5.3任意角的三角函数
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11 3 tan 6 3 tan 2 tan 6 6 3
11 3 tan 6
.
填表:
角α 0° 90°
2
180°
角α的弧度数
sinα cosα tanα
0
270°
0 1 0
1 0
四 象限角,所以 sin < 0 (2)因为 是第____ 4 4
(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ=0
练习 确定下列三角函数值的符号 1 sin156 >0
16 2 cos cos 2 5 cos 5 0 5 3 cos 450 cos 450 720 cos 270 0 17 7 7 tan 3 tan 4 tan 0 8 8 8 4 4 2 5 sin sin 3 2 sin 3 0 3
5.3任意角的三角函数
【三维目标】
知识与技能： 1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定 义，了解单位圆的定义。 2．学会运用任意角三角函数的定义求相关角 的三角函数值。 过程与方法： 通过学生积极参与知识的“发现”与“形成” 的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概 念的严谨性与科学性。 情感、态度与价值观： 让学生在任意角三角函数概念的形成过程中， 体会函数思想，体会数形结合思想。
+ O
+
x
+
O
x
+
O
-
-
+
+
-
x
sin
cos
tan
知道α终边上任意一点P(x,y),就可以求出角 α的三角函数值.
r x2 y 2
MP x sin , OP r OM y cos , OP r MP y tan OM x
P(x,y)
y
M
α
O x
【教学重点与难点】 重点：任意角的正弦、余弦、正切 函数的定义、定义域以及根据任意 角三角函数的定义求相关角的三角 函数值。
难点：把三角函数理解为以实数为 自变量的函数。
锐角三角函数
?
任意角的三角函数
1、初中所学习的锐角三角函数分别是 怎样规定的？ 斜边
α
邻边
对 边
锐角三角函数
P
斜边 对 边
tan 0. ②
证明:如果①②式都成立,那么θ为第三象限角. 若sinθ<0,那么θ角的终边可能位于第三 或第四象限,也可能位于y轴的非正半轴上 又若tanθ>0,那么θ角的终边可能位于第 一或第三象限. 因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于 第三象限.于是θ为第三象限角
二、互动与探究
6 tan 556
tan 360 196 sin196 0
例2 求下列三角函数值
9 1 sin1480 10; 2 cos ; 4
解:1 sin1480 10 sin 40 10 4 360 sin 40 10 0.6451 9 2 2 cos cos 2 cos 4 4 4 2
0 1 0
1 0
3 2
360°
2 0 1 0
四、课外作业
x
2
三角函数的定义域
sin y cos x y tan x
三角函数
sinα cosα
定义域
R R
{ |
tanα
2
k , k Z }
根据三角函数的定义 ,研究三 角函数值在各个象限的符号
sin y
y
cos x
y tan x
y y
?
任意角的三角函数
y
.P
r
y
（x，y）
O
邻边
x
M
Leabharlann Baidu
x
诱思探究 如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
P(a,b)
﹒
M
O
M
x
M P OP OM OM cos OP OP MP M P tan OM OM MP sin OP
OMP ∽ OM P
角的终边位置发生变化时，比值会改变 吗？ y y
.P
y
（x，y）
r
. O
x
α
x
. O
r
.P
y
（x，y）
αx
x
比值随角的终边的位置变化而 变化。
一、复习引入
利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点P(x,y) (1)y叫做α的正弦,记作sinα, 即 sinα=y (2)x叫做α的余弦,记作cosα, y 即 cosα=x P(x,y) α y x (3) 叫做α正切,记作tanα, A(1,0) x 即 y tan x 0 k k Z
三、展示与点拨
例1 确定下列三角函数值的符号,然后用计算器 验证: 1 cos 250 ; 2 sin ;
3 tan 672
; 4 tan 3 .
4
三 象限角,所以cos250° 解:(1)因为250°是第___ <0 (3)因为tan(-670°)=tan(48°-2×360°)=tan48° 而48°是第一象限角,所以 tan(-672°) > 0
练习：
口答：设α是三角形的一个内角,在sinα, cosα,tanαtan(α/2)那些可能取负值?
0 ,
2
0
2
2
,
sin 0, tan
2
0
cos 0, tan 0
2 求证:当且仅当下列不等式组成立时, 角θ为第三角限角 sin 0, ①
终边相同的角的同一三角函数值相等 公式一
sin k 2 sin cos k 2 cos tan k 2 tan 其中k Z .
角α终边每 绕原点旋转 一周,函数值 将重复出现
可以把求任意角的三角函数值.转化为求0 到2π(或0°至360°)角的三角函数值.
11 3 tan 6
.
填表:
角α 0° 90°
2
180°
角α的弧度数
sinα cosα tanα
0
270°
0 1 0
1 0
四 象限角,所以 sin < 0 (2)因为 是第____ 4 4
(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ=0
练习 确定下列三角函数值的符号 1 sin156 >0
16 2 cos cos 2 5 cos 5 0 5 3 cos 450 cos 450 720 cos 270 0 17 7 7 tan 3 tan 4 tan 0 8 8 8 4 4 2 5 sin sin 3 2 sin 3 0 3
5.3任意角的三角函数
【三维目标】
知识与技能： 1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定 义，了解单位圆的定义。 2．学会运用任意角三角函数的定义求相关角 的三角函数值。 过程与方法： 通过学生积极参与知识的“发现”与“形成” 的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概 念的严谨性与科学性。 情感、态度与价值观： 让学生在任意角三角函数概念的形成过程中， 体会函数思想，体会数形结合思想。
+ O
+
x
+
O
x
+
O
-
-
+
+
-
x
sin
cos
tan
知道α终边上任意一点P(x,y),就可以求出角 α的三角函数值.
r x2 y 2
MP x sin , OP r OM y cos , OP r MP y tan OM x
P(x,y)
y
M
α
O x
【教学重点与难点】 重点：任意角的正弦、余弦、正切 函数的定义、定义域以及根据任意 角三角函数的定义求相关角的三角 函数值。
难点：把三角函数理解为以实数为 自变量的函数。
锐角三角函数
?
任意角的三角函数
1、初中所学习的锐角三角函数分别是 怎样规定的？ 斜边
α
邻边
对 边
锐角三角函数
P
斜边 对 边
tan 0. ②
证明:如果①②式都成立,那么θ为第三象限角. 若sinθ<0,那么θ角的终边可能位于第三 或第四象限,也可能位于y轴的非正半轴上 又若tanθ>0,那么θ角的终边可能位于第 一或第三象限. 因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于 第三象限.于是θ为第三象限角
二、互动与探究
6 tan 556
tan 360 196 sin196 0
例2 求下列三角函数值
9 1 sin1480 10; 2 cos ; 4
解:1 sin1480 10 sin 40 10 4 360 sin 40 10 0.6451 9 2 2 cos cos 2 cos 4 4 4 2
0 1 0
1 0
3 2
360°
2 0 1 0
四、课外作业
x
2
三角函数的定义域
sin y cos x y tan x
三角函数
sinα cosα
定义域
R R
{ |
tanα
2
k , k Z }
根据三角函数的定义 ,研究三 角函数值在各个象限的符号
sin y
y
cos x
y tan x
y y
?
任意角的三角函数
y
.P
r
y
（x，y）
O
邻边
x
M
Leabharlann Baidu
x
诱思探究 如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
P(a,b)
﹒
M
O
M
x
M P OP OM OM cos OP OP MP M P tan OM OM MP sin OP
OMP ∽ OM P
角的终边位置发生变化时，比值会改变 吗？ y y
.P
y
（x，y）
r
. O
x
α
x
. O
r
.P
y
（x，y）
αx
x
比值随角的终边的位置变化而 变化。
一、复习引入
利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点P(x,y) (1)y叫做α的正弦,记作sinα, 即 sinα=y (2)x叫做α的余弦,记作cosα, y 即 cosα=x P(x,y) α y x (3) 叫做α正切,记作tanα, A(1,0) x 即 y tan x 0 k k Z
三、展示与点拨
例1 确定下列三角函数值的符号,然后用计算器 验证: 1 cos 250 ; 2 sin ;
3 tan 672
; 4 tan 3 .
4
三 象限角,所以cos250° 解:(1)因为250°是第___ <0 (3)因为tan(-670°)=tan(48°-2×360°)=tan48° 而48°是第一象限角,所以 tan(-672°) > 0
练习：
口答：设α是三角形的一个内角,在sinα, cosα,tanαtan(α/2)那些可能取负值?
0 ,
2
0
2
2
,
sin 0, tan
2
0
cos 0, tan 0
2 求证:当且仅当下列不等式组成立时, 角θ为第三角限角 sin 0, ①
终边相同的角的同一三角函数值相等 公式一
sin k 2 sin cos k 2 cos tan k 2 tan 其中k Z .
角α终边每 绕原点旋转 一周,函数值 将重复出现
可以把求任意角的三角函数值.转化为求0 到2π(或0°至360°)角的三角函数值.