理想气体内能 平均自由程

推广：在温度为T 的平衡态下，分子的每一个转动自由度
上也具有相同的平均动能，大小也为kT/2。
能量按自由度均分定理：
在温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度 的平均动能都相等，都等于kT/2。这就是能量 按自由度均分定理，简称能量均分定理。
k
i 2
k=3kT/2
说明：
kT
•是统计规律，只适用于大量分 子组成的系统。 •统计物理可给出严格证明。
b A(x,y,z) a
y
x
说明：一般来说，n≥3个原子组成的分子，共有3n个自由度，
其中3个平动自由度，3个转动自由度，(3n-6)个振动自由度。当 气体处于低温状态时，可把分子视为刚体。
二、能量均分定理：
一个分子的平均平动能为
k
2 x
kt
2 y
3 2
kT
1 2
mv
2
1 2
E＝ m i M 2 RT
E E 2 E1
m i M 2
R (T 2 T1 )
在相同的t时间内，分子由A到 B的位移大小比它的路程小得多
A
B
(路程/时间) (位移量/时间)
扩散速率 平均速率 气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。
分子自由程: 分子碰撞频率:
在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。
y
q
x
z
自由刚体
三个独立的坐标 x,y,z 决定转轴上一点 两个独立的a， b 决定转轴空间位置
一个坐标q 决定刚体转过的角度
i=6 3个平动 3个转动
b A(x,y,z) a
y
刚性杆：
x,y,z,α,β i=5
z
刚体定轴转动：
θ i=1
q
分子的自由度
单原子 i=3 自由质点 双原子 i=5 刚性杆 多原子 i=6 自由刚体
mv
2 x
1 2
mv
1 2
m Hale Waihona Puke z2v1 2
v
2 x
2 y
v
2 z
1 3
v
1 2
2
平方项的平均值
1 2
mv

1 2
mv
2 y

mv
2 z
kT
平动自由度
结论：分子的每一个平动自由度上具有相同的平均平动动
能，都是kT/2 ，或者说分子的平均平动动能3kT/2是均匀地 分配在分子的每一个自由度上
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
•他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论，预言了以光速传播 的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿时代的 《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。 •在气体动理论方面，他还提出气体分子 按速率分布的统计规律。
m 6 . 62 m
大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计 分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。 一、平均碰撞次数 每个分子都是有效直径为d 的弹性小球。 假 定 只有某一个分子A以平均速率 v运动， 其余分子都静止。
d
v
v
A
d

d
d
v
v
A
d 球心在圆柱 体内的分子

d
运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将 与分子A 碰撞
平均自由程

v Z

1 2 d n
2
与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比
p nkT

kT 2d p
2
当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程
气体
(m )
d (m )
氢
1.13 10
7
氮
0.599 10 3.10 10
7
氧
理想气体内能公式
理想气体内能是分子平动动能与转动动能之和
分子的自由度为i，则一个 说明： •理想气体的内能与温度和分子的 分子能量为ikT/2， 1摩尔理 自由度有关。 想气体，有个NA分子，内 •内能仅是温度的函数，即E=E(T)， 能 i i 与P，V无关。 E ＝ kT N A RT 2 2 •状态从T1→T2,不论经过什么过程， m/M摩尔理想气体，内能 内能变化为

1 . 38 10
23
kT 2π d p
273
2 5
2
1
2 π ( 3 . 10 10
10
) 1 . 013 10
23
m 8 . 71 10
8
m
2
1 . 38 10 2 π ( 3 . 10 10
273
2 3
10
) 1 . 333 10
19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。
7－4 能量均分定理 理想气体内能
一、自由度
定义：
确定一个物体的空间位置所需要的独 立坐标数目——自由度。
z O
质点的自由度
直线运动 x 一个自由度 平面运动 x,y 两个自由度 空间运动 x,y,z 三个自由度 i=1 i=2 i=3
0.647 10 2.90 10
7
空气
7.0 10
8
2.30 10
10
10
10
3.70 10
10
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰 撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气
的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013 105 Pa,
448m / s
z


448 6.9 10
8
6.5 10 s
9
1
例 试估计下列两种情况下空气分子的平均自 由程 :（1）273 K、1.013 10 5 Pa 时 ; ( 2 ) 273 K 、 3 10 Pa 时. 1.333 （空气分子有效直径 ： 3 . 10 10 10 m ） d 解
单原子分子 i=3 ε 双原子分子 i=5 ε
k=5kT/2 多原子分子 i=6 ε k=6kT/2
• 气体分子无规则碰撞的结果。
三、理想气体的内能和摩尔热容
1、理想气体的内能： 热力学系统的内能
热力学系统的内能是指气体分子各种形态的动能与势能的总 和。即系统所包含的全部分子的能量总和称为系统的内能。
d 3.5 10
10
m


kT 2d p
2
23
1.38 10
273
10
1.41 3.14 ( 3.5 10
) 1.01 10
5
6.9 10 m
8
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
空气分子在标准状态下 的平均速率
v
v
8 RT
M mol
一秒钟内A 与其它分子 发生碰撞的 平均次数
一秒钟内: 分子A经过路程为 v 2 相应圆柱体体积为 d v 圆柱体内 分子数
d v n
2
Z d v n
2
Z d v n
2
一切分子都在运动
Z
2d v n
2
二、平均自由程
一秒钟内分子A经过路程为 v
一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数 Z