参数方程
参数方程
x 3 cos y 2 sin
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ）， （1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 =14+4 sinθ +6cosθ=14+2 sin(θ +ψ). 13 (其中tan ψ =3/2)
∴ x2+y2 的最大值为14+2 13 ，最小值为14- 2 (2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ sin（ θ + 2
13 。
） 4
∴ x+y的最大值为5+ 2 ，最小值为5 - 2 。
(3)
4 2 sin( ) 3 cos 2 sin 1 4 d 2 2
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=16 的参数方程为 x =4cosθ y =4sinθ ∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)
y
P
M
O
A x
x =6+2cosθ 由中点公式得:点M的轨迹方程为 y =2sinθ ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
（3）参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
( x a) ( y b) r
2 2 2
选修4-4 第五节几种常见的参数方程
x＝1＋2cos t， (0≤t≤π)，把它化为普通 y＝－2＋2sin t
方程，并判断该曲线表示什么图形．
所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
例2
已知圆的普通方程为
x2＋y2＋2x－6y＋9＝0， 将它化为参
轴上，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1， 25 16 x＝4cos θ ， 故参数方程为 (θ 为参数)． y＝5sin θ
y2
x2
（x－1）2 （y＋2）2 1． 写出圆锥曲线 ＋ ＝1 的 3 5
例1
x＝5＋3t， 设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(1)求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形式．
解析：(1) 4x＋3y－50＝0.
3 4 4 k tan (2) 3 cos α ＝－ ，sin α ＝ . 5 5 3 x＝5－ u， 5 则参数方程的标准形式为： 4 y＝10＋ u. 5
例 3 已知直线 l 的方程为 3x－4y＋1＝0，点 P(1，1)在 直线 l 上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5，4)和 点 N(－2，6)的距离．
3 解析：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为 ，设直线的 4 3 3 4 则 tan α ＝ ，sin α ＝ ，cos α ＝ . 4 5 5
制作人：葛海泉
课前预习
1.பைடு நூலகம்线的参数方程
x＝x0＋tcosα ， 1． 经过点 M0(x0， y0)， 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 y＝y0＋tsinα
(t 为参数)．
t0
参数方程知识点
参数方程知识点参数方程是用参数来表示平面曲线或者空间曲线的方程。
参数方程中的变量称为参数，通过改变参数的值来得到曲线上不同点的坐标。
参数方程在数学、物理等领域都有广泛的应用。
参数方程的基本形式为：x=f(t)y=g(t)其中，x和y是平面上的坐标，t是参数。
函数f(t)和g(t)表示x和y坐标与参数t之间的关系，可以是多项式函数、三角函数、指数函数等。
参数方程的优点是可以描述一些复杂的曲线，例如圆、椭圆、螺旋线等。
而直角坐标方程通常难以表示这些曲线。
具体地，参数方程可以应用在以下几个方面。
1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线，常见的参数方程有圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程等。
例如，圆的参数方程为：x=r*cos(t)y=r*sin(t)其中，r为圆的半径，t为参数，取值范围是0到2π。
2. 空间曲线的参数方程对于空间曲线，参数方程可以用来描述空间中的曲线、曲面等。
例如，螺旋线的参数方程可以表示为：x=r*cos(t)y=r*sin(t)z=k*t其中，r为螺旋线的半径，k为螺旋线的高度，t为参数，取值范围是0到2π。
3. 曲线的方程和轨迹通过参数方程，可以求解曲线的方程和轨迹。
例如，通过给定曲线上的两个点，可以得到曲线的方程，然后可以推导出曲线的形状和性质。
另外，通过变换参数的取值范围，可以得到不同参数方程的曲线，从而得到曲线的轨迹。
4. 曲线的长度和曲率通过参数方程，可以计算曲线的长度和曲率等。
曲线的长度可以通过参数方程的导数来计算，即：L=∫√(dx/dt)²+(dy/dt)²dt其中，L为曲线的长度，dx/dt和dy/dt为参数方程对应的导数。
曲线的曲率可以通过曲线的参数方程和导数来计算，即：k=|d²y/dx²| / (1+(dy/dx)²)^(3/2)其中，k为曲线的曲率，dy/dx和d²y/dx²为参数方程对应的导数。
参数方程
ddtyx2t-1
3 2
1
1 t2
3
t2
1
dx2
dx
2t
4t 3
dt
–The curve is concave upward when t > 0. –It is concave downward when t < 0.
Example 1 (d)
•A curve C is defined by x = t2, y = t3 – 3t. Sketch the curve.
•DAeEtcxeurarmmvpienleCe 1wis(hcde)erefintheedddcbx2uyy2rvxe=didsxt2c,oyddnyx=catv3e–dd3ttd. xddyx
upward or downward.
dt
d 2 y
d dt
3 2
它表示双曲线的右支，草图所示。
x
8t 4 t2
(4)
y
4 t2 4 t2
y
o
2x
解
8t x 4 t2
得
x 4t 2 4 t2
又
y
4 4
t2 t2
两式平方相加，得
4 t2 4 t2
θ = π/3
dy dx
sin / 3 1 cos / 3
3/2 1 1
2
3
θ = π/3
x
r
3
sin
3
参数方程_精品文档
参数方程参数方程是一种数学中常用的表示曲线的方法，它是通过一组参数来描述曲线上的点的位置。
与直角坐标系中的函数表示方式不同，参数方程给出的是曲线上每一个点在某个参数下的坐标值。
参数方程的一般形式为：x = f(t) y = g(t)其中，x 和 y 是曲线上某一点的坐标，t 是参数。
通过改变参数 t 的取值，可以得到曲线上的不同点坐标，从而描绘出整个曲线。
参数方程的表示形式参数方程的表示形式可以有多种，常见的包括：•二维参数方程：x = f(t), y = g(t)•三维参数方程：x = f(t), y = g(t), z = h(t)以二维参数方程为例，可以通过给定不同的参数 t 的取值范围，来绘制出对应的曲线。
参数 t 通常是一个连续的变化的数值，可以是时间、角度或其他物理量。
通过改变参数t，我们可以得到曲线上的点的坐标变化情况，从而得到曲线的形状。
参数方程的应用参数方程在数学和物理中有广泛的应用，特别是在几何学、物理学和计算机图形学中。
在几何学中，参数方程可以用来表示各种曲线，例如抛物线、椭圆、双曲线等，通过调整参数的取值范围，可以绘制出不同形状的曲线。
参数方程还可以用来表示曲线的长度、曲率等几何性质。
在物理学中，参数方程可以用来描述物体的运动轨迹。
例如，一个抛出的物体在空中的运动可以用参数方程来表示。
通过改变参数 t 的取值，可以得到物体在不同时刻的位置坐标，从而得到物体的运动轨迹。
在计算机图形学中，参数方程可以用来生成各种图形。
通过给定不同的参数t，可以计算出曲线上的点的坐标，然后将这些点连接起来，就可以生成各种精美的图形，如曲线、曲面等。
参数方程的优缺点参数方程相较于直角坐标系的表示方法，有一些明显的优点和缺点。
优点：•对于复杂的曲线，参数方程可以更加简洁地描述其形状。
•参数方程可以处理直角坐标系中无法表示的曲线，如极坐标系下的曲线。
缺点：•参数方程需要额外的参数 t，增加了计算的复杂度。
高中数学参数方程知识点大全
高中数学参数方程知识点大全一、参数方程的定义和基本概念参数方程是指用一个或多个参数表示一个点在平面或空间上的坐标，一般形式为x=f(t)，y=g(t)或x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)等形式。
1. 参数的取值范围参数的取值范围是指t,u,v等参数的取值范围，有些问题中可能要求特定的参数取值范围，例如0≤t≤1。
2. 参数方程的解析式参数方程的解析式是指将参数方程中的参数用其他变量（如x,y,z）表示出来的式子，通常要具体分析题目所求的内容，才能得到具体的解析式。
二、参数方程表示的图形及其性质参数方程表示的图形是指用参数方程所描述的点的集合，常见的有平面曲线、空间曲线和曲面。
1. 平面曲线的参数方程平面曲线的参数方程一般形式为x=f(t)，y=g(t)，t∈[a,b]，其中a,b为常数。
2. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程一般形式为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，t∈[a,b]，其中a,b为常数。
3. 曲面的参数方程曲面的参数方程一般形式为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，u,v∈D，其中D为平面区域。
三、参数方程在计算机绘制图形中的应用在计算机绘制图形中，参数方程可以方便地表示出各种曲线和曲面，并通过计算机程序实现绘制，除此之外还可以进行各种变换和操作。
1. 坐标变换坐标变换是指通过参数方程的变换操作实现图形的变形、旋转、平移等操作。
2. 光照模拟通过参数方程计算表面法向量、光照强度和光照颜色，实现真实的光照模拟。
3. 碰撞检测通过参数方程计算图形的表面或体积信息，实现碰撞检测的功能，以及物体的相交等计算。
四、参数方程的求导1. 参数方程的一阶导数参数方程的一阶导数是指对参数t求导数得到的结果，常用来表示曲线的斜率和切线方向。
2. 参数方程的二阶导数参数方程的二阶导数是指对参数t进行二次求导得到的结果，常用来表示曲线的曲率和弧度的变化率。
五、参数方程的应用示例1. 斜抛运动斜抛运动的轨迹可以用参数方程表示，通过求解初始速度、角度等参数可以得到斜抛运动的轨迹方程，从而计算两点之间的距离和时间等参数。
参数方程总结知识点
参数方程总结知识点一、参数方程的概念参数方程是指用参数表示平面曲线、空间曲面上各点的坐标的方程，一个平面曲线或者空间曲面可以由一对参数方程来表示。
通常情况下，参数方程是形如x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)的方程，其中x、y、z分别是曲线上某一点的坐标，t是参数。
参数t可以是实数也可以是整数。
二、参数方程的性质1. 参数方程的表示形式：参数方程有两种常用的表示形式，一种是向量形式，另一种是分量形式。
向量形式的参数方程可以表示为：r(t)=<x(t), y(t), z(t)>其中r(t)是位置向量，t是参数，x(t)、y(t)、z(t)分别是位置向量在x轴、y轴、z轴上的分量。
分量形式的参数方程可以表示为：x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)其中x、y、z分别是曲线上某一点的坐标，t是参数，f(t)、g(t)、h(t)分别是曲线上某一点的坐标在x轴、y轴、z轴上的分量。
2. 参数方程的图形：参数方程描述的曲线或者曲面通常是比较复杂的几何图形，参数方程的图形特点不容易直接观察出来。
但是我们可以利用参数方程来绘制曲线或者曲面的图形，可以通过不同的参数值来确定曲线或者曲面上的一系列点，然后将这些点用线段或者曲线段连接起来，就可以得到参数曲线的图形。
3. 参数方程的应用：参数方程在物理、工程等领域有着广泛的应用，比如用来描述物体在空间中的运动轨迹、描述流体在空间中的运动状态等。
参数方程还可以用来求解一些复杂的几何问题，比如求参数曲线的长、面积等。
三、参数方程的运算参数方程的运算包括参数曲线的求导、求积分等。
参数方程的求导和求积分与普通的函数求导和求积分类似，只是要注意求导和求积分的对象是参数t，而不是变量x、y、z。
四、参数方程的方程组一条平面曲线或者空间曲面通常可以由多个参数方程组成，这些参数方程之间存在一定的关系，我们可以利用参数方程的方程组来求解曲线或者曲面上的一些特殊点。
五、参数曲线的方程与直角坐标系之间的转换参数曲线的方程与直角坐标系之间可以相互转换，通过参数曲线的方程，我们可以求解其在直角坐标系中的方程，通过直角坐标系中的方程，我们也可以求解其在参数方程中的方程。
常见的参数方程
常见的参数方程常见的参数方程参数方程是一种描述曲线的方式，它是用参数t来表示曲线上的点坐标。
在二维平面中，一个曲线可以用两个参数x和y来表示，即(x(t),y(t))。
在三维空间中，一个曲线可以用三个参数x、y和z来表示，即(x(t), y(t), z(t))。
一、直线的参数方程直线是最简单的曲线之一，它可以用两个点来确定。
假设有两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，那么这条直线的参数方程可以表示为：x = x1 + (x2 - x1)ty = y1 + (y2 - y1)t其中t是一个实数，取值范围为0到1。
当t=0时，对应的点为P1；当t=1时，对应的点为P2。
二、圆的参数方程圆是一个非常重要且常见的几何图形，在计算机图形学中也经常使用。
一个半径为r、圆心坐标为(a, b)的圆可以用以下参数方程表示：x = a + rcos(t)y = b + rsin(t)其中t是一个实数，取值范围为0到2π。
当t=0时，对应圆上最右边的点；当t=π/2时，对应圆上最上面的点；当t=π时，对应圆上最左边的点；当t=3π/2时，对应圆上最下面的点。
三、椭圆的参数方程椭圆是一个比较复杂的曲线，它可以用以下参数方程表示：x = a cos(t)y = b sin(t)其中a和b分别是椭圆在x轴和y轴方向上的半径。
当a=b时，这个椭圆就变成了一个圆。
四、抛物线的参数方程抛物线是一个非常重要且常见的曲线，在物理学和工程学中经常使用。
一个开口朝上或开口朝下的抛物线可以用以下参数方程表示：x = at^2y = bt其中a和b是常数，控制着抛物线在x轴和y轴方向上的形状。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
五、双曲线的参数方程双曲线是一个非常特殊且复杂的曲线，在数学中有着广泛的应用。
一个双曲线可以用以下参数方程表示：x = a sec(t)y = b tan(t)其中a和b是常数，控制着双曲线在x轴和y轴方向上的形状。
参数方程的概念(课件)
对于参数方程 x = a*cos(t), y = a*sin(t) (其中 t 为参数)，可 以通过分离参数 t，得到简单 方程 tan(t) = y/x，进而求解 x 和 y。
参数代入法
01 总结词
通过将参数方程中的参数代入 到已知的函数或表达式中，求 解未知数。
02
详细描述
参数代入法的基本思想是将参 数方程中的参数代入到已知的 函数或表达式中，从而得到一 个关于未知数的简单方程。这 个简单方程通常比较容易求解 ，从而得到原参数方程的解。
在计算机图形学中，参数方程被广泛应用于动画制作和游戏开发 等领域。
在经济学中的应用
在经济学中，参数方程可以用来描述经济数据的趋势和变化规律。
在生物学中的应用
在生物学中，参数方程可以用来描述生物种群的增长规律和生态系 统的平衡状态。
03
参数方程的求解方法
消去参数法
总结词
通过消去参数，将参数方程转化为普通方程，从 而求解未知数。
通过参数的变化，可以描述曲线的几 何性质和动态变化。
x=x(t), y=y(t) 或 x=x(t), y=y(t), z=z(t)，其中 t 是参数。
参数方程的表示形式
平面参数方程
在平面直角坐标系中，如果用参数 t 表示曲线上点的横坐标和纵坐标，则平面 参数方程可以表示为 x=x(t), y=y(t)。
2. 通过代数方法消去 参数 t；
3. 得到直角坐标方程 。
02
参数方程的应用
在几何图形中的应用
描述平面曲线
参数方程可以用平面曲线的几何 性质和形状，通过参数的变化来 描述曲线上的点。
旋转和放缩
通过参数方程，我们可以方便地 实现图形的旋转和放缩，从而得 到不同角度和大小的图形。
2.1 参数方程
第二章 参数方程 2.1 曲线的参数方程 一、参数方程的概念 1、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()()x f t t T y g t =⎧∈⎨=⎩（1） 这里T 是(),()f t g t 的公共定义域，并且对于t 的每一个允许值。
由方程组（1）所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t 叫做参变数，简称为参数。
2、参数方程的理解：（1）在方程组（1）中有3个变量，其中的,x y 表示点的坐标，变量t 叫做参变量，而且,x y 分别是t 的函数，这样的方程组叫做参数方程。
（2）从数学的角度看，曲线上的任一点M 的坐标(,)x y 由t 唯一确定。
当t 在允许值范围内连续变化时，,x y 的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。
（3）曲线上任一点与满足方程组的有序实数对(,)x y 是一一对应关系。
（4）在表述参数方程是，必须指明参数的取值范围，参数取值范围不同，所表示的曲线也可能会不同。
3、参数方程与普通方程的区别与联系区别：①方程的形式不同，曲线的参数方程常常是方程组的形式； ②普通方程反映了曲线上任一点的坐标,x y 的直接关系，而参数方程反映了,x y 的间接关系。
参数方程是把曲线上点的横、纵坐标都描述为参数的函数，任意给定一个参数的相应的允许取值就可得到曲线上一个对应的点，反过来，对于曲线上任意一个点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值。
联系：①两种方程是同一曲线的不同的代数表现形式，是同一事物的两个方面； ②这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程。
二、怎样将参数方程化为普通方程将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有：代入消元法、加减消元法、利用恒等式（三角的或代数的）消元法。
数学的参数方程公式有哪些
数学的参数方程公式有哪些数学中的参数方程是描述曲线的一种方式，它使用一个或多个变量（参数）来表示曲线上的点的位置。
参数方程可以用来描述平面曲线、空间曲线以及曲线家族等等。
以下是一些常见的参数方程公式：1.平面曲线的参数方程：- 直线：x = at + c，y = bt + d（a, b为常数，(c, d)为直线上的一点）- 圆：x = a + rcos(t)，y = b + rsin(t)（(a, b)为圆心坐标，r为半径）- 抛物线：x = at^2，y = bt（a, b为常数）- 椭圆：x = acos(t)，y = bsin(t)（(a, b)为椭圆的半长轴和半短轴长度）- 双曲线：x = asec(t)，y = btan(t)（(a, b)为双曲线参数）2.空间曲线的参数方程：- 螺线：x = a*cos(t)，y = a*sin(t)，z = bt（(a, b)为常数）- 柱面：x = a*cos(t)，y = a*sin(t)，z = bt（(a, b)为常数）- 锥面：x = ar*cos(t)，y = ar*sin(t)，z = bz（(a, b)为常数）3.曲线家族的参数方程：- 三角函数族：x = a*sin(nt + b)，y = c*cos(mt + d)（(a, b, c, d)为常数- 椭圆族：x = a*cos(t)，y = b*sin(t + c)（(a, b, c)为常数）- 抛物线族：x = at^2，y = bt + c（(a, b, c)为常数）在实际应用中，参数方程可以用来描述复杂的曲线，例如心形线、阿基米德螺线、贝塞尔曲线等等。
此外，参数方程还可用于描述空间曲线的轨迹、运动学问题以及动力学系统等。
高中数学参数方程
高中数学参数方程一、前言在高中数学中，参数方程是一个非常重要的概念，也是数学与实际问题相结合的杰出体现。
掌握参数方程的基本概念和求解方法对于高中学生的数学学习和理解具有重大的帮助。
本文将从参数方程的基本概念、常用的图形、求解方法和应用等方面进行详细介绍，帮助学生全面掌握该概念。
二、参数方程的基本概念1. 参数方程的定义参数方程是一种通过给定的参数变量，用参数的函数表示一个曲线或者一个曲面的方法。
在参数方程中，通常用参数t表示自变量。
例如，设有一条曲线C，可以用如下的参数方程表示：x=f(t), y=g(t)上述的式子就是一条经过点(x,y)的曲线C的参数方程。
参数t常常被称为参数变量，它是曲线C上的自变量。
2. 参数方程的优点与直角坐标系下表示曲线的函数相比，参数方程的优点在于它可以更加灵活地表示一些曲线，如椭圆、双曲线、螺线等等。
同时，参数方程也可以用来表示高维度的曲面，如三维曲面、四维曲面等等。
此外，参数方程在图像处理、计算机动画、自动控制、机器人控制等领域中也有广泛的应用。
三、参数方程的常用图形1. 抛物线抛物线是参数方程中最常见的图形之一。
抛物线的参数方程通常为：x = t, y = t^2其中，t是参数变量。
2. 椭圆椭圆是平面直角坐标系下的二次曲线，也可以用参数方程表示。
椭圆的参数方程通常为：x = a*cos(t), y = b*sin(t)其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
3. 双曲线双曲线也是平面直角坐标系下的二次曲线，与椭圆不同的是，它有两个分离的实部，能够在极值点处取到无穷大值。
双曲线的参数方程通常为：x = a*cosh(t), y = b*sinh(t)其中，a和b分别是双曲线的横轴和纵轴长度。
4. 螺线螺线是一种等腰斜螺线(又称Archimedean螺线)，由希腊数学家阿基米德研究而得名。
螺线的参数方程通常为：x = a*cos(t), y = a*sin(t) + bt其中，a和b分别是螺线的宽度和高度。
参数方程的概念
参数方程的概念
参数方程，又称参数表达式或参数式，是一种描述曲线或曲面的数学
工具。
与直角坐标系方程不同，参数方程通过给定参数的取值来确定点的
位置，从而描绘出曲线或曲面的形状。
参数方程在微积分，物理学，工程
学等领域经常被使用。
一维参数方程描述曲线在平面上的位置，通常记作：x=x(t)，y=y(t)，其中x和y是平面上的点的坐标，t是参数，表示曲线上的各个点。
二维
参数方程描述曲面在三维空间中的位置，通常记作：x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，其中x，y，z是空间中的点的坐标，u和v是两个参数，表示
曲面上的各个点。
参数方程也可以用于描述物体在空间中的运动。
例如，一个物体在直
线上做匀速运动，可以使用参数方程x = x0 + vt来描述其位置，其中
x0是初始位置，v是速度，t是时间。
类似地，可以使用参数方程描述物
体在曲线上或曲面上的运动。
这在物理学和机械工程中有着广泛的应用。
在数学中，参数方程也经常用于求解方程组。
通过将未知数表示成参
数的函数，可以将方程组转化为参数方程的形式，从而简化求解过程。
参
数方程还可以用于求解微分方程和积分方程等复杂的数学问题。
总之，参数方程是一种灵活而强大的数学工具，可以描述曲线和曲面
的形状，解决各种数学问题，实现各种应用。
它在数学，物理学，工程学
和计算机科学等领域都有广泛的应用。
最全的参数方程
r
M
o
M0
x
讲授新课
如果在时刻t，点M转过的角度是， 坐标是M(x,y)，那么＝t.设|OM|＝r， 那么由三角函数定义有 x y y cos t ,sin t , r r M 即
x r cos t (t为参数) y r sin t
r
o
M0
x
讲授新课
2 (4,0) 的圆心为_________，半径为______.
2. 参数法求轨迹方程 例1. 如图，圆O的半径为2，P是圆上 的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是 PQ的中点.当点P绕O作匀速圆周运动 时，求点M的轨迹的参数方程. y
P
M
Q(6, 0)
o
x
练习.
(1)由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0 (t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹 是( D ) A.一个定点 C.一条抛物线 B.一个椭圆 D.一条直线
x cos (1)参数方程 ( 为参数) 2 y sin 表示的曲线是( C )
2
A.直线
B.圆
C.线段
D.射线
复习回顾
3. 练习
x sin (2)在方程 ( 为参数) 所 y cos 2 表示的曲线上一个点的坐标是( C )
练习.
小结
(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为
x r cos , ( 为参数); y r sin .
(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为
x a r cos , ( 为参数). y b r sin .
课后作业
训练2：
参数方程知识点总结
参数方程知识点总结
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，而联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。
参数方程的一般形式为x=f(t)，y=g(t)，其中x、y是曲线上某一点的坐标，t是参数。
参数t可以是实数也可以是整数。
一些常见的参数方程包括：
圆的参数方程：x=a+r cosθ，y=b+r sinθ，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆半径，θ为参数。
椭圆的参数方程：x=a cosθ，y=b
sinθ，其中a为长半轴长，b为短半轴长，θ为参数。
双曲线的参数方程：x=a secθ，y=b tanθ，其中a为实半轴长，b为虚半轴长，θ为参数。
抛物线的参数方程：x=2pt^2，y=2pt，其中p表示焦点到准线的距离，t为参数。
直线的参数方程：x=x'+tcosa，y=y'+tsina，其中x',y'表示直线经过的点，a表示直线的倾斜角，t为参数。
参数方程的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、计算机科学等领域中都有重要的应用。
此外，在柯西中值定理的证明中，也运用到了参数方程。
总结来说，参数方程是数学中的一个重要工具，它可以用来表示各种复杂的曲线和曲面，并且在解决实际问题中具有广泛的应用。
学习和掌握参数方程的概念和应用，对于提高数学能力和解决实际问题都具有重要的意义。
参数方程题型大全
参数方程题型大全1.直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线都可以用参数方程表示。
对于过点M(x，y)，倾斜角为α的直线l，其参数方程为：x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数。
对于圆心在点M(x，y)，半径为r的圆，其参数方程为：x = x + rcosθy = y + rsinθ其中θ为参数。
对于椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)，其参数方程为：x = a cosφy = b sinφ其中φ为参数。
对于双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)，其参数方程为：x = a secθy = b tanθ其中θ为参数。
对于抛物线y = 2px，其参数方程为：x = 2pt^2y = 2pt其中t为参数。
2.给定曲线的参数方程，求其普通方程。
对于曲线C的参数方程，设其参数为t，则其普通方程为：y = f(x)其中x和y是曲线上的点，f是关于t的函数。
将参数方程中的t用x或y表示，代入另一个方程中消去t，得到关于x 和y的方程即为普通方程。
3.给定曲线的参数方程，求其与直线或另一曲线的交点。
对于曲线C的参数方程，设其参数为t，则曲线上的点可以表示为(x(t)。
y(t))。
如果要求曲线C与直线l的交点，则将直线l的方程代入曲线C的参数方程中，解出参数t，再代入参数方程中求出交点的坐标。
如果要求曲线C与另一曲线D的交点，则将曲线D的参数方程代入曲线C的参数方程中，解出参数t，再代入参数方程中求出交点的坐标。
4.求椭圆上两点间的最短距离。
设椭圆的参数方程为：x = a cosφy = b sinφ其中φ为参数。
设椭圆上两点分别为A(x1.y1)和B(x2.y2)，则两点间的距离为：A B = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]将x和y用φ表示，代入上式，得到AB的函数，求导后令其为0，解出φ的值，再代入AB的函数中求得最小值即为最短距离。
参数方程的概念
参数方程的概念什么是参数方程？参数方程，又称为参数式方程，是描述曲线、曲面等几何图形的一种方式。
与直角坐标系方程不同，参数方程通过引入一个或多个参数，将图形上的每一个点表示为参数的函数形式。
在参数方程中，每个参数都对应图形上的一个点，通过对参数的取值范围进行遍历，可以绘制出图形的完整轨迹。
参数方程的表示形式一般情况下，参数方程可以写成以下形式： - 对于二维曲线：x = f(t), y = g(t) - 对于三维曲线：x = f(t), y = g(t), z = h(t) 其中，x、y、z分别表示图形上的点的坐标，t为参数，f(t)、g(t)、h(t)为参数的函数。
参数方程的优势相比直角坐标系方程，参数方程具有以下几个优势： 1. 更直观：通过引入参数，参数方程可以直观地表示图形的轨迹。
在直角坐标系方程中，通常需要对x、y或x、y、z同时进行操作才能得到完整图形。
2. 更灵活：参数方程可以对图形进行灵活的变换和调整。
通过调整参数的取值范围或函数表达式，可以改变图形的形状、位置、方向等。
3. 更适用于描述曲线：对于复杂的曲线，直角坐标系方程可能无法给出简洁的表达，而参数方程则可以通过适当选择参数和函数表达式，更好地描述曲线的性质。
参数方程的应用参数方程在数学和物理等领域具有广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：1. 几何图形绘制参数方程可以用于绘制各种几何图形，例如： - 绘制圆：x = r * cos(t), y = r * sin(t)，其中r为半径，t为参数。
- 绘制椭圆：x = a * cos(t), y = b *sin(t)，其中a、b分别为椭圆的长短轴，t为参数。
- 绘制螺旋线：x = a *cos(t), y = a * sin(t)，z = b * t，其中a、b为常数，t为参数。
2. 运动学建模参数方程可以描述物体的运动轨迹，用于运动学建模和分析。
例如，在二维空间中，可以使用参数方程描述自由落体的轨迹： x = v0 * cos(theta) * t y = v0 *sin(theta) * t - 0.5 * g * t^2 其中v0表示初始速度，theta表示初始角度，g表示重力加速度。
参数方程ppt课件
考虑多种情况
注意单位的统一
在求解参数方程时，需要注意单位的 统一，避免出现单位不匹配的情况。
对于某些参数方程，可能需要考虑多 种情况，分别进行讨论和求解。
03 参数方程的应用实例
物理中的参数方程应用
总结词
描述物理中参数方程的应用，如行星运动、电磁波传播等。
详细描述
在物理学中，参数方程被广泛应用于描述各种现象，如行星运动轨迹、电磁波 传播路径等。这些参数方程通过引入一些变化的参数，能够精确地描述物理量 之间的关系，帮助我们更好地理解物理规律。
参数方程在其他领域的应用将有助于 推动相关领域的技术进步和理论发展 。
随着科技的发展，参数方程在数据科 学、机器学习等领域的应用也将逐渐 增多，为解决实际问题提供更多思路 和方法。
如何提高参数方程的应用水平
加强数学教育和普及工作，提高公众对参数方程的认识和理解，培养更多的数学人才和应用 型人才。
加强学科交叉和合作，促进参数方程与其他学科的融合和应用，共同推动相关领域的发展。
理解。
参数方程与线性代数的关联
参数方程可以用于描述线性代 数中的向量和矩阵的变化规律 。
通过参数方程，可以理解线性 变换的概念，以及矩阵的运算 和性质。
参数方程在解决线性代数问题 中也有一定的应用，例如求解 线性方程组、矩阵的逆和行列 式等。
参数参数方程与复变函数的关系
复变函数是一种描述复数域上的函数的方法，而参数方程可以用于描述复数域上的 函数的变化规律。
参数方程ppt课件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 参数方程的基本概念 • 参数方程的求解方法 • 参数方程的应用实例 • 参数方程与其他数学知识的关联 • 参数方程的未来发展与展望
01 参数方程的基本概念
第二节 参数方程
所以曲线 C 是以 x 轴为对称轴，开口向右的抛物线．
(2)因为直线 l 的参数方程为x＝32＋t， (t 为参数)，所以消 y＝ 3t
去参数 t，得直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x－323，代入
y2＝x，消去 x 整理得 2 3y2－2y－3 3＝0，设 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则 y1＋y2＝ 33，y1y2＝－32，
x＝2cos θ， y＝4sin θ
(θ
为参数)，直线
l
的参数方程为xy＝＝21＋＋ttscions
α， α
(t 为参数)． (1)求 C 和 l 的直角坐标方程；
(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率．
返回
解：(1)曲线 C 的直角坐标方程为x42＋1y62 ＝1.当 cos α≠0 时， l 的直角坐标方程为 y＝tan α·x＋2－tan α； 当 cos α＝0 时，l 的直角坐标方程为 x＝1. (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的 方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内， 所以①有两个解，设为 t1，t2，则 t1＋t2＝0. 又由①得 t1＋t2＝－421co＋s 3αc＋oss2iαn α， 故 2cos α＋sin α＝0，于是直线 l 的斜率 k＝tan α＝－2.
所以 t1t2＝－3，所以 PA·PB＝|t1t2|＝3.
返回
考点三 极坐标、参数方程的综合应用
[典例引领]
重点保分型考点——师生共研
(2019·泰州中学高三年级学情调研)以原点 O 为极点，x 轴正半
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(3, 4)
)B
(A)
10
(B)
2 10
(C)
10 2
(D)
3 5
10 3
3.过点 P（5，3） ，且倾斜角满足 cos=
的直线与
圆 x2+y2=25 交于 P1, P2 两点,则| PP1| | PP2| =_______________ ,
参数方程
参数方程化成普通方程 直线参数方程的标准形式
1、参数方程的概念：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变数t的函数
x f (t ), （1） y g (t ).
并且对于t的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上，那么方程（1）就叫做这条曲线的参数方程， 联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
倾斜角为
(2, - 1) ，
110°
（
1 x 3 2 t 2 直线 (t 为参数)方程中，t 的几何意义是 y 1 3 t 2
（A） 一条有向线段的长度
B
）
（B） 定点 P0（ 3 ，1）到直线上动点 P(x，y)的有向线段的数量 （C） 动点 P(x，y) 到定点 P0（ 3 ，1）的线段的长 （D） 直线上动点 P(x，y) 到定点 P0（ 3 ，1）的有向线段的数量
（1）当θ是参数， t 是常数( t 0,t )， 1
方程表示什么曲线？ （2）当 t 是参数，θ是常数( 方程表示什么曲线？
k ,k Z )， 2
x si θn , （1） 1 t t y cos . θ 1 t t 再将两方程的两边平方后相加，得
直线参数方程的应用（标准形式） 1） 求一端点是M0(x0,y0)的线段长
2)
求弦长 长 的和与积
3） 求一端点是M0(x0,y0)的两线段
练习
2 t x 2 2 1. 直线 (t 为参数)上到点 M(2,3)距离为 2 且 2 y 3 t 2
在点 M 下方的点的坐标是____________
| M M | ( 4 3 4 4) 2 ( 4 0) 2 8 0
解二
将( 1 )代入 y=x+4
3
得:
1 3 1 3 t 4 t4 3 ( )t 4 3 4 2 2 2 2 t 8 | M 0 M || t | 8
例9
x 1 3t 已知 过点P0 ( 1, 2 )的直线l : ( t为参数 ) y 2 4t 2 与双曲线 （y -2） x 2 1相交于A,B两点，求 （1） P0 A P0 B| | || (2)|P0 A P0 B| |+| (3) |AB| ( 4) 弦AB中点C与P0间距离 （5） 的坐标 C
∴t=2
t=
x 4 3 y 1 x 4 3 y 1
M（4
3
，1）
3
M（ 4
3
，1）
3
，1）或 M（ 4
，1）
例8
已知直线 L 过点 M0 （4， ， 0） 倾斜角为
6
(3)若 L 与直线 y=x + 4 3 交与点 M， 求M0M 3 y ( x 4) （3）解一 由 得交点 M（4( 3 +1),4） 3 y x 4 3
x
2
12 (t ) t
y
2
12 (t ) t
1
（椭圆）
k （2）当 t 是参数， （k是整数） 2
x 1 t , sin t y t 1 cos t
2
消去 t，得
x y 1 2 2 4 sin 4 cos
（双曲线）
2
说明
例3 将下列参数方程化为普通方程
① x v0 cos t , 1 2 y v0 sin t 2 gt ② x 解：由①得： t v0 cos
代入②，消去参数 t ，得普通方程
g sin 2 y 2 x x 2 2v0 cos cos
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫 做普通方程。 参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何 意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。
例1
参数方程
x 3cos 2 y 3sin 0，
x 3cos 0, 是否表示同一 与 y 3sin
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
非标准形式
x x 0 at y y 0 bt
一般说来， t不具有上述 几何意义
(t 为参数)
a 0时 表示过定点（x0，y0） ，
b 斜率为 的直线的参数方程 a
练习
x 2 t sin 20 0 1 直线 (t 为参数), 经过定点 0 y 1 t cos 20
6
(2)若 L 上一点 M 满足M0M=2，求点 M 的坐 标 (3)若 L 与直线 y=x + 4
3 交与点 M， 求M0M
解 （1）直线 L 的参数方程是
3 x 4 t 2 （t y 1 t 2
为参数）
2
（2） ∵M0M=2 t=2 时 t= 2 时 ∴M（4
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其 中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终 点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时， t>0；当点M在点M0的下方时，t<0；当点M与点M0重合 时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点， 直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度 单位与原直角坐标系的长度单位相同。
曲线？为什么？
例2
参数方程
x 3cos 0， 2 y 3sin
x 3sin 0， 是否表示同一 2 与 y 3cos
曲线？为什么？
说明
如果消去参数后得到的普通方程形 式相同，而且方程中x，y的取值范围也 相同，那么两个参数方程表示的是同一 曲线。
9
44 33 ( , ) 弦 P1P2 中点 M 的坐标是________________ 25 25
4.设抛物线 y2=4x 的焦点弦被焦点分为长度分别是 m 和 n 的两 部分,则 m 与 n 的关系是 (A)m+n=4 (B) mn=4 (C) m+n=mn ( )
(D) m+n=2mn
5.从抛物线 y2=2px(p>0)外一点 A(2,4)引倾斜角为 45°的割线 与抛物线交于点 M1,M2,若 |AM1|、|M1M2|、|AM2|成等比数列, 求抛物线方程。 6.过点 P（1，2）作直线 L 交椭圆 x2+2y2=8 于 M,N 两点 ， 且 | PA| | PB| = ，求此直线的倾斜角。
2 3
x 1 cos , 例4 参数方程 表示的 2 y sin . 曲线是_______ .
2
解：曲线的普通方程是 x– y =0 其中变量 x 的取值范围是[ 0，1 ]. 方程表示的曲线是线段.
例5
t x 1 t2 将参数方程 ( t为参数 )，化为普通方程 2 y 1 t 1 t2
1 x sin 解：令t tan ,则 4x2 y 2 1 2 2 y cos 1 t2 又从条件y ，得y 1 2 1 t 所求普通方程为4 x 2 y 2 1( y 1 )
例6 方程
1 x ( t t ) sin , （t 0） y ( t 1 )cos . t
说明： 参数 t 的有关性质 一、
对于上述直线 l 的参数方程，设 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 tA、tB，则 1．A、B 两点之间的距离为 | AB || t A t B | ， 特别地，A、B 两点到点 M0 的距离分别为|tA|、|tB|。
t A tB 2．A、B 两点的中点所对应的参数为 ， 2
y y0 x x0 =t sin cos
即
x x0 t cos , (t是参数） y y0 t sin .
2、直线参数方程的标准形式：
过定点 M 0 ( x0 , y 0 ) 、倾斜角为 的直线 l 的参
x x 0 t cos 数方程为 ，(t 为参数) y y 0 t sin
参数方程的本质是将曲线上任意 一点的坐标x,y都表示成某个参数的 函数，而定义域是函数的要素之一， 定义域对函数的值域有重要的制约 作用。因此，要重视参数方程中对 参数的限制条件，或者说，参数的 取值范围也是参数方程的组成部分。
例7 将直线的点斜式方程 y-y0பைடு நூலகம்tgα(x-x0) 化为参数方程 解:将直线的点斜式方程变形为
x 3 4t 3 已知直线 (t 为参数),下列命题中错误的是 （ ） ．． D y 4 3t
(A) 直线过点（7，1）
3 (B) 直线的倾斜角为 arctg 4
(C) (D) 直线不过第二象限 | t |是定点 M0（3，4）到该直线上对应点 M 的距离
例8
已知直线 L 过点 M0 （4， ， 0） 倾斜角为 (1)求直线 L 的参数方程