平均自由程和概率分布
气体分子平均自由程
子间的引力，但考虑了分子斥力起作用时两个分子质心间的距离，即考虑了 分子的体积，而不象理想气体，忽略了分子本身的大小。
4
自由程 ： 分子两次相邻碰撞之间自由通过 的路程 .
5
气体分子平均自由程（mean free path） 平均自由程λ 为分子在连续两次碰撞之间所自 由走过的路程的平均值。
dN K exp( Kx)dx N0
18
由分子自由程的概率分布可求平均自由程 dN K exp( Kx)dx N0
1 K exp( Kx) xdx K 0
dN Kdx N
N Kdx Ln N
0 0
x
N N 0 exp( Kx )
17
N N 0 exp( Kx )
表示从 x =0 处射出了刚被碰撞过的N0个分子，它们 行进到 x 处所残存的分子数 N 按指数衰减。 对上式之右式两边微分，得到
既然（-dN ）表示 N0 个分子中自由程为 x 到x + dx 的平均分子数，则（-dN /N0 ）是分子的自由程在 x 到 x + dx范围内的概率。这就是分子自由程的概率分布。 即分子按自由程分布的规律。
Z 2 π d vn
2
v 1 2 z 2π d n
当气体较稀薄时
p nkT
1 T 一定时 p
kT 2π d 2 p
p 一定时
T
11
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程 10 和碰撞频率。取分子的有效直径 d 3.5 10 m 已知空气的平均相对分子量为29。 解： 标准状态下
《气体分子运动的统计规律》 讲义
《气体分子运动的统计规律》讲义一、气体分子的热运动在我们的日常生活中，气体无处不在，比如我们呼吸的空气、充满气球的氢气等。
那么，这些气体分子是如何运动的呢？气体分子处于永不停息的无规则运动之中，这种运动被称为热运动。
想象一下，在一个封闭的容器中，充满了气体分子，它们就像一群顽皮的孩子，四处乱跑，相互碰撞，没有固定的方向和轨迹。
气体分子的热运动具有以下几个特点：速度的多样性：不同的气体分子具有不同的速度。
有的分子运动速度快，有的则慢。
无规则性：它们的运动方向是随机的，无法预测下一刻某个分子会往哪个方向跑。
频繁的碰撞：分子之间会不断地发生碰撞，这使得它们的运动状态不断改变。
二、气体分子运动的统计规律既然气体分子的运动如此复杂和无规则，那我们要如何去描述和理解它们的整体行为呢？这就需要依靠统计规律。
什么是统计规律呢？简单来说，就是通过对大量个体行为的观察和分析，总结出的总体的、平均的规律。
对于气体分子，我们无法确切知道每个分子在每一时刻的具体运动状态，但我们可以通过统计方法来了解它们的一些总体特征。
比如，我们可以统计在一定温度和压强下，气体分子的速度分布情况。
麦克斯韦速度分布律就是描述气体分子速度分布的重要规律。
它告诉我们，在一定条件下，气体分子的速度分布呈现出一定的规律性，速度较小和较大的分子较少，而具有中等速度的分子较多。
再比如，气体分子对容器壁的压强，也是通过对大量分子撞击容器壁的行为进行统计得出的。
三、麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律是描述气体分子运动速度分布的关键规律。
假设在一个容器中充满了理想气体，处于平衡态。
麦克斯韦速度分布律表明，分子速度在三个方向上（x、y、z）的分量的分布都是独立的，且满足一定的概率分布。
具体来说，速度分量 vx 的分布函数为 f(vx) ， vy 和 vz 的分布函数类似。
通过对这些分布函数的积分，可以得到分子速度的大小 v 的分布函数 f(v) 。
麦克斯韦速度分布律在许多方面都有重要的应用。
分子的平均碰撞次数及平均自由程
较大的分子数较少，能量较小的分子数较多。 （3）在大小相等的各区间（坐标区间和速度区间）中比较，
分子总是处于低能态的概率大些。 （4）分布在某一坐标区间具有各种速度的分子总数只与坐标
区间的间隔成正比，与粒子的能量无关。 （Ａ）只有(1),(2)是正确的； （B）只有(2),(3)是正确的； （Ｃ）只有(1),(2),(3)是正确的；（D）全部是正确的；
(`1) 10-10m (2) 102~103m/s (3) 108~109s-1
v 1.6 RT M mol
T=300K
v kT z 2d 2 P
把 P 1.01105 Pa
z 2d 2vP
kT T 273K 代入即可得到。
8
例6－12 气缸内有一定量的氢气（可视作理想气体），当
温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞次数 z
分子的平均碰撞次数及平均自由程
问题的提出 前面已经说过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什
么食堂炸油饼时并不能马上闻到油香味呢？ 原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞。
1
一、分子的有效直径d
分子的一种最简单的模型：将分子看成是具有一定体积 的弹性小球。
则分子的有效直径d定义为：两个分子质心之间所能允许的 最小距离。
距离小于或等于分子有效直径d的分子都会与A分子发生碰撞。
为此我们以A分子中心的运动轨迹为曲线，以分子直径d
为半径，做一曲折圆柱体，那么，凡分子中心在圆柱体内的
分子，都会与A分子发生碰撞，
z n d 2 u
4
理论证明：气体分子的平均相对速率 u与平均速率 v间有
分子蒸馏技术的原理和应用
分子蒸馏技术的原理和应用分子蒸馏技术的基本原理（一）分子运动平均自由程：任一分子在运动过程中都在不断变化自由程。
在某时间间隔内自由程的平均值为平均自由程。
设Vm＝某一分子的平均速度f ＝碰撞频率λm ＝平均自由程则λm ＝Vm／f∴f＝Vm／λmπd²P由热力学原理可知，f＝(2)½Vm•────KT其中：d－分子有效直径P－分子所处空间的压强T－分子所处环境的温度K－波尔兹曼常数K T则：λm ＝────•────(2)½πd²P（二）分子运动平均自由程的分布规律：分子运动自由程的分布规律为正态分布，其概率公式为：F = 1 - e-λ／λm 其中：F－自由程度≤λm的概率λm－分子运动的平均自由程λ－分子运动自由程由公式可以得出，对于一群相同状态下的运动分子，其自由程等于或大于平均自由程λm的概率为：1 - F = e-λ／λm = e-1 = 36.8%（三）分子蒸馏的基本原理：由分子平均自由程的公式可以看出，不同种类的分子，由于其分子有效直径不同，其平均自由程也不同，换句话说，不同种类的分子溢出液面后不与其它分子碰撞的飞行距离是不同的。
分子蒸馏技术正是利用不同种类分子溢出液面后平均自由程不同的性质实现的。
轻分子的平均自由程大，重分子的平均自由程小，若在离液面小于轻分子的平均自由程而大于重分子平均自由程处设置一冷凝面，使得轻分子落在冷凝面上被冷凝，而重分子因达不到冷凝面而返回原来液面，这样混合物就分离了。
（三）分子蒸馏技术中的相关模型：对于许多物料而言，至今还没有可供实际应用的数学模型来准确地描述分子蒸馏中的变量参数，实际的应用仍靠经验的总结。
但由经验从各种规格蒸发器中获得的蒸发条件，可以安全地推广到生产装置的设计中。
相关的模型有：１、膜形成对于降膜、无机械运动的垂直壁上的膜厚，Nasselt公式为：σm＝（3v2Re/g）1/3其中：σm－名义膜厚［米］v－物料动力粘度［米2•秒-1］g－重力加速度［米•秒-2］Re－雷诺数，无因次Re>400时，该方程成立。
热学气体分子平均自由程
气体分子的碰撞截面
碰撞截面
截面对平均自由程的影响
气体分子间的碰撞截面决定了分子间 的相互作用和碰撞概率。
碰撞截面越大，分子间的碰撞概率越 高，平均自由程越短。
截面大小
不同气体分子间的碰撞截面大小不同， 与分子间的距离和相互作用力有关。
气体分子的能量损失
能量损失
01
气体分子在碰撞过程中会损失能量，导致平均自由程的变化。
特性
与气体分子的速度、气体分子的分布、气体分子的碰撞频率等因素有关。
平均自由程与气体分子碰撞频率的关系
碰撞频率
气体分子在单位时间内所发生的碰撞 次数。
关系
平均自由程与气体分子碰撞频率成反 比，碰撞频率越高，平均自由程越小。
平均自由程在热学中的重要性
热传导
平均自由程是影响气体热传导的重要因素之一，通过 改变平均自由程可以调节气体的热传导性能。
总结词
在高温高压条件下，气体分子间的相互 作用力减弱，分子间的碰撞频率降低， 因此平均自由程较大。
VS
详细描述
在高温高压条件下，气体分子间的平均距 离增大，分子间的碰撞频率减少，导致气 体分子的平均自由程增大。这种情况下， 气体分子的运动受到的相互碰撞的限制较 小，运动路径较长。
04 气体分子平均自由程的影 响因素
探索气体分子平均自由程在极端条件下的行为
研究高温、高压、高密度等极端 条件下气体分子平均自由程的变 化规律，揭示其与温度、压力、
密度的关系。
探讨极端条件下气体分子与障碍 物的相互作用，以及气体分子间 的相互作用，以理解其行为特性。
研究极端条件下气体分子输运性 质的变化，为相关领域的应用提
供理论支持。
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概率分布名词解释
概率分布名词解释概率分布名词解释：【解析】：。
事件A(n)可能的状态的集合，记为{x|Y|Z|w}。
如果{x|Y|Z|w}包含于{X|Y|Z|k|l}，则称{X|Y|Z|k|l}是事件A(n)出现的概率空间。
【详细说明】： 1、多样性：①随机变量的取值集合中，包含数据点数目越大，该随机变量的多样性就越小；②任一随机变量集合中各元素对于该随机变量来说具有相同的统计特征，该随机变量就称为独立。
2、平均数：定义：平均数（ average）是描述一组数据集中位置的统计指标，即对每个数据点所属类型的数据按照数据点的个数计算得到的平均值。
计算公式： a＝（某个数据点的总数/所有数据点的总数）/n。
3、均值：定义：均值（ mean）是描述一组数据集中位置的统计指标，即对每个数据点所属类型的数据按照数据点的个数计算得到的平均值。
计算公式： a＝（数据点的总数/数据点的个数） /n。
4、方差：定义：方差（ variance）是描述一组数据集中位置的统计指标，即对每个数据点所属类型的数据按照数据点的个数计算得到的平均值的离散程度。
计算公式：var=n/n×100，其中var=5、期望：定义：是在参数取值服从正态分布时，预期值与真实值之间的差距。
计算公式：，其中， v=6、方差：定义：方差（ variance）是描述一组数据集中位置的统计指标，即对每个数据点所属类型的数据按照数据点的个数计算得到的平均值的离散程度。
计算公式：var=n/n×100，其中， var=7、协方差：定义：协方差（ covar）是描述两个随机变量间相关程度的统计指标。
定义为：Cov=(EsρEsw)/Esρ，其中Esw=8、方差：定义：方差（ variance）是描述一组数据集中位置的统计指标，即对每个数据点所属类型的数据按照数据点的个数计算得到的平均值的离散程度。
计算公式：var=n/n×100，其中， var=9、期望：定义：是在参数取值服从正态分布时，预期值与真实值之间的差距。
3.5气体分子平均自由程详解
3. 在一容积不变的封闭容器内理想气体分子的平均速率若提高为原来 的2倍，则 (A) 温度和压强都提高为原来的2倍．
(B) 温度为原来的2倍，压强为原来的4倍．
(C) 温度为原来的4倍，压强为原来的2倍． (D)温度和压强都为原来的4倍． 4.
v 446 m 6.9 108 m 9 Z 6.5 10
与分子直径3.5×10-10m相比，标况下是其d的200倍。
第二章复习小结
一、概率的基本性质及求平均值的方法 1等概率性
2运算法则
3平均值公式 4概率分布函数
二、麦克斯韦速率、速度分布
1两种分布曲线 2三种统计速率 3速度空间、代表点 三、重力场中自由粒子分布、等温大气压强公式
经上述分析，存在一个以分子A的质心 为圆心、d为半径垂直于射线束的圆： 所有射向圆区的分子都有不同程度的散 射，而圆外区域分子轨迹不发生偏折。
定义：分子散射截面: d 2
对两个分子有效直径分别为d1和d2的分子，其碰撞截面：
d1 d 2 1 2 d d 1 2 2 4
2
(A) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线； v p O
v (B) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线； v v (C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； v v (D) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； v v
2
2
p H 2 p H 2 p H 2
2
2、分子间平均碰撞频率
分子间平均碰撞频率▬▬单位时间内一个分子的平均碰撞次数。 转换研究对象，现在假设B分子束相对静止，A分子以相对速度v12 运动，其运动发生碰撞的轨迹如图： A分子每碰到一个视为质点的B分子就 改变一次运动方向。
6-3 气体分子速率分布率和平均自由程
100~200
200~300 300~400
0.081
0.165 0.214
400~500
500~600 600~700
0.206
0.151 0.092
700~800
800~900 900以上
0.048
0.021 0.009
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
N 1 由此数据为依据，以v N v 为横轴，以单位速率间隔 21.4% 内的分子数在总分子数内 所占的百分比为纵轴，作 16.5% 如图所示的锯齿形图。注 8.0% 意在速率间隔∆ν内实际包 200 400 括由v到v+∆ν内的所有速率 的分子。
f (v)
平 均 速 率
O
v
v
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
方均根速率：
气体分子速率平方的平均值的平方根。
v
2
N
0
v dN N
2
0
m e v f (v) 4p 2pkT
3 dN 2 2 mv 2 f (v )dv 2 2 kT RT 3kT 3 RT v N m 1.73
dN f (v )dv N
或
dN f (v ) Ndv
分子速率分布函数
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
速率分布函数
dN f (v ) Ndv
a、物理意义： 速率在v 附近的单位速率区间的 分子数占总分子的百分比。 b、应用: 确定分布在任一有限速率分布范围v1～v2 内的分子数占总分子数的百分比。
mv2 2 kT v 2 e
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
气体的平均自由程
气体的平均自由程1.引言气体是一种物质的状态，其分子间距离较大，分子之间互相碰撞，从而导致气体的压力和体积的变化。
在气体中，分子的运动方式主要是直线运动，分子之间的相互碰撞也起到了调控气体性质的作用。
而气体的平均自由程指的是气体分子在连续碰撞之间所行走的平均距离。
2.气体分子的运动在气体状态下，分子以高速无规则运动，具有自由度较大的特点。
气体分子之间存在着各向异性的吸引力和排斥力，这是由分子之间的相互作用力所决定的。
在气体中，分子的运动可以分为两种，即传递运动和总动量守恒运动。
传递运动是指气体分子在各个方向上的直线运动，分子之间不停地互相碰撞。
这种运动是混沌的，难以预测，但总体上表现为均匀分布。
总动量守恒运动是指在两个分子碰撞时总动量守恒不变。
当两个分子相撞时，它们之间会发生弹性碰撞，即动能的转移，但总动量保持不变。
这种运动保证了气体分子的整体运动特性。
3.气体分子的平均自由程定义气体分子之间的碰撞是气体宏观性质（如压力、温度等）的基础。
气体分子的平均自由程是指在连续碰撞之间，气体分子在气体中走过的平均距离。
对于一般气体的分子，它们的平均自由程与气体分子的直径、气体分子的密度以及气体的压力有关。
可以通过下面的公式来计算气体分子的平均自由程（λ）：λ = 1 / (2 * √2 * π * d^2 * N/V)其中，d是分子直径，N是纳瓦特数（即单位体积中分子的数量），V是气体的体积。
需要注意的是，以上公式仅适用于稀薄气体，即气体分子之间的平均距离远大于气体分子的直径的情况。
对于高密度气体（如气体接近液体状态），平均自由程的计算需要考虑分子之间的相互作用力。
4.气体分子的平均自由程与气体性质的关系气体分子的平均自由程是气体性质的重要参数，它与气体的压力、温度以及分子之间的相互作用力密切相关。
在相同温度下，当气体分子的平均自由程较小时，分子之间的碰撞频率较高。
这会导致气体的压力增大，因为分子碰撞对容器壁施加了较大的冲击力。
电子在材料中的非弹性散射平均自由程的理论
温度与掺杂浓度的调控
温度
温度的变化会影响晶格振动的幅度和频率，进而改变电子与声子的相互作用，导致非弹性散射平均自 由程的变化。
掺杂浓度
通过掺杂可以改变材料中的载流子浓度和类型，进而影响电子的非弹性散射过程，实现对平均自由程 的调控。
。
CHAPTER 02
非弹性散射理论基础
费米黄金定则
定义与意义
费米黄金定则是量子力学中描述跃迁概率的基本定理，得名 于意大利物理学家恩里科·费米和美国物理学家戈德堡。它给 出了从一个量子态跃迁到另一个量子态的概率。
在非弹性散射中的应用
在非弹性散射过程中，电子与材料中的粒子（如声子）发生 相互作用，导致电子能量发生变化。费米黄金定则可以用来 计算这种相互作用的概率，从而了解非弹性散射过程的性质 。
CHAPTER 05
平均自由程影响因素与调控
材料晶体结构的影响
1 2 3
晶体结构类型
不同的晶体结构（如立方、六方、四方等）会对 电子的非弹性散射产生不同的影响，进而影响平 均自由程。
晶格常数与原子间距
晶格常数和原子间距的变化会导致电子与晶格相 互作用的强度改变，从而影响非弹性散射平均自 由程。
晶体缺陷与杂质
与弹性散射的区别
与弹性散射不同，非弹性散射中电子与材料之间存在能量交换，而不仅仅是改 变运动方向。
平均自由程概念
平均自由程定义
平均自由程是描述粒子在连要参数。
物理意义
平均自由程反映了材料中散射事件的频繁程度，平均自由程较短意味着粒子在材 料中容易受到散射，输运性质受影响较大。
电子态密度的意义：电子态密度描述了单位能量范围内电子态的 数量，反映了材料中电子的分布情况。它对理解非弹性散射过程 中电子的跃迁和能量传递具有重要意义。
平均自由程和概率分布剖析课件
离散型概率分布
离散型随机变量取各个可能值的概 率分布情况。常见的离散型概率分 布有二项分布、泊松分布等。
连续型概率分布
连续型随机变量在一定区间内取值 的概率分布情况。常见的连续型概 率分布有正态分布、指数分布等。
离散型概率分布举例
二项分布
在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布。记作X~B(n,p)，其中n为试验次数，p为 事件A发生的概率。二项分布的期望和方差分别为np和np(1-p)。
05
数值计算方法及实例展示
蒙特卡罗方法简介
蒙特卡罗方法概述 蒙特卡罗方法是一种以概率统计理论为指导的数值计算方 法，通过随机抽样和统计实验来求解数学问题。
蒙特卡罗方法特点 具有广泛的适用性，可用于解决高维、复杂、非线性等问 题；同时，随着计算机技术的发展，蒙特卡罗方法在各个 领域得到了广泛应用。
平均自由程对概率分布影响机制剖析
碰撞频率
平均自由程的倒数反映了粒子在单位时间内发生碰撞的频率，从而 影响粒子速度、能量等概率分布。
散射角分布
平均自由程与散射角分布密切相关，散射角分布决定了粒子在碰撞 后的运动方向，进而影响空间概率分布。
输运系数
平均自由程参与计算粒子的扩散系数、迁移率等输运系数，这些系数 描述了粒子在介质中的宏观运动特性，与概率分布息息相关。
平均自由程和概率分布剖析 课件
目 录
• 引言 • 平均自由程深入解析 • 概率分布基础概念梳理 • 平均自由程与概率分布关系探讨 • 数值计算方法及实例展示 • 总结与展望
contents
01
引言
课程背景与目的
课程背景
介绍平均自由程和概率分布的研 究历史、应用领域及其在现实生 活中的重要性。
高电压技术知识点总结
•为什么要有高电压：提高输送容量，降低线路损耗，减少工程投资，提高单位走廊输电能力，节省走廊面积，改善电网结构，降低短路电流，加强联网能力。
•电介质：在其中可建立稳定电场而几乎没有电流通过的物质。
•极化：在外电场作用下，电介质内部产生宏观不为零的电偶极矩。
•电介质极化的四种基本类型：电子位移极化，离子位移极化，转向极化，空间电荷极化。
•介电常数：用来衡量绝缘体储存电能的能力，代表电介质的极化程度（对电荷的束缚能力）•液体电介质的相对介电常数影响因素(频率)：频率较低时，偶极分子来得及跟随电场交变转向，介电常数较大，接近直流情况下的εd；频率超过临界值，偶极分子转向跟不上电场的变化，介电常数开始减小，介电常数最终接近于仅由电子位移极化引起的介电常数εz。
•电介质的电导与金属的电导有本质上的区别：金属电导是由金属中固有存在的自由电子造成的。
电介质的电导是带电质点在电场作用下移动造成的。
气体：由电离出来的自由电子、正离子和负离子在电场作用下移动而造成的。
液体：分子发生化学分解形成的带点质点沿电场方向移动而造成的。
固体：分子发生热离解形成的带电质点沿电场方向移动而造成的。
•介质损耗：在电场作用下，电介质由于电导引起的损耗和有损极化损耗，总称为介质损耗。
•电介质的等效电路：电容支路：由真空和无损极化所引起的电流为纯容性。
/阻容支路：由有损极化所引起的电流分为有功和容性无功两部分。
/纯阻支路：由漏导引起的电流，为纯阻性的。
•介质损耗因数tgδ的意义：若tgδ过大会引起严重发热，使材料劣化，甚至可能导致热击穿。
/用于冲击测量的连接电缆，要求tgδ必须小，否则会影响到测量精度/用做绝缘材料的介质，希望tgδ。
在其他场合，可利用tgδ引起的介质发热，如电瓷泥胚的阴干/在绝缘试验中，tgδ的测量是一项基本测量项目•激励：电子从近轨道向远轨道跃迁时，需要一定能量，这个过程叫激励。
•电离：当外界给予的能量很大时，电子可以跳出原子轨道成为自由电子。
大学热学第七讲 平均自由程
量子力学
r h 2 ∇ + U ( r )ψ = Eψ − 2µ
薛 定 谔 (E.Schrodinger) 1887~1961 奥地利人
创立波动力学理论
四. 经典理论的缺陷
1. 振动能对热容量的影响
r h 2 ∇ + U ( r )ψ = Eψ − 2µ
1 2 1 U ( x ) = kx = m ω 2 x 2 2 2
§3.4 能量按自由度均分定理
一. 自由度 二. 能量按自由度均分定理 三. 理想气体的内能 四. 理想气体的热容量 理想气体的热容量 五. 经典理论的缺陷
四. 经典理论的缺陷 物理学发展的重大变革．．．．． 物理学发展的重大变革．．．．．
19世纪末 19世纪末 牛顿力学（海王星38 38） 牛顿力学（海王星38） 电磁学（麦言电磁波存在13 13） 电磁学（麦言电磁波存在13） 热学（唯象热力学和分子运动论） 热学（唯象热力学和分子运动论） 光学 原子物理学（玻尔） 原子物理学（玻尔）
1 = ⋅ (t + r + 2s) R 2
3 单原子分子气体： 单原子分子气体： CV , m = R 2 5 刚性双原子分子气体： 刚性双原子分子气体： CV , m = R 2 7 非刚性双原子分子气体： 非刚性双原子分子气体： CV , m = R 2
与 温 度 无 关
• 在不同温度时双原子气体 H2 的CV,m, 反常行为
气体分子热运动平均动能 气体分子热运动平均动能—— 平均动能——
单原子分子： 单原子分子：
f =t=3
kT εk = f ⋅ 2
3 εk = kT 2
刚性双原子分子： 刚性双原子分子：
f = t +r = 3+2 = 5
平均自由程
结果表明，碰撞后二粒子的 ' O O ' 回旋中心位置 1 、 2 , r r 回旋半径 1 、2 无论怎么发生变化，但是 r1 r2 r1 r2 AA 是不变的！ 这意味着碰撞前后回旋中心连线的中点 M是固定 不动的，因此不引起横越磁场扩散。由此可见， 横越磁场扩散只能是由不同类粒子碰撞引起的。
方程组中消去 u y ，得 u x；则
x
1
T n x n x u x 1 (c )2 m x
D n r 即 式中 D 为垂直磁场方向的扩散系数
D D T 1 2 1 (c ) m 2 1 (c )2 1
（3）粒子磁约束时间与横向扩散系数间的关系 n u D n 已知扩散定律 代入连续性方程
n n u 0 t
得
n D n r , t t
当 D 近似地与r无关时，上式化为
n D 2 n t
2. 输运方程研究粒子扩散
假设流体元无整体平均运动，无外电场，只存在粒 子数密度空间不均匀，则会引起粒子流。动量输运 方程 du
m n dt p n q u B R
再假定温度为常量，则由理想气体状态方程
p T n
对于静态、没有宏观快速流动，粒子流仅由碰撞引 起的缓慢的扩散流，则摩擦阻力可近似地取为 更精确 R 0.51m n u
离子和电子的扩散系数之比（设 Ti Te ）为
De mi i mi Di me e me
2
1
2T D m
2 2
i e me e i mi
1
De me i De De ci i me Di Di ce e Di mi e mi
半导体物理学简答题及答案
复习思考题与自测题第一章1.原子中的电子和晶体中电子受势场作用情况以及运动情况有何不同, 原子中内层电子和外层电子参与共有化运动有何不同。
答：原子中的电子是在原子核与电子库伦相互作用势的束缚作用下以电子云的形式存在，没有一个固定的轨道；而晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子，在晶体周期性势场中运动。
当原子互相靠近结成固体时，各个原子的内层电子仍然组成围绕各原子核的封闭壳层,和孤立原子一样;然而，外层价电子则参与原子间的相互作用，应该把它们看成是属于整个固体的一种新的运动状态。
组成晶体原子的外层电子共有化运动较强，其行为与自由电子相似，称为准自由电子，而内层电子共有化运动较弱，其行为与孤立原子的电子相似。
2.描述半导体中电子运动为什么要引入"有效质量"的概念, 用电子的惯性质量描述能带中电子运动有何局限性。
答：引进有效质量的意义在于它概括了半导体内部势场的作用，使得在解决半导体中电子在外力作用下的运动规律时，可以不涉及半导体内部势场的作用。
惯性质量描述的是真空中的自由电子质量，而不能描述能带中不自由电子的运动，通常在晶体周期性势场作用下的电子惯性运动，成为有效质量3.一般来说, 对应于高能级的能带较宽,而禁带较窄,是否如此，为什么？答：不是，能级的宽窄取决于能带的疏密程度，能级越高能带越密，也就是越窄；而禁带的宽窄取决于掺杂的浓度，掺杂浓度高，禁带就会变窄，掺杂浓度低，禁带就比较宽。
4.有效质量对能带的宽度有什么影响，有人说:"有效质量愈大,能量密度也愈大,因而能带愈窄.是否如此，为什么？答：有效质量与能量函数对于K的二次微商成反比，对宽窄不同的各个能带，1（k）随k的变化情况不同，能带越窄，二次微商越小，有效质量越大，内层电子的能带窄，有效质量大；外层电子的能带宽，有效质量小。
5.简述有效质量与能带结构的关系；答：能带越窄，有效质量越大，能带越宽，有效质量越小。
分子动理论的初步知识
05
分子动理论的应用实例
气体动力学的分子动理论解释涉及分子平均自由程的概念和气体流动的分子碰撞模型。
总结词
在气体动力学中，分子动理论用于解释气体分子的平均自由程和碰撞频率。通过考虑气体分子的速度和碰撞频率，可以建立气体流动的分子碰撞模型，进而研究气体的宏观流动特性。
详细描述
气体动力学的分子动理论解释
温度对分子平均动能的影响
温度是分子平均动能的量度，也就是说，在相同的条件下，温度越高，分子平均动能越大。
分子平均动能与温度的关系
分子平均自由程的定义
分子平均自由程与气体性质的关系
分子碰撞频率与平均自由程的关系
分子平均自由程与气体性质的关系
分子扩散的定义
由于浓度梯度的存在，物质分子会从高浓度区域向低浓度区域进行的自发转移过程称为分子扩散。
xx年xx月xx日
分子动理论的初步知识
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目录
分子动理论概述分子动理论的基本原理分子动理论的数学表述分子动理论的重要结论分子动理论的应用实例
01
分子动理论概述
1
分子动理论的基本概念
2
3
分子动理论是研究气体分子运动规律的物理学分支。
它涉及分子的速度分布、碰撞频率和平均自由程等概念。
分子动理论在科学中的应用
分子动理论在物理学、化学、生物学和其他领域都有广泛的应用。
此外，分子动理论还为化学反应动力学提供了基础，有助于理解反应过程中的分子碰撞和能量转换。
它用于解释气体的物性（如压强、温度和粘度）以及传递现象（如扩散和热传导）。
在生物学领域，分子动理论有助于解释生物大分子的运动和相互作用，为生物医学研究提供了重要支持。
详细描述
在固体导热过程中，热量通过晶格振动（即声子）传递。声子是一种传递热量的粒子，其在固体中扩散并带动热流。分子动理论通过考虑声子的产生和传播来解释固体导热现象。
核反应堆物理分析考试重点复习资料及公式整理
核反应堆物理分析考试重点复习资料及公式整理核反应堆物理复习分析资料整理中⼦核反应类型：势散射、直接相互作⽤、复合核的形成微观截⾯：⼀个粒⼦⼊射到单位⾯积内只含⼀个靶核的靶⼦上所发⽣的反应概率，或表⽰⼀个⼊射粒⼦同单位⾯积靶上⼀个靶核发⽣反应的概率。
宏观截⾯：表征⼀个中⼦与单位体积内原⼦核发⽣核反应的平均概率。
中⼦通量：表⽰单位体积内所有中⼦在单位时间内穿⾏距离的总和。
核反应率：每秒每单位体积内的中⼦与介质原⼦核发⽣作⽤的总次数(统计平均值)。
多普勒效应：由于靶核的热运动随温度的增加⽽增加，所以这时共振峰的宽度将随着温度的上升⽽增加，同时峰值也逐渐减⼩，这种现象称为多普勒效应或多普勒展宽。
截⾯随中⼦能量的变化规律：1）低能区（E<1eV），吸收截⾯随中⼦能量减⼩⽽增⼤，⼤致与中⼦的速度成反⽐，亦称吸收截⾯的1/v区。
2）中能区（1eV10keV）,截⾯⼀般都很⼩，通常⼩于10靶，⽽且截⾯随能量变化也趋于平滑。
中⼦循环：快中⼦倍增系数ε：由⼀个初始裂变中⼦所得到的，慢化到U-238裂变阈能以下的平均中⼦数。
逃脱共振⼏率P：慢化过程中逃脱共振吸收的中⼦所占的份额。
热中⼦利⽤系数f:(燃料吸收的热中⼦数)/（被吸收的全部热中⼦数，包括被燃料，慢化剂，冷却剂，结构材料等所有物质吸收的热衷⼦数）。
有效裂变中⼦数η：燃料每吸收⼀个热中⼦所产⽣的平均裂变中⼦数。
快中⼦不泄漏⼏率Vs：快中⼦没有泄漏出堆芯的⼏率。
热中⼦不泄漏⼏率Vd：热中⼦在扩散过程中没有泄漏出堆芯的⼏率。
四因⼦公式：＝εPfη六因⼦公式：K＝εPfηVsVd直接相互作⽤：⼊射中⼦直接与靶核内的某个核⼦碰撞，使其从核⾥发射出来，⽽中⼦却留在了靶核内的核反应。
中⼦的散射：散射是使中于慢化(即使中⼦的动能减⼩)的主要核反应过程。
⾮弹性散射：中⼦⾸先被靶核吸收⽽形成处于激发态的复合核，然后靶核通过放出中⼦并发射γ射线⽽返回基态。
弹性散射：分为共振弹性散射和势散射。
大学热学第七讲 平均自由程
量子力学
r h 2 ∇ + U ( r )ψ = Eψ − 2µ
薛 定 谔 (E.Schrodinger) 1887~1961 奥地利人
创立波动力学理论
四. 经典理论的缺陷
1. 振动能对热容量的影响
r h 2 ∇ + U ( r )ψ = Eψ − 2µ
1 2 1 U ( x ) = kx = m ω 2 x 2 2 2
普里戈金的早 期工作在化学 期工作在化学 热力学领域 领域， 热力学领域， 1945年得出了 1945年得出了 最小熵产生原 理，此原理和 翁萨格倒易关 系一起为近平
普里戈金以多年的 努力， 努力，试图把最小 熵产生原理延拓到 远离平衡的非线性 区去，但以失败告终， 但以失败告终，
使他认识到系统在远 离平衡态时， 离平衡态时，其热力 学性质可能与平衡态、 学性质可能与平衡态、 近平衡态有重大原则 差别。 差别。以普里戈金为 首的布鲁塞尔学派又 经过多年的努力， 经过多年的努力，终 于建立起一种新的
气体分子热运动平均动能 气体分子热运动平均动能—— 平均动能——
单原子分子： 单原子分子：
f =t=3
kT εk = f ⋅ 2
3 εk = kT 2
刚性双原子分子： 刚性双原子分子：
f = t +r = 3+2 = 5
5 εk = kT 2
非刚性双原子分子： f = t + r + s = 3 + 2 + 1 = 6 非刚性双原子分子：
分子连续两次碰撞之间通过的自由路程的平均值λ 。 分子平均在单位时间内与其他分子相碰的次数 z 。
反映分子间碰撞的频繁程度! 反映分子间碰撞的频繁程度!
原始分布的几个普遍参数
概率分布Bevington & Robinson Ch22016.03.08Probability Distributions• 随机过程和随机变量– 某个过程或实验可能出现多种（有限或者无限种）结果。
在单次实验中，某个特定结果是否出现并不确定。
这个过程称为随机过程(Stochastic Process)，而描述实验结果的量称为随机变量(Random variable)。
• 概率– 多次独立实验中随机变量取某个特定值的次数与总实验次数之比→相对几率– 当总的实验次数足够大（趋于无限多次）时，相对几率趋向定值→概率，大数定理• 概率分布– 概率随着随机变量变化的趋势– 概率密度函数（probability density function, PDF）– 累积分布函数（cumulative distribution function, CDF)Common Distributions• 高斯分布（Gaussian distribution） – 实验结果随机观测值的分布– 目标参数的分布• 泊松分布（Poisson distribution)– 计数实验中单位间隔内事件发生次数的分布 – 数据分组形成直方图• 二项式分布（Binominal distribution ） – 描述有限可能的实验结果中，某个结果出现次数的分布N=10, p=1/2µ=np=5σ2=np(1-p)≈1.58 N=10, p=1/6µ=np≈1.67σ2=np(1-p)≈1.18Coin-toss test Dice toss test例2.3：粒子物理学家做K介子在液态氢中的散射实验测量散射角分布。
在质心系中K介子被向前和向后散射的机会相同。
经过1000次实验之后，观测到472次向前的散射，528次向后散射。
观测结果的不确定性是多少？n=1000, p=1/2σ=[np(1-p)]1/2=2501/2≈15.8f F=(472±15.8)/1000=0.472±0.016f B=(528±15.8)/1000=0.528±0.016p≈472/1000=0.472, q≈528/1000=0.528S=[1000(0.472)(0.528)]1/2=249.21/2≈15.8• 光子从产生地到达恒星表面运动过程– 平均自由程为d，与自由电子经过N次碰撞，离开产生地的平均距离为d*sqrt(N)。
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一．平均碰撞频率和平均自由程的概念
1. 平均碰撞频率（
z
）
单位时间内一个分子与其它分子碰撞的平均次数。
2. 平均自由程（ ）
一个分子在两次连续碰撞间自由运动的平均路程。
在分子的平均速率一定的情况下，分子间的碰撞越频繁， Z 就越大，而 就越小。
二．平均碰撞频率和平均自由程的计算
u
1、平均碰撞频率 z
对于化学纯气体，分子A与其他分子发生碰撞时，可假 定其他分子不动，而分子A以平均相对速率 u 运动。
假定分子的有效直径为d，即两分子的中心距小于或等于 d时发生碰撞。
z
d u t n
2
t
2
d nu
2
可以证明：
u 2v
z 2d nv 2nv
其中 d 2 称为分子碰撞截面。
y
x N,
x dx N dN
残存数
x z 0 0 N0 x t N x+dx t+dt N+dN
dN Ndx
dN Kdx N
dN KNdx
dN Kdx N
N N0e
Kx
N为气体分子行进到x处未被碰撞的分子数（残存数）。
对
N N0e
Kx
求微分
dN Ke Kx dx N0
分子按自由程分布规律
dN Kx Ke p( x) N 0 dx
分子自由程分布概率密度
平均自由程
f ( x) xdx
0
0
1 Kx Ke dx K
P(x) 1/λ
N N0e
1
x
0 x x+dx x
N e N0
x
分子按自程分布规律
x dN 1 e dx N0
气体分子行进到x处未被碰撞的分子数占总 分子数的比率——概率
例：求自由程大于和小于平均自由程的分子概率 解：
N (x ) N0
0
1 e
x
1 dx 0.37 e
N (x ) N0
x 1 e dx 1
u
p nkT ,
v
气体，设气体由两种成分的气体组成。显然：
1 d d ( d1 d 2 ) 2
碰撞截面为
2
1 ( d1 d 2 ) 2 4
z
2d nv12
由上面的证明可知：
v12 v1 v2
2
2
2、平均自由程
v z
1 2 2d n
v z
由
1 2 2d n
得
p nkT
kT 2 2d p
2
z
2d nv
4p mkT
平均自由程 和碰撞频率 Z 态决定的。
的大小是由气体的性质和状
例 : 计算标态下 O2 系统分子的平均碰撞次数和平均自由程。
1 1 0.37 0.63 e
气体分子碰撞的概率分布
一、气体分子的自由程分布
分子间碰撞的平均频率及平均自由程,虽然它们均能表示 分子间碰撞的主要特征，但不能反映分子间碰撞的随机性质。 分子在两次碰撞之间所走过的路程有长有短。为了描述 这种随机性质，必须找到它x到x+dx范围内受到碰撞的概率, 即分子的自由程处于x到x+dx范围内的概率。
10 d 3 . 6 10 (m ) ） （
p 25 3 2.69 10 ( m ) 解： n kT
8 RT v 4.25 10 2 ( m / s ) M z 2d 2 v n 6.85 109 (次/秒) v / z 6.46 10 8 ( m )