第二章 投影基础

幻灯片1第二章投影基础第一节正投影及三视图一、正投影法(一)投影的概念在日常生活中，人们可以看到，当太阳或灯光照射物体时，墙壁上或地面上会出现物体的影子，这就是投影现象。

投影法是将这一现象加以科学总结而产生的。

投射线通过空间物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法。

如图2-1所示，平面H称为投影面，S称为投射中心，SAa、SBb、SCc称为投射线，△abc为空间△ABC 在投影面H上的投影。

图2-1 中心投影法幻灯片2(二)投影法的分类投影法分为中心投影法和平行投影法。

1．中心投影法投射线汇交于一点的投影方法称为中心投影法，所得投影称为中心投影，如图2-1所示。

2．平行投影法若将投射中心移至无穷远处，则所有的投射线相互平行。

投射线相互平行的投影法称为平行投影法。

在平行投影法中，根据投射线是否垂直于投影面，又分正投影法和斜投影法。

(1)正投影法投射线与投影面垂直的平行投影法称为正投影法，所得投影称为正投影，如图2-2(a)所示。

(2)斜投影法投射线与投影面倾斜的平行投影法称为斜投影法，所得投影称为斜投影，如图2-2(b)所示。

正投影能准确地表达物体的形状和大小，度量性好，作图简单，在工程图样中被广泛应用。

本课程的后续章节中，除有特别说明外，提到的“投影”均指“正投影”。

幻灯片3图2-2 平行投影法幻灯片4（三）正投影的基本特性分析直线段和平面图形的正投影，如图2-3，可得出如下性质。

1．真实性当直线段或平面图形平行于投影面时，其投影反映实长或实形。

2. 积聚性当直线段或平面图形垂直于投影面时，其投影积聚成为一点或一直线。

3．类似性当直线段或平面图形倾斜于投影面时，直线段的投影比实长缩短，平面的投影面积缩小，形状与原平面图形类似。

图2-3 正投影的基本特性幻灯片5二、形体的三视图空间形体具有长、宽、高三个方向的形状，而形体相对投影面正放时得到的单面正投影图只能反映形体两个方向的形状。

如图2-4所示，两个不同形体的投影图相同，说明形体的一个投影不能完全确定其空间形状。

图2-4 不同形体具有相同的投影图幻灯片6为了完整、准确的表达形体的形状，常设置多个相互垂直的投影面，将形体分别向这些投影面进行投射，得到多面正投影图，综合起来，便能将形体各部分的形状表示清楚。

三视图是将形体向三个相互垂直的投影面投射所得的一组正投影图。

下面将说明三视图的形成及其投影规律。

(一)三面投影体系设置三个相互垂直的投影面，称为三面投影体系，如图2-5所示。

直立在观察者正对面的投影面称为正立投影面，简称正面，用V表示。

处于水平位置的投影面称为水平投影面，简称水平面，用H表示。

右边分别与正面和水平面垂直的投影面称为侧立投影面，简称侧面，用W表示。

三个投影面的交线OX、OY、OZ称为投影轴，O点称为三面投影体系的原点。

OX轴代表长度尺寸和左右位置（正向为左）；OY轴代表宽度尺寸和前后位置（正向为前）；OZ轴代表高度尺寸和上下位置（正向为上）。

图2-5 三面投影体系的建立幻灯片7（二）三视图的形成将形体在三投影面体系中放正，使其上尽量多的表面与投影面平行，用正投影法分别向V、H、W面投射，即得到形体的三面正投影，如图2-6(a)所示。

从前向后投射，在V面上得到形体的正面投影，也称主视图；从上向下投射，在H面上得到形体的水平投影，也称俯视图；从左向右投射，在W面上得到形体的侧面投影，也称左视图。

图2-6 三视图的形成幻灯片8将三面投影体系展开，如图2-6(b)，正立投影面V不动，水平投影面H绕OX轴向下旋转90°，侧立投影面W绕OZ轴向右旋转90°。

使V、H、W三个投影面展开在同一平面内，如图2-6(c)。

图2-6 三视图的形成幻灯片9实际绘制形体的三视图时，不必画投影面和投影轴，如图2-6(d)。

图2-6 三视图的形成幻灯片10（三）三视图的投影关系1．位置关系以主视图为基准，俯视图在它的正下方，左视图在它的正右方。

2．尺寸关系主视图与俯视图长度相等且左右对正；主视图与左视图高度相等且上下对齐；俯视图与左视图宽度相等。

即主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等。

“长对正、高平齐、宽相等”又称“三等”规律，反映了三视图之间的关系。

不仅针对形体的总体尺寸，形体上的任一几何元素都符合此规律。

绘制三视图时，应从遵循形体上每一点、线、面的“三等”出发，来保证形体三视图的尺寸关系。

3．方位关系主、俯视图反映形体各部分之间的左右位置；主、左视图反映形体各部分之间的上下位置；俯、左视图反映形体各部分之间的前后位置。

画图及读图时，要特别注意俯、左视图的前后对应关系：俯、左视图远离主视图的一侧为形体的前面，靠近主视图的一侧为形体的后面。

幻灯片11实例训练【例2-2-1】绘制图2-7(a)所示形体的三视图（一）形体分析图2-7(a)所示形体由底板和竖板组成。

其中底板前方切出方槽，竖板上方左右各切去一个三棱柱。

图2-7 画形体的三视图幻灯片12（二）选择主视图形体要放正，使其上尽量多的表面与投影面平行或垂直；选择主视图的投射方向，使之能较多地反映形体各部分的形状和相对位置。

（三）作图1．画基准线选定形体长、宽、高三个方向上的作图基准，分别画出它们在三个视图中的投影, 以便于度量尺寸和视图定位，如图2-7（b）。

通常以形体的对称面、底面或端面为基准。

图2-7 画形体的三视图幻灯片132．画底稿如图2-7（c）、（d）、(e)，一般先画主体，再画细节。

这时一定要注意遵循“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律，特别是俯、左视图之间的宽度尺寸关系和前、后方位关系要正确。

图2-7 画形体的三视图幻灯片142．画底稿如图2-7（c）、（d）、(e)，一般先画主体，再画细节。

这时一定要注意遵循“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律，特别是俯、左视图之间的宽度尺寸关系和前、后方位关系要正确。

3．检查、改错，擦去多余图线，描深图形如图2-7（f）。

图2-7 画形体的三视图幻灯片15幻灯片16幻灯片17幻灯片18幻灯片19幻灯片20幻灯片21幻灯片22第二节形体上点、直线、平面的投影点、线、面是构成形体的基本几何元素，本节将对这些几何元素的投影作进一步的分析，为以后的画图和读图奠定基础。

一、点的投影（一）点的三面投影如图2-8(a)所示，设空间点A是三面投影体系中的一点，按正投影法将点A分别向H、V、W面作垂线，其垂足即为点A的水平投影a、正面投影a'（用相应小写字母加一撇表示）和侧面投影a"（用相应的小写字母加两撇表示）。

图2-8 点的三面投影幻灯片23将三面投影体系展开，即得到A点的三面投影图，如图2-8(b)、(c)所示。

在点的投影图中一般不画出投影面的边界线，不标出投影面的名称，也可省略标注aX、aYH、aYW 和aZ；而应画出坐标轴OX、OY、OZ（简称X、Y、Z轴）及点的投影a、a'、a"，并用细实线画出点的三面投影之间的连线，称为投影连线。

图2-8 点的三面投影幻灯片24如图2-8所示，点在三投影面体系中的投影规律为：(1) 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即a a'⊥OX；(2) 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a'a"⊥OZ；(3) 点的水平投影到OX轴的距离和点的侧面投影到OZ轴的距离都等于该点到V 面的距离，即aa x=a"az。

画点的投影图时，为保证aax=a"az，可由原点O出发作一条45°的辅助线，如图2-9（a）。

也可采用图2-9（b）所示的方法利用圆规作图。

图2-9 点的三面投影图画法幻灯片25实例训练【例2-2-1】已知A、B、C三点的两面投影，求作第三面投影，见图2-10（a）。

图2-10 由点的两面投影求作第三面投影幻灯片26（1）由a' 和a"求a，依据a'a⊥OX 和aaX=a"aZ，由a"作OYW 的垂线与45°辅助线相交，自交点作OYH 的垂线，与自a'所作OX的垂线相交，交点即为a。

（2）由b'和b求b"，点的正面投影由X、Z坐标决定，由于b'在X 轴上，即B点的Z 坐标为零，由b可知，B点的X、Y 坐标不为零，则B 点为H 面上一点，和其水平投影重合，b"必在OYW 上，依据bbX=b"bZ，由b作OYH 的垂线与45°辅助线相交，自交点作OYW 的垂线，垂足即为b"。

（3）C 点的侧面投影和原点重合，容易想象到C 点在X 轴上，而X轴是V 面和H 面的交线，则空间点C 和其正面投影c' 均与水平投影c重合。

图2-10由点的两面投影求作第三面投影幻灯片27（二）点的坐标若把三投影面体系看作直角坐标系，H、V、W面为坐标面，O X、O Y、O Z轴为坐标轴，O为坐标原点，则点A到三个投影面的距离可以用直角坐标表示：点A到H面的距离A a=点A的z坐标值，且A a=a'a x=a"a y；点A到V面的距离A a'=点A的y坐标值，且A a'=a a x=a"a z；点A到W面的距离A a"=点A的x坐标值，且A a"=a a y=a'a z；由上述关系可知，点A 的位置可由其坐标（x、y、z）确定，且唯一。

因此，已知一点的三个坐标，就可作出该点的三面投影。

幻灯片28实例训练【例2-2-2】已知空间点A(20，14，24)，求作它的三面投影图。

作图步骤如图2-11所示。

图2-11 由点的坐标作点的三面投影图幻灯片29（1）画坐标轴，由原点O向左沿O X轴量取20m m得a x；（2）过a x作O X轴的垂线；在垂线上自a x向下（O Y H方向）量取14m m得a；在垂线上自a x向上(O Z方向）量取24m m得a′；（3）由a、a′求得a"。

图2-11 由点的坐标作点的三面投影图幻灯片30（三）两点的相对位置两点的相对位置是指以两点中的某一点为基准，另一点相对该点的上、下、左、右、前、后的位置。

两点的相对位置可由投影图判断。

也可依据两点的坐标关系来判断：X坐标大者在左；Y坐标大者在前；Z坐标大者在上。

在图2-12中，若以点B作为基准，则点A在点B的左面（x A＞x B）、前面（y A＞y B）、上面（z A＞z B）。

图2-12 两点的相对位置幻灯片31在特殊情况下，当两点位于某一投影面的同一条投射线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为该投影面的重影点。

显然，两点在某一投影面上的投影重合时，它们必有两对相等的坐标。