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试验中所考察的指标（可以是质量特性也可 以是产量特性或其它）用Y表示。Y是一个随机变 量。
单因子试验：
若试验中所考察的因子只有一个。
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[例2.1-1] 现有甲、乙、丙三个工厂生产同一种零 件，为了了解不同工厂的零件的强度有无明显的差 异，现分别从每一个工厂随机抽取四个零件测定其 强度，数据如表所示，试问三个工厂的零件的平均 强度是否相同？
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二、单因子方差分析
假定因子A有r个水平，在Ai水平下指标服 从正态分布，其均值为 i，方差为 2 ，i=1,2, …, r。每一水平下的指标全体便构成一个总体，共 有r个总体，这时比较各个总体的问题就变成比 较各个总体的均值是否相同的问题了，即要检验 如下假设是否为真：
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H0 : 1 2 r
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（3）计算各离差平方和：
ST=121492-12002/12=1492， SA=485216/4-12002/12=1304, Se= 1492-1304=188,
fT=3×4-1=11 fA=3-1=2 fe=11-2=9
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（4）列方差分析表： [例2.1-1]的方差分析表
来源 偏差平方和
二是由于存在随机误差，即使在同一水平下 获得的数据间也有差异，这是除了因子A的水平 外的一切原因引起的，我们将它们归结为随机误 差，可以用组内离差平方和表示：
r m
Se
yij yi 2
i1 j1
Se：也称为误差的离差平方和
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可以证明有如下平方和分解式：
ST S A Se
ST、SA、Se 的自由度分别用 fT 、f A、fe 表示，它们也有分解式： fT f A fe ，其中：
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设在一个试验中只考察一个因子A，它有r个 水平，在每一水平下进行m次重复试验，其结果用 yi1 , yi2 ,, yim 表示，i=1,2, …, r。 常常把数据列成 如下表格形式：
水平 A1 A2 … Ar
单因子试验数据表
试验数据
和
y11 , y12 ,, y1m
T1
y21 , y22 ,, y2m
T2
…
…
yr1 , yr 2 ,, yrm
Tr
均值
y1 y2
… yr
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m
记第i 水平下的数据和为Ti，Ti yij ； j 1
记第i水平下的数据均值为 yi ，总均值为 y 。此 时共有n=rm个数据，这n个数据不全相同，它们的 波动（差异）可以用总离差平方和ST去表示
ST
r
m
来自百度文库
(
yij
r
m
i1
yi
y
2
r
Ti2
i1 m
T2 n
Se ST S A
其中 Ti 是第i个水平下的数据和；T表示 所有n=rm个数据的总和。
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进行方差分析的步骤如下：
（1）计算因子A的每一水平下数据的和 T1，T2，…，Tr及总和T；
（2）计算各类数据的平方和 yi2j , Ti2 ,T 2； （3）依次计算ST，SA，Se； （4）填写方差分析表；
因子A 误差e 总计T
S A 1304 Se 188 ST 1492
自由度
fA 2 fe 9 fT 11
三个工厂的零件强度
工厂
量件强度
甲
103 101 98 110
乙
113 107 108 116
丙
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82 92 84 86
在这一例子中，考察一个因子： 因子A：工厂
该因子有三个水平：甲、乙、丙 试验指标是：零件强度
这是一个单因子试验的问题。每一水平下的 试验结果构成一个总体，现在需要比较三个总体 均值是否一致。如果每一个总体的分布都是正态 分布，并且各个总体的方差相等，那么比较各个 总体均值是否一致的问题可以用方差分析方法来 解决。
fT 试验数 1 f A 水平数 1 fe fT f A
因子或误差的离差平方和与相应的自由度 之比称为因子或误差的均方和，并分别记为：
MS A S A f A
MSe Se fe
两者的比记为：F MSA MSe
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当F F1 ( f A, fe )时认为在显著性水平 上因
子A是显著的。其中 F1 ( f A , fe ) 是自由度为 f A , fe 的F分布的1-α分位数。
单因子方差分析表
来源 偏差平方和
因子A
SA
误差e
Se
总计T
ST
自由度
fA r 1 fe n r fT n 1
均方和
F比
MS A S A f A F MS A MSe MSe Se fe
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各个离差平方和的计算：
ST
rm
i1 j1
yij
y
2
r
m
yi2j
i1 j1
T2
n
SA
y )2
i1 j1
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引起数据波动（差异）的原因不外如下两个：
一是由于因子A的水平不同，当假设H0不真 时，各个水平下指标的均值不同，这必然会使试 验结果不同，我们可以用组间离差平方和来表示， 也称因子A的离差平方和：
SA
r
m
yi
y
2
i 1
这里乘以m是因为每一水平下进行了m次试验。
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方差分析 回归分析 试验设计
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上海质量教育培训中心 2005年
第一节 方差分析 一、几个概念 二、单因子方差分析
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一、几个概念
在试验中改变状态的因素称为因子，常用大写 英文字母A、B、C、…等表示。
因子在试验中所处的状态称为因子的水平。 用代表因子的字母加下标表示，记为A1，A2，… ，Ak。
（5）对于给定的显著性水平α，将求得的F 值与F分布表中的临界值 F1 f A, fe 比较，当 F F1 f A, fe 时认为因子A是显著的，否则认为 因子A是不显著的。
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对上例的分析 （1）计算各类和： 每一水平下的数据和为： T1 412,T2 444,T3 344 数据的总和为T=1200 （2）计算各类平方和： 原始数据的平方和为： yi2j 121492 每一水平下数据和的平方和为 Ti2 485216
当 H0 不真时，表示不同水平下的指标的均 值有显著差异，此时称因子A是显著的，否则 称因子A不显著。检验这一假设的分析方法便 是方差分析。
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方差分析的三个基本假定 1. 在水平 Ai 下，指标服从正态分布N ( i ,2 ) ； 2. 在不同水平下，各方差相等； 3. 各数据 yij 相互独立。
单因子试验：
若试验中所考察的因子只有一个。
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[例2.1-1] 现有甲、乙、丙三个工厂生产同一种零 件，为了了解不同工厂的零件的强度有无明显的差 异，现分别从每一个工厂随机抽取四个零件测定其 强度，数据如表所示，试问三个工厂的零件的平均 强度是否相同？
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二、单因子方差分析
假定因子A有r个水平，在Ai水平下指标服 从正态分布，其均值为 i，方差为 2 ，i=1,2, …, r。每一水平下的指标全体便构成一个总体，共 有r个总体，这时比较各个总体的问题就变成比 较各个总体的均值是否相同的问题了，即要检验 如下假设是否为真：
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H0 : 1 2 r
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（3）计算各离差平方和：
ST=121492-12002/12=1492， SA=485216/4-12002/12=1304, Se= 1492-1304=188,
fT=3×4-1=11 fA=3-1=2 fe=11-2=9
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（4）列方差分析表： [例2.1-1]的方差分析表
来源 偏差平方和
二是由于存在随机误差，即使在同一水平下 获得的数据间也有差异，这是除了因子A的水平 外的一切原因引起的，我们将它们归结为随机误 差，可以用组内离差平方和表示：
r m
Se
yij yi 2
i1 j1
Se：也称为误差的离差平方和
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可以证明有如下平方和分解式：
ST S A Se
ST、SA、Se 的自由度分别用 fT 、f A、fe 表示，它们也有分解式： fT f A fe ，其中：
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设在一个试验中只考察一个因子A，它有r个 水平，在每一水平下进行m次重复试验，其结果用 yi1 , yi2 ,, yim 表示，i=1,2, …, r。 常常把数据列成 如下表格形式：
水平 A1 A2 … Ar
单因子试验数据表
试验数据
和
y11 , y12 ,, y1m
T1
y21 , y22 ,, y2m
T2
…
…
yr1 , yr 2 ,, yrm
Tr
均值
y1 y2
… yr
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m
记第i 水平下的数据和为Ti，Ti yij ； j 1
记第i水平下的数据均值为 yi ，总均值为 y 。此 时共有n=rm个数据，这n个数据不全相同，它们的 波动（差异）可以用总离差平方和ST去表示
ST
r
m
来自百度文库
(
yij
r
m
i1
yi
y
2
r
Ti2
i1 m
T2 n
Se ST S A
其中 Ti 是第i个水平下的数据和；T表示 所有n=rm个数据的总和。
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进行方差分析的步骤如下：
（1）计算因子A的每一水平下数据的和 T1，T2，…，Tr及总和T；
（2）计算各类数据的平方和 yi2j , Ti2 ,T 2； （3）依次计算ST，SA，Se； （4）填写方差分析表；
因子A 误差e 总计T
S A 1304 Se 188 ST 1492
自由度
fA 2 fe 9 fT 11
三个工厂的零件强度
工厂
量件强度
甲
103 101 98 110
乙
113 107 108 116
丙
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82 92 84 86
在这一例子中，考察一个因子： 因子A：工厂
该因子有三个水平：甲、乙、丙 试验指标是：零件强度
这是一个单因子试验的问题。每一水平下的 试验结果构成一个总体，现在需要比较三个总体 均值是否一致。如果每一个总体的分布都是正态 分布，并且各个总体的方差相等，那么比较各个 总体均值是否一致的问题可以用方差分析方法来 解决。
fT 试验数 1 f A 水平数 1 fe fT f A
因子或误差的离差平方和与相应的自由度 之比称为因子或误差的均方和，并分别记为：
MS A S A f A
MSe Se fe
两者的比记为：F MSA MSe
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当F F1 ( f A, fe )时认为在显著性水平 上因
子A是显著的。其中 F1 ( f A , fe ) 是自由度为 f A , fe 的F分布的1-α分位数。
单因子方差分析表
来源 偏差平方和
因子A
SA
误差e
Se
总计T
ST
自由度
fA r 1 fe n r fT n 1
均方和
F比
MS A S A f A F MS A MSe MSe Se fe
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各个离差平方和的计算：
ST
rm
i1 j1
yij
y
2
r
m
yi2j
i1 j1
T2
n
SA
y )2
i1 j1
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引起数据波动（差异）的原因不外如下两个：
一是由于因子A的水平不同，当假设H0不真 时，各个水平下指标的均值不同，这必然会使试 验结果不同，我们可以用组间离差平方和来表示， 也称因子A的离差平方和：
SA
r
m
yi
y
2
i 1
这里乘以m是因为每一水平下进行了m次试验。
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方差分析 回归分析 试验设计
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第一节 方差分析 一、几个概念 二、单因子方差分析
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一、几个概念
在试验中改变状态的因素称为因子，常用大写 英文字母A、B、C、…等表示。
因子在试验中所处的状态称为因子的水平。 用代表因子的字母加下标表示，记为A1，A2，… ，Ak。
（5）对于给定的显著性水平α，将求得的F 值与F分布表中的临界值 F1 f A, fe 比较，当 F F1 f A, fe 时认为因子A是显著的，否则认为 因子A是不显著的。
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对上例的分析 （1）计算各类和： 每一水平下的数据和为： T1 412,T2 444,T3 344 数据的总和为T=1200 （2）计算各类平方和： 原始数据的平方和为： yi2j 121492 每一水平下数据和的平方和为 Ti2 485216
当 H0 不真时，表示不同水平下的指标的均 值有显著差异，此时称因子A是显著的，否则 称因子A不显著。检验这一假设的分析方法便 是方差分析。
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方差分析的三个基本假定 1. 在水平 Ai 下，指标服从正态分布N ( i ,2 ) ； 2. 在不同水平下，各方差相等； 3. 各数据 yij 相互独立。