第一章 利息理论基础

名义利率

(m ) 名义利率 i (m) m i 1 1 i m
1 1
i ( 4) 1 4
i ( 4) 1 4
2
i ( 4) 1 4
3
i ( 4) 1 4
4
i
1 i
名义贴现率

名义贴现率 d (m) m d 1 1 d m
利息度量二——积累方式不同

线形积累


指数积累

单利
a (t ) 1 it i in 1 ( n 1)i
复利
a (t ) (1 i ) t in i

单贴现
a
1

复贴现
a 1 (t ) (1 d ) t dn d
dn
(t ) 1 dt d 1 ( n 1) d
4
(m )
d ( 4) 1 4
d ( 4) 1 4
3
d ( 4) 1 4
2
1
d ( 4) 4
1 1
1 d
d
例1.2.1
求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名 义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。
例1.2.1答案
2、
t 0.05(1 t )2
例1.3.1答案
1、1000 10 1000 100.05 1648 72 e e .
10
2、 1000 0 e
0.05(1t )
2
dt
1000 e
0.05 0 1 t 10
1046 50 .
利息的度量（四）变利息

什么是变利息？ 常见的变利息情况
单复利计息之间的相关关系
单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒 定。 单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保 持恒定。 t 1 时，相同单复利场合，单利计息比复利计息 产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。 t 1 时，相同单复利场合，复利计息比单利计息 产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。
如何理解（1.3.9）
a (n ) (1 i ) n e 0 e 0
1
(s )ds n 1 (S )ds e
n
n
( S )ds
e 1
2
( S )ds
e e e
1 2
t
利息的度量（五）利息等价式
初始值 利息 积累值
1
v
i d
1 i 1
v 1 d （ i）1 e 1
答案
（ （1） 4000 1 j )34 5700 j 3% i ( 4 ) 4 j 12%
（2）
3000 1 i ) 4 6000 1 i ) 2 15000 ( ( (1 i ) 2 1 6 (舍去负根) 由(1 i ) 2 1 6 i 20.4% （i 2.204舍去)
期末计息——利率

第N期实质利率
in
I ( n) A( n 1)

期初计息——贴现率

第N期实质贴现率
dn
I ( n) A( n)
例1.1.1实质利率/贴现率

某人存1000元进入银行，第1年末存款余额 为1020元，第2年存款余额为1050元，求 i1、i2、d1、d 2 分别等于多少？
利息的度量三——利息转换频率不同




实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记 为实质利率，记为 i 。 名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每 (m) 一期的利率为j，记 i 为 这一年的名义利 率，( m) mj 。 i 利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬 间利率叫作利息力，记为 t。 实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名 义利率类似。

Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest
一、利息的定义

定义：

3、
例1.2.2和例1.2.3
求一万元按每年计息4次的年名义利率6%投 资3年的累积值。 以每年计息2次的年名义贴现率10%，在6年 后支付5万元，求其现值。
解：
A (3) 10000* 1 i
A (3) 10000* 1 d
3
i (4) 12 10000(1 ) 4
a (t ) e
(s )ds
0
t
e 0
1
1ds
e 1
2
2ds
t 1s ds e
t
e 1e 2 e t
in a (n ) a (n 1) e n 1 a (n 1)
t k 1
a (t ) (1 i k ) (1 i 1 )(1 i 2 ) (1 i t )
(2) 1、 1 i 1 i 1 8% i (2) 7.85% 2

2
4
2、
d (4) 1 1 (4) 1 4 1 d 1 i 1 8% d 7.623%
i 8% d , i (2) , d (2) , i (4) , d (4) ?
利息度量要点

利息的度量(一)计息时刻不同 利息的度量(二)利息累积方式不同 利息的度量(三)计息频率不同 利息的度量(四)变利率 利息的度量(五)利率等价式
第一章汉英名词对照




积累值 现实值 实质利率 单利 复利 名义利率 贴现率 利息效力



1 n
2、 ln(1 i ) ln1.08 7.7% 3、A (8) 500e 8
补充:
利息问题求解原则
一、利息问题求解四要素

原始投资本金 投资时期长度 利率及计息方式

期初/期末计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效 力
1 m m
例1.3.3和1.3.4
1、如果 t ，试确定1在n年末的积累值。 1 t 2、已知年度实际利率为8%，求等价的利息 强度。 3、一笔业务按利息强度6%计息，求投资 500元经8年的累积值。
1
例1.3.3和1.3.4
1、e 0 1t dt
n
1
e
ln(1t )
n 0
保险精算学
寿险精算的课程结构

基础
利息理论基础 生命表基础

核心



保费计算 责任准备金计算 多重损失模型 保单的现金价值与红利

拓展


特殊年金与保险 寿险定价与负债评估 偿付能力与监管
第一章 利息的基本概念
1.1 实际利率和实际贴现率 1.2 名义利率和名义贴现率 1.3 利息强度

连续变化场合：函数利息力 (t )
a(t ) exp{ (s)ds}

t
离散变化场合： i ,, i (d ,, d ) 1 t 1 t
0
a(t ) (1 ik ) (1 d k )1
k 1 k 1
t
t
如何理解（1.3.7a）和（1.3.7b）（1.3.7c）
（ i）= ( d ) 1 e 1 1
利息的度量（五）利息等价式
d (1.1.7) P 5 1 d i d 1 i i id d d (1 i ) i i d id i
利息的度量（五）利息等价式
d (m ) i (m ) 1 1 1 i e 1 d 1 m m (1.2.7) P 8, (1.3.13) i (m ) d (m ) 1 1 m m i (m ) d (m ) i (m ) d (m ) * m m m m
m m
等价公式

一般公式
a(t ) e

0 s ds
t
恒定利息效力场合 ln(1 i) a(n) exp{n } ln v a1 (n) exp{n }
例1.3.1

确定1000元按如下利息效力投资10年的积 累值
1、
5%
例1.1.1答案
A(0) 1000, A(1) 1020, A(3) 1050 I1 A(1) A(0) 20 I 2 A(3) A(2) 30 i1 I1 20 2% A(0) 1000 I1 20 d1 1.96% A(1) 1020 I2 30 i2 2.94% A(1) 1020 I2 30 d2 2.86% A(2) 1050
如何理解（1.3.8）
a (t ) e
(s )ds
0
t
e 0
1
1ds
e 1
2
2ds
t 1s ds e
t
e 1e 2 e t e n
in a (n ) a (n 1) e 1 a (n 1)
t k 1
a (t ) (1 i k ) (1 i ) n e n
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失。 本金 利率 时期长度

影响利息大小的三要素：


二、利息的度量
积累函数
a(t )
A(t )
1------------------------------

例1.1.2

某人存5000元进入银行，若银行分别以2% 的单利计息、复利计息、单贴现计息、复 贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少 积累值？
解：
(1) 2%单利计息 A(5) 5 0 0 0 1 5 2%) 5 5 0 0 ( ( 2) 2%复利计息 A(5) 5 0 0 0 1 2%)5 5 5 2 0 ( (3) 2%单贴现计息 5000 A(5) 5556 1 5 2% ( 4) 2%复贴现计息 5000 A(5) 5531 （ 2% 5 1 ）
答案

以第7年末为时间参照点，有
1.066 4 1.064 x 1.06 10 x 3.7435 千元

以第8年末为时间参照点，有
1.067 4 1.065 x 101.06 x 3.7435 千元

以其他时刻为时间参照点（同学们自己练 习）
求利率
（1）某人现在投资4000元，3年后积累到 5700元，问季度计息的名义利率等于多少？ （2）某人现在投资3000元，2年后再投资 6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元， 问实质利率=？
d (4) 12 10000(1 ) 4
3
d (2) PV 50000 1 2
12
利息效力

定义：瞬间时刻利率强度
t
A(t ) d ln A(t ) A(t ) dt a(t ) d ln a(t ) a(t ) dt limi ( m ) limd ( m )
a(t )
金额函数
贴现函数 第N期利息
a 1 (t )
0
K------------------------------ A(t )
-----------------------------1
a 1 (t )
t
I (n) A(n) A(n 1)
I ( n)
利息度量一——计息时刻不同


本金在投资期末的积累值
二、利息问题求解原则

本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对 四要素知三求一的问题 工具：现金流图
p1
p2

现金流 p0
pn
时间坐标

0
t1
t2

tn

方法：建立现金流分析方程（求值方程） 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现 时值相等。
例：求本金

某人为了能在第7年末得到1万元款项，他 愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4 千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利 率复利计息，问X=？