两个平面的位置关系
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证法二:运用三垂线法
∵PB⊥面ABCD,则PB⊥AD,又AD⊥AB,
∴AD⊥面PAB,即面PAB⊥面PAD.
过B作BE⊥PA,则BE⊥面PAD.
在面PBC内作PG BC,连GD.
经C作CF⊥面PAD于F,那么连结EF,有EF AD.
经F作FH⊥PD于H,连CH,则∠FHC是所求二面角平面角的补角.
因CF⊥FH,故∠FHC是锐角. 则面PAD与面PCD所成二面角大于90°.
在AD上取点A,连结AB1,则AB1⊥AD,即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直,但AB1与平面ABCD不垂直,其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内,可以看出:线在面内这一条件的重要性;
(2)该命题注意了直线在平面内,但不能保证这两条直线都与棱垂直,如图,在正方体AC1中,平面AD1⊥平面AC,AD1 平面ADD1A1,AB 平面ABCD,且AB⊥AD1,即AB与AD1相互垂直,但AD1与平面ABCD不垂直;
,
又 ,
又 ,
所以 ,所以BD⊥DE,又BD⊥AS,从而BD⊥面SAC。
所以平面SAB⊥平面SAC。
三.二面角
例 6在三棱锥 中, ⊥底面 , ⊥ , 垂直平分 且分别交 、 于 、 ,又 ,求以 为棱,以 、 为面的二面角的大小。
解:E为SC的中点,SB=BC,∴BE⊥SC,又DE⊥SC,
∴SC⊥平面BDE,
解析:m⊥α,n⊥β,α⊥β m⊥n(或m⊥n,m⊥α,n⊥β α⊥β)
证明如下:过不在α、β内的任一点P,作PM∥m,PN∥n,
过PM、PN作平面r交α于MQ,交β于NQ.
,
同理PN⊥NQ.
因此∠MPN+∠MQN= 180°,
故∠MQN= 90° ∠MPN= 90°
即m⊥α,n⊥β,α⊥β m⊥n
∴AN//平面BEFD。
同理:AM//平面BEFD。
∴平面 ∥平面 。
二.平面与平面的垂直
例 4已知平面 ∥平面 ,平面 ⊥ ,求证: ⊥ 。
证明:设 在γ内作
。
例 5在三棱锥 中,∠ ∠ ,∠ , ,求证:平面SAB⊥平面SAC。
证明:作BD⊥SA于D,DE⊥SC于E,连接BE,设SD=x,则SB=2x,
解析:已知所求
河堤斜面与水平面所成角为60°E到地面的距离
利用E或G构造棱上一点F以EG为边构造三角形
解:取CD上一点E,设CE=10 m,过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG,垂足为G,则线段EG的长就是所求的高度.
在河堤斜面内,作EF⊥AB.垂足为F,连接FG,由三垂线定理的逆定理,知FG⊥AB.因此,∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角,∠EFG=60°.
以下同证法一.
3.在60°的二面角M-a-N内有一点P,P到平面M、平面N的距离分别为1和2,求P点到直线a的距离.
解析:本题涉及点到平面的距离,点到直线的距离,二面角的平面角等概念,图中都没有表示,按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键.可以有不同的作法,下面仅以一个作法为例,说明这些概念的特点,分别作PA⊥M,A是垂足,PB⊥N,B是垂足,先作了两条垂线,找出P点到两个平面的距离,其余概念要通过推理得出:于是PA、PB确定平面α,设α∩M=AC,α∩N=BC,C∈a.由于PA⊥M,则PA⊥a,同理PB⊥a,因此a⊥平面α,得a⊥PC.这样,∠ACB是二面角的平面角,PC是P点到直线a的距离,下面只要在四边形ACBP内,利用平面几何的知识在△PAB中求出AB,再在△ABC中利用正弦定理求外接圆直径2R= ,即为P点到直线a的距离,为 .
5.设S为 平面外的一点,SA=SB=SC, ,若 ,求证:平面ASC 平面ABC。
解析:(1)把角的关系转化为边的关系
(2)利用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心)
证明:设D为AB的中点
同理
且
即 为 且S在平面上的射影O为 的外心
则O在斜边AC的中点。
平面ABC
平面SAC
4.二面角 平面内一条直线把这个平面分成两个部分,其中的每一部分都叫做半平面.一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
5.二面角的平面角 以二面角棱上的任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,二面角的平面角是900时称直二面角。
6.作二面角的平面角有:定义法,三垂线(或其逆)定理法,垂面法.把平面角放入相关三角形中求解.
课前练习
1.α、β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n,②α⊥β,③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题,并证明它.
∴CH在面QBD内的射影是OH。
∵OH⊥QD,∴CH⊥QD,于是∠OHC是二面角的平面角.
设正方形ABCD边长2,
则OQ=1,OD= ,QD= .
∵OH·QD=OQ·OD,∴OH= .
又OC= ,在Rt△COH中:tan∠OHC= = · =
∴∠OHC=60°,故二面角B-QD-C等于60°.
例8河堤斜面与水平面所成角为60°,堤面上有一条直道CD,它与堤脚的水平线AB的夹角为30°,沿着这条直道从堤脚上行走到10米时,人升高了多少(精确到米)
(3)如图,正方体AC1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,AD1 平面ADD1A1,AC 平面ABCD,AD1与AC所成的角为600,即AD1与AC不垂直
解:由上面的分析知,命题⑴、⑵、⑶都是假命题。
点评:在利用两个平面垂直的性质定理时,要注意下列的三个条件缺一不可:①两个平面垂直;②直线必须在其中一个面内;③直线必须垂直它们的交线。
证法一:利用定义法
经A在PDA平面内作AE⊥PD于E,连CE.
因底是正方形,故CD=DA.
△CED≌△AED,AE=EC,∠CED=∠AED=90°,
则CE⊥PD.
故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角.
设AC与BBiblioteka Baidu交于O,连EO,则EO⊥AC.
,而AE<AD<a.
.
所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.
所以,此结论证明过程中与棱锥高无关.
证法三:利用垂面法找平面角.
在证法一所给图形中
连AC、BD,因AC⊥BD,PB⊥面ABCD,
∴AC⊥PD.
经A作AE⊥PD于E,那么有PD⊥面AEC,连CE,即PD⊥CE.
故PD与平面AEC垂直后,面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成角∠CEA就是二面角的平面角.
4.判定下列命题的真假
(1)两个平面垂直,过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线,必垂直于另一个平面;
(2)两个平面垂直,分别在这两个平面内且互相垂直的两直线,一定分别与另一平面垂直;
(3)两平面垂直,分别在这两个平面内的两直线互相垂直。
解析:(1)若该点在两个平面的交线上,则命题是错误的,
如图,正方体AC1中,平面AC⊥平面AD1,平面AC∩平面AD1=AD,
∴BD⊥SC,又BD⊥SA,
∴BD⊥平面SAC,
∴∠EDG为二面角E-BD-C的平面角。
设SA=AB=1,则SB=BC= ,∴SC=2,∴∠SCA=300,∴∠EDC=600,
所以二面角E-BD-C的的大小为600。
例7在立体图形P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,Q是PC中点.
三.两个平面的位置关系
知识提要
1.空间两个平面有相交(有一条公共直线)和平行(无公共点)两种位置关系.
2.(1)定义 如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行.
(2)判定 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面
平行.
(3)性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
解:(1) 或 。
(2) 。
(3) 或 都相交。
例 3在正方体 中, 、 分别为棱 的中点, 、 分别为棱 的中点。(1)求证: 、 、 、 共面;(2)证明:平面 ∥平面 。
证明:(1)EF//B1D1,B1D1//BD,∴EF//BD,∴E、F、B、D共面。
(2)NE//A1B1,A1B1//AB,∴NE//AB,且NE=AB,∴ABEN是平行四边形。
3.(1)定义 如果两个平面相交,所成的二面角是直二面角,则称这两个平面互相垂
直.
(2)判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
(3)性质(1)如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线,垂直于另一个平面.
(2)如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于另一个平面的直线,也垂直于交线.
2.自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线,求证:它们所成的角与这个二面角的平面角互补.
证明:如图PQ⊥,PQ⊥AB,
PR⊥,PR⊥AB,
则AB⊥面PQR.
经PQR的平面交、于SR、SQ,
那么AB⊥SR,AB⊥SQ.
∠QSR就是二面角的平面角.
因四边形SRPQ中,∠PQS=∠PRS=90°,
因此∠P+∠QSR=180°.
平面ASC 平面ABC
教学过程
一.平面与平面的平行
例 1已知平面 、 ,如果直线 ⊥ , ⊥ ,求证:平面 ∥平面 。
证明:设 ,过O1作 两相交直线,设 与 确定的平面为γ, ,从而 。
同理 。
所以 。
例 2已知平面 ∥平面 ,(1)若直线 ∥平面 ,判断直线 与平面 的位置关系。(2)若直线 ⊥平面 ,判断直线 与平面 的位置关系。(3)给出的三个平面 ( 与 、 不重合),试判断平面 、 、 之间的位置关系。
AC,BD交于O点.
(Ⅰ)求二面角Q-BD-C的大小:
(Ⅱ)求二面角B-QD-C的大小.
解析:(Ⅰ)解:连QO,则QO∥PA且QO= PA= AB
∵PA⊥面ABCD
∴QO⊥面ABCD
面QBD过QO,∴面QBD⊥面ABCD
故二面角Q-BD-C等于90°.
(Ⅱ)解:过O作OH⊥QD,垂足为H,连CH.
∵面QBD⊥面BCD,又∵CO⊥BD,∴CO⊥面QBD,
由此得:
EG=EFsin60°
=CEsin30°sin60°
=10× × ≈(m)
答:沿着直道向上行走到10米时,人升高了约米.
例9四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PB垂直面ABCD,证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.
解析::注意到题目中所给的二面角,面PAD与面PCD的棱为PD,围绕PD而考虑问题解决途径.
∵PB⊥面ABCD,则PB⊥AD,又AD⊥AB,
∴AD⊥面PAB,即面PAB⊥面PAD.
过B作BE⊥PA,则BE⊥面PAD.
在面PBC内作PG BC,连GD.
经C作CF⊥面PAD于F,那么连结EF,有EF AD.
经F作FH⊥PD于H,连CH,则∠FHC是所求二面角平面角的补角.
因CF⊥FH,故∠FHC是锐角. 则面PAD与面PCD所成二面角大于90°.
在AD上取点A,连结AB1,则AB1⊥AD,即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直,但AB1与平面ABCD不垂直,其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内,可以看出:线在面内这一条件的重要性;
(2)该命题注意了直线在平面内,但不能保证这两条直线都与棱垂直,如图,在正方体AC1中,平面AD1⊥平面AC,AD1 平面ADD1A1,AB 平面ABCD,且AB⊥AD1,即AB与AD1相互垂直,但AD1与平面ABCD不垂直;
,
又 ,
又 ,
所以 ,所以BD⊥DE,又BD⊥AS,从而BD⊥面SAC。
所以平面SAB⊥平面SAC。
三.二面角
例 6在三棱锥 中, ⊥底面 , ⊥ , 垂直平分 且分别交 、 于 、 ,又 ,求以 为棱,以 、 为面的二面角的大小。
解:E为SC的中点,SB=BC,∴BE⊥SC,又DE⊥SC,
∴SC⊥平面BDE,
解析:m⊥α,n⊥β,α⊥β m⊥n(或m⊥n,m⊥α,n⊥β α⊥β)
证明如下:过不在α、β内的任一点P,作PM∥m,PN∥n,
过PM、PN作平面r交α于MQ,交β于NQ.
,
同理PN⊥NQ.
因此∠MPN+∠MQN= 180°,
故∠MQN= 90° ∠MPN= 90°
即m⊥α,n⊥β,α⊥β m⊥n
∴AN//平面BEFD。
同理:AM//平面BEFD。
∴平面 ∥平面 。
二.平面与平面的垂直
例 4已知平面 ∥平面 ,平面 ⊥ ,求证: ⊥ 。
证明:设 在γ内作
。
例 5在三棱锥 中,∠ ∠ ,∠ , ,求证:平面SAB⊥平面SAC。
证明:作BD⊥SA于D,DE⊥SC于E,连接BE,设SD=x,则SB=2x,
解析:已知所求
河堤斜面与水平面所成角为60°E到地面的距离
利用E或G构造棱上一点F以EG为边构造三角形
解:取CD上一点E,设CE=10 m,过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG,垂足为G,则线段EG的长就是所求的高度.
在河堤斜面内,作EF⊥AB.垂足为F,连接FG,由三垂线定理的逆定理,知FG⊥AB.因此,∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角,∠EFG=60°.
以下同证法一.
3.在60°的二面角M-a-N内有一点P,P到平面M、平面N的距离分别为1和2,求P点到直线a的距离.
解析:本题涉及点到平面的距离,点到直线的距离,二面角的平面角等概念,图中都没有表示,按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键.可以有不同的作法,下面仅以一个作法为例,说明这些概念的特点,分别作PA⊥M,A是垂足,PB⊥N,B是垂足,先作了两条垂线,找出P点到两个平面的距离,其余概念要通过推理得出:于是PA、PB确定平面α,设α∩M=AC,α∩N=BC,C∈a.由于PA⊥M,则PA⊥a,同理PB⊥a,因此a⊥平面α,得a⊥PC.这样,∠ACB是二面角的平面角,PC是P点到直线a的距离,下面只要在四边形ACBP内,利用平面几何的知识在△PAB中求出AB,再在△ABC中利用正弦定理求外接圆直径2R= ,即为P点到直线a的距离,为 .
5.设S为 平面外的一点,SA=SB=SC, ,若 ,求证:平面ASC 平面ABC。
解析:(1)把角的关系转化为边的关系
(2)利用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心)
证明:设D为AB的中点
同理
且
即 为 且S在平面上的射影O为 的外心
则O在斜边AC的中点。
平面ABC
平面SAC
4.二面角 平面内一条直线把这个平面分成两个部分,其中的每一部分都叫做半平面.一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
5.二面角的平面角 以二面角棱上的任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,二面角的平面角是900时称直二面角。
6.作二面角的平面角有:定义法,三垂线(或其逆)定理法,垂面法.把平面角放入相关三角形中求解.
课前练习
1.α、β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n,②α⊥β,③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题,并证明它.
∴CH在面QBD内的射影是OH。
∵OH⊥QD,∴CH⊥QD,于是∠OHC是二面角的平面角.
设正方形ABCD边长2,
则OQ=1,OD= ,QD= .
∵OH·QD=OQ·OD,∴OH= .
又OC= ,在Rt△COH中:tan∠OHC= = · =
∴∠OHC=60°,故二面角B-QD-C等于60°.
例8河堤斜面与水平面所成角为60°,堤面上有一条直道CD,它与堤脚的水平线AB的夹角为30°,沿着这条直道从堤脚上行走到10米时,人升高了多少(精确到米)
(3)如图,正方体AC1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,AD1 平面ADD1A1,AC 平面ABCD,AD1与AC所成的角为600,即AD1与AC不垂直
解:由上面的分析知,命题⑴、⑵、⑶都是假命题。
点评:在利用两个平面垂直的性质定理时,要注意下列的三个条件缺一不可:①两个平面垂直;②直线必须在其中一个面内;③直线必须垂直它们的交线。
证法一:利用定义法
经A在PDA平面内作AE⊥PD于E,连CE.
因底是正方形,故CD=DA.
△CED≌△AED,AE=EC,∠CED=∠AED=90°,
则CE⊥PD.
故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角.
设AC与BBiblioteka Baidu交于O,连EO,则EO⊥AC.
,而AE<AD<a.
.
所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.
所以,此结论证明过程中与棱锥高无关.
证法三:利用垂面法找平面角.
在证法一所给图形中
连AC、BD,因AC⊥BD,PB⊥面ABCD,
∴AC⊥PD.
经A作AE⊥PD于E,那么有PD⊥面AEC,连CE,即PD⊥CE.
故PD与平面AEC垂直后,面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成角∠CEA就是二面角的平面角.
4.判定下列命题的真假
(1)两个平面垂直,过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线,必垂直于另一个平面;
(2)两个平面垂直,分别在这两个平面内且互相垂直的两直线,一定分别与另一平面垂直;
(3)两平面垂直,分别在这两个平面内的两直线互相垂直。
解析:(1)若该点在两个平面的交线上,则命题是错误的,
如图,正方体AC1中,平面AC⊥平面AD1,平面AC∩平面AD1=AD,
∴BD⊥SC,又BD⊥SA,
∴BD⊥平面SAC,
∴∠EDG为二面角E-BD-C的平面角。
设SA=AB=1,则SB=BC= ,∴SC=2,∴∠SCA=300,∴∠EDC=600,
所以二面角E-BD-C的的大小为600。
例7在立体图形P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,Q是PC中点.
三.两个平面的位置关系
知识提要
1.空间两个平面有相交(有一条公共直线)和平行(无公共点)两种位置关系.
2.(1)定义 如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行.
(2)判定 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面
平行.
(3)性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
解:(1) 或 。
(2) 。
(3) 或 都相交。
例 3在正方体 中, 、 分别为棱 的中点, 、 分别为棱 的中点。(1)求证: 、 、 、 共面;(2)证明:平面 ∥平面 。
证明:(1)EF//B1D1,B1D1//BD,∴EF//BD,∴E、F、B、D共面。
(2)NE//A1B1,A1B1//AB,∴NE//AB,且NE=AB,∴ABEN是平行四边形。
3.(1)定义 如果两个平面相交,所成的二面角是直二面角,则称这两个平面互相垂
直.
(2)判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
(3)性质(1)如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线,垂直于另一个平面.
(2)如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于另一个平面的直线,也垂直于交线.
2.自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线,求证:它们所成的角与这个二面角的平面角互补.
证明:如图PQ⊥,PQ⊥AB,
PR⊥,PR⊥AB,
则AB⊥面PQR.
经PQR的平面交、于SR、SQ,
那么AB⊥SR,AB⊥SQ.
∠QSR就是二面角的平面角.
因四边形SRPQ中,∠PQS=∠PRS=90°,
因此∠P+∠QSR=180°.
平面ASC 平面ABC
教学过程
一.平面与平面的平行
例 1已知平面 、 ,如果直线 ⊥ , ⊥ ,求证:平面 ∥平面 。
证明:设 ,过O1作 两相交直线,设 与 确定的平面为γ, ,从而 。
同理 。
所以 。
例 2已知平面 ∥平面 ,(1)若直线 ∥平面 ,判断直线 与平面 的位置关系。(2)若直线 ⊥平面 ,判断直线 与平面 的位置关系。(3)给出的三个平面 ( 与 、 不重合),试判断平面 、 、 之间的位置关系。
AC,BD交于O点.
(Ⅰ)求二面角Q-BD-C的大小:
(Ⅱ)求二面角B-QD-C的大小.
解析:(Ⅰ)解:连QO,则QO∥PA且QO= PA= AB
∵PA⊥面ABCD
∴QO⊥面ABCD
面QBD过QO,∴面QBD⊥面ABCD
故二面角Q-BD-C等于90°.
(Ⅱ)解:过O作OH⊥QD,垂足为H,连CH.
∵面QBD⊥面BCD,又∵CO⊥BD,∴CO⊥面QBD,
由此得:
EG=EFsin60°
=CEsin30°sin60°
=10× × ≈(m)
答:沿着直道向上行走到10米时,人升高了约米.
例9四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PB垂直面ABCD,证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.
解析::注意到题目中所给的二面角,面PAD与面PCD的棱为PD,围绕PD而考虑问题解决途径.