两个平面的位置关系
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证法二：运用三垂线法
∵PB⊥面ABCD，则PB⊥AD，又AD⊥AB，
∴AD⊥面PAB，即面PAB⊥面PAD．
过B作BE⊥PA，则BE⊥面PAD．
在面PBC内作PG BC，连GD．
经C作CF⊥面PAD于F，那么连结EF，有EF AD．
经F作FH⊥PD于H，连CH，则∠FHC是所求二面角平面角的补角．
因CF⊥FH，故∠FHC是锐角． 则面PAD与面PCD所成二面角大于90°．
∴BD⊥SC，又BD⊥SA，
∴BD⊥平面SAC，
∴∠EDG为二面角E-BD-C的平面角。
设SA=AB=1，则SB=BC= ，∴SC=2，∴∠SCA=300，∴∠EDC=600，
所以二面角E-BD-C的的大小为600。
例7在立体图形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中点．
（3）如图,正方体AC1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，AD1 平面ADD1A1，AC 平面ABCD，AD1与AC所成的角为600，即AD1与AC不垂直
解：由上面的分析知，命题⑴、⑵、⑶都是假命题。
点评:在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件缺一不可：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个面内；③直线必须垂直它们的交线。
3.(1)定义 如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂
直．
(2)判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
(3)性质(1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．
(2)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于另一个平面的直线，也垂直于交线．
6.作二面角的平面角有：定义法，三垂线(或其逆)定理法，垂面法．把平面角放入相关三角形中求解．
课前练习
1．α、β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明它．
解析：m⊥α，n⊥β，α⊥β m⊥n（或m⊥n，m⊥α，n⊥β α⊥β）
证明如下：过不在α、β内的任一点P，作PM∥m，PN∥n，
过PM、PN作平面r交α于MQ，交β于NQ．
，
同理PN⊥NQ．
因此∠MPN＋∠MQN= 180°，
故∠MQN= 90° ∠MPN= 90°
即m⊥α，n⊥β，α⊥β m⊥n
5．设S为 平面外的一点，SA=SB=SC， ，若 ，求证：平面ASC 平面ABC。
解析：（1）把角的关系转化为边的关系
（2）利用棱锥的性质（三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心）
证明：设D为AB的中点
同理
且
即 为 且S在平面上的射影O为 的外心
则O在斜边AC的中点。
平面ABC
平面SAC
证法一：利用定义法
经A在PDA平面内作AE⊥PD于E，连CE．
因底是正方形，故CD＝DA．
△CED≌△AED，AE＝EC，∠CED＝∠AED＝90°，
则CE⊥PD．
故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角．
设AC与BD交于O，连EO，则EO⊥AC．
，而AE＜AD＜a．
．
所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．
在AD上取点A，连结AB1，则AB1⊥AD，即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内，可以看出：线在面内这一条件的重要性；
（2）该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体AC1中，平面AD1⊥平面AC，AD1 平面ADD1A1，AB 平面ABCD，且AB⊥AD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；
∴AN//平面BEFD。
同理：AM//平面BEFD。
∴平面 ∥平面 。
二．平面与平面的垂直
例 4已知平面 ∥平面 ，平面 ⊥ ，求证： ⊥ 。
证明：设 在γ内作
。
例 5在三棱锥 中，∠ ∠ ，∠ ， ，求证：平面SAB⊥平面SAC。
证明：作BD⊥SA于D，DE⊥SC于E，连接BE，设SD=x,则SB=2x，
解：（1） 或 。
（2） 。
（3） 或 都相交。
例 3在正方体 中， 、 分别为棱 的中点， 、 分别为棱 的中点。（1）求证： 、 、 、 共面；（2）证明：平面 ∥平面 。
证明：（1）EF//B1D1，B1D1//BD，∴EF//BD，∴E、F、B、D共面。
（2）NE//A1B1，A1B1//AB，∴NE//AB，且NE=AB，∴ABEN是平行四边形。
解析：已知所求
河堤斜面与水平面所成角为60°E到地面的距离
利用E或G构造棱上一点F以EG为边构造三角形
解：取CD上一点E，设CE＝10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度．
在河堤斜面内，作EF⊥AB．垂足为F，连接FG，由三垂线定理的逆定理，知FG⊥AB．因此，∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，∠EFG＝60°．
3．在60°的二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求P点到直线a的距离．
解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的平面角等概念，图中都没有表示，按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键．可以有不同的作法，下面仅以一个作法为例，说明这些概念的特点，分别作PA⊥M，A是垂足，PB⊥N，B是垂足，先作了两条垂线，找出P点到两个平面的距离，其余概念要通过推理得出：于是PA、PB确定平面α，设α∩M=AC，α∩N=BC，C∈a．由于PA⊥M，则PA⊥a，同理PB⊥a，因此a⊥平面α，得a⊥PC．这样，∠ACB是二面角的平面角，PC是P点到直线a的距离，下面只要在四边形ACBP内，利用平面几何的知识在△PAB中求出AB，再在△ABC中利用正弦定理求外接圆直径2R＝ ，即为P点到直线a的距离，为 ．
以下同证法一．
由此得：
EG＝EFsin60°
＝CEsin30°sin60°
＝10× × ≈（m）
答：沿着直道向上行走到10米时，人升高了约米．
例9四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB垂直面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．
解析：：注意到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD的棱为PD，围绕PD而考虑问题解决途径．
AC，BD交于O点．
（Ⅰ）求二面角Q－BD－C的大小：
（Ⅱ）求二面角B－QD－C的大小．
解析：（Ⅰ）解：连QO，则QO∥PA且QO＝ PA＝ AB
∵PA⊥面ABCD
∴QO⊥面ABCD
面QBD过QO，∴面QBD⊥面ABCD
故二面角Q－BD－C等于90°．
（Ⅱ）解：过O作OH⊥QD，垂足为H，连CH．
∵面QBD⊥面BCD，又∵CO⊥BD，∴CO⊥面QBD，
∴CH在面QBD内的射影是OH。
∵OH⊥QD，∴CH⊥QD，于是∠OHC是二面角的平面角．
设正方形ABCD边长2，
则OQ＝1，OD＝ ，QD＝ ．
∵OH·QD＝OQ·OD，∴OH＝ ．
又OC＝ ，在Rt△COH中：tan∠OHC＝ ＝ · ＝
∴∠OHC＝60°，故二面角B－QD－C等于60°．
例8河堤斜面与水平面所成角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤脚的水平线AB的夹角为30°，沿着这条直道从堤脚上行走到10米时，人升高了多少（精确到米）
平面ASC 平面ABC
教学过程
一．平面与平面的平行
例 1已知平面 、 ，如果直线 ⊥ , ⊥ ,求证：平面 ∥平面 。
证明：设 ，过O1作 两相交直线，设 与 确定的平面为γ， ，从而 。
同理 。
所以 。
例 2已知平面 ∥平面 ，（1）若直线 ∥平面 ，判断直线 与平面 的位置关系。（2）若直线 ⊥平面 ，判断直线 与平面 的位置关系。（3）给出的三个平面 （ 与 、 不重合），试判断平面 、 、 之间的位置关系。
，
又 ，
又 ，
所以 ，所以BD⊥DE，又BD⊥AS，从而BD⊥面SAC。
所以平面SAB⊥平面SAC。
三．二面角
例 6在三棱锥 中， ⊥底面 ， ⊥ ， 垂直平分 且分别交 、 于 、 ，又 ，求以 为棱，以 、 为面的二面角的大小。
解：E为SC的中点，SB=BC，∴BE⊥SC，又DE⊥SC，
∴SC⊥平面BDE，
4.二面角 平面内一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面．一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
5.二面角的平面角 以二面角棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角是900时称直二面角。
三．两个平面的位置关系
知识提要
1.空间两个平面有相交(有一条公共直线)和平行(无公共点)两种位置关系．
2.(1)定义 如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行．
(2)判定 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面
平行．
(3)性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
2．自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线，求证：它们所成的角与这个二面角的平面角互补．
证明：如图PQ⊥，PQ⊥AB，
PR⊥，PR⊥AB，
则AB⊥面PQR．
经PQR的平面交、于SR、SQ，
那么AB⊥SR，AB⊥SQ．
∠QSR就是二面角的平面角．
因四边形SRPQ中，∠PQS＝∠PRS＝90°，
因此∠P＋∠QSR＝180°．
4．判定下列命题的真假
（1）两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；
（2）两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；
（3）两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直。
解析：（1）若该点在两个平面的交线上，则命题是平面AC∩平面AD1＝AD，
所以，此结论证明过程中与棱锥高无关．
证法三：利用垂面法找平面角．
在证法一所给图形中
连AC、BD，因AC⊥BD，PB⊥面ABCD，
∴AC⊥PD．
经A作AE⊥PD于E，那么有PD⊥面AEC，连CE，即PD⊥CE．
故PD与平面AEC垂直后，面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成角∠CEA就是二面角的平面角．
∵PB⊥面ABCD，则PB⊥AD，又AD⊥AB，
∴AD⊥面PAB，即面PAB⊥面PAD．
过B作BE⊥PA，则BE⊥面PAD．
在面PBC内作PG BC，连GD．
经C作CF⊥面PAD于F，那么连结EF，有EF AD．
经F作FH⊥PD于H，连CH，则∠FHC是所求二面角平面角的补角．
因CF⊥FH，故∠FHC是锐角． 则面PAD与面PCD所成二面角大于90°．
∴BD⊥SC，又BD⊥SA，
∴BD⊥平面SAC，
∴∠EDG为二面角E-BD-C的平面角。
设SA=AB=1，则SB=BC= ，∴SC=2，∴∠SCA=300，∴∠EDC=600，
所以二面角E-BD-C的的大小为600。
例7在立体图形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中点．
（3）如图,正方体AC1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，AD1 平面ADD1A1，AC 平面ABCD，AD1与AC所成的角为600，即AD1与AC不垂直
解：由上面的分析知，命题⑴、⑵、⑶都是假命题。
点评:在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件缺一不可：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个面内；③直线必须垂直它们的交线。
3.(1)定义 如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂
直．
(2)判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
(3)性质(1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．
(2)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于另一个平面的直线，也垂直于交线．
6.作二面角的平面角有：定义法，三垂线(或其逆)定理法，垂面法．把平面角放入相关三角形中求解．
课前练习
1．α、β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明它．
解析：m⊥α，n⊥β，α⊥β m⊥n（或m⊥n，m⊥α，n⊥β α⊥β）
证明如下：过不在α、β内的任一点P，作PM∥m，PN∥n，
过PM、PN作平面r交α于MQ，交β于NQ．
，
同理PN⊥NQ．
因此∠MPN＋∠MQN= 180°，
故∠MQN= 90° ∠MPN= 90°
即m⊥α，n⊥β，α⊥β m⊥n
5．设S为 平面外的一点，SA=SB=SC， ，若 ，求证：平面ASC 平面ABC。
解析：（1）把角的关系转化为边的关系
（2）利用棱锥的性质（三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心）
证明：设D为AB的中点
同理
且
即 为 且S在平面上的射影O为 的外心
则O在斜边AC的中点。
平面ABC
平面SAC
证法一：利用定义法
经A在PDA平面内作AE⊥PD于E，连CE．
因底是正方形，故CD＝DA．
△CED≌△AED，AE＝EC，∠CED＝∠AED＝90°，
则CE⊥PD．
故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角．
设AC与BD交于O，连EO，则EO⊥AC．
，而AE＜AD＜a．
．
所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．
在AD上取点A，连结AB1，则AB1⊥AD，即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内，可以看出：线在面内这一条件的重要性；
（2）该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体AC1中，平面AD1⊥平面AC，AD1 平面ADD1A1，AB 平面ABCD，且AB⊥AD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；
∴AN//平面BEFD。
同理：AM//平面BEFD。
∴平面 ∥平面 。
二．平面与平面的垂直
例 4已知平面 ∥平面 ，平面 ⊥ ，求证： ⊥ 。
证明：设 在γ内作
。
例 5在三棱锥 中，∠ ∠ ，∠ ， ，求证：平面SAB⊥平面SAC。
证明：作BD⊥SA于D，DE⊥SC于E，连接BE，设SD=x,则SB=2x，
解：（1） 或 。
（2） 。
（3） 或 都相交。
例 3在正方体 中， 、 分别为棱 的中点， 、 分别为棱 的中点。（1）求证： 、 、 、 共面；（2）证明：平面 ∥平面 。
证明：（1）EF//B1D1，B1D1//BD，∴EF//BD，∴E、F、B、D共面。
（2）NE//A1B1，A1B1//AB，∴NE//AB，且NE=AB，∴ABEN是平行四边形。
解析：已知所求
河堤斜面与水平面所成角为60°E到地面的距离
利用E或G构造棱上一点F以EG为边构造三角形
解：取CD上一点E，设CE＝10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度．
在河堤斜面内，作EF⊥AB．垂足为F，连接FG，由三垂线定理的逆定理，知FG⊥AB．因此，∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，∠EFG＝60°．
3．在60°的二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求P点到直线a的距离．
解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的平面角等概念，图中都没有表示，按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键．可以有不同的作法，下面仅以一个作法为例，说明这些概念的特点，分别作PA⊥M，A是垂足，PB⊥N，B是垂足，先作了两条垂线，找出P点到两个平面的距离，其余概念要通过推理得出：于是PA、PB确定平面α，设α∩M=AC，α∩N=BC，C∈a．由于PA⊥M，则PA⊥a，同理PB⊥a，因此a⊥平面α，得a⊥PC．这样，∠ACB是二面角的平面角，PC是P点到直线a的距离，下面只要在四边形ACBP内，利用平面几何的知识在△PAB中求出AB，再在△ABC中利用正弦定理求外接圆直径2R＝ ，即为P点到直线a的距离，为 ．
以下同证法一．
由此得：
EG＝EFsin60°
＝CEsin30°sin60°
＝10× × ≈（m）
答：沿着直道向上行走到10米时，人升高了约米．
例9四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB垂直面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．
解析：：注意到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD的棱为PD，围绕PD而考虑问题解决途径．
AC，BD交于O点．
（Ⅰ）求二面角Q－BD－C的大小：
（Ⅱ）求二面角B－QD－C的大小．
解析：（Ⅰ）解：连QO，则QO∥PA且QO＝ PA＝ AB
∵PA⊥面ABCD
∴QO⊥面ABCD
面QBD过QO，∴面QBD⊥面ABCD
故二面角Q－BD－C等于90°．
（Ⅱ）解：过O作OH⊥QD，垂足为H，连CH．
∵面QBD⊥面BCD，又∵CO⊥BD，∴CO⊥面QBD，
∴CH在面QBD内的射影是OH。
∵OH⊥QD，∴CH⊥QD，于是∠OHC是二面角的平面角．
设正方形ABCD边长2，
则OQ＝1，OD＝ ，QD＝ ．
∵OH·QD＝OQ·OD，∴OH＝ ．
又OC＝ ，在Rt△COH中：tan∠OHC＝ ＝ · ＝
∴∠OHC＝60°，故二面角B－QD－C等于60°．
例8河堤斜面与水平面所成角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤脚的水平线AB的夹角为30°，沿着这条直道从堤脚上行走到10米时，人升高了多少（精确到米）
平面ASC 平面ABC
教学过程
一．平面与平面的平行
例 1已知平面 、 ，如果直线 ⊥ , ⊥ ,求证：平面 ∥平面 。
证明：设 ，过O1作 两相交直线，设 与 确定的平面为γ， ，从而 。
同理 。
所以 。
例 2已知平面 ∥平面 ，（1）若直线 ∥平面 ，判断直线 与平面 的位置关系。（2）若直线 ⊥平面 ，判断直线 与平面 的位置关系。（3）给出的三个平面 （ 与 、 不重合），试判断平面 、 、 之间的位置关系。
，
又 ，
又 ，
所以 ，所以BD⊥DE，又BD⊥AS，从而BD⊥面SAC。
所以平面SAB⊥平面SAC。
三．二面角
例 6在三棱锥 中， ⊥底面 ， ⊥ ， 垂直平分 且分别交 、 于 、 ，又 ，求以 为棱，以 、 为面的二面角的大小。
解：E为SC的中点，SB=BC，∴BE⊥SC，又DE⊥SC，
∴SC⊥平面BDE，
4.二面角 平面内一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面．一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
5.二面角的平面角 以二面角棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角是900时称直二面角。
三．两个平面的位置关系
知识提要
1.空间两个平面有相交(有一条公共直线)和平行(无公共点)两种位置关系．
2.(1)定义 如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行．
(2)判定 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面
平行．
(3)性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
2．自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线，求证：它们所成的角与这个二面角的平面角互补．
证明：如图PQ⊥，PQ⊥AB，
PR⊥，PR⊥AB，
则AB⊥面PQR．
经PQR的平面交、于SR、SQ，
那么AB⊥SR，AB⊥SQ．
∠QSR就是二面角的平面角．
因四边形SRPQ中，∠PQS＝∠PRS＝90°，
因此∠P＋∠QSR＝180°．
4．判定下列命题的真假
（1）两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；
（2）两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；
（3）两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直。
解析：（1）若该点在两个平面的交线上，则命题是平面AC∩平面AD1＝AD，
所以，此结论证明过程中与棱锥高无关．
证法三：利用垂面法找平面角．
在证法一所给图形中
连AC、BD，因AC⊥BD，PB⊥面ABCD，
∴AC⊥PD．
经A作AE⊥PD于E，那么有PD⊥面AEC，连CE，即PD⊥CE．
故PD与平面AEC垂直后，面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成角∠CEA就是二面角的平面角．