现代控制理论-第5章 线性控制系统的可控性和可观测性
现代控制理论线性控制系统的能控与能观性
I
A
n
（24）
例 系统方程如下，试判断系统的能控性
x
2
0
0 5
x
1 2u
y 0 1x
解
C rankCA
0 rank0
1 5
1
不满秩，故系统不能观测。
能观测性判据
定理3-12 如果（18）式描述的系统的A 阵特征值 λi互异，经过
非奇异线性变换成为对角阵，则系统为能观测的充分必要条件是C
λ1 、λ2 、…、 λk 分别为 l1 重、l2 重、…、 lk 重。
k
且 li n ，λi λj ，(i j) 经过非奇异线性变换，得到约当阵 i 1
J1
0
x
J2
x Bu
0
J
k
y Cx
λi 1
0
Ji
λi
1
0
λi
则系统能观测的充分必要条件是矩阵 C 中与每一个约当子块第一列
控的充分必要条件是，对A 的所有特征值 λi，都有
rank[λi I A B] n (i 1,2,, n)
（10）
定理3-4 （2）式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值 λi 互异，
(i 1,2,, n) 将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵
λ1
0
x
λ2
x Bu
（11）
0
能控性及其判据
2）如果在有限时间区间[t0 , t1 ] 内，存在容许控制 u(t) ，使系统从
状态空间坐标原点推向预先指定的状态 x(t1) ，则称系统是状态能
达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能控
性和能达性是等价的。
3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控 的。
《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性
将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所
现代控制理论-第5章 线性控制系统的可控性和可观测性
V(x)必有一个二次型矩阵与之对应，同理，一个实对
称矩阵必有一个二次型函数。
3.赛尔维斯特准则：二次型函数V(x)正定的充要条件 是：二次型矩阵P的主、子行列式的值为正；若二次 型矩阵P的主、子行列式的值非负，则V(x)半正定。
例题.证明V(x)为正定函数
V (x) 10x12 4x22 x32 2x1x2 2x2 x3 4x1x3
x1
x1 )
x2 (
g L
sin
x1 )
g L
( sin
x1
x2 )
0
p11 p12 p1n x1
V (x) xT px x1
x2
xn
p12 p22 p2n
x2
pn1
pn2
pnn
xn
2.二次型矩阵： P为二次型矩阵。一个二次型函数
x2 (x1 x2 ) x1x2
解： （1）求xe
(2)设V(x)
(x1 x2 ) x22 0 (x1 x2 ) x1x2 0 x1 x2 0
(3)求 V (x)
V (x) x12 x22
V (x) 2x1 x1 2x2 x2 2(x1 x2 )2
4 p12 1
p12 1/ 4
p11 3 p12 2 p22 0
p11 5 / 4
2 p12 6 p22 1
p22 1/ 4
4 1
P
§8.4 线性系统的可控性和可观测性
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a）
(b)
(c)
图 8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别
对图 8-20 所示的结构图，其中，由图 8.20（a）显见， x1 受 u 的控制，但 x2 与 u 无关， 故系统不可控。系统输出量 y = x1 ，但 x1 是受 x2 影响的， y 能间接获得 x2 的信息，故系统 是可观测的。图 8.20（b）中所示的 x1 、, x2 均受 u 的控制，故系统可控，但 y 与 x2 无关，故 系统不可观测。图 8.20（c）中所示的 x1 、 x2 均受 u 的控制，且在 y 中均能观测到 x1 、 x2 ，
（8-94）
可控性矩阵为
S2 = ⎡⎣G Φ G L Φ n-1G ⎤⎦
（8-95）
⎡u(n −1)⎤
Δ x = ⎣⎡G
ΦG
L
Φ n−1G ⎤⎦
⎢ ⎢
M
⎥ ⎥
⎢⎣u(0) ⎥⎦
（8-96）
该阵为 n × np 矩阵，由于列向量 u(n −1),L, u(0) 构成的控制列向量是 np 维的，式（8-96） 含有 n 个方程和 np 个待求的控制量。由于 Δx 是任意的，根据解存在定理，矩阵 S2 的秩为 n
⎡ u0 ⎤
n−1
∑ e− Atf Δ x = Ambum = ⎡⎣b m=0
Ab
L
An−1b ⎤⎦
⎢ ⎢ ⎢
u1 M
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣un
−1
⎥ ⎦
(8-103)
现代控制理论5_可控可观
⎡ r11 ⎢ ⎢
L
r1p ⎤ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
x&3 x&4
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢ ⎢ ⎢
λ1 λ4
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
x3 x4
⎥ ⎥ ⎥
+
⎢ ⎢ ⎢
M
⎥
M
⎥u ⎥
⎢ ⎢ ⎢⎣
M x&n
⎥ ⎥ ⎥⎦
⎢ ⎢ ⎢⎣
O
⎥⎢ ⎥⎢
M
⎥ ⎥
λn ⎥⎦ ⎢⎣ xn ⎥⎦
⎢ ⎢ ⎢⎣rn1
L
⎥ ⎥ rnp ⎥⎦
例1：
CA
⎥ ⎥=n
⎢M⎥
⎢ ⎣
C
A
n
−1
⎥ ⎦
或者
n为矩阵A的维数。
rank [V ] = rank ⎣⎡CT A T CT L ( A T )n−1 CT ⎦⎤ = n
例
⎡ ⎢ ⎣
x&1 x&2
⎤ ⎥ ⎦
=
A
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
+
Bu
y = Cx
(1)
A
=
⎡−2
⎢ ⎣
0
0⎤ −1⎥⎦ ,
B
=
⎥⎦
S是一个右下角三角阵，其对角线元素均为1， 故detS≠0，所以系统一定可控。
2.2 对角标准型的可控性判别
特征值互异
x& = Λx+Bu
⎡λ1 0 L 0 ⎤
Λ
=
⎢ ⎢ ⎢
0 M
λ2 M
L O
0
⎥ ⎥
M⎥
⎢ ⎣
0
0
L
现代控制理论线性控制系统的能控性与能观性基础知识资料PPT课件
u(t)
x(t0 )
x2
x0 x(t f ) 0
所有非零状态
x0 在t0 时刻能控 系统在t0 时刻完全能控
所有时刻
系统一致能控
x1
x(t1)
t0
x(t2 )
t1
线性定常 系统的能 控性与 t0 无关
t
t2
第11页/共45页
x(t0 ) 0 x(t1) 0 x(t0 ) 0 x(t1) 0
第1页/共45页
能控性和能观测性的基本概念：
20世纪60年代初，由卡尔曼提出， 与状态空间描述相对应。
卡尔曼
能控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。 输入能否控制状态（控制问题）
能观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。 状态能否由输出反映（估计问题）
第2页/共45页
由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出 关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有 “能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能 控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，或只存在使任意初 态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到 的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。
a2
1 a2 a1 a22
rankM 3 n 故系统的状态完全能控！
此形式的状态方程为能控标准型
第35页/共45页
[例] 判别如下系统的能控性
x1 1 2 2 x1 2
x 2
0
1
1
x2
0
u
x3 1 0 1 x3 1
[解]：
2 4 0
M b Ab A2b 0 1
0 0 2
3
4 1 0
线性定常连续系统的可控性和可观性
其中X 为n×1阶矢量,U 为r×1阶矢量,G 为n×n 阶矩阵,H 为
n×r 阶可控矩阵,那么离散系统(5-14)可控的充要条件是可控
判别阵:
的秩等于n。
第5章 系统的可控性和可观性
例5-5-已知某离散系统的系统矩阵G 和输入矩阵H 分别
为
试分析系统可控性。
解
我们可以从 M 阵的前3个列明显看出,Rank(M)=3=n,即
注意:Σc1 中的βi 与Σc2 中的βi 不是同一数值。
第5章 系统的可控性和可观性
Σc1 的模拟结构图如图5-4所示,Σc2 的模拟结构图如图5-5
所示。
图5-4 可控Ⅰ型模拟结构图
第5章 系统的可控性和可观性
图5-5-可控Ⅱ型模拟结构图
第5章 系统的可控性和可观性
Σc1(Ac1,bc1,Cc1)和Σc2(Ac2,bc2,Cc2)之所以称为可控型,主要
先看式(5-33):
第5章 系统的可控性和可观性
第5章 系统的可控性和可观性
再看式(5-34),两边同时左乘Tc2 ,得新关系Tc2 bc2=b。将
式(5-30)的Tc2和式(5-26)
的bc2代入,很容易就得以证明。
再看式(5-35),有
实际上,该式只给出Cc2的计算公式,Cc2没有像Ac2,bc2那样的固
第5章 系统的可控性和可观性
定理5.7 系统完全可观的充要条件是可观判别阵
的秩为n。
第5章 系统的可控性和可观性
例5-6 判别系统
的可观性。
解
因为 Rank(M)=2=n,所以系统可观。
第5章 系统的可控性和可观性
5.4 离散时间系统的可观性
定义5.4 考虑如下线性定常离散系统:
可控性与可观性
现
代 控
一. 可控性判据
制 理 论
定理1：
若定义连续时间系统A, B的n*(np)可控矩阵
Sc B AB A2B
An1B
则系统状态完全可控（或系统可控）的充要条件是：
该系统的可控性矩阵满秩，即 rankSc n
Modern Control Theory
Page: 4
连续时间系统状态例完全题可控的条件
（3）系统可控。 （4）系统不可控。
Modern Control Theory
Page: 7
定理3 在S平面上状态完全可控的条件
现
代 控
状态完全可控的条件也可用传递函数或传递矩
制 阵描述。
理
论ห้องสมุดไป่ตู้
状态完全可控性的充分必要条件是在传递函数
或传递矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那
么在相约的模态上，系统不可控。
x
5 u
0 0 1 7
（3）
（4）
7 0 0 0 1
7 0 0 0 1
x
0
5
0
x
4
0 u
x
0
5
0
x
0
0 u
0 0 1 7 5
0 0 1 7 5
解：
（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。
（2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。
现
代
【例】判别可观测性
控 制 理 论
（1） （2）
4 5 1
x
1
0 x 1 u
2 1 1
x 1
3
x
1
u
线控-5（可控、可观）
第4章线性系统的能控性与能观测性本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
系统的可控、可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还是在实际应用中都是很有用的。
1第章线性系统的能控性与能观测性4.1 能控性和能观测性的定义(4.1)线性连续系统的能控性判据44.2 (4.2)4.3 线性连续系统的能观测性判据(4.3)4.5 能控规范型和能观测规范型(4.8,4.9)4.4 对偶性(4.6)24.6 连续时间线性时不变系统的结构分解(4.10)4.1 能控性和能观测性的定义一．能控性与能观测性的物理概念系统的可控性是指系统内的所有状态是否可以由输入影响。
系统可观性，是指系统内的所有状态是否可以由输出反映。
�能控性问题:已知某系统的当前时刻及其状态,是否存在一个容许控制使得系统在该控制的作用下于有,限时间后到达某希望的待定状态?�能观性问题:已知某系统及其在某时间段上的输出,可否依据这一时间段上的输出决定系统这一时间段上的状态?3例4-1：给定系统的状态空间描述为1122401052x x ux x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦̇̇[]1206x y x ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦结构图表明：通过控制量u 可以控制状态x 1和x 2，所图4-1 系统结构图4以系统完全能控；但输出y 只能反映状态变量x 2，不能反映状态变量x 1，所以系统不完全能观测。
二．能控性定义1．状态可控考虑n 维线性时变系统的状态方程[]0001()()()=t t x A t x B t u x t x t T T t t =+=∈̇取定初始时刻，一个非零初始状态x (t 0) t T t ∈0=x 0，如果存在一个时刻和一个无约束的容许控制u (t )，，使状态由x (t 0)=x 0转移到x (t 1)=0，则称此x 0是在时刻t 0可011,t t T t t >∈01[,]t t t ∈5控的.x 0t 0x 初始状态31()0t =x 1t 无约束容许控制2x 01(),[,]t t t t ∈u 1x 000⇒在t 时刻可控系统在t 时刻可控x 6⇒所有时刻都可控系统一致可控．系统可控2考虑n 维线性时变系统的状态方程00()()()t x A t x B t u x t x t T =+=∈̇如果状态空间中的所有非零状态都是在t 0（）时刻可控的，则称系统在时刻t 0是t T t ∈0完全可控的，简称系统在时刻t 0可控。
现代控制技术可控性和可观性PPT课件
[u(t
)
]
y(t) 1
0
x1 x2
(t) (t)
F＝e 0.1A
I 0.1A
0.0 1A 2 2!
An (0.1)n n!
1 0
0.1
1
>> a=[0 1；0 0]； b=expm(a*0.1) ——matlab语句
G＝
T 0
e At Bdt＝
0.1 0
L1[(sI
A)-1 ]Bdt
lim xˆ (t) lim x(t)
t
t
第20页/共59页
状态观测器
通过输出计算得到的系统状态，显然是一个估计值，如果对状态估 计的很准，通过极点配置法，就可以得到比较理想的控制系统。 预报观测器
xˆ(k 1) Fxˆ(k) Gu(k) K[y(k) Cxˆ(k)]
未来状态的估计值＝
x(0 )
t1 eA B u( )d
0
t1 0
n1
ci ( )AiBu( )d
i0
n1
AiB
i0
t1 0
ci
(
)u(
)d
令
i
(t1
)＝
t1 0
ci
(
)u(
)d
n1
x(0 ) AiBi (t1 )
i0
写成矩阵形式
0 (t)
x(0 )＝ B
AB
A n1B
1
(t
)
n-1 (t)
解：被控对像的微分方程为
d2y(t)/dt2=u(t)
令 x1(t)=y(t)，x2(t)= dx1(t)/dt=dy(t)/t 有 dx2(t)/dt＝d2y(t)/dt2=u(t)
现代控制工程五
1
R4
) x2
17
可控性矩阵为S b Ab
1
L
0
1(
RR 12
L2 R R
RR 34
R R
)
1
2
1(
R 2
3
R 4
4 )
LC R R
1
2
R R
3
4
当 R R R R 时，rankS 2 n，系统可控；
14
23
反之当 R R R R ，即电桥处于平衡状态时，
14
23
rankS rankb
u 0
b
Ab
A b n1
u 1
记 S b Ab
An1b
un1
其状态可控的充分必要条件是 rankS n
（2）多输入系统 x Ax Bu
记可控性矩阵 S B AB
An1B
其状态可控的充要条件为 rankS n
或 det S ST 0
16
例8-32 试用可控性判据判断图8-20所示桥式电路的可控性。
1
,
x 2
u 1 C c 2
i 2
dt
2
状态方程为
x1
1 R1C1
x1
1 R1C1
u
x2
1 R2C2
x2
1 R2C2
u
19
于是 rankb
1
Ab
RC rank 1 1
1
RC 22
1 R2C
2
1
1
1
R2C 2 22
当 R C R C 时，系统可控。
11
22
当
R 1
R 2
，C 1
线性系统的可控性与可观性
可控性可观测性例题
【例】
y 1 0 x
1 0 0 x x u 0 2 2
解：上述动态方程可写成：
1 x1 x 2 2 x 2 2u x y x 1
输入u不能控制状态变量 x1，所以状态变量 x 1 是不可控的； 从输出方程看，输出y不能反映状态变量
n 1
a1 a 0
则A满足特征方程
f (A) A
证明 证明:
n
a n 1 A
n 1
a1 A a 0 I 0
Ax Bu x x (t ) (t to ) x (t0 )
tf t0
x ( t 0 ) ( t 0 )Bu ( )d
x(t) 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出 的变化过程 输出方程描述由状态变化所引起的输出
y(t ) 的变化。
可控性和可观性回答：“输入能否控制系统状态的变化”——可控性 状 变化能否 输 反映 观性 “状态的变化能否由输出反映”——可观性 可控性和可观性的概念是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出, 是经典控 制进入现代控制理论的标志之 。 制进入现代控制理论的标志之一。
x (t0 )
tf t0
m 0
n 1
A
m
B
t t0
f
m
( t 0 ) u ( ) d
tf t0
[ B 0 ( t 0 ) u ( )d A B 1 ( t 0 ) u ( )d A
u0 u AB An 1 B ) 1 u n 1
线性系统的可控性与可观性
线性系统的可控性和可观性
线性系统的可控性和可观性摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。
本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。
本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。
通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。
关键词:线性系统；可控性；可观性Linear system controllability and observabilityHou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin HuanAbstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form of linear system controllability and observability of the standard normal form, and the system controllability and observability criterion for a detailed description. This study is beneficial to the linear system controllability and observability of knowledge have a better understanding of the further study of modern control theory provides a solid foundation, through summarized the relevant knowledge for the future of learning Study provides a good method. Through which a large number of learning and application of advanced mathematics, applied mathematics can improve awareness of the problem solving and capacity-related.Key words: Linear system ；Controllable ；Observability0 引言在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。
现代控制理论线性控制系统的能控与能观性
判断线性控制系统稳定性的方法有多 种，如劳斯判据、赫尔维茨判据等。
03
能控性与能观性概念
能控性概念
能控性是指对于一个线性控制系统，如果存在一个控 制输入，使得状态变量从任意初始状态能够被驱动到
任意目标状态，则称该系统是能控的。
能控性的判断依据是系统的能控性矩阵，如果该矩阵 非奇异，则系统是能控的，否则系统不能控。
线性控制系统是控制系统的一种重要 类型，其能控性和能观性是评价系统 性能的重要指标。
研究意义
能控性和能观性是现代控制理论中的基本概念，对线性控制系统的分析和设计具有重要意义。
研究线性控制系统的能控性和能观性有助于深入了解系统的动态行为，为优化控制策略和控制系统的 稳定性提供理论支持。
02
线性控制系统基础
04
线性控制系统的能控性分析
能控性的判断方法
矩阵判据
通过判断线性系统的状态矩阵是否满足能控性矩阵的 条件，从而判断系统的能控性。
传递函数判据
根据线性系统的传递函数，通过分析其极点和零点， 判断系统的能控性。
状态方程判据
通过分析线性系统的状态方程，判断其是否具有能控 性。
能控性的改善方法
增加控制输入
能观性分析
能观性分析在智能交通系统中同样重要，它 有助于确定交通系统的状态是否能被其传感 器完全监测。这涉及到对传感器精度、道路 条件以及传感器布局等因素的考虑。
07
结论与展望
研究结论
1
线性控制系统能控性与能观性是现代控制理论中 的重要概念，对于系统的分析和设计具有重要意 义。
2
通过研究线性控制系统的能控性和能观性，可以 深入了解系统的动态特性和行为，为控制系统设 计和优化提供理论支持。
重庆大学现代控制工程线性系统的可控性和可观性
第四章 线性系统的可控性和可观性§4-1 问题的提出经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念. 现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的.状态方程描述输入)(t u 引起状态)(t x 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出)(t y 的变化.可控性和可观性正是定性地分别描述输入)(t u 对状态)(t x 的控制能力，输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力.它们分别回答： “输入能否控制状态的变化”——可控性“状态的变化能否由输出反映出来”——可观性可控性和可观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的.可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的.例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入)(t u ，使状态达到预期的轨线.就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入)(t u ，当然就无法实现最优控制.另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息.可是状态)(t x 的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的)(t y 中估计出状态)(t x ；如果输出)(t y 不能完全反映系统的状态)(t x ，那么就无法实现对状态的估计.状态空间表达式是对系统的一种完全的描述.判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式.【例如】（1）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=202001 ， []x y 01= 分析：上述动态方程写成方程组形式：⎪⎩⎪⎨⎧=+==1221122x y u x x x x 从状态方程来看，输入u 不能控制状态变量1x ，所以状态变量1x 是不可控的；从输出方程看，输出y 不能反映状态变量2x ，所以状态变量2x 是不能观测的.即状态变量1x 不可控、可观测；状态变量2x 可控、不可观测.（2）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=112001 ， []x y 11= 分析：上述动态方程写成方程组形式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=2122112x x y u x x u x x 由于状态变量1x 、2x 都受控于输入u ，所以系统是可控的；输出y 能反映状态变量1x ，又能反映状态变量2x 的变化，所以系统是可观测的.即状态变量1x 可控、可观测；状态变量2x 可控、可观测.（3）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111001 ， []x y 11= 分析：上述动态方程写成方程组形式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=212211x x y u x xu x x 从状态方程看，输入u 能对状态变量1x 、2x 施加影响，似乎该系统的所有状态变量都是可控的；从输出方程看，输出y 能反映状态变量1x ，2x 的变化，似乎系统是可观测的.实际上，这个系统的两个状态变量既不是完全可控的，也不是完全可观测的.要解释和说明这一情况，就必须首先弄清楚可控性和可观性的严格定义及判别方法.§4-2 线性定常连续系统的可控性一、线性定常连续系统状态可控性的定义定义4.1（状态可控性定义）：对于线性定常系统Bu Ax x+= ，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在],[0f t t 有限时间间隔内，使得系统从某一初始状态)(0t x 转移到指定的任一终端状态)(f t x ，则称此状态是可控的.若系统的所有状态都是可控的，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的.关于可控性定义的说明：（1）上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明.假如相平面中的P 点能在输入的作用下转移到任一指定状态n P P P ,,,21 ，那么相平面上的P 点是可控状态.假如可控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入)(t u ，使得在有限时间间隔内，将此状态转移到状态空间中的任一指定状态，则该系统称为状态完全可控.（2）在可控性定义中，把系统的初始状态取为状态空间中的任意有限点)(0t x ，而终端状态也规定为状态空间中的任意点)(f t x ，这种定义方式不便于写成解析形式.为了便于数学处理，而又不失一般性，我们把上面的可控性定义分两种情况叙述：①把系统的初始状态规定为状态空间中的任意非零点，而终端目标规定为状态空间中的原点.于是原可控性定义可表述为：对于给定的线性定常系统Bu Ax x+= ，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在],[0f t t 有限时间间隔内，将系统由任意非零初始状态)(0t x 转移到零状态)(f t x ，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的.②把系统的初始状态规定为状态空间的原点，即0)(0=t x ，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下：对于给定的线性定常系统Bu Ax x+= ，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在],[0f t t 有限时间间隔内，将系统由零初始状态)(0t x 转移到任一指定的非零终端状态)(f t x ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。
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二.线性定常系统V(x)的选取方法
1.任意选取法
例系统如下，判别其稳定性 解：
x1
x2
0 2
1 x1
3
x2
0 xe 0
x2 (x1 x2 ) x1x2
解： （1）求xe
(2)设V(x)
(x1 x2 ) x22 0 (x1 x2 ) x1x2 0 x1 x2 0
(3)求 V (x)
V (x) x12 x22
V (x) 2x1 x1 2x2 x2 2(x1 x2 )2
V(x)必有一个二次型矩阵与之对应，同理，一个实对
称矩阵必有一个二次型函数。
3.赛尔维斯特准则：二次型函数V(x)正定的充要条件 是：二次型矩阵P的主、子行列式的值为正；若二次 型矩阵P的主、子行列式的值非负，则V(x)半正定。
例题.证明V(x)为正定函数
V (x) 10x12 4x22 x32 2x1x2 2x2 x3 4x1x3
x(t) → xe ，则xe称为渐近稳定。 5. 若平衡状态xe是渐近稳定的，且S(δ)包括整个状态空间，则xe称
为大范围稳定。
6.无论实数δ选得多小，由初态引起的系统响应随时间增加都要脱离 S(ε)球域，则称为不稳定。
7.等幅振荡，只要幅值不超过S(ε)球域，则xe在李雅普诺夫意义下 是稳定的。
8.对线性定常系统， xe唯一，故对全系统而言只有一种稳定性情况， 而对非线性系统或时变系统，有不同的平衡点就有不同的稳定性。 此时仅研究不同平衡状态下的各自的稳定性。
三.正定函数
1.正定函数V(x)： （1） V(x)对向量x中各分量可连续偏微分 （2）当x≠0时， V(x)>0 （3）仅在x=0时， V(x)=0 2.正半定函数 （2）当x≠0时， V(x)>=0 3.负定函数 （2）当x≠0时， V(x)<0 4.负定函数 （2）当x≠0时， V(x)<=0 5.不定函数： V(x)的值可正、可负。
大于零。
例系统如下，判别其稳定性
x1 x2
x2 2x1 3x2
x1 x2 0
AT P PA I
x1
x2
0 2
1 x1
3
x2
0 2 p11
1
3
p21
p12 p22
例.判断下列函数的正定性
1.V (x) x12 x22 2.V (x) (x1 x2 )2 3.V (x) x12 (3x1 x22 )2 4.V (x) x1x22 x22
四.二次型函数
1.定义：具有下列形式的函数称为二次型函数，其中 P为实对称矩阵。
(1)V (x) x12 x22
V (x) 2x1 x1 2x2 x2 2x1x2 2x2 (2x1 3x2 ) 6x22 2x1x2
(2)V (x) 2x12 x22
V (x) 4x1 x1 2x2 x2 4x1x2 2x2 (2x1 3x2 ) 6x22
第五章 线性系统的稳定性
第一节 概述
一.平衡状态
设系统的状态方程为
x f (x) Ax
，对所有的时间t，均
存在f(xe)=0，则x=xe称为系统的平衡点。
例.
1 0 (1) x 1 2x 可见：
(2)
x1 x1
x2 x1 x2 x23
4 p12 1
p12 1/ 4
p11 3 p12 2 p22 0
p11 5 / 4
2 p12 6 p22 1
p22 1/ 4
4 1
P
5 1
4 1
4 4
第三节 非线性系统的稳定性
例：
x1 (x1 x2 ) x22
1.对线性定常系统，只要A阵非奇异，xe唯一 2.对非线性系统，xe可以存在多个 3.通过坐标变换，可以讲平衡状态点，转移到原点
二.稳定性的定义
若对任一实数ε >0都存在另一实数δ (ε ,t0)>0，使 得下列不等式成立：
||x0-xe||≤δ ， ||x-xe||≤ ε
设S(δ )是包含满足方程||x0-xe||≤δ 的点的一个 球域，S(ε )是包含满足方程||x0-xe||≤ε 的点的 一个球域。
(4)判稳： 负半定，且除x=0外不恒为零，系统渐近稳 定。也V是(x) 大范围渐近稳定。
例：试判断单摆运动的稳定性
解 (1)建立系统的数学模型
根据动量矩定理：质点的动量 对任意固定点的矩对时间的导 数等于作用于该质点的力对同 一点的力矩
(2)求xe
(3)设V(x)
(4)求
V (x)
(5)判稳
V (x)
定理说明
1. V(x)是由系统状态变量所构成的二次型函数,代 表系统的能量。
2.若系统的平衡点不在原点，可用坐标变换使平衡 点处于原点。
3.判据仅是充分条件，即找到了满足上述条件的 V(x)，则系统稳定，若找不到V(x)，不能说明系 统不稳定。
4.对线性定常系统而言，只要是渐近稳定就一定是 大范围渐近稳定
x1
x1 )
x2 (
g L
sin
x1 )
g L
( sin
x1
x2 )
0
d (mvL) mgLsin dt
v L
g
sin
L
x1 , x2
x1 x2
x2
g L
sin
x1
x2 0
g L
sin
x1
0
x1 x2 0
V
(x)
1 2
x22
g L
(1
cos x1)
V
(x)
x2
x2
g L
(
sin
2.若 是负半定的，且除x=0外， 不恒为零，则系 统在V原(x) 点处的平衡状态是渐近稳定的。V(x若) 随着x的增加， V(x)→∞，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定 的。
3.若 是负半定的，则系统在原点处的平衡状态是李雅 普诺V夫 (x)意义下的稳定。
4.若 是正定的，或者若 是正半定的，且除x=0外， 不恒V为(x) 零，则系统在原点处的V (平x) 衡状态是不稳定的。
则对应于每一个S(ε )，都存在一个S(δ )，使得当 t无限增加时，从S(δ )出发的状态，其轨迹均不超 出S(ε )，则系统的平衡状态称为李雅普诺夫意义 下是稳定的。
说明：
1.x是t>t0时的状态变量，xe是平衡状态，x0是t=t0时的初态 2.欧几里德范数 x xe (x1 xe1)2 (x2 xe2 )2 (xn xen)2 3.若δ 和ε 均与初始时间t0无关，则xe为一致稳定 4.若平衡状态xe是稳定的，且当t→∞时，由初态引起的系统响应
V (x) x1(10x1 x2 2x3 ) x2 (x1 4x2 x3 ) x3 (2x1 x2 x3 )
10 1 2 x1
x1 x2 x3 1
4
1
x2
2 1 1 x3
10 1 2
P
1
4 1Hale Waihona Puke 2 1 1 10 1
p11 10 0, 1
39 0, P 17 0 4
第二节 李雅普诺夫判稳法
一.定理：设系统
x
Ax
，且x0=0是系统的平衡状态。构
造一个正定的标量函数V(x)，且V(x)连续一阶可微，则
1.若 是负定的，则系统在原点处的平衡状态是渐近稳 定的。V(x若) 随着x的增加， V(x)→∞，则系统在原点处的平 衡状态是大范围渐近稳定的。
p11 p12 p1n x1
V (x) xT px x1
x2
xn
p12
p22
p2n
x2
pn1
pn2
pnn
xn
2.二次型矩阵： P为二次型矩阵。一个二次型函数
2.计算法求V(x)
设系统
x Ax
设 V (x) xT Px
则
V
(x)
xT
Px
xT
P
x
xT AT Px xT PAx
xT ( AT P PA)x
令
AT P PA I
可见：此时设 为负定，只要证明V(x)为正定即可。
根据赛尔维斯特V准(x)则，可以反求P阵为主子行列式的值均