8）都在反比例函数m y x=的图象上，根据反比例函数的意义求出m ，n ，再由待定系数法求出直线AB 的解析式；（2）①由题意知：OP=2t ，OQ=t ，由三角形的面积公式可求出解析式；②通过三角形相似，用t 的代数式表示出O′的坐标，根据反比例函数的意义可求出t 值．【详解】解：（1）∵点()8,1A 、(),8B n 都在反比例函数m y x =的图象上， ∴818=⨯=m ， ∴8y x =， ∴88n=，即1n =．设AB 的解析式为y kx b =+，把()8,1、()1,8B 代入上式得：818k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：19k b =-⎧⎨=⎩． ∴直线AB 的解析式为9y x =-+．（2）存在．当'O 在反比例函数的图象上时，作PE y ⊥轴，'O F x ⊥轴于F ，交PE 于E ，则90E ∠=︒，'2PO PO t ==，'QO QO t ==．由题意知：'PO Q POQ ∠=∠，'90'QO F PO E ∠=︒-∠，'90'EPO PO E ∠=︒-∠，∴''PEO O FQ △△， ∴''''PE EO PO O F QF QO ==，设QF b =，'O F a =，则PE OF t b ==+，'2O E t a =-， ∴22t b t a a b+-==，解得：45a t =，35b t =， ∴84',55O t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当'O 在反比例函数的图象上时，84855t t ⋅=，解得：52t =±， ∵反比例函数的图形在第一象限，∴0t >，∴52t =， ∴()'4,2O ，当52t =秒时，'O 恰好落在反比例函数的图象上．【点睛】本题主要考查了反比例函数的意义，利用图象和待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的意义和能数形结合是解决问题的关键．25．（1）①见解析；②BH CE =，证明见解析；（2）①存在，点P 是边BC 的中点；②3【分析】（1）①按要求画出图形即可；②根据全等三角形对应边相等来回答；（2）①点P 为直线HE 与BC 的交点；②通过△BPM ∽△BAP 问题可解；【详解】（1）①如图； ②BH CE =证明ABH ACE ∆≅∆即可（2）①存在点P 是边BC 的中点，理由：设直线HE 与边BC 交于点P可由60ACB AEP ︒∠=∠=得点,,,A E C P 共圆，因为90AEC ︒∠=，所以90APC ︒∠=，即P 是BC 的中点．②如图，当MP ⊥HE 时，MP 最大，理由：4,2,1AB BP BM ===，BM BP BP AB ∴=，B B ∠∠=，∴△BPM ∽△BAP ，∴∠BMP=∠BPA=90︒ ， 2222213BP BP BP ∴=-=-=【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理和圆的有关知识知识，综合性较强．26．（1）AG=CE ，AG ⊥CE ；（2）CE=2AG ，理由见详解．【分析】（1）根据题意易得AB=CB ，BG=BE ，∠ABC=∠GBE=90°，则有∠ABG=∠CBE ，进而可证△ABG ≌△CBE ，然后问题可证，延长AG 交BC 、CE 与点H 、M ，然后根据三角形全等的性质及直角三角形的性质可求解；（2）由题意易得∠ABG=∠CBE ，则可证△ABG ∽△CBE ，进而问题可得证．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 和BEFG 都是正方形，∴AB=CB ，BG=BE ，∠ABC=∠GBE=90°，∴∠ABG+∠GBC=90°，∠CBE+∠GBC=90°，∴∠ABG=∠CBE ，∴△ABG ≌△CBE （SAS ），∴AG=CE ，延长AG 交BC 、CE 与点H 、M ，如图所示：∴∠GAB=∠ECB ，∵∠GAB+∠AHB=90°，∠AHB=∠CHM ，∴∠ECB+∠CHM=90°，∴AM ⊥CE ，即AG ⊥CE ，故答案为AG=CE ，AG ⊥CE ；（2）CE=2AG ，理由如下：∵四边形ABCD 和BEFG 都是矩形，∴∠ABC=∠GBE=90°，∴∠ABG+∠GBC=90°，∠GBC+∠CBE=90°，∴∠ABG=∠CBE ，∵2,2BC AB BE BG ==，∴△ABG ∽△CBE ， ∴2BC CE AB AG==， ∴CE=2AG ．【点睛】本题主要考查矩形与正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形与正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．。

2023年人教版九年级数学下册第27章《相似》复习检测卷(一)附答案解析

2023年九年级数学下册第27章《相似》复习检测卷（一）考试范围：§27.1图形的相似~27.2相似三角形的判定满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.将△ABC 的每条边都扩大3倍得到△DEF ，其中点A 、B 、C 的对应点分别是D 、E 、F ，则∠D 与∠A 的关系为（）A .∠D ＝∠AB .∠D ＝3∠AC .∠D ＝6∠AD .∠D ＝9∠A2.如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）3.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E ，B 、D 、F ，AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，则DF 的长为（）A .4B .5C .9D .74.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，F 为BC 边上一点，连接AF交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是（）A .AD AEAB CE=B .AC AEGF BD=C .BD CEAD AE=D .AG ACAF CE=5.如图，在正方形网格上有两个三角形，且△ABC 和△DEF 相似，则∠BAC 的度数为（）A .135°B .125°C .115°D .105°6.如图，△ACP ∽△ABC ，若∠A ＝100°，∠ACP ＝20°，则∠ACB 的度数是（）A .80°B .60°C .50°D .30°7.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，则CD 的长为（）A .6B .8C .9D .108.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm 、6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为（）A .3cmB .4cmC .4.5cmD .5cm9.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝3，按照图中的方式将它分成完全相同的三个矩形，如果每一个小矩形都与矩形ABCD 相似，则a 的值为（）第5题第3题第4题第6题第7题第9题第10题A .22B .23C .33D .3210.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上一点，过点E 作EF ⊥AE 交CD 边于点F ，则CF 的最大值是（）A .0.5B .1C .1.5D .2二、填空题(每小题3分，共18分)11.如图，添加一个条件__________________，使△ADE ∽△ACB .12.如图，在□ABCD 中，E 是AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为_________.13.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝3，BC ＝8，则DE 的长为________.14.已知654a b c==，且a ＋b －2c ＝6，则a 的值为_______.15.如图，在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数ky x=(k ＞0)在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ，若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为_______.16.如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 1与l 2之间的距离为2，直线l 2与l 3之间的距离为1，等边△ABC 的三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，则等边三角形的边长是______.三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)如图，四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，∠BCD ＝125°，分别求x 、y 、α的值.18.(8分)如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，AE ⊥BF 于点M ，若BC ＝2AB ，探究AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论.第10题第11题第16题第12题第13题第15题19.(8分)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°.(1)求证：AC2＝AB·AD；(2)若BC＝3，AB＝5，求CD的长.20.(8分)如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，连接BE.(1)请用尺规在BE上求作一点P，使得△PCB∽△ABE(不写作法，保留作图痕迹)；(2)若AE＝3，AB＝4，BC＝6，求EP的长.21.(8分)如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1.(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)作DE∥AB交AC于点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长.22.(10分)在△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，设BD＝x(0＜x＜6)，CE＝y(0＜y＜8).(1)当x＝2，y＝5时，求证：△AED∽△ABC；(2)若△ADE和△ABC相似，求y与x的函数表达式.23.(10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，连接DB.过点A作AE⊥BD于点F，交BC于点E.(1)求证：EB2＝EF・EA；(2)若AB＝4，CE＝3BE，求AE的长.24.(12分)(1)【问题背景】如图1，D是等边△ABC中AB边上的点，以CD为边在CD的上方作等边△CDE，连接AE，求证：BD＝AE；(2)【尝试应用】如图2，D是Rt△ABC中AB边上的一点，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，∠CED＝30°，连接AE，请探究BD与AE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展创新】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，43DE ABCD BC==，DE交AC于F，若AD＝3BD，求AFDF的值.《相似》阶段检测卷(一)考试范围：§27.1图形的相似~27.2相似三角形的判定满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.将△ABC 的每条边都扩大3倍得到△DEF ，其中点A 、B 、C 的对应点分别是D 、E 、F ，则∠D 与∠A 的关系为（）A .∠D ＝∠AB .∠D ＝3∠AC .∠D ＝6∠A D .∠D ＝9∠A【答案】A .详解：依题意，△ABC 与△DEF 的三边成比例，∴△ABC ∽△DEF ，∴∠A ＝∠D ，故选A .2.如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）【答案】C .详解：由两个角分别相等的两个三角形相似，知选项A 和B 中的阴影三角形与原三角形相似，选项D 中，阴影三角形的∠A 的两边分别为4－1＝3，6－4＝2，∵4623=，∠A ＝∠A ，∴选项D 中的阴影三角形与原三角形相似.而选项C 中，不能保证∠B 的两边成比例，故选C .3.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E ，B 、D 、F ，AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，则DF 的长为（）A .4B .5C .9D .7【答案】C .详解：∵a ∥b ∥c ，∴AC BD CE DF =，即8612DF=，解得DF ＝9，故选C . 4.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是（）A .AD AEAB CE=B .AC AEGF BD=C .BD CEAD AE=D .AG ACAF CE=【答案】C .详解：∵DE ∥BC ，∴BD CE AD AE =，故C 对；AD AEAB AC=，故A 错；AG AE ADAF AC AB==，故D 错；选项B 中的4条线段不成比例，故D 错.故选C .5.如图，在正方形网格上有两个三角形，且△ABC 和△DEF 相似，则∠BAC 的度数为（）A .135°B .125°C .115°D .105°【答案】A .详解：∵△ABC 和△DEF 相似，观察角的大小，∠BAC ＝∠DEF ＝90°＋45°＝135°，故选A . 6.如图，△ACP ∽△ABC ，若∠A ＝100°，∠ACP ＝20°，则∠ACB 的度数是（）A .80°B .60°C .50°D .30°【答案】B .详解：在△ACP 中，∵∠A ＝100°，∠ACP ＝20°，∴∠APC ＝60°.∵△ACP ∽△ABC ，∴∠ACB ＝∠APC ＝60°，故选B .7.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，则CD 的长为（）A .6B .8C .9D .10【答案】D .详解：∵EF ∥AB ，∴EF DEAB DA=，∵DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，∴4223AB =+，∴AB ＝10，则CD ＝AB ＝10，故选D .8.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm 、6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为（）A .3cmB .4cmC .4.5cmD .5cm【答案】C .详解：设所求的最长边为xcm ，则592.5x=，解得x ＝4.5，故选C .9.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝3，按照图中的方式将它分成完全相同的三个矩形，如果每一个小矩形都与矩形ABCD 相似，则a 的值为（）A .B .C .D .【答案】C .详解：小矩形的边边分别为13a 和3，∵小矩形与矩形ABCD 相似，∴13a ∶3＝3∶a ，解得a ＝±(舍去负值)，∴a ＝C .10.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上一点，过点E 作EF ⊥AE交CD 边于点F ，则CF 的最大值是（）A .0.5B .1C .1.5D .2【答案】B .详解：∵∠B ＝∠C ＝90°，AE ⊥EF ，可证△ABE ∽△ECF ，∴AB BECE CF=，设BE ＝x ，则CE ＝4－x ，∴44x x CF =-，∴CF ＝14x (4－x )＝－14(x －2)2＋1，当x ＝2时，CF 取得最大值1，故选B .二、填空题(每小题3分，共18分)11.如图，添加一个条件__________________，使△ADE ∽△ACB .【答案】答案不唯一，可以填下列中的一个：∠ADE ＝∠C ，∠AED ＝∠B ，AD AEAC AB=.12.如图，在□ABCD 中，E 是AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则BF ∶FD的值为_________.【答案】2.详解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ＝AD ，BC ∥AD .∵E 为AD 的中点，∴BC ＝AD ＝2DE ，由AD ∥BC ，得△BCF ∽DEF ，∴BF ∶FD ＝BC ∶DE ＝2.13.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝3，BC ＝8，则DE 的长为________.【答案】2.详解：∵DE ∥BC ，∴AD DE AB BC =，即1138DE=+，∴DE ＝2.14.已知654a b c==，且a ＋b －2c ＝6，则a 的值为_______.【答案】12.详解：∵654a b c==，故可设a ＝6x ，b ＝5x ，c ＝4x ，代入a ＋b －2c ＝6，得：6x ＋5x －2(4x )＝6，解得x ＝2，∴a ＝6x ＝12.15.如图，在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数ky x=(k ＞0)在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ，若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为_______.【答案】y ＝2x .详解：设B (t ，k t )，则直线OA 的解析式为y ＝2ktx .∵B 为OA 的中点，∴A (2t ，2k t )，∴D (2t ，2k t )，OC ＝2t ，CD ＝2k t ，CA ＝2kt.∵△OCD ∽△ACO ，∴OC CD AC OC =，∴OC 2＝AC ·CD ，∴4t 2＝2k t ·2k t，∴k 2＝4t 4，∵k ＞0，∴k ＝2t 2，∴直线OA 的解析式为y ＝2x .16.如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 1与l 2之间的距离为2，直线l 2与l 3之间的距离为1，等边△ABC 的三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，则等边三角形的边长是______.【答案】2213.F详解：过C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于D ，过C 作CF ⊥l 1于F ，交l 3于H ，过E 作ED ⊥FC 交延长线于D ，∵∠AFC ＝∠ACE＝∠CDE ＝90°，∴△ACF ∽△CED ，∴DE CD CECF AF AC==，∵△ABC 为等边△，∴CE ，AB ＝BC ＝BE ，则CD AF .依题意，FH ＝FC ＋CH ＝2＋1＝3，由AB ＝BE ，l 1∥l 3∥ED ，得DH ＝FH ＝3，CD ＝4，∴AF CD AC .三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)如图，四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，∠BCD ＝125°，分别求x 、y 、α的值.【答案】∵四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，∴∠C ′＝∠C ＝125°，∴∠α＝360°－80°－75°－125°＝80°，且AD AB BC A D A B B C ==''''''，即45316x y==，解得x ＝20，y ＝12.答：x ＝20，y ＝12，α＝80°.18.(8分)如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，AE ⊥BF 于点M ，若BC ，探究AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论.【答案】BF AE ，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠C ，∵AE ⊥BF ，∴∠AMB ＝∠BAM ＋∠ABM ＝90°，又∵∠ABM ＋∠CBF ＝90°，∴∠BAM ＝∠CBF ，∴△ABE ∽△BCF ，∴AE AB BF BC ==，∴BF AE .19.(8分)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°.(1)求证：AC 2＝AB ·AD ；(2)若BC ＝3，AB ＝5，求CD 的长.【答案】(1)∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC ＝∠CAB .∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD ACAC AB=，∴AC 2＝AB ·AD .(2)在Rt △ABC 中，∵BC ＝3，AB ＝5，由勾股定理，得AC ＝4.∵AC 2＝AB ·AD ，∴42＝5AD ，∴AD ＝165.在Rt △ADC 中，CD 125.20.(8分)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE .(1)请用尺规在BE 上求作一点P ，使得△PCB ∽△ABE(不写作法，保留作图痕迹)；(2)若AE ＝3，AB ＝4，BC ＝6，求EP 的长.【答案】(1)如图所示；(2)由勾股定理，得BE 5，由△PCB ∽△ABE ，得BP BC AE BE =，即635BP =，∴BP ＝185，∴EP ＝BE －BP ＝5－185＝75.21.(8分)如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1.(1)求证：△ABD ∽△CBA ；(2)作DE ∥AB 交AC 于点E ，请直接写出另一个与△ABD 相似的三角形，并求出DE 的长.【答案】(1)∵AB ＝2，BC ＝4，BD ＝1，∴AB BDBC AB=，又∠ABD ＝∠CBA ，∴△ABD ∽△CBA .(2)如图，∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CBA ，∵△ABD ∽△CBA ，∴△CDE ∽△ABD ，∴DE CD BD AB =，即4112DE -=，∴DE ＝1.5.22.(10分)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，点D 、E 分别在AB 、AC 上，连接DE ，设BD ＝x (0＜x ＜6)，CE ＝y (0＜y ＜8).(1)当x ＝2，y ＝5时，求证：△AED ∽△ABC ；(2)若△ADE 和△ABC 相似，求y 与x 的函数表达式.【答案】(1)∵AB ＝6，BD ＝x ＝2，∴AD ＝4.∵AC ＝8，CE ＝y ＝5，∴AE ＝3.∴AD AEAC AB=.又∵∠EAD ＝∠BAC ，∴△AED ∽△ABC .(2)分两种情况，1°当△ADE ∽△ABC 时，AD AE AB AC =，则6868x y --=，∴y ＝43x (0＜x ＜6).2°当△ADE ∽△ACB 时，AD AE AC AB =，则6886x y --=，∴y ＝34x ＋72(0＜x ＜6).23.(10分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是斜边AC 的中点，连接DB .过点A 作AE ⊥BD 于点F ，交BC 于点E .(1)求证：EB 2＝EF ・EA ；(2)若AB ＝4，CE ＝3BE ，求AE 的长.【答案】(1)∵AE ⊥BD ，∴∠BFE ＝90°＝∠ABC .又∵∠BEF ＝∠AEB ，∴△EBF ∽△EAB ，∴BE EFAE BE=，∴EB 2＝EF ・EA .(2)在Rt △ABC 中，∵D 为斜边AC 的中点，∴BD ＝CD ，∴∠DBC ＝∠C .由(1)，得△EBF∽△EAB，∴∠EBF＝∠EAB，∴∠C＝∠EAB.又∠ABE＝∠CBA，∴△BAE∽△BCA，∴AB BEBC AB=，∴AB2＝BE·BC.∵AB＝4，CE＝3BE，∴BC＝4BE，42＝BE(4BE)，∴BE＝2.∴AE＝.24.(12分)(1)【问题背景】如图1，D是等边△ABC中AB边上的点，以CD为边在CD的上方作等边△CDE，连接AE，求证：BD＝AE；(2)【尝试应用】如图2，D是Rt△ABC中AB边上的一点，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，∠CED＝30°，连接AE，请探究BD与AE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展创新】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，43DE ABCD BC==，DE交AC于F，若AD＝3BD，求AFDF的值.【答案】(1)∵△ABC与△CDE均为等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴BD＝AE.(2)AE＝2BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DEC＝30°，∠B＝∠EDC＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴BC AC CD CE=.由条件得∠ACB＝∠DCE，AC＝2BC，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴12BD BCAE AC==，∴AE＝2BD.(3)由(2)得，△BCD∽△ACE，∴AE ACBD BC=，∵43DE ABCD BC==，∴53ACBC=，∴53AE ACBD BC==设BD＝a，则AD＝3BD＝3a，AB＝4a，BC＝3a，CDa，AE＝53BD＝53a.∵△AFE∽△DFC ，∴53aAF AEDF CD=.。

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专项训练七相似一、选择题1．两个相似三角形的面积比为1∶4，则它们的相似比为( ) A ．1∶4 B ．1∶2 C ．1∶16 D ．无法确定2．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2AD ，DE ∥BC 交AC 于点E ，若线段DE ＝5，则线段BC 的长为( )A ．7.5B ．10C ．15D ．20第2题图第3题图第4题图3．如图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是( )A ．∠ABD ＝∠ACB B ．∠ADB ＝∠ABC C ．AB 2＝AD ·AC D.AD AB ＝ABBC4．如图，为估算学校旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB 由A 向B 走去，当她走到点C 处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC ＝2m ，BC ＝8m ，则旗杆的高度是( )A ．6.4mB ．7mC ．8mD ．9m5．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C (1，2)、D (2，0)，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 的坐标为(5，0)，则点A 的坐标为( )A ．(2，5)B ．(2.5，5)C ．(3，5)D ．(3，6)第5题图第6题图第7题图第8题图6．(舟山中考)如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( )A. 5B.136 C ．1 D.567．(丽水中考)如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，点D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( )A ．3B ．2C ．1D ．1.2 8．★若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1是相似扇形，且半径OA ∶O 1A 1＝k (k 为不等于0的常数)．那么下面四个结论：①∠AOB＝∠A 1O 1B 1；②△AOB ∽△A 1O 1B 1；③ABA 1B 1＝k ；④扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1的面积之比为k 2.成立的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 9．(衡阳中考)若△ABC 与△DEF 相似且面积之比为25∶16，则△ABC 与△DEF 的周长之比为________．10．如图，直线l 1、l 2、…、l 6是一组等距的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3、l 6相交于点B 、E 、C 、F .若BC ＝2，则EF 的长是________．第10题图第11题图11．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AODO 等于________．12．(龙东中考)平行四边形ABCD 中，点E 在直线AD 上，AE ＝13AD ，连接CE 交BD 于点F ，则EF ∶FC 的值是________．三、解答题13．如图，在8×8的正方形网格中，△CAB 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：AC ＝________，AB ＝________；(2)判断△CAB 和△DEF 是否相似，并说明理由．14．如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯灯柱BC 的高度．15．如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点．(1)求证：P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)若P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．16．★(南充中考)已知正方形ABCD 的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M 在AB 上，且满足△PBC ∽△P AM ，延长BP 交AD 于点N ，连接CM .(1)如图a ，若点M 在线段AB 上，求证：AP ⊥BN ，AM ＝AN ；(2)①如图b ，在点P 运动过程中，满足△PBC ∽△P AM 的点M 在AB 的延长线上时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 是否成立？(不需说明理由)②是否存在满足条件的点P ，使得PC ＝12？请说明理由．参考答案与解析1．B 2.C 3.D 4.C 5.B6．D 解析：过F 作FH ⊥AE 于H .∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD .∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF ＝CE ，∴DE ＝BF ，∴AF ＝3－DE .∵∠FHA ＝∠D ＝∠DAF＝90°，∴∠AFH ＋∠HAF ＝∠DAE ＋∠F AH ＝90°，∴∠DAE ＝∠AFH ，∴△ADE ∽△FHA ，∴AEAF＝AD FH ，∴AE ＝AF .∵AE ＝4＋DE 2，∴4＋DE 2＝3－DE ，∴DE ＝56. 7．C 解析：∵等腰Rt △ABC 中BC ＝4，AB 为⊙O 的直径，∴AC ＝4，AB ＝42，∠D ＝90°.在Rt △ABD 中，∵AD ＝45，AB ＝42，∴BD ＝285.∵∠D ＝∠C ，∠DAC ＝∠CBE ，∴△ADE ∽△BCE .∵AD ∶BC ＝45∶4＝1∶5，∴△ADE 和△BCE 的相似比为1∶5.设AE ＝x ，∴BE＝5x ，∴DE ＝285－5x ，∴CE ＝28－25x .∵AC ＝4，∴x ＋28－25x ＝4，解得x ＝1.8．D 解析：由扇形相似的定义可得n πr 180n 1πr 1180＝rr 1，所以n ＝n 1，故①正确；因为∠AOB ＝∠A 1O 1B 1，OA ∶O 1A 1＝k ，所以△AOB ∽△A 1O 1B 1，故②正确；因为△AOB ∽△A 1O 1B 1，所以AB A 1B 1＝OAO 1A 1＝k ，故③正确；由扇形面积公式n360·πr 2可得到④正确．9．5∶4 10.5 11.1212.23或43 解析：∵AE ＝13AD ，∴分两种情况：①当点E 在线段AD 上时，如图①所示．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴△EFD ∽△CFB ，∴EF ∶FC ＝DE ∶BC .∵AE ＝13AD ，∴DE ＝23AD ＝23BC ，∴DE ∶BC ＝2∶3，∴EF ∶FC ＝2∶3；②当点E 在线段DA 的延长线上时，如图②所示．同①得△EFD ∽△CFB ，∴EF ∶FC ＝DE ∶BC .∵AE ＝13AD ，∴DE ＝43AD ＝43BC ，∴DE ∶BC ＝4∶3，∴EF ∶FC ＝4∶3.综上所述，EF ∶FC 的值是23或43.13．解：(1)25 210(2)相似．理由如下：△CAB 与△DEF 均为等腰直角三角形，故相似． 14．解：延长OD ，BC 交于点P .由题意得OB ＝11米，CD ＝2米，∠ODC ＝∠PDC ＝∠B ＝90°，∠BCD ＝120°，∴∠P ＝30°，∴在直角△CPD 中，PD ＝CD ·tan60°＝23米，PC ＝CD ÷sin30°＝4米．∵∠P ＝∠P ，∠PDC ＝∠B ＝90°，∴△PDC ∽△PBO ，∴PD PB ＝CD OB ，∴PB ＝PD ·OB CD ＝23×112＝113(米)，∴BC ＝PB －PC ＝(113－4)米．答：路灯灯柱BC 的高度为(113－4)米．15．(1)证明：连接AD ，BC .∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠P AD ＝∠PCB ，∠PDA ＝∠PBC ，∴△P AD ∽△PCB ，∴P A PC ＝PDPB，∴P A ·PB ＝PC ·PD ；(2)解：连接OD ，作OE ⊥DC ，垂足为E .∵P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，∴PB ＝16，PC ＝2DC ＋2.∵P A ·PB ＝PD ·PC ，∴454×16＝(DC ＋2)(2DC ＋2)，解得DC ＝8或DC ＝－11(舍去)，∴DE＝4.∵OD ＝5，∴OE ＝3，即点O 到PC 的距离为3.16．(1)证明：∵△PBC ∽△P AM ，∴∠PBC ＝∠P AM .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，∴∠PBC ＝∠ANP ，∴∠P AM ＝∠ANP .∵∠P AM ＋∠P AN ＝90°，∴∠ANP ＋∠P AN ＝90°，即AP ⊥BN .∵∠ABP ＝∠NBA ，∠APB ＝∠NAB ＝90°，∴△ABP ∽△NBA ，∴PB AB ＝P A AN ，∴PB P A ＝ABAN.又∵△PBC ∽△P AM ，∴PB P A ＝BC AM ，∴AB AN ＝BCAM.又∵AB ＝BC ，∴AM ＝AN ；(2)解：①点M 在AB 的延长线时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 仍然成立．②选择图b ，以AB 为直径，作半圆O ，连接OC ，OP .∵BC ＝1，OB ＝12，∴OC ＝52.∵AP ⊥BN ，∴点P 一定在以点O 为圆心，半径为12的半圆上(A ，B 两点除外)．如果存在点P ，那么OP ＋PC ≥OC ，则PC ≥5－12.∵5－12>12，∴不存在满足条件的点P ，使得PC ＝12.。