任意角的三角比
任意角的三角比
任意角的三角比一、基础知识熟练记忆1、任意角的三角比——对于任意角的三角比，我们利用平面直角坐标系来进行研究。
（1）设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则点P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r（2）比值r y叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x叫做α的余弦 记作： r x =αcos 比值x y叫做α的正切 记作： xy =αtan 比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot 比值x r叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α， 上述六个比值都不会随P 点在α的终边上的位置的改变而改变。
当角α的终边在纵轴上时，即Z)(2∈+=k k ππα时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α、sec α无意义；当角α的终边在横轴上时，即α＝ｋπ（ｋ∈Z ）时， 终边上任意一点P 的纵坐标ｙ都为0，所以cot α、csc α无意义。
几个需要注意的问题：① 凡是终边相同的角的三角函数值相等。
sin(2k π+α)=sin α cos(2k π+α)=cos α tan(2k π+α)=tan α cot(2k π+α)=cot α② 0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定。
第一象限：0,0.>>y x∴sin α>0，cos α>0，tan α>0，cot α>0 第二象限：0,0.><y x∴sin α>0，cos α<0，tan α<0，cot α<0O A M P Txyα的终边 x yO A M T yOAM xyOAM TPα的终边第三象限：0,0.<<y x∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，cot α>0 第四象限：0,0.<>y x∴sin α<0，cos α>0，tan α<0，cot α<0记忆法则：第一象限全为正，二正三切四余弦。
任意角的三角比
视频1：在直角坐标系中角的终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角比。
设(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），则P 点到坐标原点O 的距离为r OP ==，定义:①正弦：sin α=；②余弦：cos α=；③正切：tan α=； ④余割：csc α=；⑤正割：sec α=；⑥余切：cot α=；Note ：①任意角的三角比仅与角的终边位置有关，而与终边上所取点P 的位置 。
②当角α的终边落在y 轴时，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时x =，则cos α=，且tan α与sec α ；③当角α的终边落在x 轴时，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时y =，则sin α=，且 与 无意义；④角α的终边无论落在什么位置，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时0r =>，故sin α与cos α总是存在的。
⑤22sin cos αα+=练习：已知角α的终边上一点()12,5P -，求角α的六个三角比的值。
6分钟视频2：正弦函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 ； 余弦函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 ； 正切函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 。
练习：确定下列三角函数值的符号。
①cos 250︒；②sin 4π⎛⎫-⎪⎝⎭；③()tan 672︒-；④tan 3π 5分钟视频3：练习：根据下列条件确定角θ属于哪个象限： ①sin cos 0θθ>；②sin 0θ<且tan 0θ> 2分钟视频4：从开始--------05:27结束（将开头删掉）。
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y ，那么 ①正弦：sin α=；②余弦：cos α=；③正切：tan α=； ④余割：csc α=；⑤正割：sec α=；⑥余切：cot α=；Note1：常见的三角函数的定义域与值域①正弦函数sin y x =，定义域为 ，值域为 。
第十五讲 任意角的三角比
第十五讲 任意角的三角比⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩正角概念负角零角角度制表示法任意角弧度制—扇形的弧长、面积象限角与轴线角终边相同的角与终边有关的角1． 角概念的推广 （1）任意角的形成角能够看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边。
（2）正角、负角和零角按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；当射线没有任何旋转时，形成的角叫做零角。
2．表示法：角度制与弧度制 （1）1弧度的角等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
弧度制的建立，使任意角与实数之间建立了一一对应关系.0↔⎧⎪↔⎨⎪↔⎩正角正数负角负数零角 （2）角度与弧度的换算：π弧度（rad ）=180 （3）扇形的弧长与面积公式：||l r α=；211||22S lr r α== 练习1 已知一个扇形OAB 的面积是42cm ，它的周长是10cm ，求它的圆心角和弦AB 的长. 答案：12α=，18sin 4AB =.变式：已知一个扇形的周长为2(0)a a >，问这个扇形半径为何值时，才能使这个扇形面积最大？最大面积为多少？并求此时扇形的圆心角.答案：2ar =时，扇形面积最大，最大值为24a ，此时圆心角为2.3．象限角与轴线角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角为第几象限的角；角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，即称为轴线角.第Ⅰ象限角：{|22,}2x k x k k Z πππ<<+∈； 第Ⅱ象限角：{|22,}2x k x k k Z ππππ+<<+∈；第Ⅲ象限角：3{|22,}2x k x k k Z ππππ+<<+∈；第Ⅳ象限角：{|22,}2x k x k k Z πππ-<<∈； 终边落在x 轴正半轴上的角的集合：{|2,}x x k k Z π=∈； 终边落在x 轴负半轴上的角的集合：{|2,}x x k k Z ππ=+∈ 终边落在x 轴上的角的集合：{|,}x x k k Z π=∈ 终边落在y 轴正半轴上的角的集合：{|2,}2x x k k Z ππ=+∈ 终边落在y 轴负半轴上的角的集合：{|2,}2x x k k Z ππ=-∈终边落在y 轴上的角的集合：{|,}2x x k k Z ππ=+∈ 终边落在坐标轴上的角的集合：{|,}2x x k k Z π=⋅∈练习2 若tan 0,cot cos 0sin αααα<⋅>，则角α，2α分别是第几象限的角？ 答案：α是第二象限角，2α是第一、三象限的角。
01任意角三角比
例5 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴的正方向重合， α的终边上一点P （5a,-12a）,(a<0)。 求Sinα,cosα ,tgα的值。 分析： 根据三角比的定义，应先求出r,注 意隐含条件r＞0 。
解：
∵ α<0,
∴r=(5a)2+(-12a)2=13|a|=-13a
∴sinα= cosα= tgα=
(2k
第二象限 (k· 3600+900, k· 3600+1800)
2
, 2 k )
第三象限 (k· 3600+1800, k· 3600+2700)
第四象限 (k· 3600+2700, k· 3600+3600)
3 (2k , 2k ) 2
3 (2k , 2k 2 ) 2
例8：已知角α的终边经过点P（2，-3）, 求α的六个三角函数值．
例9（1）将112°30′化成弧度制。
9 （3）10 °约等于多少弧度（保留四个 有效数字）。
（4）3弧度约等于多少度（精确到整 数度）。
4 （2）将 4π化成角度制。 9
解：
（1） 112030’＝
0 225 ＝ 2
225 55π × ＝ 弧度 2 180 8
（1）另解：
∵－546°＝－720°＋174°＝－2×360°＋174°
（2）1998°＝5 × 360°＋198°， α＝198° ∴1998°属于第三象限。
（3）－21.3 π＝－22 π＋0.7 π ＝－11 ×2 π+ (7π)/ 10 ∴ α＝（7π）/10，－21.3 π属于第二象限
（4）∵1弧度≈57.3 °， ∴－5弧度≈－5 × 57.3＝－286.5 ° ∴－5弧度≈－1 × 360 °＋73.5 ° ∴ α ≈73.5 °， -5属于第一象限角。
沪教版高中一年级数学第二学期：任意角的三角比
(1) sin 2370
(2) cos( ) tan 4
5
7
6.根据下列条件，判断 是第几象限角？
(1) sin < 0, tan 0 (2)csc tan < 0
1.会求任意角的六个三角比，注意有些角的三 角比是不存在的。
2.知道任意角的六个三角比在各个象限内的符 号，能确定某个角的三角比的符号。
3、(1)求 5 的 六 个 三 角 比 的 值
6
针对训练：
练习 : 求 sin( 23 )
3、( 2 )求 0和
3
6
的 正 弦, 余 弦 和 正 切 的 值
2
4.已知角的终边上有一点p到原点的距离为 1，0 且tan ＝ －1（0< < ),求点P的坐标。 3
（二）三角比的符号
Q:若确定了角α终边所在的象限，则角α的六个三角比 的正负能否确定？
结论：任意三角比的符号在各个象限都是确定的！
y
1
0y
＋＋
－＋
0
0 －1
1
0
x
－－
－ 0＋ x
y
不存在
－＋
0
0
＋0 － x
sin－ 1
0
cos
不存在
tan
Q:若角α的终边在坐标轴上，这三个三角比是什么 呢？
针对训练
5.判别下列各式的符号：
3.写出三角比公式,并将三角比三要素(x, y, r)代入运算;
注意：求任意角的六个三角比关键是 求三个三角比：正弦、余弦和正切
针对训练：
2. 已知角 的终边经过点 P(6a,8a)
(a 0) ，求 sin cos 。
任意角的三角比
第一组诱导公式：
Q 2kπ + α (k ∈ Z )与α有相同的终边，而三角比值仅与终边的位置有关
∴ sin( 2kπ + α ) = sin α cos(2kπ + α ) = cos α tan(2kπ + α ) = tan α cot(2kπ + α ) = cot α 其中k ∈ Z
练习：计算下列个三角比 25π sin 3 5π cot(− ) 4 31π tan 6
例2 : 求 和- 的正弦，余弦正切和余切 2 2 π 解：在角 的终边，即y轴的正半轴上取一点（0,1）
π
π
∴ x = 0, y = 1 π y 得,sin = = 1 2 r π tg tan 不存在 2
π
2
∴ r = x2 + y2 = 1
x cos = = 0 2 r π π x ctg cot = = 0 2 2 y
π
在角- 的终边，即y轴的负半轴上取一点（0,-1） 2 ∴ r = x2 + y2 = 1 ∴ x = 0, y = −1
π x y 得,sin(− ) = = −1 cos(− ) = = 0 2 r 2 r ππ ππ x tan( − ) 不 存 在 cot(ctg ) = = 0 − tg 22 22 y
y
r
P ( x,
y)
y
α
o
x
Q
x
可见,锐角的三角比可以用该角终边上任意一点的坐标来定义 可见 锐角的三角比可以用该角终边上任意一点的坐标来定义. 锐角的三角比可以用该角终边上任意一点的坐标来定义 我们可以仿照锐角的三角比的定义来定义任意角的三角比
设P是角 终边上任意一点，（点P不能是角的顶点） 是角α终边上任意一点，（点 不能是角的顶点） 是角 终边上任意一点，（ 不能是角的顶点 它的坐标为（ ） 它的坐标为（x,y）, op = r = x 2 + y 2
任意角的三角比教案
任意角的三角比教案
三角比是指三角形中各边的比值，通常包括正弦、余弦和正切。
在教学这个概念时，可以从以下几个角度进行教案设计：
1. 概念介绍，首先，要介绍三角形的基本概念，包括顶点、边、角度等，并引入三角比的概念。
可以通过图示和实际示例来让学生
直观理解三角比的含义和作用。
2. 正弦、余弦和正切的定义，分别介绍正弦、余弦和正切的定义，以及它们在直角三角形和任意角三角形中的计算方法。
可以通
过几何图形和实际问题来说明三角比的定义和计算方法。
3. 三角比的性质，介绍三角比的基本性质，如正弦、余弦和正
切的周期性、奇偶性等，以及它们之间的关系。
通过数学推导和实
例演示来让学生理解三角比的性质。
4. 三角比的应用，介绍三角比在实际生活和工程中的应用，如
测量高度、距离、角度等。
可以通过实际案例和问题让学生体会三
角比在实际中的重要性和作用。
5. 综合练习，设计一些综合性的练习题，包括计算三角比、证明三角比的性质、解决实际问题等，以帮助学生巩固所学的知识和技能。
在教学过程中，可以结合多媒体教学、小组讨论、实验演示等多种教学方法，让学生在实践中感受三角比的奥妙，提高他们的学习兴趣和能力。
同时，教师应该注重引导学生思考，培养他们的数学思维和解决问题的能力，使他们能够灵活运用三角比解决实际问题。
任意角的三角比
第五章 三角比 第一节 任意角的三角比一、知识点梳理 （一）、三角比定义： 设角α是一个任意角，将角α置于平面直角坐标系中，角α的顶点与原点O 重合，α的始边与x 轴的正半轴重合，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）, 有点P 到原点的距离 02222>+=+=y x y x r则我们规定：y rx ry y xx x yr xr y ==≠=≠===ααααααcsc sec )0(cot )0(tan cos sin例1已知角α的终边经过点P （-3，4），求角α的六个三角比的值。
例2已知角α的终边经过点P （2a ，-3a ）(a ≠0)，求sin α-cos α的值。
例3求65π的六个三角比的值。
例4应用三角比的定义证明： （1）平方关系222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系sin cos tan ,cot cos sin αααααα==专题训练1、分别求0、2π、π、23π、π的三角比值。
2、分别求6π、4π、3π、65π、43π、32π的三角比值。
3、已知角α的终边与函数y=-3x 的图形重合，求角α的各三角比的值。
4、已知角α的终边与x轴重合，求cosα得值。
评注：三角比的定义是三角知识的源头，务必充分理解，灵活应用，熟练掌握。
（二）、三角函数线：1、正弦线：无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜．所以有→MP=y=sinα．我们把有向线段→MP叫做角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式．2、余弦线：有向线段→OM叫做α的余弦线。
3、正切线：过A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段→AT叫做角α的正切线。
任意角的三角比教案
任意角的三角比教案
一、教学目标
1. 理解正弦、余弦和正切的概念。
2. 掌握如何计算任意角的正弦、余弦和正切值。
3. 能够运用三角函数解决相关实际问题。
二、教学重点和难点
1. 重点：正弦、余弦和正切的概念及计算方法。
2. 难点：任意角的三角比的应用。
三、教学内容
1. 正弦、余弦和正切的定义：在直角三角形中，对于任意角A，定义如下：
正弦（sinA）= 对边/斜边，余弦（cosA）= 邻边/斜边，正切（tanA）= 对边/邻边。
2. 任意角的三角比的计算：
对于任意角A，可以通过相关公式计算其正弦、余弦和正切值。
sinA = b/c, cosA = a/c, tanA = b/a，其中a、b、c分别为直角三角形的边长。
四、教学过程
1. 引入：
通过实际问题引入正弦、余弦和正切的概念，比如航海、建筑等领域中的应用。
2. 讲解：
讲解正弦、余弦和正切的定义，并介绍如何计算任意角的三角比。
3. 示例分析：
给出一些具体的例子，让学生通过三角函数的计算，解决相关实际问题。
4. 练习：
让学生做一些相关练习，巩固所学知识。
五、教学小结
通过本节课的学习，学生能够理解正弦、余弦和正切的概念，掌握计算任意角的三角比的方法，并能够运用到实际问题中。
六、作业布置
布置相关的练习题，鼓励学生在课后复习所学知识，并思考如何应用到生活中。
七、教学反思
回顾本节课的教学过程，总结学生的学习情况，思考如何更好地教学。
高一数学上《任意角的三角比》教案_
芯衣州星海市涌泉学校任意角三角比一、任意角三角比教学内容分析任意角的三角比分为4个课时。
第一课时学习与角有关的概念，如正角、负角、零角、象限角、终边一样的角，并且能按要求正确表示。
第二课时通过比较角度制与弧度制，体会弧度制在解决问题中的优点；能正确进展弧度与角度的换算；会利用弧长公式和扇形面积公式解决实际问题。
第三课时通过任意三角比的学习进展求值、化简和证明。
第四课时领会象限角的三角比的符号及坐标角的三角比值，并在此根底上进展计算、判断和求值等。
二、教学目的设计1、知识与技能领会与角有关的概念，如正角、负角、零角、象限角、终边一样的角，并且能按要求正确表示；通过比较角度制与弧度制，体会弧度制在解决问题中的优点；能正确进展弧度与角度的换算；会利用弧长公式和扇形面积公式解决实际问题；学会使用单位圆中的有向线段表示三角比；通过任意三角比的学习进展求值、化简和证明；领会象限角的三角比的符号，及坐标角的三角比值。
2、过程与方法通过生活中的实例感悟角度概念推广的必要性，体会“旋转成角〞的概念；通过回忆锐角三角比，感悟任意三角比的定义及相关要点；通过三角比的建立，是学生初步领会用代数方法解决几何问题的数形结合思想。
3、情感态度与价值观在整个教学过程中用运动变化的观点审视事物，用对立统一的规律提醒生活中的空间形式和数量关系。
培养学生的辩证唯物主义观点。
三、教学重点及难点重点：理解任意角的相关概念，掌握弧度制与角度制的关系和运用，掌握任意角三角比的值与符号，并能进展应用。
难点：弧度制的应用，任意角三角比的值与符号形成与认识。
四、教学流程设计第一课时：任意角及其度量〔1〕 华东师范大学附属东昌中学杨雪教学目的：1、 通过生活中的实例感悟角度概念推广的必要性，体会“旋转成角〞的概念。
2、 领会与角有关的概念，如正角、负角、零角、象限角、终边一样的角，并且能按要求正确表示。
3、 树立辩证唯物主义的世界观。
教学用具： 多媒体。
任意角的三角比
2π 4. 确定符号： cos 315° ; (2) sin − (1) 3 13π ' (3) tan( −588°12 ) ; (4) cot . 4
;
解： + (1)
(2) −
θ
(3) −
(1) S△OBC < S扇OBC < S△OCD
B
D
1 1 1 2 ⇒ ⋅1⋅ sin α < α ⋅1 < ⋅1 ⋅ tan α 2 2 2
O
A
C
∴ sin α < α < tan α
(2) sin α + cos α = AB + OA > OB = 1
4 3 4 sin α = , cos α = − , tan α = − , 5 5 3
3 5 5 cot α = − , sec α = − , csc α = . 4 3 4
2. 角 β 终边上一点 M 到原点的距离为 10，且 4 cos β = − (0 < β < π )，求 M 的坐标。 5
(2) tan(−3250°) = tan 350° < 0
4.(1) 设 tan α ⋅ cos α > 0，且 cot α ⋅ sin α < 0，则α 在第几象限？ (2) 已知 cos α < 0，且 tan α ≥ 0，确定角α 终边的位置。
解： tan α ⋅ cos α > 0 ⇒ α ∈ (1) Ⅰ或Ⅱ
4. 各三角比在各个象限的符号：
+
+
-
+ +
5.2(1)任意角三角比
五、课堂小结
1、掌握任意角的三角比的定义与符号． 2、会求任意角的三角比． 3、熟记特殊角的三角比值．
.
1.三角比的值与角 规定正割 sec 和余割 csc 终边上的点P的位 r sec ( k , k Z ) 置是否有关？
y
x 2 r ( k , k Z ) csc y
2.任何角的三角比 都存在吗?
例 1、已知角的终边经过点 P(2， 1)，求角的 六个三角比的值．
例4、已知角的终边经过点 P(3a,4a)(a 0)， 求： 2 sin cos．
解： x 3a, y 4a r (3a) (4a) 5 a
2 2
(1)当a 0时，r 5a，则：
(2)当a 0时，r 5a，则：
y x 4a 3a 2 sin cos 2 2 1 r r 5a 5a
一、锐角三角比的定义
对边 sin 斜边 邻边 cos 斜边 对边 tan 邻边 邻边 cot 对边 a c b c a b b a
B c A a
b
C
y
r
O
.
y x
P(x,y)
x
二、任意角三角比的定义
在任意角终边上任取一点P( x，y)， (除原点外) 2 2 设OP r x y (r 0) y y x P(x,y) sin cos r r y O x tan ( k , k Z ) x 2 x 提问: ( k , k Z ) cot
y x 4a 3a 1 2 sin cos 2 2 r r 5a 5a
练习： 1． 已知角 的终边过点 P 4,3,求 的六个三角比；
任意角的三角比
PT
O
M A x
交角 的终边与点 T
MP sin , OM cos , AT tan
思考 这些结论是否对于任意角都成立？
一、正弦值、余弦值和正切值的几何表示
y
T
y
1
P P
1
规定：有向线段
A
MP, OM , AT
x
O
M A x T
M O
y
T
与坐标轴同向时， 其数量为正值.
例3.判断角 所在象限： (1) sin( ) 0, tan(4 ) 0 (2) sin(2 ) cos(2 ) 0 解: (1) sin 0, tan 0
属于第三象限;
cos(2 ) cos
(2) sin(2 ) sin
y
T P
(2)
P
y
1
1
A
O
M A x
M O
T
x
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： 5 2 13 (1) (2) (3) (4) 3 6 3 6 解:正弦线 MP ，余弦线 OM ，正切线 AT (3)
y
T
(4)
y
1
1
M
O
M A A x
O
P
P
T
x
例2.已知 (0, ) ，利用三角函数线证明： 2 y T (1) sin cos 1
第II组诱导公式
P
M
O
A
y
1
T'
sin( ) sin cos( ) cos
tan( ) tan
3.2任意角的三角比
=|cos(70°+360°)|
=cos70°
练习
1. 已知cosɑ=35,0<ɑ<2,求sinɑ和tanɑ的值.
解:∵cosɑ=35
3
4
∵cosɑ=
,sinɑ=
9
5
5
∴cos2ɑ=25
ɑ 4 5
4
∴tanɑ=
=
×
=
ɑ 5 3
3
∵sin2ɑ+cos2ɑ=1
9
16
∴sin2ɑ=1-cos2ɑ=1-25
25
∴tanɑ=
=×()=
ɑ
5
3
3
∵sin2ɑ+cos2ɑ=1
25−16
9
∴cos2ɑ=1-sin2ɑ=1-16
=
=
25
25
25
∴cosɑ=±
9
25
=±35
∵ɑ是第三象限角
∴x<0
∵cosɑ=,r>0
∴cosɑ<0
∴cosɑ=-35
3.化简下列三角式：
ɑcosɑ
(1)cosɑtanɑ;(2) 1− ɑ ;(3) 1 − 2130°.
2
解:(1)cosɑtanɑ
ɑ
=cosɑ·ɑ
=sinɑ
ɑcosɑ
2
1− ɑ
ɑɑ
2ɑ
(2)
=
=tanɑ
(3) 1 − 2130°
=-cos130°
a的算数平方根记为
,a 的 平 方 根 记 为
± .
1
2
4.已知sinx-cosx= ,求(sinx+cosx)2的值.
任意角的三角比
三角比在各象限旳符号
sin y csc 全+ tan o cos x cot sec
例1、求下列各角旳六个三角比值：
（1） 5
6
（2） 7
6
根据计算成果，你能发觉这两个 角之间有什么关系吗？ 从而，你能推断出什么结论吗？
终边相同旳角旳同名三角比相等。
sin(2k ) sin cos(2k ) cos tan(2k ) tan cot(2k ) cot
R
y
正割
sec r
x
|
k
+
2
,
k
Z
, 1
1,
余割 csc r y
| k , k Z
, 1 1,
y
正割 sec r
x
余切 cot x
y
y 角α旳终边
r P(x,y)
o
x
试说出上述六个三角比中： (1) 角α旳取值范围； (2) 六个三角比旳取值范围。
三角比 角α旳取值范围 三角比旳范围
正弦 sin y
r
R
1,1
余弦 cos x
R
正切
r
tan y
x
|
k
+
2
,
k
Z
1,1
R
余切 cot x | k , k Z
kZ
这组公式旳作用： 能够将任意角旳三角比转化为[0,2π)内 旳角旳三角比。
练习：求值
1、cos 9
4
4、cot( 31 )
4
2、sin 1470 5、sec(1050 )
3、tan( 11 )
3
6、csc 19
任意角的三角比
任意角的三角比（一）、引入复习锐角三角比：初中是怎样定义锐角三角比的?（二）、新课 一、锐角三角比的定义出发，能否对任意角定义三角比呢？使锐角三角比是它的特殊情况。
二、任意角三角比的定义： 1．用坐标法定义三角比：（1）设α是一个任意角，以α的顶点为原点，以它的始边作为x 轴的非负半轴； （2）在角α的终边上任取一点P ； （3）设P （x ，y ），计算|OP|=r (r>0)．;sin ,sin ,)1(r yr y =ααα即记作的正弦叫做比值 ;cos ,cos ,)2(r xr x =ααα即记作的余弦叫做比值 ;tan ,tan ,)3(x yx y =ααα即记作的正切叫做比值;cot ,cot ,)4(y xy x =ααα即记作的余切叫做比值 ;sec ,sec ,)5(x rx r =ααα即记作的正割叫做比值 .csc ,csc ,)6(y ry r =ααα即记作的余割叫做比值A B Ca b c(x P)y2三、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1、已知角α的终边经过点P(2,-3)，求α角的六个三角比值。
例2．求下列各角的六个三角比值： （1）0 （2）π （3）23π例3：已知角α的终边上有一点P(4，y)（y ≠0）且sin α=5y，求角α六个三角比。
四、课堂练习（2个，基础的或中等难度）1、已知角α终边过点P(-1，2)，则cos α=________。
2、若点P(-3，y )是角α终边上一点，且sin α=-21，则y 的值是________。
3、化简psin2π+qcos 2π=__________。
五、拓展探究（2个）1、已知角α终边经过点P(3a ，-4a )（a ≠0），求2sin α+cos α的值。
2、已知tan α=-31，且α是第四象限角。
（1）若P 为角α终边上的一点，写出符合条件的一个P 点坐标； （2）求sin α，cos α的值3、三角函数线：（1）单位圆：圆心在原点,半径等于单位长度的圆叫单位圆。
任意角的三角比,正弦,余弦,正切,三角函数线
任意角的三角比1.设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y，它与原点的距离是()0r r =>，则α的六个三角比为：其中第二行的三角比分别为第一行三角比的倒数。
2.三角比在各象限的符号：（1）正弦值（r ya =sin ）的正负看角终边的纵坐标； （2）余弦值（r xa =cos ）的正负看角终边的横坐标；（3）正切值（xya =tan ）的正负看角终边的横、纵坐标之商；（1）平方关系：； （2）倒数关系：sin αcsc α=1，cos αsec α=1，tan αcot α=1； （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； 注意：已知一个角任意一个三角比，就可以求出它的其他五个三角比的值。
5.三角函数线：在单位圆中（r=1），正弦y r y a ===sin ；余弦x rxa ===cos ； 正切OAx y a ===tan ；我们把、OM 、AT 三条有向线段叫做三角函数线。
注意：（1）三角函数线的字母顺序不能调换，它是有方向的，其方向的正负性代表了三角比的正负性：与坐标轴的正方向相同表示三角比的值是正值；与坐标轴的正方向相反表示三角比的值是负值。
（2）角的正切线的方向为由A 点指向T 点。
T 点为过A 点垂直于x 轴的直线与角的终边（角的终边在一、四象限时）或终边延长线（角的终边在二、三象限时）的交点。
222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=三角函数线第二象限第一象限第三象限第四象限6.三角函数线可以用来求三角函数的定义域、求解和证明三角不等式、比较大小等。
例1.解答下列问题：（1）若θ在第四象限，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的正负性；（2）若tan(cos θ)·tan(sin θ)>0，试指出θ所在象限，并用图形表示出θ2所取的范围。
高一年级第二讲任意角的三角比
课题 任意角的三角比一、主要知识1、 任意角的三角比的定义 设施一个任意角，的终边上任意一点P （除端点外）的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是r （r=>0），那么： 比值叫做α的正弦，记作sin，即sin =（∈R ）； 比值叫做α的余弦，记作cos ，即cos =（∈R ）；比值叫做α的正切，记作tan ，即tan =（≠kπ+，k ∈Z ）； 比值叫做α的余切，记作cot ，即cot =（≠kπ，k ∈Z ）； 比值叫做α的正割，记作sec ，即sec =（≠kπ+，k ∈Z ）； 比值叫做α的余割，记作csc ，即csc =（≠kπ，k ∈Z ）；2、 单位圆中的三角函数线设任意角α的终边与单位圆相交于点P （x ，y ），那么，sin α=r y =y ，cos α=rx = x ，如上右图，单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，即sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=A T 。
二、例题分析例1、已知角α的终边上有一点P （3t ，4t ）（t≠0），求角α的六种三角函数值。
II 、任意三角比的第一组诱导公式及各三角比在每个象限的符号1、 第一组诱导公式终边相同的角的同一三角函数值相等，即：sin （α+k·360°）=sin αcos （α+k·360°）=cos αtan （α+k·360°）=tan α2. 一些特殊角的三角函数值3. 各三角比在每个象限的符号sin(csc) cos(sec) tan(cot) 例2、根据下列条件，确定α是第几象限的角。
（1） sin α>0，tan α<0；（2） cos α·tan α>0； （3） sin2α>0，cos α<0。
三、巩固练习1、 已知α∈（0，2π），求证：sin α<α<tan α。
任意角的三角比
一、任意角的三角比定义 锐角三角比
y r P(x,y) P y x
sinα = cosα = tanα =
角的对边 MP y 角的斜边 OP r
α
O
x 角的邻边 OM 角的斜边 OP r
x M
y 角的对边 MP x 角的邻边 OM
x 角的邻边 OM y 角的对边 MP
例14、 (1) 求满足cosθ=0.5的角θ 的值；
2k , k Z
3
(2) 求满足cosθ<0.5的角θ 的取值范围；
(3) 解不等式tanx 1；
5 2k 2k , k Z 3 3 k
(4) 已知 sin 3m 1 ，求m的取值范围． 1 4m 2 m 3 or m
并加以研究．
四、第一组诱导公式
sin(2k ) sin cos(2k ) cos tan(2k ) tan cot(2k ) cot
注：
其中kR
1）一个角加上或者减去2的整数倍时，角的三角比不变；
2）任意角的三角比都可转化为属于[0,2)的角的三角比．
r x y
2
2
cotα =
一、任意角的三角比定义 锐角三角比
y r P(x,y) P y x
sinα = cosα = tanα =
角的对边 MP y 角的斜边 OP r 角的邻边 OM x 角的斜边 OP r 角的对边 MP y 角的邻边 OM x 角的邻边 OM x 角的对边 MP y
例9、求下列各三角比的值：
(1) (2)
(3)
1 sin 30 sin1470 2 15 2 cos( ) cos 4 2 4
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总结：3
4
(1)直接法：求出 的范围，分类讨论.
ⅣⅠ Ⅰ O Ⅳx
n
ⅡⅢ
(2)几何法：把各象限均分n等份,从x轴的正向的上方起，
依次将各区域标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则α原
来是第几象限的符号所表示的区域即为 (n∈N*)的终边
所在的区域.
n
第17讲 §5.1-1任意角的三角比（1） Ⅱ.基本方法 3.扇形弧长、弦长、面积的求法：
例8一扇形的周长为c(c>0)，当扇形的圆心角α等于多少 弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
③终边在x轴上：
④终边在y轴正半轴上：
⑤终边在y轴负半轴上：
k k k
180O (k Z ) 360O +90O (k Z ) 360O +270O (k Z
)
k (k Z)
2k (k 2k 2 (k
Z Z
) )
⑥终边在y轴上： k 180O ⑦终边在坐标轴上： k
90O(k Z )
第17讲 §5.1-1任意角的三角比（1） Ⅰ.基础知识
一、角的概念的推广
1.角的定义：平面内由一条射线绕着其端点从初始位置旋
转到终止位置所形成的图形.
B
始边：射线的初始位置OA.
终边：射线的终止位置OB.
顶点：射线的端点O 2.角的分类：
O•
A
C
(1)正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角.
Ⅱ.基本方法
1.同终边角的求法： 8 例1.若边θ与角 的的终终边边与相同5的的角终为边＿相＿同＿，＿则＿在[0,2π]上终
总结：先写4 出同终边的角，然后按条件求出角.
2.已知角α的范围，，；3 则n是2是第第＿＿＿＿象象限限角角. ； Ⅲy Ⅱ
再用定义求值.
第17讲 §5.1-1任意角的三角比（1） Ⅲ.常用公式
1.同终边角的公式： 2k (k Z) k 360O (k Z )
2.三角比公式：1.sin
y ;2.cos
x ;3.tan
y ; 4.cot
x ;
r
r
x
5.sec
r x ;6.csc
r; y
y
3.角度与弧度互换公式： 1O = 0.01745329(弧度)
半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几
象限的角，或者说这个角属于第几象限.（当角的终边落
在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
5.轴线角：终边落在坐标轴上的角.
①终边在x轴正半轴上： k 360O (k Z ) 2k (k Z)
②终边在x轴负半轴上： k 360O +180O (k Z) (2k 1) (k Z)
5.sec r ;正割 6.csc r ;余割
OP r x2 y2 0
x
y
2.三角比的符号：
第1象限 第2象限 第3象限 第4象限
siny csc
sin
O x
cos
cosy sec y O x
tan cot
sec
tanO cotx
csc
第17讲 §5.1-1任意角的三角比（1）
例3 一个扇形 AOB 的面积是1cm2,它的周长是4cm，则中 心角为＿＿＿弧度，弦长｜AB｜=＿＿＿.
总结： 弧长、弦长、面积的求法：
画出图形，利用条件和弧长公式、扇形面积公式，解 三角形求解.
练习：两弧度的圆心角所对弦长为2，这个圆心角所夹的 扇形的面积为＿＿＿.
4.三角比的求法： 在角的终边上取一点P(x,y)，求出r，判定角的范围，
(2)负角：一条射线绕端点按顺时针方向旋转所形成的角. (3)零角：一条射线没有旋转时所形成的角.
第17讲 §5.1-1任意角的三角比（1） Ⅰ.基础知识 一、角的概念的推广 3.同终边的角：{ | k 360O (k Z )} { | 2k (k Z)}
4.象限角：把角的顶点置于坐标原点，角的始边与x轴的正
90O
(k
Z
)
k
2
(k
Z)
k
2
2
(k
Z)
第17讲 Ⅰ.基础知识 二、角的度量
§5.1-1任意角的三角比（1）
1.角度制：把周角分成360等分，每一份叫做1度的角.
用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度 2.弧度制制. ：把弧长等于半径的弧对的圆周角叫做1弧度的
角.用符号rad表示，读作弧度.
(1)定义：用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度
例5若角α是第二象限角，则角2α的终边落在__________.
例6如图,α、β分别为终边落在OM、ON位置上的两个角， 且α=30O,β=300O. (1)求终边落在阴影部分（含边界）时所有角的集合； (2)求终边落在阴影部分，且在[0,2π]内所有角的集合.
例7一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度 时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
B
三、任意角的三角比 1. sin a ; 2. cos b ;
c
a
1.三角比的定义： ①锐角的三角比：
3.
tan
a; b
c
4. cot
b. a
c
Ay
α
b
C
②任意角的三角比：
1.sin
y ;2.cos
x ;3.tan
y ; 4.cot
x ;
r
•P(x, y)
y
正弦 r 余弦 r 正切 x 余切 y O x M x
180
4.圆心角公式：| | l
r
1弧度= 180O 57.30O 57O18
5.弧长公式： l | | r l n r
180
6.扇形面积公式：S 1 lr 1 | | r2
22
n r 2
S 360
第17讲 §5.1-1任意角的三角比（1） Ⅳ.例题讲解 例4已知角α=45O，找出 -720O~0O内所有与α同终边的角.
(2)公式：制| .| l
360O 2 弧度
(3)角度与弧度r的互换： 1O 2 = = 0.01745329(弧度)
360 180
1弧度 360O = 180O 57.30O 57O18
2
角度数 30O 45O 60O 90O 180O 270O 360O
弧度数 6
4
3
2
3
2
2
第17讲 §5.1-1任意角的三角比（1）