全等三角形二次全等证明

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人教版八年级数学上册专题复习证明三角形全等的常见题型

证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。

而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。

在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。

一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。

例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。

证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。

在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。

∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。

2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。

例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

求证：AE=CE。

证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。

在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。

例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。

二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。

例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。

求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。

例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。

三角形全等证明

三角形全等证明三角形全等，是初中数学中的重点内容之一，也是几何学的基础性质。

在数学应用过程中，经常需要通过证明两个三角形是全等，以推导出相应的性质和结论。

因此，掌握三角形全等的证明方法和技巧，对于学生的数学能力提升以及应用能力的提高都是至关重要的。

三角形全等一般是通过三边、两边一角和两角一边的相等关系来进行判断的。

其中，三边全等为SAS，两边一角全等为ASA，两角一边全等为AAS。

下面，我们将详细介绍这三种全等证明方法。

SAS法则：指边边边全等法则，即通过两个三角形的两边和它们的夹角来证明它们全等。

为了使用SAS法则进行证明，需要找到两个三角形，保证它们的一条边相等，与另一个角的度数相等，并且另一条边也相等。

例如：两个三角形的所有角度相等，但是形状有所不同。

假设第一个三角形的一条边AB等于第二个三角形的一条边DE，第一个三角形的另一条边AC等于第二个三角形的另一条边DF，第一个三角形的内角CAB等于第二个三角形的内角EDF，则可以通过SAS法则进行全等证明。

ASA法则：指角边角全等法则，即通过两个三角形的夹角和它们的一条边来证明它们全等。

为了使用ASA法则进行证明，需要找到两个三角形，保证它们的一条边相等，与另两个角的度数依次相等。

例如：两个三角形，假设它们共享一条边AB且角A和角B的度数分别等于角D和角E的度数，并且另一个角在两个三角形中分别为角C和角F，则可以通过ASA法则进行全等证明。

AAS法则：指角角边全等法则，即通过两个三角形的两个角和一个边来证明它们全等。

为了使用AAS法则进行证明，需要找到两个三角形，保证它们的两个角度相等，并且另一条边也相等。

例如：两个三角形中，假设它们的两个角都相等，其中一个角为角A，另一个角为角B，且两个三角形的边AC和BD相等，则可以通过AAS法则进行全等证明。

总结来说，三角形全等是通过三边、两边一角和两角一边的相等关系来进行判断的。

三边全等法则SAS、角边角全等法则ASA和角角边全等法则AAS，都有着自己的证明方法。

全等三角形二次全等典型习题

全等三角形二次全等典型习题点C在直线DE上，且∠ACD=60°，连接AE，BF，交于点G．证明：①△AEG≌△BFG，②AG=BG．已知△ABC是等边三角形，因此AB=BC=AC．又因为△ACD是等边三角形，所以AC=CD=AD．连接AG，BG，CG，因为∠ACD=60°，所以∠ACG=∠BCG=30°，又因为AB=BC，所以∠ABC=∠BCA=60°，所以△ABC是等腰三角形，所以∠BAC=∠BCA=60°，所以∠EAG=∠FGB=60°-∠BAC=60°-∠ACG=30°．又因为AE=BE，所以△XXX≌△XXX．因为△AEG≌△BFG，所以AG=BG．证毕。

2.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=90°，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=45°，延长CB到点G，使BG=DE，连接EF，AG．证明：①△ADE≌△ABG，②△AFE≌△AFG．连接AG，BG，CG，因为AD=AB，所以△ADB是等腰直角三角形，所以∠DAB=∠ABD=45°，所以∠ABG=∠ADE=45°，又因为BG=DE，所以△ADE≌△ABG．因为∠EAF=45°，所以∠AFG=45°，因为AB=BC，所以∠XXX∠BCA=45°，所以△ABC是等腰直角三角形，所以∠BAC=∠BCA=45°，所以∠AFB=90°，所以△AFE是等腰直角三角形，因此∠AEF=45°，又因为AF=AG，所以△AFE≌△AFG．证毕。

3.已知：如图，∠A=∠D=90°，BE=EC．证明：△ABC≌△DCB．连接AC，BD，因为∠A=∠D=90°，所以AC⊥BD，又因为BE=EC，所以BD平分AC，所以AD=BC．又因为∠BAC=∠XXX，∠ABC=∠CBD，且AB=BD，所以△ABC≌△DCB．证毕。

第二讲全等三角形证明-初一周心仪

第二讲全等三角形证明题型1：全等+等腰性质1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE ，AD ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ，BC 、DE 交于点O 。

求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE 。

2、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C 。

求证：OA ＝OD 。

题型2：两次全等1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。

求证：BF=CF 。

FDCB A2、已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分。

E A B E OF D C3、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG题型3：直角三角形全等（余角性质）1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G 。

求证：BD ＝CG 。

2、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。

3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F 求证：EF ＝CF －AE 。

AFC BDEGAO D C B 4、如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。

求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。

题型4：连接法（构造全等三角形）1、已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证：AE ＝AF 。

全等三角形证明之二次全等,含详细参考答案

全等三角形之二次全等知识过关1. 回顾七年级上册学习的几何初步填空：遇到与角有关的计算和证明时，常见的思考角度：由平行想到_____________，____________，____________；由垂直想到__________________，_____________________；由外角想到_________________________________________． 2. 已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AO =BO ，CO =DO ，过点O 作EF 交AC 于点E ，交BD 于点F ．求证：△BOF ≌△AOE ．精讲精练1. 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，在△ACM ，△CBN 中，AC =CM ，BC =CN ，∠ACM =∠BCN =60°，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ．求证：①△CAN ≌△CMB ；②△CEN ≌△CFB ．2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠D =∠ABC =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC边上的点，且∠EAF =45°，延长CB 到点G ，使BG =DE ，连接EF ，AG ．求证：①△ADE ≌△ABG ；②EF =DE +BF ．FCBO E DA GA BCEDFNMCFE A3. 已知：如图，∠A =∠D =90°，AC ，BD 相交于点E ，BE =CE ．求证：△ABC ≌△DCB ．4. 已知：如图，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AE =CF ，过点E ，F 分别作ED ⊥AC 于点E ，FB⊥AC 于点F ，连接AB ，CD ，BD ，BD 交AC 于点G ，AB =CD ．求证：△DEG ≌△BFG ．5. 已知：如图，AB =AC ，BD =CD ，AD 与BC 相交于点O ．求证：AD ⊥BC ．EDAFCBGEDAB O A6. 已知：如图，在Rt △ABE 和Rt △ACF 中，∠E =∠F =90°，BE =CF ．BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，∠EAC =∠FAB ．求证：AM =AN ．7. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，点D 是BC 的中点，DF ⊥AB 于F ，DE⊥AC 于E ．试猜想AB 和AC 的数量关系，并证明你的猜想．【参考答案】知识过关1. 同位角；内错角；同旁内角；直角三角形两锐角互余；同角或等角的余角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 2. 证明：如图，在△BOD 和△AOC 中，BO AOBOD AOCDO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（对顶角相等）（已知） ∴△BOD ≌△AO C （SAS ）∴∠B =∠A （全等三角形对应角相等）在△BOF 和△AOE 中，B A BO AOBOF AOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已知）（对顶角相等） ∴△BOF ≌△AOE （ASA ）F BE DANF C BME DA精讲精练 1. 证明：如图，①∵∠ACM =∠BCN =60° ∴∠MCN =60° ∴∠ACN =∠MCB =120° 在△CAN 和△CMB 中，AC MC ACN MCB CN CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△CAN ≌△CMB （SAS ） ②∵△CAN ≌△CMB∴∠ANC =∠MBC （全等三角形对应角相等） ∵∠ECN =60°；∠FCB =60° ∴∠ECN =∠FCB 在△CEN 和△CFB 中，ECN FCB CN CB ENC FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已知）（已证） ∴△CEN ≌△CFB （ASA ） 2. 证明：如图，①∵∠D =∠ABC =90° ∴∠ABG =90° ∴∠D =∠ABG在△ADE 和△ABG 中，AD AB D ABG DE BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△ADE ≌△ABG （SAS ） ②∵△ADE ≌△ABG （已证） ∴AE =AG （全等三角形对应边相等） ∠EAD =∠GAB （全等三角形对应角相等） ∵∠EAF =45°；∠BAD =90° ∴∠BAF +∠EAD =45° ∴∠BAF +∠GAB =45° 即∠GAF =∠45° ∴∠GAF =∠EAF 在△AFE 和△AFG 中，EAF GAFAF AF ⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（公共边） ∴△AFE ≌△AFG （SAS ）∴EF =GF （全等三角形对应边相等） ∵GF =BG +BF ∴EF =DE +BF 3. 证明：如图，在△AEB 和△DEC 中，A D AEB DECBE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（对顶角相等）（已知） ∴△AEB ≌△DEC （AAS ）∴AB =DC （全等三角形对应边相等）在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，BC CBAB DC =⎧⎨=⎩（公共边）（已证） ∴△ABC ≌△DCB （HL ） 4. 证明：如图，∵AE =CF ∴AE+EF =CF+EF 即AF =CE∵DE ⊥AC ；BF ⊥AC ∴∠AFB =∠CED =90° 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，AB CDAF CE=⎧⎨=⎩（已知）（已证） ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ） ∴BF =DE （全等三角形对应边相等）在△DEG 和△BFG 中，DEG BFGEGD FGBDE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（对顶角相等）（已证） ∴△DEG ≌△BFG （AAS ） 5. 证明：如图，在△ABD 和△ACD 中，BD CDAD AD ⎪=⎨⎪=⎩（已知）（公共边） ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）∴∠BAD =∠CAD （全等三角形对应角相等）在△BAO 和△CAO 中，AB AC BAO CAOAO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（公共边） ∴△BAO ≌△CAO （SAS ）∴∠AOB =∠AOC （全等三角形对应角相等） ∵∠AOB +∠AOC =180° ∴∠AOB =90° ∴AD ⊥BC 6. 证明：如图，∵∠EAC =∠FAB∴∠EAC +∠BAC =∠FAB +∠BAC 即∠BAE =∠CAF 在△ABE 和△ACF 中，BAE CAF E FBE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已知）（已知） ∴△ABE ≌△ACF （AAS ）∴AE =AF （全等三角形对应边相等）在△AEM 和△AFN 中；E F AE AFEAM FAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已知）（已证）（已知） ∴△AEM ≌△AFN （ASA ）∴AM = AN （全等三角形对应边相等） 7. AB =AC ，理由如下：证明：如图， ∵DF ⊥AB ；DE ⊥AC∴∠AFD =∠AED =∠BFD =∠CED =90° ∵AD 平分∠BAC ∴∠FAD =∠EAD在△AFD 和△AED 中；AFD AEDFAD EADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△AFD ≌△AED （AAS ）∴DF =DE ，AF =AE （全等三角形对应边相等） ∵点D 是BC 的中点 ∴BD =CD在Rt △BFD 和Rt △CED 中BD CDDF DE =⎧⎨=⎩（已证）（已证） ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ） ∴BF =CE （全等三角形对应边相等） ∴AF +BF =AE +CE 即AB =AC二次全等（当堂过关）1. 已知：如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BD =CD ．求证：BE =CF ．证明：如图，1. 证明：如图，∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD =∠F AD ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠AED =∠AFD =∠CFD =90° 在△AED 和△AFD 中，∴△AED ≌△AFD （AAS ）AED AFDEAD FADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边）F E DCB∴DE =DF （全等三角形对应边相等）在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ） ∴BE =CF （全等三角形对应边相等）二次全等（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，且BD =CE ，BE 交CD 于点O ．求证：AO 平分∠BAC ．【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：要证AO 平分∠BAC ，则需证明∠DAO =∠EAO ．要证∠DAO =∠EAO ，则需证明△AOD ≌△AOE ．要证△AOD ≌△AOE ，需找三组条件，其中必须有一组边．分析发现，AO =AO ，∠ADO =∠AEO =90°，已经有了两组条件，还需要一组条件．从已知条件出发，发现BD =CE ，∠BDO =∠CEO =90°，又因为∠1=∠2，可证明△BOD ≌△COE ．由△BOD ≌△COE ，可为上面的全等准备一组条件OD =OE ．至此，在△AOD 和△AOE 中三组条件找全，利用HL 可以证明全等，从而得出结论．【过程书写】证明：如图 ∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC∴∠ADO =∠AEO =∠BDO =∠CEO =90° 在△BOD 和△COE 中BD CDDE DF =⎧⎨=⎩（已知）（已证）21O EDCBAABCDEO12BDO CEO BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）（已证）（已知） ∴△BOD ≌△COE （AAS ）∴OD =OE （全等三角形对应边相等）在Rt △AOD 和Rt △AOE 中AO AO OD OE=⎧⎨=⎩（公共边）（已证）∴Rt △AOD ≌Rt △AOE （HL ）∴∠DAO =∠EAO （全等三角形对应角相等） ∴AO 平分∠BAC巩固练习1. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，AB =BC =AC ，∠ABC =∠ACB =60°，点E ，F 分别在AB ，AC 边上，∠EDF =60°，BD =CD ，∠DBC =∠DCB =30°，∠BDC =120°，延长AC 到点G ，使CG =BE ．求证：①△EBD ≌△GCD ；②△EFD ≌△GFD ．2. 已知：如图，AB =AC ，BD =CD ，E 是线段AD 延长线上一点．求证：△ABE ≌△ACE ．GFED C BA E DCBA3. 已知：如图，∠ACB =∠ADB =90°，AD =BC ，CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F ．求证：CE =DF ．4. 已知：如图，点C ，D 在线段BE 上，BD =EC ，CA ⊥AB 于点A ，DF ⊥EF 于点F ，且AB =EF ．求证：CF =DA ．5. 已知：如图，在△PBC 中，D 为PB 上一点，PD =PC ，延长PC到点A ，使得PA =PB ，连接AD ，交BC 于点O ，连接PO ．求证：OD =OC ．FE DC BOBDCAFEDCBA【参考答案】1. 证明：如图，①∵∠ABC =∠ACB =60°，∠DBC =∠DCB =30° ∴∠DBE =∠ABC+∠DBC =90°∠DCG =180°-∠ACB -∠DCB =90° ∴∠DBE =∠DCG在△EBD 和△GCD 中，B DBE DCD CD GBE CG ∠=∠=⎧⎪⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△EBD ≌△GCD （SAS ）②∵△EBD ≌△GCD （已证）∴DE =DG （全等三角形对应边相等） ∠EDB =∠GDC （全等三角形对应角相等） ∵∠BDC =120°，∠EDF =60°∴∠EDB +∠CDF =60°∴∠GDC +∠CDF =60°即∠GDF =60°∴∠EDF =∠GDF在△EFD 和△GFD 中，D DE DG EDF GDFF DF =∠=∠⎧⎪⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△EFD ≌△GFD （SAS ）2. 证明：如图，在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CDAD AD ⎧⎪⎨⎪=⎩==（已知）（已知）（公共边） ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）∴∠BAD =∠CAD （全等三角形对应角相等）在△ABE 和△ACE 中，A AB AC BAE CAEE AE =∠=∠⎧⎪⎨⎪=⎩（已知）（已证）（公共边） ∴△ABE ≌△ACE （SAS ）3. 证明：如图，在Rt △ACB 和Rt △BDA 中，BC B BA AD A ==⎧⎨⎩（公共边）（已知） ∴Rt △ACB ≌Rt △BDA （HL ）∴AC =BD （全等三角形对应边相等）∠CAB =∠DBA （全等三角形对应角相等） ∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB∴∠CEA =∠DFB =90°在△ACE 和△BDF 中，CEA DFB CAE DBFAC BD ⎧⎪⎨∠=∠∠=⎪∠⎩=（已证）（已证）（已证） ∴△ACE ≌△BDF （AAS ）∴CE =DF （全等三角形对应边相等）4. 证明：如图，∵CA ⊥AB ，DF ⊥EF∴∠CAB =∠DFE =90°∵BD =EC∴BD +DC =EC +DC即BC =ED在Rt △ABC 和Rt △FED 中，BC ED AB FE=⎧⎨=⎩（已证）（已知） ∴Rt △ABC ≌Rt △FED （HL ）∴∠B =∠E （全等三角形对应角相等）在△ABD 和△FEC 中，AB FE B EBD EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△ABD ≌△FEC （SAS ）∴CF =DA （全等三角形对应边相等）5. 证明：如图，在△ADP 和△BCP 中，PD PC APD BPCPA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（公共角）（已知） ∴△ADP ≌△BCP （SAS ）∴∠A =∠B （全等三角形对应角相等）∵PD =PC ，PB =PA∴PD -PB =PA -PC即BD =AC在△BOD 和△AOC 中，BOD AOC B ABD AC ⎧⎪∠=∠⎪=∠⎩=⎨∠（对顶角相等）（已证）（已证） ∴△BOD ≌△AOC （AAS ）∴OD =OC （全等三角形对应边相等）。

八年级上册数学三角形全等证明之二次全等练习题(含答案)

在证明线段相等或者角相等时,常见的方法是通过证明线段或角所在的三角形全等来证明线段或者角相等.但有的时候,根据题目条件无法简单地通过一次全等证明来得到最终的结论,这时就需要证明两次三角形全等,即证明图中的两对三角形全等.这种方法较多见于对称型全等和旋转型全等的题目中.第2节二次全等一、典型例题[例]图2-1是某产品商标的示意图,已知AB ＝CD,∠A ＝∠D,有人认为△ABC ≌△DCB,他的思考过程是:∵AB ＝CD,∠A ＝∠D,BC ＝CB,∴△ABC ≌△DCB.你认为这个思考过程对吗？如果正确,请指出他用的是判定三角形全等的哪个定理？如果不正确,请写出你的思考过程.解:他的思考过程不正确.在△ABE 和△DCE 中,∵{∠AEB =∠DEC∠A =∠D AB =DC∴△ABE ≌△DCE （AAS ）.∴AE ＝DE,BE ＝CE.∴AE+EC ＝DE+EB,即AC ＝BD.在△ABC 和△DCB 中,∴{AC =BDAB =DC BC =CB∴△ABC ≌△DCB （SSS ）.二、分层练习1.如图2-2所示,点A,E,C 在一条直线上,∠1＝∠2,∠3＝∠4.求证:△ABE ≌△ADE.图2-22143E B2.如图2-3所示,点A,E,F,C 在一条直线上,AE ＝CF,分别过点E,F 作DE ⊥ AC,BF ⊥AC,连接AB,CD,且AB ∥CD,连接BD 交AC 于点C.求证:△DEG ≌△BFG.3.如图2-4所示,AB ＝AC,DB ＝DC,F 是AD 延长线上的一点.求证:BF ＝CF.4.如图2-5所示,AE 是∠BAC 的角平分线,EB ⊥AB 于点B,EC ⊥AC 于点C,点D 是AE 上一点.求证:BD ＝CD.5.如图2-6所示,DE ⊥AC,BF ⊥AC,AD ＝BC,DE ＝BF.求证:AB ∥DC.图2-3C图2-4图2-5图2-66.如图2-7所示,点E,F 在BD 上,且AB ＝CD,BF ＝DE,AE ＝CF.求证:AO ＝CO.7.如图2-8所示,AB 之间有一条河.想要测量AB 的长,但无法过河接近点A,于是在AB 外任取一点D,在AB 的延长线上任取一点E,连接ED 和BD,并延长BD 到点G,使DG ＝DB,延长ED 到点F,使DF ＝DE,连接FG,并延长FG 到点H,使点H,D,A 在一条直线上,则HG ＝AB.试说明这种测量方法的原理.8.如图2-9所示,在Rt △ABC 和Rt △ADE 中,∠ABC ＝∠ADE ＝90°,BC 与DE 相交于点F,且AB ＝AD,AC ＝AE,连接CD,EB.求证:(1)∠CAD ＝∠EAB;（2）CF ＝EFDH图2-8图2-99.如图2-10所示,在等边△ABC 内取一点D,使DA ＝DB,在△ABC 外取一点E,使∠DBE ＝∠DBC,且BE ＝BA,则∠BED ＝_______°.10.如图2-11所示,∠BAC 是钝角,AB ＝AC,点D,E 分别在AB,AC 上,且CD ＝BE.试说明:∠ADC ＝∠AEB.一个同学的解法是这样的: 在△ACD 和△ABE 中, ∵{AB =AC BE =CD ∠BAE =∠CAD ∴△ABE ≌△ACD.∴∠ADC ＝∠AEB.这种解法遭到了其他同学的质疑.理由是错在不能用“SSA ”判定三角形全等.请你给出正确的解法.图2-10E D CB A E DC B A答案解析1.证明:在△DEC和△BEC中,{∠1=∠2 EC=EC ∠3=∠4∴△DEC≌△BEC（ASA）.∴DE＝BE.∵∠3＝∠4,∴∠DEA＝∠BEA.在△ABE和△ADE中,{AE=AE∠AEB=∠AED BE=DE∴△ABE≌△ADE（SAS）.2.证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠AFB＝90°＝∠CED. ∵AE＝CF,∴AE+EF＝CF+FE,即AF＝CE.∵AB∥CD,∴∠A＝∠C.在△ABF和△CDE中,{∠A=∠CAF=CE∠AFB=∠CED∴△ABF≌△CDE（ASA）.∴DE＝BF.在△BFG和△DEG中,{∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE∴△BFG≌△DEG（AAS）.3.证明:在△ABD和△ACD中,{AB=ACBD=CDAD=AD ∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠BAD＝∠CAD.在△BAF和△CAF中,{AB=AC∠BAF=∠CAFAF=AF∴△BAF≌△CAF（SAS）.∴BF＝CF.4.证明:∵AE是∠BAC的角平分线, ∴∠CAE＝∠BAE. ∵EB⊥AB,EC⊥AC, ∴∠ECA＝∠EBA＝90°.在△CAE和△BAE中,{∠CAE=∠BAE ∠ECA=∠EBA AE=AE∴△CAE≌△BAE（AAS）.∴AC＝AB.在△CAD和△BAD中,{AC=AB ∠CAD＝∠BAD AD=AD∴△CAD≌△BAD（SAS）.∴BD＝CD.5.证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠AED＝∠CFB＝90°, ∠AFB＝∠CED＝90°,在Rt△ADE和Rt△CBF中,∵{AD=CBDE=BF∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）.∴AE＝CF.∴AE+EF＝CF+FE,即AF＝CE.在△AFB和△CED中,∵{AF=CE∠AFB=∠CED DE=BF∴△AFB≌△CED（SAS）.∴∠BAF＝∠DCE.∴AB∥DC.∴AO＝CO.6.证明:∵BF＝DE, ∴BF-EF＝DE-FE,即BE＝DF.在△ABE和△CDF中,{AB=CD AE=CF BE=DF∴△ABE≌△CDF（SSS）.∴∠B＝∠D.在△AOB和△COD中,{∠AOB=∠COD ∠B=∠DAB=CD∴△AOB≌△COD（AAS）.7.解:在△BED 和△GFD 中, {DB =DG ∠BDE =∠GDF DE =DF∴△BED ≌△GFD （SAS ）.∴∠EBD ＝∠FGD.∴∠ABD ＝∠HGD.在△ABD 和△HGD 中,{∠ABD =∠HGDBD =GD∠BDA =∠GDH∴△ABD ≌△HGD （ASA ）.∴HG ＝AB.8.证明:（1）在Rt △ABC 和Rt △ADE 中,{AC =AE AB =AD∴Rt △ABC ≌Rt △ADE （HL ）.∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC-∠DAB ＝∠DAE-∠DAB,即∠CAD ＝∠EAB.（2）在△ACD 与△AEB 中,{AC =AE ∠CAD =∠EAB AD =AB∴△ACD ≌△AEB （SAS ）.∴CD ＝BE,∠ACD ＝∠AEB.∵Rt △ABC ≌Rt △ADE （HL ）, ∴∠ACB ＝∠AED.∴∠ACB-∠ACD ＝∠AED-∠AEB,即∠DCF ＝∠BEF.又∵∠DFC ＝∠BFE, ∴△DFC ≌△BFE （AAS ）.∴CF ＝EF.9.解:如图2所示,连接CD.∵△ABC 是等边三角形, ∴AB ＝BC ＝CA.∵BE ＝BA,BA ＝BC, ∴BE ＝BC.在△BDC 和△BDE 中,{BD =BD ∠DBE =∠DBC BE =BC∴△BDC ≌△BDE （SAS ）.∴∠BED ＝∠BCD.在△BCD 和△ACD 中,{BC =AC BD =AD CD =CD∴△BCD ≌△ACD （SSS ）.∴∠BCD ＝∠ACD ＝30°.∴∠BED ＝30°.C10.证明:因为∠BAC 是钝角,故过点B,C 分别作CA,BA 的垂线,垂足分别为点F, G,如图3所示.在△ABF 和△ACG 中,{∠F =∠G =90°∠FAB =∠GAC AC =AB∴△ABF ≌△ACG （AAS ）.∴BF ＝CG.在Rt △BEF 和Rt △CDG 中,{BF =CGBE =CD ∴Rt △BEF ≌Rt △CDG （HL ）.∴∠ADC ＝∠AEB.。

全等三角形的六种模型全梳理(学生版)--初中数学专题训练

全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中。

1【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．2(培优)已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD,BE，点F为BE中点．AD；(1)如图1，求证：BF=12(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD，过C点作CM⊥AD于M点．①探究AE和BD的关系，并说明理由；②连接FC，求证：F，C，M三点共线．1.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE．2.(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．3.(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明(往往需证2次全等)3如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=12∠BAE．(1)求证：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度数．4(培优)在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．(1)求证：∠BFC=90°+12∠A；(2)已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．1.如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α0°<α<60°，则∠BCD=(用含α的式子表示)．2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠BAD．∠EAF=12(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．3.阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的长．【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决(如图2)．【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；(2)拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD 的长．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

三角形全等证明(共11篇)

4．如图，D、E、F、B在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE。求证：⑴AE=CF；⑵AE∥CF；⑶∠AFE=∠CEF。
1、已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D。求证：△AFC≌△DEB
4、已知：AD为△ABC中BC边上的中线，CE∥AB交AD的延长线于E。
求证：（1）AB＝CE；５、已知：AB＝AC，BD＝CD
C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等2．下列各条件中，不能做出惟一三角形的是（）
A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边
4．下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是()
A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D
B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
16．1AD517．互补或相等18．18019．1520．350
三、21．在一条直线上．连结EM并延长交CD于F\\’证CFCF\\’．22．情况一：已知：ADBC，ACBD
求证：CEDE（或DC或DABCBA）
证明：在△ABD和△BAC中∵ADBC，ACBD
ABBA
∴△ABD≌△BAC
∴CABDBA∴AEBE
∴ACAEBDBE
即CEED
情况二：已知：DC，DABCBA
求证：ADBC（或ACBD或CEDE）证明：在△ABD和△BAC中DC，DABCBA∵ABAB
∴△ABD≌△BAC
∴ADBC
23．提示：OM=ON，OE=OD，∠MOE=∠NOD，∴△MOE≌△NOD，∴∠OME=∠OND，又DM=EN，∠DCM=∠ECN，∴△MDC≌△NEC，∴MC=NC，易得△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC，∴点C在∠AOB的平分线上．

中考数学复习---《二次函数与三角形全等、相似(位似)有关的问题》PPT典型例题讲解

本课结束
中考数学复习---《二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的问题》PPT典型例题讲解
1、如图 1，已知二次函数 y ax2 bx ca 0 的图像与 x 轴交于点 A1,0 、 B2,0 ，与
y 轴交于点 C，且 tanOAC 2 ．
(1)求二次函数的解析式； (2)如图 2，过点 C 作 CD∥x 轴交二次函数图像于点 D，P 是二次函数图像上异于点 D 的一
示出△PBC 的面积，根据 S△PBC=S△BCD，列出方程，进一步求得结果，当 P 在第一象限，同
样的方法求得结果；
（3）作 PN⊥AB 于 N，交 BC 于 M，根据 P（t， t2 t 2 ），M（t， t 2 ），表示出 PM 的长，
根据 PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出 PQ PM ，从而得出 PQ 的函数表达式，进一
2
∵抛物线的对称轴为 y= 1 ，CD∥x 轴，C（0，-2）， 2
∴点 D（1，-2），
∴CD=1，
∴S△BCD= 1 CD·OC， 2
∴ 1 PE·OC= 1 CD·OC，
2
2
∴a2-2a=1，
解得 a1=1+ 2 （舍去），a2=1- 2 ；
当 x=1- 2 时，y= a2 a 2 =a-1=- 2 ，
当 a=1+ 2 时，y= a2 a 2 = 2 ， ∴P（1+ 2 ， 2 ），
综上所述，P 点坐标为（1+ 2，2 ）或（1- 2， 2 ）；
(3) 如图，作 PN⊥AB 于 N，交 BC 于 M，
由题意可知，P（t， t2 t 2 ），M（t，t-2），
∴PM=（t-2）-（ t2 t 2 ）=- t2 2t ，

全等三角形二次全等证明

3・5. 6. 7・8. 已知J 如图，点A, 连接 AB, CD. BD, 求证J ADEG^ABFG.E ・F, C 在同一宜线上，AE=CF»过点E,F 分别作DE 丄AC. BF 丄AC, BD 交 AC 于点 G, AB=CD. 3•已知J 求证J ACEF^ABDF-如图，在 RtAACD 中，ZADC=90% BE 丄 AC 于 E,交 CD 于点 F, AE=AD.全等三角形两次全等证明已知J 如图，在A ABC 中，AD 平分ZBAC,点D 是BC 的中点，DF 丄AB 于F, DE 丄AC 于 E ・求证J ABDF^ACDE.1. 2. C10.4•己知J如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD> BD平分ZABC, E为BD上任意一点, 连接AE, CE.求证J A ADE丝△CDE.5•已知：如图，itAABC 中，ZACB=ZABC=60% ZEDF=60\ BD=CD, ZDBC= ZDCB=30°, ZBDC=120\ 延长AC 到点G,使CG=BE.求证J AEFD丝△GFD.6已知J如图，点A, C在直线EF上，BC=ADr AB=CD. AE=CF. 求证J ZE=ZF・7•已知，如图，AE=BF, AD=BC- CE=DF. 求证J AO=BO-8、已知：如虬ZD=ZE, AM=ME=CN=DN.试猜想AB和BC的数量关系•并证明你的猜想・9•已知J如图，在AABC中，点D是BC的中点，DF1AB于F, DE丄AC于E・DF=DE・贞脚内容6求证J AB=AC.10•如图，在正方形ABCD 中，ZABC=ZBCD=90\ AB=BC=CD=AD. E 为BC 边上一点，且AE=DE. AE勺对角线BD交于点F, ZABF=ZCBF.连接CF交DE于点G・11•已知J如图，在等边AABC中，Z C=Z ABD=60\ AB=BC=AC,点D, E分别为BC, AC边上一点且AE=CDr连接AD, BE相交于点F・求证J Z 1=Z 2.12•已知J 如图，RtA ABC 中，Z ACB=90\ E 是 AB K 一点，且 BE=BCr 过 E 作 DE 丄AB 交 AC 于D,连接BD.求证J AC=AD+DE.13•已知J 如图• A, F, C, D 在同一宜线上，AF=DC» ABH DE,且AB 二DE ・求证J BF=EC.14•已知J 如图，在四边形ABCD 中，连接BD, ABH CD 且ABCD. 求证J AD II BC ・15•已知J 如图，在^ ABC 中，D 是BC 边上任意一点，DE 丄AB 于E. DF 丄AC 于F,且DE=DF-若 Z 6=35% Z C=60\求Z 1的度数・6•如图，在正方形 ABCD, DEFG 中，AD=CD, DE=DG, Z EDG=Z ADC=90\ 连接 CG 交 AD 于 N,连接AE 交CG 于M.求证.AE=CG. AE 丄CG ・16•已知J 如图，Z ABOZDEF, AB=DE, CE=BF.求证j △ ABC塁△ DEF ・AD C c8 Q C17•如图，已知Z 1=Z 2, AOAD, AB=AE.求证j △ ABC 竺△ AED ・ 18•已知J19•已知J 20•已知JACE 竺△ CBF ・如图，点E 在AABC 的外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于已若Z 1=Z 2=Z 3, 如图，AC. BD 相交于点 6 OA=OC, ABII CD.求证：A AOB^ △ COD. 如图，AB=CD, Z 1=Z 2, Z3=Z4・求证j A ABC^ DCB- 如图•在RtA ACB 中，Z ACB=90\ AC=BC,点D 是AB 边上一点，BF 丄CD 于点F,AE 丄CD 交CD 的延长线于点E. 求证：△21•已知：AC=AE.求证J A ABQ △ ADE.。

全等三角形二次全等证明

DF丄AB于F, DE丄全等三角形两次全等证明1. 已知：如图，在△中BCAD平分/BAC，点D是BC的中点,AC 于E.4.5.6.7.8.9.2. 求证：△BDFCD^.已知：如图，点A , E,丄AC,连接AB , CD ,F, C在同一直线上，AE=CF，过点E,BD, BD 交AC 于点G, AB=CD .求证：△ DEGBFG.3.已知：如图，在Rt △ ACD^,Z ADC=90 ° BE丄AC 于E,交求证：△CEFBSEX.F分另吐乍DE丄AC , BFCD 于点F, AE=ADBD 上任意/ DCB=304.已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=AD , BD 平分/ABC , E 为点，连接AE , CE .5.已知：如图，在厶 AB （中, ZACB= / ABC=60 ° / EDF=60 °B ,=CD , ZDBC=/ BDC=120 °，延长\C 到点 G ,使 CG=BE .求证：△ EFDGF D.求证：△ADECDE .,AE=CF . 6已知：如图，点A , C在直线EF上，BC=AD , AB=CD 求证：/E= ZF.7. 已知，如图，AE=BF , AD=BC , CE=DF .求证：AO=BO .8、已知：如图，/ D= ZE, AM=ME=CN=DN .试猜想AB和BC的数量关系，并证明你的猜想.9. 已知：如图，在△中B（点D是BC的中点，DF丄AB于F, DE丄AC于E, DF=DE .求证：AB=AC .10. 如图，在正方形ABCD 中，ZABC= Z BCD=90 ° AB=BC=CD=AD . E 为BC 边上一点, 且AE=DE , AE 与对角线BD交于点F,Z ABF= ZCBF，连接CF交DE于点G .求证：DE丄CF .11. 已知：如图，在等边厶中ABC C= / ABD=60 °B=BC=AC，点D , E 分别为BC,AC边上一点且AE=CD，连接AD , BE相交于点F.求证：/ 1= / 2 .12. 已知：如图，在Rt △ AB（中, / ACB=90 ° E是AB 上一点，且BE=BC，过E 作DE丄AB 交AC于D，连接BD .求证：AC=AD+DE .J D13. 已知：如图，A, F, C, D 在同一直线上，AF=DC , AB // DE, 且AB=DE . 求证：BF=EC .DEXiAEE, DF丄AC于F,且DE=DF .若/ B=356.如图，在正方形ABCD , DEFG 中，AD=CD , DE=DG，/EDG=/ ADC=90 ，连捡G 14. 已知：如图，在四边形ABCD中，连接BD , AB // CD且AB=CD .求证：AD/ BC.交AD于N，连接AE交CG于M .求证：AE=CG , AE 丄CG.ABC= / DAB=,DE , CE=BF .求证：△ABC◎△ DEF .16.已知：如图，/，/ C=60 °，的求度数.17.如图，已知/ 仁J AC=AD , AB=AE .求证：△ABC◎△ AED .18. 已知：如图，AC, BD 相交于点0 , OA=OC , AB // CD.求证：△ AOB^A COD.19. 已知：如图，AB=CD，/ 1= / 2，/ 3= / 4 .求证：△ABC◎△ DCB.20. 已知：如图，在Rt △ AC中，/ ACB=90 °C=BC，点D是AB边上一点，BF丄于D 点F, AE丄CD交CD的延长线于点E.求证：△ ACE◎△ CBF .21. 已知：如图，点丘在厶ABC勺外部，点D在BC边上，DE交AC于F,若/ 1= / 2= / 3 ,AC=AE．求证：△ ABCADE .。

全等三角形模型：二次全等、截长补短、倍长中线、一线三等角、半角模型

全等三角形模型+例题【考纲要求】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.【考点梳理】【全等三角形】知识点一、全等三角形的概念及表示1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关.2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.4.确定全等三角形对应关系的方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角）一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）.知识点二、全等三角形的性质1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.2.其它性质：（1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形.知识点三、全等变换在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换.常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示：【探索三角形全等的条件】边角边两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS ”.在△ABC与△A’B’C’中，已知角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA ”.在△ABC与△A’B’C’中，已知角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS ”. 在△ABC 与△A’B’C’中，已知边边边三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS ”.在△ABC 与△A’B’C’中，已知.斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL ”在Rt △ABC 与Rt △A’B’C’中，，已知.1. 只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等；2. 在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.探究SSA全等篇异侧半角模型1.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则BE ＋DF＝EF .简证：如图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90º得到△ABG ，使得AD 与AB 重合，通过证明△AEF ≌△AEG 即可得到BE ＋DF ＝EF .2.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则AE 平分∠BEF ，AF 平分∠DFE .简证：如图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90º得到△ABG ，使得AD 与AB 重合；将△ABE 绕点A 逆时针旋转90º得到△ADH ，使得AB 与AD 重合.3. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则.简证：通过上述的全等直接可以得到，不再证明.4.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，过点A 作AH ⊥EF 交EF 于点H ，则AH ＝AB .简证：由上述结论可知AE 平分∠BEF ，又∵AB ⊥BC ，∴AH ＝AB . 5.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则.简证：由结论1可得EF ＝BE ＋DF ，则＝CE ＋CF ＋EF ＝CE ＋CF ＋BE ＋DF ＝2AB .6. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，AE 、AF 分别与BD 相交于点M 、N ，则.简证：如图，将△AND 绕点A 顺时针旋90º得到△AGB ，连接GM .通过证明△AMG ≌△AMN 得MN ＝MG ，DN ＝BG ，∠GBE ＝90º，即可证.补充：等腰直角三角形与“半角模型”DCPBACDPB ADPCAB如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.1.1二次全等证明1.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E．2.求证：△BDF≌△CDE．3.4.5.已知：如图，点A，E，F，C在同一直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接AB，CD，BD，BD交AC于点G，AB=CD．6.求证：△DEG≌△BFG．7.3.已知：如图，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，BE⊥AC于E，交CD于点F，AE=AD．求证：△CEF≌△BDF．4.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，BD平分∠ABC，E为BD上任意一点，连接AE，CE．求证：△ADE≌△CDE．5.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=60°，∠EDF=60°，BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∠BDC=120°，延长AC到点G，使CG=BE．6.求证：△EFD≌△GFD．7.6、已知：如图，点A，C在直线EF上，BC=AD，AB=CD，AE=CF．求证：∠E=∠F．7、已知，如图，AE=BF，AD=BC，CE=DF．求证：AO=BO．8、已知：如图，∠D=∠E，AM=ME=CN=DN．试猜想AB和BC的数量关系，并证明你的猜想．9、10、9.如图，在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD．E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，∠ABF=∠CBF，连接CF交DE于点G．求证：DE⊥CF．10.已知：如图，在等边△ABC中，△C=△ABD=60°，AB=BC=AC，点D，E分别为BC，AC边上一点且AE=CD，连接AD，BE 相交于点F．11.求证：△1=△2．12.1.2截长补短倍长中线例题1、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．例题2、在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？例题3、八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED=AD ，连接BE ，写出图中全等的两个三角形______【理解与应用】（2）填空：如图2，EP 是△DEF 的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x ，则x 的取值范围是______．（3）已知：如图3，AD 是△ABC 的中线，∠BAC=∠ACB ，点Q 在BC 的延长线上，QC=BC ，求证：AQ=2AD ．F E D CB AF EDC B A例题4、如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．例题5、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．例题8、（1）如图，四边形ABPC中，AB AC∠=︒，求证：PB PC PABPC+=．=，60BAC∠=︒，120（2）如图，四边形ABCD中，AB BCAPC∠=︒，求证：ABC∠=︒，P为四边形ABCD内一点，且120=，60++≥．PA PC PD BDC 1A B C ED D E(C )B A C 1C 1A B C E D 1A B C E D1.3一线三等角例1：已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ，⑴求证：AC ⊥CE ；⑵若将△CDE 沿CB 方向平移得到①②③④等不同情形，1AB C D ，其余条件不变，试判断AC ⊥C 1E 这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由.① ② ③ ④例2：等腰直角△ABC ，其中AB=AC ，∠BAC=90°，过B 、C 作经过A 点直线L 的垂线，垂足分别为M 、N ．（1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明．（2）BM ，CN ，MN 之间有何关系？若将直线l 旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？例3.（1）如图，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE ＝BD ＋CE ．（2）如图，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC ＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3) 拓展与应用：如图，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．1.4半角模型1.在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90º，O为AB的中点，∠EOF＝45º，交CA于F，交BC的延长线于E.（1）求证：EF＝CE＋AF；（2）如图2，当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180º，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE＋FD.3. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120º，以D为顶点作一个60º的角，使其两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，则△AMN的周长是多少？4.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在线段AB、BC上，连接EO、FO，满足∠EOF＝60º，连接EF.（1）①求证：OB＝OC；②求∠BOC的度数；（2）求证：CF＝BE＋EF.5. 在四边形ABDC中，AC＝AB，DC＝DB，∠CAB＝60º，∠CDB＝120º，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE＝BF.（1）试说明：DE＝DF；（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG＝60º，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；（3）若题中条件“∠CAB＝60º，∠CDB＝120º”改为“∠CAB＝，∠CDB＝，G在AB上，那么∠EDG 满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？”（直接写结果，不需证明）.。

二次全等(讲义)

二次全等（讲义）➢ 课前预习1. 回顾七年级上册学习的几何初步填空：遇到与角有关的计算和证明时，常见的思考角度：由平行想到_____________，____________，____________；由垂直想到__________________，_____________________；由外角想到_________________________________________．2. 已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AO =BO ，CO =DO ，过点O 作EF 交AC于点E ，交BD 于点F ．求证：△BOF ≌△AOE ．➢ 精讲精练1. 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，在△ACM ，△CBN 中，AC =CM ，BC =CN ，FCBOE DA∠ACM =∠BCN =60°，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ．求证：①△CAN ≌△CMB ；②△CEN ≌△CFB ．NMCFE BA2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠D =∠ABC =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，延长CB 到点G ，使BG =DE ，连接EF ，AG ．求证：①△ADE ≌△ABG ；②EF =DE +BF ．3. 已知：如图，∠A =∠D =90°，AC ，BD 相交于点E ，BE =CE ．求证：△ABC ≌△DCB ．G A BCEDFEDA4. 已知：如图，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AE =CF ，过点E ，F 分别作ED ⊥AC 于点E ，FB ⊥AC 于点F ，连接AB ，CD ，BD ，BD 交AC 于点G ，AB =CD ．求证：△DEG ≌△BFG ．FCBGEDA5. 已知：如图，AB =AC ，BD =CD ，AD 与BC 相交于点O ．求证：AD ⊥BC ．A6. 已知：如图，在Rt △ABE 和Rt △ACF 中，∠E =∠F =90°，BE =CF ．BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，∠EAC =∠FAB ．求证：AM =AN ．NFCBM EDA7. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，点D 是BC 的中点，DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC 于E ．试猜想AB 和AC 的数量关系，并证明你的猜想．A【参考答案】➢课前预习1.同位角；内错角；同旁内角；直角三角形两锐角互余；同角或等角的余角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2. 证明：如图，在△BOD 和△AOC 中，BO AOBOD AOCDO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（对顶角相等）（已知） ∴△BOD ≌△AOC （SAS ）∴∠B =∠A （全等三角形对应角相等）在△BOF 和△AOE 中，B A BO AOBOF AOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已知）（对顶角相等） ∴△BOF ≌△AOE （ASA ） ➢ 精讲精练 1. 证明：如图，①∵∠ACM =∠BCN =60° ∴∠MCN =60° ∴∠ACN =∠MCB =120° 在△CAN 和△CMB 中，AC MC ACN MCB CN CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△CAN ≌△CMB （SAS ） ②∵△CAN ≌△CMB∴∠ANC =∠MBC （全等三角形对应角相等） ∵∠ECN =60°；∠FCB =60° ∴∠ECN =∠FCB 在△CEN 和△CFB 中，ECN FCB CN CB ENC FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已知）（已证） ∴△CEN ≌△CFB （ASA ） 2. 证明：如图，①∵∠D =∠ABC =90° ∴∠ABG =90° ∴∠D =∠ABG在△ADE 和△ABG 中，AD AB D ABG DE BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△ADE ≌△ABG （SAS ） ②∵△ADE ≌△ABG （已证） ∴AE =AG （全等三角形对应边相等） ∠EAD =∠GAB （全等三角形对应角相等） ∵∠EAF =45°；∠BAD =90° ∴∠BAF +∠EAD =45° ∴∠BAF +∠GAB =45° 即∠GAF =∠45° ∴∠GAF =∠EAF 在△AFE 和△AFG 中，AE AGEAF GAFAF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△AFE ≌△AFG （SAS ）∴EF =GF （全等三角形对应边相等） ∵GF =BG +BF ∴EF =DE +BF 3. 证明：如图，在△AEB 和△DEC 中，A D AEB DECBE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（对顶角相等）（已知） ∴△AEB ≌△DEC （AAS ）∴AB =DC （全等三角形对应边相等）在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，BC CBAB DC =⎧⎨=⎩（公共边）（已证） ∴△ABC ≌△DCB （HL ） 4. 证明：如图，∵AE =CF ∴AE+EF =CF+EF 即AF =CE∵DE ⊥AC ；BF ⊥AC∴∠AFB =∠CED =90° 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，AB CDAF CE =⎧⎨=⎩（已知）（已证） ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ） ∴BF =DE （全等三角形对应边相等）在△DEG 和△BFG 中，DEG BFG EGD FGBDE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（对顶角相等）（已证） ∴△DEG ≌△BFG （AAS ） 5. 证明：如图，在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CDAD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已知）（公共边） ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）∴∠BAD =∠CAD （全等三角形对应角相等）在△BAO 和△CAO 中，AB AC BAO CAOAO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（公共边） ∴△BAO ≌△CAO （SAS ）∴∠AOB =∠AOC （全等三角形对应角相等） ∵∠AOB +∠AOC =180° ∴∠AOB =90° ∴AD ⊥BC 6. 证明：如图，∵∠EAC =∠FAB∴∠EAC +∠BAC =∠FAB +∠BAC 即∠BAE =∠CAF 在△ABE 和△ACF 中，BAE CAF E FBE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已知）（已知） ∴△ABE ≌△ACF （AAS ）∴AE =AF （全等三角形对应边相等）在△AEM 和△AFN 中；E FAE AFEAM FAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已知）（已证）（已知） ∴△AEM ≌△AFN （ASA ）∴AM = AN （全等三角形对应边相等） 7. AB =AC ，理由如下：证明：如图， ∵DF ⊥AB ；DE ⊥AC∴∠AFD =∠AED =∠BFD =∠CED =90° ∵AD 平分∠BAC ∴∠FAD =∠EAD 在△AFD 和△AED 中；AFD AED FAD EADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△AFD ≌△AED （AAS ）∴DF =DE ，AF =AE （全等三角形对应边相等） ∵点D 是BC 的中点 ∴BD =CD在Rt △BFD 和Rt △CED 中BD CDDF DE =⎧⎨=⎩（已证）（已证） ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ） ∴BF =CE （全等三角形对应边相等） ∴AF +BF =AE +CE 即AB =AC。

专题16 全等三角形判定和性质问题(解析版)2021年中考数学必考34个考点高分三部曲

专题16 全等三角形判定和性质问题1．全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2．全等三角形的表示全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。

4．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

5．直角三角形全等的判定：HL定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）【例题1】（2020•贵州省安顺市）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC【解答】选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；专题知识回顾专题典型题考法及解析选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选：A．【例题2】（2020•黑龙江省齐齐哈尔市）如图，已知在△ABC和△DEF中，△B＝△E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC△△DEF，则还需添加的一个条件是_________（只填一个即可）．【答案】AB＝DE．【解析】添加AB＝DE；△BF＝CE，△BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，△△ABC△△DEF（SAS）【例题3】（2020•铜仁）如图，AB＝AC，AB△AC，AD△AE，且△ABD＝△ACE．求证：BD＝CE．【答案】见解析。

二次函数全等三角形问题解决方法

二次函数全等三角形问题解决方法嘿，咱今儿就来唠唠这二次函数和全等三角形的问题解决办法。

你说这俩家伙，一个是函数里的翘楚，一个是三角形里的明星，它们凑到一块儿，还真有点让人头疼呢！先来说说二次函数吧。

那图像，就像个调皮的曲线，一会儿上，一会儿下，变化多端。

要想搞定它，咱得先弄清楚它的那些关键要素，什么顶点啊，对称轴啊，开口方向啊。

这就好比了解一个人的性格特点，知道了这些，才能更好地和它打交道嘛！然后呢，计算的时候可不能马虎，一个数字错了，那可就谬之千里啦！再讲讲全等三角形。

全等三角形那可是相当严格的，边边边、角角边、边角边，这些条件一个都不能少。

就好像给三角形定了个铁规矩，必须得完全符合才行。

有时候找全等的条件就像在玩捉迷藏，得仔细去发现那些隐藏的线索。

那遇到二次函数和全等三角形一起出现的问题咋办呢？这就像是一场综合格斗赛，得把两者的技巧都用上。

比如说，通过二次函数的某些条件求出一些边长或者角度，然后再用这些去判断全等三角形的条件是否满足。

这可需要咱有一双敏锐的眼睛和一个灵活的大脑哦！咱举个例子吧，假设有个二次函数的图像，上面有两个点，然后又有两个三角形，让咱判断它们是不是全等。

这时候，咱就得先从二次函数里挖出有用的信息，比如那两个点的坐标，通过坐标算出边长或者角度啥的。

然后再和三角形的条件一对比，嘿，说不定全等的答案就出来啦！哎呀，是不是感觉挺有意思的？其实啊，数学就是这样，看似复杂，只要咱用心去钻研，就一定能找到解决问题的办法。

就像爬山一样，虽然过程有点累，但当你爬到山顶，看到那美丽的风景时，一切都值啦！所以啊，别害怕这二次函数和全等三角形的问题，大胆地去尝试，去探索。

每次解决一个问题，就像攻克了一个小堡垒，那种成就感，别提多棒啦！你想想，当你轻松地搞定这些难题，别人投来羡慕的眼光时，你心里得多美呀！总之呢，对于二次函数全等三角形问题，咱要有耐心，有细心，还要有信心。

相信自己一定能行，加油吧！让我们在数学的海洋里尽情遨游，享受解题的乐趣！。

二次函数背景下的三角形相似(全等) (解析版)

备战2020年中考数学压轴题之二次函数专题07 二次函数背景下的三角形相似（全等）【方法综述】三角形全等是三角形相似的特殊情况。

三角形的全等和相似是综合题中的常见要素，解答时注意应用全等三角形和相似的判定方法。

另外，注意题目中“≅”与全等表述、“~”和相似表述的区别。

全等和相似的符号，标志着三角形全等（相似）的对应点的一一对应关系。

解答时，对于确定的对应边角可以直接利用于解题。

而全等、相似的语言表述，标志着对应点之间的组合关系，解答时，要进行对应边的分类讨论。

【典例示范】类型一确定的全等三角形条件的判定应用例1：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D 的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y＝12x2－3x－8；（2）点F的坐标为(3＋17，－4)或(3－17，－4)．【思路引导】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点B坐标，求出直线OD解析式即可解决点E 坐标．（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为-4，令y=-4即可解决问题．【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8），∴4280 {36688a ba b--+--＝＝解得1 {23 ab＝＝∴抛物线的函数表达式为y＝12x2−3x−8；∵y＝12x2−3x−8＝12(x−3)2−252，∴抛物线的对称轴为直线x=3．又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（-2，0）．∴点B的坐标为（8，0），设直线L的函数表达式为y=kx．∵点D（6，-8）在直线L上，∴6k=-8，解得k=-43，∴直线L的函数表达式为y=-43 x，∵点E为直线L和抛物线对称轴的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为-43×3=-4，∴点E的坐标为（3，-4）；（2）抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE．∵OE=CE=5，∴FO=FC，∴点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4，∴12x2-3x-8=-4，解得，∴点F的坐标为（3-4）或（-4）．【方法总结】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题针对训练1．综合与探究：已知二次函数y＝﹣12x2+32x+2的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）求证：△ABC 为直角三角形；（3）如图，动点E ，F 同时从点A 出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F AC 方向运动．当点F 停止运动时，点E 随之停止运动．设运动时间为t 秒，连结EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到△DEF ．当点F 在AC 上时，是否存在某一时刻t ，使得△DCO ≌△BCO ？（点D 不与点B 重合）若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（﹣1，0），点C 的坐标为（0，2）；（2）证明见解析；（3）t ＝34. 【解析】（1）解：当y ＝0时，﹣21322x +x +2＝0，解得：x 1＝1，x 2＝4，∴点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（﹣1，0），当x ＝0时，y ＝2，∴点C 的坐标为（0，2）；（2）证明：∵A （4，0），B （﹣1，0），C （0，2），∴OA ＝4，OB ＝1，OC ＝2．∴AB ＝5，AC ===BC =，∴AC 2+BC 2＝25＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形；（3）解：由（2）可知△ABC 为直角三角形．且∠ACB ＝90°，∵AE ＝2t ，AF ，∴AF AB AE AC ==，又∵∠EAF ＝∠CAB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴∠AEF ＝∠ACB ＝90°，∴△AEF 沿EF 翻折后，点A 落在x 轴上点 D 处，由翻折知，DE ＝AE ，∴AD ＝2AE ＝4t ，当△DCO ≌△BCO 时，BO ＝OD ，∵OD ＝4﹣4t ，BO ＝1，∴4﹣4t ＝1，t ＝34，即：当t ＝34秒时，△DCO ≌△BCO ．2．如图，已知抛物线y =√32x 2+bx +6√3与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(2,0)，抛物线的顶点为P ．(1)求b 的值，并求出点P 、B 的坐标；(2)在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，使△AMP ≌△AMB ？如果存在，请直接写出点M 的坐标；如果不存在，试说明理由．【答案】(1)(6,0)(2)存在，(163,−10√39) 【解析】(1)∵抛物线y =√32x 2+bx +6√3经过A(2,0)， ∴√32×22+2b +6√3=0，解得：b =−4√3，∴抛物线的表达式为y =√32x 2−4√3x +6√3． ∵y =√32x 2+bx +6√3=√32(x −4)2−2√3， ∴点P 的坐标为(4,−2√3).令y =0得：√32x 2+bx +6√3=0，解得x =2或x =6，∴B 的坐标为(6,0)．(2)存在，点M(163,−10√39). 如图：过点P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，连接AP 、BP ，作∠PAB 的平分线，交PB 与点N ，交抛物线与点M ，连接PM 、BM ．∵A(2,0)，B(6,0)，P(4,−2√3)，∴AB =4，AP =√(4−2)2+(−2√3)2=4，BP =√(4−6)2+(−2√3)2=4，∴△ABP 是等边三角形，∵∠APB =∠ABP ，AP =AB ．∴AM ⊥PB ，PN =BN ，∠PAM =∠BAM ．在△AMP 和△AMB 中，{AP =AB∠PAM =∠BAM AM =AM，∴△AMP ≌△AMB ．∴存在这样的点M ，使得△AMP ≌△AMB ．∵B(6,0)，P(4,−2√3)，点N 是PB 的中点，∴N(5,−√3).设直线AM 的解析式为y =kx +b ，将点A 和点N 的坐标代入得：{2k +b =05k +b =−√3 ，解得：{k =−√33b =2√33， ∴直线AM 的解析式为y =−√33x +2√33．将y =−√33x +2√33代入抛物线的解析式得：√32x 2−4√3x +6√3=−√33x +2√33，解得：x =163或x =2(舍去)，当x =163时，y =−10√39， ∴点M 的坐标为(163,−10√39). 类型二全等三角形的存在性探究例2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点分别为A （﹣6，0）和点B （4，0），与y 轴的交点为C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段OA 上一动点（不与点A 重合），过P 作平行于y 轴的直线与AC 交于点Q ，点D 、M 在线段AB 上，点N 在线段AC 上．①是否同时存在点D 和点P ，使得△APQ 和△CDO 全等，若存在，求点D 的坐标，若不存在，请说明理由； ②若∠DCB=∠CDB ，CD 是MN 的垂直平分线，求点M 的坐标．【答案】（1）y=﹣18x 2﹣14x+3；（2）①点D 坐标为（﹣32，0）；②点M （32，0）. 【分析】（1）应用待定系数法问题可解；（2）①通过分类讨论研究△APQ 和△CDO 全等②由已知求点D 坐标，证明DN ∥BC ，从而得到DN 为中线，问题可解【解析】（1）将点（-6，0），C （0，3），B （4，0）代入y=ax 2+bx+c ，得{36a −6b +c ＝016a +4b +c ＝0c ＝0，解得：{a ＝−18b ＝−14c ＝3 ， ∴抛物线解析式为：y=-18x 2-14x+3；（2）①存在点D，使得△APQ和△CDO全等，当D在线段OA上，∠QAP=∠DCO，AP=OC=3时，△APQ和△CDO全等，∴tan∠QAP=tan∠DCO，OC OA ＝ODOC，∴36＝OD3，∴OD=32，∴点D坐标为（-32，0）.由对称性，当点D坐标为（32，0）时，由点B坐标为（4，0），此时点D（32，0）在线段OB上满足条件．②∵OC=3，OB=4，∴BC=5，∵∠DCB=∠CDB，∴BD=BC=5，∴OD=BD-OB=1，则点D坐标为（-1，0）且AD=BD=5，连DN，CM，则DN=DM，∠NDC=∠MDC，∴∠NDC=∠DCB，∴DN∥BC，∴ANNC ＝ADDB＝1，则点N为AC中点．∴DN 时△ABC 的中位线，∵DN=DM=12BC=52， ∴OM=DM -OD=32∴点M （32，0）【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数待定系数法、三角形全等的判定、锐角三角形函数的相关知识．解答时，注意数形结合针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，以点M （2，0）为圆心的⊙M 与y 轴相切于原点O ，过点B （﹣2，0）作⊙M 的切线，切点为C ，抛物线y =−√33x 2+bx +c 经过点B 和点M ．（1）求这条抛物线解析式；（2）求点C 的坐标，并判断点C 是否在（1）中抛物线上；（3）动点P 从原点O 出发，沿y 轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t 秒时到达点Q 处．此时△BOQ 与△MCB 全等，求t 的值．【答案】（1）y ＝﹣√33x 2+4√33；（2）点C 在（1）的抛物线上；（3）t ＝2√3．【解析】（1）将点M （2，0）、B （﹣2，0）代入 y =−√33x 2+bx +c 中，得： {−4√33+2b +c =0−4√33−2b +c =0解得：{b =0c =4√33∴抛物线的解析式：y =−√33x 2+4√33．（2）连接MC ，则MC ⊥BC ；过点C 作CD ⊥x 轴于D ，如图，在Rt △BCM 中，CD ⊥BM ，CM ＝2，BM ＝4，则：DM =CM 2BM =224=1，CD =√CM 2−DM 2=√22−1=√3，OD ＝OM ﹣DM ＝1，∴C （1，√3）．当x ＝1时，y =−√33x 2+4√33=√3，所以点C 在（1）的抛物线上．（3）△BCM 和△BOQ 中，OB ＝CM ＝2，∠BOQ ＝∠BCM ＝90°，若两三角形全等，则：OQ ＝BC =√BM 2−CM 2=√42−22=2√3，∴当t ＝2√3时，△MCB 和△BOQ 全等．2．（广西田阳县实验中学2019届九年级中考一）如图所示，抛物线y =−(x −√3m)2（m ＞0）的顶点为A ，直线l:y =√33x −m 与y 轴的交点为点B.（1）求出抛物线的对称轴及顶点A 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）证明点A 在直线l 上，并求∠OAB 的度数；（3）动点Q 在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 全等？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）抛物线的对称轴为直线x =√3m ，顶点A 的坐标为（√3m ，0）；（2）∠OAB=30°；（3）存在，①m =13时， P1（0，-13），P 2（23√3，-13）；②m =√3时，P 3（3-√3，-3），P 4（3+√3，-3）；③m =2时， P 5（√3，-3），P 6（√33，-3）；④m =23时， P 7（√33，-13），P 8（√3，-13）.【解析】（1）对称轴：x=√3m ；顶点：A （√3m ，0）．（2）将x=√3m 代入函数y=√33x -m ，得y=√33×√3m -m=0∴点A （√3m ，0）在直线l 上．当x=0时，y=-m ，∴B （0，-m ）tan ∠OAB=√3m =√33， ∴∠OAB=30度．（3）以点P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 全等共有以下四种情况： ①当∠AQP=90°，PQ=√3m ，AQ=m 时，如图1，此时点P 在y 轴上，与点B 重合，其坐标为（0，-m ），代入抛物线y=-（x -√3m ）2得-m=-3m 2，∵m ＞0，∴m=13 这时有P 1（0，-13）其关于对称轴的对称点P 2（2√33，- 13）也满足条件． ②当∠AQP=90°，PQ=m ，AQ=√3m 时点P 坐标为（√3m -m ，-√3m ），代入抛物线y=-（x -√3m ）2得√3m=m 2，∵m ＞0， ∴m=√3这时有P 3（3-√3，-3）还有关于对称轴的对称点P 4（3+√3，-3）． ③当∠APQ=90°，AP=√3m ，PQ=m 时点P 坐标为（√32m ，−32m ），代入抛物线y=-（x -√3m ）2得32m=34m 2， ∵m ＞0， ∴m=2这时有P 5（√3，-3）还有关于对称轴的对称点P 6（3√3，-3）．④当∠APQ=90°，AP=m ，PQ=√3m 时点P 坐标为（√32m ，−12m ），代入抛物线y=-（x -√3m ）2 得12m=34m 2， ∵m ＞0， ∴m=23这时有P 7（√33，-13）还有关于对称轴对称的点P 8（√3，-13）．所以当m=13时，有点P 1（0，-13），P 2（2√33，-13）；当m=√3时，有点P 3（3-√3，-3），P 4（3+√3，-3）；当m=2时，有点P 5（√3，-3），P 6（3√3，-3）；当m=23时，有点P 7（√33，-13），P 8（√3，-13）．3．如图1，抛物线y 1=ax 2﹣12x+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，34），抛物线y 1的顶点为G ，GM ⊥x 轴于点M ．将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的抛物线y 2．（1）求抛物线y 2的解析式；（2）如图2，在直线l 上是否存在点T ，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点T 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P 为抛物线y 1上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R ，若以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线PR 的解析式．【答案】（1）y 2=-14x 2+12x -14；（2）存在；（3）y=﹣12x+34或y=﹣12x −14.【解析】（1）由已知，c=34，将B （1，0）代入，得：a ﹣12+34=0，解得a=﹣14，抛物线解析式为y 1=14x 2-12 x+34，∵抛物线y 1平移后得到y 2，且顶点为B （1，0）， ∴y 2=﹣14（x ﹣1）2，即y 2=-14x 2+12 x -14；（2）存在，如图1：抛物线y 2的对称轴l 为x=1，设T （1，t ），已知A （﹣3，0），C （0，34），过点T 作TE ⊥y 轴于E ，则 TC 2=TE 2+CE 2=12+（34）2=t 2﹣32t+2516，TA 2=TB 2+AB 2=（1+3）2+t 2=t 2+16， AC 2=15316，当TC=AC 时，t 2﹣32t+2516=15316，解得：t 1=3+√1374，t 2=3−√1374；当TA=AC 时，t 2+16=15316，无解；当TA=TC 时，t 2﹣32t+2516=t 2+16，解得t 3=﹣778；当点T 坐标分别为（1，3+√1374），（1，3−√1374），（1，﹣778）时，△TAC 为等腰三角形；（3）如图2：设P （m ，−14m 2−12m +34），则Q （m ，−14m 2+12m −14）， ∵Q 、R 关于x=1对称∴R （2﹣m ，−14m 2+12m −14）， ①当点P 在直线l 左侧时， PQ=1﹣m ，QR=2﹣2m ， ∵△PQR 与△AMG 全等，∴当PQ=GM 且QR=AM 时，m=0， ∴P （0，34），即点P 、C 重合， ∴R （2，﹣14），由此求直线PR 解析式为y=﹣12x+34，当PQ=AM 且QR=GM 时，无解； ②当点P 在直线l 右侧时，同理：PQ=m ﹣1，QR=2m ﹣2，则P （2，﹣54），R （0，﹣14）， PQ 解析式为：y=﹣12x −14；∴PR 解析式为：y=﹣12x+34或y=﹣12x −14.类型三确定的相似三角形条件的判定应用例3：如图，已知二次函数22y x x m =-+的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点.（1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan 3ABQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得QBP ∆∽COA ∆？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3m =-；（2）()4,21Q -或()2,3Q -；（3）不存在，理由见解析. 【思路引导】（1）设对称轴与x 轴交于点E ，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE 的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA 的长，进而可得点A 的坐标，再把点A 的坐标代入抛物线解析式即可求出m 的值；（2）设点Q 的横坐标为n ，当点Q 在x 轴上方时，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，利用tan 3ABQ ∠=可得关于n 的方程，解方程即可求出n 的值，进而可得点Q 坐标；当点Q 在x 轴下方时，注意到tan 3BAC ∠=，所以点Q 与点C 关于直线1x =对称，由此可得点Q 坐标；（3）当点Q 为x 轴上方的点时，若存在点P ，可先求出直线BQ 的解析式，由BP ⊥BQ 可求得直线BP 的解析式，然后联立直线BP 和抛物线的解析式即可求出点P 的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P 是否满足条件；当点Q 取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可. 【解析】解：（1）设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，如图1，∴y 轴//ED ，∴::1AC CD AO OE ==， ∵抛物线的对称轴是直线212x -=-=，∴OE =1，∴1AO OE ==，∴()1,0A - ∴将点()1,0A -代入函数表达式得：120m ++=，∴3m =-；（2）设()2,23Q n n n --，①点Q 在x 轴上方时，0n <，如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，∵tan 3ABQ ∠=，∴22333n n n--=-，解得：4n =-或3n =（舍），∴()4,21Q -；②点Q 在x 轴下方时，∵OA =1，OC =3，∴tan 3BAC ∠=，∵tan 3ABQ ∠=，∴点Q 与点C 关于直线1x =对称，∴()2,3Q -；（3）①当点Q 为()4,21-时，若存在点P ，使QBP ∆∽COA ∆，则∠PBQ =∠COA =90°，由B （3，0）、Q ()4,21-可得，直线BQ 的解析式为：39y x =-+，所以直线PB 的解析式为：113y x =-，联立方程组：211323y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，2223119x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴211,39P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵:1:3OA OC =，:1:3BP BQ =≠， ∴::BP BQ OA OC ≠，∴P 不存在；②当点Q 为()2,3-时，如图4，由B （3，0）、Q ()2,3-可得，直线BQ 的解析式为：39y x =-，所以直线PB 的解析式为：113y x =-+，联立方程组：211323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，2243139x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴413,39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵:1:3OA OC =，:1:3BP BQ =≠， ∴::BP BQ OA OC ≠，∴P 不存在.综上所述，不存在满足条件的点P ，使QBP ∆∽COA ∆. 【方法总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数和两个函数的交点等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握上述知识、灵活应用分类和数形结合的数学思想是解题的关键.针对训练1．如果一条抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，［a ，b ，c ］称为“抛物线系数”．（1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是______（填“真”或“假”）命题；（2）若一条抛物线系数为［1，0，－2］，则其“抛物线三角形”的面积为________；（3）若一条抛物线系数为［－1，2b ，0］，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ，如果存在，求出P 点坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）2√2；（3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）．【解析】（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：y =x 2−2，令y =0，得：x =±√2，∴ S =12×2√2×2=2√2；（3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．∵y＝－x2＋2bx=−(x−b)2+b2，∴顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：b2=12×|2b|，∴b2=|b|，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，∴y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x．（4）①当抛物线为y＝－x2＋2x 时．∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），则｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即|a(a−2)|=|a−2|．∵a－2≠0，∴|a|=1，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1，－3）．②当抛物线为y＝－x2－2x 时．∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），则｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即|a(a+2)|=|a+2|．∵a+2≠0，∴|a|=1，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．综上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．2．如图1，一次函数y＝﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、D两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），若ABAD =√23；（1）求此抛物线的解析式；（2）连结AC、BD，问在x轴上是否存在一个动点Q，使A、C、Q三点构成的三角形与△ABD相似．如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，且在直线AD下方，（点P不与点A、点D重合），过点P作y轴的平行线l与直线AD交于点M，点N在直线AD上，且满足△MPN∽△ABD，求△MPN面积的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）见解析;（3）△MPN的面积的最大值为:24364．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则D（3，0）；当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则A（3，0），∵OD＝OA，∴△OAD为等腰直角三角形，∴AD＝3√2，∵ABAD =√23，∴AB＝2，∴B（1，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把D（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣3）＝3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；（2）作CH⊥x轴，如图1，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）∴AH＝CH＝1，∴△ACH为等腰直角三角形，∴∠CAH＝45°，AC＝√2，∵△OAD为等腰直角三角形，∴∠DAO＝45°，∵∠CAQ＝∠DAB，∴当AQAD =ACAB时，△AQC∽△ADB，即3√2=√22，解得AQ＝3，此时Q（0，0）；当AQAB =ACAD时，△AQC∽△ABD，即AQ2=√23√2，解得AQ＝23，此时Q（73，0）；综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（73，0）；（3）作PE⊥AD于E，如图2，∵△MPN∽△ABD，∴MNAD =MPAB，∴MN ＝3√22MP ，设P （x ，x 2﹣4x+3），则M （x ，﹣x+3），∴MP ＝﹣x+3﹣（x 2﹣4x+3）＝﹣x 2+3x ＝﹣（x ﹣32）2+94，当x ＝32时，MP 有最大值94，∴MN 的最大值为3√22×94＝27√28， ∵∠PME ＝45°，∴PE ＝√22PM ，∴PE 的最大值为√22×94＝9√28，∴△MPN 的面积的最大值为12×27√28×9√28＝24364 ．3．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 过原点O 、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），与x 轴交于点C ，直线AB 交x 轴于点D ，交y 轴于点E ．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；（2）直线AF ⊥x 轴，垂足为点F ，AF 上取一点G ，使△GBA ∽△AOD ，求此时点G 的坐标；（3）过直线AF 左侧的抛物线上点M 作直线AB 的垂线，垂足为点N ，若∠BMN=∠OAF ，求直线BM 的函数表达式．【答案】（1）y=x 2-4x ；（2，-4）；（2）G （2， −83）；（3）y=−13x −2或y=-3x+6．【解析】（1）解：将原点O （0,0）、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），分别代入y=ax 2+bx+c ，得，解得，∴y=x 2-4x=， ∴顶点为（2，-4）. （2）解：设直线AB 为y=kx+b ，由点A （2，-4），B （3，-3），得解得，∴直线AB 为y=x -6.当y=0时，x=6，∴点D （6，0）.∵点A （2，-4），D （6,0），B （3，-3），∴OA= ，OD=6，AD= ，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ， ∴DF=AF ，又∵AF ⊥x 轴，∴∠AD0=∠DAF=45°，∵△GBA ∽△AOD ，∴ ，∴，解得，∴FG=AF -AG=4- ，∴点G （2，）. （3）解：如图1，∵∠BMN=∠OAF，，∴∠MBN=∠AOF，设直线BM与AF交于点H，∵∠ABH=∠AOD，∠HAB=∠ADO，∴∴，则，解得AH= ，∴H（2，）.设直线BM为y=kx+b，∵将点B、G的坐标代入得，解得．∴直线BM的解析式为y= ；如图2，BD=AD -AB= ．∵∠BMN=∠OAF ，∠GDB=∠ODA ，∴△HBD ∽△AOD ．∴ ，即，解得DH=4．∴点H 的坐标为（2，0）．设直线BM 的解析式为y=kx+b ．∵将点B 和点G 的坐标代入得：，解得k=-3，b=6．∴直线BM 的解析式为y=-3x+6．综上所述，直线MB 的解析式为y=或y=-3x+6．类型四相似三角形存在性探究例4.在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为.（1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D.若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.()2y ax c a x c =+-+L 'L '【答案】(1) y =－x 2－5x －6；(2)符合条件的点P 的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。

三角形全等证明方法

三角形全等证明方法在几何学中，全等是指两个或多个几何体的大小、形状以及内部结构完全相同。

对于三角形而言，如果两个三角形的对应边长相等，对应的角度也相等，则它们是全等三角形。

在证明两个三角形全等时，有多种方法可以使用，本文将详细介绍其中的几种方法，并给出说明和举例。

【1. SSS (Side-Side-Side) 全等法】SSS全等法则是指如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等的。

这个证明方法简单直接，可以通过以下步骤来证明：Step 1: 确定两个三角形的三边分别相等；Step 2: 可以使用尺规作图工具在纸上绘制出两个三角形；Step 3: 通过测量确定两个三角形的三边分别相等；Step 4: 通过观察可以得出结论，即两个三角形是全等的。

例如，我们要证明△ABC ≡ △DEF。

我们已知AB = DE，BC = EF，AC = DF。

根据SSS全等法则，根据给定的条件可以得出结论，即△ABC ≡ △DEF。

【2. SAS (Side-Angle-Side) 全等法】SAS全等法则是指如果两个三角形的两个边和夹角分别相等，则它们是全等的。

这个证明方法也是常用的，可以通过以下步骤来证明：Step 1: 确定两个三角形的两个边和夹角分别相等；Step 2: 可以使用尺规作图工具在纸上绘制出两个三角形；Step 3: 通过测量确定两个三角形的两个边和夹角分别相等；Step 4: 通过观察可以得出结论，即两个三角形是全等的。

例如，我们要证明△ABC ≡ △DEF。

我们已知∠BAC = ∠EDF，AB = DE，AC = DF。

根据SAS 全等法则，根据给定的条件可以得出结论，即△ABC ≡ △DEF。

【3. ASA (Angle-Side-Angle) 全等法】ASA全等法则是指如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则它们是全等的。

这个证明方法也非常常用，可以通过以下步骤来证明：Step 1: 确定两个三角形的两个角和夹边分别相等；Step 2: 可以使用尺规作图工具在纸上绘制出两个三角形；Step 3: 通过测量确定两个三角形的两个角和夹边分别相等；Step 4: 通过观察可以得出结论，即两个三角形是全等的。

全等三角形定义与证明

全等三角形能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

三边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SSS”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“AAS”斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可以简写成“HL”角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上。

轴对称一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，我们也说这个图形关于这条直线成轴对称。

能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重叠的点是对应点，叫做对称点。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

与一条线短两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

点（X,Y）关于X轴对称的点的坐标为（X,-Y）点（X,Y）关于Y轴对称的点的坐标为（-X,Y）两条边是相等的三角形是等腰三角形。

等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°，三个角都是相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半实数如果一个正数x 的平方等于a ，即x²=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。

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