大型矩阵快速求逆算法的研究

2.2三种求逆算法及解释分析
以下是运用Matlab7.0编写的求逆矩阵的三个函数，以及对这三个函数的分析及比较：
1、利用求伴随矩阵的方法编写的求逆算法（代码如下）
M函数 函数名：[F]=solvenif1(A)
function [F]=solvenif1(A)
n=rank(A);[x,y]=size(A);
推论1.3.1A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。即
推论1.3.2A可逆，则A可由初等行变换化为单位矩阵。
（1）
由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵(A︱E)，其中E为与A同阶的单位矩阵，那么
（2）
由（1）式代入（2）式左边，
有
上式说明分块矩阵(A︱E)经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E的位置变换为我们所要求的 ,即
-0.0169 -0.0076 -0.0061 -0.0037 0.0313 -0.0060
-0.0364 -0.0461 -0.0471 0.0253 0.0613 0.0090
0.0272 0.0331 0.0299 -0.0019 -0.0513 -0.0065
>> A*F
ans =
1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000
if x~=y%判断A矩阵是否为方阵
disp('请注意：因为该矩阵非方阵，所以该矩阵无逆.')
F='A无逆矩阵';
return;
else
%disp('请注意：该矩阵为方阵.')
d=det(A);
if d==0%判断A矩阵是否存在逆矩阵
disp('请注意：因为该矩阵非满秩，所以该矩阵无逆.')
F='A无逆矩阵';
定理1.5.1设A和B分别是可逆矩阵，C是k×r矩阵，D是r×k矩阵,“ 可逆”或“ 可逆”,则矩阵可逆。
上例说明定理3可以应用到任何阶(奇数阶或偶数阶)可逆矩阵的求逆问题中。通常它使2n阶可逆阵的求逆问题转化为一些n阶可逆阵的求逆问题，而使2m+1阶可逆阵的求逆问题转化为一些m阶和一些m+1阶可逆阵的求逆问题，从而使计算的难度降低。因而这种求逆矩阵的方法也称之为“降阶法”。
76.2097 79.1937 91.6904 0.9861 19.8814 41.8649
该矩阵的逆F=
F =
0.0574 0.0275 0.0365 0.0015 -0.0622 -0.0241
-0.0442 -0.0253 -0.0147 -0.0057 0.0534 0.0156
-0.0139 -0.0061 -0.0211 -0.0009 0.0153 0.0186
else
%disp('请注意：该矩阵为方阵.')
d=det(A);
if d==0
disp('请注意：因为该矩阵非满秩，所以该矩阵无逆.')
F='A无逆矩阵';
else
%disp('请注意：因为该矩阵满秩，所以该矩阵逆存在.')
B=eye(x);
A=[A,B];%把A矩阵和单位阵B按行合并
y=2*y;
解释：
行乘数：在每次行变换的过程中，下一行需减去上一行的 倍。这里的 即为行乘数。
运行代码：
>> A=unifrnd(0,100,6,6),[F]=solvenif2(A)
%A=unifrnd(0,100,6,6)生成[0,100]区间上的连续型均匀分布6行6列的随机数矩阵
A =
95.0129 45.6468 92.1813 41.0270 13.8891 1.5274
注：该算法对任何大型可逆方阵都适用
2、利用初等行变换求逆矩阵（代码如下）
M函数 函数文件名：[F]=solvenif2(A)
function [F]=solvenif2(A)
n=rank(A);[x,y]=size(A);
if x~=y
disp('请注意：因为该矩阵非方阵，所以该矩阵无逆.')
F='A无逆矩阵';
23.1139 1.8504 73.8207 89.3650 20.2765 74.6786
60.6843 82.1407 17.6266 5.7891 19.8722 44.5096
48.5982 44.4703 40.5706 35.2868 60.3792 93.1815
89.1299 61.5432 93.5470 81.3166 27.2188 46.5994
0 1.0000 0 -0.0000 0.0000 0.00பைடு நூலகம்0
-0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000
-0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000 0
-0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 0.0000
-0.0000 0 0 0.0000 -0.0000 1.0000
本文的相关研究不仅对提高矩阵求逆的速度和准确度起着较为重要的作用。而且对逆矩阵应用的进一步发展有着深远的意义。
关键词：逆矩阵求逆算法Matlab7.0广义矩阵
逆矩阵的定义：对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使AB = BA = E，则说方阵A是可逆的，并把方阵B称为A的逆矩阵（其中只有方阵才有逆矩阵的概念）。
解释：
B(i,:)=[];B(:,j)=[];%是为了选取元素 的代数余子式。其中
（i，j = 1,2,3﹒﹒﹒n）为 的代数余子式，B为（n-1）阶方阵。
C(j,i)=((-1)^(i+j))*det(B)/d;%是求A*与A的行列式d的比，结果即为 （ = /d）。
运行代码：
⑴
>> clear;A=[2 7 -1 9;-11 3 -3 7],[F]=solvenif1(A)
根据上述定理2:若A的行列式不等于0,则A可逆，且 ,
1.3初等变换法求逆矩阵（附算法）
用初等变换法的方法求逆矩阵的原理分析如下：
引理1.3.1对mxn阶矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。
公理1.3.1初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。
1.4三角分解求逆矩阵（附算法）
直接可以得到
从此方法把A矩阵进行LU分解，并得到A的逆矩阵。
1.5分块矩阵法求逆
此方法可将阶数较高的矩阵化为阶数较低的矩阵再求其逆，使计算简化
1、利用分块矩阵的乘法，求可逆矩阵的逆阵.
设分块矩阵 其中A，C均可逆，求
解：令 ，于是有
可得
所以 ，从而
2、利用分块矩阵的初等变换，降阶求逆
return;
else
%disp('请注意：因为该矩阵满秩，所以该矩阵逆存在.')
for i=1:n
for j=1:n
B=A;
B(i,:)=[];B(:,j)=[];
C(j,i)=((-1)^(i+j))*det(B)/d;
end
end
F=C;
disp('该矩阵的逆F= ')
end
end
分析：利用求伴随矩阵的方法编写的求逆算法最主要的就是求元素 的代数余子式。故一定要把元素 所在的行和列删除，且需要剩余部分组成的余子式输出。
A无逆矩阵
⑶
>> clear;A=[1 2 3;2 2 1;3 4 3];[F]=solvenif1(A)
该矩阵的逆F=
F =
1.0000 3.0000 -2.0000
-1.5000 -3.0000 2.5000
1.0000 1.0000 -1.0000
>> A*F
ans =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
for k=1:x%该for循环是在选主元
max=abs(A(k,k));
r=k;
for L=k+1:x
if max<abs(A(L,k))
max=abs(A(L,k));
r=L;
end
end
t=A(k,:);
A(k,:)=A(r,:);
A(r,:)=t;
s=A(k,k);
for j=1:y
A(k,j)=A(k,j)/s;%求行乘数
我们所做的研究方向，仅是利用Matlab数学软件和我们所学到的求逆矩阵的知识编写几种求逆矩阵的算法。为了使内容更完整充实，文中列举了几种基本的求逆矩阵的方法以及整理了一些特殊矩阵求逆的一些简便方法等。最后简要说明了一般矩阵的广义逆矩阵。由于考虑自身学识的不足，我们并未对广义逆矩阵做详细的展开。希望有兴趣的读者能自己探索。
应当指出，当A,B可逆时，相平行地，对于形如 的矩阵(这里A,B分别是k阶和r阶可逆矩阵,C是k×r矩阵，D是r×k矩阵）有着类似的结论：
二、算法要求及算法分析：
这里仅运用Matlab 7.0软件对求伴随矩阵、初等行变换及直接三角分解法求逆矩阵这三种方法编写了算法，并进行了适当的算法分析。
2.1算法要求
说明书
矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。并且矩阵作为数学工具之一有其重要的使用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等。在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握。在矩阵的运算和应用中，仅逆矩阵的求解方法及算法问题就值得我们去好好研究，尤其是对大型矩阵的逆矩阵的研究。近年来，随着互联网的高速发展，计算机内部的运算量也急剧增加，如何把浩瀚的数据准确地计算出结果，并且加快它的计算速度，己成为一个备受关注的研究课题。随着计算机应用领域的发展，逆矩阵运算的需求越来越大。现阶段大型逆矩阵运算都是由软件实现，如Matlab等数学软件。逆矩阵运算软件的普及，将使计算机的逆矩阵运算性能得到几何级数的提高。伴随矩阵作、初等变换等算法作为逆矩阵运算的一个重要组成部分，对其研究的意义也就很大。