现代控制理论第五章答案-文档资料

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现代控制理论第5章

第五章 Lyapunov稳定性分析和二次型最优控制5.1 概述本章首先讨论Lyapunov稳定性分析，然后介绍线性二次型最优控制问题。

我们将使用Lyapunov稳定性方法作为线性二次型最优控制系统设计的基础。

应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。

然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。

Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。

虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。

技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。

在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。

本章5.1节为概述。

5.2节介绍Lyapunov意义下的稳定性定义。

5.3节给出Lyapunov稳定性定理，并将其应用于非线性系统的稳定性分析。

5.4节讨论线性定常系统的Lyapunov稳定性分析。

5.5节给出模型参考控制系统，首先用公式表示Lyapunov稳定性条件，然后在这些条件的限制下设计系统。

5.6节讨论线性二次型最优控制系统，将采用Lyapunov稳定性方程导出线性二次型最优控制的条件。

5.7节给出线性二次型最优控制问题的MATLAB解法。

5.2 Lyapunov意义下的稳定性问题对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。

如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。

然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。

本节所要介绍的Lyapunov第二法（也称Lyapunov直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。

当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。

此外，它还可应用于线性二次型最优控制问题。

5.2.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点考虑如下非线性系统),(t x f x = (5.1)式中x 为n 维状态向量，),(t x f 是变量x 1,x 2,…,x n 和t 的n 维向量函数。

现代控制理论第五章-01

（Book 214 )

0
X AX Bu : Y CX
R

0
x
y
F
x
仅讨论标量系统∑0 ,它的经典频域描述是：
G0 s G s y( s) M 0 (s) i.e. m n u ( s ) D0 ( s)
k 0
假定原系统是状态完全能控的，即 X
u
R
框图结
构如右：
考虑实际 D=0

uf
B
x

x

C
y
A
F
or
x
R
uf
u

0
x
y
F
x
10
Thursday, August 17, 2017
Modern Control Theory
于是，可利用框图代数推出状态反馈系统的状态空间模型：
有, X AX BR BFX Y CX
G F s C SI A BF B
1
2
当然，也可以求得 GF s 和 G0 s 的关系：
G F s G 0 s [I F SI A B] 即：
1 1
(3)
显然，这个关系同经典理论中的结果相类似。
Thursday, August 17, 2017 Modern Control Theory 12
我们可以推导出如下状态空间模型：

H
X A BHC X BR Y CX
(1)
和传递函数矩阵：
GH s
y ( s )R ( s ) C SI A BHC B

《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)

第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙阿令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。

现代控制理论李斌第五章课后习题

现代控制理论李斌第五章课后习题现代控制理论第五章部分习题参考答案5.1 设系统的状态⽅程为bu Ax x+= ，⽽ ?---=9432A ，??=13b 。

试确定状态反馈矩阵K ，使闭环系统的极点配置在21j ±-。

解根据题意，要求的特征多项式为52)21)(21()(2*++=++-+=λλλλλj j f设状态反馈阵[]21k k K =，则闭环系统的特征多项式为[]1212212122333()det ()det 49(113)(302414)k k f I A BK k k k k k k λλλλλλ+++??=--=?-+++=++++++⽐较)(*λf 与)(λf 各对应项的系数，可解得181011-=k ，6472=k ，所以??-=64718101K 。

5.2 已知系统的状态空间描述为cxy bu Ax x =+=⽽=0110A ，??=10b ，[]10=c 。

若采⽤状态反馈，试分析当反馈矩阵[]01-=K 时，闭环系统的能控性和能观测性。

解采⽤状态反馈后闭环系统的系统矩阵为=-=02101bK A A 能控性矩阵 []==01101b A b M c ，2=c rankM 。

能观测性矩阵==02101cA c M o ，2=o rankM 。

能控性矩阵和能观测性矩阵均满秩，故闭环系统完全能控且完全能观测。

5.3 设线性定常系统的状态空间描述为cxy bu Ax x =+=⽽ =200120001A ，=101b ，[]011=c 。

试设计⼀个状态观测器，要求将其极点配置在3-，4-，5-上。

画出状态变量图。

解根据题意，状态观测器要求的特征多项式为604712)5)(4)(3()(23*+++=+++=λλλλλλλf设误差反馈阵[]Tg g g G 321=，则观测器的特征多项式为[]--+-+-=--=21201det )(det )(332211λλλλλg g g g g g Gc A I f )424()834()5(3213212213--++++--+-++=g g g g g g g g λλλ⽐较)(*λf 与)(λf 各对应项的系数，可解得1031-=g ，1202=g ，2102=g ，所以[]TG 210120103-=。

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第一章习题答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：阿令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。

解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1-3参考例子1-3（P19）.1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定下列状态空间表达式（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：（2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A的特征方程解之得：当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-12已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为（1）解法1：解法2：求T,使得得所以所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。

（2）A=解：第一种方法：令则，即。

求解得到，当时，特征矢量由，得即，可令当时，特征矢量由，得即，可令则，第二种方法，即拉氏反变换法：第三种方法，即凯莱—哈密顿定理由第一种方法可知，2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。

《现代控制理论》课后习题答案(完整版)

第一章习题答案
1-1
解：系统的模拟结构图如下：
系统的状态方程如下：
阿
令，则
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
1-2
解：由图，令，输出量
有电路原理可知：既得
写成矢量矩阵形式为：
1-3
1-4 两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
当时，
解之得令得
当时，
解之得令得
当时，
解之得令得
约旦标准型
1-10
试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结
（2）并联联结
1-11
求系统的闭环传递函数解：
求系统的闭环传递函数解：
1-12已知差分方程为
试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为
（1）
解法1：
解法2：
求T,使得得所以
解：系统的状态空间表达式如下所示：
1-5
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令，则有
相应的模拟结构图如下：
1-6
解：
1-7
‘
（1）画出其模拟结构图
（2）求系统的传递函数解：
（2）
1-8
（3）（3）
解：A的特征方程
解得：令得
（或-9
（2）
解：A的特征方程

现代控制理论课后习题答案

现代控制理论课后习题答案第⼀章习题1.2求下列多项式矩阵()s D 和()s N 的两个不同的gcrd:()2223(),()1232s s s s s s s s s ??++== ? ?+-??D N 解：()()22232321s s s s s s s++ =++ ? ?D S N S ； ()3r 2,1,2E -：223381s s s s s s ??++ ?-- ? ???；()3r 2,3,3E ：223051s s s s s ??++ ?- ? ???；()3r 1,3,2E s --：01051s s ?? ?- ? ；()3r 2,1,5E s -：01001s ?? ?；()3r 3,1,1E -：01000s ?? ? ? ???；()1r 2,3E ：01000s ?? ? ? ???；()1r 1,2E ：00100s ?? ?；所以⼀个gcrd 为001s ??；取任⼀单模矩阵预制相乘即可得另⼀个gcrd 。

1.9 求转移矩阵t A e (1)已知1141??=A ，根据拉⽒反变换求解转移矩阵tA e 。

(2) 已知412102113-?? ?= ? ?-??A ，根据C-H 有限项展开法求解转移矩阵t A e 。

解：(1)11()41s s s --??-= ?--??I A1110.50.50.250.2511(3)(1)(3)(1)13131()4141110.50.5(3)(1)(3)(1)(3)(1)3131s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s --+---+-+??-+-+ ? ?-=== ? ?---+ ?-+ ? ?-+-+-+-+?I A 3311330.5e 0.5e 0.25e 0.25e e ()e e 0.5e 0.5e t t t t t t tt t s ------??+-??=-= ??? ?-+?A L I A (2)由2412()12(1)(3)0113λλλλλλ--?? ?=--=--= ? ?--??A I -，得1,233,1λλ== 对1,23λ=，可以计算1,2()2rank λ=A I -，所以该特征值的⼏何重数为1。

《现代控制理论》第三版_.习题答案

或者
1 0 0 3 1 0 5 2 1 52 7 1 5 2 70 125 3 5 7 5 0 0 1 1 B 2 ； 2 5 5
1 0 a1 0 0 1 0 1 0 0 1 a2 3 7 5
0 B 0 1
C (b0 a0bn ) (bn1 an1bn ) 2 1 0
3 1 a 或者 2 2 1 a1 0 a0
e At I At 1 22 1 33 A t A t 2! 3! t2 t4 t6 t3 t5 1 4 16 64 , 4 16 t 2! 4! 6! 3! 5! 3 5 2 4 6 t t t t t t 4 16 64 , 1 4 16 64 3! 5! 2! 4! 6!
0 0 1 B M 1 0 0 0 0 1 M2
1 0 B 1 M1 B1 M2
1 B1 M1 B1 B2 M2
0
0 0 1 0 C 0 0 0 1
1－5. 根据微分方程，写状态方程，画模拟结构图。
1 a2 a2 2 a1 3 2 a a a 1 2 2 a0
1 a2 a1
1 a2
12 b1 b0
b3 b 2 b1 1 b0
凯莱哈密顿法： 1,2 2 j
0 (t ) 1 1 e1t 1 2(e 2 jt e 2 jt ) (t ) 1 2t 4 2 jt 2 jt e j ( e e ) 2 1

现代控制理论第五章(修改版)

5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
5.3
系统镇定问题
一、什么是系统镇定问题１、系统镇定：受控系统 Σ0 = ( A, B, C) 通过反馈使其极点均具有负实部，保证系统为渐近稳定，则称系统是镇定的。２、状态反馈能镇定：受控系统 Σ0 = ( A, B, C) 通过状态反馈使其极点均具有负实部，保证系统为渐近稳定，则称系统是状态反馈能镇定的。３、输出反馈能镇定：受控系统 Σ0 = ( A, B, C) 通过输出反馈使其极点均具有负实部，保证系统为渐近稳定，则称系统是输出反馈能镇定的。４、镇定问题的实质：极点配置问题的特例，要求把闭环系统的极点配置在根平面的左侧，从而保证系统是渐近稳定的。
5.2 极点配置问题
闭环特征多项式为
f (λ ) = λ I − ( A + b K ) = λn + (α n −1 - k n −1 )λn −1 + ... + (α 1 - k1 )λ + α 0 - k 0）（
3) 使闭环极点与给定的期望极点相等,必须满足
f (λ ) = f * (λ )
5.2 极点配置问题
系统的特征根
λI − A =
期望特征多项式
λ
− k0
−1
1 0 0 & x= x + 1 v k 0 2 + k1 y = [1 0]x
= λ2 − (2 + k1 )λ − k 0
λ − 2 − k1
f * (λ ) = (λ − 1 + j )(λ − 1 − j ) = λ2 + 2λ + 2

现代控制理论第5章练习作业

学
M
O
M
M
M
M
M
M
M
O
O
O
O
O
O
O
B. 状态反馈的引入不影响已设计好的状态观测器的特征值;
国
O
O
C
M
国
大
学
中
O
O
C
M
学
国
大
中
M
学
国
大
中
M
学
国
大
中
M
学
国
大
O
中
O
O
O
O
O
O
O
O
C
C
C
C
C
C
C
C
A. 状态观测器的引入不影响状态反馈矩阵所配置的系统特征值；
中
C
O
M
O
大
学
国
中
C
O
M
O
大
学
国
大
学
中
O
O
C
M
国
大
学
学
国
大
中
M
学
国
大
中
C. 状态反馈不能改变不完全能控系统的特征根；
国
O
O
C
M
国
大
学
中
O
O
C
M
国
大
学
中
O
O
C
M
国
大
学
中
O
O
C
M
国
大
学
中
O
O
C
M

(完整word版)《现代控制理论》第3版课后习题答案

《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

U图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。

《现代控制理论》第3版(刘豹-唐万生)课后习题答案

《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：uK K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p pp n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1-2有电路如图1-28所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

L1L2U图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。

《现代控制理论》第三版第五章.习题答案

经线性变换后的状态估计值为： 20 1 0 ˆ ˆ x1 w Gy1 w1 ˆ x 0 1 9 y x3 y 0 0 w2 1
9
w1 20 y w2 9 y y (7) 为得到原系统的状态估计，还要作如下变换： y 0 0 1 w1 20 y ˆ 0 1 0 w2 9 y w2 9 y Tx x 1 0 0 w 20 y y 1
f * ( ) 3 12 2 24 40
所以 K 40 13 1 （3） K KTc 1 4 1.2 0.1
2 5-5（1） M b Ab A b 2 4 0 0 1 0 1 1 5 det M 0 RankM 3 所以系统通过状态反馈能镇定。
1
（2）化为能控标准 I 型
I A 3 11 2 11
0 0
2 TcI A b
1 11
1 0 Ab b 2 1 1 2
2 11
0 10 0 0 1 0 0 0 110 10 0 11 1 0 1 990 100 10 11 11 1
f * ( ) ( r )( 2r ) 2 3r 2r 2
(5) 比较 f ( ) 与 f * ( ) 各项系数得:
2 2 r 2 g1 2r ; g 2 3r 即 G 3 r 反变换到 x 状态下: 3r G TG 2 2r
法二： (1) 检验能观性由于系统属于能观I型，显然能观，

(完整word版)《现代控制理论》第3版课后习题答案

《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

《现代控制理论》课后习题答案5

5.11 已知系统状态方程
⎡1 1⎤ ⎡1⎤ =⎢ x x+⎢ ⎥u ⎥ ⎣0 1⎦ ⎣1⎦
计算状态反馈增益矩阵，使得闭环极点为 −2 和 −3 ，并画出反馈系统的结构图。答：由 A = ⎢ ⎥ ， B = ⎢1⎥ ，得能控性矩阵为 ⎣0 1⎦ ⎣ ⎦
⎡1 1⎤
⎡1⎤
Γ c ( A, B ) = [ B
rankQoF ≤ rankQo
由于 S o 又可以看成为 S F 的输出反馈系统，因而有
rankQo ≤ rankQoF
由以上两式可得
rankQo = rankQoF
因此，系统 S F 完全能观测等价于 S 0 完全能观测。 5.8 采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是什么？答：采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是，开环系统是能控的。 5.9 采用状态反馈实现闭环极点任意配置，其状态反馈增益矩阵 K 的行数和列数如何确定，计算方法有几种？答：状态反馈增益矩阵 K 的行数是输入变量的个数，列数是状态变量的个数。计算方法有： 1.直接法；2.变换法；3. 利用爱克曼公式求解。 5.10 为什么要进行极点配置？解决系统极点配置问题的思路和步骤是什么？
(λ + 3) 2 = λ 2 + 6λ + 9
⎡ −2 1 ⎤ ⎡0 ⎤ = ( A − BK ) x + Bv = ⎢ x x+ ⎢ ⎥v ⎥ ⎣ −1 −4 ⎦ ⎣1 ⎦
它的单位阶跃响应曲线为：
Step Response 0.12
0.1 System: g Rise Time (sec): 1.3 0.08
m
非奇异的矩阵 U ，使得
Γ cK [( A − BK ), B] = Γ c [ A, B]U 由此可得：若 rank(Γ c [ A, B ]) = n ，即有 n 个线性无关的列向量，则 Γ cK [( A − BK ), B ] 也有 n 个线性无关的列向量，故 rank(Γ cK [( A − BK ), B]) = n

现代控制理论第五章

特征多项式：
sI ( Ac b1 K c ) ( A12 b1K c ) sI ( A bK ) 0 sI Ac sI ( Ac b1 K c ) sI Ac
由此可见，利用状态反馈只能改变系统能控部分的极点，而不能改变不能控部分的极点，也就是说，在此种情况下，不可能任意配置系统的全部极点，这与假设相矛盾，于是系统是完全能控的。
* a1 kn a1 * an 1 k2 a2
* an k1 an
可得状态反馈矩阵：
K k1 k2 * a n an kn
* an 1 an 1 * a1 a1
以上得到了可以对能控标准型进行任意极点配置的状态反馈矩阵。这个矩阵同样能够使原系统配置到所希望的极点。对比：
u r Kx r KP 1 x u r Kx
可得原系统的状态反馈K的表达式为：
K KP
又：
P 1 PA P 1 n 1 P 1A
P 0 0 1 1 0 b
Ab
A b
n 1
1
* K a n an
已知系统的状态空间表达式为：
2 1 1 x' x u 1 1 2 y 1 0 x
试求使状态反馈系统具有极点-1和-2的状态反馈矩阵K。
（1）求原系统的特征多项式
a1 , a2 , , an
（2）求希望系统的特征多项式
a1*, a2 *, , an *
证明：（1）充分性若系统完全能控，则系统可转化为能控标准型
x ' Ax bu y Cx
0 A PAP 1 0 an

现代控制理论第五章答案

M bA b 1 0 1 1 Ra (M n )k 2
满秩，状态反馈可实现极点的任意配置。
（3）若指定极点为-3，-3，求状态反馈矩阵。
设状态反馈矩阵为
Kk1 k2
加入状态反馈矩阵后的系统矩阵为
A b k 0 2 1 1 1 0 k 1 k2 k 1 2 1 1 k2
比较 f () 和 f * ( ) 求出反馈矩阵
2 k3 7
5
k2
16
6
k1
12
所求的状态反馈矩阵为
k3 5
k
2
21
k 1 18
K k 1k 2k 3 1 2 8 5 1
闭环系统的模拟结构图如下：
反馈矩阵K
输出矩阵C
【习题5－5】试判断下列系统通过状态反馈能否镇定
0
0
0
5
1
0 0 0 0 5
4 5 b0 7 0
【解】系统通过状态反馈能否镇定的充要条件是：不能控子系统是渐近稳定的。
该状态空间表达式是约旦标准型，利用约旦标准型能控性判据可知下列状态是不能控的：
第五章主要内容：
§5—1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性主要知识点:
1、状态反馈、输出反馈的基本概念； 2、三种反馈控制系统的基本结构和特点； 3、闭环系统的能控性和能观性。
§ 5—2 极点配置问题
主要知识点: 1、极点配置的基本概念； 2、极点任意配置的条件； 3、极点配置的设计方法。
§5—3 系统镇定问题主要知识点:
a1 a2 1 990 1001011 11 1
10 0 0 0 10 0
0 10 10
1 0 0
Tc11 0
1
0
0 1 1

现代控制理论课后习题答案

前言本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。

本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。

由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。

书中第5、6、8章习题由高立群教授组织编选和解答；第4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、2章由郑艳副教授组织编选和解答。

由于时间比较仓促，可能存在错误，请读者批评、指正。

另外有些题目解法和答案并不唯一，这里一般只给出一种解法和答案。

编者 2005年5月第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。

图P2.1解此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。

也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。

这里采样机理分析法。

设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则212221c c c du u C R u u dt++= (1) 112121c c c du u duC C dt R dt+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：1121121121212111c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：12111211212121212122222221111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪==-⎪⎩即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]11210x y u x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。

现代控制理论第5章答案

现代控制理论第五章习题答案5-1已知系统状态方程为：111001101011x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。

解：依题意有：2011012112M bAbA b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3r a n k M =，系统能控。

系统0(,,)A b C =∑的特征多项式为： 332(1)(1)1321I A λλλλλλ-=---+=-++则将系统写成能控标准I 型，则有010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦。

引入状态反馈后，系统的状态方程为：()x A bK x bu =++ ，其中3K ⨯为1矩阵，设[]012K k k k =，则系统(,,)KA bK C =∑的特征多项式为：32210()det[()](3)(2)(1)f I A bK k k k λλλλλ=-+=+--+-+-根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：*32()(1)(2)(3)6116f λλλλλλλ=+++=+++比较*()()f f λλ与各对应项系数，可解得：012599k k k =-=-=-，则有：[]-5-9-9K =。

5-3有系统：[]21001110x x u y x-⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦= （1）画出模拟结构图。

（2）若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？（3）若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。

解（1）系统模拟结构图如下：（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统(,,)A b C =∑完全能控。

1110011,01011A b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对于系统0(,,)A b C =∑有：[]0111M b Ab ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦2rankM =，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。

（3）系统(,,)A b C =∑的特征多项式为：2(2)(1)32I A λλλλλ-=++=++则将系统写成能控标准I 型，则有010231x x u⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦。

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