函数奇偶性的应用

对应学生用书P106

基础达标

一、选择题

1．有下列4个命题：

①偶函数的图象一定与纵轴相交；

②奇函数的图象一定通过原点；

③既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)；

④偶函数的图象关于纵轴对称．

其中正确的命题有()

A．1个B．2个

C．3个D．4个

解析：只有④正确，③中x∈R，定义域只要关于原点对称即可．函数f(x)＝0不唯一．答案：A

2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能是偶函数的一个为() A．y＝[f(x)]2B．y＝f(2x)

C．y＝f(|x|) D．y＝f(－x)

解析：A、B、D三项函数的定义域不关于原点对称．

答案：C

3．设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数．若x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则() A．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0

B．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0

C．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0

D．f(x1)＋f(x2)>f(x3)

解析：利用减函数和奇函数的性质判断．

∵x1＋x2>0，∴x1>－x2.

又∵f(x)是定义在R上单调递减的奇函数，

∴f(x1)<－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)<0.

同理，可得f(x2)＋f(x3)<0，f(x1)＋f(x2)<0.∴2f(x1)＋2f(x2)＋2f(x3)<0.

∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.

答案：B

4．函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是() A．f(－2)>f(0)>f(1)

B．f(－2)>f(1)>f(0)

C．f(1)>f(0)>f(－2)

D．f(1)>f(－2)>f(0)

解析：∵f(x)是R上的偶函数，

∴f(－2)＝f(2)，

又∵f(x)在[0，＋∞)上递增，

∴f(－2)>f(1)>f(0)．

答案：B

5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为()

A．－1 B．0

C．1 D．2

解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0.

答案：B

6．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是()

A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数

C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数

解析：令x1＝x2＝0，得f(0)＝2f(0)＋1，所以f(0)＝－1，令x2＝－x1，得f(0)＝f(x1)＋f(－x1)＋1，即f(－x1)＋1＝－f(x1)－1，

所以f(x)＋1为奇函数．

答案：C

二、填空题

7．若y＝(a－1)x2－2ax＋3为偶函数，则在(－∞，3]内函数的单调区间为________．解析：a＝0，y＝－x2＋3结合二次函数的单调性知．

答案：增区间(－∞，0)，减区间[0,3]

8．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx的奇偶性是________．解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴b＝0，g(x)＝ax3＋cx，即为奇函数．

答案：奇函数

9．若函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，又在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式x·f(x)<0的解集是________．

解析：

∵f (－x )＝－f (x )，

∴f (x )为奇函数，则f (x )的简图如右图所示． ∴当x <0时，f (x )>0， 则x ∈(－3,0)； 当x >0时，f (x )<0， 则x ∈(0,3)． 答案：(－3,0)∪(0,3) 三、解答题

10．已知f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x |x －2|，求x <0时，f (x )的表达式． 解：∵x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝(－x )|(－x )－2|. 又∵f (x )为奇函数，

∴f (x )＝－f (－x )＝－(－x )|(－x )－2|＝x |x ＋2|. 故当x <0时，f (x )＝x |x ＋2|.

11．已知函数f (x )对一切x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， (1)求证：f (x )是奇函数；

(2)若f (－3)＝a ，试用a 表示f (12)． 解：(1)由已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 令y ＝－x 得f (0)＝f (x )＋f (－x )， 令x ＝y ＝0得f (0)＝2f (0)，∴f (0)＝0. ∴f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )， 故f (x )是奇函数． (2)∵f (x )为奇函数． ∴f (－3)＝－f (3)＝a ， ∴f (3)＝－a .

又∵f (12)＝f (6)＋f (6)＝2f (3)＋2f (3)＝4f (3)， ∴f (12)＝－4a .

创新题型

12．设f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，对任意a 、b ∈[－1,1]，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )

a ＋b

>0.

(1)若a >b ，试比较f (a )与f (b )的大小； (2)解不等式f (x －12)

4)．

解：(1)若a >b ，则a －b >0，依题意有 f (a )＋f (－b )

a ＋(－

b )

>0成立，∴f (a )＋f (－b )>0.

又∵f (x )是奇函数，∴f (a )－f (b )>0，即f (a )>f (b )．

(2)由(1)可知f (x )在[－1,1]上是增函数．则所求不等式等价于

⎩⎪⎨⎪⎧

－1≤x －1

2

≤1，

－1≤2x －14≤1，解得－14

x －12<2x －14

，

函数的奇偶性是函数最基本的性质之一，是函数的整体性质，也就是函数的对称性，函数的单调性、奇偶性及最值贯穿于所有具体函数的教学中，命题内容广泛，多以选择题、填空题为主．主要考查函数的单调性、奇偶性的应用，属于低、中档题．

此类问题是函数的单调性与奇偶性的应用，解答此类问题时，要理解好单调性与奇偶性的定义，借助于题目中提供的条件，便可得到结论．

【例1】 已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )

A ．4

B ．2

C ．1

D ．0 思路分析：以偶函数的图象特征进行判断．

解析：∵偶函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )与x 轴的四个交点也关于y 轴对称．因此，若一根为x 1，则它关于y 轴对称的根为－x 1；若一根为x 2，则它关于y 轴对称的根为－x 2，故f (x )＝0的四根之和为x 1＋(－x 1)＋x 2＋(－x 2)＝0.∴应选D.

答案：D

温馨提示：函数的奇偶性实质上是其图象的对称性，因此当问题涉及奇函数或偶函数的有关问题时，我们不妨利用图象的对称性来解决问题，或者研究关于原点对称区间上的函数值的有关规律即可．

【例2】 定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2

－x 1)·[f (x 2)－f (x 1)]>0.则当n ∈N ＋时，有( )

A ．f (－n )

B ．f (n －1)

1)