第二章 正面投影的基本知识

平行两线段之比=各同面投影之比
例1：判断图中两条直线是否平行。
b
a c
a
c
d
对于一般位置直
线，只要有两个同面
投影互相平行，空间
两直线就平行。
bd
AB//CD
例2：判断图中两条直线是否平行。
c
a d
b
c a
对于特殊位置直线，
只有两个同面投影互相
d b
平行，空间直线不一定
c b
●
d
●c
两平行直 线
c
●
a●
● b ●b
a● ●c
两相交 直线
c
●
a●
● b ●b a●
●c
平面 图形
2.4.2 平面的投影特性:
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
倾斜
投 影特性
实形性 ★ 平面平行投影面-----投影现实形
★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线 积聚性
★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面
轴 的 直 线 ？
一般位置直线
s S s
a
A
s
a
a
s s
a a
s
a
投影特性
三个投影都缩短。即: 都不反映空间 线段的实长，且与三根投影轴都倾斜。
2.3.4 直线上的点的投影特性:
◆ 若点在直线上, 则 点的投影必定在该直线 的同面投影上。
a
k
b
K
A
a
k
◆同一直线上的两线段
例 已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
ax
a● 解法二:
45。线
用圆规直接 量取
aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
三、点A的三个投影与其坐标之间的关系
点A的空间位置 A（x，y，z）
点A的三个投影 a （x，y） a （x，z） a （y，z）
B1
注意：投影不等于影子
a ’
A A1 A2
4、工程上常用的几种投影
1）多面正投影
V
V
H
H
特点：
优点：反映实形、度量性好、作图简便、利于图示和图解。 缺点：直观性和立体感差，难以想象。
2）轴测图（单面投影图） 正轴测图：用正投影法得到的； 斜轴测图：用斜投影法得到的。
特点： 直观性和立 体感较好。 但作图较、 度量性较。
e f EF
e(f )
ef
侧垂线
e f e(f) ●
b
b
d
●
a(b)
c
ef
投影特性
① 在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长。且平行
于相应的投影轴。
从属于一个投影面的直线
?
1
2
、 从
、 从
属
属
于
于
V
H
面 的 水 平 线 ？
面 铅 垂 线 ？
Y
3
、 从 属 于
●
a
●
1
3(4 )
d
★ 投影的“交点”是两
直线上的一 对重影点的
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， 投影，用其可帮助判断 Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。 两直线的空间位置。
例：试判断两根水管AB和CD的相对位置，
并判别可见性
c’
b’
a’
d’
c’ 2’
4 c’ C
b’
3’(4’)d’ Ⅰ
B
3 3’b’
a’ A a
Ⅱ
D d
a 点A的正面投影
a 点A的水平投影
V a●
三面投 Z 影体系
a 点A的侧面投影 X
A
●
● a
o
W
a●
空间点用大写字母 H
表示，点的投影用
Y
小写字母表示
三视图的投影规律
高平齐
长对正
宽相等
高 度 长度
二、点A的三视图及其投影规律
Z
V
W
a(x,z) ●
az
a(y,z) ●
不动
向后翻
Z
V a(x,z) ●
Z
V
a(x,z)
az
●
X ax
A(x,y,z)
●
O
●
a(x,y)
点的任意两个投影反
H
映了该点的三个坐标
●
W ay
Y
例 已知点B(10,20,30)，求其三个投 影b 、b和b。
b’ Z b”
30
YW
X
10 O
20
b YH
2.2.3点的相对位置
点在空间位置不同表现在坐标
有差异，而点的投影能反映该
c●
k
a
d
先作正面投影
a
d
k c●
例2：见P36图2-26示
a’ Z a”
d’ d”
b
c’ k’ b’
X a
c”k”b”Y O
ck
d
b
YH
三、交叉两直线
两直线相交吗
d
a
1(2 )
3
●
投影特性：
●
● 4
c
b ★ 同面投影可能相交，
但 “交点”不符合空间
c 2●
b 一个点的投影规律。
Z
点的坐标，则A、B两点的坐标
a ●
a
●
y
z
差，能反映两点的相对位置。b●
● b
X
o
以点A为参考点，则
x
B点对AX点（的相 对0 坐）标为： ● a●
b
y YW
Y（0）
YH
Z（0）
点B在点A的左、前、下方
重影点
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。
a
a b
a
b
b
侧平线
a
a 实长
b
b
a
a
实长
b
投 影 特b 性a
b
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
且与投影轴倾斜。
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
投影面垂直线
a
A
b
a
B
b
a (b)
铅垂线
a
a
c (d)
D C d c
d
c
正垂线
c(d) d c ●
W面上 侧面投影 左视图
三视图的展开
V面保持不动
V
WV
H
H面向下旋转90。
三视图的方位关系
上
上
左
右后
前
下
下
后
后
上
左
右
左
前
右 前
下
课 堂
练
习
§2—2 点的投影
2.2.1 空间点的一面投影
a’
a ’
A A1 A2
A
注意：空间点和其投影在图上的标记
2.2.2 点的三面投影
一、空间点A在三个投影面上的投影
自然现象
投射线汇交一点。
V
图形随距离变化而变化。
a’
V
投影面
A
投射线
S
2）平行投影法
投射线相互平行。 正投影： 投射线垂直于投影面。 斜投影： 投射线与投影面倾斜。
V
性质： ①显实性
②积聚性； ③类似性。
3、投影的可逆要求
只有物体的一个投影是
a’
A
b’ c’
C
A1
不能知道物体的形状和位置
B
C1
c 课堂练习P8-4
2.3.5 两直线的相对位置:
平行 相交
一、平行两直线
B A
D C
a
cb
H
d
投影特性
交差
b b
a 证明d：a
d
所因以ac：： A平B面//CADB，baA//c平a//面CcCDdc 所以c：abb//cd
d
空间两直线平行，则其所有同名投影必 相互平行。反之亦然。
A、C为哪个投影 面的重影点呢？
A、C为H面的重影点
∴，重影点必须指明相对某平面。
a
a
●
●
c●
● c
●
a (c)
被挡住的投
影加( )
a’（ b’)
B A
练习P7
§2.3 直线的投影
2.3.1 直线空间位置的确定
1. 通过两个已知点 2. 通过一个已知点并与一条已知直线平行(方向）
2.3.2直线投影的画法
k● b
●k b
a k●
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
应用定比定理
a 因c点与k点不重合， 故点K不在AB上。
k● b
a k● c●
I ● II
取aII= a b 取aI = a k
b
例3 已知点K在直线CD上,求点K的正面投影。
c’
k’
X
d’ O
d1 k
C
提示： 利用定比性来作图
1.直线的投影仍然是直线 2.作出直线上两个已知点 的各面投影 3.将两点的同面投影连线
a● b
●
a●
●
b
a
●
● b
2.3.3 直线的投影规律
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
A●
M● B●
●
a（b）（m）
B
●
A●
●b a●
●B
α A●
a●
●b
直线垂直于投影面 投影重合为一点
积聚性
直线平行于投影面 投影反映线段实长
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
c (d)
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
s
a
S

As a
D C
s d
c
a
d c
投影面平行线
a
a b
A
a
a B b
b B
A a
b
ba
b
水平线 实长
a b a b
正平线
a a
b
b
概述： 实际工程中的各种技术图样，都是按一定的投影方
法绘制的，机械工程图样通常是用正投影法绘制。本章 首先学习介绍投影法的基本知识和物体三视图，再讨论 点、线、面等几何元素的投影原理，为学习后面的内容 奠定基础。
§2-1 投影法和三视图的形成
§2-2 点 的 投 影
§2-3 直 线 的 投 影
§2-4 平 面 的 投 影
本章教学目标要求: 1.熟悉投影法的基本知识及三视图的对应关系。 2.掌握点的投影及投影规律。 3.掌握线、面的投影特性。 本章重点难点：
投影法和点、线、面的投影特性。
§2.1 投影法和三视图的形成
2.1.1投影法的基本知识
一、投影的形成
1、投影法：物体在投影面的产生影像
（图形）的方法。
1）中心投影法
ab=AB 显实性
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=ABcosα 类似性
⒉ 直线在三个投影面体系中的投影特性
直线在三投影面体系中的位置
a b
a A
正平线（平行于Ｖ面）
B b
a
投影面平行线
侧平线（平行于Ｗ面）
b
平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线
与其余两投影面倾斜
正垂线（垂直于Ｖ面）
积聚性
a
投影特性：
b
b
类似性
c c a
一 斜
线
c b
对
铅垂面
两 框
水平投影积聚成一直线, 该直线与X轴、Y轴倾斜。
另外两个投影具有类似性。
三种位置的投影 面垂直面：
a
c b
c
b
a
a
a
b
正垂面
c
a
a
b
b
c c a
c
b
铅垂面
b
b
a c c
c
侧垂面
b
2) 投影面平行面(—水平面)
类似性
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性
平面在三投影面体系中的位置
正垂面
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
投影面垂直面
侧垂面 铅垂面
特殊位置平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
正平面
投影面平行面 侧平面
水平面
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
1) 投影面垂直面(--铅垂面)
类似性
是什么位置 的平面？ a
平行。
da
求出侧面投影后可知：
如何判断？
求出侧面投影 AB与CD不平行
二、相交两直线
C
B
K
A
D
c
b
b c
k
k
a
d d
a
a
d
k
c
d
b
a
Hc
k b
投影特性
若空间两直线相交，则其同面投影必
相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。反之亦然。
例1：过C点作水平线CD与AB相交。
b
B
a b
长度之比等于其投影长度 之比。即：
k b
AK/KB=ak/kb= ak / kb= ak / kb
定比定理
例1 判断点C是否在线段AB上。
①
c
b
a
b ac
② a
c
b
ac b
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
例2：判断点K是否在线段AB上。
a
a
另一判断法?
az
X ax
O ay YW X ax
A(x,y,z)
●
●
O
W
●
a(x,y)
ay
●
a(x,y)
ay
H
向下翻 H
Y
aa⊥OX轴，YH a'az= aay
a和a反映X坐标
aa⊥OZ轴, aax= a”ay
a和a反映Z坐标
aax= aaz,;
a和a反映Y坐标
结论：相邻两面投影的连线⊥所夹的轴，不相邻两面投影不⊥
a’ 1’(4’)d’
c 2(1)
b
X a
OX
d
a
O 2 4d
c
b
c (1) 3
b
§2.4 平面的投影 2.4.1 平面的表示法:
用几何元素表示平面
c
●
c
●
a●
a●
a●
c
●
d
●
● b
● b
●b
●b
a●
a●
● c
不在同一 直线上的 三个点
● c
直线及 线外一 点
● b ●b
a●
a
3) 一般位置平面
b
b
c
c 投影特性：
a b
a 三个投影都类似。
a
c
三框对应
2.4.3 属于平面内的直线和点:
a’
一、 平面内取直线1’
a′
c′ b’
2’
4’
′
1′
2′
b′
3’
c
判断直线c在’平面
2 a
内的方法
d’
a′ 1′
c′
′
2′
b′ c
a
2
1
b
1
b
a
定b 理 一
过平面内的两个
已知点，则该直 c
线必在该平面内。
定理二
过平面上的一个已知 点，且d 平行于该平面 内的一已知直线，则 此直线在该平面内。
积聚性
a b c a c b
积聚性
两平行线对一框
a
实形性
b
投影特性：
c
水平面
水平投影反映实形。
另两个投影分别积聚成与相应的投影 轴平行的直线。
三种位置的投影 面平行面：
b
b
a
a
c
Fra Baidu bibliotekc
a b c a c b
a
c 水平面
b
c
c
b
b
a
a
b
a
b c 正平面
c
侧平面
V 3）透视投影（透视图、透视） 特点： 直观性和立体很感； 但作图很繁、度量性很差
S
4）标高投影（地质地形图） 该图以水平面为投影面，对形状复杂的曲面（如））按一定的高
度（5m)、一定的比例向水平面投影而得到的图形。
2.1.2：三视图的形成及其投影规律
投影面
两个形状不同的形体在
同一个投影面上的投影
却是相同的。
怎样才能准确地表 达该物体的形状？
增加水平位置的投 影面及投影
采用多 面投影
三投影面体系 主视 图
◆正面投影面（简称正
面或V面）
V
◆水平投影面（简称水
平面或H面）
◆侧面投影面（简称侧
面或W面）
三个投影面两两 互相垂直
左视图
形体的三个投影 V面上 正面投影
H面上 水平投影
主视 图
俯视图
俯视图