实验3__导数及偏导数运算
Matlab-详解导数及偏导数运算ppt课件
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du_dx=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x du_dy =1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y du_dz = 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*z
u
x
x x2y2z2
u
z
z x2y2z2
u
y
y x2y2z2
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例 9 求下列函数的偏导数 z1 arctan( y / x);z2 x y。 解： 输入命令
3
1. 学习Matlab命令
建立符号变量命令 sym 和 syms 调用格式：
x=sym(‘x’) 建立符号变量 x；
syms x y z
建立多个符号变量 x,y,z；
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4
Matlab 求导命令 diff 调用格式：
diff(f(x))，
求 f (x)的一阶导数 f(x)；
diff(f(x),n)， 求 f(x)的 n阶导 f(n)(x 数 );
实验3 导数及偏导数运算
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1
实验目的：
1. 进一步理解导数概念及几何意义； 2. 学习Matlab的求导命令与求导法。
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2
实验内容：
学习 Matlab 命令 导数概念 求一元函数的导数 求多元函数的偏导数 求高阶导数或高阶偏导数 求隐函数所确定函数的导数与偏导数
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dy_dx = sin(t)/(1-cos(t))
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4. 求多元函数的偏导数
例8 设u x2y2z2，求 u的一阶偏导
解：输入命令
大学多元函数的偏导数计算
大学多元函数的偏导数计算在大学数学的学习过程中，多元函数是一个非常重要的概念。
多元函数的偏导数计算是其中的一个关键内容。
在本文中，我们将探讨多元函数的偏导数计算方法，并且介绍一些常见的例子来帮助我们更好地理解该概念。
一、偏导数的概念和定义偏导数是用来描述多元函数在某一点上某个自变量的变化率的概念。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，我们可以将其中的一个自变量视为其他自变量都是常数的情况下的一元函数。
对这个一元函数求导，即可得到该自变量的偏导数。
在数学上，我们用∂f/∂xi来表示函数f对自变量xi的偏导数。
其中，∂是一个类似∂x/∂y的符号，表示偏微分的操作。
二、偏导数的计算方法1. 常规函数的偏导数对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，我们需要计算它的偏导数时，可以将其他自变量视为常数，然后对需要求偏导的自变量进行求导。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们求它对x的偏导数。
因为y在此时被视为常数，所以我们可以将y^2看作常数项。
因此，偏导数∂f/∂x = 2x。
2. 复合函数的偏导数当函数是由多个函数复合而成时，我们需要使用链式法则来计算偏导数。
例如，对于函数f(u, v) = u^2 + v，其中u = x + y，v = x - y。
我们需要求f对x的偏导数。
首先，我们要根据链式法则计算两个中间变量fu 和fv的偏导数。
fu = ∂f/∂u = 2u，fv = ∂f/∂v = 1。
然后，我们可以根据链式法则来计算偏导数∂f/∂x。
∂f/∂x = ∂f/∂u * ∂u/∂x + ∂f/∂v * ∂v/∂x根据链式法则，∂u/∂x = 1，∂v/∂x = 1。
代入上述公式，我们可以得到∂f/∂x = 2u * 1 + 1 * 1 = 2u + 1。
其中，u = x + y，所以偏导数∂f/∂x =2(x + y) + 1 = 2x + 2y + 1。
偏导数与方向导数
偏导数与方向导数偏导数和方向导数是微积分中重要的概念，用于研究多变量函数的变化规律。
它们在各个学科领域中都有广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。
本文将详细介绍偏导数和方向导数的定义、计算方法以及实际应用。
一、偏导数偏导数是多元函数中对某一变量的导数，保持其他变量不变。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，我们可以对其中的任意一个变量进行求导，得到对应的偏导数。
用符号∂表示偏导数。
1.1 定义对于一个二元函数f(x, y)，它的偏导数可以表示为：∂f/∂x = lim(Δx→0)(f(x+Δx, y) –f(x,y))/Δx类似地，我们可以计算f(x, y)对y的偏导数：∂f/∂y = lim(Δy→0) (f(x, y+Δy) –f(x,y))/Δy1.2 计算方法偏导数的计算与求常导数类似，只需将其他变量视为常数。
对于高阶偏导数的计算，可逐个变量进行求导。
1.3 应用举例偏导数的应用非常广泛。
举几个例子：例1：经济学中的边际效应在经济学中，边际效应描述了某一变量的微小变化对整体效果的影响。
偏导数可以用来计算边际效应，帮助经济学家进行政策制定和预测。
例2：物理学中的速度与加速度在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要概念。
对于复杂的多变量函数，通过求偏导数可以得到速度和加速度的具体数值。
二、方向导数方向导数可以理解为多元函数在给定方向上的变化率。
与偏导数类似，方向导数可以帮助我们理解函数在不同方向上的变化情况。
2.1 定义设函数f(x, y)在点P(x0, y0)处可微分，方向向量为u=(a, b)，则函数f(x, y)在P点沿u的方向导数为：∂f/∂u = ∂f/∂x * a + ∂f/∂y * b2.2 计算方法方向导数的计算需要使用向量运算。
可以根据给定的方向向量和偏导数，按照一定的公式计算得到方向导数。
2.3 应用举例方向导数的应用非常广泛，尤其在优化问题和最优化算法中常常用到。
数学实验三 软件Mathematica求导数全微分
Dxyt[y_,x_,t_]:=D[y,t]/D[x,t]
自定义函数用于求参数方程所确 定的导数
例：求下列函数的一阶导数
y x3 cos x
In[1] : D x 3 * Cos[x ],x
Out[1] 3x 2Cos[x ] x 3Sin[x ]
y ln ln x
In[2] : D Log[Log[x]],x
命令
D[f[x],x] D[f[x],{x,n}]
功能 计算一元函数导数df/dx 计算一元函数高阶导数f(n)(x)
D[f,{x,n},{y,m}]
求函数f对x的n阶，对y的m阶混 合偏导数
Dt[f]
求函数f的全微分
DFxy[f_,x_,y_]:=Solve[D[f,x]==0, 自定义函数用于隐函数求导 y′[x]]
学生实验
基础操作
用mathematica求下列函数的导数
y e4x
y axex
y x 1 x 1 x
y sin x2
y (x 1 x2 )n y ln tan x
应用部分
• 将一物体垂直上抛，其运动方 s 10t ，1 g试t 2 求： １）物体从t=1秒到t=2秒的平均速度；2 ２）物体从t=1秒到t=1+△t秒的平均速度 ２）物体在t=1时的瞬时速度； ３）物体从t秒到t+△t秒的平均速度； ４）物体在任意t秒时的瞬时速度。
某公司在推销一种产品个月后，每月销售额（千元）可表示为
S(t) 2t3 40t2 220t 160
1）分别求1个月，4个月，6个月，9个月，20个月后的每月销售额； 2）求变化率 S(t) 3）分别求在 t 1, 4,6,9,12 处的变化率； 4）解释该公司的CEO为什么不必为6月份的销售额下降而发愁。
导数及偏导数的计算
偏导数在优化问题中的应用
总结词
偏导数可以用于求解约束优化问题，通过求偏导数并找到使目标函数取得极值的点，可以确定最优解 。
详细描述
在约束优化问题中，如果目标函数具有多个变量，则可以通过求偏导数并找到使目标函数取得极值的 点，从而确定最优解。偏导数的应用在多变量函数优化问题中具有广泛的应用价值。
THANKS.
导数在极值问题中的应用
总结词
导数可以用于求解函数的极值，通过求导数并找到导 数为零的点，然后分析该点附近的函数值变化情况， 可以确定函数的极值。
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且该点附近左侧 导数大于零、右侧导数小于零，则该点为函数的极大 值点；反之，则为极小值点。因此，通过求函数的导 数并找到导数为零的点，可以求解函数的极值。
幂函数求导法则
总结词
幂函数求导的常用方法。
详细描述
幂函数求导法则指出，对于幂函数$f(x) = x^n$，其导数为$f'(x) = nx^{n-1}$。此外， 对于复合幂函数，如$f(x) = (g(x))^n$，其导
数可以通过链式法则和幂函数求导法则进行 计算。
偏导数的定义与性质
03
偏导数的定义
复合函数求导法则
总结词
通过复合函数的导数计算方法。
详细描述
复合函数的导数可以通过链式法则进行计算。对于复合函数$f(g(x))$，其导数为 $f'(g(x)) cdot g'(x)$，其中$f'(g(x))$表示函数$f$关于$g(x)$的导数，$g'(x)$表示函
数$g$关于$x$的导数。
链式法则
导数的计算方法
02
定义法
总结词
偏导数计算与应用
偏导数计算与应用偏导数是微积分中的重要概念，它在求解多元函数的极值、描述函数的局部行为以及解决实际问题中扮演着重要角色。
本文将介绍偏导数的计算方法，并探讨其在不同领域的应用。
一、偏导数的定义和计算方法偏导数是多元函数在某一变量上的导数。
对于函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，其关于变量 xi 的偏导数表示为∂f/∂xi。
偏导数衡量了函数在某一变量上的变化率。
偏导数的计算方法与一元函数的导数计算类似，可以通过求取关于变量 xi 的导数来得到。
对于一元函数 f(x)，其导数表示为 df/dx。
对于多元函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，要计算偏导数，需要将其他变量视为常数进行求导。
举例来说，对于函数 f(x, y) = x² + 2xy + y²，我们可以计算关于 x 的偏导数为∂f/∂x = 2x + 2y，关于 y 的偏导数为∂f/∂y = 2x + 2y。
二、偏导数的几何意义偏导数在几何上有着重要的意义，它们能够描述函数在不同方向上的变化率。
对于函数 f(x, y)，其关于变量 x 的偏导数∂f/∂x 表示函数在x 轴方向上的变化率，而关于变量 y 的偏导数∂f/∂y 表示函数在 y 轴方向上的变化率。
偏导数还可以用于描述函数的切线和法向量。
对于函数 f(x, y)，在点 (a, b) 处，函数的切线的斜率等于∂f/∂x(a, b)。
类似地，函数的法向量可以由∂f/∂x 和∂f/∂y 所确定，即法向量为(∂f/∂x, ∂f/∂y)。
三、偏导数在极值和最优化问题中的应用偏导数在求解多元函数的极值问题中发挥着重要作用。
对于二元函数 f(x, y)，当∂f/∂x = 0 且∂f/∂y = 0 时，可以得到函数的驻点。
通过对二阶偏导数的研究，可以判断驻点的类型，从而确定函数的极值。
除了在数学上的应用外，偏导数也在最优化问题中发挥着重要作用。
在约束最优化问题中，通过求解拉格朗日函数的偏导数方程组，可以找到函数在给定约束条件下的最优解。
偏导数与方向向量_概述说明以及解释
偏导数与方向向量概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在微积分中，偏导数和方向向量是非常重要的概念。
偏导数可以理解为多元函数在某一特定变量上的导数，而方向向量则指示了函数在某个点上的变化方向。
通过研究偏导数和方向向量，我们可以深入理解函数的性质和变化规律。
1.2 文章结构本文将首先介绍偏导数的定义与基本概念，包括如何计算和性质特点。
接着将探讨偏导数的几何意义，从图像上直观地理解其含义。
其次，我们将引入方向向量的概念以及其定义方式，并详细介绍方向导数和如何计算。
最后，我们将讨论方向敏感度和梯度下降法，它们利用了方向向量来寻找函数的极值点。
1.3 目的本文旨在全面介绍偏导数与方向向量的相关知识，并深入探讨它们之间的关系。
通过阅读本文，读者将获得对于这两个概念作用、计算方法以及几何意义等更深入的理解。
同时，我们还将讨论如何利用偏导数和方向向量来求解函数的极值问题，为读者提供更广阔的应用视角。
以上就是本文“1. 引言”部分的详细内容，希望对您的长文撰写有所帮助。
2. 偏导数:2.1 定义与基本概念:偏导数是多元函数的一种求导方式，用于衡量函数在某个变量上的变化率。
偏导数表示了函数关于某个自变量的变化速率，其他自变量保持不变。
对于一个具有多个自变量的函数，在求偏导数时，我们将其中一个自变量看作主要关注的自变量，而将其他自变量视为常数。
具体地说，对于二元函数：设函数z = f(x, y)，如果我们只关注x方向上的变化，即假设y为常数，则x方向上的偏导数为∂z/∂x。
同样地，如果我们只关注y方向上的变化，则y方向上的偏导数为∂z/∂y。
2.2 计算方法与性质:计算偏导数时，将需要求偏导的自变量看作主要关注的自变量，而将其他自变量视为常数。
然后按照普通单变量函数求导法则来进行计算。
下面是一些常见的性质：- 常系数: 常数项在求导过程中被视为0。
- 线性运算: 对于线性组合（加法和乘法）形式表达式，可以分别对每一项进行求导。
实验3 导数及偏导数计算
实验3 导数及偏导数计算实验目的１．进一步理解导数概念及其几何意义. ２．学习matlab 的求导命令与求导法.实验内容１．学习matlab 命令. 建立符号变量命令sym 和syms 调用格式:x=sym(｀x ｀)， 建立符号变量x ；syms x y z ， 建立多个符号变量x ，y ，z ；matlab 求导命令diff 调用格式:diff (函数)(x f ) ， 求)(x f 的一阶导数)(x f '；diff (函数)(x f ， n ) ， 求)(x f 的n 阶导数)()(x fn (n 是具体整数)；diff (函数),(y x f ，变量名x )， 求),(y x f 对x 的偏导数x f∂∂；diff (函数),(y x f ， 变量名x ，n ) ，求),(y x f 对x 的n 阶偏导数n n x f∂∂；matlab 求雅可比矩阵命令jacobian ，调用格式:jacobian ([函数),,(z y x f ；函数),,(z y x g ； 函数),,(z y x h ]， [z y x ,,])给出矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z h yh xh z g y g x g z f y f x f２．导数概念.导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率.（１）点导数是一个极限值.例3.1.设xe xf =)(，用定义计算)0(f '.解:)(x f 在某一点0x 的导数定义为极限:xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000我们记x h ∆=，输入命令:syms h ；limit((exp(0+h)-exp(0))/h ，h ，0)得结果:ans=１．可知1)0(='f（２）导数的几何意义是曲线的切线斜率.例3.2.画出xe xf =)(在0=x 处()1,0(P )的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势.解:在曲线x e y =上另取一点),(he h M ，则PM 的方程是:011--=--h e x y h .即11+-=x h e y h取01.0,1.0,1,2,3=h ，分别作出几条割线.h=[3，2，1，0.1，0.01]；a=(exp(h)-1)./h ；x=-1:0.1:3；plot(x ，exp(x)，’r’)；hold onfor i=1:5； plot(h(i)，exp(h(i))，’r.’)plot(x ，a(i)*x+1)end axis square作出xe y =在0=x 处的切线1+=x yplot(x ，x+1，’r’)从图上看，随着M 与P 越来越接近，割线PM 越来越接近曲线的割线．３．求一元函数的导数.（１）)(x f y =的一阶导数.例3.3.求x x y )sin(=的导数.解:打开matlab 指令窗，输入指令:dy_dx=diff(sin(x)/x).得结果:dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x^2.matlab 的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字，不允许使用其他字符，在这里我们用dy_dx 表示x y '.例3.4.求)ln(sin x y =的导数.解: 输入命令:dy_dx=diff(log(sin(x))).得结果:dy_dx=cos(x)/sin(x).在matlab 中，函数x ln 用log(x)表示，而log10(x)表示x lg .例3.5.求202)2(x x y +=的导数.解: 输入命令:dy_dx=diff((x^2+2*x)^20).得结果:dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2).注意x 2输入时应为2*x.例3.6.求xx y =的导数.解: 输入命令:dy_dx=diff(x^x).得结果:dy_dx =x^x*(log(x)+1).利用matlab 命令diff 一次可以求出若干个函数的导数.例3.7.求下列函数的导数:1.5221+-=x x y .2.x x y 2cos 2cos 22+=.3.xy sin 34=.4.x y ln ln 4=.解: 输入命令:a=diff([sqrt(x^2- 2*x+5)，cos(x^2)+2*cos(2*x)，4^(sin(x))，log(log(x))]).得结果: a=[1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2)，-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x)，4^sin(x)*cos(x)*log(4)， 1/x/log(x)].dy1_dx=a(1)↵.dy1_dx=1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2).dy2_dx=a(2)↵.dy2_dx=-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x).dy3_dx=a(3)↵.dy3_dx=4^sin(x)*cos(x)*log(4).dy4_dx=a(4)↵.dy4_dx=1/x/log(x).由本例可以看出，matlab 函数是对矩阵或向量进行操作的，a(i)表示向量a 的第i 个分量.（２）参数方程所确定的函数的导数.设参数方程⎩⎨⎧==)()(t y y t x x 确定函数)(x f y =，则y 的导数)()(t x t y dx dy ''=.例3.8.设⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x ，求dx dy .解: 输入命令:dx_dt=diff (a*(t-sin(t)))；dy_dt=diff(a*(1-cos(t)))；dy_dx=dy_dt/dx_dt.得结果:dy_dx=sin(t)/(1-cos(t)).其中分号的作用是不显示结果. ４．求多元函数的偏导数.例3.9.设 u=222z y x ++求 u 的一阶偏导数.解: 输入命令:diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2)， x). 得结果:ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x.在命令中将末尾的x 换成y 将给出y 的偏导数:ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y.也可以输入命令:jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2)，[x y]). 得结果:ans=[1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x ， 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y]给出矩阵⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂y u x u ,.例3.10.求下列函数的偏导数:1.)(1x yarctg z =.2.yx z =2 .解: 输入命令:diff(atan(y/x).得结果:ans=-y/x^2/(1+y^2/x^2).输入命令:diff(atan(y/x)， y). 得结果:ans=1/x/(1+y^2/x^2).输入命令:diff(x^y ， x).得结果: ans=x^y*y/x .输入命令: diff(x^y ， y). 得结果: ans=x^y*log(x).使用jacobian 命令求偏导数更为方便. 输入命令:jacobian([atan(y/x)，x^y]，[x ，y]).得结果:ans=[ -y/x^2/(1+y^2/x^2)， 1/x/(1+y^2/x^2)][ x^y*y/x ， x^y*log(x)].５．求高阶导数或高阶偏导数.例3.11.设xe x xf 22)(= ，求)()20(x f.解:输入指令: diff(x^2*exp(2*x)，x ，20). 得结果: ans =99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*x^2*exp(2*x)例3.12.设224623y x y x z +-=，求y x zy z x z ∂∂∂∂∂∂∂22222,,.解:输入命令:diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x ，2)可得到22x z ∂∂:ans=30*x^4+4*y^2.将命令中最后一个x 换为y 得22y z ∂∂:ans=-36*y^2+4*x^2.输入命令:diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x)，y)可得y x z ∂∂∂2:ans=8*x*y同学们可自己计算x y z∂∂∂2比较它们的结果.注意命令:diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x ，y)，是对y 求偏导数，不是求y x z∂∂∂2.６．求隐函数所确定函数的导数或偏导数例3.13.设e ex xy =+-ln ，求dxdy解:e ex y x F xy -+=-ln ),(，先求x F '，再求y F '.输入命令:df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，x)得到x F ':df_dx=1/x+y/x^2*exp(-y/x).输入命令:df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，y)得到y F ':df_dy=-1/x*exp(-y/x)输入命令:dy_dx=-df_dx/df_dy可得所求结果:dy_dx=-(-1/x-y/x^2*exp(-y/x))*x/exp(-y/x).例3.14.设0)()cos()sin(=++xz tg yz xy ，求yzx z ∂∂∂∂,解:)()cos()sin()(xz tg yz xy x F ++=输入命令:a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(z*x)，[x ，y ，z])可得矩阵()z y x F F F ''',,a=[cos(x*y)*y+(1+tan(z*x)^2)*z ，cos(x*y)*x-sin(y*z)*z ，-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x].输入命令: dz_dx=-a(1)/a(3)得: dz_dx=(-cos(x*y)*y-(1+tan(z*x)^2)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x)输入命令: dz_dy=-a(2)/a(3)得: dz_dy=(-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x)练习1.求下列函数的导数.(1))11)(1(-+=x x y (2)xx x y ln sin =(3)221sin 2x y = (4))ln(22a x x y ++=2.求下列参数方程所确定的函数的导数.(1)⎩⎨⎧==t y t x 44 (2)⎩⎨⎧-=+=arctgtt y t x )1ln(23.求下列隐函数的导数.(1)22ln y x x yarctg+= (2)x y yx =4.设x e y x cos =，求)4(y .5.验证x e y xsin =满足关系式:022=+'-''y y y （................）6.求下列函数的偏导数.(1))sin(2xy x z = (2)zy x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛=7.设)ln(y x x u +=，求22x u ∂∂，22y u∂∂，y x u ∂∂∂2.8.求下列多元隐函数的偏导数y zx z ∂∂∂∂,.(1)1cos cos cos 222=++z y x (2)xyze z=9.证明函数22)()(lnb y a x u -+-=(b a ,为常数)满足拉普拉斯方程:02222=∂∂+∂∂y u xu（提示：对结果用simplify 化简）。
偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数的导数概念的推广，它用于计算多元函数在其中一点处对一些自变量的变化率。
一元函数的导数表示函数在其中一点附近的局部变化率，而多元函数的导数则表示函数在其中一点附近关于一些自变量的变化率。
设函数 f(x₁, x₂, …, xn) 是一个 n 变量函数，其中 x₁, x₂, …, xn 分别表示自变量。
若函数在其中一点处各个自变量的偏移量分别是Δx₁, Δx₂, …, Δxn，则函数在该点处的偏导数表示函数在该点处关于一些自变量的变化率。
偏导数用∂f/∂x 表示，其中∂表示该函数是多元函数的导数。
对于二元函数f(x,y)，其偏导数分为两种：对x的偏导数(∂f/∂x)，对y的偏导数(∂f/∂y)。
偏导数计算公式如下：∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x + Δx, y) - f(x, y)]/Δx∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(x, y + Δy) - f(x, y)]/Δy其中，lim 表示极限。
对于 n 元函数 f(x₁, x₂, …, xn)，可以按照相同的原理通过对各个自变量的偏移量进行极限计算，得到相应的偏导数。
在实际计算中，依次计算各个自变量的偏导数来获得该函数在其中一点处的各个偏导数值。
如果函数可微分，就可以通过偏导数找到该点处的切线方程，从而研究函数在该点的性质。
偏导数的计算需要使用导数的各种运算法则，例如线性性质、乘法法则、除法法则和复合函数法则等。
线性性质：若 f(x) 和 g(x) 是可导函数，c 是常数，则有∂/∂x[cf(x) ± g(x)] = c(∂f/∂x) ± (∂g/∂x)。
乘法法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有∂/∂x[f(x)g(x)]=g(x)(∂f/∂x)+f(x)(∂g/∂x)。
除法法则：若f(x)和g(x)是可导函数，且g(x)≠0，则有∂/∂x[f(x)/g(x)]=[g(x)(∂f/∂x)-f(x)(∂g/∂x)]/[g(x)]²。
偏导数讲解
最新实验3 导数及偏导数计算
实验3导数及偏导数计算实验3 导数及偏导数计算实验目的１．进一步理解导数概念及其几何意义.２．学习matlab的求导命令与求导法.实验内容１．学习matlab命令.建立符号变量命令sym和syms调用格式:x=sym(｀x｀)，建立符号变量x；syms x y z，建立多个符号变量x，y，z；matlab求导命令diff调用格式:diff(函数«Skip Record If...») ，求«Skip Record If...»的一阶导数«Skip Record If...»；diff(函数«Skip Record If...»，n) ，求«Skip Record If...»的n阶导数«Skip Record If...»(n是具体整数)；diff(函数«Skip Record If...»，变量名«Skip Record If...»)，求«Skip Record If...»对«Skip Record If...»的偏导数«Skip Record If...»；diff(函数«Skip Record If...»，变量名«Skip Record If...»，n) ，求«Skip Record If...»对«Skip Record If...»的n 阶偏导数«Skip Record If...»；matlab求雅可比矩阵命令jacobian，调用格式:jacobian([函数«Skip Record If...»；函数«Skip Record If...»；函数«Skip Record If...»]， [«Skip Record If...»])给出矩阵:«Skip Record If...»２．导数概念.导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率.（１）点导数是一个极限值.例3.1.设«Skip Record If...»，用定义计算«Skip Record If...».解:«Skip Record If...»在某一点«Skip Record If...»的导数定义为极限:«Skip Record If...»我们记«Skip Record If...»，输入命令:syms h；limit((exp(0+h)-exp(0))/h，h，0)得结果:ans=１．可知«Skip Record If...»（２）导数的几何意义是曲线的切线斜率.例3.2.画出«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处(«Skip Record If...»)的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势.解:在曲线«Skip Record If...»上另取一点«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的方程是:«Skip Record If...».即«Skip Record If...»取«Skip Record If...»，分别作出几条割线.h=[3，2，1，0.1，0.01]；a=(exp(h)-1)./h；x=-1:0.1:3；plot(x，exp(x)，’r’)；hold onfor i=1:5；plot(h(i)，exp(h(i))，’r.’)plot(x，a(i)*x+1)endaxis square作出«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的切线«Skip Record If...»plot(x，x+1，’r’)从图上看，随着«Skip Record If...»与«Skip Record If...»越来越接近，割线«Skip Record If...»越来越接近曲线的割线．３．求一元函数的导数.（１）«Skip Record If...»的一阶导数.例3.3.求«Skip Record If...»的导数.解:打开matlab指令窗，输入指令:dy_dx=diff(sin(x)/x).得结果:dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x^2.matlab的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字，不允许使用其他字符，在这里我们用dy_dx表示«Skip Record If...».例3.4.求«Skip Record If...»的导数.解:输入命令:dy_dx=diff(log(sin(x))).得结果:dy_dx=cos(x)/sin(x).在matlab中，函数«Skip Record If...»用log(x)表示，而log10(x)表示«Skip Record If...».例3.5.求«Skip Record If...»的导数.解:输入命令:dy_dx=diff((x^2+2*x)^20).得结果:dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2).注意«Skip Record If...»输入时应为2*x.例3.6.求«Skip Record If...»的导数.解:输入命令:dy_dx=diff(x^x).得结果:dy_dx =x^x*(log(x)+1).利用matlab命令diff一次可以求出若干个函数的导数.例3.7.求下列函数的导数:1.«Skip Record If...».2.«Skip Record If...».3.«Skip Record If...».4.«Skip Record If...».解:输入命令:a=diff([sqrt(x^2- 2*x+5)，cos(x^2)+2*cos(2*x)，4^(sin(x))，log(log(x))]).得结果:a=[1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2)，-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x)，4^sin(x)*cos(x)*log(4)， 1/x/log(x)].dy1_dx=a(1)«Skip Record If...».dy1_dx=1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2).dy2_dx=a(2)«Skip Record If...».dy2_dx=-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x).dy3_dx=a(3)«Skip Record If...».dy3_dx=4^sin(x)*cos(x)*log(4).dy4_dx=a(4)«Skip Record If...».dy4_dx=1/x/log(x).由本例可以看出，matlab函数是对矩阵或向量进行操作的，a(i)表示向量a的第i个分量.（２）参数方程所确定的函数的导数.设参数方程«Skip Record If...»确定函数«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的导数«Skip Record If...».例3.8.设«Skip Record If...»，求«Skip Record If...».解:输入命令:dx_dt=diff(a*(t-sin(t)))；dy_dt=diff(a*(1-cos(t)))；dy_dx=dy_dt/dx_dt.得结果:dy_dx=sin(t)/(1-cos(t)).其中分号的作用是不显示结果.４．求多元函数的偏导数.例3.9.设 u=«Skip Record If...»求 u的一阶偏导数.解:输入命令:diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2)， x).得结果:ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x.在命令中将末尾的x换成y将给出y的偏导数:ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y.也可以输入命令:jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2)，[x y]).得结果:ans=[1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x，1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y]给出矩阵«Skip Record If...».例3.10.求下列函数的偏导数:1.«Skip Record If...».2.«Skip Record If...» .解:输入命令:diff(atan(y/x).得结果:ans=-y/x^2/(1+y^2/x^2).输入命令:diff(atan(y/x)， y).得结果:ans=1/x/(1+y^2/x^2).输入命令:diff(x^y， x).得结果:ans=x^y*y/x.输入命令:diff(x^y， y).得结果:ans=x^y*log(x).使用jacobian命令求偏导数更为方便.输入命令:jacobian([atan(y/x)，x^y]，[x，y]).得结果:ans=[ -y/x^2/(1+y^2/x^2)， 1/x/(1+y^2/x^2)][ x^y*y/x， x^y*log(x)].５．求高阶导数或高阶偏导数.例3.11.设«Skip Record If...» ，求«Skip Record If...».解:输入指令:diff(x^2*exp(2*x)，x，20).得结果:ans =99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*x^2*exp( 2*x)例3.12.设«Skip Record If...»，求«Skip Record If...».解:输入命令:diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x，2)可得到«Skip Record If...»:ans=30*x^4+4*y^2.将命令中最后一个x换为y得«Skip Record If...»:ans=-36*y^2+4*x^2.输入命令:diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x)，y)可得«Skip Record If...»:ans=8*x*y同学们可自己计算«Skip Record If...»比较它们的结果.注意命令:diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x，y)，是对y求偏导数，不是求«Skip Record If...».６．求隐函数所确定函数的导数或偏导数例3.13.设«Skip Record If...»，求«Skip Record If...» 解:«Skip Record If...»，先求«Skip Record If...»，再求«Skip Record If...».输入命令:df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，x)得到«Skip Record If...»:df_dx=1/x+y/x^2*exp(-y/x).输入命令:df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，y)得到«Skip Record If...»:df_dy=-1/x*exp(-y/x)输入命令:dy_dx=-df_dx/df_dy可得所求结果:dy_dx=-(-1/x-y/x^2*exp(-y/x))*x/exp(-y/x).例3.14.设«Skip Record If...» ，求«Skip Record If...» 解:«Skip Record If...»输入命令:a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(z*x)，[x，y，z]) 可得矩阵«Skip Record If...»a=[cos(x*y)*y+(1+tan(z*x)^2)*z，cos(x*y)*x-sin(y*z)*z，-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x].输入命令:dz_dx=-a(1)/a(3)得:dz_dx=(-cos(x*y)*y-(1+tan(z*x)^2)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x)输入命令:dz_dy=-a(2)/a(3)得:dz_dy=(-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x)练习1.求下列函数的导数.(1)«Skip Record If...»(2)«Skip RecordIf...»(3)«Skip Record If...» (4)«SkipRecord If...»2.求下列参数方程所确定的函数的导数.(1)«Skip Record If...»(2)«Skip Record If...»3.求下列隐函数的导数.(1)«Skip Record If...» (2)«Skip RecordIf...»4.设«Skip Record If...»，求«Skip Record If...».精品好文档，推荐学习交流5.验证«Skip Record If...»满足关系式:«Skip Record If...» （................）6.求下列函数的偏导数.(1)«Skip Record If...»«Skip Record If...»(2)«Skip Record If...»7.设«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»，«SkipRecord If...»，«Skip Record If...».8.求下列多元隐函数的偏导数«Skip Record If...».(1)«Skip Record If...» (2)«Skip Record If...»9.证明函数«Skip Record If...»(«Skip Record If...»为常数)满足拉普拉斯方程:«Skip Record If...»（提示：对结果用simplify化简）仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢6。
导数及偏导数的计算
2. syms函数定义多个符号
syms函数的一般调用格式为：
syms var1 var2 … varn
函数定义符号变量var1,var2,…,varn等。 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上 加字符分界符(‘’)，变量间用空格而不要用逗 号分隔。
cos(x)*sin(y)) 执行结果为：
f=sin(x-y)
例3。simple和simplify的区别。
>> syms x
>> f=cos(x)^2+sin(x)^2 ;
>> simple(f)
simplify:
convert(tan):
1
(1-tan(1/2*x)^2)^2/(1+tan(1/2*x)^2)^2
例4 求符号矩阵的逆、行列式及特征s a b c d A=[a,b;c,d]; njz=inv(A) hls=det(A) [tzxl,tzz]=eig(A); tzxl’ diag(tzz) 执行结果：
njz =
[ d/(a*d-b*c), -b/(a*d-b*c)]
Matlab系统本无符号运算功能，符号 运算工具箱（Symbolic Math Toolbox）则扩充了Matlab这方面的 功能。
这个工具箱在Matlab安装的 Toolbox/Symbolic子文件夹下。
符号变量与符号表达式
新的数据类型----符号变量
1. 用sym函数来定义一个符号或符号表达式
导数及偏导数的计算
实验目的
１．进一步理解导数概念及其几何意义. ２．学习Matlab的求导命令与求导法.
偏导数的定义与计算
偏导数的定义与计算偏导数是微分学中的一个重要概念，它用于描述一个多变量函数在某一点上对特定变量的变化率。
在实际问题中，往往会遇到有多个自变量的函数，而偏导数的概念和计算方法可以帮助我们深入理解函数的变化规律。
本文将详细介绍偏导数的定义与计算方法。
一、偏导数的定义对于一个多变量函数，例如f(x, y)，我们可以对其中的某个自变量进行变化，并观察函数在某一点上的变化率。
因为多个自变量的存在，我们需要分别计算函数对不同自变量的变化率，这就是偏导数的含义。
形式上，偏导数可以用以下符号来表示：∂f/∂x 或 df/dx 表示对f(x, y)对x的偏导数∂f/∂y 或 df/dy 表示对f(x, y)对y的偏导数二、偏导数的计算方法1. 对于单变量函数的偏导数计算对于一个只有一个自变量的函数，例如f(x)，偏导数的计算就相当于普通的导数计算，即计算函数在某一点上的切线斜率。
例如，对于函数f(x) = x^2，我们需要计算其关于x的偏导数。
根据导数的定义：df(x)/dx = lim(h→0) [(f(x+h) - f(x))/h]对于f(x) = x^2，可以得到：df(x)/dx = l im(h→0) [(x+h)^2 - x^2]/h= lim(h→0) (x^2 + 2xh + h^2 - x^2)/h= lim(h→0) (2xh + h^2)/h= lim(h→0) (2x + h)= 2x因此，对于函数f(x) = x^2，它的偏导数关于x的结果为2x。
2. 对于多变量函数的偏导数计算对于一个有多个自变量的函数，例如f(x, y)，我们需要分别计算其对不同自变量的偏导数。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们需要计算其对x和y的偏导数。
∂f/∂x = 2x∂f/∂y = 2y函数f(x, y) = x^2 + y^2 对x求偏导数的结果是2x，对y求偏导数的结果是2y。
三、应用举例偏导数在实际问题中有着广泛的应用。
偏导数公式和求导法则
偏导数公式和求导法则让我们来了解一下偏导数的概念。
在多元函数中，我们通常会遇到多个自变量同时变化的情况。
偏导数就是用来描述这种情况下函数对于某个自变量的变化敏感程度的指标。
简单来说，偏导数就是函数沿着某个特定方向的变化率。
对于一个二元函数，例如z = f(x, y)，我们可以用∂z/∂x来表示函数f对于变量x的偏导数，表示在y固定的情况下，函数z对于x的变化率。
同样地，我们可以用∂z/∂y来表示函数f对于变量y的偏导数，表示在x固定的情况下，函数z对于y的变化率。
那么，如何计算偏导数呢？对于一个简单的函数，我们可以直接利用求导法则来求解。
求导法则是微积分中常用的一组规则，可以帮助我们计算各种函数的导数。
常见的求导法则包括常数法则、幂法则、和法则、积法则和商法则等。
举个例子，假设我们有一个函数z = 3x^2 + 2xy + y^2，现在我们来计算∂z/∂x和∂z/∂y。
根据求导法则，我们可以先对函数中的每一项进行求导，然后再将结果相加。
对于3x^2，根据幂法则，我们可以将指数下降1，并将系数保留，得到6x。
对于2xy，根据和法则，我们可以将两个变量的导数相加，得到2y。
对于y^2，同样根据幂法则，我们可以得到2y。
因此，我们得到∂z/∂x = 6x + 2y，∂z/∂y = 2x + 2y。
除了使用求导法则，我们还可以通过几何的方法来理解偏导数。
对于函数z = f(x, y)，我们可以将其表示为三维空间中的一个曲面。
在这个曲面上，我们可以选择一个点P，并画出曲面在这个点的切平面。
切平面与x轴和y轴的交线就是函数在该点的偏导数。
通过偏导数，我们可以研究函数在不同方向上的变化情况。
例如，在工程和物理学中，偏导数常常用来描述物理量之间的关系，如速度和加速度之间的关系。
在经济学中，偏导数可以用来描述边际效应，帮助我们理解经济中的决策和变化。
总结一下，偏导数是用来描述函数在多个自变量同时变化的情况下的变化率的指标。
偏导数的计算与应用
偏导数的计算与应用在数学领域中，偏导数是对多元函数中某一个变量进行求导的一种特殊形式。
它在工程、物理学以及经济学等领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍偏导数的计算方法以及它在实际问题中的应用。
一、偏导数的计算方法偏导数的计算方法与普通导数的计算方法类似，只是要注意对于多元函数而言，需要将其他变量视为常数进行求导。
下面以二元函数为例，介绍偏导数的计算方法。
考虑二元函数 f(x, y)，要计算关于 x 的偏导数∂f/∂x，我们将 y 视为常数，只对 x 进行求导。
具体计算步骤如下：1. 将 f(x, y) 视为 x 的函数，求出 f(x)。
2. 对 f(x) 求导，即可得到关于 x 的偏导数∂f/∂x。
同样地，对于关于 y 的偏导数∂f/∂y，只需将 x 视为常数，求关于 y的导数即可。
对于更高维的函数，即多于两个变量的函数，偏导数的计算方法也是类似的。
只需将其他变量视为常数，分别对每个变量求导即可。
二、偏导数的应用偏导数在实际问题中有着广泛的应用，以下将介绍其中两个应用场景。
1. 最优化问题在优化问题中，我们常常需要寻找使目标函数取得最小值或最大值的变量取值。
而偏导数在这类问题中起到了关键的作用。
考虑一个具体的问题，我们需要在平面上选取一点 P，使得点 P 到两条给定直线的距离之和最小。
设直线方程分别为 l1：ax + by + c1 = 0 以及 l2：dx + ey + c2 = 0，目标函数为 f(x, y) = |d1| + |d2|，其中 d1 表示点 P 到直线 l1 的距离，d2 表示点 P 到直线 l2 的距离。
为了寻找使得 f(x, y) 最小的点 P，我们可以使用偏导数的方法。
具体步骤如下：1. 将 f(x, y) 展开为 |d1| + |d2| 的形式。
2. 对 f(x, y) 分别关于 x 和 y 求偏导数，得到∂f(x, y)/∂x 和∂f(x, y)/∂y。
3. 令∂f(x, y)/∂x = 0 以及∂f(x, y)/∂y = 0，解得使得 f(x, y) 最小的点 P 的坐标。
【微积分】导数,偏导数,方向导数与梯度
【微积分】导数,偏导数,方向导数与梯度1. 引言1.1 概述微积分是数学中一个重要的分支，研究的是变化与无限小量的关系。
在微积分中，导数、偏导数和梯度是最基础的概念之一。
它们能够描述函数在某一点上的变化率以及方向性，并且在许多科学和工程领域中都有广泛应用。
1.2 文章结构本文将围绕导数、偏导数、方向导数和梯度展开讨论。
首先介绍导数的定义、性质和计算方法，接着详细讲解偏导数及其与多元函数的关系以及计算方法。
然后深入探究方向导数的定义、意义以及如何计算方向导数。
最后，将介绍梯度的概念，并探讨其在微积分中的应用。
1.3 目的本文旨在全面介绍和阐述微积分中与导数、偏导数、方向导数以及梯度相关的知识。
通过对这些概念进行详细解析，读者可以加深对它们背后原理和运用方法的理解。
同时，希望能够激发读者对微积分更深层次的思考，并提供进一步学习和研究的方向建议。
2. 导数2.1 导数的定义导数是微积分中一个重要的概念，用来描述函数在某一点上的变化率。
在数学上，给定函数y=f(x)，如果它在点x处有定义且在该点附近存在极限，那么它在点x 处的导数可以表示为f'(x)或dy/dx。
导数可以理解为函数的瞬时变化率。
2.2 导数的性质导数具有以下几个基本性质：- 可加性：若f(x)和g(x)可导，则(f+g)(x)也可导，并且其导函数为(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)。
- 常数倍性：若f(x)可导，则对于任意实常数a，af(x)也可导，并且其导函数为(a*f)'(x)=af'(x)。
- 乘积法则：若f(x)和g(x)可导，则(f*g)(x)也可导，并且其导函数为(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
- 商法则：若f(x)和g(x)都可导且g(x)≠0，则(f/g)(x)也可导，并且其导函数为(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/[g^2 (x)]。
实验3__导数及偏导数运算82页PPT
实验3__导数及偏导数运算
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于升自我。——迈克尔·F·斯特利
实验3__导数及偏导数运算
例4 求 y = ln(sin x ) 的导数； 解： 输入指令 syms x; dy_dx=diff(log(sin(x))) 得结果: dy_dx=cos(x)/sin(x). 在 matlab中，函数 lnx 用 log(x)表示 log10(x) 表示 lgx。
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例5 求 y = ( x + 2 x ) 的导数；
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例14 求解函数y=xsin(x2-x-1)在[-2，0]上的极 值。 先做图观察，然后求极值，注意有极大值和 极小值。
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fplot('x*sin(x^2-x-1)',[-2 0]);grid on [x,f]=fminbnd('x*sin(x^2-x-1)',-2,0) f=inline('x*sin(x^2-x-1)','x'); [x,f]=fminsearch(f,-1.2) ff=inline('-x*sin(x^2-x-1)', 'x'); [x,f]=fminbnd(ff,-2,-1)
a= [ 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x, 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y]
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例 9 求下列函数的偏导数 z1 = arctan( y / x ); z2 = x y 。
解： 输入命令 syms x y; diff(atan(y/x),x) ans = -y/x^2/(1+y^2/x^2)
( Fx , Fy , Fz )
Fy ∂z =− ∂y Fz
∂z Fx =− ∂x Fz
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二.极值和最值 Matlab 命令 [x,f]=fminbnd(F,a,b): x返回一元函数在 [a,b]内的局部最小值点，f返回局部最小 值，F为函数。 [x,f]=fminsearch(F,x0): x返回一元或多 元函数在x0附近的局部最小值点，f返回 局部最小值，F为函数。
高等数学实验 导数的求法
例如：D[f[x] , {x , n}]
求函数f(x)的n阶导数
一、关于导数的求法
3.Dt[函数名]
Dt[f] 求函数f的全微分df
4.函数名’[自变量] f’[x] 求函数f[x]的导函数
二、利用定义观察导数
导数：增量比的极限。 试验1 考察函数f[x]=E^x在点x0=0处的导数
记h x，并取h逐渐变小时的一些不同值 如：h 1.0,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 计算所得的比值。
Clear a, h ; Limit Limit
f x_ :E^x;
f h f 0 f h f 0
h, h 0, Direction 1 h, h 0, Direction 1
练习：
1.考察函数f ( x ) x 在x0 1处的导数
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.考察函数f ( x ) 5 x 在x0 1处的导数
第5讲 驳船长度问题
4.1 4.2 4.3 关于导数的求法 利用定义观察导数 驳船问题
吉林大学和平校区
尹慧
一、关于导数的求法
求导数的相关命令： 1. D[函数（函数名[自变量]），自变量]
例如：D[f[x，y] , x]求函数f(x)对自变量x的导数
2. D[函数（函数名[自变量]），{自变量，阶数}]
B D E L C A O x 10m
12m
L=10/Sin[x]+12/Cos[x]-5Tan[x]-5/Tan[x]
练习5 铁皮罐头的经济尺寸问题
设圆柱形铁皮罐头的体积为V， 高为h，底面半径为r，若V给定，问 高于半径的比h/r应该等于多少，才 能使罐头的表面积最小？ 实际生活中的情况是这样吗？
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z z 例13 设 sin( xy) cos( yz ) tan( xz ) 0，求 , ; x y
解： F ( x , y , z ) sin( xy ) cos( yz ) tan( xz ),
syms x y z; a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(x*z),[x,y,z]) dz_dx=-a(1)/a(3) dz_dy=-a(2)/a(3) a= [ cos(x*y)*y+(1+tan(x*z)^2)*z, cos(x*y)*xsin(y*z)*z, -sin(y*z)*y+(1+tan(x*z)^2)*x] dz_dx = (-cos(x*y)*y-(1+tan(x*z)^2)*z)/(sin(y*z)*y+(1+tan(x*z)^2)*x) dz_dy = (-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(sin(y*z)*y+(1+tan(x*z)^2)*x)
解： 输入命令
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x a( t sin t ) y a(1 cos t )
syms a t;
dx_dt=diff(a*(t-sin(t)));
dy_dt=diff(a*(1-cos(t)));
dy_dx=dy_dt/dx_dt.
dy_dx = sin(t)/(1-cos(t))
h2 h3 h4 (4) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( x ) f (2 ) 2! 3! 4!
二阶导数的中心差商公式：
f ( n ) ( x )；
f f ( x , y ) 求 对 x 的一阶偏导数
x
；
5
4、diff(f(x，y), x,n)，
f 求 f ( x , y ) 对 x 的 n 阶偏导数 n ； x
n
5、jacobian([f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)],[x,y,z])
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2) 参数方程确定的函数的导数
x x( t ) 设参数方程 所确定的函数 y f ( x ) ， y y( t ) dy y( t ) 则 y f ( x ) 的导数 。 dx x( t )
x a( t sin t ) dy 例7 设 ， 求 ; dx y a(1 cos t )
y 1M ( h, e h )
9
取h=3,2,1,0.1,0.01，分别作出几条割线. h=[3,2,1,0.1,0.01]; a=(exp(h)-1)./h; x=-1:0.1:3; plot(x,exp(x),'r');hold on for i=1:5; plot(h(i),exp(h(i)),'r.') plot(x,a(i)*x+1) hold on end axis square
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x0 ) lim x 0 x
7
例1 . 设函数 f ( x ) e ，用定义计算 f (0)；
x
解： f ( x ) 在某一点 x0 的导数定义为极限
f ( x0 x ) f ( x0 ) lim x 0 x 我们记 h x，输入命令：
作出y=exp(x)在x=0处的切线y=1+x
plot(x,x+1,’r’)
10
从图上看，随着M与P越来越接近，割线PM越来越接 近曲线的割线.
11
3. 求一元函数的导数
1) y=f(x)的一阶导数
sin x 例3 . 求 y 的导数； x
解： 输入指令
syms x; dy_dx=diff(sin(x)/x)
y1 x 2 2 x 5; y2 cos x 2 2cos 2 x; y3 4sin x ; y4 ln ln x .
a= [ 1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2), -2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x), 4^sin(x)*cos(x)*log(4), 1/xlog(x)]
f ( x ) f ( x h) 向后 : f ( x ) O ( h) h
f ( x h) f ( x h ) 中心 : f ( x ) O ( h2 ) 2h
由taylor公式
h2 h3 h4 (4) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( x ) f (1 ) 2! 3! 4!
求雅可比矩阵：
f f f x y z g g g x y z h h h x y z
6
2. 导数的概念
导数为函数的变化率，其几何意义是曲线在一 点处的切线斜率。 1). 函数在一点导数是一个极限值
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2 2 2 z z z 6 4 2 2 ; 例11 设 z x 3 y 2 x y ，求 2 , 2 , x y xy
解：输入命令 syms x y ; dz_dx=diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x,2) dz_dy=diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,y,2) dz_dxdy=diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x),y)
( Fx , Fy , Fz )
Fy z y Fz
z Fx x Fz
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二.数值微分
数值微分是用离散方法近似计算函数的导数值或偏导数值.
f ( x )
xh
x
x h ( h 0)
其中h(>0)为小的增量
根据导数定义，可以用差商近似导数，得到差商型求导公式：
f ( x ) f ( x h) f ( x ) h
x y z ，求 u 的一阶偏导数；
2 2 2
雅 格 比 矩 阵
19
u x 2 y2 z 2
du_dx=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x du_dy =1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y
du_dz = 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*z
u x u z x x2 y2 z2 z x2 y2 z2 u y y x2 y2 z2
syms x y; diff(atan(y/x),y)
ans = 1/x/(1+y^2/x^2)
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syms x y;
jacobian([atan(y/x),x^y],[x ,y]) ans = [ -y/x^2/(1+y^2/x^2), 1/x/(1+y^2/x^2)] [ x^y*y/x, x^y*log(x)]
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例5 求 y ( x 2 x ) 的导数；
2 20
解： 输入指令
syms x; dy_dx=diff((x^2+2*x)^20)
得结果: dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2).
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例6
求下列函数的的导数： y1 y3 4 x 2 2 x 5;
sin x
y2 cos x 2 2 cos 2 x; ; y4 ln ln x .
解： 输入指令 syms a x; a=diff([sqrt(x^2-2*x+5),cos(x^2)+2*cos(2*x), 4^(sin(x)),log(log(x))])
Matlab 函数可以对矩阵或向量操作。
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a= [ 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x, 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y]
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例 9 求下列函数的偏导数 z1 arctan( y / x ); z2 x y 。
解： 输入命令 syms x y; diff(atan(y/x),x) ans = -y/x^2/(1+y^2/x^2)
syms h; limit((exp(0+h)-exp(0))/h,h,0) ans=1
可知结果 f (0) 1。
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2). 导数的几何意义是曲线的切线斜率
例2 画出 f ( x ) e 在x=0处(P(0,1))的切线及若 干条割线，观察割线的变化趋势.
x
ex 解:在曲线 f ( x ) 上另取一点 则PM的方程是:
dz_dx = 30*x^4+4*y^2 dz_dy = -36*y^2+4*x^2 dz_dxdy =8*x*y
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6. 求隐函数所确定函数的导数或偏导数
例12
设 ln x e
y x
解： F ( x , y ) ln x e
dy e，求 ; dx y
x
dy Fx e , 先求 Fx , 再求 Fy , dx Fy
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4. 求多元函数的偏导数
例8 设 u
解：输入命令 syms x y z; du_dx=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),x) du_dy=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),y) du_dz=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),z) a=jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2),[x y])
实验3
导数及偏导数运算
1
实验目的：
1. 进一步理解导数概念及几何意义； 2. 学习Matlab的求导命令与求导法。 3. 极值和最值的求法（最优化方法）