二次函数y=a +b +c的配方法
十种二次函数解析式求解方法
十种二次函数解析式求解方法二次函数是一个形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a不为0。
解析式是一种表示函数的方式，它可以用来求解函数的性质和方程的解。
下面是十种二次函数解析式求解方法：1. 一般式：二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c。
通过将函数写成一般式，可以快速识别出a、b和c的值，进而求解一些重要的性质，如顶点、轴对称线、开口方向等。
2.标准式：二次函数的标准式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
通过将一般式转化为标准式，可以直观地找出顶点的坐标及与x轴的交点。
3.因式分解：有时候，二次函数的解析式可以通过因式分解的方式得到。
例如，对于函数y=x^2-5x+6，我们可以将其因式分解为y=(x-2)(x-3)，从而得到x=2和x=3是方程的解。
4.完全平方：如果二次函数的解析式可以表示为一个完全平方的形式，那么我们可以通过提取出完全平方的方式得到方程的解。
例如，对于函数y=x^2-4x+4，我们可以将其写成y=(x-2)^2的形式，从而得到x=2是方程的解。
5. 配方法：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。
通过配方法，我们可以找到一个常数k使得ax^2 + bx + c = a(x + p)^2 + k，从而得到方程的解析式。
6.求导方法：通过对二次函数求导，我们可以得到函数的导数。
导数可以帮助我们找到函数的最值点和切线，进而求解其他问题。
7.顶点公式：二次函数的顶点公式为(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=f(h)。
通过顶点公式，我们可以快速找到二次函数的顶点，进而求解一些重要的性质。
8. 零点公式：二次函数的零点公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。
通过零点公式，我们可以求解二次函数的零点或解方程。
9. 判别式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac。
二次函数知识点归纳及相关习题(含答案)
a 的符号
开口方向 向上
顶点坐标
对称轴
性质
a0
0 ，0 0 ，0
y轴
x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值 0 ． x 0 时， y 随 x 的增大增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 有最 大值 0 ．
2
二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
关于 x 轴对称 y ax 2 bx c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y ax 2 bx c ；
y a x h k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y a x h k ；
2
二次函数由特殊到一般， 可分为以下几种形式： ① y ax ； ② y ax k ； ③ y ax h ；
2 2
2
b 4ac b 2 . ，k 2a 4a
2
顶点式： y a( x h) 2 k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ） ； 两根式： y a( x x1 )( x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交 2 点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次 函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数 y ax 的性质
抛物线与 x 轴的交点:二次函数 y ax bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x 2 ，
二次函数配方法公式过程
二次函数配方法公式过程二次函数是高中数学中重要的内容之一，它具有许多重要的性质和应用。
在解题过程中，我们经常需要运用一些方法和公式来方便地处理二次函数。
一、二次函数的标准形式二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
二次函数的图像是抛物线，其开口方向由 a 的正负号决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的顶点坐标对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的顶点坐标可通过以下公式得到：x=-b/(2a)y=-Δ/(4a)其中，Δ = b^2 - 4ac 是二次函数的判别式。
顶点坐标是二次函数的重要特征，它能直接提供抛物线的最值和开口方向。
三、二次函数的对称轴对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的对称轴方程为 x = -b / (2a)。
对称轴是垂直于x轴的直线，与抛物线的开口方向垂直，并且将抛物线对称分为两部分。
四、二次函数的零点公式二次函数的零点即方程 y = ax^2 + bx + c 的解，可以通过以下公式得到：x=(-b±√Δ)/(2a)其中，±表示两个解，Δ = b^2 - 4ac 是二次函数的判别式。
零点是方程与x轴的交点，也是二次函数图像的横坐标。
五、二次函数的最值对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的最值可通过以下公式得到：最小值为y=c-Δ/(4a)最大值为y=c+Δ/(4a)最值对应的横坐标即为顶点的横坐标x=-b/(2a)六、二次函数的图像判断根据二次函数的标准形式 y = ax^2 + bx + c，可以通过以下步骤来判断其图像：1. 计算二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac2.如果Δ>0，则二次函数有两个不同的实根，图像与x轴有两个交点；3.如果Δ=0，则二次函数有一个重根，图像与x轴有一个交点；4.如果Δ<0，则二次函数没有实根，图像与x轴没有交点。
中考数学考点14二次函数图像与性质及与a、b、c的关系(解析版)
二次函数图像与性质及与a 、b 、c 的关系【命题趋势】在中考中.二次函数的图像与性质常在选择题和填空题常考；二次函数图像与系数a 、b 、c 的关系常在选择题或填空题的最后一题出现。
【中考考查重点】一、会用描点法画出二次函数的图像.通过图像了解二次函数的性质； 二、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为k ax +=-)h (2y 的形式.并能由此得到二次函数图像的顶点坐标.说出图像的开口方向.画出图像的对称轴。
考点一：二次函数的概念及三种解析式概念 形如的函数叫二次函数三种解析式 1. 一般式：；2. 顶点式：（a ≠0）其中（h,k ）为二次函数的顶点坐标3. 交点式：.其中为抛物线与x 轴交点的横坐标图像画法列表、描点、连线1．（2021秋•黔西南州期末）下列各式中.y 是关于x 的二次函数的是（ ） A ．y ＝4x +2 B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2 C ．y ＝3x 2+5﹣4x D ．y ＝【答案】C【解答】解：A ．y ＝4x +2.是一次函数.故A 不符合题意； B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2＝﹣2x +1.是一次函数.故B 不符合题意； C ．y ＝3x 2+5﹣4x ＝3x 2﹣4x +5.是二次函数.故C 符合题意； D ．y ＝等号右边是分式.不是二次函数.故D 不符合题意；故选：C ．考点二：二次函数的图像与性质2．（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5.则该二次函数图象的顶点坐标是（ ） A ．（﹣2.1） B ．（2.1）C ．（2.﹣1）D ．（1.2）【答案】B【解答】解：∵二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5. ∴x ＝﹣＝﹣＝2.y ＝＝＝1.二次函数图象的顶点坐标为（2.1）. 故选：B ．3．（2020秋•莫旗期末）对于二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象.下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．当x ＝﹣1时.y 有最大值是2C ．对称轴是直线x ＝﹣1解析式对称轴直线（还可以利用.其中为y 值相等的两个点对应的横坐标）求解）顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，增减性当时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧.y 随x 的增大而增大 当a ＜0时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧.y 随x的增大而减少最值当时.y 有最小值当2bx a =-时.y 有最小值244ac ba-． 当a ＜0时.y 有最大值当时.y 有最大值D．顶点坐标是（1.2）【答案】D【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的开口向上.故A错误；当x＝1时.函数有最小值2.故B错误；对称轴为直线x＝1.故C错误；顶点坐标为（1.2）.故D正确．故选：D．4．（2021秋•越秀区期末）在同一平面直角坐标系xOy中.一次函数y＝ax与二次函数y ＝ax2﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：选项A.直线下降a＜0.抛物线开口向上.a＞0.不符合题意．选项B.直线下降.a＜0.抛物线开口向下a＜0.抛物线与y轴交点在x轴下方.﹣a＜0.即a＞0.不符合题意．选项C.直线上升.a＞0.抛物线开口向上a＞0.抛物线与y轴交点在x轴下方.﹣a＜0.即a＞0.符合题意．选项D.直线上升.a＞0.抛物线开口向下a＜0.不符合题意．故选：C．5．（2021秋•南召县期末）已知（﹣3.y1）.（1.y2）.（5.y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m 上的点.则（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＝y2＞y3D．y1＞y2＝y3【答案】C【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+m＝﹣2（x+1）2+2+m.∴抛物线的开口向下.对称轴是直线x＝﹣1.∴当x＞﹣1时.y随x的增大而减小.∵（﹣3.y1）.（1.y2）.（5.y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点.∴点（﹣3.y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1.y3）.∵1＜5.∴y1＝y2＞y3.故选：C6．（2021秋•昭阳区期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+h.当x＞2时.y随x的增大而减小.则函数中k的取值范围是（）A．k≥2B．k≤2C．k＝2D．k≤﹣2【答案】B【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝k.因为a＝﹣1＜0.所以抛物线开口向下.所以当x＞k时.y的值随x值的增大而减小.而x＞2时.y的值随x值的增大而减小.所以k≤2．故选：B．考点三：二次函数图像与a、b、c的关系a、b、c的正负数判断二次函数图像二次项系数a 决定抛物线的开口方向及开口大小⑴当0a>时.抛物线开口向上⑵当0a<时.抛物线开口向下一次项系数b 决定对称轴的位置在二次项系数a确定的前提下.b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为对称轴为y轴）2.根据二次函数图像判断a 、b 、c 关系式与0的关系7．（2021秋•新抚区期末）如图.已知点A （﹣1.0）和点B （1.1）.若抛物线y ＝x 2+c 与线段AB 有公共点.则c 的取值范围是（ ）A ．﹣1≤c ≤0B ．﹣1≤c ≤C ．﹣1≤c ≤D ．0≤c ≤常数项系数c决定抛物线与y 轴的交点的位置⑴ 当0c >时.抛物线与y 轴的交点在x 轴上方⑵ 当0c =时.抛物线与y 轴的交点为坐标原点⑶ 当0c <时.抛物线与y 轴的交点在x 轴下方ac 4b2-决定抛物线与x 轴的交点个数b2－4ac ＞0时.抛物线与x 轴有2个交点;b2－4ac ＝0时.抛物线与x 轴有1个交点; b2－4ac ＜0时.抛物线与x 轴没有交点 决定抛物线与x 轴的交点个数关系式 实质2a+b实质式结合a 的正负比较a2b-与1关系 2a+b实质式结合a 的正负比较a2b-与-1关系 a+b+c 实质是令x=1.看纵坐标正负 a -b+c 实质是令x=-1.看纵坐标正负 4a+2b+c 实质是令x=2.看纵坐标正负 4a -2b+c实质是令x=-2.看纵坐标正负【答案】C【解答】解：设AB所在直线为y＝kx+b.将（﹣1.0）.（1.1）代入y＝kx+b得.∴y＝x+.如图.当抛物线与线段AB相切时.令x+＝x2+c.整理得x2﹣x﹣+c＝0.∴Δ＝（﹣）2﹣4（﹣+c）＝0.解得c＝.c减小.抛物线向下移动.当抛物线经过点A（﹣1.0）时.将（﹣1.0）代入y＝x2+c得0＝1+c.解得c＝﹣1.∴﹣1≤c≤满足题意．故选：C．8．（2021秋•肃州区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示.在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向上.∴a＞0.∵0＜﹣＜1.∴b＜0.2a﹣b＞0.①不正确.不符合题意．∵抛物线与y轴交点在x轴下方.∴c＜0.∴abc＞0.②不正确.不符合题意．∵x＝1时.y＜0.∴a+b+c＜0.③正确.符合题意．∵x＝﹣1时.y＞0.∴a﹣b+c＞0.④正确.符合题意．∵x＝2时.y＞0.∴4a+2b+c＞0.⑤正确.符合题意．故选：C1．（2021秋•五常市期末）抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴是直线（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝2【答案】B【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3.∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1.故选：B．2．（2021秋•呼和浩特期末）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1.下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0.1）B．当x＜1时.y的值随x值的增大而减小C．图象的顶点坐标为（﹣1.﹣3）D．图象的对称轴在y轴的右侧【答案】C【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3.∴当x＝0时.y＝﹣1.故选项A错误.该函数的对称轴是直线x＝﹣1.当x＜﹣1时.y随x的增大而减小.故选项B错误.图象的顶点坐标为（﹣1.﹣3）.故选项C正确.图象的对称轴在y轴的左侧.故选项D错误.故选：C．3．（2021春•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（﹣4.4.y1）和B （﹣3.3.y2）.那么下列结论一定成立的是（）A．0＜y2＜y1B．0＜y1＜y2C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0【答案】C【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2.∴二次函数图象开口向下.对称轴为直线x＝﹣1.顶点为（﹣1.0）.∵A（﹣4.4.y1）和B（﹣3.3.y2）.∴|﹣1+4.4|＞|﹣1+3.3|.∴y1＜y2＜0.故选：C．4．（2021秋•克东县期末）抛物线y＝x2﹣2x﹣4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N.则点N的坐标为（）A．（1.﹣5）B．（1.5）C．（﹣1.5）D．（﹣1.﹣5）【答案】C【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5.∴该抛物线的顶点M的坐标为（1.﹣5）.∴顶点M关于坐标原点O的对称点为N的坐标为（﹣1.5）.故选：C．5．（2021秋•龙江县期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数.且a≠0）如图所示.现有结论：①abc＜0.②b2＞4ac.③3a+c＞0.④ac﹣bc+c2＜0．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向上.∴a＞0.∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1.∴b＝﹣2a＜0.∵抛物线与y轴交点在x轴下方.∴c＜0.∴abc＞0.①错误．∵抛物线与x轴有2个交点.∴b2﹣4ac＞0.∴b2＞4ac.②正确．∵b＝﹣2a.∴y＝ax2﹣2ax+c.由图象可得x＝﹣1时y＞0.∴a+2a+c＝3a+c＞0.③正确．∵c＜0.∴ac﹣bc+c2＜0可整理为a﹣b+c＞0.∵x＝﹣1时y＞0.∴a﹣b+c＞0.④正确．故选：C．1．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（）A．x＝2B．x＝4C．x＝﹣2D．x＝﹣4【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+1.∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2．故选：C．2．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1.0）、（3.0）.且与y轴交于点（0.﹣5）.则当x＝2时.y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5【答案】A【解答】解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1.0）、（3.0）.且与y轴交于点（0.﹣5）.∴可画出上图.∵抛物线对称轴x＝＝1.∴点（0.﹣5）的对称点是（2.﹣5）.∴当x＝2时.y的值为﹣5．故选：A．3．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2.当x＞0时.y随x增大而增大.则实数a 的取值范围是（）A．a＞0B．a＞1C．a≠1D．a＜1【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2.当x＞0时.y随x增大而增大.∴a﹣1＞0.∴a＞1.故选：B．4．（2021•阜新）如图.二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A.B（﹣1.0）两点.则下列说法正确的是（）A．a＜0B．点A的坐标为（﹣4.0）C．当x＜0时.y随x的增大而减小D．图象的对称轴为直线x＝﹣2【答案】D【解答】解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上.∴a＞0.故A错误.∵图象对称轴为直线x＝﹣2.且过B（﹣1.0）.∴A点的坐标为（﹣3.0）.故B错误.D正确.由图象知.当x＜0时.由图象可知y随x的增大先减小后增大.故C错误.故选：D．5．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、由抛物线可知.a＞0.b＜0.c＝1.对称轴为直线x＝﹣.由直线可知.a ＞0.b＜0.直线经过点（﹣.0）.故本选项符合题意；B、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；C、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；D、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；故选：A．6．（2021•阿坝州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示.下列说法错误的是（）A．a＜0.b＞0B．b2﹣4ac＞0C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5.x2＝﹣1D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5【答案】D【解答】解：由图象可知.抛物线开口向下.所以a＜0；对称轴为直线x＝﹣＝2.所以b＝﹣4a.所以b＞0.故A正确．因为抛物线与x轴有两个交点.所以b2﹣4ac＞0.故B正确．由图象和对称轴公式可知.抛物线与x轴交于点（5.0）和（﹣1.0）.所以方程ax2+bx+c ＝0的解是x1＝5.x2＝﹣1.故C正确．由图象可知.不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5.故D错误．故选：D．7．（2021•雅安）定义：min{a.b}＝.若函数y＝min{x+1.﹣x2+2x+3}.则该函数的最大值为（）A．0B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3.解得x＝﹣1或x＝2．∴y＝.把x＝2代入y＝x+1得y＝3.∴函数最大值为y＝3．故选：C．8．（2021•烟台）如图.二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1.0）.B（3.0）.与y 轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时.y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：把点A（﹣1.0）.B（3.0）代入二次函数y＝ax2+bx+c.可得二次函数的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a.∵该函数图象开口方向向下.∴a＜0.∴b＝﹣2a＞0.c＝﹣3a＞0.∴ac＜0.3a+c＝0.①错误.③正确；∵对称轴为直线：x＝﹣＝1.∴x＜1时.y随x的增大而增大.x＞1时.y随x的增大而减小；②错误；∴当x＝1时.函数取得最大值.即对于任意的m.有a+b+c≥am2+bm+c.∴a+b≥am2+bm.故④正确．综上.正确的个数有2个.故选：B．9．（2021•徐州）如图.点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4.直线AB与y轴交于点C.连接OA、OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若函数y＝x2的图象上存在点P.使△P AB的面积等于△AOB的面积的一半.则这样的点P共有个．【答案】（1）y＝+2 （2）6 （3）4【解答】解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上.A、B的横坐标分别为﹣2、4.∴A（﹣2.1）.B（4.4）.设直线AB的解析式为y＝kx+b.∴.解得.∴直线AB的解析式为y＝+2；（2）在y＝+2中.令x＝0.则y＝2.∴C的坐标为（0.2）.∴OC＝2.∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．（3）过OC的中点.作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2.此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半.作直线P1P2关于直线AB的对称直线.交抛物线两个交点P3、P4.此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半.所以这样的点P共有4个.故答案为4．1．（2021•龙湾区模拟）下列函数中.是二次函数的是（）A．y＝6x2+1B．y＝6x+1C．y＝D．y＝﹣+1【答案】A【解答】解：A．是二次函数.故本选项符合题意；B．是一次函数.不是二次函数.故本选项不符合题意；C．是反比例函数.不是二次函数.故本选项不符合题意；D．等式的右边是分式.不是整式.不是二次函数.故本选项不符合题意；故选：A．2．（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系中.A的坐标为（1.﹣2）.B的坐标为（﹣1.﹣5）.若y关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1在﹣1≤x≤1段的图象始终在线段AB 的下方.则m的取值范围是（）A．m＜﹣3B．m＞2C．m＜﹣2或m＞2D．m＜﹣3或m＞2【答案】D【解答】解：∵y关于x的二次函数为y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1.∴顶点式为y＝﹣（x﹣m）2﹣1.∴抛物线顶点为（m.﹣1）.当﹣1≤m≤1时.∵﹣1＞﹣2＞﹣5.∴顶点在线段AB的上方.不符合题意；当m＜﹣1时.若二次函数的图象与线段AB交于点B.则当x＝﹣1时.y＝﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5.解得：m1＝﹣3.m2＝1（舍去）.∴要使二次函数的图象在线段AB的下方.则需要将图象向左平移.∴m＜﹣3.当m＞1时.若二次函数图象与线段AB交于点A.则当x＝1时.y＝﹣（1﹣m）2﹣1＝﹣2.解得：m1＝2.m2＝0（舍去）.∴而要使二次函数始终在线段AB下方.则需要将图象向右平移.∴m＞2.综上所述：m＜﹣3或m＞2．故选：D．3．（2021•陕西模拟）如图.若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1.与y 轴交于点C．与x轴交于点A、点B（﹣1.0）．则：①二次函数的最大值为1；②4a ﹣2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时.x＜﹣1或x＞3．其中错误的个数是（）A．I B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：∵对称轴为直线x＝1.∴b＝﹣2a.∵B（﹣1.0）.∴A（3.0）.∴a﹣b+c＝0.∴c＝﹣3a.∴y＝ax2﹣2ax﹣3a；①当x＝1时.函数的最大值是a+b+c.故①不正确；②当x＝﹣2时.y＜0.∴4a﹣2b+c＜0.故②不正确；③∵函数与x轴有两个不同的交点.∴Δ＝b2﹣4ac＞0.故③正确；④由图象可知当y＜0时.x＜﹣1或x＞3.故④正确；故选：B．。
二次函数知识点和解题方法总结
二次函数知识点及解题方法总结、二次函数概念：1．二次函数的概一般地，形如y ax2 bx c（a，b，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y ax2 bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵ a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y ax2 c 的性质：上加下减3. y a x h 2的性质：左加右减24. y a x h k 的性质：a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a0向上 h ，kX=h x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小； x h 时，y 有最小值k ．a0向下h ，kX=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随x 的增大而增大； x h 时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：①将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h 2 k ，确定其顶点坐标 h ，k ；②保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其顶点平移到 h ，k 处，具体平移方法如下：方法二：① y ax 2 bx c 沿 y 轴平移: 向上(下)平移m 个单位，y ax 2 bx c 变成 y ax 2 bx c m (或 y ax 2 bx cm )：② y ax 2 bx c 沿轴平移：向左(右)平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变成 y a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2 b(x m) c )2. 平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”．四、二次函数 y a x h k 与 y ax 2 bx c 的比较从解析式上看， y a x h k 与 y ax 2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b 4ac b 2b 4ac b 2 者，即 y a x，其中 h ，k ．2a 4a 2a 4ay=ax 2y=ax 2+k平移 |k|个单位y=a (x-h) 2向右 (h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2 +k向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位向右( h>0) 【或左 (h<0)】 向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位向上 (k>0)【或下 (k <0) 】 平移 |k|个单位向右 (h>0)【或左(h<0)】 平移 |k| 个单位五、二次函数 y ax 2 bx c 图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax 2 bx c 化为顶点式 ya(x h)2 k ，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点 x 1，0 ， x 2，0 (若与x 轴 没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y ax 2 bx c 的性质21. 当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b ．当 x b 时，y2a 2a 4a 2a2随 x 的增大而减小；当x b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x b 时，y 有最小值 4ac b ．2a 2a 4a2随 x 的增大而增大；当x b 时， y 随 x 的增大而减小；当 xb时，y 有最大值 4ac b ．2a 2a 4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y ax 2 bx c (a ，b ，c 为常数，a 0)；2. 顶点式：y a(x h)2 k (a ，h ，k 为常数，a 0)；3. 两根式：y a(x x 1)(x x 2)(a 0，x 1， x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点 式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解 析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax 2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然a 0 ．⑴ 当a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 当a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb， 2a ，顶点坐标为b 2a4ac b 2 4a当x 2b a 时，y2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a 0 的前提下，当b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2a当b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当b 0时，b 0 ，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2a⑵ 在a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0时，b 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴x b在2ay 轴左边则ab 0，在y 轴的右侧则ab 0 ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当c 0 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称y ax2 bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；2. 关于y 轴对称y ax2 bx c关于y 轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；22y a x h k 关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；3. 关于原点对称y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h k 关于原点对称后，得到的解析式是y a x h k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）b2y ax2 bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c b；2a22y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h k ．5. 关于点m ，n 对称22y a x h k 关于点m，n 对称后，得到的解析式是y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c 当函数值y 0 时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：① 当b2 4ac 0 时，图象与x轴交于两点 A x1，0 ，B x2 ，0 （x1 x2），其中的x1 ，x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离AB x2 x1b 4ac.a② 当0时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0时，图象与x 轴没有交点.1' 当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ；2' 当 a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0．2. 抛物线y ax2 bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0 ，c）；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c 中a ，b ，c的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c a（ 0）本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：一、二次函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数y （m 2）x2 m2 m 2 的图像经过原点，则m的值是2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数。
常见的四种方法求二次函数解析式包括配方法、因式分解法、求根公式法和完成平方法。
1.配方法：配方法适用于二次函数的系数不为1时，即a≠1的情况。
步骤：a) 将二次函数写成完全平方的形式，即通过将ax^2+bx+c中的b项分拆成两个相等的项得到。
例如：y=x^2+6x+5可以写成y=(x+3)^2-4b)化简得到二次函数的解析式。
例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+5=（x+3)^2-42.因式分解法：因式分解法适用于二次函数可以被因式分解的情况，即可以找到两个一次因式的乘积形式。
步骤：a) 将二次函数写成完全平方的形式，即通过将ax^2+bx+c中的b项分拆成两个相等的项得到。
例如：y=x^2+6x+5可以写成y=(x+1)(x+5)。
b)化简得到二次函数的解析式。
例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+5=(x+1)(x+5)。
3.求根公式法：求根公式法适用于二次函数的解存在有理根的情况。
步骤：a) 根据二次函数的系数a、b、c，计算出二次函数的判别式Δ=b^2-4ac。
b)根据判别式Δ的数值，判断方程的解的情况：-如果Δ>0，则有两个不相等的实根；-如果Δ=0，则有两个相等的实根（重根）；-如果Δ<0，则没有实根，但可能有两个虚根。
c)根据求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)，求出实根或复根。
4.完成平方法：完成平方法适用于二次函数的系数为1时，即a=1的情况。
步骤：a)将二次函数进行配方，将其转化成完全平方的形式。
例如：y=x^2+6x+___，需要找到一个数来补全。
根据(b/2)^2的性质，可以将6/2=3得到的平方数补全，即y=x^2+6x+9b)化简得到二次函数的解析式。
例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+9=(x+3)^2通过以上四种方法，可以根据具体的二次函数形式，选择适合的方式来求得二次函数的解析式。
二次函数必背知识点(精辟)
二次函数必背知识点_ _冲刺中考21. 定义：一般地，如果y ax bx c（a,b,c是常数，a 0），那么y叫做x的二次函数22. 二次函数y ax的性质（1）抛物线y ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数y ax2的图像与a的符号关系.①当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax2（a 0）.3•二次函数y ax bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线24.二次函数y ax bx c用配方法可化成：yb , 4ac b22a，4aa相等，抛物线的开口大小、形状相同②平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同2a x h k的形式，其中5•二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① 2 2y ax ；② y ax k :③2 2 2y a x h :④ y a x h k :⑤ y ax bx c.6•抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点①a的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下;7.顶点决定抛物线的位置•几个不同的二次函数, 如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1 ）公式法：y ax2bx c2b2a4ac b24a2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y a x h k 的形式，得到顶点为（h , k ）,对称轴是直线x h .（3 ）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失29•抛物线y ax bx c 中，a,b,c 的作用2（1） a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax 中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置 •由于抛物线y ax 2 bx c 的对称轴是直线x—，故：①b 0时，对称轴为y 轴；②一0 （即a 、b 同号）时，对称轴2a ab在y 轴左侧；③一 0 （即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧•a2（3） c 的大小决定抛物线 y ax bx c 与y 轴交点的位置•2当x 0时，y c ，二抛物线y ax bx c 与y 轴有且只有一个交点（0, c ）: ①c 0 ,抛物线经过原点；②c 0,与y 轴交于正半轴；③ c 0 ,与y 轴交于负半顶点是（ ―,4ac b），对称轴是直线x2a 4ab 2a以上三点中，当结论和条件互换时, 仍成立.如抛物线的对称轴在Ky 轴右侧，则一 a0.11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y ax2 bx c•已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y ax h? k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x i、X2，通常选用交点式：y ax x1x x2.12. 直线与抛物线的交点2（1）y轴与抛物线y ax bx c得交点为（0, c）.2（2）与y轴平行的直线x h与抛物线y ax bx c有且只有一个交点2（h, ah bh c）.（3 ）抛物线与x轴的交点二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元2二次方程ax bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0 抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）0 抛物线与x轴相切；③没有交点0 抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是ax 2 bx c k 的两个实数根•（5）—次函数 y kx n k 0的图像I 与二次函数 y ax bx c a 0的图像Gy kx n的交点，由方程组厂2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解y ax bx c时 I 与G 有两个交点；②方程组只有一组解时 I 与G 只有一个交点；③方程组无解时 I 与G 没有交点.2A X i,0，B X 2,0，由于X i 、X 2是方程ax bx c 0的两个根，故bc x 1 x 2 ,x 1 x 2 aa考点一、二次函数的概念和图像（3~8分）1、二次函数的概念2一般地，如果y ax bx c （a, b, c 是常数，a 0），那么y 叫做x 的二次函数。
二次函数配方法公式
二次函数配方法公式二次函数是代数学中最基本的二次多项式函数，具有通用的标准形式f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
二次函数在代数学中有着广泛的应用，特别是在物理学、经济学和工程学等领域中。
掌握二次函数的配方法公式，可以帮助我们快速求解二次函数的根、顶点等重要信息，进一步解决实际问题。
接下来，我将详细介绍二次函数的配方法公式及其应用。
配方法是指把二次函数f(x) = ax² + bx + c 转化为一个完全平方的形式，从而更方便地求解方程的根或者找到二次函数的顶点。
1.完全平方公式完全平方公式是指将一个一元二次方程转化为一个完全平方的形式。
给定一元二次方程ax² + bx + c = 0（其中a ≠ 0），我们可以通过配方法将其转化为(x + p)² + q = 0 的形式，其中 p、q 是实数。
具体步骤如下：步骤 1：将一元二次方程ax² + bx + c = 0 移项，得到ax² + bx= -c。
步骤2：为了使得左边的二次项构成一个完全平方，我们将方程第2项的系数b除以2，并加上平方项(b/2)²，同时在等式两边加上相同的值。
这样，方程左边就成了一个完全平方，得到了形如(x+p)²=q的方程。
步骤3：根据一元二次方程的性质，当且仅当左边的完全平方等于零时，方程才有解。
因此，我们可以根据一元二次方程的根的性质，求解方程。
2.求二次函数的顶点坐标二次函数的顶点坐标 (h, k) 可以通过配方法求解。
根据配方法公式，二次函数f(x) = ax² + bx + c 可以表示成完全平方的形式(x + p)² + q。
其中，二次函数 f(x) 的顶点坐标为 (h, k)，满足 h = -p，k = q。
具体步骤如下：步骤 1：将二次函数f(x) = ax² + bx + c 变形为完全平方的形式(x + p)² + q。
配方法二次函数
配方法二次函数二次函数是一种重要的数学函数形式，具有特定的曲线特征。
配方法是一种常用的求解二次函数的方法。
在本文中，我们将探讨配方法的工作原理、使用场景以及具体的求解步骤。
1. 配方法简介配方法，也称作配方法，是一种用于解二次方程的方法。
它基于二次函数的形式，通过通过配方和求根公式的使用，将二次方程化简为一次方程或其他简单的数学表达式，从而求解出变量的值。
2. 配方法的工作原理二次函数的一般形式为：f(x)=ax2+bx+c，其中a、b和c是已知的常数，x 是未知变量。
当我们使用配方法求解二次方程时，我们要通过一系列的代数操作，将二次方程转化为一个易于求解的形式。
配方法的主要步骤如下： - 将二次函数f(x)写成完全平方的形式，即将x2的系数a提取出来，得到$f(x) = a(x^2 + \\frac{b}{a}x + \\frac{c}{a})$。
- 在括号内完成平方操作，即找到一个常数d，使得$(x + \\frac{b}{2a})^2 = x^2 + \\frac{b}{a}x + \\frac{c}{a}$。
- 将d代入括号中，即得到$f(x) = a(x + \\frac{b}{2a})^2 +\\frac{c}{a} - \\frac{b^2}{4a}$。
- 对于x的平方项，我们可以使用开方法将其转化为一次项。
解方程$(x + \\frac{b}{2a})^2 = \\frac{c}{a} - \\frac{b^2}{4a}$，得到$x + \\frac{b}{2a} = \\pm\\sqrt{\\frac{c}{a} - \\frac{b^2}{4a}}$。
- 最后，通过求解一次方程$x + \\frac{b}{2a} = \\pm\\sqrt{\\frac{c}{a} - \\frac{b^2}{4a}} -\\frac{b}{2a}$，我们可以得到二次方程的解。
3. 配方法的使用场景配方法主要用于解决二次方程的问题。
解二次函数方程的公式
解二次函数方程的公式二次函数方程是形如y=ax^2+bx+c的二次函数，其中a，b，c都是实数且a不等于零。
这个方程的解法有三种常用的方法：配方法、因式分解法和求根公式法。
一、配方法配方法是一种通过配方将二次函数转换为完全平方的形式，然后再求解的方法。
1. 已知二次函数方程为y=ax^2+bx+c，先将方程右侧的常数项c移至左侧得到y=ax^2+bx=-c。
2. 将方程右侧的线性项bx进行配方，即取二次项系数的一半，即(b/2)^2，加减到方程左侧得到y+bx+(b/2)^2=(-c)+(b/2)^23. 左侧的三项可以写为一个完全平方的形式，即(y+(b/2))^2，右侧展开得到y^2+by+(b/2)^2=(-c)+(b/2)^24. 将方程进一步变形得到(y+(b/2))^2=(b^2-4ac+4c)/4a。
5.对右侧的式子进行化简，如果可以得到一个完全平方，则方程有解，否则方程无解。
6.如果得到一完全平方，令右侧等于d^2，则方程变为(y+(b/2))^2=d^27.对上述方程取正负根，得到两个方程y+(b/2)=±d。
8.解两个方程，得到x的值，即为二次函数方程的解。
二、因式分解法因式分解法是一种将二次函数方程进行因式分解，然后再求解的方法。
1. 已知二次函数方程为y=ax^2+bx+c，先将方程右侧的常数项c移至左侧得到y=ax^2+bx=-c。
2. 对方程左侧进行因式分解，将y进行拆分为两个因子，即y=(px+q)(rx+s)。
其中p、q、r、s是待定系数。
3.对右侧的常数项-c进行拆分，找到两个系数使得二次项、线性项和常数项都能够匹配。
4. 将因式分解得到的公式，进行展开得到一个完整的二次函数方程，即px^2+(pxs+qrx)x+qrs=-c。
5. 比较两个方程的系数，得到如下关系：qr=a，qs+pr=b，rs=-c。
6.由上述关系式求解p，q，r，s的值。
7. 将得到的p，q，r，s的值代入因式分解公式，得到两个方程(px+q)=0和(rx+s)=0。
求二次函数解析式的几种方法
求二次函数解析式的几种方法二次函数是数学中重要的函数之一，其一般形式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a，b，c为常数，a≠0。
求二次函数解析式的方法有很多，下面将详细介绍其中几种常用的方法。
1.直接法：直接利用已知的函数图像上的点进行求解。
设过点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)的二次函数解析式为f(x)，将点坐标代入方程，即得到3个方程组成的线性方程组，解得a，b，c的值，进而得到二次函数解析式。
2.配方法：如果二次函数的系数a不为1，可利用配方法将其化为标准形式f(x)=a(x-h)^2+k。
配方法的步骤如下：1) 将二次函数右侧展开，得到f(x) = a(x^2 - 2hx + h^2) + k；2) 合并同类项，得到f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k；3) 将二次项与一次项拆开，得到f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k；4) 将二次项与一次项的平方项合并，得到f(x) = a(x - h)^2 +(ah^2 + k)；5) 由于平方项的系数为a，根据二次函数的性质，可以确定顶点坐标为(h, ah^2 + k)；6)最后，根据顶点坐标和a的值，可以求得二次函数解析式。
3.试探法：当二次函数的系数a为1时，可以利用试探法求解。
试探法的步骤如下：1)根据二次函数的特性，确定顶点坐标为(h,k)，其中h为抛物线的对称轴的横坐标，k为抛物线的顶点纵坐标；2)将顶点坐标代入二次函数的解析式，得到f(x)=(x-h)^2+k；3)根据顶点坐标求得的解析式，绘制函数图像，判断是否与已知的函数图像相同。
4.求导法：对于给定二次函数的函数表达式，可以通过求导的方法来求解。
求导法的步骤如下：1) 对二次函数f(x)求导，得到f'(x) = 2ax + b；2)由于二次函数的导数为一次函数，即直线，因此可以根据已知的函数的导数与原函数的关系来确定函数的解析式；3)通过观察导数的图像，可以得到解析式的系数a和b的值。
二次函数配方法的过程
二次函数配方法的过程二次函数是一个具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的二次多项式函数，其中a、b和c是实数且a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，它可以开口向上也可以开口向下。
在解决问题中使用二次函数时，常常需要运用以下几个步骤来进行配方法：第一步：将二次函数写成标准形式。
标准形式是指将二次函数进行完全平方后得到的形式。
为了将二次函数配方法，我们需要将它写成标准形式。
标准形式可以帮助我们更好地分析二次函数。
标准形式为f(x) = a(x-h)^2 + k。
其中，(h, k)为抛物线的顶点坐标。
为了将二次函数化为标准形式，我们可以通过两种方法进行：方法一：使用“配方”来完成。
如果二次项的系数a不为1，我们可以使用配方法将二次函数化为标准形式。
具体方法如下：1. 将二次函数展开，得到f(x) = ax^2 + bx + c。
2. 使用求根公式x1,2 = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)求出函数的根（也就是方程ax^2 + bx + c = 0的解）。
3. 根据根的性质，我们可以知道抛物线的轴对称线的x坐标为根的平均值：h = (x1 + x2)/2。
4. 代入轴对称线的x坐标h，我们可以求出抛物线的顶点坐标。
顶点的y坐标为f(h)。
5. 将f(x)写成a(x-h)^2 + k的形式。
具体为f(x) = a(x-h)^2 + f(h)。
方法二：使用“配方法”来完成。
如果二次项的系数a为1，我们可以直接使用配方法将二次函数化为标准形式。
具体方法如下：1. 将二次函数展开，得到f(x) = x^2 + bx + c。
2. 将二次项和常数项替换为相同的式子，这个式子通常选择为(b/2)^2。
3. 将二次函数写成完全平方的形式，即f(x) = (x + b/2)^2 + c - (b/2)^2。
4. 根据完全平方的形式，我们可以知道抛物线的顶点坐标为(-b/2, c - (b/2)^2)。
初中数学二次函数知识点汇总
初中数学二次函数知识点汇总1.二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（a,b,c为常数，且a≠0）的函数。
2.当二次函数为y=ax^2时，其抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴。
其开口方向与a的符号有关，当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最高点。
当a≠0时，顶点为坐标原点，对称轴为y轴的抛物线的解析式形式为y=ax^2.3.二次函数为y=ax^2+bx+c时，其图像为对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线。
4.二次函数可以通过配方法化为y=a(x-h)^2+k的形式，其中h和k可以通过公式h=-b/2a，k=-Δ/4a求得。
5.二次函数可以分为以下几种形式：y=ax，y=ax+k，y=a(x-h)，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c。
6.抛物线的三要素包括开口方向、对称轴和顶点。
a的符号决定抛物线的开口方向，平行于y轴（或重合）的直线记作x=h，顶点决定抛物线的位置。
7.当二次函数的二次项系数a相同时，不同的二次函数的抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。
8.求抛物线的顶点和对称轴的方法包括公式法、配方法和对称性法。
其中，配方法可以得到顶点为(h,k)，对称轴为直线x=h；公式法可以验证配方法得到的顶点是否正确；对称性法可以通过抛物线的对称性求得顶点和对称轴的位置。
9.在二次函数y=ax^2+bx+c中，a决定开口方向及开口大小，b和a共同决定抛物线对称轴的位置。
当b=0时，对称轴为y轴；当a和b同号时，对称轴在y轴左侧。
当方程组有一组解时，l与G有一个交点；③当方程组无解时，l与G无交点。
对于第一种情况，交点的横纵坐标分别是解出的两个实数；对于第二种情况，交点的横坐标是解出的实数，纵坐标可以通过代入二次函数的解析式得到；对于第三种情况，无交点。
特别地，当k=0时，直线与x轴平行，此时直线与抛物线的交点可以通过解一元二次方程得到。
二次函数配方法的步骤
二次函数配方法的步骤二次函数是高中数学中比较重要的一个内容，其中配方法是解二次方程的一种方法。
配方法又分为两种：配方法一和配方法二。
下面我们来详细介绍二次函数配方法的步骤。
一、配方法一的步骤1. 将二次函数转化成标准形式y=ax²+bx+c，并确定 a,b,c 的值。
2. 计算出 a 的值，判断 a 是否为 0 。
若 a = 0，则该二次函数非二次函数；若a ≠ 0，则进行下面的计算。
3. 将ax²+bx+c 中的 b 改写成 2am+n 的形式，此时原方程可改写成 y=a(x^2+2mx+n)+c-2am²。
4. 令 x^2+2mx+n 的值等于一个完全平方数 k^2，即x^2+2mx+n=k^2，此时方程可化为 y=a(k^2)+c-2am²。
5. 化简后可得y=a(k+m)²+(c-2am²-a(m²-k²))。
6. 利用第五步结果中的公式，将一般式转化成顶点式，即y=a(x-h)²+k，其中 h=-m，k=c-2am²-a(m²-k²)/(4a)。
二、配方法二的步骤1. 将二次函数转化成标准形式y=ax²+bx+c，并确定 a,b,c 的值。
2. 利用公式b²-4ac，判断该方程的解的类型：当b²>4ac 时，有两个不相等的实根；当b²=4ac 时，有一个重根；当b²<4ac 时，有两个虚根。
3. 当有两个不相等的实根时，即b²>4ac，在解b²-4ac 开平方根后，可得两个不相等的实根：x1=( -b+√(b²-4ac) )/2a,x2=( -b-√(b²-4ac) )/2a。
4. 当有一个重根时，即b²=4ac，解为 x=-b/2a。
5. 当有两个虚根时，即b²<4ac，解为 x=( -b+√(4ac-b²)i )/2a,x=( -b-√(4ac-b²)i )/2a，其中 i 为虚数单位。
二次函数配方口诀.doc
二次函数配方口诀求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴方程、最大值或最小值等都需要运用配方法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，其中配方是学习中的难点，这里的配方虽然与一元二次方程的配方有点类似，但不尽相同，不少初学者茫然无措．现将配方过程归纳为如下口诀，方便大家的学习．二次系数先提取，常数暂且往后移；一次系数取一半，平方以后再加减；前三配方四相乘，最后再算常数项．口诀解析：二次系数先提取，常数暂且往后移的意思是：把y=ax2+bx+c的二次项系数a作为公因式提取，常数项c放到括号外的后面，化为：一次系数取一半，平方以后再加减的意思是：在括号内的x2+bx/a，取一次项的系数b/a的一半b/(2a)，加上和减去它的平方[b/(2a)]2，化为：前三配方四相乘的意思是：具体运用看如下例子：例1 把y=2x2-3x-5化为y=a(x-h)2+k的形式.解：二次系数先提取，常数暂且往后移，得：y=2(x2-3x/2)-5；一次系数取一半，平方以后再加减得：y=2(x2-3x/2+9/16-9/16)-5；前三配方后相乘，得y=2(x-3/2)2-9/16×2-5；再加后面常数项，得：y=2(x-3/2)2-49/8.例2 用配方法求二次函数y=-x2+4x+1的图象顶点坐标．解：根据配方口诀，得：y=-( x2-4x)+1=-( x2-4x+4-4)+1=-[ (x-2)2-4]+1=-(x-2)2-4×(-1)+1=-(x-2)2+5.所以顶点坐标为（2，5）．例3 求二次函数y=3x2/2+9x-7的最小值．解：根据配方口诀，得：y=3/2(x2+6x)-7=3/2(x2+6x+9-9)-7=3/2[(x+3)2-9]-7=3/2(x+3)2-9×3/2-7=3/2(x+3)2-41/2，因为a=3/20，所以当x=-3时，y最小值=-41/2.例4 求抛物线y=ax2-4ax+1的对称轴方程．解：y=a(x2-4x)+1=a(x2-4x+4-4)+1=a[(x-2)2-4]+1=a(x-2)2-4a+1，所以对称轴方程为x=2.。
二次函数一般式配方公式
二次函数一般式配方公式引言二次函数是高中数学中常见的一个重要的数学函数，它的一般式配方公式被广泛应用于解决各种实际问题、分析函数的性质以及求解数学题目等方面。
本文将介绍二次函数一般式配方公式的基本概念、用法和示例，以帮助读者更好地理解和应用该公式。
二次函数一般式二次函数一般式也被称为标准形式，它的一般表达式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c分别为常数，而x则为自变量。
在二次函数中，a、b、c的取值对函数的形状和性质有重要影响。
a决定了二次函数的开口方向和开口的大小，正值使得开口朝上，负值则使得开口朝下；b决定了二次函数的对称轴，其方程为x = -b/2a；c为二次函数的y轴截距，表示二次函数与y轴的交点。
一般式配方公式的应用一般式配方公式可以用来求解二次函数的各种问题，例如求函数的顶点、求函数的零点或根、判断函数的开口方向和图像的开口大小等。
求函数的顶点函数的顶点即二次函数图像的最高点或最低点，通过一般式配方公式可以求得。
顶点坐标的x坐标为-b/2a，即函数对称轴的横坐标。
将该横坐标代入原函数中，即可求得顶点的纵坐标。
求函数的零点或根函数的零点或根即方程f(x) = 0的解，也可以通过一般式配方公式求得。
将函数的表达式代入方程中，然后利用因式分解、求根公式或配方法等解方程的方法，可以得到函数的零点或根。
判断函数的开口方向和图像的开口大小通过一般式配方公式中a的取值，可以判断二次函数的开口方向和图像的开口大小。
当a大于0时，函数的开口朝上，图像是一个开口向上的抛物线；当a小于0时，函数的开口朝下，图像是一个开口向下的抛物线。
示例下面通过一个具体的示例来演示一般式配方公式的应用。
例题：给定二次函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求解以下问题：1.求函数的顶点；2.求函数的零点或根；3.判断函数的开口方向和图像的开口大小。
首先，根据一般式配方公式，可以得到a=2，b=-4，c=1。
二次函数的配方法
二次函数的配方法二次函数也被称为二次方程，是一个常见的函数类型，在数学中有重要的应用。
二次函数的通用形式可以表示为y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c是实数常数，a不等于零。
配方法是一种用于求解二次方程的工具，它可以将一个二次方程转化成一个可以因式分解的形式。
通过配方法，我们可以找到二次方程的根。
下面将详细介绍二次函数的配方法。
步骤一：确定二次项系数a和常数项c在配方法中，我们需要确定二次项系数a和常数项c的值。
在已知二次函数的形式y = ax^2 + bx + c时，a和c的值可以直接读取出来。
例如，对于二次函数y=2x^2+3x+1，其中a=2，c=1步骤二：计算配方项配方法的关键在于计算配方项，配方项用于将二次项系数a转化成一个完全平方的形式。
配方项可以通过以下公式计算得到：配方项=(一次项系数的一半)^2一次项系数是指二次项系数b的一半。
例如，如果b=3，则一次项系数为1.5例如，在二次函数y=2x^2+3x+1中，一次项系数为1.5，那么配方项为1.5^2=2.25步骤三：将配方项加入二次函数将计算得到的配方项加入二次函数中，形成一个新的表达式。
例如，在二次函数y=2x^2+3x+1中，配方项为2.25、将其加入二次函数得到新的表达式y=2x^2+3x+2.25步骤四：将新的二次函数转化成完全平方形式通过将新的二次函数转化成一个完全平方的形式，即(x+p)^2，其中p是一个实数常数。
为了将新的二次函数转化成完全平方形式，我们可以以配方项为线索。
将配方项开平方，得到一个实数。
例如，在新的二次函数y=2x^2+3x+2.25中，配方项为2.25、将它开平方得到1.5步骤五：完成配方法将新的二次函数转化成完全平方形式后，配方项的系数前面应该是1、所以我们需要将二次函数除以a的值，这将产生一个常数p。
例如，在新的二次函数y=2x^2+3x+2.25中，a的值为2、将二次函数除以2，得到y=(x+1.5)^2于是，我们成功地将二次函数转化成一个完全平方的形式。
二次函数配方法公式过程
二次函数配方法公式过程一.二次函数及二次方程的基本概念：二次函数是定义域为所有实数的形如f(x) = ax²+bx+c 的函数，其中 a、b、c 为常数，且a≠0。
二次方程是形如ax²+bx+c = 0 的方程，其中 a、b、c 都是已知的常数，且a≠0。
求解二次方程的根，即求解方程的解集。
二.二次函数配方法的步骤：1.将二次函数化为标准形式：f(x)=a(x-h)²+k其中a为二次项系数，h、k分别为顶点的横坐标和纵坐标。
这一步的目的是为了方便之后的平移操作和求顶点的坐标。
2.求得顶点的坐标：(h,k)顶点的横坐标h=-b/2a，纵坐标k=f(h)=f(-b/2a)。
这一步可以通过将二次函数转化为标准形式，再利用顶点公式求得顶点坐标。
3.将二次函数平移到顶点所在位置：g(x)=a(x-h)²+k平移的目的是为了让二次函数的顶点与原点重合，即h=0，k=0。
这一步可以通过将横坐标x进行平移变换得到。
4. 进行配方法：g(x) = a(x-h)²+k = a(x²-2hx+h²)+k展开后可得g(x) = ax² - 2ahx + ah² + k。
这一步是为了配方，将二次项系数 2ah 拆分成两个相同的项，然后进行配方变换。
5. 将 g(x) 进一步变换为完全平方：g(x) = a(x²-2hx+h²)+k = ax² - 2ahx + ah² + kg(x)=a[x²-2(h/a)x+(h/a)²]+kg(x)=a[(x-(h/a))²+(h/a)²]+k这一步是将g(x)的形式转化为完全平方的形式。
6.化简得到二次方程：0=a[(x-(h/a))²+(h/a)²]+k化简可得(x-(h/a))²=-k/a-(h/a)²这是一个完全平方的二次方程，通过合并系数可以得到最终的二次方程。
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①y=2x2-5x+3
②y=－
1 2
x2+4x-9
请画出草图:
③y=(x-3)(x+2)
3
－9
－6
学以致用
1、当x取何值时，二次函 数 y2x28x1有最大值或
最小值，最大值或最小值
是多少？
2、已知函数
y 1x2 2
3x1 2
当x为何值时，函数值y随自
变量的值的增大而减小。
3、已知抛物线y= ax2+bx+c
b 2a
2
b 2a
2
c
a
a
(x
b 2a
)2
4ac - b 2
4a 2
a(
x
b 2a
)2
4ac 4a
b2
2020/3/9
y ax 2 bx c
a(x
2
b a
x
c) a
∴开口方向：由a决定;
对 称 轴x：2ba
顶 点（ 坐 2b标 a， 44 a ： a c b2)
a
x
2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
a
(x
b 2a
)2
4ac - b 2
4a 2
a(
x
b 2a
)2
4ac 4a
b2
2020/3/9
2020/3/9
方
( 2 )“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式。
y= —1 (x―6)2 +3 2
你能把 yax2 bxc 改写成 ya(xh)2 k吗？
用配方法
你知道吗?
2020/3/9
y ax 2 bx c
a(x
2
b a
x
c) a
a
x2
b a
x
.
6.不画图象，说明抛 物线y=-x2+4x+5可由 抛物线y=-x2经过怎 样的平移得到？
7.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在
（C ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2020/3/9
与抛物线 y=-2x2 形状相同,
且顶点坐标为(1,-5)的函数解
析式为
.
4、若抛物线y＝a(x-m )2+n的图Biblioteka 象与函数y＝2x2的图象的形状
相同,且顶点为(-3,2),则函数的
解析式为
.
5、已知抛物线y= ax2+bx+c
与抛物线y=x2 形状相同,但开
口方向相反,且顶点坐标为
(-1,5)的函数解析式为
例1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、 顶点坐标，最值，增减性：
y3x24x1
y2x2x3
练习
指出抛物线: yx25x4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐
标，最值以及增减性。
例2.求下列二次函数图像的开口、顶点、
对称轴，并画出草图：
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=h ；
3.顶点坐标是 (h,k) 。
2020/3/9
二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质
y
o
x
如何画出y1x2 6x21的图象呢? 2
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,
容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函 数 y1x2 6x21也能化成这样的形式吗
2 ?
y1x2 6x21 你知道是怎样配
2
方的吗？
配
(1)“提”：提出二次项系数；