平面直角坐标系培优

A 1 x

y A 2

A 3

A 4 A 5

A 6 A 7

A 8 A 9

A 10

A 11 A 12

平面直角坐标系题型归纳总结

【】

一、直角坐标中点的坐标规律探究题 例题讲解:

1. 如图,所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与ｘ轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2,４,６，8，…,顶点依次用A 1，Ａ2,Ａ３，A 4，…表示，则顶点Ａ5５的坐标是（ ) A. （13,13） B. （-13,-１3) C ． (14,１4） Ｄ． (-１4，-14)

2. 如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点，其顺序按图中“⇒”方向排列，如（０，0)⇒(1，0)⇒（１,1)⇒（2,２）⇒(2，1)⇒（２，0）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标是 .

３. 如图,在平面直角坐标系中,边长为１的正方形OA １Ｂ1C 的对角线 A 1Ｃ和ＯＢ1交于点M 1； 以M 1A 1为对角线作第二个正方形A ２A 1B 2M 1，对角线A １M 1和Ａ2Ｂ2交于点M ２;以M 2A 1为对 角线作第三个正方形Ａ3Ａ1B 3M 2，对角线A １M 2和Ａ3Ｂ3交于点M 3；……依此类推，这样作的 第n 个正方形对角线交点M n 的坐标为（ ）．

A.111,22

n n

⎛

⎫- ⎪⎝⎭ B ．11111,22n n --⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．11111,22n n ++⎛⎫- ⎪⎝⎭ Ｄ．1111,122n n ++⎛⎫- ⎪⎝⎭

变式练习:

１、如图,将边长为1的正三角形ＯAP 沿ｘ轴正方向连续翻转２０1２次，点P 依次落在点P 1,P 2，Ｐ３…

P 201２的位置,则点的坐标为

.

2、如图，在平面直角坐标系上有点A(1，0),点A 第一次跳动至点A １

（-1,1）,第四次向右 跳动５个单位至点A 4

(3,2），…,依此规律跳动下去,点A 第1０0次跳动至 点A 10０

的坐标是 ．

３、如图为风筝的图案.

(1)若原点用字母O 表示,写出图中点A,B ，C 的坐标．（2)试求(1）中风筝所覆盖的平面的面积. １０、点A （0，1）,点B(0，－４），点C 在ｘ轴上，如果三角形A ＢC 的面积为15，

（1)求点C 的坐标.

(2)若点C 不在x 轴上,那么点c 的坐标需满足什么样的条件(画图并说明）

１１、我们知道,任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中,任意两点P （x １

，ｙ1

)、Q （x

２

，y ２

)的对称中心的坐标为⎪⎭

⎫

⎝⎛++2,22121y y x x 观察应用:1(ﻫ）如图,在平面直角坐标系中，若点P 1

(0,-1)、P 2

（2，３)的对称中心是点A,则点A 的坐标为;

（2）另取两点B(-１.６，2.1）、Ｃ(-1,0）．有一电子青蛙从点P 1

处开始依次关于点A 、Ｂ、C 作循环对称跳动，即

第一次跳到点P 1关于点Ａ的对称点Ｐ2处,接着跳到点P 2关于点B 的对称点Ｐ3处，第三次再跳到点Ｐ3关于点Ｃ的对称点P 4处,第四次再跳到点Ｐ4关于点Ａ的对称点P 5处,…则点P ３、P 8的坐标分别为、.ﻫ拓展延伸: (3）求出点Ｐ20１2的坐标，并直接写出在x 轴上与点P 2012、点C 构成等腰三角形的点的坐标.

二、平面直角坐标中有关面积问题

【例１】．如图，点A （4，0）,Ｂ（０,5）,点C 在ｘ轴上,若三角形A ＢC 面积是５,求点C 的坐标

x

，B（2，0),点Ｃ在y轴正半轴上，且S△A BC= 18．（1）求点Ｃ的坐标；（2分)

(2)是否存在位于坐标轴上的点P,S △ACP =1

2

Ｓ△ABＣ．若存在，请求出P点坐标,若不存在，

说明理由

【例３】、平面直角坐标系中，已知点Ａ（-３，-1）,B(1,３），C(2，-３)

（１）求

ABC

S的值；

（2)ＡB交y轴于点Ｄ，ＡC交y轴于点E,求线段ＤE的长

A（－3，－1),Ｂ(1，3）,ＡB交y轴于点C

（１）求AOB

S 的值;(２)求点C 的坐标

２、如图，在平面直角坐标系中，已知三点A （0,a ）,Ｂ(ｂ，0），C （ｂ,c),其中a,b ，ｃ满足关系式

01)3(22=--+-+-b c b a ﻫ(1）求a,b,c 的值;

(2)如果在第二象限内有一点P （m ，

2

1

)，请用含m 的式子表示四边形ＡＢＯＰ的面积, (3）若四边形A ＢOP 的面积与△ＡＢC 的面积相等，请求出点P 的坐标；

三、动点问题

【例1】、已知:在平面直角坐标系中,四边形ABCD 是长方形, ∠Ａ=∠B ＝∠C ＝∠D =90°AB ∥CD ，AB ＝ＣD ＝8cm ，AD ＝B Ｃ=6ｃm ,D 点与原点重合，坐标为(0,0). （１）写出点Ｂ的坐标．

（2)动点Ｐ从点A 出发以每秒3个单位长度的速度向终点Ｂ匀速运动， 动点Q 从点C 出发以每秒４个单位长度

的速度I 沿射线ＣＤ方向匀速运动,若P ，Ｑ两点同时出发,设运动时间为t 秒,当t 为何值时，PQ ∥BC ? (3)在Ｑ的运动过程中,当Q 运动到什么位置时,使△ADQ 的面积为9? 求出此时Q 点的坐标.

【例2】、已知点)0,(a A 、)0,(b B ，且|2|)4(2-++b a ＝0．

（1)求b a ,的值;

(2）在y 轴上是否存在点C ，使得△A ＢC 的面积是1２？若存在，求出点C 的坐标；若不存在,请说明理由； (3）点P 是y 轴正半轴上一点，且到x 轴的距离为３，若点P 沿x 轴负半轴以每秒１个长度单位平行移动至Ｑ,当运动的时间t 为多少秒时，四边形ABPQ 的面积S 为15个平方单位?写出此时Q 点的坐标．

变式练习

１、如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-5,0）,Ｂ(5．0），D （２,7）， (１)求Ｃ点的坐标;

（2)动点P 从B 点出发以每秒1个单位的速度沿B Ａ方向运动，同时动点Q 从C 点出发也以每秒１个单位的速度沿y 轴正半轴方向运动（当P 点运动到Ａ点时,两点都停止运动)。设从出发起运动了x 秒。

①请用含x 的代数式分别表示P,Q 两点的坐标;