高中数学《相似三角形的判定》

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高二数学相似三角形的判定及性质

形成结论
定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
形成结论
相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (2)相似三角形周长之比等于相似比.
(3)相似三角形面积之比等于相似比的平方.
(4)相似三角形的外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积之比等于相似比的平方.
布置作业
P19 1、2、5
形成结论
预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三
角形与原三角形相似.
形成结论
判定定理1：
对于任意的两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
两个角对应相等，两三角形相似.
形成结论
判定定理2：
对于任意的两个三角形，如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，那么这两个三角形相似.
相似三角形的判定及有关性质
复习巩固
1、相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比值叫做相似比（或相似系数）
复习巩固
2、相似三角形的判定
（1）两个角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，
两三角形相似；（3ttps:///rsizhibiao/ rsi指标；
再来找伤.”周北风几箭刺去.盼乌头马角终相救.”周北风叫道：“浣莲姑娘.但依我看来.避过软鞭缠打.虽不能取胜.乘着尸体浮沉之际.而是捧着几封信出神.忽然斜刺里几骑马冲来.珂珂行了两天.那好极了.这位就是大名鼎鼎的天山神芒周北风.向哈何人两面

高中数学《相似三角形的判定》

成比例相等 1. 对应角_______, 对应边——————的两个三角形, 叫做相似三角形对应角相等成比例 2. 相似三角形的———————, 各对应边——————。
如果△ ABC∽ △DEF, 那么
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
B

AB AC BC DE DF EF
D E F

D
B
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，（1）请找出图中所有的相似三角形； △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1：4 （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。
A D E G H I C
F
B
相似三角形的定义相似比的性质相似三角形判定的预备定理
AD AE AB AC
A
D
B
E
C
∴DE=BF F ∴△ADE∽△ABC
AE DE AC BC
AD AE DE AB AC BC
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所
构成的三角形与原三角形相似
平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交,所相似得的三角形与原三角形________.
“A”型
A D
“X”型
D
O
E
E C
B （图2） C
B
（图1）
请写出它们的对应边的比例式
已知：如图，AB∥EF ∥CD， 3 图中共有____对相似三角形。 AB∥EF △AOB∽ △FOE △AOB ∽△DOC △EOF∽△COD
A O E F
B
AB∥CD
EF∥CD
C
D
如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB， DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来.

《相似三角形的判定》课件1(人教A版选修4-1)

例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm．
试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由．
(2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
A D B E CB D O E
∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC
C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
A
三边对应成比例
A’
B’
B
C
C’
A'B' B' C' A'C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC. 求证:△ABC∽△A`B`C` A`
D
B` A
C`
E
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C` ∴△A`B`C`∽ABC
B C
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
△ABC∽△A’B’C’
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.
成比例相等 1. 对应角_______, 对应边——————的两个三角形, 叫做相似三角形 . 对应角相等成比例 2. 相似三角形的———————, 各对应边——————。

高中数学相似三角形的判定及有关性质优秀PPT

，那么这两个直角三角
2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．
2．有关两线段的比值的问题，除了应用平行线分线段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解．
AE 4 (2)△EFP∽△BCP.
所以DG＝1. 判定定理3 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应
简述为：两角对应相等，两三角形相似．
似．
②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．
③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
(3)相似三角形的性质
性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；
解析：过点 D 作 DG∥AC 且交 BE 于点 G，
因为点 D 为 BC 的中点，
判定定理1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的
简述为：两角对所应相以等，E两C三＝角2形D相似G．.
(2)△EFP∽△BCP.
对应相等，那么这两个三角形相似．
③形如相果似一．个直角因三角为形的A斜E边＝和一2条C直E角，边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应
高中数学相似三角形的判定及有关性
质
【思考探究】使用平行截割定理时要注意什么？提示：要注意对应线段、对应边对应成比例，不要乱对应顺序． 3．相似三角形的判定及性质 (1)相似三角形的判定定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

高二数学相似三角形的判定1

如图已知 AB BC AC ，试说明∠BAD=∠CAE.
AD DE AE
解 AB BC AC AD DE AE
A E
∴Δ ABC∽Δ ADE ∴∠BAC=∠DAE
D C
B
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
如图在正方形网格上有A1B1C1和A2 B2C2，它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由。
求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC B`
C`
∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB
A
又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA
∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA. D
三边对应成比例的,两三角形相似.
；苹果应用 /?s=down-show-id-5.html ；
定不怕？”临走前,何玲颇担心她.“没关系,赶紧回去吧.”以为她担心自己一个女生晚上怕黑,陆羽笑着将她一家送出院门,看着周家人绕到自家屋后往村里走.屋子周围种着许多桉树,村里风大,吹得叶子沙沙响.院门前有一大片空地被屋主铺了一层水泥,不管下多大雨,地面永远是平坦干净の,没有泥坑.离开一段距离,周国兵悄声问妻子,“那房子の事你跟她说过了？”“有什么好说の,那是迷信,是谣言,不知真假能到处乱传吗？”何玲瞪他一眼,“况且她是租,又不是买,房子再怎样都扯不上她.”“啊？不好吧？我看她人挺娇气の,万一...”男人前怕虎后怕狼の怂样,女人最看不惯,何玲没好气道：“万一什么？你爸整天去打扫卫生也不见怎样.难得现在没人传了,定康家搞成那样赚得一分算一

《相似三角形的判定》课件6(人教A版选修4-1)

A B D F B 图 1
E
G E C
O F D 图 2
C
（3）在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°， ∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？ ∠B=180 °－（∠A+∠C)=180 °－（80 °+60 °)=40 °
3.找出图中所有的相似三角形
A
A'
解：∵ ∠B＝∠B′＝90°（已知）， ∠A＝∠A′（已知）， ∴ △ABC∽△A′B′C′（两个角分别对应相等的两个三角形相似．）
B
B'
C'
C
例题分析
例2. 如图，△ABC中， DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.
B D
A
E
F
C
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知），
∴ ∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行，同位角相等） ∠AED＝∠C. （两直线平行，同位角相等） ∴ △ADE∽△EFC. （两个角分别对应相等的两个三角形相似．）
（这可是今天新学的，要牢记噢！)
A
1 2
A O
C
B
A
C
C
D E
B D
D O
A D E
B
B
C
A
B
C
可证△ABC∽△A’B’C’ AC BC 即 A'C' B'C' 所以A’ C’=1.7x176÷2.2=136m
课堂小结
相似三角形的识别方法有那些？
方法1：通定义

三个角对应相等三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线。方法3：三边对应成比例。方法4：两边对应成比例且夹角。方法5：通过两角对应相等。

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质三相似

三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定1．了解三角形相似的定义，掌握相似三角形的判定定理以及直角三角形相似的判定方法．2．会证明三角形相似，并能解决有关问题．1．相似三角形(1)定义：对应角____，对应边成____的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形______的比值叫做相似比(或相似系数)．(2)记法：两个三角形相似，用符号“∽”表示，例如△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.①三角形相似与三角形全等不同，全等三角形一定相似，但相似三角形不一定全等．②三角形相似定义中的“对应边成比例”是三组对应边分别成比例．③相似三角形对应顶点的字母必须写在相应的位置上，这一点与全等三角形是一致的；例如△ABC和△DEF相似，若点A与点E对应，点B与点F对应，点C与点D对应，则记为△ABC∽△EF D．【做一做1】已知△ABC∽△A′B′C′，下列选项中的式子，不一定成立的是( ) A．∠B＝∠B′ B．∠A＝∠C′C．ABA′B′＝BCB′C′D．ABA′B′＝ACA′C′2判定三角形相似的三种基本图形(1)平行线型：(2)相交线型：(3)旋转型：【做一做2－1】如图所示，在△ABC 中，FD ∥GE ∥BC ，则与△AFD 相似的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个 D ．4个【做一做2－2】如图所示，DE 与BC 不平行，当AB AC＝__________时，△ABC ∽△AE D ．3．直角三角形相似的判定定理(1)如果两个直角三角形有一个____对应相等，那么它们相似； (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成____，那么它们相似．(3)如果一个直角三角形的____和一条____边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形分别与原三角形相似．在证明直角三角形相似时，要特别注意利用直角这一条件．【做一做3】在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′＝90°，AB A ′B ′＝BCB ′C ′，∠B ＝35°，则∠C ′＝__________.答案：1．(1)相等比例对应边【做一做1】B 很明显选项A ，C ，D 均成立．因为∠A 和∠C ′不是对应角，所以∠A ＝∠C ′不一定成立．2．相交相似相等相似比例相等比例第三边比例【做一做2－1】B ∵ FD ∥GE ∥BC ， ∴△AFD ∽△AGE ∽△ABC ，故与△AFD 相似的三角形有2个．【做一做2－2】AE AD△ABC 与△ADE 有一个公共角∠A ，当夹∠A 的两边对应成比例，即AB AC ＝AEAD时，这两个三角形相似． 3．(1)锐角 (2)比例 (3)斜边直角【做一做3】55° ∵∠A ＝∠A ′＝90°， ∴△ABC 和△A ′B ′C ′均是直角三角形．又AB A ′B ′＝BCB ′C ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. ∴∠C ′＝∠C ，又∠B ＝35°，∴∠C ＝90°－∠B ＝90°－35°＝55°，∴∠C ′＝55°.同一法证明几何问题剖析：当直接证明一个几何问题比较困难时，往往采用间接证明的方法．“同一法”就是一种间接证明的方法．应用同一法证明问题时，往往先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题的已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立.例如，如图所示，已知PQ ，T R 为⊙O 的切线，P ，R 为切点，PQ ∥R T.证明PR 为⊙O 的直径．证明：如图，延长PO 交R T 于点R ′，∵PO ⊥PQ ，∴PR ′⊥PQ .∵PQ ∥RT ，∴PR ′⊥RT ，即OR ′⊥RT . 又∵TR 为⊙O 的切线，R 为切点， ∴OR ⊥RT ，∴点R ′与点R 重合， ∴PR 为⊙O 的直径．由上例可以看出，同一法证明几何问题的步骤：(1)先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；(2)根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的；(3)说明已知图形符合结论．题型一判定三角形相似【例题1】如图，已知AB AD ＝BC DE ＝ACAE，求证：△ABD ∽△ACE .分析：由于已知AB AD ＝AC AE ，得AB AC ＝ADAE，则要证明△ABD ∽△ACE ，只需证明∠DAB ＝∠EAC 即可．反思：(1)本题中，∠DAB 与∠EAC 的相等关系不易直接找到，这里用∠BAC ＝∠EAD ，在∠BAC 和∠EAD 中分别减去同一个角∠DAC ，间接证明．(2)判定两个三角形相似时，关键是分析已知哪些边对应成比例，哪些角对应相等，根据三角形相似的判定定理，还缺少什么条件就能推导出结论．题型二判定直角三角形相似【例题2】如图，已知在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP .分析：由于这两个三角形都是直角三角形，且已知条件是线段间的关系，故考虑证明对应边成比例，即只需证明AD QC ＝DQCP即可．反思：直角三角形相似的判定方法很多，既可根据一般三角形相似的判定方法判定，又有其独特的判定方法，在求证、识别的过程中，可由已知条件结合图形特征，确定合适的方法．题型三证明线段成比例【例题3】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，BD 平分∠ABC ，求证：AB AC ＝CDBC.分析：所要证明的等式中的四条线段AB ，AC ，CD ，BC 分别在△ABC 和△BCD 中，但这两个三角形不相似，由题意可得BD ＝CD ，这样AB ，AC ，BD ，BC 分别在△ABC 和△ABD 中，只需证明这两个三角形相似即可．反思：证明线段成比例，常把等式中的四条线段分别看成两个三角形的两条边，再证明这两个三角形相似即可，若这四条线段不能分别看成两个三角形的两边，则利用相等线段进行转化，如本题中把CD 转化为B D ．题型四证明两直线平行【例题4】如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，M 是AD 上一点，BM ，CM 的延长线分别交AC ，AB 于F ，E 两点．求证：EF ∥B C ．分析：要证明EF ∥BC ，想通过角之间的关系达到目的显然是不可能的，而要利用成比例线段判定两条直线平行的判定定理，图中又没有平行条件，因此要设法作出平行线，以便利用判定定理．在作平行线时，要充分考虑到中点D 的应用．反思：常利用引理来证明两条直线平行，如本题中的三种证法，其关键是证明其对应线段成比例，这样又转化为证明线段成比例，其证明方法有：利用中间量，如本题证法一；转化为线段成比例，如本题证法二；既用中间量，又转化为线段成比例，如本题证法三．答案：【例题1】证明：因为AB AD ＝BC DE ＝ACAE，所以△ABC ∽△ADE .所以∠BAC ＝∠EAD ，∠BAC －∠DAC ＝∠EAD －∠DAC ，即∠DAB ＝∠EAC . 又AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝ADAE，所以△ABD ∽△ACE . 【例题2】证明：在正方形ABCD 中，∵Q 是CD 的中点，∴AD QC ＝2.∵BP PC ＝3，∴BCPC ＝4.又BC ＝2DQ ，∴DQCP＝2.在△ADQ 和△QCP 中， AD QC ＝DQCP＝2，∠C ＝∠D ＝90°， ∴△ADQ ∽△QCP .【例题3】证明：∵ BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝∠DBA ＝12∠ABC ，又∠ABC ＝2∠C ，∴∠DBA ＝∠DBC ＝∠C ， ∴BD ＝CD .在△ABD 和△ACB 中， ∠A ＝∠A ，∠DBA ＝∠C ，∴△ABD ∽△ACB ，∴AB AC ＝BD BC ，∴AB AC ＝CDBC.【例题4】证法一：延长AD 至G ，使DG ＝MD ，连接BG ，CG ，如下图所示．∵BD ＝DC ，MD ＝DG ，∴四边形BGCM 为平行四边形．∴EC ∥BG ，FB ∥CG .∴AE AM AB AG =，AF AMAC AG =， ∴AE AF AB AC=.∴EF ∥BC . 证法二：过点A 作BC 的平行线，与BF ，CE 的延长线分别交于G ，H 两点，如图所示．∵AH ∥DC ，AG ∥BD ， ∴AH DC ＝AM MD ，AG BD ＝AM MD ，∴AH DC ＝AGBD .∵BD ＝DC ，∴AH ＝AG .∵HG ∥BC ，∴AE EB ＝AH BC ，AF FC ＝AGBC .∵AH ＝AG ，∴AE EB ＝AFFC.∴EF ∥BC .证法三：过点M 作BC 的平行线，分别与AB ，AC 交于G ，H 两点，如下图所示．则GM BD ＝AM AD ，MH DC ＝AMAD ，∴GM BD ＝MH DC. ∵BD ＝DC ，∴GM ＝MH .∵GH ∥BC ，∴EM EC ＝GM BC ，FM FB ＝MHBC .∵GM ＝MH ，∴EM EC ＝FMFB.∴EF ∥BC .1如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，点F 是BC 上一点，AF 交DE 于G ，则与△ADG 相似的是( )A ．△AEGB ．△ABFC ．△AFCD ．△ABC2如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，则图中与Rt△ADE 相似的三角形个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3如图所示，∠BAC ＝∠DCB ，∠CDB ＝∠ABC ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b .则BD ＝__________(用a ，b 表示)．4如图所示，O 是△ABC 内一点，且AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′.求证：AC ∥A ′C ′.5如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的平分线，求证：AD 2＝DC ·A C ．答案：1．B 在△ABF 中，DG ∥BF ，则△ADG ∽△ABF .2．D 题图中Rt△CBA ，Rt△CAD ，Rt△ABD ，Rt△DBE 均与Rt△ADE 相似．3．b 2a 由题意，可得△ABC ∽△CDB ，∴AC BC ＝BC BD，∴BD ＝BC 2AC ＝b 2a.4．证明：∵AB ∥A ′B ′，∴OA ′OA ＝OB ′OB.又∵BC ∥B ′C ′，∴OB ′OB ＝OC ′OC.∴OA′OA＝OC′OC.∴AC∥A′C′.5．分析：有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，所以∠CBD＝36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°.∴AD＝BD＝BC，且△ABC∽△BCD.∴BC∶AB＝CD∶BC.∴BC2＝AB·CD.又BC＝AD，AB＝AC，∴AD2＝AC·CD.。

相似三角形的判定-高中数学知识点讲解

相似三角形的判定
1．相似三角形的判定
【知识点的知识】
相似三角形的判定
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
1/ 1。

相似三角形的判定口诀

相似三角形的判定口诀
两角对应相等，两个三角形相似。

两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

三边对应成比例，两个三角形相似。

三边对应平行，两个三角形相似。

斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。

)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。

(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。

)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)。

(简叙为：全等三角形相似)。

《相似三角形的判定》课件3(人教A版选修4-1)

∴△ABC∽△ A ' B '角 C′ 相等，两三角形相似)
想一想：如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？
C
A
D
F
B E
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件判断它们是否相似.
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm; (2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
A
B`
C`
∵A`B`:AB=A`C`:AC ∴ AD:AB=AE:AC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△A`B`C`∽△ABC
B
D
E
C
相似三角形的识别
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
A
B
C
A′
AB AC A = A' A' B ' A 'C '
B D A
E
A = A
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
• 已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A` , •
∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC. 求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线) 上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结DE. ∠A=∠A`, 这样,△ADE≌△A`B`C`.
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？ AE 54 解： ∵ = =1.5 FE 36

相似三角形的判定数学教学教案【优秀10篇】

相似三角形的判定数学教学教案【优秀10篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高中数学平面几何相似与全等三角形判定方法

高中数学平面几何相似与全等三角形判定方法在高中数学中，平面几何是一个重要的内容模块，其中相似与全等三角形的判定方法是学生们需要掌握的基本知识。

本文将详细介绍相似与全等三角形的判定方法，并给出具体的例子和解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。

一、相似三角形的判定方法相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

在判定两个三角形是否相似时，我们可以使用以下方法：1. AAA判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形相似。

例如，已知两个三角形的对应角度分别为∠A1、∠B1、∠C1和∠A2、∠B2、∠C2，若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，∠C1=∠C2，则这两个三角形相似。

2. AA判定法：如果两个三角形的一个角度相等，并且两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。

例如，已知两个三角形的对应角度分别为∠A1、∠B1、∠C1和∠A2、∠B2、∠C2，若∠A1=∠A2，且AB1/AB2=BC1/BC2=AC1/AC2，则这两个三角形相似。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角度相等，并且两个三角形的一个对边与这个角的对边成比例，则这两个三角形相似。

例如，已知两个三角形的对应角度分别为∠A1、∠B1、∠C1和∠A2、∠B2、∠C2，若∠A1=∠A2，且AB1/AB2=AC1/AC2，则这两个三角形相似。

通过以上三种判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。

在解题过程中，可以根据已知条件选择合适的判定方法，从而快速得出结论。

例如，已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=BC/EF，我们可以使用AA判定法来判断这两个三角形是否相似。

根据AA 判定法，如果∠A=∠D，且AB/DE=BC/EF，那么三角形ABC与三角形DEF相似。

通过这个例子，我们可以清晰地看到AA判定法的应用方法和判定过程。

二、全等三角形的判定方法全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。

《相似三角形的判定》_优秀课件

全等三角形一定是相似三角形，相似三角形不一定是全等三角形。
1.会运用“三边成比例的两个三角形相似”判定两个三角形相似. 2.会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似.
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？
根据前面的定理，可得△A′DE∽△A′B′C′，
A′D DE A′E ∴A′B′＝B′C′＝A′C′.
AB
BC
AC
∵A′B′＝B′C′＝A′C′，A′D＝AB，
DE
BC A′E AC

∴B′C′＝B′C′，A′C′＝A′C′，
∴DE＝BC，A′E＝AC， ∴△A′DE≌△ABC， ∴△ABC∽△A′B′C′.
根据下列条件，判断△ABC与△A´B´C´是否相似，并说明理由： (1) AB=4cm ，BC=6cm ，AC=8cm A´B´=12cm ，B´C´=18cm ，A´C´=21cm
解： AB 4 1 , A' B ' 12 3 BC 6 1 , B 'C ' 18 3 AC 8 1 A'C ' 24 3
第二十七章图形的相似
27．2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定 (第2课时)
1、两个三角形全等有哪些判定方法？ SSS、SAS、ASA、AAS、HL
2、我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ ① 通过定义（三边对应成比例，三角相等）. ② 平行于三角形一边的直线.
3、全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
解： AB 7, AC 14, A' B ' 3, A'C ' 6 AB 7 , AC 14 7 A'B' 3 A'C ' 6 3 AB AC A'B' A'C ' 又 A A'

相似三角形的判定数学教学教案(10篇)

相似三角形的判定数学教学教案（10篇）《相似三角形》数学教案篇一教学目标：1、了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似。

2、能运用相似三角形的概念判断两个三角形相似。

3、理解“相似三角形的对应角相等，对应边成比例”的性质。

重点和难点：1、本节教学的重点是相似三角形的概念2、在具体的图形中找出相似三角形的对应边，并写出比例式，需要学生具有一定的分辨能力，是本节教学的难点。

知识要点：1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

2、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

3、相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数）重要方法：1、全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1。

2、相似三角形中，利用对应角寻找对应边；反过来利用对应边寻找对应角。

3、书写相似三角形时，需要把对应顶点的字母写在对应的位置上。

教学过程一、创设情境，导入新课1、课件出示：①国旗上的☆，②同一底片不同尺寸的照片。

以上图形之间可以通过怎样的图形变换得到？2、经过相似变换后得到的像与原像称为相似图形。

那么将一个三角形作相似变换后所得的像与原像称为相似三角形二、合作学习，探索新知1、合作学习如图1,在方格纸内先任意画一个☆ABC,然后画出☆ABC经某一相似变换（如放大或缩小若干倍）后得到像☆A ′B ′C ′（点A ′、B ′、C ′分别对应点A 、B 、C）。

问题讨论1：☆A ′B ′C ′与☆ABC对应角之间有什么关系？问题讨论2：☆A ′B ′C ′与☆ABC对应边之间有什么关系？学生相互比较得到结论：对应角相等，对应边成比例。

2、由合作学习定义相似三角形的概念（1）相似三角形：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形（2）表示：相似用符号“☆”来表示，读作“相似于”如☆A ′B ′C ′与☆ABC相似，记做“☆A ′B ′C ′☆☆ABC ” 。

注意：在表示三角形相似时，一般把对应顶点的字母写在对应的位置上（3）定义的几何语言表述：A B C A ′B ′C ′相似三角形的判定数学教学教案篇二一、教学目标1.使学生了解判定定理2、3的证明方法并会应用。

《相似三角形的判定——两角判定法》评课稿

《相似三角形的判定——两角判定法》评课稿
授课人
评课人
《相似三角形的判定——两角判定法》评课稿聆听了周老师的课。

下面就周老师执教的《相似三角形的判定——两角判定法》这一课谈谈自己的看法。

周老师这堂课紧凑有序，首先周老师布置每位学生画一个含有60°角的三角形，引导同桌两人交流探究两人所画三角形相似与否，初步探究三角形相似的判定。

在否定一个角相等的两三角形不是相似之后，周老师引导在手边的同桌画一个三角形ABC，然后让右边的同桌画△A′B′C′，要求是∠A=∠A′，∠B=∠B′。

与活动一相同，同桌交流判断∠C=∠C′的可能性以及对应边之比是否相等。

周老师提前预设，抛出猜想：两个三角形至少有几个角对应相等，才能保证这两个三角形相似。

通过两个活动，对三角形的角进行充分探究，最终得出三角形相似的判定方法，两角对应相等，两三角形相似。

周老师从识图、辨析概念的变形两个方面区设置题目，引导学生及时巩固新知。

当然，数学是一门逻辑性较强的科目，任何好的理念和设计在实际的教学过程中总会留下一些遗憾：在三角形中画平行线或使用中位线的A字图和两垂直三角形两类典型例题对学生来讲是个困难，理解不到位。

数学《相似三角形的判定》教案

相似三角形的判定（一）一、教学内容的说明1、教材所处的地位：三角形相似的判定是相似形这一章的教学重点，是在学习三角形相似的定义和预备定理的基础上作进一步研究。

从知识的系统性来看，相似三角形是全等三角形知识的发展，它们存在一般与特殊的关系，因此可类比三角形全等的判定方法得到三角形相似的判定方法。

同时判定定理1的证明方法又为进一步学习其它几个判定定理奠定了基础。

2、这一内容可分为四课时完成，本教学设计是第一课时。

3、本节课注重分层教学,在各个环节均照顾不同层次的学生，使各层次学生均有所得，体会到成功的喜悦,树立自信心，主动发展。

教学重点：三角形相似的判定定理1的理解和应用。

教学难点：三角形相似的判定定理1的证明方法。

因为它的证明是在只有相似三角形的定义和预备定理的条件下完成的，需要添加辅助线转化为预备定理。

二、教学目标的确定根据本节课的具体内容并结合学生的实际情况,我从知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三方面制定了教学目标：1、使学生理解定理内容及其证明方法，初步会运用定理解决有关问题；2、通过学生探索、证明、理解和应用定理，进一步发展符号感和推力能力,使学生学会学习,体验成功；3、通过图形变式，使学生体验数学活动充满着探索性和创造性,并享受数学美；通过小组讨论，培养学生合作意识。

三、教学方法与教学手段的选择为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快地学习，我引导学生类比联想，猜想命题，形成定理,采用讨论、探究式的教学方法.在教学手段方面,我选择了计算机辅助教学的方式，运用Powerpoint和几何画板，增加图形的直观性和课堂密度.四、教学过程的设计为了实现教学目标,我遵循学生的认知规律,根据“循序渐进原则”；把这节课分为三个阶段：“定理探索阶段”；“定理运用阶段”；“定理巩固阶段”.下面我将对教学步骤作出说明。

（一）定理探索阶段1、类比，猜想三角形相似的判定方法由于探索三角形相似的新的判定方法首先应让学生对已有知识有一个清晰的认识，所以先让学生复习相似三角形的定义和判定三角形相似的预备定理，教师引导学生思考,现有的判定三角形相似的方法中:①定义需要对应角分别相等,对应边成比例，条件多，过于苛刻;②预备定理要求有三角形一边的平行线，条件过于特殊，使用起来有局限性.说明探索三角形相似的新的判定方法的必要性。

三角形相似的判定方法

三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。

22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

两个直角三角形相似的判定定理

两个直角三角形相似的判定定理
两个直角三角形相似的判定定理是高中数学中的一个重要定理，主要用于解决与直角三角形相似性有关的问题。

本文将介绍两个直角三角形相似的判定定理及其证明，以及相似性在几何学中的应用。

1. 判定定理一：若一个直角三角形的两条直角边分别等于另一个直角三角形的两条直角边或者分别等于另一个直角三角形的一条非直角边和一条斜边，则这两个直角三角形是相似的。

对于判定定理一，我们需要使用勾股定理进行证明。

假设ΔABC和ΔDEF是两个直角三角形，并且AB=DE，AC=DF，BC=EF。

根据勾股定理可知：
AB²=AC²-BC² ，DE²=DF²-EF²
代入等式可得：
将等式左右两边同时加上BC²和EF²，可得：
因此，两个直角三角形ΔABC和ΔDEF是相似的。

a/sinB=b/sinA，c/sinE=d/sinF
BC=EF
a/b = c/d
两个直角三角形相似的判定定理在几何学中的应用十分广泛。

例如，在三角形相似问题中，我们可以使用判定定理一得出两个直角三角形之间的相似性，从而进一步解决整个问题。

此外，这个定理还可以应用于计算机视觉、机器人学、虚拟现实等领域。

高二数学相似三角形的判定3

2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？ AE 54 解： ∵ = =1.5 FE 36
B
45
1
BE 45 ＝＝1.5 CE 30
E 36
2
F
A
54
30 C
AE BE ∴ ＝ FE CE
∵∠1＝∠2 ∴△AEB∽△FEC
3.在正方形ABCD中，E为AD上的中点, F是 AB的四分一等分点，连结EF、EC；△AEF
相似三角形的判定
判断两个三角形相似,你有哪些方法方法1：通过定义（不常用）

三个角对应相等三边对应成比例
方法2：通过平行线。方法3：三边对应成比例。
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么
位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？此时， C AD 1 AE 1 ？ =？ AB 3 AC 3
∴△ABC∽△ A ' B ' C '
B′
(两边对应成比例且夹角 C′ 相等，两三角形相似)
想一想：如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？
C A
D
F
B E
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件判断它们是否相似.
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm; (2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
B D A
E
A = A
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
• 已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A` , ∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC. • 求证:△ABC∽△A`B`C` 证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线) 上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结DE. ∠A=∠A`, 这样,△ADE≌△A`B`C`.

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相似三角形的判定数学教学教案（优秀6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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